Capitulo i - Interacción Eléctrica_capitulo v. Condensadores y Dielectricos

Fsica General III Carga, Materia y Ley de Coulomb Optaciano Vsquez Garca

CAPITULO I

CARGA, MATERIA Y LEY DE COULOMB

Bobina Tesla: Mediante esta bobina se pueden producir miles de voltios, en la foto se ve Tesla en

su laboratorio de Colorado


1.1 INTRODUCCIN.

Cuando frota sus zapatos en una alfombra y luego toca la perilla metlica de la puerta, Ud. recibe una descarga

elctrica esttica. Por qu sucede esto y porqu es ms probable que ello ocurra en un da seco que en un da

hmedo?. Por otro lado, los tomos en un cuerpo se mantienen unidos y no se rompen, aunque las partculas

fundamentales que la constituyen pueden estar movindose a altas velocidades Por qu?. Qu sucede

realmente en un circuito elctrico?. Cmo funcionan los motores y los generadores elctricos?.

La respuesta a todas estas preguntas la proporciona una parte fundamental de la fsica denominada

electromagnetismo, que no es ms sino el estudio de las interacciones electromagnticas las que son muy

intensas y slo son superadas por las interacciones nucleares fuertes. Las interacciones elctricas implican la

presencia de partculas las que poseen una propiedad llamada carga elctrica, un atributo de la materia que es

fundamental como lo es la masa. El estudio de los fenmenos electromagnticos centrar nuestra atencin en la

mayor parte de ste libro.

Iniciaremos el estudio del electromagnetismo en el presente captulo con una pequea discusin sobre la

naturaleza de la carga elctrica, seguida de una breve introduccin a la estructura de la materia, posteriormente

se estudiar en forma concisa a los conductores, aisladores, semiconductores y superconductores. A

continuacin estudiaremos la ley de Coulomb la cual describe la fuerza elctrica entre cargas elctricas.

Si bien las ideas bsicas del electromagnetismo son conceptualmente simples, su aplicacin tecnolgica actual al

igual que la ciencia pura, ha permitido comprender el comportamiento de los tomos y las molculas,

comprender los procesos de radiacin, estudiar las propiedades elctricas de un conjunto de sustancias. Al

mismo tiempo el electromagnetismo se ha utilizado en el desarrollo de redes elctricas, sistemas de transporte de

energa y potencia, sistemas de comunicacin electrnica y digital as mismo el conocimiento del

electromagnetismo ha permitido diseas equipos elctricos y electrnicos que en la actualidad han

revolucionada la ciencia y la tecnologa una de ellos es por ejemplo el microscopio de fuerza atmica MFA.

1.2 CARGA ELCTRICA.

Los fenmenos elctricos se conocen desde tiempos inmemoriales. Existen evidencias tan antiguas como las

observadas por los griegos en los aos 600 A.C que muestran como ciertas sustancias al ser frotadas entre s

atraan pequeos objetos. Antes de la edad moderna el mbar era la mejor sustancia para demostrar ste

fenmeno. Actualmente decimos que el mbar ha adquirido una carga elctrica neta o que se ha cargado. La

palabra elctrica se deriva de la palabra griega elektron que significa mbar.

1.2.1 Observacin de la interaccin elctrica.

Despus de que un peine de plstico se frota contra la piel, o se pasa a travs del cabello seco, adquiere

la propiedad de atraer pequeos trozos de papel tal como se muestra en la figura 1.1a. Si ahora con el peine

tocamos una esfera pequea suspendida de un hilo de seda y con la piel tocamos la otra esfera tambin

suspendida estas experimentan una atraccin (figura 1.1b), mientras que si con el peine tocamos las dos esferas

suspendidas experimentan una repulsin (figura 1.1c).

(a) (b) (c)

Figura 1.1 (a) El peine frotado con el cabello seco atrae trozos de papel, (b) Atraccin elctrica (c)

Repulsin elctrica


Otro ejemplo que muestra la interaccin elctrica es la frotacin de dos varillas de vidrio con un pedazo de seda,

cuando esto ocurre las varillas de vidrio se repelen entre s (figura 1.2a), por otro lado si una varilla se frota con

seda y una varilla de plstico se frota con piel y se acercan una a la otra como se muestra en la figura 1.2b, se

observa una atraccin.

Estos experimentos sencillos y muchos otros similares permiten llegar a una importante conclusin de que dos

partculas pueden interactuar con una fuerza de largo alcance y que tenga las siguientes propiedades: (i) Esta

fuerza puede ser atractiva o repulsiva (a diferencia de la gravitacional que es slo atractiva) y (ii) Esta fuerza

puede tener una magnitud mucho mayor que la fuerza gravitacional (la fuerza gravitacional entre estas partculas

es mucho ms pequea).

Por lo tanto concluimos que las fuerzas que aparecen en los ejemplos anteriores son de un nuevo tipo que en

adelante llamaremos fuerza elctrica. Bajo esta situacin cabe plantearse la siguiente pregunta: Bajo qu

condiciones aparece esta fuerza y cules son sus propiedades bsicas?

(a) (b)

Figura 1.2 (a) Barra de vidrio suspendida por hilo de seda, repelida por otra varilla de vidrio que tiene la

misma carga, (b) Varilla de vidrio suspendida de un hilo de seda, atrada por una varilla de

plstico frotada con piel y que tiene carga de signo opuesto.

1.2.2 Definicin de carga elctrica.

Decimos que una partcula est cargada, si posee la propiedad de experimentar una fuerza elctrica debido a alguna otra partcula cargada. Para definir esta propiedad con mayor precisin, supongamos que varias

partculas cargadas pueden ser localizadas en algn punto P, el cual est localizado a una distancia x desde una

partcula cargada especfica A, tal como una esfera de aluminio cargada (vase la figura 1.3). Entonces puede

ser determinada fcilmente la fuerza elctrica sobre una partcula localizada en el punto P, por ejemplo,

mediante la determinacin de la deformacin de la partcula localizada en el punto P. (tngase en cuenta adems

que esta fuerza puede estar dirigida hacia o alejndose de A). Si ahora medimos y comparamos las fuerzas

elctricas y sobre las dos partculas 1 y 2 localizadas sucesivamente en el punto P, encontramos que la

magnitud relativa de las fuerzas es siempre la misma, independientemente de la posicin del punto P o de

la naturaleza del objeto cargado A. Adems, las direcciones relativas de y son tambin las mismas. En

resumen, la magnitud y direccin relativa de las fuerzas elctricas dependen solamente de las propiedades de las

partculas 1 y 2.

Figura 1.3 Disposicin experimental para comparar la fuerza elctrica e varias partculas cargadas

localizadas en el punto P


Esta conclusin sugiere que cada una de estas partculas pueden ser descritas mediante una propiedad

denominada carga y especificada por una cantidad q. Las magnitudes de las cargas de las dos partculas son definidas de tal forma que ellas son proporcionales a las magnitudes de las fuerzas elctricas de estas partculas

localizadas en el mismo punto, esto es

1 1

2 2

q F

q F (1.1)

Adems, el signo de las cargas de las partculas es definidos tal que:

Combinando las ecuaciones (1.1) y (1.2) resulta

1 1

2 2

q F

q F (1.3)

Donde el signo ms (+) es utilizado si y tienen la misma direccin, mientras que el signo menos (-) es

utilizado cuando y tienen direcciones opuestas. De esta manera podemos dar la siguiente definicin para

la carga

1 1

2 2

La carga q de una partcula es una cantidad numrica

que especifica la magnitud y la direccin de la fuerza

elctrica sobre una partcula tal que

q F

q F

(1.4)

Si la fuerza sobre una partcula cargada es debido a varias partculas tal como A, se aplica el principio de

superposicin

1.2.3 Unidades de la carga elctrica.

Como cualquier otro procedimiento de comparacin, la definicin de carga obtenida anteriormente

solamente nos da la razn de dos cargas. Para especificar un nico valor para cualquier carga, es conveniente

comparar todas las cargas con una carga especfica denominada estndar. En el sistema internacional esta carga

estndar es llamado coulomb estndar y su valor es indicado por la unidad coulomb abreviado como 1C.

La carga q1 de cualquier partcula puede entonces ser medida utilizando la disposicin de la figura 2.3 y

comparndola con la partcula estndar S la cual tiene una carga estndar qS = 1 coulomb. Entonces se tiene

q1 y q2 tienen el mismo signo si y tienen la

misma direccin, y tienen el signo opuesto si y

tienen direcciones opuestas.

1.2


1 1

1 coulombs

S

S S

F Fq q

F F (1.5)

Donde el signo positivo se aplica si la fuerza F1 tiene la misma direccin que la fuerza Fs sobre la carga

estndar, y el signo menos si F1 tiene la direccin opuesta.

1.2.4 Carga de un sistema.

La carga Q de un sistema de partculas es definida como la carga total, es decir como la suma de las

cargas q1, q2, q3., de todas las partculas del sistema, esto es

1 2 3.........

nQ q q q q (1.6)

Supongamos ahora que un objeto es suficientemente pequeo para ser considerado como partcula, es decir,

suficientemente pequeo tal que las partculas constituyentes del objeto estn esencialmente localizadas en el

mismo punto. Entonces la fuerza elctrica total sobre cada uno de los objetos depende de su carga total en

exactamente la misma forma como la fuerza sobre una partcula simple depende de su carga,

1.3 CARGA ELCTRICA Y ESTRUCTURA DE LA MATERIA.

La teora atmica moderna explica el por qu de los fenmenos de electrizacin y hace de la carga elctrica una

propiedad fundamental de la materia en todas sus formas. Las interacciones responsables de la estructura y de

las propiedades de los tomos y molculas son principalmente las interacciones elctricas entre partculas

cargadas.

