Capitulo 2 Sears

5/11/2018 Capitulo 2 Sears - slidepdf.com

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Toda misión lograda del nansbordador es-pacial t ~ r m i n a coo un b r e v ~ periodo demovimiento rectilineo para detenerse enla pista. Esta nave, no más gronde que unje l comercial ordinario, toca tierra a másde 350 km/h. Incluso con un paracaidas dearrostre que le ayuda a frenar, la veloz navenecesita hasta 3 km para detenerse.

¿Es correcto decir que el trans-

bordador espacial está acelerando

cuando frena hasta detenerse?

40

MOVIMIENTO

EN LÍNEA

RECTA

.......

; C óm o describimos el movimiento de unjer de combate lanzado. desde lacubierta de un portaaviones? Cuando lanzamos una pelota verticalmen-

te, ¿qué tanto sube? Cuando se nos resbala un vaso de la mano, ¿cuánto tiempo te-nemos para atraparlo antes de que choque con el piso? Éste es el tipo de preguntasque aprenderá a contestar en este capítulo. Iniciamos nuestro estudio de la fisicacon la mecánica, el estudio de las relaciones entre: fuerza, materia ymovimiento.El objetivo de este capítulo y el siguiente es J.sarrollarmétodos generales para

describir el movimiento. La parte de la mecánica que describe el movimiento es lacillemárica. Después estudiaremos [a dinámica, o sea la relación ent re el movi-miento y sus causas.

En este capítulo estudiaremos el movimiento más simple: una partícula queviaja en línea recta. A menudo usaremos una particula para modelar un cuerpo enmovimiento, si efectos tales como la rotación o el cambio de forma no son impor-tantes. Para describir el movimiento de una partícula; introduciremos las cantidadesfisicas velocidad y acelerodón, que en fisica tienen dermic;:iones sencillas, aunqueson más precisas y un poco distintas de las empleadas en el lenguaje cotidiano. Sise fija bien en las definiciones, trabajará mejor con estas y otras cantidades fisi·cas importantes.



2.1 I Desplazamiento, tiempo y velocidad media

Un aspeclo imponante de las definiciones de velocidad y aceleración en físicaes que son vecrores. Como vimos en el capítulo 1, esto implica que tienen magnitud y dirección. Aquí nos interesa sólo el movimiento rectilíneo, por lo que no ne ·

cesitaremos aÍln IOda el álgebra vectorial, pero en el capitulo 3 incluiremos en

nuestro estudio el movimiento en tres dimensiones, por ello será indispensableusar vectores.

Un caso especial imponante del movimiento rectilíneo es cuando la acelera·ción es constante, situación que encontraremos con frecuencia al esmdiar fisica.Un e jemplo es e l movimiento de un cuerpo que cae libremente. Deduciremos

ecuaciones sencillas para describir el movimiento con aceleración constante.También consideraremos situaciones en las que la aceleración varía durante elmovimiento. En estos casos habrá que integrar para describir el movimiento. (Sino ha estudiado integración aún, esta sección es opcional.)

2.1 I Desplazamiento, tiempo y velocidad media

(2.1)

Suponga que una piloto de autos de arrancones conduce su auto por una pista rec-

Ia. Para esmdiar esle movimiento, necesitamos un sistema de coordenadas paradescribir la posición del auto. Decidimos que el eje x yace a lo largode la t rayec·tor ia recta del auto, con el origen O en la línea de salida (Fig. 2.1). Describiremosla posición del auto en ténninos de la de un punto representativo, digamos su extremo delantero. Así, representamos todo el aulO con ese punto y lo tratamos como una partícula.

Una forma Íltil de describir el movimiento del frente del auto - e s decir, el dela partícula- es en términos del cambio en la posición de la panícula (o sea, elcambio en su coordenada x) a lo largo de un intervalo de tiempo. Supongamos que1.0 s después del arranque el frente del auto está en PI ' a 19 ID del origen, y 4.0 s

después del arranque está en Pz, a 277 m del origen. El desplazamiento de la par·tícula es un vec tor que apunta de PI a Pz (véase la sección 1.7). La figura 2.1

muestra que este vector apunta a 10 largo del ejex. La componente x del desplaza!miento es simplemente el cambio en el valor de x (277 m - 19 m) = 258 m, que·hubo en un lapso de (4.0 s - 1.0 s) = 3.0 s. Definimos la velocidad media del auto durante este tiempo como una cantidad vectorial cuya componente x es el cam·

bio en x dividido entre el intervalo de tiempo: (258 m)/(3.0 s), . 86 mIs. Engeneral, la velocidad media depende del intervalo de tiempo escogido. Durante unlapso de 3.0 s antes del arranque, la velocidad media fue cero, porque el auto estaba en reposo en la línea de salida y tuvo desplazamiento cero.

Generalicemos el concepto de velocidad media. En el tiempo ti ' el auto está enPI ' con coordenada x]> y en rzestá en P2 con coordenadax2' El desplazamiento en el

intervalo de t, a t2 es el vector de PI a P2, con componente x (xz - Xl) Ycomponentes y y z iguales a cero. La componente x del desplazamiento del auto es elcambio en la coordenada X, que abreviamos así:

t , x,,,,,""""'"'

1P -O - Ox P,

O. ------- -- J ~_x,..j x'.,_x,_Ox - - - - - - l ~

•2.1 Posiciones de un auto de arrancones en dos instantes durante su rttOrrido.



42 CAPfTOLO 2 I Movimiento en línea recta

a:1III1!lI1!I1:I no es el producto d e A y r. es un solo símbolo que significa ~ e lcambio en la cantidad X ·. Siempre usaremos la letra griega mayúscula .ó. (-del

ta-) para representar un cambio en una cantidad, calculada restando el valor

inicial al final. Asimismo, el intervalo de t) a tI es Al , el cambio en la cantidad 1:6/ = /2 - /1 (tiempo final menos tiempo inicial).

Ahora podemos definir la componente x de la velocidad media con mayor pre·

cisión: es la componente x del desplazamiento, a.., dividida entre el intervalo ti l

en el que ocurre el desplazamienlo. Representamos esta cantidad con el simbolo

umed .... donde el subíndice "med" indica un valor medio y el subíndicex indica que

se trata de la componente x:

Xl - XI ó'xvmed =-----

•.x t I - ti ó, t( velocidad media, movimiento reclilineo) (2.2)

Enel ejemplo anterior teníamos XI = 19 m,x] =277 m, ti "" 1.0 s y tI =4.0 s,

así que la ecuación (2.2) da

277 m - 19 m 258 !TIum«l "" "" --- = 86 mIs

·X 4.0s LOs 3.0s

La velocidad media del auto es posiliva. Esto significa que, durante el inttrva

lo, la coordenada:r aumentó y el aUlo se movió en la dirección +:r (a la derecha en

la Fig. 2.1). Si una partícula se mueve en la dirección:r negativa durante un inter

valo de tiempo, su velocidad media en ese lapso es negativa. Por ejemplo, suponga

que la camioneta de unjuez semueve hacia la izquierda junto a la pista (Fig. 2.2). La

camioneta esta en XI" " 277 m en tI , . 16.0 s, yen x] = 19 m en t ] : : 25.0 s. Enton

ces, ! i l=( l9 m - 277 ro) = -258 m y .6.t-(25.0s - 16.0 s) ::9.05, y la com

ponente x de la velocidad media es Vme.» ==. A.x/At = (-258 m)/(9.0 s) = -29 mis.

Siempre que x es positiva y aumenta o es negativa y se hace menos negativa, la

partícula se mueve en la dirección +x y Vme<\..:< es positiva (Fig. 2.1). Siempre que x

es positiva y disminuye, o es negativa y se hace más negativa, la partícula se mue

ve en la dirección -x y VmtJ_.x es negativa (Fig. 2.2).

I I l l l l l g l ! ! ! ~ N o sucumba a la tentación de pensar que una velocidad media po

sitiva implica movimiento a la derecha, como en la figura 2.1, y una velocidad

negativa implica movimiento a la izquierda, como en la figura 2.2. Tales conclu

siones sólo son correctas si la dirección +x es hacia la derecha, como escogimos

en ambas figuras. Igualmente podrlamos haber decidido que la dirección +.1" es

P,. x

P,x

o X 2 ~ ( - '2 - XI- ax

,1II

" I,MUDA LJ.J:CADA

2.2 Posiciones de In camioneta de un juez en dos instantes durnnte su movimiento. Los

puntos PI y PI abor. se refieren al movimiento de la camioneta, por 10 que son diferentes

de los de la figurn 2.1. La componente x del desplazamiento de la camioneta es negativa,así que V-s..x es negativa.



2.1 I Desplazanrienlo. tiempo y velocidad media

• N. del E. En este texto se usa la abreviatum ft cuando se relaciona con la distancia en pies. Porejemplo,

1 ft x lb-1.3561.

100

200

300

"

x (m)

400

•

2.3 La posición de un auto de arranco

en función del tiempo. La velocidad m

v..... entre los puntos PI y Pl de la fig2.1 es la pendiente de la linea PrP2' Estnea sube hacia la derecha, por lo que l

pendiente es positiva y t J l D < d - ~ es positiv

500 mis

1000 mis

]000 mis

2 X J(fmls

]X]o 'm ls

hacia la izquierda, con el origen en la llegada. Entonces, el auto habría tenido

velocidad media negativa, y el vehículo, positiva. En casi todos los problemas,

podremos escoger la dire<ci6n del eje de coordenadas. Una vez tomada la de<i-

si6n, debera tomarse en cuenta al interpretar lossignos de v . . o - ~ y otras cantida-

des que describen el movimiento.

En el movimiento rectilíneo normalmente llamaremos a d.T el desplazamiento

y a u r n e d - ~ la velocidad media, pero no olvide que éstas son realmente las compo

nentes.t de cantidades vectoriales que, en este caso especial, sólo lienen componen

tes x. En el capitulo 3, los vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración

tendrán dos o tres componentes distintas de cero.

La f igura 2.3 es una gráfica de la posición del auto de arrancones en función

del tiempo, es decir, una gráfica X-l. La curva de la figura !lO representa la trayec

toria del auto; ésta es una linea recta, como se ve en la figura 2.1. Más bien, la grá

fica es una forma de representar cómo cambia la posición del auto con el tiempo.

Los puntos rotulados PI y P2 corresponden a los puntos PI y P2 de la trayectoriadel auto. La línea PiP2 es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catelo ver

tical 6.x = X2 - Xl Ycateto horizontal 6.t = t2 - t I ' Asi, la velocidad media del au

to u..,..¡..,- = O.x/dl es igual a la pendiente de la linea PIP2, es decir, el cociente del

cateto venical d.r y el cateto horizontal !lt.

La velocidad media depende sólo del desplazamiento total d.T =X2 - Xl que se

da durante el intervalo 111 = t2 - t lo no en los pormenores de lo que sucede dentro

de ese intervalo. Un segundo auto podria haber pasado por el puntoPI de la figura

2.1 en el mismo instante ti que el primero, rebasando a éste, para después reven

tar el motor y bajar la velocidad, pasando por P2 en el mismo instante 12que el pri

mer auto. Ambos aUlas tienen el mismo desplazamiento en el mismo lapso, así

que tienen la misma velocidad media.

Si expresamos la distancia en metros y el tiempo en segundos, la velocidad media se mide en metros por segundo (mis). Otras unidades de velocidad comunes

son kilómetros por hora (km/h), pies por segundo· (ftls), millas por hora (milh) y

nudos (1 nudo = 1milla náuticalh::lll 6080 ftIh). La tabla 2.1 muestra algunas mag

nitudes típicas de velocidad.

Reptarde caracol 10-3mis Movimiento aleator io de moléculas de aire

Pasetlvigoroso 2 mis Avión más rápido

Hombre mas nl.pido 11 mis Satélite de comunicac ión enó rbita

Leopardo en carrera ]5 mis Electrón en un atomo de hidrógeno

Automóvil más rápido ]41 mis Luz que viaja en el vacío

Tabla 2.1 Magnitudes t¡picas de velocidad

Un camión viaja al oeste desde el punto A hasta el B, una distancia dc 60 km. Un

auto viaja al este desde el punto A hasta el e, una distancia de 30 km, se da la vuelo

ta, y viaja al oeste hasta el punto B. El camión y el auto salen deA simultáneamen

te y llegan a B simultáneamente. Explique por qué el auto y el camión tienen la

misma v e l ~ i d a d media.



44

2.4 El ganador de una carrera de nataciónde 50 En es el nadadorcuya velocidad media!icne mayor magnitud es decir. el nadadorque cubre el desplazamiento al" de 50 men el tiempo transcurrido 61 más corto.

2.5 Incluso al avanzar, la velocidad instantánea de este ciclista puede ser negativa: siestá viajando en la dirección -x. En cualquier problema, nosotros decidimos cualdirección es positiva y cuál es negativa.

CUIDADO

e ... pfT U LO 2 I MovimicnlO en línea recta

2.2 I Velocidad instantánea

Hay ocasiones en que la velocidad media es 10 (mico que necesitamos saber aceroca del movimiento de una partícula. Por ejemplo, una carrera en pista recta es enrealidad una competencia para determinar quién tuvo la magnitud de velocidadmedia, Vnxd-x> más grande. Se entrega el premio al competidor que pudo recorrer

el desplazamicnlo Jlx de la linea de salida a la de meta en el más corto intervalode tiempo, !i.t (Fig. 2.4).

Sin embargo, la velocidad media de una partÍcula durante un intervaJode tiempono nos dice con que rapidez, o en que dirección, la partícula se estaba moviendo enun instante dado del intervalo. Para describir el movimiento con mayor detalle, necesitamos definir la velocidad en cualquier instante específico o punto específicodel camino. Ésta es la velocidad instantánea, y debe deímirse con cuidado.

La palabra instante tiene un significado un poco distinto en física que en el lenguaje cotidiano. Podemos decir "duró un instante" para referimos a a lgo que du

ró un intervalo muy corto, pero en fisica un instante no tiene duración; es un solovalor de tiempo.

Para obtener la velocidad instantánea del auto de la f igura 2.1 en el punto P¡,

imaginamos mover el segundo punto P2cada vez más cerca a PI. Calculamos lavelocidad media Vm<d-I = tuI!!'t para estos desplazamientos y lapsos cada vez más

cortos. Tanto 6.x como dt se hacen muy pequeños, pero su cociente no necesariamente lo hace. En el lenguaje del cálculo, el l imite de ilxlilt cuando il t se acerca

a cero es la del"ivada de x respecto a t y se escribe dxldt. Ú l velocidad instantánea

es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo se acerca a O; es

igual a la tasa instantánea de cambio de posición con el tiempo. Usamos el símbolo VI ' sin "med" en el subíndice, para la velocidad instantánea en e l e je x:

v = lím dx = d:r (velocidad instantánca, movimiento rectilíneo) (2.3)I <l.1-0!i.! dt

Siempre suponemos que !i.t es posit ivo, as! que VI tiene el mismo signo algebraico que dx. Si el eje +x apunta a la derecha, como en la figura 2.1, un valor positivo de VI indica que x aumenta y el movimiento es a la derecha; una VI negativaindica que x disminuye y el movimiento es a la izquierda. Un cuerpo puede tenerx positivo y VI negativa, o al reves; x nos dice d6nde está el cucrpo, VI nos dice có

mo se mueve (Fig. 2.5).La velocidad instantánea, igual que la media, es una cantidad vectorial. La

ecuación (2.3) define su componente x, que puede ser positiva o negativa. En elmovimiento rectilíneo, las demás componentes de la velocidad instantánea son ce

ro, y en este caso llamaremos a VI simplemente velocidad instantánea. (En el ca pitulo 3 veremos el caso general en el que la velocidad instantinea puede tenercomponentes x, y y z disüntas de cero. ) Al usar el término "velocidad", siempre

nos referiremos a la velocidad instantánea, no a la med ia , a menos que se diga otra

cosa.Los términos "velocidad" y "rapidez" se usan indistintamente en el lenguaje

cotidiano, pero tienen diferente significado en fisica. Rapidez denota distancia

recorrida dividida entre tiempo, bajo un régimen medio o instanuineo. Usaremos

el símbolo v sin subíndice para denotar la rapidez instantánea, que mide la celeridad con que se mueve una partícula; la velocidad instantánea mide con que rapidez y en qué dirección se mueve. Por ejemplo , una par tícu la con velocidad



2.2 I Velocidad instantánea

EJECUTAR: a) En ti = 1.0 s, la posición del leopardo XI es

XI = 20m + (5.0 m/s1)(1.0 s) ! = 25m

En t2 = 2.0 s, su posición.1'2 es

X! = 20m + ( 5 . 0 m l ~ ) ( 2 . 0 S } 2 = 40m

lE!!l3l1llIIDENTIFICAR: Este problema requiere usar las definiciones de d

plazamiento, velocidad media y velocidad instantánea. El uso de

dos primeras implica álgebra; la última requiere cálculo para deriv

PLANTEAR: La figura 2.6 muestra el movimicnto dellel:lpardo. P

analizar estc problema, usamos la ecuación (2.1) del desplazami

to, la ccuaci6n (2.2) de la velocidad h1edia y la ecuación (2.3) de

velocidad instantánea.

Velocidades media e instantáneaEjemplo

2.1

instantánea Ux=25 mis y otra con Vx = -25 mis se mueven en direcciones opues

tas con la misma rapidez instantánea de 25 mis. La rapidez instantánea es la mag·nirud de la velocidad instantánea, así que no puede se r negativa.

A la rapidez media, sin embargo, no es la magnitud de la velocidadmedia. Cuando Alexander Popov estableció un récord mundial en 1994 nadan-

do 100.0 rn en 46.74 s, su rapidez media fue de (100.0 rnY(46.74 s) '"' 2.139 mis. Sin

embargo, como nadó dos vueltas en una alberca de 50 m, terminó en el punto

de donde partió, con un desplazamiento total de cero ¡y una velocidadmedia de

cero! Tanto la rapidez media como la instantánea son escalares, no vectores,

porque no contienen información de dirección.

Un leopardo acecha 20 m al este del escondi te de un observador

(Fig. 2.6). En 1· O, el leopardo ataca a un antilope en un daro 50 m

al este del observador. El leopardo corre en linea recIa. Un análi

sis posterior de la gmbación fe\'ela que, durante los primeros 2.0 s

del ataque, la coordenada x del leopardo varia con el tiempo se

gún la ecuación x · 20 m + (5.0 mls1 )t1. (Las unidades de los nú

meros 20 y 5.0 deben ser las mostradas para que la expresión sea

dimensionalmente congruente.) a) Obtenga el desplazamiento

dclleopardo entre ti '" 1.0 s y 12 • 2.0 s. b) Calcule la velocidad

media en dicho intervalo. c) Calcule la velocidad instantánea en

t. - 1.0 s tomando 6t "'0.1 s,luego.6.r = 0.01 s, luego 6t=0.001 s.

d) Deduzca una expresión general pamla velocidad instantánea en

función del tiempo, y con ella calcule lJx en t - 1.0 s y t = 2.0 s.

'-0 ' -1 .05 '-2 .05

l : I < - : ~ - - = ~ ~ = ~ ~ _ ' - o _ - m = ~ = ~ - _ = - ~ - = - ~ _ ) " f = ~ ~ - 5 0 ~ O > - ~ ~ = = = = = == = ~ x _...., = = = = = = = ~ - . I - - - X

Escoodite

2.6 Leopardo agazapado que ataca a un antílope. Los animales no están

a la misma escala que el eje.



46 CAPíTULO 2 I Movimienloen línea recta

El desplazamiento en eSle intervalo es

6.x = Xl - XI = 40 m - 25 ro = 15 m

b) La velocidad media durante este intervalo es

X2 - X I 40m-2Sm 15mU m t d - ~ = --- '" = -- = 15 mIs(] - '¡ 2.0s - LOs LOs

e) Con :ir = 0.1 s, el intervalo es de ti '" 1.0 s a /1 - l . l s. En [l . la

posición es

X2 = 20 m + (5.0 mls1 ) ( 1.1 s}l "" 26.05 ro

Al disminuir tll,la velocidad media se acerca a 10.0mis, y conclui·

mos que la velocidad inslanllÍnea en 1- 1.0 s es de 10.0 mis.

d) Obtenemos la velocidad inslanlanea en función delliempo deri·

vando la expresión de x respecto a l. Para cualquier n, la derivada de1Mes nIM- I, así que la derivada de I ! es 2/. Por tanto,

En I - 1.0 s, v ~ - 10 mis, como vimos en la parte (c). En 1- 2.0 s,

v ~ '" 20 mis.

