Se da un espectacular ejemplo de movi­miento cuando un volcán arroja fragmentosde roca al aire. Tales erupciones se deben ala liberación repentina de gas a alta presióndel interior del magma (roca fundida bajola superficie). Los fragmentos expulsados,llamados tefra, alcanzan el tamaño de unacasa y salen despedidos del volcán con rd­pideees de cientos de metros por segundo.

Si todos los fragmentos son

expulsados con la misma rapidez,

¿con qué ángulo de expulsión caen más

lejos del volcán?

78

MOVIMIENTOENDOS O TRESDIMENSIONES

Cuando un bate golpea a una pelota de béisbol, ¿qué detennina dónde cae? ¿Có­mo dcscribimos el movimiento de un carro de montaña rusa en una curva o el

vuelo de un halcón alrededor de un campo abierto? Si lanzamos un globo lleno deagua horizontalmente desde una ventana, ¿tardará más tiempo en tocar la aceraque si sólo 10 dejamos caer?

No podemos contestar estas preguntas usando las técnicas del capitulo 2, dondelas partículas se movían sólo en línea recta. Tenemos que enfrentar el hecho de queel mundo es tridimensional. Para entender el vuelo curvo de una pelota de béisbol,la órbita de un satélite o la trayectoria de un proyectil, necesitamos extendcr nues­tras descripciones del movimiento a situaciones en 2 y 3 dimensiones. Usaremosaún las cantidades vectoriales de desplazamiento, velocidad y aceleración, peroahora tendrán dos o tres componentes y no estarán todas en una misma línea.Veremos que muchos movimientos, importantcs e interesantes, se dan en sólo 2 di­mensiones, es decir, en un plano, y pueden describirse con dos coordenadas y doscomponentes de velocidad y aceleración.

También necesitamos considerar cómo describen el movimiento de una partícu­la observadores diferentes que se mueven unos respecto a otros. El concepto develocidad relativa desempeñará un papel importante más adelante en este libro,cuando estudiemos colisiones, donde exploraremos los fenómenos electromagné­ticos, y cuando presentemos la teoría especial de la relatividad de Einstein.

3.1 I Vectores de posición y velocidad 79

P,

y

l.v,P,

/

"O

Trayectoria,

y

y

y

3.1 El vector de posición rdel origen alpunto P tiene componentes x,y y z.

,

,

3.2 La velocidad media Vm<d entre lospunlos PI y P2 tiene la misma direcciónque el desplazamiento t::.r.

3.3 La velocidad instantánea ves tangentea la trayectoria en cada punto. Aquí, VIy v2 son las velocidades instantáneas enlos punlos PI y P2' como se muestra en lafigura 3.2.

(3.1)

(3.3)

(3.2)(vector velocidad media)

(vector velocidad instantánea)

r = xi + yj + zk

_ !ir d;v= lím-=-

:1I~O lit dI

Al moverse la partícula en el espacio, el camino que sigue es en general una cur­va (Fig. 3.2). Durnnte un intervalo de tiempo aJ, la partícula se mueve de Plo dondesu vector de posición es TI, a P2' donde su vector de posición es '2' El cambio de po­sitión (desplazamiento) duranle este intervalo es di = '2 - rl = (X2 - XI) í +()'2 - )'1) j + (Z2 - ll) k. Definimos la velocidad media v....., durante este inter­valo igual que en el capitulo 2 para movimiento rectilíneo, como el desplazamien­to dividido entre el intervalo de tiempo:

En este capítulo fusionamos el lenguaje de vectores que aprendimos en el ca­pirulo I con el lenguaje de la cinemática del capítulo 2. Como anteriormente, nosinteresa describir el movimiento, no analizar sus causas, pero el lenguaje queaprenderemos aquí resultará indispensable después cuando usemos las leyes delmovimiento de Newton para estudiar la relación entre fuerza y movimiento.