En general todo cuerpo est formado por la asociacin de molculas y a la vez las molculas estn constituidas

por uno o ms tomos agrupados o distribuidos en forma especfica segn cada compuesto. Cada tomo est

constituido por tres tipos de partculas fundamentales: los protones cargados positivamente, los neutrones sin

carga elctrica y los electrones los que poseen una carga elctrica negativa. El protn y el neutrn son la

combinacin de otras partculas llamadas quqrks, los mismos que tienen cargas fraccionarias de la del electrn

esto es de 1/3; 2/3, aun cuando estas ltimas partculas no han sido observadas experimentalmente.

Los protones y los neutrones en un tomo se encuentran unidos por fuerzas nucleares y forman un esfera

pequea y muy densa denominado ncleo cuyas dimensiones son del orden de 10-15 m. Alrededor del ncleo se

encuentran girando los electrones en orbitas circulares o elpticas tal como se muestra en la figura 1.4.

Los electrones cargados negativamente se mantienen dentro del tomo mediante las fuerzas elctricas de

atraccin ejercidas sobre ellas por el ncleo cargado positivamente. Los protones y los neutrones se mantienen

dentro del ncleo atmico gracias a las fuerzas nucleares que vencen las repulsiones entre los protones.


Figura 1.4 Representacin de un tomo en donde se observa los protones, neutrones y electrones.

Las masas y las cargas elctricas de cada una de estas partculas se muestran en la Tabla 1.1

Tabla N 1.1. Masa y carga de partculas fundamentales del tomo

Partcula Masa (kg) Carga (C)

Electrn (e) 9,109.10-31 -1,602.10-19

Protn (p) 1,672.10-27 +1,602.10-19

Neutrn (n) 1,674.10-27 0

El nmero de electrones en un tomo es igual al nmero de protones de su correspondiente ncleo, de ah que en

conjunto y a pesar de estar formado por partculas con carga, el tomo completo resulte neutro (figura 2.5a). En

un tomo neutro el nmero de protones de un elemento se llama nmero atmico Z. Si se elimina uno o ms

electrones el tomo se convierte en un in cargado positivamente (figura 2,5b), mientras que si se le aade uno o

ms electrones al tomo se convierte en un in cargado negativamente (figura 2.5c). A la ganancia o prdida de

electrones por un tomo se llama ionizacin.

El ncleo puede tener de 1 a 100 protones, dependiendo del elemento qumico de que se trate y normalmente

contiene aproximadamente igual nmero de neutrones, un protn y un electrn tienen la misma masa, que es del

orden de dos mil veces a la masa del electrn, es decir que la masa del ncleo es aproximadamente cuatro mil

veces mayor a la masa del conjunto de sus electrones

Los electrones en un tomo se encuentran distribuidos en capas (K, L, M; N, ), y cada una de stas capas designadas por el nmero cuntico n admite un nmero fijo de electrones. Esta se muestra en la tabla 1.2

(a) (b) (c)


Figura 1.5 (a) tomo de Li el cual presenta tres protones (rojo), tres electrones (celeste) y cuatro

neutrones (violeta); (b) In positivo de Li el cual tiene dos electrones y tres protones; (c) In

negativo de Li el cual tiene tres protones y cuatro electrones

Tabla 1.2 Distribucin de electrones en las capas

Nmero cuntico principal (n) 1 2 3 4

Capa K L M N

Nmero necesario de electrones (2n2) 2 8 18 32

En general el nmero de neutrones en el ncleo atmico de un elemento qumico, no es fijo, aunque el nmero

de protones si lo sea. Los tomos que poseen el mismo nmero de protones pero diferentes nmeros de

neutrones en sus ncleos se llama istopos de un elemento.

1.4 CARGA Y MASA DE LOS ELECTRONES

El estudio de la estructura de la materia permite llegar a la conclusin de que la materia est compuesta de unas

pocas partculas atmicas cuyas propiedades e interaccin debe tenerse en cuenta para la observacin de las

propiedades de todos los objetos. Cmo podemos obtener experimentalmente informacin acerca de las

propiedades fundamentales de cada una de stas partculas atmicas, su masa m y su carga q?

Para determinar la carga q de una partcula atmica, necesitamos solamente comparar la fuerza elctrica

ejercida sobre esta partcula por algn objeto cargado con la fuerza elctrica ejercida sobre otra partcula

cuya carga es conocida q y localizada en la misma posicin. Tal como se describi anteriormente la carga es

'

'

Fq q

F (1.7)

En la prctica es difcil medir directamente la fuerza , sobre una partcula atmica debido a que no puede

pesarse. Pero podemos utilizar la observacin del movimiento para determinar su aceleracin . A partir de la

segunda ley de Newton se tiene que con lo cual la relacin (1.7) se escribe en la forma

' ' '

' ' ' o

F ma q aq q q q

F F m F (1.8)

Entonces, midiendo la aceleracin se puede determinar la razn entre la carga q y la masa m de una partcula

atmica.

En una gran variedad de experimentos observamos partculas cargadas negativamente que tengan el mismo

valor de la razn . Por ejemplo, tales partculas son observadas como resultado de la perturbacin o de la

ionizacin de las molculas de varios gases como resultado del calentamiento de ciertos metales, o como

resultado de la iluminacin con la luz de ciertos metales. Debido a que las partculas cargadas negativamente

aparecen muchos experimentos todos son caracterizados por el mismo valor de , inferimos que stas

partculas se encuentran naturalmente en toda la materia y que ellas son de la misma clase. Tales partculas se

denominan electrones y su valor medido para , es

111,76.10 electrones /kg

q

m (1.9)


En el ao 1909 Robert Millikan (1868-1953), ideo un ingenioso mtodo para determinar la carga del electrn

mediante mediciones directas de la fuerza elctrica- El mtodo consiste en la pulverizacin de pequeas gotas de

aceite (dimetro de alrededor de 10-6 m), dentro del espacio comprendido entre dos placas metlicas. Uno o ms

electrones, obtenidos mediante la perturbacin del aire circundante con los rayos X, pueden entonces llegar a

adquirir la carga Q. Mediante la aplicacin de una diferencia de potencial conveniente entre las placas podremos

mantener una de estas partculas entre las placas (ver la figura 1.6). Este experimento se denomina experimento

de Millikan para una gota de aceite. Bajo las condiciones de este experimento, conocemos que la fuerza total

sobre la gota puede ser cero, es decir, que , donde es la fuerza elctrica sobre la gota cargada

debido a las cargas en las placas y es la fuerza gravitacional. Es decir conociendo la fuerza gravitacional se

puede hallar la fuerza elctrica y medir de este modo su carga Q.

Los experimentos muestran que la medicin de la carga total Q de cualquier gota es siempre un mltiplo entero

de alguna carga inferior q, es decir donde N es un nmero entero. Este resultado se espera si cada

electrn tiene una carga q y hay N electrones adjuntos a la gota. Las mediciones de q por tanto, muestran que el

valor de la carga del electrn es

191.6.10q e C

(1.10)

Conociendo la carga del electrn se puede utilizar la relacin (1.9) para determinar la masa de dicha partcula,

obtenindose un valor de

319,11.10m kg

(1.11)

Figura 1.6 Experimento de Millikan para verificar la cuantizacin de la carga

1.5 CONSERVACIN DE LA CARGA ELCTRICA

Cuando dos cuerpos se encuentran en ntimo contacto, como ocurre al frotarlos entre s, los electrones son

transferidos de un objeto a otro. Un objeto queda con un nmero en exceso de electrones siendo en esta

condicin su carga negativa y el otro objeto queda con un dficit de electrones siento en este cao su carga

positiva. Durante este proceso la carga no se crea ni se destruye, sino simplemente se transfiere. La carga neta

del sistema formado por los dos cuerpos no cambia. Es decir, la carga del sistema se mantiene constante. En la

actualidad se ha encontrado que el principio de conservacin de la carga siempre es cierto, an bajo condiciones

extremas donde las partcula son creadas o destruidas. Por ejemplo, lo rayos x, los cuales no estn cargados,

pueden crear pares de partculas consistentes en un electrn y un positrn, pero se encuentra que la carga q = e

del positrn es igual y opuesta a la carga q = - e del electrn. Por lo tanto la carga total del sistema sigue siendo

igual a cero como lo era antes de la creacin de dichas partculas.


Ejemplo 01. Transferencia de carga.

Suponga que una barra de goma no cargada es frotada con un pedazo de lana tambin no cargada tal como se

muestra en la figura 1.7. Entonces la carga total en la regin conteniendo la barra y la lana es cero. Despus de

haberse cargado los cuerpos existe una transferencia de carga de un cuerpo hacia otro en este caso los electrones

son transferidos de la lana a la barra de goma, entonces la carga neta del sistema sigue siendo cero. As la suma

de las cargas QG en la barra y la carga QL de la lana es siempre igual acero, es decir . Por tanto

, de tal forma que la barra y la seda tengan cargas de igual magnitud pero diferentes signos.

Figura 1.7 Transferencia de carga negativa desde un trozo de lana hacia una varilla de goma.

1.6 CUANTIZACIN DE LA CARGA

Aun cuando, cada uno de los tomos o molculas contiene electrones, las mediciones precisas muestran que su

carga total es cero. Entonces, un tomo o una molcula pueden contener partculas cargadas positivamente

teniendo una carga total positiva igual en magnitud a la carga negativa total de todos sus electrones.