La velocidad media en este intervalo es

Siga este modelo para calcular las velocidades medias de los inter·valos de 0.01 sY0.001 s. Los multados son 10.05 mis y 10.005 mis.

26.05 ro - 25 ro

u-... = 1.1 s 1.0 s 10.5 mis

EVALUAR: Nuestros resultados muestran que el leopardo aumentó

su rapidez de I '"O(cuando estaba en reposo) a1 - 1.0 s ( v ~ '" 10mis)

al'" 2.0 s ( u ~ '"' 20 mfs). EsIO es lógico; el leopardo sólo cubrió 5 mdurante el intervalo de t - Oa t = 1.0 s, pero cubrió 15 m durante el

intervalo de I '" 1.0 s a I - 2.0 s.

¡

AcI'!vPhys es

1.1 Análisis del movimiento con

diagramas

Obtención de la velocidad en una gráfica x-t

La velocidad de una partícula también puede obtenerse de la gráfica de la posición de la panícula en función delliempo. Suponga que queremos conocer la velocidad del auto de la figura 2.1 en PI' Al acercarse P2 a PI ' el punto P2 de lagráfica x- t de la figura 2.3 se acerca aPI' Esto se muestra en las figuras 2.7a y

2.Th, donde la velocidad media se calcula en intervalos dr cada vez más cortos.En el límite /1t -+ O, ilustrado en la figura 2.7c, la pendiente de la Iíneap!P2 esigual a la de la linea tangente a la curva en el puntoPI' En IIna gráfica de posición

enfllnción del tiempo paro movimiento rectilíneo, la velocidad ínstantánea en

cualquier plinto es igllala la pendiente de la tangente a la curva en esepunto.

Si la tangente a la curva x- t sube hacia la derecha, como en la figura 2.7c, supendiente es positiva, la velocidad es positiva, y el movimiento es en la direceión+x. Si la tangente baja a la derecha, la pendiente y la velocidad son negativas y el

movimiento es en la dirección -x. Si la tangente es horizontal, la pendiente y la

velocidad son cero. La figura 2.8 ilustra las tres posibilidades.

- f - c " l " ' = = = : L - ~ ~ - 1 (s)3 4 ,

,.)

x (m) x(m)

400 .},/'" 1.05 "'" 160mJ1x-55m v ~ · 4.05

300 v _ ~ = j jm f s 300'" 40mts

200 200

100 100

p,

O 2 3 4 , / (s) r (s), 3 4 ,lb) 'o)

I1r-2.05

. : i l - 1:K) m

u-... = 75 mis

x (m)

400

300

100

200

2,7 (a) y (b) Al calcular la velocidad media Urned-z en intervalos cada vez más cortos, suvalor se acerca a la velocidad Lnstantánea. (e) La velocidad instantánea u. en un tiempodado es igual a la pendiente de la tangente a la eurva x- / en ese tiempo. Obtenernos dichapendiente dividiendo cualquier intervalo vertical (con unidades de dislancia) sobre la tan-gente entre el intervalo horizontal correspondiente (con unidades de tiempo).

\



2.3 I Aceleración media e instantánea

(. )

2,8 (a) La gráfica x-t del movimiento de una panícula dada. La pendiente de la langente

en cualquier punlo es igual a la velocidad en ese puma. (b) Diagrama de movimiento quemuestra la posición y velocidad de la partícula en los cinco inslanles rotulados en el diagrama x-t. La panícula se acelera entre A y D, luego sc frena entre D y e, donde se detiene momentáneamente. Luego a\-anza en la dirección -x, acelerando entreeyD Yfrenando enlreD y E.

/", ""o• 11 ..

IO

, ,'. • •O

I ' 'O

'c •O

I ~ ,'DO

" . ~O

lb)

Movimiento de

gr.if>ea .>:-/ l.l particula

Á pendicnte positi\"l.. movimioento en

as í que Vx >0 l a d i ~ + ÁB pendienle posiliv, movimicnto en la

mayor. as i que Vx > O d ~ 6 n +.>:más

rtpido que cn A

e pendienlc cero, instanlll:neamenteasí que l/x = O

" """'"pendiente negativa. movimiento en

así que IIx< O la dirección -.>:

E pendiente negaliva movimiento en la

menor. así que lIx< O dirección -xmás

lento que en D

E

,

Q

2.3 I Aceleraci6n media e instantánea

La figura 2.9 es una gráficac.-r del movimiento de una partícula. ¿En cuál de los

puntos P, Q, RYS es positiva la velocidad vx? ¿En cuáles es negativa? ¿En cuáles

es cero? ¿En qué punto es máxima la rapidez? 2.9 Gráficax-t para una partícula.

Observe que en la figura 2.8 se muestra el movimiento de una partícula de dos

formas. La figura 2.8a es una gráficax-l, y la 2.8b es un ejemplo de diagrama de

movimiento que muestra la posición de la partícula en diversos instanles, como

cuadros de un filme o video del movimienlO de la particula,junto con flechas que

representan la velocidad de la panícula en cada instante. Ambas representaciones

ayudan a enlender el movimienlo, y las usaremos a menudo en este capítulo. Re

comendamos dibujar una gráfica x-( y un diagrama de movimiento como parte de

la resolución de cualquier problema de movimiento.

Aceleración media

Si la velocidad de un cuerpo cambia con el t iempo, decimos que el cuerpo tiene

una aceleración.Así como la velocidad describe la tasa de cambiode posición conel tiempo, la aceleración describe la lasa de cambiode la velocidad con el tiempo.

La aceleración tambien es una cantidad vectorial. En el movimiento reclilineo, su

única componenle distinta de OeSla sobre el eje en el que se da el movimiento.

Consideremos otra vez el movimiento de una panícula en el eje x. Supongamos

que, en el tiempo t b la partícula esta en el punto P t Ytiene una componente x de

velocidad (instantánea) VIx, Yen un instante posterior /2 está en P2 y tiene la com

ponente x de velocidad V2x' Así, la componente x de la velocidad cambia en .ó.v, =

U2x - vlxenel inlervalo.ó.r= (2 - /1 '



48 CAPfTULO 2 I Movimienloenlínearecla

DeHnimos la aceleración media, 0mcd-x. de la partícula al moverse de PI a P2

como un vectorcuya componente x es .1.u... el cambio en la componenlexde la ve

locidad, dividido entre el intervalo de tiempo at:

(2.4)

Ejemplo

2.2

(aceleración media, movimiento rectilíneo)

En el movimiento rectilíneo, normalmente llamaremos a Qmed-... aceleración media,

recordando que en realidades la componente x del vectorde aceleración media. (Ve-

remos otras componentes del vector de aceleración media en el capitulo 3.)

Si expresamos la velocidad en metros por segundo y elliempo en segundos, la

aceleración media está en metros por segundo por segundo, o (rn/s)/s. Esto suele

escribirse m1s2 y se lee "metros por segundo al cuadrado",

¡No confunda aceleración (on velocidad! la velocidad describe elcambio de la posición de un objeto con el t iempo; nos dice con qué rapidez y en

qué dirección se mueve el objeto. La aceleración describe cómo cambia la velo·

cidad con el tiempo; es decir, nos dice cómo cambian la rapidez y la dirección del

movimiento. Podrla ser útil recordar la frase Naceleración es a velocidad como

velocidad es a posición N •

Aceleración media

Una aslronaUla sale de un transbordador espacial en órbita para

probar una unidad personal de maniobras; mientras se mueve en lí

nea recta, su compañera a bordo mide su velocidad cada 2.0 s a par

tir del instante I "" 1.0 s:

'. '.l.0 s 0.8 mis 9.0s -0.4 mis

3.0s 1.2 mis Il.0s -1.0 mis

5.0s 1.6 mis 13.0 s -1.6 mis

7.0s 1.2 mis 15.0 s -0.8 mis

Calcule la aceleración media y diga si la rapidez aumenta o dis

minuye para cada uno de estos intervalos: a) ti - 1.0 s a t1 '" 3.0 5;

b) ti • 5.0 s a t ~ "" 7.0 s; e) ti ·9.0 s a t ~ . . 11.05; d) ti . . 13.0 s a t I

- 15.0s.

ll!l!!l!mlIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: Usamos la definición de aceleración

media, ecuación (2.4), para detenninar el valor de Qmed-x a partir del

cambio de velocidad en cada intervalo de tiempo. Determinamos

el cambio de rapidez en cada intervalo recordando que la rapidez v

es la magnitud de la velocidad instantánea vx'

EJECUTAR: La pane superiorde la figura 2.1Ografica la velocidad

en función del tiempo. La pendiente de la linea que conecta los pun-

tos inicial y final de cada intervalo es la aceleración media a""" " , •~ v J a t para el intervalo. Los valores de aD\Od-.l se grafican en la par

te baja de [a figura. Para cada intervalo, tenemos

ti.. (mis)

1.5 ..........

~ - . " " ,1.0 ~ _ - t , ó , t I . I

,ó" I0.5 I,O f - + - - - f - - - ' ~ - - - + - - - ' - - - - - ~ t (s)

= ~ : ~ 5 ¿'JI,'" ,1.5 I I __ -1I I I II I I I

GfI'l<d..{mls1) : ::::

I I I I I

0.5 I I : : L...-..J

L..----' "O f - - - - - - ~ - - - + - _ . . ; . - , ' , + - - - ~ I (s)SI-......J IS

-O.S

2.10 La pendiente de la línea que conecta dos puntos en una grá.

fica de velocidad contra tiempo (arriba) es la aceleraciónmedia

entre esos dos punlOS (abajo).



2.3 1 Aceleración media e instantánea

Ya podemos definir la aceleración instantánea con el mismo procedimiento que

seguimos para la velocidad. Considere este caso: un piloto acaba de entrar en la

recta final del Grand Prix; l lega al punto PI en el inslante ti con velocidad lIb' y

pasa el punto P2, más cerca de la meta , en t2 con velocidad vlt (Fig. 2.11).

(2.5)

"~ " , " .... - = ~ . ~ _ x 2.11 Vehículo Grand Prix en dos pUDIO

de la recta.

EVALUAR: Si la aceleración tiene la misma dirección (mismo

no) que la velocidad inicial. como en los intervalos a y c. la as

nauta semueve más rápidamenle; cuando tiene la dirección oplle

(signo opuesto) como en los intervalos b y d se frena. Al mov

en ladirección negativa con rapidez creciente (intervalo e), su vcidad disminuye algebraicamente (se hace más negativa) y su a

leración es negativa, pero cuando se mueve en la dirección nega

con rapidez decreciente (intervalo d), su velocidad aumenta a

braicameDle (se hace menos negativa) y su aceleración es positi

(Las unidades de los números 60 y 0.50 deben ser las indicadas

ra que la expresión sea dimensionalmente congruente.) a) Calc

el cambio de velocidad entre tI - 1.0 s y /2 = 3.0 s. b)Calcule la a

leración media en el intervalo. e) Obtenga la aceleración instan

"-

. 6.ux d v ~a = h m - - ~

.... I) 6.( dt

(aceleración instantánea, movimiento rectilíneo)

Aceleraciones media e instantáneaEjemplo

2.3

o

a) a a d - ~ ' " (1.2 mis - 0.8 mls)/(3.0 s - 1.0 s ) : 0.2 mlr. La rapi

dez (magnitud de la velocidad instantánea) aumenta de 0.8 mis a

\.2 mis.

b) a m e < l _ ~ = (1.2 mis - 1.6 mls)/(7.0 s - 5.0 $ ) : -0.2 mlsl . La ra

pidez disminuye de 1.6 mis a 1.2 mis.e) ame<l_x "" [-l.O mis - (-0.4 m/s»)/[ll.O s - 9.0 s] = -0.3 mlsl

.

La rapidez aumenta de 0.4 mis a 1.0 mis.

d) a"'e<l-x = [-0.8 mis - (-1.6 mls)]I[l5.0 s - 13.0 s] 0.4 mls2•

La rapidez disminuye de 1.6 mis a 0.8 mis.

Aceleración instantánea

Para definir la aceleración instantánea en PI> tomamos el segundo punto P2 ca ·

da vez más cerca de PI de modo que la aceleración media se calcule en intervalos

cada vezmás COrlos. La aceleración instantánea es el límile de la aceleraciónme·

dia cuando el intervalo de tiempo se acerca a cero. En el lenguaje del cálculo, la

aceleración instantánea es la rasa instantánea de cambio de la velocidad con el

tiempo. Asi,

Suponga que la velocidad Ux del auto de la figura 2.l1 en el tiempo

Iestá dada por

Observe que la ecuación (2.5) es realmente la definición de la componente x del

vector aceleración; en el movimiento rectilíneo, las demás componentes son cero.

La aceleración instantánea desempeña un papel fundamental en las leyes de lamecánica. En adelame. al hablar de "aceleración". nos refer iremos a la acelera·

ción instantánea, no a la media.



2.3 I Aceleración media e instantánea 4

a) Q.-... = (1.2 mfs - 0.8 mfs)l(3.0 s - 1.0 s) - 0.2 mls1. La rapi.

dez (magnitud de la velocidad instantánea) aumenta de 0.8 mfs a

1.2 mis.

b) a-.,.. - (1.2 mis - 1.6 mls)l(7.0 s - 5.0 s) = -0.2 mls2. La ra-

pidez disminuye de 1.6 mis a 1.2 mis.e) Q-. . .. [-1.0 mis - (-0.4 mls>Y{ll.O s - 9.0 s] = -0.3 rn/!l,

La rapidez aumenta de 0.4 mis a 1.0 mis.

d)Q_ -1-0.8 mis - (-1.6 m1s>Y115.0 s - 13.0 s] = 0.4 m1sl ,

La rapidez disminuye de 1.6 mis a 0.8 mis.

Aceleración instantánea

EVALUAR: Si la aceleración tiene la misma dirección (mismo si

no) que la velocidad inicial, como en Jos intervalos a y e, la astr

nauta se muevemis rápidamente; cuando liene la direcciónopues

(signo opuesto) como en los intervalos b y d, se frena. Al mover

en la dirección negativa con rapidez creciente (intervalo e), su velcidad disminuye algebraicamente (se hace más negativa) y su ac

leración es negativa, perocuando se mueve en la dirección negati

con rnpidez decreciente (intervalo d), su velocidad aumenta alg

brnlcamente (se bace menos negativa) y su acelernción es posiliv

Ya podemos definir la aceleraclón instantánea con el mismo procedimiento que

seguimos para la velocidad. Considere este caso; un piloto acaba de enlrar en la

recta final del Grand Prix; llega al punto PI en el instante ' 1 con velocidad V lv Y

pasa el punto P2, más cerca de la meta, en t2 con velocidad Vl r (Fig. 2.11).

1- x 2.11 Vehiculo Gran<! Prix en dos puntos

01 PI P z de la recta.

Observe que la ecuación (2.5) es realmente la definición de la componente x del

vector aceleración; en el movimiento rectilíneo, las demás componemes son cero.

La aceleración instanlánea desempei'ia un papel fundamental en las leyes de lamec:anica. En adelante, al hablar de "aceleración", nos referiremos a la acelera

ción instantánea, no a la media.

Para definir la aceleración instantánea en PI> tomamos el segundo punto P2 ca

da vez más cerca de PI de modo que la aceleración media se calcule en intervalos

cada vez mas conos. La aceleración instantánea es el limire de la aceleración me

dia cl/ando el intervalo de tiempo se acerca a cero. En el lenguaje del cálculo, la

aceleración instantánea es la tasa instantánea de cambio de la velocidad con el

tiempo. Así,

EJemplo

2.3

. .6.u" dv"a = h m - ~ " ~ - o dt dt

(aceleración instantánea, movimiento rectilíneo)

Aceleraciones media e instantánea

(2.5)

Suponga que la velocidad v.. del auto de la figuro 2.11 en el tiempo

I está dada por

(Las unidades de los numeros 60 y 0.50 deben ser las indicadas pa

ra que la expresión sea dimensionalmente congruente.) a) Calcu

el cambio de \'elocidad enlTe /1 . . 1.0 s Y'2" 3.0 S. b) Calcule la ac

leración media en el intervalo. c) Obtenga la aceleración instant



50 CAPfTULO 2 1 Movimiento en línea recIa

oea en t i " 1.0 S tomando como ~ t 0.1 s, después 0.01 s y luego

0.00\ s. d) Deduzca una expresión para la aceleración instantánea

en cualquier instante y úsela parn obtener la aceleración en t = 1.0s

yt=3.0s.

lI!l!!mIIDENTIFICAR: Esle ejemplo es análogo al ejemplo 2.1 de la 5e(; -

ción 2.2. (Recomendamos repasar ese ejemplo.)Ahi, calculamos la

velocidad media en inlervalos cada \'U más cortos considerando el

cambio en el desplazamiento, y obtuvimos la velocidad instantánea

diferenciando la posición en función del tiempo. En este ejemplo.

determinaremos la aceleración media considerandocambiosde ve

locidad en un intervalo de tiempo. Asimismo, obtendremos la ace

leración instantóneo diferenciando la velocidad en función del

liempo.

PLANTEAR: Usaremos la ecuación (2.4) de la aceleración media y

la ecuación (2.5) de la aceleración instantanea.

EJECUTAR: a) Primero obtenemos la velocidad en cada instante

sustituyendo I en la ecuación. En el instante 11 = 1.0 S,

Vl x = 60 mis + (0.50 mlsl )( 1.0 S)2 = 60.5 mis

En el instante 1z- 3.0 s.

Ul< = 60 mis + (0.50mlsl(3.0sP = 64.5 mis

El cambio en la velocidad, 6ux , es

6vx = Vl< - ub = 64.5 mis - 60.5 mJs = 4.0 mis

El intervalo de tiempo es 61 '"' 3.0 s - 1.0 s - 2.0 s.

b) La aceleración media durante este intervalo es

_ vlr - v lx _ 4.0 mis _ 2

U ........ - - -2 - 2.0 mis1¡ 1, . S

Durante el intervalo de 1I - 1.0 s a 12 = 3.0 s, la velocidad y la a

leración media tienen el mismo signo (positivo en este caso) y

auto acelera.

c ) C u a n d o ~ I - 0 . l $ ,lz-1.1 sy

v1< ::: 60 mis + (0.50 mislH 1.1 S)2 = 60.605 mis

ó.v. = 0.105 mis

a = 6ux = 0.105 mis = 1.05 mJs2-..., 61 0.1 s

Repita este modelo con 61 = 0.01 s y ~ 1 - 0.001 s; los rt:Sulta

son Q-..., - 1.005 mls2 y a . . . , . ¡ . ~ = 1.0005 mI-r respa:tivamente.T't'ducirse 6/, la aceleraclón media se acerca a 1.0 rnJSl. Concluim

que la aceleración inslantitnea en 1 " 1.0 s es 1.0mlr.d) La aceleración instantánea es a ~ - dv/dl, la derivada de u

constante es cero y la derivada de r2 es 21. Con esto, obtenemos

Q = d v ~ = !!....[60 mis + (0.50 mlrf)r]dr

dI= (O.50ml,')(2t) = (1.0ml,')t

Cuandor-I.Os,

Cuando 1"" 3.0 s,

a ~ = (1.0mlsl)(3.0s) = 3.0m/s:!.

EVALUAR: Observe que ninguno de los valores que obtuvimos

la pane (d) es igual a la aceleración media obtenida en (b). La a

leración instantánea del auto varia con el tiempo. Los ingenie

automotrices l laman a la tasa dc cambio de la aceleración contiempo el "tirón".

Obtención de la aceleración de una gráfica v,,-t o x-t

Interpretamos las velocidades media e instantánea en términos de la pendiente

una curva de posición contra tiempo. Igualmente, podemos entender mejor

conceptos de aceleración media e instantánea graficando la velocidad instan

nea u ~ en el eje vertical y el t iempo I en el horizontal , o sea, una gráfica v (Fig. 2.12). Los puntos rotulados PI y P2 corresponden a los puntos PI y Pz defigura 2.11. La aceleración media amed-,r = tJ.ujtJ.I durante este intervalo es la pe

diente de la linea PIPZ' Al acercarse Pz a PI en la figura 2.11, pz se acerca a PI

la figura 2.12 y la pendiente de la IíneapIP2 se acerca a la pendiente de la tange

te a la curva en el puntoPI' Así, en una gráfica de velocidad enfunción dellie

po, la aceleración instantánea en cualquier punlo es igual a la pendiente de

langeme de la cun'Q en ese puma. En la figura 2.12 la aceleración instamánea v

ría con el tiempo.