Para describir el movimiento de una partícula en el espacio, primero hay que po­der describir su posición. Consideremos una partícula que está en el punto P encierto instante. El vector de posición rde la partícula es un vector que va del ori­gen del sistema de coordenadas a P (Fig. 3.1). La figura también muestra que lascoordenadas cartesianas x, y y z de P son las componentes x, y y z de r. Usandolos vectores unitarios que presentamos en la sección 1.9, podemos escribir

3.1 I Vectores de posición y velocidad

Observe que dividir un vector cntre un escalar es un caso especial de multiplicar unvector por un escalar, '10 cual vimos en la sección 1-7; la velocidad media Vme<! esigual al vector de desplazamiento Ó; multiplicado por lIÓt, el reciproco del inter­valo. Cabe señalar también que la componente x de la ecuación (3.2) esVmed..r = (X2 - X 1)/(t2 - tI) = Óx/Ót. Esto no es más que la ecuación (2.2),laex­presión para la velocidad media en una dimensión, que dedujimos en la sección 2.1.

Definimos la velocidad instantánea igual que en el capítulo 2; como el límitede la velocidad media cuando el intervalo de tiempo se acerca a 0, y es la tasa ins­tantánea de cambio de posición con el tiempo. La diferencia clave es que tanto laposición rcomo la velocidad instantánea vahora son vectores:

La magnitud del vector Ü en cualquier Ínstante es la ropidez v de la partícula enese instante. La dirección de ven cualquier instante es la dirección en que se mue­ve la partícula en ese instante.

Confonne !il----) 0, PI YPz de la figura 3.2 se juntan cada vez más. En ellími­te, !ir se hace tangente a la curva. La dirección de !ir en el límite es también la di­rección de la velocidad instantánea V. Esto conduce a una conclusión importante:en todo plinto de la troyecl0ria, el vector velocidad instantánea es tangenle a latrayectoria (Fig. 3.3).

•,

80 CAPÍT ULO 3 I Movimiento en dos o tres dimensiones

Suele ser más fácil calcular el vector velocidad instantánea empleando compo­nentes. Durante cualquier desplazamiento /1r, los cambios 6x, 6.y Y fu: en las trescoordenadas de la partícula son las componentes de !:J.r. Por tanto, las componen­tes vx' vyy v: de la velocidad instantánea ti son simplemente las derivadas de x, yy z respecto a l. Es decir,

y

o

dx dy dzv = - v = - v~ =-xd! Jdt d!

(componentes de la velocidad instantánea)

(3.4)

3.4 Las dos componentes de velocidad paramovimiento en el plano xy. La componente x de ti es Vx = dx/dt, que es la ecuación (2.3): la expresión para la

velocidad instantánea en movimiento rectilineo que obtuvimos en la sección 2.2.Por tanto, la ecuación (3.4) es una extensión directa de la idea de velocidad instan­tánea al movimiento en tres dimensiones.

Podemos obtener este mismo resultado derivando la ecuación (3.1). Los vectoresunitarios í, j, y k tienen magnitud y dirección constantes, así que sus derivadas

son cero; entonces,

~ dr dx~ dy~ dzk,

V=-=~l+-J +~dt dt dt dI

(3.5)

Esto muestra otra vez que las componentes de v son dxldl, dyldt Ydz/dt.La magnitud del vector de velocidad instantánea v---esto es, la rapidez~ está

dada en ténninos de las componentes vx' vyy v, aplicando el teorema de Pitágoras

Ivl = v = Yv; + vi + v; (3.6)

La figura 3.4 muestra la situación cuando la partícula se mueve en el plano.1)'.Aquí, Z y v, son cero, y la rapidez (la magnitud de v) es

v=\/v 2 +v 2, ,y la dirección de la velocidad instantánea vestá dada por el ángulo a de la figura.Vemos que

v,tana =­

v,(3.7)

Ejemplo3 1

(Siempre usamos letras griegas para los ángulos. Usamos a para la dirección de lavelocidad instantánea a fin de evitar confusiones con la dirección edel vector deposición de la partícula.)

El vector velocidad instantánea suele ser más interesante y útil que el de la velo­cidad media. En adelante, al usar el término "velocidad", siempre nos referiremos alvector velocidad instantánea v(no al vector velocidad media). Usualmente ni nosmolestaremos en llamar vector a v, el lector debe recordar que la velocidad es unacantidad vectorial con magnitud y dirección.