Por ejemplo, el tomo de hidrgeno est compuesto simplemente por un electrn y otra partcula fundamental

llamada protn. Las propiedades del protn son muy deferentes de aquellas que tiene el electrn; por ejemplo, la

masa del protn es alrededor de 1800 veces mayor que la del electrn. Pero debido a que la carga total del tomo

de hidrogeno es cero, la suma de la carga del protn qp y la carga e del electrn es tambin nula esto decir,

. As, , tal que el protn tiene una carga positiva igual en magnitud a la del

electrn, an cuando la otras propiedades del protn son muy diferentes de la del electrn. Debe sealarse

adems que en la naturaleza existen muchas otras clases de partculas atmicas. Por ejemplo, el ncleo de

tomos ms complicados consta de protones y partculas sin carga denominados neutrones. Adems existen

otras partculas elementales (designadas con el nombre de mesones e hiperones) los cuales tienen masas

diferentes y tiempos de vida entre su creacin y su decaimiento hacia partculas ms estables extensamente

diferentes. Sin embargo, cada una de estas partculas tiene una carga q la cual es siempre un mltiplo entero de

la carga del electrn e (tal que , donde N es algn entero el cual puede ser positivo, negativo o nulo).

As, llegamos a enunciar el principio de cuantizacin de la carga en la forma siguiente.

En la naturaleza, la carga de cualquier cuerpo se presenta en forma de paquetes

discretos o cuantos, es decir la carga siempre es igual a un mltiplo entero de la

carga del electrn.

q Ne (1.12)

Donde, N es un entero y e es la carga del electrn.

1.7 MATERIALES CONDUCTORES Y AISLANTES O DIELCTRICOS.

Hemos observado en las secciones anteriores que, en general todos los cuerpos estn formados por una enorme

cantidad de tomos los que estn compuestos por partculas cargadas (protones y electrones) y partculas no


cargadas (neutrones). Cada uno de estos cuerpos estn, sin embargo, ordinariamente no cargados o elctricamente neutros (es decir, su carga total es cero) debido a que la carga total de las partculas cargadas positivamente en el cuerpo es igual en magnitud a la carga total de las partculas cargadas negativamente. Pero

cuando un cuerpo gana o pierde alguna partcula cargada debido a la transferencia de algn otro cuerpo, puede

adquirir un exceso leve de carga de otro signo. Entonces, la carga total del objeto no es ms igual a cero, en estas

condiciones se dice que el cuerpo est cargado.

Para facilitar la discusin cualitativa de los cuerpos cargados, podemos utilizar diagramas en los cuales se

representan las cargas positivas mediante el signo ms (+) y las cargas negativas con el signo menos (-). Cada

signo ms representa una cantidad de carga neta localizada cerca del signo ms. (Esta carga es la carga positiva

en exceso debido a muchsimas partculas atmicas cargadas, de ambos signos, localizadas en la regin cercana

al signo ms. Similarmente cada signo menos representa la cantidad neta de carga negativa localizada cerca al

signo menos. (Esta carga es exceso de carga negativa debido a muchsimas partcula atmicas cargadas, de

ambos signos, localizadas en la regin cercana al signo menos). Las partculas atmicas en un material pueden

estar fijas en una posicin o ser completamente libres de moverse. Por lo tanto, es muy til distinguir las

siguientes clases de materiales.

1.7.1 Materiales aislantes o dielctricos.

Decimos que un material es aislante si ste posee partculas atmicas cargadas las cuales pueden

moverse muy levemente desde sus posiciones normales.

1.7.2 Materiales conductores.

Un material es conductor cuando contiene partculas atmicas cargadas las cuales pueden moverse

libremente a travs del material

Los materiales tales como: plsticos, caucho, o aceites en general son buenos aislantes. Es decir, si las partculas

atmicas cargadas son colocadas en un dielctrico, estas partculas permanecern en el lugar en donde se le

coloc, pudindose mover muy levemente cuando se les aplica fuerzas elctricas externas.

En los conductores las partculas atmicas cargadas mviles pueden ser los electrones o los iones (es decir, los tomos que han perdido o ganado uno o ms electrones). Los metales son buenos conductores debido a que estos

contienen electrones de valencia que por estar muy alejados del ncleo se les considera libres y pueden moverse

a travs de la estructura cristalina cuando el cuerpo es sometido a perturbaciones elctricas. Debe observarse

adems que los iones positivos se mantienen fijos en sus posiciones dentro de la estructura cristalina. Por otro

lado, las soluciones electrolticas (tales como la solucin de NaCl en agua) son buenos conductores debidos a

que contienen iones positivos o negativos los mismos que pueden moverse libremente dentro de la solucin (por

ejemplo los iones Na+ y Cl-).

Aun cuando, las partculas cargadas mviles en un conductor son libres de moverse a travs del conductor, ellos

estn ordinariamente unidos dentro del conductor por fuerzas las cuales previenen su escape a travs de su

superficie. Sin embargo, las partculas cargadas mviles pueden desplazarse libremente entre dos conductores

los cuales mantiene un buen contacto.

En un conductor aislado las partculas mviles cargadas continan movindose y colisionando con tomos

estacionaros de la estructura hasta que su velocidad promedio se reduce a cero. En esta situacin, llamada de

equilibrio, las partculas cargadas pueden entonces ser distribuidas a travs de los conductores en aquellos

lugares en los que la fuerza total es nula.

Debido a que las cargas se repelen entre s, las partculas cargadas mviles en un conductor aislado tienden a

moverse hasta ubicarse lo ms alejadas posible una de la otra. En el estado de equilibrio final, ellas tienden por

tanto a ser ubicadas en la superficie del conductor. Por ejemplo, si son aadidos electrones extras a un cuerpo

metlico aislado (ver figura 1.8a), estos electrones se repelen movindose hacia la superficie del conductor.

Entonces la carga negativa total del metal en equilibrio electrosttico es distribuida sobre su superficie, como lo

muestra la figura 1.8b. Similarmente, si los electrones son removidos del metal, mediante el aadido de carga


positiva (figura 1.8c), los electrones remanentes son atrados hacia los iones positivos en el interior del metal,

aprecindose de este modo un exceso de iones positivos en el interior del metal. Entonces la carga positiva total

es distribuida en la superficie (figura 1.8d).

Figura1.8 (a) Instante en que se aade carga negativa a un conducto esfrico, (b) Distribucin superficial

de la carga en el conductor en equilibrio electrosttico (d) instante en que se aade carga positiva

al conductor, (d) distribucin de la carga en el conductor

1.8 TRANSFERENCIA DE CARGA.

1.8.1 Electrizacin por frotamiento.

Cuando a un cuerpo se le dota de propiedades elctricas se dice que ha sido electrizado o cargado. La

electrizacin por frotamiento (figura 1.9) ha permitido a travs de un conjunto de experiencias fundamentales y

de su interpretacin de las mismas, sentar las bases de la electrosttica.

Figura 1.9 Electrizacin por frotamiento, la fotografa muestra la frotacin de una barra de caucho con

un trozo de piel

Si una barra de mbar (de caucho o de plstico) se frota con un pao de lana, se electriza. Lo mismo sucede si

una varilla de vidrio se frota con un pao de seda. Aun cuando ambas barras pueden atraer objetos ligeros, como

hilos o trocitos de papel la propiedad elctrica adquirida por frotamiento no es equivalente en ambos casos. As

puede observarse que dos barras de mbar electrizadas se repelen entre s (vase la figura 1-10a) y lo mismo

sucede en el caso de que ambas sean de vidrio (vase la figura 1.10b). Sin embargo, la barra de mbar es capaz

de atraer a la de vidrio y viceversa (vase la figura 1.10c).


(a) (b) (c)

Figura 1.10. (a) repulsin entre dos varillas de plstico; (b) repulsin entre dos varillas de vidrio

cargadas positivamente; (c) atraccin entre una varilla de vidrio cargada positivamente y

una de plstico cargada negativamente

Este tipo de experiencias llev a W. Gilbert a distinguir, por primera vez, entre la electricidad que adquiere el

vidrio y la que adquiere el mbar. Posteriormente B. Franklin, al tratar de explicar los fenmenos elctricos

como un fluido sutil, denomin a la electricidad que aparece en el vidrio cuando ste se frota con seda,

electricidad positiva y a la que aparece en el mbar cuando ste se frota con lana, electricidad negativa. Las

experiencias de electrizacin permitieron llegar a la conclusin de que:

Cargas elctricas de distinto signo se atraen y Cargas elctricas de igual signo se repelen

La electrizacin por frotamiento se explica del siguiente modo: por efecto de la friccin los electrones externos

de los tomos del pao de lana son liberados y cedidos a la barra de mbar, con lo cual sta queda cagado

negativamente y aqul positivamente. En trminos anlogos puede explicarse la electrizacin del vidrio por la

seda. En cualquiera de estos fenmenos se pierde o se gana electrones, pero el nmero de electrones cedidos por

uno de los cuerpos en contacto es igual al nmero de electrones aceptados por el otro, de all que en conjunto no

haya produccin ni destruccin de carga. Esta es la explicacin, desde la teora atmica, del principio de

conservacin de la carga elctrica.

Actualmente, podramos elaborar una lista de materiales que pueden ser electrizados por frotamiento. Un

material ser electrizado positivamente al frotarlo con otro que figura de l en la lista.

1. Vidrio 5. Algodn 10. Metales

2. Mica 6. Madera 11. Azufre

3. Lana 7. mbar 12. Celuloide

4. seda 8. Resinas

1.8.2 Electrizacin por contacto.

Cuando un cuerpo cargado elctricamente se pone en contacto con otro inicialmente neutro, puede

transmitirle sus propiedades elctricas. Este tipo de electrizacin denominada por contacto se caracteriza porque

es permanente y se produce tras un reparto de carga elctrica que se efectuar en una proporcin que depende de

la geometra de los cuerpos y de su composicin.

La electrizacin por contacto es considerado como la consecuencia de un flujo de cargas negativas de un cuerpo

a otro. Si el cuerpo cargado es positivo es porque sus correspondientes tomos poseen un defecto de electrones,

que se vern en parte compensados por la aportacin del cuerpo neutro cuando ambos entran en contacto. El

resultado final es que el cuerpo cargado se hace menos positivo y el neutro adquiere carga elctrica positiva.