El sígno algebraico de la aceleración por sí solo no nos dice si el cuerpo e

acelerando o frenando; hay que comparar los signos de la velocidad y la acele

ción. Si u" y a" tienen el mismo sígno, el cuerpo está acelerando; si ambas son p



2.3 I Aceleración media e instantánea

IO

(b)

.4-_____JI_•• - " " - . ~ -

O

V ~ I1..\ := O - ••- '"••--"""*.------

O

2.12 Gnífica I),-f del movimiento de la

figura 2.11. La aceleración media entre

ti y f2 es igual a la pendíente de la líl),ea

PiP2' La aceleración instantánea en PI e

igual a la pendiente de la tangente enPI

Movimiento

Gráfica V",-I de la partícula

A u. <O; se mueve en la

pendiente positiva. dirección -x.

así que a.. > O frenando

8 u. - O; instantáneamente en

pendiente positiva. reposo. a punto de

as í que a.. > O moverse en la

dirección +x

e v.. >O; se mueveen la

pendiente cero, dirección +x,asíquea.. =O con máxima rapidez

D" 0' instantáneamente en

pendiente negativa, reposo. a punto de

as í que a .. < O moverse en ladirección -x

E V.. < O; se mueve en la

pendiente negativa. dirección -x,

así que a .. < O acelerando

Pendiente de la Ifnea

p,p, = aceleración

media

,

,,,,

: t J c - < - V b = l l . V ~,,,,/2 - ti '"' lit Ic . . _ ~ - - - - - - - - ---- 1

Pendiente de la tangente'" aceleración instantánea en P J,o

sitivas, el cuerpo se mueve en la dirección positiva con rapidez creciente. Si am

bas son negativas, el cuerpo se mueve en la dirección negativa con velocidad ca

da vez más negativa, y la rapidez aumenta. Si Vx y Qx tienen signos opuestos, el

cuerpo está frenando. Si Uxes positiva y Qx negativa, el cuerpo se mueve en direc

ción positiva con rapidez decreciente; si v" es negativa y Gx positiva, el cuerpo se

mueve en dirección negaTiva con velocidad cada vez menos negativa, y está fre

nando. La figura 2.13 ilustra estas posibilidades.

Frecuentemente podemos llamar desaceleración a una reducción de rapidez.

Dado que esto puede implicar a", positiva o negativa, dependiendo del signo de v""

evitaremos este término.

(. )

e

2.13 (a) Gráfica V,-t del movimiento de una partícula (un movimiento distinto que en la

Fig. 2.8). La pendiente de la tangente en cualquierpun\o es igual a la aceleración en ese

punto. (b) Diagrama de movimiento que muestra la posición, velocidad y aceleración dela partícula en los instantes rotulados en la gráfica [i,-I. Las posiciones son congrucntes

con la gráfica; por ejemplo, de f ~ a tR la velocidad es negativa, así que en tB la particula

está en un valor más negativo de x que en fA"



CAPfTULO 2 I Movimiento en l ínea recta

También podemos obtener la aceleración de un cuerpo a partir de una gr

de su posición con el tiempo. Dado que ax= dv)dt y Vx= dx/dt, podemos esc

-".. = O • u ., I)

a=O¡ "" •)

I, - " .

'e •

I • v(1=0

" •)

v . . ."" a"

lb)

du, d (dx) d'xa ----- ---dt-dtdt-dr-

Es decir, axes la segunda derivada de x respecto a t. La segunda derivada de

función se relaciona directamente con la concavidad o curvatura de la gráfi

la función. Donde la curva x-t es cóncava hacia arriba, la aceleración es posit

Vx aumenta; donde la curva es cóncava hacia abajo, la aceleración es negativa

disminuye. Donde la gráfica x-t no tiene curvatura, como en un punto de i

xión, la aceleración es cero y Vx es constante. Estas tres posibilidades se ilu

en la figura 2.14. La curvatura de una gráfica ;r-t nos dice qué signo tiene la a

ración. Esta técnica es menos útil para detenninar valores numéricos de la ace

ción, porque es dificil medir con exactitud la curvatura de una gráfica.

2.14 (a) La misma gráficax-t de la figura 2.8a. La velocidad es igual a ¡apendiente

gráfica, y la aceleración está dada por su concavidad o curvatura. (b) Diagrama de mmiento que muestra la posición, velocidad y aceleración de la particula en cada uno dinstantes rotulados en la gráfica x-t.

Movimiento de la

Gráficax-I panícula

A pendiente positiva. se mueve en la

curvatura hacia arriba. dirección +.1'.

asíqueux>O,ax>O acelerando

B pendiente positiva. se mueve en la

curvatura cero, dirección +x,

asíquevx >O , ax =0 la rapidez no cambia

e pendiente cero, instantáneamente en

curvatura hacia abajo, reposo. la velocidad

asíquevx=O,ax<O cambia de + a -

D pendiente negativa. se mueve en la

curvatura cero, dirección -x.

asíqucVx<O,ax=Q la rapidez no cambia

E pendiente negativa. se mueve en la

curvatura hacia arriba. dirección -x ,

asíqueux<O,ax>O Frenando

E

52

Examine otra vez la gráfica x-t de la figura 2.9 al final de la sección 2.2. ¿En

les de los puntos P, Q, R YS es positiva la aceleración ax? ¿En cuáles es nega¿En cuáles parece ser cero? Compare la aceleración en cada punto con la ve

dad Vx en ese punto y decida si la rapidez está aumentando, disminuyendo

mantiene constante.

2.4 I Movimiento con aceleración constante

El movimiento acelerado más sencillo es el rectilíneo con aceleración const

En este caso, la velocidad cambia al mismo ritmo todo el tiempo. Se trata de

situación muy especial, pero común en la Naturaleza: como veremos en la sec

que sigue, un cuerpo que cae tiene aceleración constante si los efectos del air



2.4 I Movimientocon aceleración constante 53

IV. :c

•--= U I " ' - - ~ . " " : ' . _ - - __ ,O

•--,1••"- ,o ~,. fU ,,'-••••-------,O

r - 3 ~ t ~ ' - - - - . , " " •• ,O

t=4Af 1O

'.

o

'.r---.....-

o

2.15 Diagrama de movimiento para una.

panícula que se mueve en línea recta eo ladirección +.1' con aceleración posiliva constante Qro Se muestran la posición, velocidad y aceleración en cinco instantesequiespaciados. La velocidad cambia lomismo en cada intervalo porque la aceleración es constante. La posición cambia endiferentes cantidades en intervalos igualesporque la velocidad está cambiando.

lIr - - - - - - - - - - -

2.16 Gráfica aceleración-tiempo (a..-t) pa-ra movimiento rectilíneo con aceleraciónpositiva constante aro

2.17 Gráfica velocidad-tiempo (uz·r) paramovimiento rectilíneo con aceleración positiva constante aro La ...elociclad inicial u. .tambien es positi\'3.

(2.7)

(2.8)

o

(sólo con aceleración constante)

a =•Vh - Vb

'1 1I

Sean ahora rl = OY11 cualquier instante arbitrario posterior l. Simbolizamos con Va.

la componente:cde la velocidad en el instante inicial1-0 ; la componente:c de la ve

locidad en el instante posterior 1 es vr . Entonces, la ecuación (2.7) se convierte en

Podemos interpretar la ecuación como sigue. La aceleración a r es la tasa cons

tame de cambio de velocidad, o sea, el cambio en la velocidad por unidad de tiem

po. Elténnino a..,t es el producto del cambio en la velocidad por unidad de tiempo,

ar , y el intervalo de tiempo 1; por tamo, es el cambio 10lal de la velocidad desde el

instante inicial I= Ohasta un instante f posterior. La velocidad v" en cualquier ins

tante 1es entonces la velocidad inicial va. (en 1= O) más el cambio en la velocidad

a..,t. Gráficamente, podemos considerar la altura Vr de la gráfica de la figura 2.17

en un instante 1 como la suma de dos segmentos: uno con longitud VIb: igual a la

velocidad inicial y otro con longitud a..,t igual al cambio de velocidad durante el

intervalo l. La gráfica de velocidad en función del t iempo es una linea recta con

pendiente ar que interseca el eje vertical (eje u) en unr.

Otra interpretación de la ecuación (2.8) es Que el cambio de velocidad vr

- v(Ir

de la partícula entre 1= OYun ( posterior es igual al área bajo la gráfica ar-I entre

esos dos instantes. En la figura 2.16, el área bajo la curva ar-I es el rectángulo verde

con lado vertical a ~ y lado horizontal l. El área del rectángulo es a..,t, que por la ecua

ción (2.8) es igual al cambio en velocidad V" - VIh- En la sección 2.6 veremos que

aun si la aceleración no es constante, el cambio de velocidad durante un intervalo es

igual al área bajo la curva ar -' , aunque en tal caso la ecuación (2.8) no es válida.

Queremos ahora deducir una ecuación para la posición x de una partícula que

se mueve con aceleración constante. Para ello usamos dos expresi<?nes para la ve

locidad media umed-r en el intervalo de , = Oa cualquier t posterior. La primera pro

viene de la definición de v-o-r, ecuación (2.2), que se cumple sea constante o no

la aceleración. La posición inicial es la posición en 1= O, denotada con :Co. La po-

son importantes. Lo mismo sucede con un cuerpo que se desliza por una pendien

le o sobre una superficie horizontal áspera. El movimiento rectilíneo con acelera

ción casi constante se da también en la tecnología, como cuando unjer de combate

es lanzado con catapulta desde un portaaviones.En esta sección deduciremos ecuaciones clave parn el movimiento rectilineo con

aceleración constante que nos permitirán resolver una amplia gama de problemas.

La figura 2.15 es un diagrama de movimiento que muestra la posición, veloci

dad y aceleración en cinco instantes distintos de una partícula que se mueve con

aceleración Constante. Las figuras 2.16 y 2.17 representan el movimiento con las

gráficas. Puesto que la aceleración ar es constante, la gráfica Q r ~ t (aceleración

contra tiempo) de la figura 2.16 es una línea horizontal. La gráfica de velocidad con

tra tiempo tienependiente conStante porque la aceleración es constante; por tanto,

es una línea recta (Fig. 2.17).

Si la aceleración es constante, es fácil deducir ecuaciones para:c y u en función

del tiempo. Comencemos con la velocidad. En laecuación (2.4) podemos sustituir

la aceleración media amed-r por la aceleración constante (instantánea) a;



í

54 CAPÍTULO 2 I MovimienlOenlínearecta

sición en el (posterior es simplemente x. Así, para el intervalo ~ t = f - OYel deplazamiento correspondiente ll x = x - xo, la ecuación (2.2) da

•(2.10

(2.12)sólo con aceleración constame)

(sólo con aceleración constante)il.< + fJx

fJmed-x =2

(Esto no se cumple si la aceleración varia y la gnifica ux·t es una curva, como e

la Fig. 2.13).También sabemos que, con aceleración constante, la velocidadux en uinstante l está dada por la ecuación (2.8). Sustituyendo esa expresión por fJx enecuación (2.10),

x - Xo

u. . . . ~ - -

(2.9ITambién podemos obtener otra expresión para lJ""'d_.. que es válida sólo si a econstante, de modo que [a gráfica V [ f sea una línea recta (como en la Fig. 2.17)la velocidad cambie a ritmo constante. En este caso, la velocidad media en cuaquier intervalo es sólo el promedio de las velocidades al principio y al final del intervalo. Para el intervalo de Oa l,

1vrned·x = "2(VQx + vil.< + a;)

1= VO:r + "2axl (s610 con aceleración constante) (2.11

Por último, igualamos las ecuaciones (2.9) y (2.11) Ysimplificamos el resultado

I x - Xovil.< + -axt = --- o

2 I

Act¡"VPHyscs

1.1 Análisis del movimiento condiagramas

1.2 Análisis del movimiento congráficas

1.3 Predicción de un movimiento conbase en gréficas

1.4 Predicción de un movimiento conbase en ecuaciones

1.5 Estrategias para resolverproblemas de cinemática

1.6 Esquiador en competencia dedescenso

IIEsta ecuación dice que, en el instante inicial l = O, una partícula está en Xo y tienvelocidad u¡a; su nueva posiciónx en un 1posterior es la suma de tres ténninos: sposición inicial xo, más la distancia vn./ que recorreria si su velocidad fuera constante y una distancia adicional !axl2 causada por el cambio de velocidad.Así como el cambio de velocidad de la partícula es igual al área bajo la gráf

ca 0x-t, el desplazamiento - e s decir, el cambio de posición- es igual al árebajo la gráfica Vx·f. Específicamente, el desplazamiento x - Xo de la panícula entre t = OYcualquier instanle 1posterior es igual al área bajo la curva vx·t entre esodo s ins tantes . En la f igura 2.17 el área se dividió en un rectángulo oscuro colado venical VO:r Ylado horizontall y un triángulo rectángulo claro con lado vertcal axt y lado horizontal t. El área del rectangulo es v(hI, y la dellriangulo

!(o;) (t) = 101, así que el área total bajo la curva es

Ix - Xo = Uful + '2a;2

lo que concuerda con la ecuación (2.12).El desplazamiento durante un intervalo siempre puede obtenerse del área baj

la curva vx·t, incluso si la aceleración no es constante, aunque en tal caso la ecuación (2.12) no es válida. (Demostraremos esto en la sección 2.6.)Podemos comprobar si las ecuaciones (2.8) y (2.12) son congruentes con el su

puesto de aceleración constanle derivando la ecuación (2.12). Obtenemos

dxti =-=tI +atxdrU< ·t



2.4 I Movimiento con aceleración conslanle 5

que es la ecuación (2.8). Diferenciando otra vez, tenemos simplemente

du.- ~ adI •

Act¡"vPhyscs

Pendienle '" ti "

I...e..--r PendieDte ., Vo."'o

,o

1.8 Los cinturones de seguridadsalvan vidas

1.9 Frenado con derrape

1.11 Auto arranca y luego se para

1.12 Resolución de problemas condos vehlculos

1.13 Auto alcanza a camión

1.14 Cómo evitar un choque ~ o r atrás

2.18 Gnifica de posición contra tiempo(X+/) para movimienlo m;tilineo con aceleración constante. Esta gráfica se refiere almismo movimiento que las figuras 2.15.2.16 Y2.17. En esle caso, la posición ini·cial xI), la velocidad inicial un. y la aceleración o" son positivas.

(sólo con aceleraci6n constante) (2.13)

(s610 con aceleración constante) (2.14)lu " , + u.)x-.xo= I2

Podemos obtener una relación más útil igualando dos expresiones para U...o.:r>

ecuaciones (2.9) y (2.10) y multiplicando por t. Obtenemos

u" = UOJ: = constante

x = Xo +'u"t

Observe que la ecuación (2.14) no contiene la aceleración O". Esta ecuación es utilcuando 0x es constante pero se desconoce su valot.

Las ecuaciones (2.8), (2.12), (2.13) Y(2.14) son las ecuaciones delmovimien

to CO/1 aceleración conslollte. Con ellas, podemos resolver cualquier problema de

cinemática que implique movimiento rectilineo de una partícula con aceleración

constante.

La figura 2.18 es una gráfica de la coordenada x en función del tiempo para

movimiento con aceleración conslante; es decir, es la gráfica de la ecuación

(2.12); la grafica x- f para aceleración constante siempre es una parábola. La cur

va interseca el eje vertical (x) en xl), la posición en f = O. La pendiente de la tan-

gente en t - Oes VQn la velocidad inicial, y la pendiente de la tangente en cualquier

t es la velocidad u" en ese instante. La grafica de la figura 2.18 es cóncava hacia

arriba. La pendiente y la velocidad aumentan conlinuamente, así que la acelera

ción es positiva. Si o" es negativa, la gráfica x· t es una parábola cóncava hacia abajo.

En el caso particular de movimiento con aceleración constante ilustrado en la

figura 2.15 y graficado en las figuras 2.16, 2.17 Y2.18, los valores de Xo. uQr Yo"

son positivos. Vuelw a dibujar las figuras para los casos en que una, dos o las lTes

cantidades son negativas.

Un caso especial de movimiento con aceleración constante se da cuando la ace

leraci6n es cero. La velocidad es conSlante, y las ecuaciones del movimiento se

convierten sencillamente en

Transferimos el terminoXo al miembro izquierdo y multiplicamos la ecuación JXlr 2ax:

2a.(x - xo) = 2 u ( l r u ~ - 2uo} + u} - 2u(lrv" + va}

Por último, al simplificar obtenemos

como era de esperar.

En muchos problemas, es útil tener una relación entre posición, velocidad y

aceleración que no incluya el tiempo. Para obtenerla, despejamos I en la ecuación

(2.8), susliruimos la expresión resultante en la ecuación (2.12) y simplificamos:



CAPÍTUL02 I Movimienloen línea recia

Movimiento con aceleración constante

v ~ '= uQr + a,,1

'= 15 mis + (4.0mI¡){20 s) '= 23 mis

I ,x=r ·+u +-a t ·

. ,. (lo 2 ~

= 5.0m + (15m1s)(2.0s) +~ ( 4 . 0 m / s 2 ) ( 2 . 0 s F

= 43 m

está la partícula cuando tiene cierta velocidad (o sea

cuánto vale x cuando f ) ~ tiene ese valor)? El ejemplo 2.4

pregunta "¿Dónde está el motociclista cuando su veloci

dad es de 25 mis'!' En símbolos, esto es "¿Cuánto vale x

cuando v ~ .. 25 mis?"

4. Haga una lista de las cantidades como x, xo, v,,, !Jo.. a ~ y t

En general, algunas serán conocidas y otras no. Escrib

los valores de las conocidas y decida cuáles de las varia

bles son las incógnitas. No pase por aito información im

plicita. Por ejemplo, "un auto est á parado ant e un

semaforo" implica va. = O.

EVALUAR la respuesta: Examine sus resultados para \ 'er si son

lógicos. ¿Eslin dentro del intervalo general esperado de valores?

EJECUTAR la solución: Escoja una ecuación de las ecuacione

(2.8), (2.12), (2.13) Y(2.14) que contenga sólo una de las incóg

nitas. Despeje la incógnita usando sólo símbolos, sustituya lovalores conocidos y calcule el valor de la incógnita.A veces ten

drá que resolver dos ecuaciones simultáneas con dos incógnitas

posición"inicial es "1l- 5.0 m y la velocidad inicial es [ la.. 15

La aceleración constante es as. 4.0 mls2. Las variables descon

das en la parte (a) son: los valores de la posición x y la velocida

en el instante posterior t =< 2.0 s; la incógnita en la parte (b) es el

lor dex cuando Us '" 25 mis.

EJECUTAR: a) Podemos hallar la posición en I • 2.0 s usand

ecuación (2.12) que da la posición x en función del tiempo t:

Podemos hallar la velocidad en ese instante con la ecuación (2

que da la \'elocidad u. en función del tiempo t:

x (este) b) Para la solución de la parte (a), vemos quc la velocidad es

25 mis en un instante posterior a 2.0 s y a más de 43 m del letr

Por la ecuación (2.13), tenemos

V ~ 2 '= V(lol + 2aAx - "1l)

Cálculos de aceleración constante

·' 0

,-O

Ejemplo

2.4

PLANTEAR el problema siguiendo estos pasos:

l. Es preciso decidir al abordar un problema dónde está el

origen de las coordenadas y cual dirección es positiva. El cri

terio suele ser la comodidad. Lo más fiícil suele ser colo

car la partícula en el origen en t - O; así,.l:o - O. Siempre

es útil un diagrama de movimiento que muestre estas de

cisiones y algunas posiciones posteriores de la particula.

2. Recuerde que la dirección positiva del eje detennina auto

máticamente las direcciones positivas de la velocidad y laaceleración. Si x es positiva a la derecha del origen, u ~ y o"

también son positivas hacia la derecha.

3. Primcro replantee el problema con palabras y luego tra

duzca su descripción a símbolos y ecuaciones. ¿Cuando

llega la partícula a cierto PUnlO (cuánto vale t)1 ¿DQnde

IDENTIFICAR los conceptos pertinentes: En casi lodos los pro-

blemas de movimiento reclilíneo, podrá usar las ecuaciones de

aceleración constante, aunque a veces se topará coo situaciones

en las que la aceleración no es constante. En tales casos. necesitará otra estrategia (véase sección 2.6).

o

•

Estrategia para

resolver problemas

56

PLANTEAR: Tomamos el letrero como origen de coordenadas (x =

O) Ydecidimos que el eje +x apunta al este (Fig. 2.19). En t - 0, la

El!!IiI':'IlIIDENTIFICAR: El enunciado del problema nos dice explicitamente

que la aceleración es constante, así que podemos usar las ecuacio

nes para aceleración constante.

~ . 1 9 Motociclista viajando con aceleración constante.