Cálculo de velocidad media e instantánea

Se está usando un carrito robot para explorar la superficie de Marte.El módulo de descenso es el origen de coordenadas y la superficiemarciana circundante está en el plano xy. El carrito, que representa­mos como un punto, tiene coordenadas x yy que varían con el tiem­po-

x = 2.0m - (0.25 m/s2 )t2

y = (l.O mls)t + (0.025 mlsJ)t '

a) Obtenga las coordenadas del carrito y su distancia respecto almódulo en I = 2.0 s. b) Obtenga los vectores de desplazamiento y

3,1 I Vectores de posición y velocidad 81

velocidad media d~l carrito entre t = 0.0 S Y t = 2.0 s. c) Dcduzcauna expresión general para el vector de velocidad instantánea delcarrito y determine ese vector en ¡ = 2.0 s. Exprese la velocidadinstantánea en forma de componentes y en términos de magnitud ydirección.

lE!!m:1lIIDENTIFICAR: Este problema implica movimicnto en una trayecto­ria bidimensional (o sea, en un plano). Por tanto, deberemos usarlas expresiones para los vectores de desplazamiento, velocidad me­dia y velocidad instantánea que obtuvimos en esta sección, (En lasexpresiones más sencillas de las secciones 2.1 y 2.2 no intervienenvectores, y sólo son válidas para movimiento rectilíneo.)

y (m)

25

2.0

1.5

LO

05 "1= 0,0 S

PLANTEAR: El camino del carrito se muestra en la figura 3.5. Usa­remos la ecuación (3.1) para la posición r, la expresiónDor = r2 - rl para el desplazamiento, la ecuación (3.2) para la ve­locidad media y las ecuaciones (3.5) y (3.6) para la velocidad ins­tantánea y su dirección. Las variables meta se indican en elenunciado del problema.

EJECUTAR: a) En el instante ¡ = 2.0 s las coordenadas del carrito son

_I"'_J-_"'-.....J..._->C~.t (m)O 0.5 l.0 I.S 2.0

3.5 Trayectoria de un vehículo robot controlado por radio. En / = Oel carrito ticne vector de posición ro y velocidad instantánea vo.Asimismo, TI y VI son los vectores en t = 1.0 s; ;2 y v2 son losvectores en t = 2.0 s,

x = 2.0 m - (0,25 mJs2)(2.0 s)2 = 1.0 m

y = (I.Om/s)(2.0 s) + (0.025 mls')(2.0 s}3 = 2.2 m

La distancia del carrito al origen en este instante es

r = V'x2 + y2 = V(1.0m)l + (2.2m)2 = 204m

b) Para obtener el desplazamiento y la velocidad media, cxpresa­mos el vector rde posición en función de l. De la ecuación (3.1):

;: = xí + y}= [2.0 m - (0.25 m/s2 )¡2]í

+ [(l.Ümls)¡ + (0.02Smls')t']}

c) Por la ecuación (3.4), las componentes de la velocidad instantá­nea son las derivadas de las coordenadas respecto a 1:

dxv = - = (-0.25 m/s2)(2/), d,

dyv = - = 1.0 mis + (0.025 m/sJ )(3t 2), d,

Así, podemos escribir el vector de velocidad instantánea ¡; como

V = v) + vJ = (-0.50 m/s2)á+ [l.O mis + (0.075 mIs' )t2Jj

En I = 2.0 s, las componentes de la velocidad instantánea son

En el instante t = 0.0 s el vector de posición es

ro = (2.0 m)í + (0.0 m)}

vx = (-O.50m/s2 )(2.0s) = -1.0m/s

vy = 1.0 mis + (0.075 mlsJ )(2.0 s)2 = l.3 mIs

Por la parte (a) sabemos que, en t = 2.0 s el vector de posición r2 es

T2 =(1.0m)i + (2.2m)}

Por tanto, el desplazamiento entre t = 0.0 S Y1 = 2.0 s es

Do;: = r2 - ro = (l.O m)í + (2.2 m)} - (2.0 m)í

= (-1.0m)i+ (2.2m)j

La magnimd de la velocidad instantánea (es decir, la rapidez)enl=2.0ses

v = Vv} + v/ = V( -1.0 m/s)2 + (l.3 mlS)2

= 1,6m/s

Su dirección respecto al eje +x está dado por el ángulo a, donde,por la ecuación (3.7),