An cuando en realidad se haya trasferido electrones del cuerpo neutro al cargado positivamente, todo sucede

como si el primero hubiese cedido parte de su carga positiva al segundo. En el caso de que el cuerpo cargado

inicialmente se negativo, la transferencia de carga negativa de uno a otro corresponde, en este caso, a una cesin

de electrones.


Para mostrar el proceso de carga consideremos una esfera conductora cargada positivamente y otra tambin

conductora inicialmente neutra, como se muestra en la figura 1.11

(a) (b)

Figura 1.11 (a) Esfera conductora con carga positiva, (b) esfera conductora neutra.

Si ahora se les pone en contacto ambas esferas conductoras, los electrones de la esfera neutra fluirn de la esfera

neutra a la cargada debido a la atraccin electrosttica como se muestra en la figura 1.12a, la transferencia de

carga termina cuando ambas alcanzan el mismo potencial. Para la geometra utilizada en el ejemplo se cumpla

que

1 2

2 2

1 2

Q Q

R R (1-13)

Finalmente, despus de cierto tiempo, una vez alcanzado el equilibrio electrosttico, las esferas son separadas

observndose que han adquirido cargas Q1 y Q2, respectivamente tal como se muestra en las figura 1.12b.

(a) (b)

Figura 1.12 Electrizacin por contacto (a) Transferencia de carga (electrones) de la esfera neutra a la

cargada; (b) Esferas cargadas separadas despus de mantenerlas en contacto cierto tiempo

1.8.3 Electrizacin por influencia o induccin.

Existe, no obstante, la posibilidad de electrizar un cuerpo neutro mediante otro cargado sin ponerlo en

contacto con l. Se trata, en este caso, de una electrizacin a distancia denominada, por influencia o por

induccin. Si el cuerpo cargado lo est positivamente, la parte del cuerpo neutro ms prximo se cargar con

electricidad negativa y la opuesta con electricidad positiva. La formacin de estas dos regiones o polos de

caractersticas elctricas opuestas hace que a la electrizacin por influencia se la denomine tambin polarizacin

elctrica. A diferencia de la anterior, este tipo de electrizacin es transitoria y dura mientras el cuerpo cargado

se mantenga suficientemente prximo al neutro.

La electrizacin por influencia es un efecto de las fuerzas elctricas. Debido a que stas se ejercen a distancia,

un cuerpo cargado positivamente en las proximidades de otro neutro atrae hacia s a las cargas negativas, con lo

que la regin prxima queda cargada negativamente. Si el cuerpo cargado es negativo entonces el efecto de


repulsin sobre los electrones atmicos convertir a esta zona en positiva. En ambos casos, la separacin de

cargas inducidas por las fuerzas elctricas es transitoria y desaparece cuando el agente responsable se aleja

suficientemente del cuerpo neutro.

Para ilustrar este fenmeno consideremos dos esferas metlicas neutras en contacto como se ve en la figura

1.13a. Al acercar a una de las esferas una barra cargada positivamente, los electrones libres fluyen hasta

ubicarse como se muestra en la figura 1.13b, quedando una de las esferas con carga positiva y la otra con carga

negativa. Si las esferas se separan antes de retirar la barra (figura 1.13c), quedarn cargadas con cargas iguales y

opuestas (figura 1.13d). Un resultado anlogo se obtiene si se remplaza la barra cargada positivamente por otra

cargada negativamente. En ambos casos las esferas se han cargado sin ponerlas en contacto con la barra cargada.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 1.13 Electrizacin por induccin. (a) esferas conductoras neutras en contacto, (b) polarizacin

de las esferas debido al acercamiento de la barra cargada positivamente, (c) separacin de

las esferas en presencia de la barra cargada y (d) alejamiento de la barra inductora.

CONEXIN A TIERRA

Cuando un conductor se pone en contacto con el suelo se dice que est conectado a tierra. Esto se representa

mediante un cable de conduccin que une al cuerpo conductor con la tierra (ground) como se muestra en la

figura 1.13c. Este tipo de coneccin tambin se puede utilizar para electrizar un cuerpo por induccin.

Para mostrar el fenmeno consideremos en primer lugar una esfera conductora descargada soportada por un

material aislante (figura 1.14a). A continuacin acerque a la esfera una barra cargada negativamente, se

producir entonces una polarizacin de la esfera conductora es decir los electrones libres sern atrados al lado

prximo de la barra, dejando el extremo opuesto con carga negativa (figura 1.14b). Si ahora el lado derecho de

la esfera se conecta a tierra con un alambre delgado los electrones viajaran hasta la tierra quedando dicho lado

sin carga (figura 1.14c). Posteriormente si interrumpimos la conexin a tierra (figura 1.14d) la esfera quedar

cargada positivamente. Finalmente si se aleja la barra inductora la carga de la esfera se distribuir en la

superficie como se muestra en la figura 1.14e. Un resultado anlogo se obtiene si se utiliza una barra inductora

negativa (Explique cualitativamente lo sucedido).


Figura 1.14 Electrizacin por induccin utilizando conexin a tierra. (a) Esfera metlica inicialmente

descargada; (b) acercamiento de la barra inductora hacia la esfera para producir la

polarizacin; (c) Conexin de la esfera con la tierra mediante un hilo conductor (los

electrones viajan a tierra); (d) retiro de la conexin a tierra en presencia del inductor, (e)

Esfera conductora cargada positivamente.

EL ELECTROSCOPIO

En la figura 1.15, se muestra un electroscopio el cual consta de dos lminas delgadas de oro o aluminio que

estn fijas en el extremo de una varilla metlica que pasa a travs de un soporte de ebonita, ambar o azufre y se

usa para la deteccin de la carga elctrica. Cuando se toca la bola del electroscopio con un cuerpo cargado, las

hojas adquieren cargas del mismo signo y se repelen siendo su divergencia una medida de la cantidad de carga

que ha recibido. La fuerza de repulsin electrosttica se equilibra con el eso de las hojas

Figura 1.15. Electroscopio utilizado en la deteccin de cargas elctricas

1.9 LEY DE COULOMB

An cuando los fenmenos electrostticos fundamentales eran ya conocidos en la poca de Charles A Coulomb

(1736-1806), no se conoca an la funcin en la que esas fuerzas de atraccin y de repulsin variaban. Fue este

fsico francs quien utilizando una balanza de torsin (Figura 1.16a y 1.16c) y utilizando un mtodo de medida

de fuerzas sensible a pequeas magnitudes lo aplic al estudio de las interacciones entre pequeas esferas

dotadas de carga elctrica. El resultado final de esta investigacin experimental fue la formulacin de la ley que

lleva su nombre y que describe las caractersticas de las fuerzas de interaccin entre cuerpos cargados y en

reposo (o con movimiento muy pequeo)

(a) (b) (c)


Fig. 1.16 (a) Diagrama de la balanza de torsin; (b) Fotografa de Charles A. Coulomb; (c)

Fotografa de la balanza de torsin

1.9.1 Enunciado de la ley de Coulomb

En el experimento de Coulomb, las esferas cargadas tenan dimensiones mucho menores que la

distancia entre ellas de modo que podan considerase como cargas puntuales. Los resultados de sus

experimentos muestran que la fuerza elctrica entre cargas puntuales tiene las siguientes propiedades.

a. La magnitud de la fuerza elctrica es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de separacin r entre las dos partculas cargadas, medida a lo largo de la lnea que las une.

b. La magnitud de la fuerza elctrica entre las cargas puntuales q1 y q2 es proporcional al producto de las cargas,

c. La magnitud de la fuerza elctrica entre las partculas cargadas no depende de la masa ni del volumen d. La fuerza elctrica es repulsiva si las cargas tienen el mismo signo y es atractiva si tienen signos opuestos. e. La fuerza elctrica depende del medio que rodea a las cargas.

En trminos matemticos, la magnitud de la fuerza que cada una de las dos cargas puntuales q1 y q2, separadas

una distancia r, se ejercen est dada por

1 2

2

q qF k

r (1.14)

Donde k es una constante de proporcionalidad cuyo valor depende del sistema de unidades. La constante k en el

SI de unidades tiene el valor de

9 2 2 9 2 28,987551787.10 . / 9.10 . /k N m C N m C (1.15)

Por otro lado, la constante k tambin puede expresarse mediante la ecuacin

0

1

4k

(1.16)

Donde 0 se conoce como permisividad del medio vaco cuyo valor es

12 2 2

08.854.10 /C Nm (1.17).

Debe recordarse que cuando se aplica la ley de Coulomb la fuerza es una magnitud vectorial y como tal tiene un

mdulo, una direccin y sentido. La fuerza elctrica 12

F ejercida por la carga q1 sobre la carga q2 se expresa en

la forma

1 2

12 2

0

1

4

q qF r

r (1.18)

Donde 2 1

2 1

r r

rr r

, es un vector unitario dirigido desde la carga q1 hacia la carga q2. La representacin de

dicha fuerza para ambas interacciones se da en la figura 1.17a y 1.17b


(a) (b)

Figura 1.17. (a) Fuerzas elctricas entre cargas del mismo signo (repulsin), (b) Fuerzas elctricas

entre cargas de signo opuesto (atraccin).

Debido a que la ley de Coulomb cumple con la tercera ley de Newton, la fuerza elctrica ejercida por la carga q2

sobre la carga q1 es igual en mdulo a la fuerza ejercida por q1sobre q2 pero de sentido opuesto, es decir

12 21F F (1,19)

A veces es necesario una expresin que simplifique las situaciones anteriores para ello la ley de Coulomb se

escribe en la forma

1 2

12 3

0

1

4

q qF AP

AP

(1.20)

Donde AP es un vector dirigido desde la carga q1 hacia la carga q2 (vase la figura 1.18)

Fig. 1.18 Fuerza elctrica de atraccin entre cargas del mismo signo en donde se muestra el vector

1.9.2 Principio de superposicin

Cuando se tiene un sistema compuesto por n cargas puntuales tal como se muestra en la figura 1.19, la

fuerza elctrica sobre la carga i-sima (qi) debido a las dems cargas se obtiene sumando vectorialmente las

fuerzas que cada una de ellas ejerce sobre la i-sima, es decir


1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 22 2 2 2

0 1 0 2 0 0

.... .......