Un motociclista que viaja al este cruza una pequeña ciudad de lowa

y acelera apenas pasa el let rero que marca el1imite de la ciudad

(Fig. 2.19). Su aceleración constante es de 4.0 mls1. En r- O, esta a

5.0 m al este del letrero, moviéndose al este a 15 mis. a) Calcule su

posición y velocidad en t - 2.0 s. b) ¿Dónde está el motociclista

cuando su velocidad es de 25 mis?



2.4 I Movimiento con aceleración conStante

Despejando x y sus tiNyendo los valores conocidos, obt enemos Despues, por la ecuación (2.12), tenemos

X (m)

160

120

u.. = 15 mis 8il- 40

O 2 4 6 8 10 121(5)

(bl

1 ,x = Xo + uo.' + 2 G ~ r

1= 5.0 m + (15 m/s)(2.5 s) + '2(4.0m/S2)(2.5 s)2

= 55 m

EVALUAR: ¿Son lógicos los resultados? Según lo que calculame'lla parte (a), el motociclista acelera de 15 mis (unos 54 kmI23 mis (unos 83 kmIh) en 2.0 s, mientras recorre una distancia38 m. El resultado de la pane (b) nos dice que, después de ot0.5 s, el motociclistaha avanzado otros 12 m y ha aceleradoa 25(90 km/b). Ésta es una aceleración considerable, pero una motoalto rendimiento bien puede alcanzarla.

EJECUTAR: a) Buscamos el valor del tiempo 1cuando el conducy el policía cst in en la misma posición: x"" '= Xp. Aplicando la ección (2.12), x ;; Xo + uClI + (1!2 )0';, a cada vehiculo, tenem

1XM ;; O+ VMnrt + '2(0)t

2 ;; UMnrt

1 1Xp '" O+ (0)( + 2'0p,,1

1'" '2apJ1

el cual el policia alcanza al conductor, es decir, cuando los doshículos estan cn la misma posición. En la parle (b) nos interesarapidez u del policía (la magnitud de su velocidad) en el tiempotenido en laparte (a). En la parte (c) nos interesa la posición de clesquiera de los vehiculos en ese liempo. Por lanto, usaremos

ecuación (2.12) (que relaciona posición y tiempo) en las panesy (e), y la ecuac ión (2.8) (que relaciona velocidad y tiempo) enpane(b).

Puesto que XM , . Xp en el t iempo 1, igualamos las dos expresionedespejamos 1:

Uz '= 3.0m/52

•

Dos cuerpos con diferente aceleración

u} - U0z1

x=xo+ asi,2",

(,.::5c:m1

=,'),-'cc-_<"I.;;S.::m1:.:',,-)'=5.0rn+-2( 4.0 O1/s

2)

= 55 m

Ejemplo25

= 2.5 s

u.. =uQ:t+a¿ asi

•

o bien, podemos usar la ecuación (2.18) para averiguar en qué instante Uz '= 25 mis:

(. )

O

Un conductor que viaja a velocidad constante de 15 mis pasa por uncruce de escolares cuyo límite de velocidad es de 10 mis. En ese

momento, un policía en su motocicleta que está parado en el cruce,arranca para perseguir al infractor, con aceleración constante de 3.0m1r(Fig. 2.208). a) ¿Cuánto tiempo pasa antes de que el policía alcance al infractor? b) ¿A qué velocidad va el policía en ese instante? e) ¿Qué distancia total ha recorrido cada vehícuJo basta ahi?

PLANTEAR: Tomamos como origen el cruce, así que Xo - Oparaambos, y tomamos como dirección positiva a la derecha. Sea Xp laposición del policia y XM la del conductoren cualquier instante. Lasvelocidades iniciales son VI'(b = Opara el policía y U.'Klr = 15 mis para el conductor; las respectivas aceleraciones constantes son Gpz , .

3.0 mJr y aMo- - O. Nuestra incógnita en la parte (a) es el tiempo tras

lIiI!!liIiJlIIDENTIFICAR: El policía y el conductor se muc\'cn con aceleraciónconstante (cero en el caso del conductor), asi que podemos usar lasfónnulas que deducimos.

2.20 (a) Movimiento con aeeleracíón COnSlanle que alcanza a movimiento con velocidadconstante. (b) Gráfica de x vs. r para cada vehículo.



58 CAPfTULO 2 I Movimiento en Hnearecla

2 V ~ 1 O - ' 2( 15 mIs)t=O o 1=--= = la s

Upx 3.0 m/sl

Hay dos instantes en que los \'ehículos tienen la mismacoordenada:c.

El primero. t = 0, es cuando el conductor pasa por el cruce donde

está la motocicleta. El segundo, t'" 10 s, es cuando el policía alcan-

za al conductor.

b) Queremos la magnitud de la \'c1ocidad del policia v"" en el ins-

lame I obtenido en (a). Su \'elocidad en cualquiermomento esta da-

da por la ecuación (2.8):

up" = Uro. + ( lp" f = O+ (10m/52)1

asi que cuando t '" 1Os, up, ., 30 mis. Cuando el policía alcanza al

conductor, va al doble de su velocidad.

e) En 10 s, la dislancia recorrida por el conductor es

xM = UMk ' = (15m1s)(lOs) = 150m

y la distancia que el policía recorre es

Esto comprueba que cuando el policía alcanza al conductor, amb

han recorrido la misma distancia.

EVALUAR: La figura 2.20b muestra las gráficas dc x contra 1 pa

ambos vehiculos. Aquí vemos tambiénquc hay dos instantes en q

la posición es la misma (donde se cruzan las curvas). En ninguno

ellos los dos vchículos tiencn la misma velocidad (las curvas

cruzan con distinta pendiente). En r = 0, el policia eslá en repos

en r= lOs, [a rapidez del policía es el doble de la del conduelor.

En tina persecución real, el policía aceleraría a una rapidez m

yor que la del conductor y luego frcnaria para tener la misma vel

cidad al alcanzarlo. No tratamos este caso aqui porque impli

cambio de aceleración (pero véase el problema 2.68).

La figura 2.20b es una gráfica x-' para cada vehículo del ejemplo 2.5. Dibuje u

gráfica Vx-t para cada vehículo. ¿Hay un momento en que el conduclOr y el pol

cia tengan la misma velocidad? ¿En qué tiempo sucede?

2.5 I Cuerpos en caída libre

"

2.21 FOlografia con mulliples destellos deuna pelota en caída libre.

El ejemplo más conocido de movimiento con aceleración (casi) constante es

caída de un cuerpo bajo la influencia de la atracción gravitacional de laTierra. E

to ha interesado a rilósofos y cientificos desde la antigüedad. En el siglo IV a.C

Aristóteles pensaba (erróneamente) que los objetos pesados caen con mayor rap

dez que los ligeros, en proporción a su peso. Diecinueve siglos después, Galile

afirmó que los cuerpos caían con una aceleración constante e independiente de

peso. En la sección 1.1 mencionamos que, según la leyenda, Galileo experimen

dejando caer balas desde la Torre Inclinada de Pisa.

Desde entonces, la caída de los cuerpos se ha estudiado con gran precisión.

puede descontarse el efecto del aire, Galileo esta en 10 cieno; todos los cuerpos eun lugar específico caen con la misma aceleración hacia abajo, sea cual sea su t

maño o peso. Si la distancia de caída es pequeña en comparación con el radio t

rrestre, la aceleración es constante. En lo que sigue usamos un modelo ¡dcnliznd

en el que hacemos caso omiso de los efectos del aire. la rotación terrestre y la di

minución de la aceleración con la altitud. Llamamos a este movimiento idealiz

do caída libre, aunque incluye también el movimielllo ascendente. (E n el capitu

3 extenderemos el estudio de la caída libre para incluir el movimiento de proye

Iilcs, que además se mueven horizontal y venicalmeme.)

La figura 2.21 es una foto de una pelota que cae lOmada con una lámpara e

troboscópica que produce destellos intensos a intervalos iguales. Cada destello



2,5 1 Cuerpos en caída libre

el=O.uy=O

,(= 3.0s,y= -44.1 ro

t ti)' .. -29.4 mis

Actj'VPhys es

1.7 Se deja caer limonada desde

un globo aerostático

1.10 Caída de un saltador con

garrocha

11= I.Os.y= -4.910

r . ' l ~ l l > I ' ti)' = -9.8 mis

2.22 Posición y velocidad de una moneda en caída libre desde

el reposo.

Moneda en caida libreEjemplo

2.6

y = Vo;/ + ~ a / ! = O+1.( -g) t ! = (-4.9 mls2)t !2 2

vy = VD)' + ay! = O + ( -g)! = (-9.8 mis!)!

EJECUTAR: En un instante arbitrario r, la posición y la velocidad son

tan corto (millonésimas de segundo) que casi no se borran las imágenes de los ob-

jetos en movimiento, aunque éste sea rápido. En cada destello, la película registra

la posición de la pelota. Como los intervalos entre destellos son iguales, la veloci-

dad media de la pelota entre dos destellos es proporcional a la distancia entre las

imágenes correspondientes en la foto. El aumento en las distancias muestra que lavelocidad cambia continuamente; la pelota está acelerando hacia abajo. Al medir

constatamos que el cambio de velocidad es el mismo en cada intervalo, así que la

aceleración de la pelota en caida libre es constante.

La aceleración constante de un cuerpo en caida l ibre se llama aceleración de

bida a la gravedad, y denotamos su magnitud con g. Por 10 regular, usaremos el

valor aproximado de g cerca de la superficie terrestre:

g := 9.8 m/s2 = 980 cm/s

2

= 32 ft/s 2 (valor aproximado cerca de la superficie terrestre)

El valor exacto varía según el lugar, asi que normalmente sólo lo daremos con dos

cifras significativas. Dado que g es la magnitud de una cantidad vectorial, siem

pre es positiva. En la superficie de la Luna, la aceleración debida a la gravedad se

debe a la fuerza de atracción de la Luna, no de la Tierra, y g = 1.6 mls2• Cerca de

la superficie del Sol, g = 270 m/s2.

En los ejemplos que siguen usamos las ecuaciones que deducimos en la sec-

ción 2.4. Sugerimos al lector repasar las estrategias de resolución de problemas de

esa sección antes de estudiar estos ejemplos.

PLANTEAR: Tomaremos el origenOcomo el punto de partida, el eje

de coordenadas es vertical y la dirección hacía arriba es positiva

(Fig. 2.22). Como el eje de coordenadas es vertical, llamaremos a la

coordenada y en vez de x. Sustituiremos todas las x de las ecuacio-

nes de aceleración constante por y. La coordenada inicial Yo Yla ve

locidad inicial VOy son cero. La aceleración es hacia abajo (en la

dirección y negativa), asi que ay= -g = -9.8 mis!. (Recuerde que,

por definición, g siempre es positiva.) Por tanto, nuestras íncógnitas

son los valores de y y vyen los tres instantes especificados. Para ob-

tenerlos usamos las ecuaciones (2.12) y (2.8), sustirnyendo x pory.

Se deja caer una moneda de un euro dcsdc la Torrc Inclinada de Pi-

sa; parle del reposo y cae libremente. Calcule su posición y velo-

cidad después de 1.0, 2.0 Y3.0 s.

lE!!I!r:DIDENTIFICAR: '·Cae libremente" significa "tí ene una aceleración

constante debida a la gravedad", asi que podemos usar las ecuacio-

nes para aceleración constante en la detcrminación dc nuestras in

cógnitas.



60 e AP fT u lO 2 Movirnienlo en línea recta

Cuando l . 1.0 s, y - (-4.9 mJs1)(I.O 5)2 '"' -4.9 m y uy - (-9.8

m1s2)(I.0 s) = -9.8 mis; después de un segundo, la moneda está 4.9

m debajo del origen (yes negativa) y licne una velocidad hacia aha

jo (uyes negativa) con magnimd de 9.8 mis.

La posición y la \'elocidad a los 2.0 y 3.0 s seobtienen de lamis-

ma forma. Los resultados se muestran en la figura 2.12; verifique

los valores numencos.

EVALUAR: Todos los valores que obtuvlmos para u, son negalivo

porque: decidimos que el eje +y apuntaría hacia arriba, pero bie

podríamos haber decidido que apuntara hacia abajo. En tal caso,

aceleración habría sido ay: +g y habriamos obtenido valores pos

tivos para 11,.. No importa que eje escoja; sólo asegUrese de decirlclaramente en su solución y confinne que la aceleración tenga

signo correcto.

Movimiento ascendente y descendente en caida libre

Cuando 1- 4.00 5, las ecuaciones para y y u, en función dliempo I dan

La pelota pasó su punto más alto y esta 18.4 m debajo del origen

es negativa); ticne velocidad hacia abajo (uy es negativa) de magntud 24.2 mis, mayor que la rapidez inicial, lo que es lógico para lo

puntos por debajo del punto de lanzamienlo. Para oblener estos r

sullados, no necesitamos conocer el punto más alto alcanzado n

cuándo se alcanzó; las ecuaciones dan la posición y la velocida

en cualquier instante, esté subiendo la pelota o bajando.

b) La velocidad u,en cualquier pos[ciónyestá dada por la ecuació

(2.13) cambiando lasx por y

v/ = vo/ + 2a,(y - Yo) = v o : > ~ + 2( -g)(y - O)

= (15.0 m l s ) ~ + 2( -9.80 mis2)y

u, = -24.2 mis=-18 .4m

Ejemplo

2.7

Imagine que usted lanza una pelota venicalmente hacia arriba des

de la azotea de un edificio. La pelota abandona la mano en un pun

to a la altura del barandal de la azolea con velocidad ascendeme de

15.0 mis, quedando en caida libre. Al bajar, la pelola libra apenas el

barandal. En este Jugar,g = 9.8 mls2. Obtenga a) la posición y velo

cidad de la pelota 1.00 s y 4.00 s después de soltarla; b) la velocidad cuando la pelota está 5.00 ro sobre el barandal; e) la altura

máxima alcanzada y el instante en que se alcanza; y d) la acelera

ción de la pelota en su altura máxima.

lEl!millIIDENTIFICAR: Las palabras "caida libre" en el enunciado del pro

blema implican que la aceleración es constante y debida a la grave

dad. Las incógni tas son la pos ición [en las partes (a) y (c)] , la

velocidad [en las panes (a) y (b)] Yla aceleración [en la parte (d»).

2.23 Posición y velocidad de una bola lanzada hacia arriba.

y (m)

l'.

PLANTEAR: En la figura 2.23, la trayectoria descendente se mues·

Ir a desplazada un poco a la derecha por claridad. Sea el origen el

barandal, donde la pelota abandona la mano, y sea la dirección po-siliva hacia arriba. Primero, reunamos los dalOS. La posición inicial

Yo es O, la velocidad inicial uOyes +15.0 mis y la aceleración es Q, =

g" -9.80 mls1. Usaremos otra vez las ecuaciones (2.12) y (2.8) pa

ra calcular la posición y la velocidad, respectivamente, en función

del tiempo. En la parte (b), nos piden hallar la velocidad en cierta

posición, no en cierto tiempo, así que nos convendrá usar la ecua

ción (2.13) en esa pane.

EJECUTAR: a) La posicióny y la velocidad v y en cualquier instanle

, una vez que se suelta la pelola están dadas por las ecuaciones

(2.12) y (2.8), cambiando x por y:

y= Yo

=vOy'

+±a

yt

2

=Yo

+vOyt

+±< -g)1

2

= (O) + ( 1 5 . 0 m i S ) I + ~ ( - 9 . 8 0 m l s 2 ) t 2v, = VOy + a,' = VOy + (-g),

= 15.0 mis + ( -9.80 mls2),

Cuando t = 1.00 s, estas ecuaciones dan

y=+lO. lm u,=+S.2m1s

La pelota está 10.1 m sobre el origen (y es positiva) y se mueve ha-

cia arriba (uyes positiva) con rapidez de 5.2 mis, menorque la rapi

dez inicial de 15.0 mis, como se esperaba.

1 - - · ~ ' r o o 'L

10

,o

-1 0

-1'

-2J)

-25



2.5 I Cuerpos en caída libre

Observe que con la primera forma no es necesario calcular primero

el tiempo.

y(m) u, (mis)

15 15

10 lO

55

OO r (5) 4

-5

-5

-10-10 -1 5

-15 -2 0

-20 -25

(, ) lb)

La verdad es que, en el punto más alto, la aceleración sigue sie

ay = -g= -9.80 mlsl, la misma que cuando está subicndo y c

do está bajando. La pelota se detiene un instante en el punto más

pero su velocidad está cambiando continuamente, de valores p

tivos a negativos, pasando por O.

EVALUAR: Una forma útil de verificar cualquier problema de

vimiento es dibujar las gráficas de posición y de velocidad en

ción del tiempo. La figura 2.24 muestra esas gráficas para

problema. Observe que la gráfica vy-t tiene pendiente nega

constante. Ello implica que la aceleración es negativa (hacia ab

al subir, en el punto más alto y al bajar.

velocidad de la pelota ya no cambiaría y, al estar instantáneam

te en reposo, permanecería en reposo por siempre.

Queremos despejar t cony - -5.00 m. Puesto que la ecuación

cluye r!, es una ecuación cuadrática en l.

2.24 (a) Posición y (b) velocidad en función del tiempo para u

pelota lanzada hacia arriba con una velocidad inicial de IS mis

EJECUTAR: Primero replanteamos la ecuación en la fonna cua

tica estándar para x desconocida, A.r +Ex + e = o:

¿Dos soluciones o una?Ejemplo28

Con la bola a 5.00 m sobre el origen, Y = +5.00 m, así que

v/ = (15.0 mIs)" + 2( -9.80 m/sL)(S.OO m) = 127 mL/s 2

v,= ~ 1 1 . 3 m 1 s

Obtenemos dos valores de v ] ~ uno positivo y uno negativo, pues lapelota pasa dos veces por este punto, una subiendo y otra bajando.

La velocidad de subida es +11.3 mis, y de bajada, -11.3 mis.

e) En el punto más alto, la pelota deja de subír (vy positiva) y co

mienza a bajar (vy negativa); en el instante en que llega al pun

to más alto, vy = O. La altura máxima YI puede obtenerse de dos

formas. La primera es usar la ecuación (2.13) y sustituir uy= O, Yo

=Oyay=-g:

0= VCJ>2 + 2(-g)(Yl - O)

U[}y2 (1S.0 mlS)2

YI =z;¡= 2(9.80mls2) = +l1.Sm

La segunda es calcular el instante en que vy= Ousando la ecuación

(2.8), uy= VOy + a; , y sustituir este valor de t en la ecuación (2.12)

para obtener la posición en ese instante. Por la ecuacíón (2.8), el

instante 11 en q ~ e la bola llega al punto más alto es

v}' = O = u[}y + (-g)t l

VO>' IS.0 mIs1=-= =I.S3s1 g 9.80 mls2

Sustíruyendo este valor de 1en la ecuación (2.12), tenemos

1Y=Yo+VOyl+ 2

Q}' t2= (O) + (15m1s)(1.53s)

+ ±(-9.8m1s1)(1.S3S)l = +l1.Sm

d) Es ljJl error común pensar que en el punto más alto

del movimiento la velocidad es cero y la aceleración es cero. Si

fuera así, ila pelota quedaría suspendida en el punto más alto

eternamente! Recuerde que la aceleración es la tasa de cambio de

la velocidad. Si la aceleración fuera cero en el punto más alto, la

Determine el instante en que la pelota del cjemplo 2.7 cstá 5.00 m

por debajo del barandal.

llEl!l'!lmIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: Otra vez escogemos el ejey como en

la figum2.23, así queYo, vO¡iy a:r= -g tienen los mismos valores que

en el ejemplo 2.7. Otra vez, la ecuación (2.12) day en función de t:

y = Yo + vo,t + ±a yt2=) '0 + V[}yl + ±( _g)t

2



62 CAPiTULO 2 I MovimieDtoeD línea recta

oon A = gf1., a - -vOy y c"" y - Yo- Usando la fónnula cuadrática(apéndice B), vemos que la ecuación tiene dos soluciones:

-B " val 4AC

2A

- ( - o . ) " \I( o,) ' 4(812)(,

2(gl2)

Sustituyendo los valoresYo .. O, vlll' = +15.0 mfs,g - 9.80 m/s1Yy. , - 5.00 m, obtenemos

(15.0mls) :!: V(IS.Omfs)l 2(9.80mls1)( S.rom O)t :: ,

9.80 mis-

/ : :+3.36s o t=-0.30s

Para decidir cuál de éstas es la respuesta correcta, la pregunta clavees: "¿Son lógicas estas respuestasT La segunda, / = -0.30 s. sim·plelllente es absurda; ¡se refiere a un instante OJO s antes de sollarla pelota! Lo correcto es I = +3.36 s. La pelota está 5.00 m debajodel barandal 3.36 s despues de abandonar la mano.

y :: Jo + 1}C\r' + H_g)11. Esta ecuación incorpora el supuesto d

que la aceleración es constante para lodos los valores de 1, positvos, negativos o cero. Tal cual, esta «uación nos diría que la pelota se ha estado moviendo hacia arriba en caída l ibre desde loalbores del tiempo y pasó por la mano en y - Oen el instante especial que decidimos llamar r = O, y continuó su caida libre. Sin embargo, todo lo que esta ecuación describa como sucedido antes dI = Oes ficción, ya que la pelota entró en caida libre sólo despuéde abandonar la mano en I= O; la '·solución" ( - -OJO s es parte desta ficción.Repita estos cálculos para detenninar cuándo la pelota está 5.0

m sobre el origen 0'· +5.00 m). Las respuestas son I = +0.38 s1- +2.68 s; ambos son valores positivos de 1y se refieren al movmiento real de la pelota una Ve-L soltada. El primer inslallte es cuando la pelora pasa por y = +5.00 m de subida, y el segundo, cuandpasa por ahí de bajada. (Compare esto oon la parte (b) dd ejempl2.7.) Detennine también los inslantes en quey = +15.0 m. En estcaso, ambas soluciones requieren obtener la raíz cuadrada de unumero negativo, asi quc no hay soluciones reales. Esto es lógicoen la parle (e) del ejemplo 2.7 vimos que la altura máxima de la pelota esy = +11.5 m, así que nunca llega ay - +15.0 ffi. Aunque unecuación cuadrática como la (2.12) siempre tienc dos soluciones,veces una o ambas no tienen sentido físico.

l'

EVALUAR: ¿De dónde salió la "solución" erronea I = -0.30 s? Recuerde que partimos de la ecuación (2.12) eon al ' ' ' -g , es decir,

Si lanza una pelota hacia arriba con ciena velocidad, cae libremente y alcanza unaltura máxima 11. ¿Qué alturn máxima alcanza la pelota si se le lanza con una velocidad inicial dos veces mayor?