Las componentes dc esta velocidad mcdia son

~ _tJ.r_(~1.0m)i+(2.2m)}

um«l - -¡;; - 2.0 s 0.0 s

= (-0.50 m/s)í + (1.1 mis)}

Durante el intervalo, el carrito se movió 1.0 m en la dirección -x y2.2 m en la dirección +y. La vclocidad media en el intervalo det = 0.0 s a I = 2.0 s es el desplazamiento dividido entre el tiempotranscurrido (ecuación 3.2):

EVALUAR: Tómese un momento para comparar las componentesde la velocidad media que obruvo en la parte (b) para el intervalo dct = 0.0 s a t = 2,0 S (Vm«l_' = -0.50 mIs, Vrn<d.y = 1.1 mIs) con

0:=1280-así,

1.3 mis= -1.3

- 1.0 mis",

tano:=-=",

Una calculadora mostraría que la tangcnte inversa de -1.3 es-SZO. pero, como vimos cn la sección 1.8, hay que examinar un di­bujo del' vector (Fig. 3.5) para decidir su dirección. La respuesta co­rrecta para o: es - 520 + 1800 = 1280

•

V=<J.y = 1.1 misVrnod.x = -0.50 mis

82 CA pfTULO 3 I Movimiento en dos o ttes dimensiones

las componentes de la velocidad insrontoneo en 1 '" 2.0 s que obtu­vimos en la parte (e) (LlJ '" -1.0 mis. u, "" 1.3 mis). La compara­ción muestra que, igual que en una sola dimensión, el vector develocidad media Vmod durante un intervalo /ID es igual a la velocidadinstantánea val final del intervalo (véase el ejemplo 2-1).

Lo invitamos a calcular la posición, velocidad instantánea, rapidezy dirección de movimiento en t = 0.0 S YI = 1.0 s. Los vectores de

posición y velocidad instantánea en 1 = 0,0 s, 1.0 s y 2.0 s se mues­tran en la figura 3.5. Observe que en lodos los puntos el vector develocidad instantánea ves tangente a la trayectoria. La magnitudde ti aumenta al avanzar el carrito, lo que indica que la rapidez delcarrito esta aumentando.

Dé un ejemplo de situación en la que el vector de velocidad media Vmed en un in­tervalo seria igual a la velocidad instantánea val flnal del intervalo.

3.2 I El vector aceleración

Consideremos ahora la aceleración de una partícula que se mueve en el espacio.Al igual que en el movimiento rectilíneo, la aceleración describe el cambio en lavelocidad de la partícula, pero ahora la generalizaremos para describir los cambiostanto en la magnitud de la velocidad (es decir, la rapidez) como en la dirección dela velocidad (o sea, la dirección en que se mueve la partícula en el espacio).

En la figura 3.6a, una partícula se mueve en una trayectoria curva. Los vecto­res VI y v2 representan las velocidades instantáneas de la panícula en el instantet•. cuando la partícula está en el punto PI' y en 11. cuando está en P1• Las dos ve­locidades pueden diferir en magnitud y dirección. Definimos la aceleración me­dia Qmcd de la partícula al moverse de PI a Pl como el cambio vectorial develocidad, v1 - VI = dv, dividido entre el intervalo d¿ tiempo'2 - 11 = .ó.r:

\

(,)

Av=-Al

( vector aceleración media) (3.8)

(b)

La aceleración media es una cantidad vectorial en la misma dirección que el vec­tor ó,v (Fig. 3.6a). Observe que v1 es la resultante de la velocidad original VI yel cambio ó'v (Fig. 3.6b). La componente x de la ecuación (3.8) esollll:<f.z = (V1.t - vlz)/(r1 - (1) =:ó'vjó'l, que no es sino la ecuación (2.4) para laaceleración media en movimiento rectilíneo.