1 1 1 1 ..... .....

4 4 4 4

i i ij in

i i ij in

i i ij in

F F F F F

q q q q q q q qF r r r r

r r r r

1 2 1 2

32

0 0

1 1 ( )

4 4

n n

ij i j

j i j iiji j

q q q qF r r r

r r r

(1.21)

Donde ij

r , es un vector unitario dirigido desde la carga qj a la carga qi.

Fig. 1.19 Aplicacin del principio de superposicin

1.9.3 Distribucin continua de carga.

1.9.3.1 Distribucin lineal de carga.

Decimos que un cuerpo presenta una distribucin lineal de carga, cuando sobre ste ha sido distribuida

una carga en forma homognea o heterognea en toda su longitud (figura 1.20). La densidad lineal de carga

q r se expresa como la carga por unidad de longitud, esto es.

0( ) lim

qL

q dqr

L dL

(1.22)

Para evaluar la fuerza elctrica ejercida por la distribucin lineal de carga sobre una carga puntual Q, se divide a

la distribucin de carga en elementos diferenciales de carga dq y se determina la fuerza que produce dq sobre Q,

es decir

3

0

1

4

QdqdF AP

AP (1.23)


Fig. 1.20 Fuerza elctrica debido a una distribucin lineal

Remplazando la ecuacin (1.22) en (1.23), tenemos

3

0

( )1

4

qQ r dL

dF AP

AP

(1.24)

La fuerza elctrica resultante sobre Q debido a la distribucin lineal se obtiene integrando la ecuacin (1.24),

esto es

3

0

( )

4

qr dLQ

F dF AP

AP

(125)

1.9.3.2 Distribucin superficial de carga.

Se dice que un cuerpo presenta una distribucin superficial de carga, cuando sobre su superficie ha

sido distribuida homogneamente o heterogneamente una carga q, con una densidad superficial de carga

q r , expresada como la carga por unidad de rea, esto es

0( ) lim

qA

q dqr

A dA

(1.26)

Para evaluar la fuerza elctrica ejercida por la distribucin superficial de carga sobre una carga puntual Q, se

divide a la distribucin de carga en elementos diferenciales de carga dq y se determina la fuerza que produce dq

sobre Q, es decir.

3

0

1

4

QdqdF AP

AP (1.27)

Fig. 1.21 Fuerza elctrica debido a una distribucin superficial


3

0

( )1

4

qQ r dA

dF AP

AP

(1.28)


La fuerza elctrica resultante sobre Q debido a la distribucin superficial se obtiene integrando la ecuacin

(1.21), esto es

3

04

q

A

r dAQF dF AP

AP

(1.29)

1.9.3.3 Distribucin volumtrica de carga.

Se dice que un cuerpo presenta una distribucin volumtrica de carga, cuando sobre su volumen ha sido

distribuida homogneamente o heterogneamente una carga q, con una densidad superficial de carga q r , expresada como la carga por unidad de volumen, esto es

0( ) lim

qV

q dqr

V dV

(1.30)

Para evaluar la fuerza elctrica ejercida por la distribucin volumtrica de carga sobre una carga puntual Q

(figura 1.21), se divide a la distribucin de carga en elementos diferenciales de carga dq y se determina la fuerza

que produce dq sobre Q, es decir.

3

0

1

4

QdqdF AP

AP (1.31)


3

0

( )1

4

qQ r dV

dF AP

AP

(1.32)

Fig. 1.22 Fuerza elctrica debido a una distribucin volumtrica

La fuerza elctrica resultante sobre Q debido a la distribucin superficial se obtiene integrando la ecuacin

(1.32), esto es

3

0

( )

4

q

V

r dVQF dF AP

AP

(1.33)


10 PROBLEMAS DE APLICACIN

Problema 01.

Cul es la carga total de 75 kg de electrones?.

Solucin

La masa de un electrones 9,11.10-31 kg, as que una

masa M = 75 kg contiene

31

31

758, 23.10

9,11.10e

M kgN electrones

m kg

La carga de un electrn es , de tal

manera que la carga total de N electrones es

31 19

3

( ) (8, 25.10 )( 1,6.10 )

1,32.10

Q N e C

Q C

Problema 02

(a) Cuantos electrones podran ser removidos de un

peine para dejarlo con una carga de C?

(b) A qu fraccin de electrones en el peine corresponde esto?. Asumir que el peine est hecho

ntegramente de cobre y tiene una masa de 3,11 g.

Solucin

(a) Sabemos que cada electrn removido del peine

tiene una carga . Entonces

para dejarlo al peine con la carga C,

necesitamos remover N electrones, donde N es:

7

19

11

1,0.10

1,6.10

6, 2.10

total

e

q CN

q C

N electrones

(b) Para responder esta parte, necesitamos el nmero total de electrones en un peine neutro; para

encontrar ste, necesitamos encontrar el nmero de

tomos de cobre en el peine y usar el hecho de que

cada tomo neutro contiene 29 electrones. Para


obtener los moles de tomos de cobre dividimos su

masa entre el peso atmico del cobre.

2

3,11

63,54 /

4,89.10

Cu

Cu

Cu

Cu

m gn

M g mol

n mol

El nmero de tomos de cobre ser

2 23

22

(4,89.10 )(6,022.10 / )

2,95.10

Cu Cu A

Cu

N n N mol atomos mol

N tomos

Y el nmero de electrones en el peine fue

(originalmente) 29 veces este nmero, entonces.

22 23

29 29(2,95.10 ) 8,55.10e Cu

N N electrones

La fraccin de electrones removidos

correspondiente es

11

23

13

6, 2.10

8,55.10

7,3.10

e

N electronesf

N electrones

f

Problema 03

Durante la fisin nuclear, un ncleo de uranio 238, el

cual contiene 92 protones, se divide en dos pequeas

esferas, cada una con 46 protones y un radio de 5,9.10-15

m. Cul es la magnitud de la fuerza elctrica repulsiva

que impulsan la separacin

Solucin

La figura bsica del ncleo despus de la fisin se

muestra en la figura. Asumiendo que los bordes de las

esferas estan en contacto justo despus de la fisin.

Ahora, ello es cierto que la ley de Colulomb solamente

se aplica a masas puntuales, pero parece rasonable

tomar la distancia de separacin r entre las esferas como

la distancia entre sus centros. (Este procedimiento es

exactamente correcto para fuerzas gravitacionales entre

dos cuerpos esfricos, y debido a que la ley de Coulomb

esotra fuerza que depende del inverso al cuadrado en

nuestro ejemplo nos parece correctas las asumciones

La carga de cada esfera ser

19 1846(1,602.10 ) 7,369.10q Ze C C

La separacin de los centros de las esferas es 2R,

entonces la distancia a usar en la ley de Coulomb es

15 142 2(5,9.10 ) 1,18.10r R m m

La magnitud de las fuerzas entre las dos esferas

cargadas sera

18 21 2 9 2 2

2 14 2

3

(7,369.10 )9.10 . /

(1,18.10 )

3,15.10

q q CF k N m C

r m

F N

La fuerza entre dos fragmentos de la fusin tiene una

magnitud de 3,5.103 N, y es una fuerza repulsiva debido

a que los fragmentos son positivos.

Problema 04

Dos pequeas esferas cargadas positivamente tienen

una carga combinadade 5.10-5 C. si cada una de las

esferas son repelidas por una fuerza electrosttica de 1

N cuando las esferas etn separadas 2 m. Cul ser la

carga de cada una de las esferas.

Solucin

Debido a que en el enunciado no se dan las cargas

individules, asumimos que ellas son q1 y q2. La

condicin sobre la carga combinada de las esferas es

5

1 25.10q q C

(a)

La siguiente condicin involucra a la fuerza

electrosttica, y de este modo a la ley de Coulomb, la

cual considera el valor absoluto de las cargas de tal

manera que debemos tener cuidado con el uso del

algebra, pero en este caso conocemos que ambas cargas

son positivas debido a que su suma es positiva y ellas

experimentarn una repulsin. As, tememos

1 2 1 2

2 2

q q q qF k k

r r (b)

Como conocemos k y r, el producto de las cargas es

2 2

1 2 9 2 2

4 (1,0 )

9.10 . /

r F m Nq q

k N m C

10 2

1 24,444.10q q C

(c)

Despejando q2 de la ecuacin (a) se tiene


5

2 15.10q C q

(d)

Sustituyendo la ecuacin (d) en (c) se tiene

5 10 2

1 1(5.10 ) 4, 444.10q C q C

La cual da una ecuacin cuadrtica

2 5 10

1 15.10 4,444.10 0q q

La solucin de dicha ecuacin permite obtener dos

valores posibles para q1, esto es

5 2 101

5

1 5

5.10 5.10 4 4, 444.10

2

3,84.10

1,16.10

q

Cq

C

Remplazando estos psibles valores en la ecuacin (d) se

tiene

5 5 5

1 2 1

5 5 5

1 2 1

3,84.10 5.10 1,16.10

1,16.10 5.10 3,84.10

q C q C q C

q C q C q C

Problema 05

Dos esferas conductoras idnticas, fijas en un lugar,

atraen una a la otra con una fuerza electrosttica de

0,108 N cuando estn separadas por 50 cm, de centro a

centro. Las esferas son entonces conectadas mediante

un hilo conductor. Cuando el hilo conductor es

removido las esferas se repelen con una fuerza

electrosttica de 0,360 N. Cules fueron las cargas

iniciales de las esferas?.

