CAPITULO # 11 Aplicación de la semejanza en la construcción de

figuras.

• El área de un cuerpo geométrico es la medida de la superficie que lo delimita.

• El volumen de un cuerpo geométrico es la medida del espacio que ocupa.

• Una transformación isométrica o movimiento es aquella en que la figura transformada conserva las distancias de la figura original.

• Los movimientos en el plano son tres: la traslación, la simetría (central y axial) y el giro.

Introducción

Se denomina razón de semejanza, k, de dos cuerpos o figuras, a la razón de proporcionalidad entre sus distancias homólogas.

A continuación, estudiaremos dos métodos para construir figuras y cuerpos semejantes basados en transformaciones isomórficas. Son la homotecia y la semejanza.

Veamos cómo transformar una figura en otra por una homotecia de centro O y razón k = ½.

1.-Tomamos un punto arbitrario O al que denominaremos centro de homotecia, y trazamos semirrectas con origen en el punto O y que pasen por cada uno de los vértices de la figura dada.

2.-Sobre una de las semirrectas, por ejemplo la OA, marcamos un punto A′ de modo que se cumpla:

3.-Por el punto A′, trazamos una paralela al lado AB del triángulo hasta cortar la semirrecta OB en el punto B′.

4.-Por el punto B′, trazamos una paralela al lado BC, hasta cortar la semirrecta OC en el punto C′, y así sucesivamente hasta obtener la nueva figura.

Como puedes ver, los vértices homólogos de ambos polígonos están alineados respecto al centro de homotecia O y se cumple:

Los triángulos OAB y O′A′B′ son semejantes, ya que tienen un ángulo en común y tienen los lados proporcionales. Así pues, se cumplirá que la razón entre los segmentos A′B′ y AB es:

— El triángulo ABC se transforma en el triángulo A′B′C′ por una homotecia de centro O y razón k = 2. — El triángulo A′B′C′ se transforma en el triángulo A′′B′′C′′ por una simetría axial de eje e. Puedes comprobar que los triángulos ABC y A′′B′′C′′ son semejantes.

La transformación que nos permite pasar directamente del triángulo ABC al triángulo A′′B′′C′′ es una semejanza.

Una semejanza es la transformación geométrica que se obtiene como composición de una homotecia con un movimiento.

COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTO Y HOMOTECIA

COMPOSICIÓN DE HOMOTECIA Y MOVIMIENTO

Ejemplo

Calcula la longitud del lado de la base, la altura y la apotema de una pirámide semejante a la de la figura, con razón desemejanza k=3.

La razón entre las longitudes características de las dos pirámides semejantes será:

Así pues:

La pirámide semejante tendrá una base de 18 cm de lado, una altura de 12 cm y una apotema de 15 cm, tal y como muestra la figura de la derecha.

La razón entre las áreas de dos cuerpos o figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza.

Ejemplo

Calcula el área de una esfera semejante a otra cuyo radio mide 6 cm y la razón de semejanza es. El área de la esfera de radio 6 cm es: k = 5/3.

La relación entre las áreas de dos esferas semejantes es:

El área de la esfera semejante será de 1256,1 cm2

La razón entre los volúmenes de dos cuerpos semejantes es igual al cubo de la razón de semejanza.

Ejemplo

Halla el volumen de un cilindro semejante a otro de radio 4cm, altura 6cm y con razón de semejanza k =1/2. Aplicamos la fórmula para calcular el volumen de un cilindro.

Para calcular el volumen del nuevo cilindro, aplicamos la definición de volúmenes de cuerpos semejantes.

El volumen del cilindro es de 37,7 cm3.