Al igual que en el capÍlulo 2, definimos la aceleración instantánea ti en elpunto p. como ellímile de la aceleración media cuando el punto Pl se acerca a PIy .ó.v y al se acercan a cero; la aceleración instantánea también es igual a la tasa(variación) instantánca de cambio de velocidad con el tiempo. Como no estamoslimitados a movimiento rectilíneo, la aceleración instantánea ahora cs un vector:

«) ( vector aceleración instantánea) (3.9)

3.6 (a) el vector (i_ = ilvlill representala aceleración media entre PI y PI'(b) Construcción para obtenerilv =V2 - VI' e) Aceleración instantáneaaen PI' El vector Ves tangente a la lraycc·toria; aapunta alIado cóncavo de esta.

El vector velocidad V, como vimos, es tangente a la trayectoria de la panícula,pero la construcción de la figura 3.6c muestra que el vector aceleración instantáneati de una panícula en movimiento siempre apunta hacia el lado Cóncavo de una tra·yectoria curva, o sea, hacia el interior de cualquier curva descrita por la panícula.También vemos que cuando una panícula sigue una trayectoria curva, su acelera-

3.2 I El vector de aceleración 83

ción siempre es distinta de cero, aun si se mueve con rapidez constante. Quizá le pa­rezca que esto va contra su intuición, pero más bien va contra el uso cotidiano de lapalabra "aceleración" para implicar que la velocidad aumenta. La definición másprecisa de la ecuación (3.9) muestra que la aceleración no es cero cuando el vectorvelocidad cambia de cualquier forma, sea en su magnitud, dirección o ambas.

Para convencerse de que una particula no tiene aceleración cero cuando se mueve enuna trayectoria curva con rapidez constante, piense en lo que siente cuando viaja en au­to. Si el auto acelera, usted tiende a moverse en dirección opuesta a la aceleración del auto(veremos porqué cn el capítulo 4). Así, tendemos a movemos hacia atrás cuando el au­to acelera hacia adelante (aumenta su velocidad), y hacia el frente cuando el auto desace­

lera (frena). Si el auto da vuelta en un camino horizontal, tendemos a deslizamos haciaafuera de la curva; por tanto, el auto tiene una aceleración hacia adentro de la curva.

Normalmente nos interesará la aceleración instantánea, no la media. Porahora, usaremos el término "aceleración" para referirnos al vector aceleracióninstantánea, a.

Cada componente del vector de aceleración es la derivada de la componentecorrespondiente de la velocidad:

La componente x de las ecuaciones (3.10) Y (3.11), ux = du)dr, es un resultadoconocido: es la expresión de la sección 2.3 para la aceleración instantánea en unadimensión, ecuación (2.5). La figura 3.7 muestra un ejemplo de vector acelera­ción que tiene componentes tanto x como y.

Además, como cada'tomponente de velocidad es la derivada de la coordenada:orrespondiente, expresamos las componentes 0x' ay, y Oz del vector aceleracióno como

dU;r duy duza~- a~- a~-

;r ~ y ~ z ~

(componentes de la aceleración instantánea)

En términos de vectores unitarios,

~ dvx~ dUYA dvz~a =-1 +-} +-k

dt dt dt

(3.10)

(3.11)

y

'-------'------ "3.7 Cuando una rana salta, acelcra tantohacia adelante como hacia arriba. Por tanto,su vector aceleración tiene una componentehorizontal(ax ) y también una componen­tc vcrtical (ay).

d'yOy= -,

dI(3.12)

Cálculo de aceleración media e instantánea

y el vector aceleración acomo

_ d2X~ d2y~ d2ZAa=-I +-} +-k

dr2 dr2 dt2

Ejemplo3.2

Veamos otra vez los movimientos del carrito robot del ejemplo 3.1.Dclenninamos que las componentes de la velocidad instantánea encualquier instante t son

dxvx=-= (-0.25 m/s2) (2r)

d,

dyu = - = 1.0 mis + (0.025 m/s3 )(3t2 ), dI

(3.13)

y que el vector velocidad es

v= u) + uyj = (-0.50 m/s2) ti

+ [1.0m/s + (0.075m/s1)iJj

a) Obtenga las componentes de la aceleración media en el interva­lo de t = 0.0 s a t = 2.0 s. b) Detennine la aceleración instantáneaent=2.0s.