Solucin

La configuracin inicial de las esferas es mostrado en la

figura (a).

Asumimos que las cargas en las esferas son q1 y q2. Si

la fuerza de atraccin entre ellas tiene la magnitud de

0,108 N, entonces la ley de Coulomb se escribe

1 2 1 29 2 2

2 2

12 2

1 2

9.10 / 0,108(0,5 )

3.10

q q q qF k Nm C N

r m

q q C

Pero debido a que se conoce que las cargas se atraen un

a otra, entonces se conoce que q1 y q2 tienen signo

opuesto y su producto puede ser negativo. De esta

forma se elimina el valor absoluto si consideramos el

signo correspondiente, es decir

12 2

1 23.10q q C

(b)

Cuando las dos esferas son conectadas mediante el hilo

conductor (figura b). La carga es libre para

redistribuirse entre las dos esferas y debido a que ellas

son idnticas la carga total en exceso (q1 + q2) puede ser

eventualmente dividida entre las dos esferas. Si ahora la

nueva carga en cada esfera es Q, entonces tenemos

1 22Q Q Q q q (c)

La fuerza de repulsin entre ambas esferas es ahora

0,036 N, tal que

2 2

9 2 2

2 29.10 / 0,036

(0,5 )

Q QF k Nm C N

r m

De donde obtenemos

61,00.10Q C

(d)

Remplazando este valor en la ecuacin (c), se tiene

6 6

1 22 2( 1,00.10 ) 2,0.10q q Q C C

Esta ecuacin indica que existen dos valores posibles

para q1 y q2.

Primero usamos el signo positivo, entonces se tiene

6

2 12.10q q

(e)

Remplazando la ec. (e) en (b), se tiene

6 12 2

1 1(2.10 ) 3.10q q C

2 6 12

1 12.10 3.10 0q q

(f)

Resolviendo la ecuacin cuadrtica resulta, tenemos

6 6

1 13.10 o 1.10q C q C

(g)

Al sustituir estos valores en la ecuacin (e) resulta


6 6

2 21.10 o 3.10q C q C

Pero estos valores en realidad son los mismos. Por tanto

una carga es de -1 C y la otra es de 3 C.

Primero usamos el signo negativo, entonces se tiene

6

2 12.10q q

(e)

Remplazando la ec. (e) en (b), se tiene

6 12 2

1 1( 2.10 ) 3.10q q C

2 6 12

1 12.10 3.10 0q q

(f)

Resolviendo la ecuacin cuadrtica resulta, tenemos

6 6

1 13.10 o 1.10q C q C

(g)

Al sustituir estos valores en la ecuacin (e) resulta

6 6

2 21.10 o 3.10q C q C

Pero estos valores en realidad son los mismos. Por tanto

una carga es de -1 C y la otra es de +3 C.

Por tanto concluimos que existen dos distintas

posibilidades para las cargas iniciales q1 y q2. Ellas son

1 y 3

1 y -3

C C

y

C C

Problema 06.

Las cargas y coordenadas de dos partculas cargadas

fijas en el plano xy son: q1 = +3.0 C, x1 = 3,50 cm, y1 = 0,50 cm, y q2 = - 4.0 C, x1 = -2 cm, y2 = 1,50 cm. (a) Encontrar la magnitud y direccin de la fuerza

electrosttica sobre q2. (b) Donde podra Ud. localizar

una tercera carga q3 = +4 C tal que la fuerza electrosttica sobre q2 sea nula.

Solucin.

(a) En la figura se muestra la grafica de la ubicacin de las cargas

La fuerza elctrica sobre la carga q2 es

1 2

12 3

6 69

12 32 2

(3.10 )(4.10 )9.10 (0,055 0,01)

0,055 0,01

q qF k BA

BA

F i

121,925 0,35F i j

El mdulo de la fuerza ser

1235F N

Su direccin ser

0,0110,3

1,925tg

(b) Para localizar la tercera carga se traza el dibujo mostrado

La fuerza atractiva entre las cargas q3 y q2 tiene

que tener el mismo mdulo que la fuerza entre q1 y

q2 para que esta ltima este en equilibrio, entonces

tenemos

6 6

3 2 9

32 2 2

(4.10 )(4.10 )9.10 13

( ') ( ')

' 6, 4

q qF k N

r r

r cm

Esta es la distancia de q3 a q2 y su direccin ser

' 180 10,3 169,7

El desplazamiento de la carga q3 respecto a la

carga q2 es

' cos ' (6, 45 ) cos169,7 6,35

' ' (6, 45 ) 169,7 1,15

x r cm cm

y r sen cm sen cm

Por lo tanto las coordenadas de ubicacin de q3

son


3 2

3 2

2 6,35 8,35

1,5 1,15 2,65

x x x cm cm cm

y y y cm cm cm

Problema 07

Tres cargas puntuales idnticas, cada una de masa m =

100 g se encuentran suspendidas de hilos, como se ve

en la figura. Si la longitud de cada hilo de las cargas en

el extremo es L = 30 cm y el ngulo = 45. Determine el valor de la carga q.

Solucin

En primer lugar se traza el diagrama de cuerpo libre de

la esfera izquierda, en el se observa que acta el peso

(mg), la tensin en el hilo (T) y las fuerzas

electrostticas que ejerce la carga ubicada en medio

(Fm) y la ejercida por la esfera situada a la derecha (FD)

Para aplicar la ley de coulomb se necesita las distancia

entre la carga en estudio y las dems cargas, de la

geometra se tiene.

1

2 1

0,3 45 0, 212

2 2(0, 212 ) 0, 424

r Lsen sen m

r r m m

Entonces las fuerzas elctricas pueden escribirse en la

forma

2 2

2 2

1

2 2

2 2

2

0, 212

0, 424

C

D

q qF k k

r

q qF k k

r

Aplicando las ecuaciones de equilibrio en direccin

vertical se tiene

45 0 / cos 45

0,1(9,8) / cos 45

1,39

Tsen mg T mg

T

T N

Aplicando las ecuaciones de equilibrio en direccin

horizontal se tiene

2 2

2 2

2

2 2

2 12 2

0

45 0

45

1,39 450, 212 0, 424

1 11,39 45

0, 212 0, 424

3.93.10

1,98

x

C D

C D

F

Tsen F F

F F Tsen

q qk k sen

kq sen

q C

q C

Problema 08

Dos esferitas pequeas con cargas iguales y masas m se

suspenden de hilos de seda de longitud L a un mismo

punto, la distancia entre ellas es x


Aplicando la ecuacin de equilibrio en direccin

vertical, se tiene

0

cos 0

yF

T mg

/ cosT mg (1)

Aplicando la ecuacin de equilibrio en direccin

horizontal, se tiene

0

0

x

e

F

F Tsen

eF Tsen (2)

Al remplazar la ecuacin (1) en (2) se tiene

eF mgtg (3)

Debido a que x


Despejando la velocidad angular se tiene

2

3 3

04

gtg Q

Lsen mL sen

Problema 10

Una pequea cuenta de masa my carga +q est

restringida a deslizarse sin friccin a lo largo de la barra

delgada de longitud L. En los extremos de la barra

existe sendas cargas +Q fijas, como se muestra en la

figura.

a. Obtener una expresin para la fuerza elctrica sobre la carga q debido a las cargas Q en funcin de la

distancia x, donde x es la distancia medida desde el

punto medio de la barra.

b. Demuestre que si x


2

3

3

32

2 32

kqQ

mL

kqQ

T mL

El perodo T esta dado por

3

3

0

1

2 32

1

2 8

mLT

kqQ

mLT

qQ

Problema 11

Una barra no conductora de longitud L con una carga

por unidad de longitud y una carga total q est ubicado a lo largo del eje x, como se muestra en la

figura. Determine, la fuerza electrica sobre una carga

puntual Q ubicada en el origen de coordenadas

Solucin

Para evaluar la fuerza solicitada se divide la

distribucin de carga en elementos diferenciales (ver

figura) con carga dq y longitud dx, dado por

q dq

L dx

La fuerza producida por dq sobre Q ser y est dada

por

2( )Q dq

dF k ix

Remplazando (1) en (2) se tiene

2( )Q dx

dF k ix

La fuerza total se obtiene integrando la ecuacin

anterior, es decir

2

2

L a

a

L a

a

dxF k Q i

x

dxF k Q i

x

Evaluando la integral y aplicando los lmites se obtiene

( )

LF k Q i

a L a

Si se remplaza el valor de la densidad de carga en

funcin de la carga total q resulta

( )

( )

q LF kQ i

L a l a

qQF k i

a l a

Problema 12

La figura muestra un hilo infinito cargado con una

densidad de carga uniforme. Inicialmente se coloca en reposo una partcula cargada de masa m y carga Q en el

punto x = a, debido a la repulsin coulombiana llega al

punto x = 2a con una velocidad v. Determine en funcin de m, Q y v.

Solucin

En primer lugar se divide a la varilla en elementos de

carga dq y longitud dy como se muestra en la figura.