I

Aceleración: conocidaVelocidad: por determinarPosición: por determinar

2.2S la. posición Yvelocidad de un aviónque cruza elAlÜntico se obtienen imegraDdD su acde:rac-ión respectO al tiempo.

*2,6 I Velocidad y posici6n por integraci6n

Esta sección opcional es para estudiantes que ya aprendieron algo de cálculo inte

gral. En la sección 2.4 analizamos el caso especial de movimiento rectilíneo coacelernción constante. Si QJI no es constante, como es común, no podemos aplicalas ecuaciones que deducimos en esa secG,Íón. Pero aun si OJl varia con el tiempo

podemos usar la relación UJI = d:cldl para obtener la \'elocidad en función del tiempo si x es una función c o n o c ~ a de t, y podemos usar oJl = duJdt para obtener laceleración oJlen función del tiempo si UJI es una función conocida de l.

En muchas situaciones físicas, sin embargo, no conocemos la posición y la velocidad en función del tiempo, pero sí la aceleración. ¿Cómo obtenemos la posición y la velocidad a partir de la función de aceleración axCl)? Este problema surgal volar un avión de Norteamérica a Europa (Fig. 2.25). La tripulación del aviódebe conocer su posición precisa en todo momento, porque el espacio aéreo sobrel Atlántico none está muy congestionado. Sin embargo, un avión sobre el océansuele estar fuera del alcance de los radiofaros terrestres y del radar de los controladores de tráfico aéreo. Para determinar su posición, los aviones cuentan con un



2.6 I Velocidad y posición por integración 6

"

2.26 Cuando pisamos el pedal del acelerdor de un auto. la acelcración resultante nes constantc: cuanto mayor sea la rapidezdel auto, mas lentamente adquirirá rapideadicional. Un auto ordinario tarda el dobleen acelerar de SO kmlh a 100 kmIh que enacelerar de Oa SO km/h.

2.27 El área bajo una curva a.-t entre lostiempos 11y l zes igual al cambio de velocdad, v,4 - v lx que se da en ese lapso.

(2.15)

(2.16)

El cambio cn Vx es la integral de la aceleración a x respecto al tiempo.Podemos seguir exactamente el mismo procedimienlo con la curva de veloci

dad contra tiempo, donde Vx es en general una función de /. Si XI es la posición de

un cuerpo en tI> y X2 es su posición en '2' por la ecuación (2.2) el desplazamiento~ x en un i n t e r v a l o ~ ' pequeño es vmtO-xA1, donde vlJci.x es la velocidad media du·

raOle At. El desplazamiento t ~ 3 1 x2 - XI duranle'2 - /1 está dado por

Gráficamente, 6.v,. cs igual al área de la tira sombreada con altura Gme<l_x Y anchura At, es decir, el área bajo la curva entrc los lados derecho e izquierdo de At. El

cambio total de velocidad en cualquier intcrvalo (digamos, ti a t1) es la suma delos cambios Aux en los subintervalos, y sc representa gráficamente con el área to

ta/bajo la curva 0x·/ entre (1 y (2 ' (En la sección 2.4 demostramos que esto se cumplía para el caso especial en que a es constante.)En el limite donde los se hacen muy pequeños y numerosos, el valor de 0lllfd.x

para el intervalo de cualquier (a / +At se acerca a la aceleración instantánea 0xenel instante t. En este límite, el área bajo la curva 0x · ( es la integral de 0 x (que en ge

neral es una función de t) de 1, a 12, Si Vtx es la velocidad del cuerpo en /1 y u¡, esla velocidad en t2'

sistema de navegación inercial (lNS) que mide la aceleración del avión. Eslo se

hace de forma análoga o como sentimos cambios en la aceleración de un aUlO en elque viajamos, aun con los ojos cerrados. (En el capitulo 4 veremos cómo el cuerpo detecta la aceleración.) Dada esla información y la posición inicial del avión

(digamos, una puerta dada en el aeropuerto Kennedy) y la velocidad inicial (cerocuando esta estacionado en esa puerta), el fNS calcula y muestra la velocidad yposición actuales dcl avión en todo momento durante el vuelo. Nuestro objetivoen el resto de esta sección es mostrar cómo se efectúan estos cálculos en el casomás sencillo de movimiento rcctilineo con aceleración variable en el tiempo. Lafigura 2.26 muestra un cjemplo cotidiano de movimiento rectilineo con acelera

ción variable.Primero consideraremos un enfoque gráfico. La figura 2.27 es una gráfica 0x·/

para un cuerpo cuya aceleración aumenta con el tiempo. Podemos dividir el intervalo entre los tiempos ti y t1 en muchos intervalos más pequeños, llamando t l t auno representativo. Sea 0mN'x la aceleración media durante tl/. Por la ecuación(2.4), el cambio de velocidad tl ux durante t l t es

El cambio en la posición x ---o sea, el desplazamiento--es la integral en el tiempo de la velocidad uX Gráficamente, el desplazamiento entre ti y t2 es el área bajo la curva Vx·l entre esos dos instantes. (Éste es el resultado que obtuvimos en lasección 2.4 para el caso en que V x está dado por la ecuación (2.8).)

Si /] = OY t2 es cualquier inslante posterior 1, y si Xo y VO,r son la posición y lavelocidad en I "'" O, respectivamente, podemos reescribir las ecuaciones (2.15) y

(2.16) así:



64 CAPÍTULO 2 I Movimiento en línea recta

Movimiento con aceleración cambiante

Aquí, x y Ve< son la posición y la velocidad en el instante t. Si conocemos la aceleración a.. en función del tiempo y la velocidad inicial vOx' podremos usar la ecuación (2.17) para oblencr v.I en cualquier instante; es decir, podemos obtener Vz enfunción de r. Una vez conocida esta función, y dada la posición inicial xCh podemos usar la ecuación (2.18) para calcular x en cualquier instante.

(2.17)

(2.18)

1.0

O, , + - ~ - - - : ~ - - L ~ " " ' - " : - - - : L I(s)

5 10 15 20 30

-1.0

o + - ~ ~ - ~ ~ - - - : ~ ~ (s )

O .5 10 15 20 2S 30

10

20

600

x(m)

800

v. (mis)

30

O" + - ~ - ~ - , L - - - : ' : - - , L - - - : ' : : - 1(5)

.5 10 15 20 25 30

200

400

u. = un. + i'a..-dt

x = x l) + i'VAdr

b) El valor máximo de u, se da cuando v.. deja de aumentar y comienza a disminuir. En este instante,du,/dl- a.... O. Igualando ala expresión de la aceleración,

0= 2.0 mis! - (0.10 m/s))t

2.0 mls¡t= =20s

0.10 misl

Ejemplo

2.9

Sara conduce su Muslang 1965 por una autopista recta. En el instante r'" O, cuando Sara avanza a 10 mis en la dirección +x,pasa un le

trero que está en x-50 m. Su aceleración es una función del tiempo:

a ~ "" 2.0 mls 2 - (0.10 m/sJ)r

Luego usamos la ecuación (2.18) para oblener x en función de r:

x = 50 m + i'[ 10 mIs + (2.0 mls 2 )r - ~ ( O . I O m l s J ) t ~ ]dt

1 1= 50 m + (10 m/s)t + 2"(2.0mls2 )r2 - 6(0.10 mls.l)t J

ti " = 10m/s + i'[2.0mlS1 - (O.IOm/sJ )t]dt

= 10m/s + (2.0m/s1) r - ~ ( 0 . 1 O m / ~ ) r 2

a) Deduzca expresiones para su velocidad y posición en función del

tiempo. b) ¿En qué momento es máxima su velocidad? c) ¿Cuál esesa velocidad? d) Dónde está el aulo cuando alcanza esa velocidad?

lE!!mIIDENTIFICAR YPLANTEAR: La ace1entción es función delliempo,así que.nn podemosusar las fórmulas para aceleración constante de

la sección 2.4. Debemos usar las ecuaciones (2.17) y (2.18) paraobtener la velocidad y la posición, respe<:tivamenle, en función delliempo. Una vez que tengamos esas funciones, podremos cOnlestard i v e ~ a s preguntas acerca del movimiento.

•EJECUTAR: a) En I - 0, la posición de Sara es xo'" 50 m y su ve-

locidad es Vnr - 10 mis. Puesto que se nos da la aceleración a, en

función del tiempo, primero usamos la ecuación (2.17) para obtener la velocidad v ~ en función delliempo r. La integral de l ' esJ , ~ d t c:o .-±-ir·" I con rl *' - l . asi que

1

I

La figura 2.28 muestra las gráficas de x, ti .. y a ~ en función del tiempo. Observeque, para cualquier t, la pendienle de la curvax-tes igual

al valor de ti ... y la pendiente de la curva v.-r es igual al valor de a..

2.28 Posición. velocidad y aceleración del auto del ejemplo 2.9como funciones del tiempo. ¿Puede demostrar que, de continuar emovimiento, el aUIO parará en t = 44.5 s?



2.6 I Velocidad y posición por integración 65

c) Obtenemos la velocidad máxima sustituyendo 1 = 20 s (cuando ves máxima) en la ecuación general de velocidad:

1v m Ó J l _ ~ = lO mis + (2.0 m/s2 )(20 s) 2(0.10 mis')(20 S) 2

= 30mis

d) El valor máximo de v ~ se da en I ' " 20 s. Obtenemos la posición

del auto (el valor de x) en ese instante sustituyendo t = 20 s en la ex

presión general de x:

1x= SOm + (IOm/s)(20s) + 2(2.0 m/s2)(20 S) 2

- ~ ( O . 1 O mis')(20 s) '

517 m

EVALUAR: La figura 2.28 nos ayuda a interpretar los resultados. L

curva inferior de esa figura muestra que Q ~ es positiva entre r= O

1=20 s y negativa después, y es Oen I=20 s, cuando v ~ es máxim

(punto .1110 en la curva de en medio). El auto acelera hasta 1 '" 20 s (por

que v ~ y Q ~ tienen el mismo signo) y frena después de 1 '" 20 s (porqu

tienen signos opuestos).

Puesto que v ~ es máxima en 1 '" 20 s, la gráfica x-t (la de arrib

en la Fig. 2.28) tiene su pendiente positiva máxima ahí. Observ

que la curva es cóncava hacia arriba entre f = OY1= 20 s, cuando Q es positiva, y es cóncava hacia abajo después de f= 20 s, cuando Q, e

negativa.

Ejemplo2 10 Fórmulas de aceleración constante por integración

Use las ecuaciones (2.17) y (2.18) para obtener v, y x en función

del tiempo para el caso de Q, constante. Compare los resultados con

l a ~ fórmulas de aceleración constante v, - Va,- + al (ecuación 2.8)

y x = Xo + Vo,1 + ~ a , t 2 (ecuación 2.12) que deducimos en la sec

ción 2.4 sin usar integración.

lE!!I3liJlIEJECUTAR: Por la ecuación (2.17), la velocidad está dada por

Pudimos sacarQ, de la integral porque es constante. El resultado es

idéntico a la ecuación (2.8), como debe ser. Si sustitiuimos esta ex

presión para V, en la ecuación (2.18), obtendremos,

x = Xo + i ' U ~ d l = Xo + i'(vo, + a,r)dr

dado que Vo.. Yax son constantes, pueden sacarse de la integral:

i' i' 1 o=xo+va,- d t+a x Id l=Xo+voxl+-a .r-"" 2

EVALUAR: Este resultado es igual a la ecuación (2.12). Nuestra

e x p r e ~ i o n e s para Vxy x, ecuaciones (2.17) y (2.18), que deducimo

para manejar casos en que la aceleración depende del tiempo, pueden servimos también cuando la aceleración es constante.

Si la aceleración a ~ está aumentando con el tiempo, ¿la gráfica v,--! será una línea

recta, una curva cóncava hacia arriba o una curva cóncava hacia abajo?

,



66 CAPfTUL02 I Movimientocn línea recUl

RESUMEN

Cuando una partícula se mueve en línea recta,

describirnos su posición respecto al origen O medianle una coordenada comox. La velocidad

media de la panicula, 11........, durante un intervalo

.11 = 12 - tI es igual a su desplazamiento Ó-t '"' Xl

- .TI dividido entre t:.t. (Véase ejemplo 2.1.)

La velocidad instantanca v ~ en cualquier instante I es

igual a la velocidad media en el intervalo de tiempo

de ta l + 1::.1 en cllímite cuando.1r se acerca a cero. De

fonna equivalente, v, es la derivada de la función de

posición respecto al tiempo. (Véase ejemplo 2.1.)

.x dxlJ = l ím-=r . l , ~ o t l . l dI

(2.3)x(m)

"X l160m

V x - ""4':07;00

'00

'00

"O , 3 Xj 1(5)

"

,,:t.u,,

- __ }.!. __ I

l'm<li<D< do lo •

~ " " " " " " " " ,O

Vz,. ~ . ! 'Ptoo!<mo de lo IlDell

p,p, - O<'<I",.,ió~ "(2.5)

(2.4)La aceleración media0_ durante un intervalo i1t es

igual al cambio de velocidad ! : : . u ~ = U;!r - Ub duranteese lapso dividido entre 1::.1. La aceleración instantánea

0x es el l imite de a,l\<d.x cuando ti ! se apro¡{ima a cero,

o la derivada de vr respecto a l. (Véanse ejemplos 2.2

y 2.3.)I¡

Cuando la aceleración es constante, cuatro sólo aceleración constante: x

• ecuaciones relacionan la posición x y la ve- lJx = Vilo + U.,1 (2.8)Pendienle - v,

locidad v. en cualquier instante t con la posi-,

1ción inicial Xo. la velocidad iniciallJo. (ambas x = Xo + lJa,;I + "2l1,;l2 (2.J2)

en l "" O) y la aceleración aro (Véanse ejem-v} = vol + 2a..(x - xo) (2.13) Peooi<nle - vOl>

plos 2.4 y 2.5.) ,. " _ _ _ .J,( " ~ + "'l (2.14) o. ~ ~ x o = 2 t

La caída libre es un caso del movimiento con aceleración constante. La magnitud de la

aceleración debida a la gravedad es una cantidad positiva g. La aceleración de un cuerpo

en caida libre siempre es hacia abajo. (Véanse ejemplos 2.6 II 2.8.)

,o¡"_o.,,.o¡ -1 .0s .y - ~ 4 . 9 m

"'!O m v, • -9.8 mI,

~ 2 0 m J'. 2.0 •. y= -19.6mv, = -19.6 mis

-JOm



Cuando la aceleración no es constante, sino una función 1;0-

nocida delliempo, podemos obtener la velocidad y la posi-

ción en función delliempo integrando la función de la

aceleración. (Veanse ejemplos 2.9 y 2.1 O.)

Notas delleclor

l J ~ = Ulb. + i'o. dt (2.17)

x = Xo +

fu.dr (2.18)

"

" - ' ----"

Términos clave

aceleración debida a la gravedad, 59

aceleración instantánea, 49

aceleración media, 48

caída libre, 58derh'ada,44

Notas del lector

diagrama de movimiento, 47

gráfica o,,-t, 53

gráfica v,,-t, 50

gráficax-t, 43

partícula, 41

rapidez, 44

vclocidad instantánea, 44

velocidad media,41



68 CAPfTUL021 Movimienloenlíneareeta

Respuesta a la pregunta inicialdel capítulo

Si. Aceleración se refiere a cualquier cambio de velocidad, ya sea

que aumente o disminuya.

Respuestas a las preguntas de Evalúesu comprensión

Sección 2.1 Tanto el camión como el auto tienen el mismo despla

zamiento lotal ax (del punto A al punto B) durante el mismo inter

valo de tiempo 6.1. Por tanto, tienen la misma velocidad media

tI_ _ - 6xJAJ. Los detalles de lo que sucede durante el intervalo de

tiempo no importan.

Sección 2.2 La velocidad es positiva cuando la pendiente de la

gráfica.x-I es positiva (punto P), negativa cuando la pendiente es

negativa (punto R) y cero cuando la pendiente es cero (puntos QyS). La rapidez es máxima en los tiempos en los que la pendiente de

la gráfica x-¡ es más empinada (positiva o negativa). lo cual sucede

en el punto R.

Sección 2.3 La aceleración es positiva cuando la curva X- l es cón

cava hacia arriba, como en el punto S, ynegaliva cuando la curva esconcava hacia abajo, como en el punto Q. La aceleración es eero

cuando la grafica X- l es una linea recta, como en los puntos P y R.

En P, u ~ > Oy a ~ " O(la rapidez no está cambiando); en Q, u. > Oy a ~ < O([a rapidez está disminuyendo); en R, u, < Oy a," O(larapidez no está cambiando); y en S, u ~ < Oy a, > O(la rapidez está disminuyendo).

Sección 2.4 El conductor y el policía tienen lamisma velocidad en

(=5.0s.

u ~ (mfs)30

" Polida

20

"10

Cood_

,5

I ( . ~ )O 2 4 6 , 10 12

Sección 2.S Use la ecuación (2.13) sustituyendo x por y y a, = g;

uf = uo; - 2g(y - )b). Laalnrra inicial esYo=Oylavelocidada

la altura máxima y • h es u, = O, así que O = u o , ~ - 2gh Y

h = orin,. Si la velocidad inicial aumenta en un factor de 2, la al-

tura máxima awnentará en un factor de 22 = 4 Y la pelota alcanzará

la altura 4h.

Sección 2.6 La aceleración l I , es igual a la pendiente de la gráfica

u.-t. Si a ~ está aumentando, la pendiente de la gráfica v,-/también

aumenta y la curva es cóncava hacía arriba.

Preguntas para análisis

P2.1 ¿El velocímetro de un automóvil mide rapidez o velocidad?

Explique.

P2.2 En un intervalo de tiempo dado, un auto acelera de 15 mis a20 mis mientras un camión acelera de 36 mis a 40 mis. ¿Cuál vehícu

lo tienemayor aceleración media? Expliquc.

P2.3 ¿Un objeto con aceleración constante puede invertir la direc

ción en la que se mueve? Explique.

P2.4 ¿En qué condiciones la velocidad media es igual a la veloci

dad instantánea?

P2.5 En un tiempo dado, ¿el dt$plazamiento total de una partícula

es igual al producto de la velocidadmedia y el intervalo de tiempo,

aun si la velocidad no es constante? Explique.

P2.6 ¿En qué condiciones la magnitud de la velocidad media es

igual a la rapidez media?

P2.7 Cuando un Dodge Viper está en el negocio "Lavamóvil", un

BMW 23 está en las calles Olmo y Central. Luego. cuando el Dod-ge llega a Olmo y Central, el BMW llega a "Lavamóvil". ¿Qué re

lación hay entre las velocidades medias de los autos entre esos

instantes?