CA PfTU LO 3 I Movimiento en dos o tres dimensiones

La magnitud de la aceleración en este instante es

0:Y0 2 +a 2, ,

l.,

3.8 Trayectoria del carrito controlado por radio, moslrando lavelocidad y aceleración en t - 0.0 s (VO Yao). t = 1.0 S(VI yal)Yl = 2.0s(Vlya0·

y (ro)

2.'

Oy 0.30 mls2

tan{3=-= 2=-0.60a.. 0.50 mis

{3 = 180" - 31 0 = 1490

2.0

1.0

1= O.Osii.,

-:-!I-~.,-.....l,---"_~'- x (m)O 0.5 1.0 1.5 2.0

PLANTEAR Y EJECUTAR: Por la figura 3.8, la velocidad Po ent = 0.0 S apunta en la dirección +y y la velocidad lil en t = 2.0 sapunta en cierto ángulo entre la dirección -x y la dirección +y.Además, la magnitud de lil es mayor que la dc vo'

La figura 3.9 muestra cómo obtener la din:cción de óli = li2 - (;0

restando gráficamente los dos vectores. El resultado apunta con unángulo pequeño arriba de la dirección -x; la aceleración mediaapunta en la misma dirección que 6v.

EVALUAR: Lo invitamos a calcular la aceleración instantánea ent = 0.0 S Yt = 1.0 s. La figura 3.8 muestra el camino del carrito ylos vectores velocidad y aceleración en t : 0.0 s, 1.0 s y 2.0 s. Ob­serve quevya no están en la misma dirección en ningún momento. Elvector velocidad es tangente a la trayectoria, y el de aceleraciónapunta hacia el lado cóncavo de esta.

= Y( o.50mI~)2+ (0.30mls2)2 = 0.58m1r

La dirección de arespecto al eje x positivo está dada por el ángulo{3. donde

0, = (0.15 mlsJ)(2.0s) = OJOm/s2

-1.Omls-O.Omls 05 '= - . mis

2.0 s 0.0 s

1.3 mis - 1.0 mis >

O O= 0.15 mls-

2. s- .05

Determinaci6n gráfica de aceleración media

'v,0mcO-~ : -¡;¡ :

'v,o_.y: flr =

Ejemplo3.3

Podemos escribir el vector aceleración instantánea ii como

Para el carrito de los ejemplos 3.1 y 3.2. use resta de vectores paraobtener la dirección aproximada de la aceleración media en el inter­valo de 1 = 0.0 s a 2.0 s.

El vector aceleración en este instante es

EJECUTAR: Si sustituimos t = 0,0 S o t =: 2.0 s en las expresionesanteriores para Ux y uY' veremos que al principio del intervalo(t = 0.0 s) las componentes de velocidad son

l/x = 0.0 mis vy = 1.0 mis

y que aJ final del intervalo (1 = 2.0 s) las componentes son

Vx "" -2.0 mIs uy= 1.3 mis

(Observe que los valores en I = 2.0 s son los rIÚsmoS que obruvimosen el ejemplo 3.1.) Asi. las componentes de la aceleración media enel intervalo son

, =(-0.50 mi"); + (0.30 mI")í

b) Con la ecuación (3.10), obtenemos

Jv~ 1 Jv,v ~ - = -0.50 mis ° = - = (0.075 mlsJ )(2r)~dr 'dr

ji =o.'; + Oyj = (-o.50ffilsl )i + (0.15m1sJ )rj

En el mslaIlte t = 2.0 s. las componentes de la aceleración instan­tanea son

84

l!!J!!I3I:1lIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: En la pane (a), usaremos la ecuaci6n(3.8) para calcular las componentes de la aceleración media. Paraello, primero deberemos utilizar las expresiones anleriores para de­terminar los valores de Ux y u y al principio y al fmal del intervalo.En la pane (b) determinaremos las componentes de la aceleracióninstantánea en cualquier tiempo t derivando respeclO al tiempo lascompontnles de la velocidad, como en la ecuación (3.10).

l!!J!!I3I:1lIIDENTIFICAR: La figura 3.6 muestra que la aceleración media en elintervalo de ti a t2 tiene la dirección del cambio de velocidad !lP. Da­dos los vectores velocidad al principio y al fmal del intervalo, pode­mos obtener gráficamente la dirección de !lv. y, por tanto, de Q""",.