Este elemento tiene una carga dada por

dqdq dy

dy

(1)


Se calcula ahora la fuerza ejercida por dq sobre la carga

puntual Q ubicada a una distancia arbitraria x

3

2 2 3/ 2

( )( )

( )( )

( )

Q dydF k AP

AP

Q dydF k xi yj

x y

(2)

A partir de la simetra de la figura se observa que la

fuerza resultante debido a la varilla infinita sobre Q

debe estar dirigida a lo largo del eje x, es decir se

anular las componentes perpendiculares. Por tanto la

componente horizontal ser

2 2 3/ 2

( )

( )x

Q xdydF k i

x y

(3)

El fuerza elctrica resultante debido al hilo cargado

sobre la carga Q, para una distancia fija x es

2 2 3/ 2 2 2 3/ 2( ) ( )

x

kQxdy dyF i kQx i

x y x y

La integral se evala en la forma

2 2/ 2 / 2

2 2 2 3/ 2 2 3/ 2/ 2 0

2/ 2

2 3/ 20

/ 2

0

sec 2 sec

( ) (1 )

2 sec

(1 )

2cos

2

x

x

x

x

x d kQ dF kQx

x x tg x tg

kQ dF

x tg

kQF d

x

kQF

x

Ahora se aplica la segunda ley de Newton a la partcula

de masa m y carga Q, esto es

,

2

x x

e x

F ma

dvF mv

dx

kQ dvmv

x dx

Separando variables en esta ecuacin, tenemos

2 kQ dxvdv

m x

Integrando la ecuacin anterior y tomando los lmites

correspondientes, resulta

2

0

2v a

a

kQ dxvdv

m x

22

ln 22

v kQ

m

Despejando el valor de , se obtiene

2

0

ln 2

mv

Q

Problema 13

Un anillo circular delgado de radio R posee una

distribucin lineal de carga variable dada por

, como se muestra en la figura.

Determine la carga total del anillo.

Solucin

Para resolver el problema se divide a la distribucin de

carga en elementos diferenciales de carga dq y longitud

ds tal como se muestra en la figura.


De la definicin de densidad de carga lineal tenemos

0(1 cos )

q dqdq dS Rd

L dS

dq R d

Integrando la ecuacin anterior

2

00

2

00

2

0 0

0

(1 cos )

(1 cos )

2

Q dq R d

Q R d

Q R sen

Q R

Problema 13

Una esfera maciza, no conductora de radio a con una

cavidad esfrica de radio b, como se muestra en la

figura, tiene una distribucin de carga volumtrica

A r , donde A es una constante. Determine la carga que se encuentra en la esfera.

Solucin

Para solucionar el problema se divide a la esfera en

elementos diferenciales de carga en forma de corteza

esfrica de radio r y espesor dr como se ve en la figura.

La carga diferencial queda expresada como

2

3(4 )

4

r

Adq dV r dr

r

drdq A

r

La carga total distribuida en el volumen se obtiene

integrando la expresin anterior

4 4 lnb

a

dr aQ dq A A

r b

Problema 14

Una cascara hemisfrica dielctrica tiene una

distribucin de carga , donde 0 es constante y se expresa en C/m2. Calcule la carga total

que se encuentra en la cascara hemisfrica.

Solucin

Se divide la distribucin de carga en elementos

diferenciales de carga dq como se muestra en la figura.

La carga del elemento diferencial es

0

0

2

0

( )(2 )

( )(2 cos )( )

2 cos

dq dA

dq sen y dS

dq sen R Rd

dq R sen d

La carga total se obtiene integrando la ecuacin anterior

/ 22

00

/ 2/ 2

2 2

0 00

0

2 2

0

2 cos

12 cos(2 )

2

Q dq R sen d

Q R sen d R

Q R

Problema 15

Un anillo de alambre fino de radio R tiene una carga

elctrica q. Cul ser el incremento de la fuerza de


traccin del alambre , si en el centro del anillo se coloca

una carga puntual q0.

Solucin

En la figura se representa la configuracin de las cargas

Para resolver el problema se traza el DCL de una carga

y longitud , como se muestra en la figura. Las

fuerzas sobre el elemento son la Traccin en el alambre

( ) y la fuerza elctrica Fe ejercida por q0 sobre .

El incremento de carga es

2

(2 )2 2

total

cirunf

q q q

L R S

q qq S R

R R

qq

Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene

0

2

0

2( )

( )2( )

y

e

F

F T sen

q qk T sen

R

Teniendo en cuenta que para ngulos pequeos se

cumple que y remplazndo el valor de

obtenido anteriormente resulta

0

2

0 0

2 2 2

0

2( )

Rta2 8

qq

k TR

kq q q qT

R R

Problema 16

Una barra delgada con una carga por unidad de longitud

, tiene la forma de un arco de crculo de radio R. El

arco subtiene un ngulo total , simtrico alrededor

del eje x como se muestra en la figura. Cul es la

fuerza elctrica sobre una carga puntual que se

encuentra en el origen de coordenadas?.

Solucin

Dividamos a la distribucin de carga en elementos

diferencial de longitud, , el cual hace un

ngulo , con el eje x, como se muestra en la figura.

La cantidad de carga que lleva el elemento diferencial

es

( )dq ds Rd

La fuerza elctrica producida por el elemento

diferencial sobre Q es

2 2

0

( )( cos )

( cos )4

r

Qdq Q RddF k e k i sen j

r R

QddF i sen j

R

La fuerza elctrica total ejercida por la distribucin

sobre la carga puntual Q es


0

0

0

0

0

0

0

0

( cos )4

cos4

Rta2

QF d i sen d j

R

QF sen i j

R

QsenF i

R

Utilice los criterios de simetra que presenta la

distribucin de carga para verificar la respuesta!

Problema 17

Un anillo de radio R que se encuentra en el plano yz

posee una carga Q uniformemente distribuida en toda su

longitud. En el eje del anillo se encuentra una carga

puntual de masa m y carga q0. (a) Determine la fuerza elctrica sobre la carga q0 cuando ella se encuentra a una distancia x del centro del anillo, (b) Demuestre que

si x


0

3

0

0

3

0

0

3

0

4

04

04

x xF ma

q Qx mx

R

q Qmx x

R

q Qx

mR

Esta ecuacin indica que la masa m describe un MAS

de frecuencia de oscilacin ser

22 0

3

0

0

3

0

24

1 Rta

2 4

q Qf

mR

q Qf

mR

Problema 18

Un sistema se compone de un disco de radio R cargado

con una densidad de carga , donde es una constante y r es medido desde el centro del disco y una

carga puntual positiva q0 situada a una distancia z desde

el centro. Determine la fuerza que ejerce el disco sobre

la carga puntual.

Solucin

En la figura se muestra la distribucin de carga y la

carga puntual a una distancia z.

Para resolver el problema se usa coordenadas

cilndricas. Entonces el elemento de carga diferencial

est dado por

2

( )r

dqr dq r rdrd

dA

dq r drd

La fuerza ejercida por el elemento de carga dq sobre la

carga puntual q0 es

0

3

0

2

0

2 2 3/ 2

0

1

4

( )1( )

4 ( )r z

q dqdF AP

AP

q r drddF re ze

r z

Debido a la simetra que presenta la distribucin de

carga, entonces se tiene

2

0

2 2 3/ 2

0

( )4 ( )

z

q r drddF ze

r z

La fuerza elctrica debido al disco cargado completo se

obtiene integrando la expresin anterior y utilizando los

lmites apropiados

22

0

2 2 3/ 20 00

( )4 ( )

R

zr

q z r d drF e

r z

2 2

0

2 20

ln4

z

q z R R z RF e

z R z

Problema 19.

Una pequea masa puntual m de carga q est restringida

a moverse verticalmente dentro de un tubo estrecho y

sin rozamiento tal como se muestra en la figura. En el

fondo del cilindro hay una masa puntual de de carga Q

de igual signo que q. (a) Demostrar que la masa m

estar en equilibrio a una altura . (b)

Demostrar que si la masa m es desplazada ligeramente

de su posicin de equilibrio y se deja en libertad


ejecutar un movimiento armnico simple de frecuencia

angular .

Parte (a) En la figura se muestra el DCL de carga q

y de masa m en equilibrio

Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene

2

0

0 0y e

kqQF F mg mg

y

0

kqQy

mg (1)

Parte (b). En la figura se muestra el diagrama de

cuerpo libre de la carga q para un desplazamiento vertical

de la masa a partir de su posicin de equilibrio y

Aplicando las ecuaciones de movimiento se tiene

'

y y

e y

F ma

F mg ma

(2)

Remplazando (1) en (2)

2 2

0 0( )

y

kqQ kqQma

y y y

Debido a que el desplazamiento y es pequeo se desprecia el trmino (y)2, entonces La ecuacin anterior se escribe.

2 2

0 0 02

y

kqQ kqQma

y y y y

Simplificando se tiene

2 2

0 0 0

2 2

0 0 0

( 2 )

( 2 )y

y y y ykqQ ma

y y y y

2 2

0 0 0

2 2

0 0 0

2

0 0 0

3 2

0 0

( 2 )

( 2 )

2

( 2 )

2

( 2 )

y

y

y

y y y ykqQ ma

y y y y

kqQ yma

y y y y

kqQ yma

y y y

Una vez ms par desplazamientos pequeos se tiene

3

0

0

3

0

2

2(1 )

2

y

y

kqQ yma

yy

y

kqQ yma

y

Remplazando una vez ms la ec (1), se tiene

2

0 0

0

2

2( )

y

y

y kqQma

y y

ymg ma

y

2

0

0

2

2

y

g ya y

y

g

y

PROBLEMAS PROPUESTOS-

1. Una carga Q es transferida de una bola plstica inicialmente descargada a una bola idntica situada

a 12 cm. La fuerza de atraccin es entonces 17 mN.

Cuntos electrones fueron trasferidos de una bola a

la otra?.

2. Dos cargas, -Q0 y -4Q0, estn separadas por una distancia l. Estas dos cargas son libres de moverse

pero no si localizamos una tercera carga en el

espacio entre las dos anteriores. Cul puede ser la


magnitud de la tercera carga y donde se le ubicara

para que las primeras dos cargas permanezcan en

equilibrio-

3. Dos cargas positivas +Q estn rgidamente fijas sobre el eje x en x = +d y x =- d. Una tercera carga

+q de masa m, la cual es restringida a moverse

solamente a lo largo del eje x, es desplazada desde

el origen una pequea distancia s


11. En el estudio del modelo clsico del tomo de hidrgeno se considera, al electrn girando en una

rbita circular con un radio a0 llamado radio de

Bohr. Encuentre la velocidad del electrn.