P2.8 Un conductor en el estado de Massachusens fue citado a la

corte porexeeso de velocidad. La prueba contnl el condu<:torent que

una mujer policía observó al auto del conductorjunto a un segundo

auto, en un momento en el que la mujer policía ya habia detennina

do que el segundo auto excedía el límite de velocidad. El conductor

alegó que: "el otro auto me estaba rebasando, yo no iba a exceso de

velocidad". El juez dictaminó contra él porque, según dijo, "si los

autos estaban juntos, ambos iban a exceso de velocidad". Si usted

fuera el abogado del conductor, ¿cómo defendería su caso?

P2.9 ¿Podemos tener despl:munientoOy \'elocidadmedia distinta deO? ¿velocidad distinta de rn Ilustre sus respuestas en una gráflCax-l.

P2.10 ¿Podemos teneraceleración Oy \'elocidad distinta de O? Ex-

plique, usando una gráfica 1),-1.

P2.11 ¿Podemos tener velocidad cero y aceleración media distinta

de cero? ¿Velocidad cero y aceleración distinta de cero? Explique,

usando una gráfica 1),-[ y dé un ejemplo de dicho movimiento.

P2.12 Un automóvil viaja al oeste; ¿puede tener una velocidad ha-

cia el oeste y simultáneamente una aceleración hacia e[ este? ¿En

qué circunstancias?

P2.13 El camión del juez en la figura 2.2 está en Xl = 277 m en'.

= J6.0 s, y en x! = 19 m en 1! = 25.0 s. a) Dibujedo! posibles gráfi

cas x-, distintas para el movimiento del camión. b) ¿la velocidad

media I)meW en el intervalo de 1, a /2 puede lene' el mismo valor enambas gráficas? ¿Por qué?

P2.14 Con aceleración constante, la velocidad media de una par

tícula es la mitad de la suma de sus velocidades inicial y final. ¿Se

cwnple esto si la aceleración no es constante? Explique.

P2,15 Usted lanza una pelota verticalmente hasta una altura máxi

ma mucho mayor que su estatura. ¿Es la magnitud de la acelera

ción mayor mientras se lanza o después de que se suelta? Explique.

P2.16 Demuestre lo quc sigue. i) En tanto puedan despreciarse los

efectos del aire, si se lanza algo verticalmente hacia arriba tendrá la

misma rapidez cuando regrese al punto de lanzamiento que cuando

se soltó. ii) El tiempo de vuelo será el doble delliempo de subida.



IV

6

8 \O 12 14 1

10 16 19 22 2

Ejercicios

Tiempo(s) O 2 4 6Rapidez (mis) O O 2 6

Figura 2.29 Ejercicio 2.10.

100

200

300

- o J " ' ' - " - ~ - ~ ~ ~ - ~ - : - - ' o - 1 (mio)O 2345678

400

Sección 2.2 Velocidad instantanea2.9 Un auto está parado ante un semáforo. Después viaja en línerecta y su distancia respecto al semáforo está dada por .T(t) - bt et l , donde b : 2.40 mls2 y e = 0.120 mlsJ • a) Calcule la velocidamedia del auto entre ,: Oy t = 10.0 s. b) Calcule la velocidad intantánea en i) 1: O: ii) t - 5.0 s; iii) t: 10.05. c) ¿Cuánto tiempdespuCs de arrancar vuelve a estar parado el auto?2.10 Una profesora de fis ica sale de su casa y camina bacia e

campus. A los 5 min, comienza a llovery ella regresa a casa. Su di

tancia respecto a su casa en función del t iempo se muestra en lfigura 2.29. ¿En cuál punto rotulado es su velocidad a) cero? bconstante y positiva? c) constante y negativa? d) de magnitud creciente? e) de magnitud decrecieIJte?

2.6 Geología. Los sismos producen varios tipos de ondas de ehoque. Lasmás conocidas son las ondas P (primarias Ode pn'!Sión)las ondas S (secundarias o de cone). En la eoneza terrestre, las ondas P viajan a cerca de 6.5 km/s mientras que las S lo hacen a uno

3.5 km/s. Las rapideces reales varian dependiendo del tipo de mlerial que atraviesan. La diferencia de tiempo entre la llegada de estos dos tipos de ondas en una estación de registro sísmico revela a logeólogos la distancia a la que se produjo cl sismo. Si el retraso es d33 s, ¿a qué distancia de la estación sísmica se produjo el sismo?2.7 a) Suvieja Combi VW trnquetea con una rapidez media de 8.0mdurante 60 s, luego eDlra en calor y corre otros 60 s con una rapidemedia de 10.0 mis. a) Calcule la rapidez media en los 110 s. b) Suponga que la rapidez de 8.0 mis se manruvo durante 24{) m, seguda de la rapidez media de 20.0 mis durante Olros 24{) m. Calculerapidez media en toda la dislancia. c) ¿En cuál caso es la rapidemedia de todo el movimiento el promedio de las dos rapideces?2.8 Un Honda Civil' viaja en línea recta en carretera. Su distancx de un letrero de alto está dada en función de I por: x(t) =

ur -{3

donde u = 1.50mls2 y (3 "0.0500 mlsl •Calcule la velocidad meddel auto para los intervalos a) 1 - Oa l" 2.00 s; b)1: Oa t - 4.00c) t = 2.00 s a t - 4.00 s.

x(m)

Sección 2.3 Aceleración media e instantánea2.11 Un piloto dc pruebas deAutomotores Galaxia, S. A. está probando un nuevo modelo de aUla con un velocímetro calibrado parindicar mJs en lugar dc km/h. Se obtuvo la siguiente serie de lecluras durante una prueba efecruada en una carretera recta y larga:

P2.17 En el ejemplo 2.7, sustiruirY" - 18.4 m en la ecuación(2.13) nos da v,.-±l4.2mis. La raiznegativa es la velocidad en t-4.00 s. Explique el significado de la raiz positiva.P2.18 Si se conocen la posición y velocidad iniciales de un vehicu

lo y se registra la aceleración en cada instante, ¿puede calcularse laposición después de cierto tiempo con eSlOS dalos? Si se puede. explique cómo.P2,19 Usted y un amigo se estan asomando por la orilla de la azotea de un edificio alto. En el mismo instante en que ustcd lanza unapelota verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial vo, su amigo lanza una canica verticalmente hacia abajo con la misma rapidezinicial Vo- Suponga que se puede despreciar la resistencia del aire.¿Cuál objeto llegara primero al suelo? Compare sus rapideces justoantes de tocar el suelo.P2.20 Se deja caer una pelota desde el reposo en la azotea de unedificio de altura h. En el mismo instanle, una segunda pelota seproyecta verticalmente hacia arriba desde el nivel de la calle, de

modo que tenga velocidad cero cuando llegue al nivel de la azotea.Cuando las dos pelotas se cruzan, ¿cuál tiene mayor rapidez (o tienen las dos la misma rapidez)? Explique. ¿Dóndeeslarán las dos pelotas cuando se crucen: a una altura hl2 sobre la calle, más abajo deesa altura o arriba de esa altura? Explique.

Sección 2.1 Desplalamiento, tiempo y velocidad media2.1 Un cohete que lleva un satilite acelera venicalmente alejindose de la superficie terrestre. 1.15 s después del despegue, el cohetelibra el tope de su plataforma, 63 m sobre cl suelo; después de otros4.75 s, está 1.00 km sobre el suelo. Calcule la magnirud de la velocidad media del cohete en a) la parte de 4.75 s de su vuelo; b) losprimeros 5.90 s de su vuelo.2.2 En un experimento, se sacó una pardela (un avc marina) de su

nido, se le !levó a 5150 km de distancia y luego fue liberada. El averegresó 13.5 dias después de haberse liberado. Si el origen es el ni·do y extendemos el eje +x al punto de liberación, ¿cuál fue la velocidad mcdia del ave en mis a) en el vuelo de regreso'! b) ¿Desde quese tomó del nido hasta que regresó?2.3 Viaje a casa. Suponga que nonnalmeDle conduce por la autopista que va de San Diego y Los Ángeles con una rapidez media de 105

lcrnIh Yel viaje le toma 2 h y 20 min. Sin embargo, un viemes en la

tarde el rráfico le obliga a conducir la misma distancia con una rapidez media de sólo 70 kmIb. ¿Cuánto tiempomás tardará el viaje?2.4 De pilar a poste. Partiendo de un pilar, usted corre 200 m al

este (1adirección+x) con rapidezmedia de 5.0mis, luego 280 m al oeste con rapidez media de 4.0 mis hasta un poste. Calcule a) su rapidez media y b) su velocidad media; del pilar al poste.2.S Dos corredores paTlen simultáneamente del mismo punto deuna pista circular de 200 m y corren en la misma dirección. Uno corre con una rapidez constante de 6.20 mis, y el otro, con rapidezconslanle de 5.50 mis. ¿Cuándo alcanzará el más rápido al más lento (sacindole una vuella) y qué distancia desde el punto de salidahabrá cubierto cada uno?

Ejercicios

,



70 CAPfTULO 2 I Movimiento en lineanx:ta

a) Calcule la aceleración media en cada intervalo de 2 s. ¿Es cons·

tante la aceleración? ¿Es constante durante alguna parte de la prue·

ba? b) Prepare una grifica Vr-I con los datos, usando escalas de I cm

"" I s horizontalmente y I cm = 2 mis verticalmente. Dibuje una

curva suave que pase por los puntos. Mida la pendiente de la curva

para oblener la aceleración instantánea en: r = 9 s, 13 s y 15 S.

2.12 La figura 2.30 muestra la velocidad de un auto solar en fun-

ción del tiempo. El conductol acelera desde un letrero de alto, via

ja 20 s con rapidez constante de 60 lcrnIh Y frena para detenerse

40 s después de partir dclletrero. Calcuk la aceleración media para

estos intervalos: a) 1 - Oa 1= 10 Sj b) , , ,30 s a 1-40 s; c) 1 - \ 0 s

al = 30 s; d), = Oa 1 - 40 s.

00

50

40

30

20

10

- - ; c p ' ' - ; ; ; - ! ; ~ 7 . ~ - ; ; - ~ r (s)O 5 10 15 20 25 30 35 4( l

Figura 2.30 Ejercicios 2.12 y 2.13.

guicntes cambios de velocidad, cada uno en un intervalo de 10 s. In-

dique la magnitud, el signo y la dirección de la aceleración media

en cada intcn'al0. Suponga que la dirección posiliva es a la derecha.

a) Al principio del intervalo, la astronauta semueve a la derecha so

bre el eje x a 15.0 mis, ya1 fmal se mucve a la derecbaa 5.0 mis. b)

Al principio se mueve a la izquierda a 5.0 mis y al final lo hace a la

izquierda a 15.0 mis. e) Al principio se mueve a la derecha a 15.0

mis y al final lo hace a la iJ;quierda a 15.0 mis.

2.17 Aceleración de un aulomóvil, Con base en su experiencia al

viajar en automóvil, estime la magnitud de la aceleración media de

un auto cuando frena desde una rapidez de autopista hasta un all0

lotal. b) Explique por qué esa aceleraciónmedia podria considerar

se positiva o bien negativa.

2.18 La velocidad de un auto en función del tiempo está dada por

v.(r) = a + P l ~ , donde a " 3.00 mis y f3 = 0.100 mlr. a) Calcule la

aceleración media entre 1= OY1- 5.00 S. b) Calcule la aceleración

instantánea en: i) 1 - O. ii) 1 '"' 5.00 s. c) Dibuje las gráficas: V ~ · I y

ux-I exactas para el movimienlO dcl auto entre 1- OY1= 5.00 s.

2.19 La figura 2.31 es una gráfica de la coordcnada de una araña

que caminasobre el eje x. a) Grafique su velocidad y aceleración en

función del tiempo. b) En un diagrama de movimicnto (como el de

las Figs. 2.13b Y 2.14b), muestte la posición, velocidad y acelera

ción de la arañacn los tiempos:, - 2.5s, 1= 10 s, 1- 20 s. 1= 30 s y

1=37.5s.

x (m)

--::1-"':-=--7:--=--::--7:-7:,,"":-- 1 (s)0 5 1 0 1 5 2Q25 3 0 3 5 4 0


2.20 La posición del frente de un auto de pruebas controlado por

microprocesador está dada por x(t) '" 2.17 m + (4.80 m/s1)r

(0.100 mls')t6. a) Obtenga su posición y aceleración en los instan·

tes en que tiene velocidad cero. b) Dibuje las gnificas: x-I, f ) ~ · 1 ya. - l

para el movimiento del frente del aUlo entre' - OY1= 2.00 s.

Panibola

Parábola

Unea

="

LO

0.5

Sección 2.4 Movimiento con aceleración constante

2.21 Un antílope con aceleración constante cubre la distancia de70.0 m entre dos puntos cn 7.00 s. Su rapidez al pasar el segundo

punto es 15.0 mis. a) ¿Qué rapidez tcnía en el primcro? b) ¿Qué

aceleración tiene?

2.22 La catapulla del portaaviones USSAbrohom Lincoln acelera

unje' de combate F/A-18 Homel desde el reposo a una rapidez de

despegue dc 173 milh en una dislancia de 307 R. Suponga ace

leración constante. a) Calcule la aceleración del avión en mlsl.

b) Calcule el tiempo necesario para acelerar el avión hasta la rapi

dez de despegue.

2.23 Bolsas de aire de automóvil. El cuerpo humano puede so

brevivir a un incidente de trauma de aceleración negativa (parada

2.13 Refiérase al ejercicio 2.12 y a la figura 2.30. a) ¿En qué in

ter\"310 de tiempo liene la aceleración inslantánea a ~ su valor más

positi\'o? b) ¿Y el más negativo? c) Detennine la acelcración ins

tantánea en t 20 s. y d) Determinela en 1= 35 s. e) En un diagrama de movimiento (como el de las Figs. 2.J3b o 2.14b), muestre la

posición, velocidad y aceleración del aUla en tos instantes: 1 - 5 s,

1-15s. t -25sYI-35s.

2.14 Una persona que se asoma por la venlana de un edificio alto de

oficinas observa lo que sospecha es un OVl\'I. La persona registra

la posición del objeto en función del tiempo y determina que está

dada por ;(/) = - (5.0m/s)li + (1O.0m/s)lj + [(7.0m/s)'

- (3.0 m I ~ ) r ] k. a) Obtenga los vectores de: desplazamiento, ve

locidad y aceleración del objeto en t - 5.0 s. b) ¿Hay algún liempo

en que la velocidad del objeto sea cero? c) ¿La aceleración del ob

jeto es constante o cambia con e1tiempo?

2.15 Una tonuga camina en línea recta sobre lo que llamaremos

eje x con la dirección positiva hacia la derccha. La ecuación de laposición dc la tortuga en función delliempo es X(I) '" 50.0 cm +(2J)Q cmlS)1 - (0.0625 Cmls2)12. a) Detennine la velocidad inicial,

posición inicial y aceleración inicial de la tortuga. b) ¿En qué ins

tante 11a lonuga liene velocidad cero? e) ¿Cuánto tiempo después

de ponerse en marcha regresa la lonuga al punto de partida? d) ¿En

qué instantes 1la tortuga está a una distancia de 10.0 m de su punto

de panida? ¿Qué velocidad (magnilUd y dirección) tiene la tortuga

en cada uno de esos instantes? c) Dibuje las gráficas: X-I, U ~ · I y a ~ · tpara el intervalo de 1- Oal'" 40.0 s.

2.16 Una astronauta salió de la Estación Espaciallntemacional pa

ra probar un nuevo vehiculo espacial. Su compañero mide los si-

,



Ejercicios 71

50 ,

"0]S

lO

25

2015

10

5

O 2 4 6 6 10 12 14

y la posición del gato en función dcl tiempo, suponiendo que cl ga

to partió del origen.

2.29 En 1= O, un Corvelle viaja por un tramo largo y recto de ca

rretcra en Arizona con rapidez constante de 30 mis. El movimient

dura 20 s. Luego la conductora, preocupada porque va a llegar tar

de, acelera a una tasa constante durante 5 s para alcanzar una rapide

de 40 mis. El auto viaja con esta rapidez lOs, pero la conductora v

un policía en motocicleta parado detrás de un cacto grandc y fren

con aceleración constante de magnitud 4.0 mls2 hasta que la rapi

dez del auto baja otra vez al límite legal de 30 mis. Ella mantien

esta rapidez y saluda al policia cuando lo pasa 5 s después. a) Dibu

je las gráficas: a,-r, v,-r y x-t exactas para el movimiento del aut

desde! = Ohasta que pasa al policía. b) En un diagrama de movi

miento (como los de las Figs. 2.13b o 2.14b), muestre: la posición

velocidad y aceleración de! auto.

2.30 En t = O, Ull auto está detenido ante un semáforo. Al encender

se la luz verde, el auto acelem a mzón constante hasta alcallzur Ull

rapidez de 20 mis 8 s después de arrancar. El auto continúa con m

pidez constante durante 60 m. Luego, el conductor ve un semáforo

con luz roja en el siguiente cruce y frena a razón constante. El auto

para ante el semáforo, a 180 t l l de donde estaba en 1= O. a) Dibuj

las gráficas: x-t. V,-! y a,-t exactas para el movimiento del aUlo. b

En un diagrama de movi-

miento (l:omo los de las Figs. v,(m/s)

2.13b y 2.14b), muestre: la

posición, velocidad y acele

ración del auto.

2.31 La gráfica de la figura

2.33 muestm la velocidad de

un policia en motocicleta en

función del tiempo. a) Calcu

le la aceleración instantánea

en : I =3s , I - 7 sy t= l l s .

¿Qué distancia cubre el poli

cía los primeros 5 s? ¿Los pri-

meros 9 s?¿Los primeros 13 s? I (s)

2.32 La f igura 2.34 es unagráfica de la aceleración de Figura 2.33 Ejercicio 2.31.

una locomotora de juguete

que se mueve en el eje x. Dibuje las gráficas de su velocidad y coor

dcnada x en función del tiempo si X " OYV ," Ocuando 1"'" O.

2.33 Una nave espacial que lleva trabajadores a la Base Lunar 1,

viaja en linea recta de la Tierra a la Luna, una distancia de 384, 000

km. Suponga que acelera a 20.0 m/s2 10s primeros 15.0 min, viaja

G, (mls2)

repentina) si la magnitud de la aclereración es menor que 250 mls2

(cerca de 25 g). Si usted sufre un accidente automovilístico con ve

locidad inicial de 105 ktnIh Yes detenido por una bolsa de aire que

se inna desde el tablero, ¿en-qué distancia debe ser detenido para

sobrevivir?

2.24 Ull avión recorre 280 m en una pista antes de despegar; parte

del reposo, se mueve con aceleración COllstante y está en el aire en

8.00 s. ¿Que rapidez en mis tielle cuando despega?

2.25 Ingreso a la autopista. Ull auto está parado en una rampa de

acceso a una autopista esperalldo un hueco en el tráfico. El conduc

tor ve un hueco entre una vagoneta y un camión de 18 ruedas y ace

lera con aceleración constante para entrar en la autopista. El auto

parte del reposo, se mueve en linea recta y ticne una rapidez de 20

mis al llegar al final de la rampa de 120 m de largo. a) ¿Que acelera

ción tiene e! auto? b) ¿Cuánto tarda e! auto en salir de la rampa? c) El

tráfico de la autopista se mueve con rapidez constante de 20 mis. ¿Que

distancia recorre el tráfico mientras el auto se mueve por la rampa?

2.26 Las figuras 2.15, 2.16, 2.17 Y2.18 se dibluaron para movi

miento con aceleración constante y valores positivos de xQ, vQ, y UX'

Vuelva a dibujar las figuras para estos casos: a) Xo < O, Vil< < O, a,

< O; b)xo > O, Vil< < O, a, > O; c)xQ > O, vo, > O,a,< O.

2.27 Según datos de pruebas efectuadas en 1994, un automóvil

FordAspire recorre 0.250 millas en 19.9 s, partiendo del reposo. El

mismo auto, viajalldo a 60.0 mph y frenando en pavimento seco, se

detiene en 146 pies. Suponga una aceleración constante en cada

parte del movimiento, pero no necesariamcnte la misma acelera

ción al arrancar que al frenar. a) Calcule la aceleración del auto al

arrancar y al frenar. b) Si su aceleración es conslante, ¡,con qué ra

pidez (en mph) deberá estar viajando el auto después de acelerar

durante 0.250 millas? La rapidez real medida es de 70.0 mph; ¿qué

le dice esto acerca del movimiento? c) ¿Cuánto larda este auto en

detenerse cuando viaja a 60.0 mph?