3.2 I El vector de aceleración 85

EVALUAR: La dirección de.ó.v en la figura 3.9 es muy cercana a ladirección de aI (la aceleración instantánea en el punto medio del in­tervalo) que se muestra en la figura 3.8. También es intennedia en­tre las direcciones de ao y az, las aceleraciones instantáneas alprincipio y al final del intervalo, respectivamente. Así es como ca­be esperar que se comporte la aceleración media.

Este procedimiento gráfico nonnalmente no nos ayuda a deter­minar valores numéricos de la aceleración; para ello, necesitaremosefectuar cálculos como los del ejemplo 3.2. No obstante, este mé­todo pennite verificar si los cálculos son razonables. Además, nosdice cosas importantes acerca del carácter del movimiento, comoveremos a continuación.

3.9 Uso de resta gráfica de vectores para estimar la dirección deuna aceleración media.

(b)

3.10 La aceleración puede descomponerseen las componentes a, paralela a la trayec­toria (y a la velocidad), y a..t. perpendiculara la trayectoria (o sea, sobre la nonnal a latrayectoria).

, a/

a..t. (¿~O~al

~

;-- Tangenle,1 t,p

; ~ Trayectoria

p

t

3.11 (a) Si aes paralela a V, la magnitudde vaumenta, pero su dirección no cambia.La partícula se mueve en linea recta conrapidez cambiante. (b) Si aes perpendicu­lar a v, la dirección de vcambia, pero sumagnitud no. La partícula se mueve en unacurva con rapidez constante.

Componentes perpendiculares y paralelas de la aceleración

En muchos casos es útil describir la aceleración de una partícula que se mueve enuna trayectoria curva en ténninos de componentes paralelas y perpendiculares a lavelocidad en cada punto (Fig. 3.10). En la figura, las componentes se rotulan a..t.

y a~. Para ver su utilidad, emplearemos la interpretación gráfica de la aceleración(como en el ejemplo 3.3) y consideremos dos casos especiales.

En la figura 3.11a, el vector de aceleración es paralelo a la velocidad VI' Elcambio en Vdurante un intervalo pequeilo al es el vector av con la misma direc­ción que a y por tanto que VI' La velocidad V2 al final de at, dada porv2 = VI + av, es un vector con la misma dirección que VI pero de mayor magni­tud. Es decir, durante el intervalo al la partícula de la figura 3.11 a se movió en linearecta con rapidez creciente.

En la figura 3.11 b, la aceleración ti es perpendicular a la velocidad ii. En un in­tervalo pequeño at, el cambio ó.v es un vector casi perpendicular a VI, como semuestra. Otra vez, v2 = VI + av, pero aqui VI y V2 tienen diferente dirección. Alacercarse at a cero, el ángulo <p en la figura se acerca a cero, aii se hace per­pendicular a VI y V2> YVI YV2 tienen la misma magnitud. Dicho de otro modo, larapidez de la particula no cambia, pero su camino se curva.

Asi, cuando ii es paralela (o antiparalela) a V, su efecto es alterar la magnitudde V pero no su dirección; cuando ti es perpendicular a V, su efecto es cambiar ladirección de Vpero no su magnitud. En general, ti puede tener componentes tan­to paralela como perpendicular a V, pero 10 anterior sigue siendo válido para lascomponentes individuales. En particular, cuando una partícula sigue una trayecto­ria curva con rapidez constante, su aceleración siempre es perpendicular a ventodos los puntos.

La figura 3.12 muestra una partícula que se mueve con trayectoria curva en tressituaciones distintas: rapidez constante, creciente y decreciente. Si la rapidez esconstante, ti es perpendicular, o normal, a la trayectoria y a vy apunta hacia dIadocóncavo de la trayectoria (Fig. 3.12a). Si la rapidez aumenta, todavía hay una com- .ponente perpendicular de ii, pero también una paralela con la misma dirección quev(Fig. 3.12b) Yii apunta hacia adelante de la nonnal a la trayectoria (como en elejemplo 3.2). Si la rapidez disminuye, la componente paralela tiene direcciónopuesta a Vy ii apunta hacia atrás de la norrnal (Fig. 3.12c). Estas ideas nos ayuda­rán a describir la aceleración de un coche que toma una curva (Fig. 3.13). Usaremosotra vez esas ideas en la sección 3.4 al estudiar el caso especial de movimiento enun circulo.