Considere que y la masa del

electrn es .

12. Se tiene dos cargas Q y q. Qu cantidad de carga debe trasladarse de una hacia la otra para que la

fuerza elctrica resultante entre ellas sea mxima

manteniendo la separacin constante?.

13. Tres esferas de igual dimetro se colocan como se muestra en la figura. Las esferas A y C se cargan

con 2 C y - 2 C respectivamente y estn a la misma distancia de B que puede oscilar como un

pndulo. Qu ocurre con B?. Se inducen cargas?.

Dnde?. Se carga?. Fundamente su respuesta .

14. Se tiene una esfera conductora pequea B

descargada y otra esfera conductora A de

dimensiones iguales cargada con qA = +4 C. (a) Si se las pone en contacto y luego se las separa. Qu

carga adquiere B?, (b) si no hubiera contacto y se le

aproxima A como se indica en la figura que carga

adquiere B?. (c) Si inicialmente B estuviera

conectada a tierra, Qu pasa en el caso a y b?.

15. Se tiene una esfera maciza conductora cargada de radio R1 = 1 m con una carga total Q = 10 C que se le rodea con un cascarn conductor esfrico

concntrico de radios R2 = 2 m y R3 = 2,2 m

respectivamente como se muestra en la figura

conectada a tierra. Entre ambos conductores slo

existe vaco. (a) Cul es la carga del cascarn y

donde se sita?. (b) Si la esfera interna y el

cascarn se conectan con un hilo conductor. Cul

es la nueva carga en la esfera y en el cascarn y

dnde se sita?.

16. Calcule la fuerza electrosttica que acta sobre la carga en A (0, 2, 2) debido a las cargas en B (3, 4,

2) y en C ( 3, 0, 1), sabiendo que qA =102e- ; qB =

102e+ ; qC = e-.

17. Tres cargas +q, +2q y 4q, estn unidas por cuerdas del modo indicado en la figura. Determine las

tenciones T1 y T2.

18. Si se le da una carga Q a tres esferas pequeas puntuales de masas m que estn suspendidas de un

punto O por hilos de igual longitud a, las cargas se

repelen hasta ubicarse en los vrtices de un

tringulo equiltero base del tetraedro con vrtice

en O como se muestra en la figura. Muestre que en

este caso la carga en cada esfera es:

6/42

0

2mgaQ


19. Dos esferas idnticas de corcho de masa m y carga q mostradas en la figura, estn suspendidas del

mismo punto por medio de dos cuerdas de longitud

L. Encontrar el ngulo que las cuerdas forman con la vertical, una vez logrado el equilibrio.

20. Dos esferas iguales cargadas de masa m, estn suspendidas de un mismo punto de hilos, cada uno

de longitud L. En el punto de suspensin se

encuentra una tercera esferita, tambin cargada

como las dos primeras como se muestra en la

figura. Calcular la carga Q de la esfera, si el ngulo

entre los hilos en su posicin de equilibrio es igual

a .

21. Cinco cargas iguales Q estn igualmente espaciadas en un semicrculo de radio R como se indica en la

figura. Determine la fuerza que se ejerce sobre una

carga q localizada en el centro del semicrculo.

22. En el cobre existen aproximadamente un electrn

libre por cada tomo. Una moneda de cobre posee

una masa de 3 g.

a. Qu porcentaje de la carga libre debera extraerse de la moneda para que esta adquiera

una carga de de 15 C ?. b. Cul ser la fuerza de repulsin entre dos

monedas que portaran esta carga si estuvieran

separadas una distancia de 25 cm?. Suponga

que las monedas se comportan como cargas

puntuales.

23. Una pequea cuenta de masa m, portadora de una carga negativa q est restringida a moverse a lo largo de una barra delgada y sin rozamiento como

se ve en la figura. A una distancia L de esta barra

hay una carga positiva Q. Demostrar que si la

cuenta se desplaza una distancia x en donde x


29. Una carga lineal de densidad tiene la forma de un cuadrado de lado L que est contenido en el plano

xy y tiene su centro en el origen. Hallar la fuerza

que este alambre ejerce sobre la carga Q situada a

una distancia z sobre el eje.

30. Halle la fuerza elctrica sobre una carga puntual de 50 C ubicada en P(0, 0, 5) m debida a una carga de 500 C que est distribuida uniformemente sobre un disco circular de radio R = 5 m, ubicado

en el plano z = 0 y con centro en el origen.

31. Dos cargas puntuales iguales a +e estn ubicadas en los puntos (b, 0, 0) y (-b, 0, 0).

Por efecto de las fuerzas que ejercen, una carga e gira alrededor del eje 0x describiendo en el plano

Oxy una circunferencia de radio R. Determinar la

velocidad angular de dicha carga, cuya masa es m.

32. Un anillo circular de radio R posee una distribucin

de carga lineal )cos1(0 como se muestra

en la figura. Determinar: (a) la carga total del

anillo; (b) Si se coloca una carga puntual en el

centro del mismo. Cul ser la fuerza que ejerce el

anillo sobre la carga +Q ?.

33. Un anillo fino aislante de radio R tiene una carga

cuya densidad lineal es cos0 , donde 0 es

una constante positiva y , el ngulo azimutal. Cul es el mdulo del vector fuerza que ejerce

este anillo sobre una carga puntual Q situada sobre

el eje a una distancia z de su centro?.

34. Un cuerpo pequeo, esfrico y cargado se encuentra en la lnea del eje de simetra de un anillo

de radio R. La densidad de la carga del anillo es y su masa es m. Calcular la carga del cuerpo de tal

forma que el anillo quede suspendido.

35. Dos cargas elctricas q estn separadas una distancia 2L. Determinar: (a) La fuerza elctrica

sobre otra carga Q colocada en un punto de la

mediatriz del segmento que las une. (b) Calcule el

valor mximo de tal fuerza.

36. Una carga se reparte uniformemente en el eje y, desde y = 0 hasta y = . La densidad de carga en el eje y es . Determine la fuerza ejercida sobre una carga puntual q situada en el eje x en x = x0.

37. Calcule la fuerza elctrica sobre una carga puntual positiva de 2,4 C, colocada a 4 cm sobre el centro de una placa maciza uniformemente cargada, de 6

cm de radio, que tiene una carga positiva total de

10 C..

38. Cunta carga +Q se debe distribuir uniformemente en una placa cuadrada y horizontal,

de 1 m de lado, si debe quedar suspendida en el aire

una masa de 1 g y carga de 1 C a 1 mm de la superficie de la placa?. Tenga en cuenta la

gravitacin en este problema. Cul sera la

respuesta si la pelota debe quedar suspendida 2 mm

sobre la placa?.

39. Una carga nica q1 = +10-7C, esta fija en el plano de la base de un plano inclinado que forma un

ngulo con la horizontal. En una ranura lisa y sin friccin del plano, se coloca una pelotita de m = 2 g

de masa, y con una carga de q1 = +10-7C, el plano

se prolonga directamente la carga fija como se ve

en la figura. Se puede mover pendiente arriba o

abajo hasta quedar a una distancia estable l = 10

cm, de la carga fija. Determine el valor de .

40. Se tiene dos varillas de forma semicircular de

radios R1 y R2 cargados uniformemente con Q1 y Q2

respectivamente. (a) Calcular la fuerza elctrica F

sobre la carga puntual q ubicada en el centro de


curvatura comn. (b) Si R1 =R2/2, calcular la

relacin entre cargas para que la fuerza neta sobre q

se anule.

41. Determine la fuerza que una esfera de radio R, carga y densidad de carga superficial constante, ejerce sobre una carga puntual q0 colocada, (a)

fuera de ella y (b) adentro de ella.

42. Determinar la fuerza que una esfera de radio R, carga Q y con una distribucin volumtrica de

carga cuya densidad es , ejerce sobre una

carga puntual q0 colocada, (a) fuera de ella y (b)

adentro de ella.

43. Una superficie en forma de cuadrado de lado L lleva una carga Q distribuida uniformemente sobre

su superficie, determine la fuerza elctrica que esta

distribucin ejerce sobre una carga puntual +q

ubicada a una distancia H desde el centro del

cuadrado como se muestra en la figura

44. Una barra delgada de vidrio tiene la forma de semicrculo de radio R, como se muestra en la

figura. Una carga es distribuida no uniformemente

a lo largo de la barra con una densidad lineal dada

por , donde 0 es una constante positiva. Determine: (a) la fuerza elctrica sobre

una carga puntual q0 ubicada en el punto O (centro

de la semicircunferencia, (b) si la carga puntual es

un protn, Cul sera la aceleracin que ste

experimenta?. Considere que R = 1 cm y 0 = 1,0 C/m y q0 = 20 nC

45. Estimar la fuerza neta entre el grupo CO y el grupo CN mostrado en la figura. El carbono C y el

Oxgeno O tienen cargas de y el hidrgeno

y el nitrgeno tienen cargas de , donde e es

la carga del electrn. Sugerencia: desprecie las

fuerzas internas entre C y O as como entre H y N

46. Un electrn se mueve en un crculo de radio R alrededor de un alambre delgado con una densidad

de carga uniforme en un espacio vaco, como se

muestra en la figura. La densidad de carga sobre el

hilo es . (a) Cul es la fuerza elctrica

sobre el electrn (magnitud y direccin?. (b) Cul

es la velocidad del electrn?. (c) El movimiento es

circular uniforme?. Si es verdadera la parte (c)

Cul sera la frecuencia circular?.

47. Encuentre la fuerza elctrica sobre una carga puntual q = 1 nC ubicada en e

Capitulo i - Interacción Eléctrica_capitulo v. Condensadores y Dielectricos

Documents

Transcript of Capitulo i - Interacción Eléctrica_capitulo v. Condensadores y Dielectricos