2.28 Un galO camina en línea recta en lo que llamaremos eje x con

la dirección positiva a la derecha. Usted, que es un físico observa

dor, efectúa mediciones del movimicnto del gato y construye una

gráfica de la velocidad del felino en función delliempo (Fig. 2.32).

a) Determine la velocidad del gato en: t = 4.0 s y en t = 7.0 s. b)

¿Qaé aceleración tiene el gato cn t - 3.0 s? ¿En t = 6.0 s? ¿En 1"

7.0 s? c) ¿Qué distancia cubre el gato duranle los primeros 4.5 s?

¿Entre t .. OY t - 7.5 s? d) Dibuje gráficas claras de: la aceleración

2

-;;-t-+-c';--;t--;;ccJr::;-,;;-c';- I (s)O 5 -JO t 20 30 35 40

-2



,- con rapidez constante hasta los últimos 15.0 min, cuando acelera a

- 20.0 mls2, parandojusto al llegar a la Luna. a) ¿Qué rapidez máxi

ma se alcanzó'? b) ¿Que fracción de la distancia total se cubrió con

rapidez constante? c) ¿Cuánto tardó el viaje?



72 CAPfTULO 21 Movimienloen línea recta

•

T.0.__C]

1 ~ _ 1



2.41 Una prueba sencilla de

tiempo de reacción, Se sostie

ne un metro verticalmente de

modo que su extremo inferior

esté entre el pulgar y el índicede la mano del sujelo de la

prueba. Al ver que suchan el

metTO, el sujeto lo detiene jun-

tando esos dos dedos. Se puede

calcular el tiempo de reacción

con base en la d is tancia que el

metrO cayó antes de que se le

delUviera, leída de la escala en

el pumo en que el sujeto lo to -

mó. a) Deduzca una relación para el tiempo de reacción en térmi

nos de esta distancia d. b) Si la dis tanc ia e s 17.6 cm, ¿cual es e

tiempo de reacción?2.42 Se deja caer un tabique (rapidez inicial cero) desde la azotc

de un edificio. El1abique choca con el piso en 2.50 s. Se puede des

preciar la resistencia del aire, así que el tabique está en caída libre

a) ¿Qué altura (en ro) t iene el edificio? b) ¿Qué magnitud tiene l

velocidad del tabique justo antes de llegar al suelo? c) Dibuje la

gr.i.ficas: ay-t, fJ,t y y- l para el movimiento.

2.43 Enojada, Verónica lanza su anillo de compromiso vertical

mente hacia arr iba desde la azotea de un edificio, a 12.0m del sue

lo , con rapidez inicial de 5.00 mis. Se puede despreciar l

resistencia del aire. Para el movimiento desde la mano hasta el suc

Io, ¿qué magnitud y dirección tienen a) la velocidad media del ani

llo? b) ¿su aceleración media? c) ¿Cuántos segundos después de se

lanzado toca el suelo el anillo? d) ¿Qué rapidez tiene el anillo just

antes de tocar el suelo? e) Dibuje las gráficas: ay-t, fJy-t y y-l para e

movimiento.

2.44 El tripulante de un globo

aerostático, que sube verlical-

mente con velocidad constante

de magnitud 5.00 mis, suelta un

saco de arena cuando el globo

es tá 40.0 m sobre el suelo (Fig.

2.37). El sacoestá en caída libre.

a) Calcule la posición y veloci

dad del saco a 0.250 s y I.()() s

después de soltarse. b) ¿Cuánto

lardará el saco en chocar con el

suelo? e) ¿Con qué rapidez cho

cará? d) ¿Qué altura máxima alcanza el saco sobre el sue lo? e)

Dibuje las gráficas: ay·t, vy-t yy·t

para el movimiento.

2.45 Un estudiante la nz a un

globo l leno con agua, vertical-

mente hacia abajo desde un edificio, imprimiéndole una rapide

inicial de 6.00 mis. Puede despreciarse la resistencia del aire. as

que el globo está en caida libre una vez soltado. a) ¿Qué rapidez tie

ne después de caer durante 2.00 s? b) ¿Qué distancia cae en ese lap

so? c) ¿Qué magnitud tiene su velocidad después dc caer 10.0 m

d) Dibuje las gráficas: ay-t, vy-t yy-t para el movimiento.

x(m)

25

20

"0

; ; 1 ¿ ~ - ~ ~ : - - - - ¿ - t (s)O 1 2 3 4

Figura 2.35 Ejcrcicio 2.35.

2.34 Un trcn subterráneo en reposo parte de una estación y acele

ra a 1.60 mis' durante 14.0 s, viaja COIl rapidez constante 70.0 s y

frena a 3.50mis' hasta parar en la siguientcestación. Calcule la dis

tancia tOlal cubiena.

2.35 Dos autos.A yB.

se mueven por eleje x. La

figura 2.35 grafica sus posiciones contra elliempo. a) Endiagramas demovimien

tO (como la Fig. 2.13b o la 2.14b), muestre la posición, velocidad y

aceleración de cada auto en: t =

OS, t - I s y t - 3 s. b) ¿En qué

instante(s), si acaso, ticnen A y 8

la misma posición? e) Trace una

curva de velocidad contra tiem

po para A y para B. d) ¿En qué

instantc(s), si acaso. tienenA y B

la misma velocidad? e) i.En qué

instanle(s), si acaso, el auto A re

basa a 8? f) ¿En qué instante(s)

si acaso, el aUlo B pasa a A?

2.36 En el instante en que un se-

máforo se pone en luz verde, un auto que esperaba en el cruce

arranca con aceleración constante de 3.20 mls 2• En el mismo ins

tante, un camión que viaja con rapidez constante de 20.0 mis alcan

za y pasa al auto. a) ¡.A qué distancia de su punto de partida el auto

alcanza al camión? b) ¿Qué rapidez tiene el auto en ese momento?

c) Dibuje una gr.i.fica x· t del movimiento de los dos \'ehículos, to

mandox= Oen el cruce. d) Dibuje una gnifica f J ~ - t del movimientode los dos vehiculos.

2.37 Como en el ejemplo 2.5, un auto viaja a velocidad constante

con magnitud vc. En el ins tante en que el aUlo pasa a un pol ic ia,

éste acelera su motocicleta desde el reposo con aceleración aM>-

a) Dibuje una gráfica x-t del movimiento de ambos objetos. De

muestre que. cuando el policía alcanza al auto. t iene una rapidez

dos veces mayor que la del auto, no importando el valor de aM.<.

b) Sea d la distancia que la mOlocicleta recorre antes de alcanzar al

auto. En ténninos de d, ¿cuánto ha viajado el policía cuando su vc

locidad es igual a la del auto?

Sección 2.5 Cuerpos en caida libre

2.38 Gotas de l luvia. Si pueden descontarse los efcctos del aire

sobre las gotas de lluvia, podemos tratarlas como objetos en cai

da libre. a) Las nubes de lluvia suelen eslar a unos pocos cientos de

metros sobre el suelo. Estime la rapidez (en mis. kmlh y miIh) con

que lasgotasIlegarlan el suelo si fueran objetos en caida libre. b) Es-

time (con base en sus observaciones personales) la velocidad real

con que las gotas de lluvia chocan con el suelo. c) Con base en susrespuestas a las partes (a) y (b), ¿es justificable ignorar los efectos

del aire sobre las gotas de lluvia? Explique.

2.39 a) Si una pulga puede sallar 0.440 m hacia arriba, ¿qué rapi

dez tiene al separarse del suelo? ¿Cuánlo tiempo está en el aire?

2.40 Alunizaje. Un alunizador está descendiendo hacia la Base

Lunar 1(Fig. 2.36) frenado por el empuje del motorde descenso. El

motor se apaga cuando el alunizador está 5.0 m sobre la superficie

y tiene una velocidad hacia abajo de 0.8 mis. Con el motor apaga

do, el vehiculo esta en caída libre. ¿Qué rapidez tiene justo antes de

tocar la superficie? La aceleración dcbida a la gravedad lunar es

de 1.6 mis '.



Problemas 7

2.46 Se lanza un huevo casi verticalmente hacia arriba desde unpunto cerca de la comisa de un edificio a1l0; al bajar, apenas librala comisa y pasa por un punto 50.0 m bajo su punto de panida 5.00 sdespués de abandonar la mano que lo lanzó. Puede despreciarse la

resistencia del aire. a) ¿Qué rapidez inicial tiene el huevo? b) ¿Quéaltura alcanza sobre el punto de lanzamiento? c) ¿Qué magnitudliene su velocidad en el punlo más alto? d) ¿Qué magnitud y dirección liene su aceleración en el punto más allo? e) Dibuje las gráficas: a,-I, 1),-1 y y- t para el movimiento.2.47 El trineo cohete Sanie Wind No. 2, utilizado para investigarlos efectos fisiológicos de aceleraciones elevadas, corre sobre unavía recta horizontal de 1070 m. Desde el reposo, puede alcanzaruna rapidez de 224 mfs en 0.900 5. a) Calcule la aceleraciÓn enmls2, suponiendo que esconstante. b) ¿Cuál es la raron de esta aceleración a la de un cuerpo en caida l ibre <E)? c) ¿Qué distancia se

cubre en 0.900 s? d) En una revista se aseguró que, al f inal de cierta prueba, la rapidez del trineo descendió de 283 mis a cero en 1.40 s

y que en ese t iempo la magnitud de la aceleración fue mayor que40g. ¿Son congruentes estaS cifras?2.48 Un peñasco es expulsado verticalmente hacia arriba por unvolcán, con una rapidez inicial de 40.0 mis. Puede despreciarse laresistcncia del aire. a) ¿En qué instante después de se r expulsado el

peñasco está subiendo a 20.0 mis? b) ¿En qué instante esci bajandoa 20.0 rnls? c) ¿Cuándo es cero el desplazamiento respeclo a laposición inicial? d) ¿Cuándo es cero la velocidad del peñasco?

e) ¿Qué magnirud y dirección tiene la aceleración cuando el penasca está: i) subiendo? ii) ¿bajando? ¡ii) ¿en el punto más alto? f) Di

buje las gráficas: a,-I, I),-t y y-I para el movimiento.2.49 Suponga que g fuera sólo 0.98 mls1 en lugar dc 9.8 mls l, pero que no cambiaran las velocidades iniciales con que podcmos saltar hacia arr iba o lanzar pelotas. a) Calcule la al tura hasta la que

podría saltar verticalmente estando parado si puede saltar 0.75 mcong = 9.8 mls

1. b) ¿Qué tan alto podría lanzar una bola si la lanza

18 m hacia arriba con g . 9.8 mls2? c) Calcule la altura máxima deuna ventana desde la que saltaría a la acera si con g = 9.8 mls

1 seatreve a saltar desde 2.0 m, la altura normal de una ventana de primer piso.

*Sección 2.6 Velocidad y posición po r integración*2.50 La aceleración de un camión está dada por a,(t) = o:t, dondea = \.2 m/s J• a) Si la rapidez del camión en t = 1.0 s es 5.0 mis,¿ c u ~ 1 será en 1- 2.0 s? b) Si la posición del camión en 1:= 1.0 s es

6.0 m, ¿cuál será en1-2.0 s? e) Dibuje las gráficas: a",-t, U",-1 y X-I

para el movimiento.*2.51 La aceleración de una motocicleta está dada por aJ.t) = Ar

8r 2, conA - 1.50 mlsl y 8 " 0.120 mJs·. La molo está en reposo en

el origen en 1 - O. a) Obtenga su posición y velocidad en función de l.

b) Calcule la velocidad máxima que alcanza.*2.52 Sallo \ 'olador de la pulga. Una película tomada a alta velocidad (3500 cuadros por segundo) de una pulga saharina de 210 p.gprodujo los dalOS que se usaron para dibujar la gráfica de la figura2.38. (Véase 4'he Flying Leap ofthe Flea", por M. Rothschild, Y.

Schlein, K.. Parker, C. Neville y S. Stembergen el ScienrificAmeri-

can de noviembre de 1973.) La pulga tenia una longitud aproximada de 2 mm y saltó con un ángulo de despegue casi vertical. Use la

150

u100

'"'"O o, LO l. , 2.0 2. '

TiemDO feD m i l i s e ~ )Figura 2.38 Ejercicio 2.52.

gráfica para contestar estas preguntas. a) ¿La aceleración de la puga es cero en algún momento? Si lo es, ¿cuándo? Justifique s

respuesta. b) Calcule la altura maxima que la pulga alcanzó elos primeros 2.5 ms. e) Detennine la aceleración de la pulga a lo0.5 ms.. 1.0 ros y 1.5 ms. d) Calcule la alturade la pulga a los: 0.5 ro1.0 ms y 1.5 ros.*2.53 La gráfica de la figura 2.39 describe, en función del tiempla aceleración de una piedra que baja rodando por una ladera, hbiendo partido del reposo. a) Determine el cambio de velocidad dla piedra entre1- 2.5 5 YI - 7.5 5. b) Dibuje una gráfica de la velcidad de la piedra en función delliempo.

87

6

,43

2

1

-"L-7----.,-7----:--;-----;----:;--;;--;;- I (s)O 2 3 4 5 6 7 8 9


Problemas

2.54 En un paseo de 20 mi en bicicleta, usted recorre las primeras 10 mi con rapidez media de 8 milh. ¿Qué rapidez media en lotras 10 mi requerirá para que la rapidez media total en las 20 msea: a) 4 milh? b) ¿ 12 mi!h? e) Dada la rapidez media indicada pa

ra las primeras 10 millas, ¿le sería posible alcanzaruna rapidezme

dia de 16 milh para lodo el paseo? Explique2.55 La posición de una partícula entre 1" OY1 = 2.00 5está dadpor x(1) - (3.00 mlsly - (10.0 mls1y + (9.00 mls)1. a) Dibuje lagráficas: X-I, iJ",-1 y a",-I para la par1icula. b) ¿En qué instante(s) en

tre l · OYl · 2.00 s está instantáneamente en reposo la panícula

¿Coincide el resultado numérico con la gráfica I)",-t de la par1e (ac) En cada instante calculado en (b). ¿es la aceleración posilivanegaliva? DemueslTC que las respuestas pueden deducirse de aJ.l)



CAPÍTULO 2 I Movimiento en línea recta

.... ......,..

3.5 m

durante toda la carrera? d) Explique por qué su respuesla a la pane(e) no es el promedio de las R:Spuestas.a las panes (a) y (b).2.60 Un trineo parte del reposo en la cima de una colina y baja conaceleración constante. En un instante posterior, el trineo está a

14.4 ro de la cima; 2.00 s después esta a 25.6 ro de la cima, 2.00 Sdespués está a 40.0 m de la c ima y 2.00 s después está a 57.6 m. a)¿Qué magnitud tiene la velocidad media dellrinco en cada intervalode 2.00 s después de pasar los 14.4 m? b) ¿Qué aceleración tiene el tri-nco? e) ¿Qué rapidez tiene el trineo al pasar los 14.4 m? d) ¿Cuan.to tiempo tomó al trinco llegar de la cima a los 14.4 ro? e) ¿Quédistancia cubrió ellrineo durante el primersegundo después de pasar los 14.4 m?2.61 Frenar o acelerar. Un auto de 3.5 m viaja con rapidez constante de 20 mis y se acerca a un cruce de 20 mde ancho (Fig. 2.41).El semáforo se pone en amarillo cuando el frente del auto está a 50 mdel cruce. Si el conduClorpisa el freno, el auto se frenará a 3.8 mlil;

si pisa el acelerador, el auto acelerará a 2.3 mlr. El semáforo esta

rá en amarillo 3.0 s. Suponga que el conductor reacciona instantáneamente. ¿Deberá éste, para no estar en el crucc con el semáforoen rojo, pisar el freno o el acelerador?

2.62 En el aire o en el vacío, la luz viaja con rapidez constante de3.0 x 108 mis. Para contestar algunas de las preguntas podría ser ne-cesario consultar datos astronómicos en el apéndice F. a) Se defineun año luz como la distancia que la luz recorre en un año. Utiliceesta información para averiguar cuántos metros hay en un año luz.b) ¿Cuántos metros recorre la luz en un nanosegundo? c) Cuandohay una erupción solar, cuánto tiempo pasa antes de que pueda verse en la Tierra? d) Rebotando rayos láser en un reflector colocadoen la Luna por los astronautas del Apolo, los astrónomos puedenefectuar mediciones muy exactas de la distancia Tierra-Luna.

¿Cuánto tiempo después de emitido tarda el rayo láser (que es unhaz de luz) en regresar a la Tierra? e) La sonda Voyager, que pasó

porNepruno en agaslo de 1989, estaba a cerca de 3000millones demillas de laTierra en esemomento, y envió a la Tierra fotografias yotra infonnación mediante ondas de radio, que viajan con la rapidez de la luz. ¿Cuánto tardaron esas ondas en llegar del Voyager ala Tierra?2.63 Utilice la información del apéndice F para contestar estaspreguntas. a) ¿Qué rapidez tienen las islasGalápagos, situadas en el

ecuador, debido a la rotación de la Tierra sobre su eje? b) ¿Qué rapidez tieDe la Tierra debido a su traslación en torno al Sol? c) Si laluz siguiera la cun'atura de la Tierra (cosa que no hace), ¿cuántasveces daría la vuelta al ecuador un rayo de luz en un segundo?

Figura 2.41 Problema 2.61.

Aurora York Scward

foE---76 km- - - - l

~ 3 4 km-+!

sB

74


de la gráfica U ~ - I . d) En qué instante(s) entre t , . Oy t: 2.00 s no está cambiañdo la velocidad instantánea de la panícula? Ubique estepUnlO en las curvas U ~ - I y a ~ - I de (a). e) ¿Cuál es la distancia máxima de la particula respecto al origen (x: O) enlre 1 : Oy1= 2.00 s?f) ¿En qué instante(s) entre t - OYt= 2.00 s la partícula está uumell-talldo de rapidez con mayor ritmo? ¿En qué instantc(s) de ese lap-

so se estáfrellundo con mayor ritmo? Ubique esos puntos en las

gráficas V ~ - I y u ~ - I de (a).

2.56 Carrera de relevos. En una carrera de relevos, cada competidora corre 25.0 m con ulthuevo sostenido en una cuchara, se davuelta ~ s a al puma de partida. EIsa corre los primeros 25.0 men 20.0 s. regresar se siente más confiada y tarda sólo 15.0 s.

¿Qué m a g n i t u ~ e n e su velocidad media en a) los primeros 25.0m?

b) ¿el regreso? c)..¿Cuál es su velocidad media para el viaje redondo? d) ¿Y su r a p i c i ~ media?2.57 Dan enlra en la c¿melera interestatall-80 en Seward, Nebraska, y viaja al oeste en )í'tea recta con rapidez media de 88 km/h.

Después de 76 km, llega a r a ~ l i d a de Aurora (Fig. 2.40). Percatándose de que llegó demasiado lejos, se da vuelta y conduce 34 km al

este hasta la salida de York con fílpidez mcdia de 72 km/h. Para el

viajc to'tal de Seward a la salida de York, detcrmine a) su rapidezmedia. b) La magnitud de su velocidad media.

2.58 Tráfico de aUlopista. Según el ScienrificAmerican (mayo de

1990), las autopistas aclllales pueden conlrOlar 2400 vehículos porcarril por hora en tráfico unifonne a 96 km/h. Si hay más vehiculos, el flujo de rráfico se hace "turbulento" (intennitente). a) Si un

vehículo tiene longitud media de 4.6m, ¿qué espacio medio hay entre vehículos con la densidad de rráfioo mencionada? b) Los siste·mas de control para evilar automáticamente los choques, queoperan rebotando ondas de radar o sonar en los vehiculos circundantes, acelerando o frenando el vehículo segun sea necesario, po-drlan reducir mucho el espacio entre vehículos. Si el espacio medioes de 9.2 m (el largo de dos autos), cuántos vehículos por hora po-

drian circular a 96 kmJh en un carril?2.59 Un velocista de clase mundial acelera a su rapidezmáxima en4.0 s ymantiene esa rapidez durante el resto de la carrera de 100m,llegando a la meta con un ticmpode 9.\ s. a) ¿Qué aceleración me-

dia tiene durante' los primeros 4.0 s? b) ¿Qué aceleración media tíene durante los ultimas 5.1 s? e) ¿Qué aceleración media tiene



Problemas 7

2.64 En unacam:ra de 350m, el conedorA parte del reposo yace

lera a 1.6 mlSl durante los primeros 30m y luego rom: con rapidez

constante. El corredor B parte del reposo y acelera a 2.0 mlSl du

rante los primeros 30 m y después corre caD rapidez constante. El

corredorA comienza a correr tan promo como inicia la competencia. pero B se duerme primero unos momenlos para descansar.

¿Cuamo puede: durar comomaximo la siesta de: B para que no pier

da la cam:ra?

2.65 Una pelOla parte del reposo y baja rodando una loma con ace

leración uniforme, recorriendo ISO m durante los segundos 5.0 5 de

su movimiento. ¿Qué distancia cubrió durame los primeros 5.0 s?

2.66 Choque. El maquinisla de un tren de pasajeros que viaja a

25.0 mis avista un tren de carga cuyo eabús está 200 m más adelan

le en la misma vla (Fig. 2.42). El tren de carga viaja en la misma di

rección a 15.0 mis. El maquinista del tren de pasajeros aplica de

inmediato los frenos, causando una aceleración constante de -0.100

mls2, mientras el tren de carga sigue con rapidez constante. Sea X " O

el punto donde eslá el fren!e del tren de pasajeros cuando el maquinista aplica los frenos. a) ¿Presenciarán las vacas una colisión?

b) Si es asi, ¿Dónde ocurrirá? c) Dibuje en una sola gráfica las po

siciones del frenle del tren de pasajeros y del cabús del tren de car

ga en función del tiempo.

~ ~ - 2 S . 0 m l s--- -0.100 mis2

iITc = 15.0 nVs


2.67 Las cucarachas grandes pueden correr a 1.50 mis en tramos

cortos. Suponga que enciende la luz en un hOlel barato y ve una eu

caracha alejándose en linea recta a 1.50 mis (constante) mientras

usted se acerca a ellaa 0.80mis. Si inicialmente usted estaba 0.90 m

detrás. ¿qué aceleración constante mínima necesitará para alcanzar

al bicho cuando ésle ha recorrido 1.20m,justo ames de escapar bajo un mueble?

2.68 Considere la simación descrila en el ejemplo 2.5, que no es

realista porque si el policía mantiene una aceleración constante re

basará al aula. En una persecución real, el policía aceleraría a una

rapidez mayor que la del aula y luego frenana para tener la veloci

dad del aulo al alcanzarlo. Suponga que el policía del ejemplo ace.

lera del reposo con az = 2.5 mlr hasta que su rapidez es de 20 misy luego frena a ritmo constante hasla alcanzar c:I auto en x = 360m,

viajando con la rapidez del aUlo, 15 mis. a) ¿En qué instante el po-

licia alcanza al auto? b) ¿En qué instante el policia deja de acelerar

y comienza a frenar? ¿A qué distancia está entOnces del letrero? ¿Y

del aulo? c) Calcule la aceleración del policia mientras está frenan-

do. d) Grafique x contra / para los dos vehículos. e) Grafique

contra 1 para los dos vehiculos.

2.69 Un auto y un camión parten del reposo en el mismo instant

con el auto cic:na distancia detrás del camión. El camión Iiene ac

leración constanTe de 2.10 mlSl, Yel auto, 3.40 mls l . El auto alcaza al camión cuando éste ha recorrido 40.0 m. a) ¿CuánlO tarda

aUla en alcanzar al camión? b) ¿Qué tan alrás del camión estaba el a

to inicialmente? c) ¿Qué rapidez tienen los vehiculos cuando está

juntos?d) Dibuje en una sola gráfica la posición de cada vchiculo e

función delliempo. Sea x = Ola posición inicial del camión.

2.70 Dos pilotos de exhibíción conducen uno hacia el otro. En / -

la distancia entre los aulaS es D, el auto I está parado y e12 se mu

ve al a izquierda con rapidez uo. El auto 1 comienza a moverse c

t - Ocon aceleración constantc Uz . El auto 2 sigue a velocidad con

tante. a) ¿En qué instante chocarán los autos? b) Calcule la rapid

del auto 1justo antes de chocar. c) Dibuje las gráficas x-t y uz-t p

ra los 2 autos, usando los mismos ejes.

2.71 Viajando a 20 mis en su Muslang, Juan salede una curva a ulramo recio de un camino rural y ve un camión fertiliZador cargad

que bloquea totalmenle el camino 37 m más adelante. Asustad

avanza0.8 s a velocidad conslanle antes de: reaccionar y pisar el fr

no causando una aceleración conslante que le pemúte parar jus

antes donde está el camión. Con los mismos Iiempos de reacción

aceleración, si hubiera salido de la curva a 25 mis en vez. de 20 mi

a) ¿cuál babria sido su rapidez al chocar con el camión? b) ¿Cuá

tO tiempo habria tenido para recordar loda su vida desde que avis

el camión hasta chocar con éste?

2.72 Una patrulla viaja en línea recta con rapidez Vp conslanle. U

camión que viaja en la misma dirección con rapidez u, rebasa apalrul1a. La conductora del camión ve que va a exceso de velocida

y de inmediato comienza a frenar a rilmo constante hasla paraPor suene, la patrulla (que sigue a la misma velocidad) pasa al c

mión sin multar a la conductora. a) Demuestre que la rapidez d

camión cuando la patrulla lo pasa //0 dcpende de la magnitud de

aceleración del camión al frenar, y oblenga el valor de esa rapidc

b) Dibuje la gráfica x-t paTa ambos vehiculos.2.73 Rebasado. El conductor de un aulO desea rebasar un camió

que viaja a 20.0 mis (constante). Inicialmente, el auto también via

a 20.0mis y su parachoques delantero (defensa) está 24.0 matrás d

parachoques trasero (defensa) del camión. El auto adquiere una ace

leración constante de 0.600 mls2y regresa al carril del camión cuan

do su parachoques trasero (defensa) está 26.0 m adelante del frent

del camión. El auto tiene una longitud de4.5 m.,y el camión, 21.0 m

a) ¿Cuánto tiempo necesita el auto para rebasar? b) ¿Qué distancrecorre el auto eo ese tiempo? c) ¿Qué rapidez fmal tieneel aUlo?

·2.74 La velocidad medida de: un objeto es UÁl) = a -{3tl, donda - 4.00 mis y (3 = 2.00 mis). En / - O, el objeto esta en x-O

a) Calcule la posición y aceleración del objelo en función de

b) ¿Qué desplazamiento positivo maximo tiene el objeto respecl

al origen?

·2.75 La aceleración de una particula está dada por a..(t) - -2.0

mlSl + (3JY' mlsJ)t. a) Encuentre la velocidad inicial VD> tal que

particula te ;a la misma coordenada x en1 - 4.00 s que en t - O. b

¿Cuál será velocidad en t= 4.00 s?

2.76 Cald. ~ e huevo. Imagine que ~ s t á en la azotea del edificio d

fisica. 46.0 f1 sobre el suelo (Fig. 2.43). Su profesor, que tiene un



76 e A P fTUL o 2 I Movimiento en línea recta

estatura de 1.80 m, camina jun

to al edificio a 1.20 mis (cons

tante). Si desea dejar caer un

huevo sobre su cabeza, dónde

deberá estar el profesor cuandousted suelte el huevo? Suponga

caída libre.

2.77 Un estudiante de física

co n demasiad'o t ie mp o l ib re

suelta unasandía desde unaazo

tea y oye que la sandia se estre·

lIa 2.50 s después. ¿Qué altura 1.80 m

tiene el edificio? La rapidez del i-''-'Ci-'-

sonido es de 340 mis. No tomeen cuenta la resistencia del aire. Figura 2.43 Problema 2.76.

2.78 Elevadores. Estime la ra-

pidez máxima y la magnitud de

aceleración de un elevador. Necesitará usar sus observaciones deaproximadamente cuánto tarda el elevadoren ir de un piso a otro, la

distancia vertical aproximada de un piso al siguiente y la distancia

a lo largo de la cual un elevador acelera hasta su rapidez máxima o

frcna para detenerse.

2.79 Quienes visitan cierto parque de diversiones ven cómo unos

clavadistas se lanzan de una plataforma a 21.3 m por arriba de un

estanque. Según el anunciador, los cJavadistas entran en el agua con

una rapidez de 25 mis. Puede despreciarse la resistencia del aire.

a) ¿Es verdad lo que dice el anunciador? b) ¿Puede una clavadista

saltarhacia arriba desde la plataforma y, librando la tabla, entrar en

el agua a 25.0mis? De ser asi, ¿qué velocidad inicial requiere? ¿Se

puede alcanzar fisicamente esa velocidad?

2.80 Una maceta con flores cae del borde de una ventana y pasafrente a la ventana de abajo. Se puede despreciar la resistencia del

aire. La maceta tarda 0.420 s en pasar por esta ventana, cuya altura

es de 1.90 m. ¿A qué distancia debajo del punto desde el cual cayó

la maceta está el borde superior de la ventana de abajo?

2.81 Se patea un balón verticalmente hacia arriba desde el suelo y

una estudiante asomada a una ventana lo ve subir frente a ella a

5.00 mis. La ventana está 12.0 m sobre el suelo. Se puede despreciar

la resistencia del aire. a) ¿Hasta dónde sube la pelota? b) ¿Cuánto

tarda en alcanzar esa altura?

2.82 Un modelo de cohete tiene aceleración ascendentc constante

de 40.0 mis! con el motor ttabajando. El cohete se dispara verti

calmente y el motor trabaja 2.50 s antes de agotar el combustible,

quedando el cohete en caída libre. El movimiento es sólo verticaLa) Dibuje las gráficas: ay-t, uy·t y y·t para el cohete. b) ¿Qué altura

máxima alcanzará el cohete? e) ¿Qué rapidez tendrá el cohete justo

antes de tocar el suelo? d) ¿El tiempo total de vuelo es el doble del

tiempo que el cohete tarda en alcanzar la altura máxima? ¿Por qué

si o por qué no? (Véase la pregunta P2.16.)

2.83 Cuidado abajo. Sam avienta una bala de 16 lb directamente

hacia arriba imprimiéndole una aceleración éonstante de 45.0 mls l

desde el reposo a lo largo de 64.0 cm, soltándola 2.;'\m sobre el

suelo. Puede despreciarse la resistencia del aire. a ), 'ué rapidez

tiene la bala cuando Sarn la suelta? b) ¿Qué altura a lc za sobre el

suelo? c) ¿Cuánto tiempo tiene Sam para quitarse de a .Ijo antes de

que la bala regrese a la altura de la cabeza, 1.83 m so lre el suelo?

2.84 Una profesora de física que está efectuando una demostra

ción al aire libre, de repente cae desde el reposo en lo alto de un

acantilado y simultáneamente grita "¡Auxilio!" Después de caer

3.0 s, escucha el eco de su grito proveniente del suelo del valle. La

rapidez del sonido es de 340mis. a) ¿Qué altura tiene el acantilado?b) Si se desprecia la resistencia del aire, con qué rapidez se estará

moviendo la profesora justo antes de chocar con el piso? (Su rapi

dez real será menor, debido a la resistencia del aire.)

2.85 Malabarismo. Un malabarista actúa en un recinto cuyo techo

está 3.0 m arriba del nivel de las manos. Lanza una pelota hacia

arriba de modo que apenas llega al techo. a) ¿Qué velocidad inicial

tiene la pelota? b) ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en llegar al techo?

En el instante en que la primera pelota está en el techo, el malaba

rista lanza una segunda pelota hacia arriba con dos terceras panes

de la velocidad inicial de la primera. e) ¿Cuánto tiempo después de

lanzada la segunda pelota se cruzan las dos pelotas en el aire? d) ¿A

qué altura sobre la mano del malabarista se cruzan las dos pelotas?

2.86 Un helicóptero que lleva al doctorMalvado despega con aceleración constante hacia arriba de 5.0 mis!. El agente secreto Aus

tin Powers se t repa de un salto al hel icóptero justo cuando éste

despega. Los dos hombres forcejean durante 10.0 s, después de lo

cual Powers apaga el motor y se lanza desde el helicóptero. Supon

ga que el helicóptero está en caida libre después de apagarse el mo

tor y que la resistencia del aire es insignificante. a) ¿Qué altura

máxima sobre el suelo alcanza el helicóptero? b) 7.0 s después de

saltar del helicóptero, Powers enciende un cohete que trae sujeto a

la espalda, el cual le imprime una aceleración constante hacia aba

jo con magnitud de 2.0 mis!. ¿A qué distancia sobre el suelo está

Powers cuando el helicóptero se estrella en el piso?

2.87 Altura de edificio. El hombreAraña da un paso al vacio des

de la azotea de un edificio y cae libremente desde el reposo unadistancia h hasta la acera. En el ú lt imo 1.0 s de su caida, cubre una

distancia de h14. Calcule la altura h del edificio.

2.88 A l tu r a d e acantilado. Imagine que está escalando una mon

taña y que repentinamente se encuentra en el borde de un acantila

do, envuelto en niebla. Para determinar la alturd del acantilado, deja

caer un guijarro y 10.0 s después escucha el sonido que hace al gol

pear el suelo al pie del acantilado. a) Sin tomar en cuenta la resis

tencia del a ire, ¿qué altura t iene el acant ilado si la rapidez del

sonido es de 330 mis? b) Suponga que hizo caso omiso del tiempo

que el sonido tarda en llegar a los oIdos. ¿Habria sobreestimado o

subestimado la altura del acantilado? Explique su razonamiento.

2.89 Lata que caco Un pintor está parado en un andamio que sube

con rapidez constante. Por descuido, empuja una lata de pintura, lacual cae del andamio cuando está 15.0 m sobre el suelo. Un obser

vador usa su cronómetro para determinar que la tata tarda 3.25 s en

llegar al sl}elo. No tome en cuenta la resistencia del aire. a) ¿Qué ra

pidez tiene la lata justo antes de llegar al suelo? b) Otro pintor está

pamdo en una comisa, una lata está a 4.00 m arriba de él cuando

ésta se cae. Tiene reflejos felinos, y si la lata pasa frente a él, podrá

atraparla. ¿Tiene oportunidad de hacerlo?

2.90 Decidido a probar la ley de la gravedad, un estudiante se deja

caer (vo = O) desde un rascacielos de 180 m, cronómetro en mano,

e inicia una caida libre. Cinco segundos después, llega Supermán y

se lanza de la azotea para salvarlo, con una rapidez inicial Voqueimprimió a su cuerpo empujándose hacia abajo desde el borde de la



Problemas estimulanteS

azotea con sus piernas de acero. Después. cae con la misma acele·

ración que cualquiercuerpo en caida líbrc. a) ¿Qué. valordcberá tenerVo para que Supermán atrape al esrudiante justo antes de l legar alsudo? b) Dibuje en una sola gráfica las posiciones de Supennán y

del estudiante como funciones de t. La rapidez inicial dc Supermántiene el valor calculado en (a). c) Si la altura del edificio es menorque cierto valor, ni Supermán podrá salvar al estudiante. ¿Cuál es laaltura mínima?2.91 Otro estudiante decidido (véase el problema 2.90) se dejacaer desde la Torre eN de Toronto; de 553 m, y cae l ibremente. Su

velocidad inicial es cero. Rocketeer l1ega 5.00 segundos después yse lanza de la torre para salvarlo. Rocketeer se lanza con una velo

cidad hacia abajo de magnitud Vil - A fin de evitar lesiones. Roc::ke·teer deber:i atrapar al estudiante a una altura tal que puedan fTenary l legar al suelo con "elocidad cero. La aeelernción ascendente pa.

ra lograrlo proviene del cohete de Roc::keleer, el cual se enciendejusto cuando atrapa al estudianle; antes, está en caída libre. Para no

lastimar al estudiante, la magnitud de la aceleración de Roc::keteery el estudiante al bajar juntos no deberá ser mayor que 5 veces g.a) ¿Cuál es la altura mínima sobre el suelo a la que Rocketeerdebe·

rá atrapar al estudiante? b) ¿Qué rapitlez inicial hacia abajo deberátener Rocketeecr para atrapar al estudiante a la altura mínima obte·nida en (a)? c) Dibuje las gráficas: v ~ - t y ay t para el estudiante ypara Rocketeer. En cada una , use un solo par de e jes para ambos

cuerpos.2.92 Se lanza una bola verticalmente hacia arriba desde el suelo

con rapidez Vil- En el mismo instante, una segunda bola (en reposo)

se deja caer de una alturn H dittctamente encima del punto de lanzamienlo de la primera. No hay resistencia del aire. a) ¿Cuándo

chocan las bolas? b) Oblengael valor de H en ténninos de VaYg de

modo que, cuando choquen las~ l a s ,

la primera esté en su puntomás alto.2.93 Dos aUlos, A y a, viajan en línea recta. La distancia de A reS'

pecto al punto de partida está dada por xit) - at + f3t2, con a = 2.60mis y f3 = 1.20 mls2• La distancia entre ay el pun to de par ti da es

x ~ t ) '" yt2 - 8fJ, con "y - 2.80 mls2 y 8 - 0.20 mlsl . a) ¿Cuál autose adelanta justo después de parti r? b) ¿En qué instante(s) los dosautos están en el mismo punto? c) ¿En qué instantc(s) la distancia

entre A y B no está aumentando ni disminuyendo? d) ¿En qué instante(s) A ya tienen la misma aceleración?

2.94 Unamanzana cae libremente de un árbol,estandooriginalmen.te en rcposo a una alruraH sobre un césped crecido cuyas hojas mi·

den h. Cuando la manzana llega al césped, se f rena con razón

constante de modo que su rapidez es Oal l legar al suelo. a) Obtenga la rapidez de la manzana justo antes de locar el césped. b) Oblenga la aceleración de la manzana ya dentro del césped. c) Dibujelas gráficas: v,.t y ay t para el movimiento de la manzana.

Problemas de desafio

2.95 Tomar el camión. Una estudiante corre a más no poder p

alcanzar su camión, que está detenido en la parada, con una rapi

constante de 5.0 mis. Cuando ella está a 40.0 m del camión, éstepone en marcha con aceleración constante de 0.170 mls2• ¿Duraqué t iempo y qué distancia debe correr la estudiante a 5.0 mis palcanzar al camión? b) Cuando 10 hace, ¿qué rapidez t icne elmión? e) Dibuje una gráfica X-l para la estudiantey el camión, d

de.T = Oes la posición inicial de la estudiante. d) Las ecuacion

que usó en (a) para calcular t tienen una segunda solución, que

rresponde a un instante posterior en que la estudiante y el camestán otra vez en el mismo lugar si continúan su movimiento. Eplique el significado de esta otra soluciÓn. ¿Qué rapidez tiene el

mión en ese punto? e) Si la rapidez de la estudiante fuera de 3.5 m¿alcanzarla al camión? f) ¿Qué rapidez minima requiere la es

diante para apenas alcanzar al camión? ¿Durante qué t iempo y q

distancia deberá correr en tal caso?

2.96 En el salto vertical, un atleta se agazapa y sal ta hacia arrtratando de alcanzar la mayor altura posible. Ni los campeones

san mucho más de 1.00 s en el aire ("ticmpo de suspensión"). Tral atleta como particula y seaYmix su altura máxima sobre el suePara explicar por qué parece estar suspendido en el aire, calculerazón del tiempo que está sobre yrm/2 alliempo que tarda en lle

del suelo a esa altura. Desprecie la resistencia del aire.2.97 Se lanza una pelota bacia arriba desde el borde de una azot

Una segunda pelota se deja caer desde la azotea 1.00 s despu

Desprecie la resistencia del aire. a) Si la altura del edificio es 20.0

¿qué velocidad inicial necesitará la primera bola para que las d

lleguen al suelo al mismo tiempo? Dibuje en una sola gráfica la

sición de cada pelota en función delliempo, a partir del instante

que se lanzó la primera. Considere la misma situación, pero sea

rapidez inicial Vo de la primera pelota un dato y la altura h del eficio la incógnita. b) ¿Qué altura deberá tener el edificio para qlas dos pelotas lleguen al suelo al mismo tiempo si Vo es: i) 6.0 mii ) ¿9.S mis? c) Si Vo es mayor que cierto valor V.m, no existe unahque ambas pelotas lleguen al piso simultáneamente. Obtenga Vm

Este valor tiene una interpretación lisica sencilla. ¿Cuál es? d) Si

es menor que cierto valor VmiDo no existe una h tal que ambas pelo

l leguen al piso al mismo tiempo. Obtenga v_o Este valor tamb

tiene una interpretación fisica sencilla. ¿Cuál es?

2.98 Un excursionista despierto ve un peñasco caer desde un ris

lejano y observa que tarda 1.30 s en caer el últ imo tercio de la dtancia. Puede despreciarse la resistencia del aire. a) ¿Que altura (entiene el risco? b) Si en (a) obtiene dos soluciones de una ecuaccuadrát ica y usa una para su respuesta, ¿qué representa la olra?

Capitulo 2 Sears

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