86 CAPfTOLO 31 Movimientoendosorresdimcnsiones

'e)

p

t

Posición del carrito en I "" 2.0 $

"~

/Nonnal en P

(b)

/Nonnal en P

(.)

d~~1 Y I~~I

G!!!l!ll!I!l!~ Observe que las dos cantidades

no son iguales. La primera es la tasa de cambio de la rapidez; es cero cuando

la partícula se mueve con rapidez constante, aunque cambie su dirección. lasegunda es la magnitud del vector aceleración; es (eco sólo si la aceleración dela partícula es cero, es decir, cuando ésta se mueve en linea recta con rapidezconstante.

3.12 Vectores de velocidad y aceleración para una panicula que pasa por un punto P deuna trayectoria curva con rapidez (a) constante. (b) creciente y (e) decreciente.

Cálculo de componentes paralela y perpendicular de la aceleraciónEjemplo

3.4

3.13 Los aulos de carreras por lo regularfrenan al entrar en una curva y aceleran alsalir de ella. Así, el auto tiene una compo­nente de aceleración parn.lela o anriparale1aa la dirección del movimiento (que describeel cambio de rapidez) y una componenteperpendicular a la dirección del movimien­to (que descnbe el cambio de dirección).

Para el carrito de los ejemplos 3.1 y 3.2, obtenga las componentesparalela y perpendicular de la aceleración en r = 2.0 s.

El!!l3mlIIDENTIFICAR YPLANTEAR: Para obtener las componentes parale­la y perpendicular, necesitamos conocer el ángulo enlTe el vector deaceleración ti y el de velocidad v. Podremos determinarlo porqueobtuvimos las direcciones de ii y ven los ejemplos 3.2 y 3.1, res­pectivamente.

\

EJECUTAR: En el ejemplo 3.2 vimos que, en t = 2.0 s la particulatiene una aceleración de magnitud 0.58 mls2 con un ángulo de 1490

respecto al eje +x. Por el ejemplo 3.1, sabemos que en ese instanteel vector velocidad tiene un ángulo de 128" respecto al eje +x. Así, lafigura 3.8 muestra que el ángulo entre ti y ¡¡ es 1490

- 128" = 21 0

(Fig. 3.14). Las componentes paralela y perpendicular de la acelera­

ción son entonces

al = a cos 21 0 = (0.58 m/s!)cos 21 0 = 0.54 mis!

a.l. = a sen 21 0 = (0.58 mls2)sen 21 0 = 0.21 mls~

3,14 Componentes paralela y perpendicular de la aceleración delcarrito cn t = 2.0 s.

EVALUAR: La componente paralela al tiene la dirección de lí, o seaque la rapidez está aumentando. Como la componente perpendicu­lar a.l. no es cero, se sigue que la trayectoria del coche es curva eneste instantc: el carritO está dando vuelta.

3.3 I Movimiento de proyectiles 87

_ Aceleración de una esquiadora

Una esquiadora se mueve sobre una rampa de salto como semuestra en la figura 3.15. La rampa es recta entre A y e y curvaa partir de C. La rapidez de la esquiadora aumenta al moversependiente abajo de A a E, donde su rapidez es máxima, disminu­yendo a partir de ahí. Dibuje la dirección del vector aceleraciónenB, D, Ey F.

En el punto n, la esquiadora se mueve en linea recta con rapidezcreciente, así que su aceleración apunta cuesta abajo, en la mismadirección que su velocidad.

En D, la esquiadora sigue una trayectoria curva, así que su ace­leración tiene una componente perpendicular. También hay unacomponente en la dirección del movimiento porque su rapidez aúnva en aumento. Por tanto, el vector aceleración apunta adelanle dela normal a su trayectoria en el punto D.

La rapidez de la esquiadora no cambia instantáneamente en E;es máxima en este punto, así que su derivada es cero. Por tanto, nohay componente paralela de 0, y la aceleración es perpendicular almovimiento.

Por último, en F, la aceleración tiene una componente perpendicu­lar (porque la trayectoria es curva aquí) y una paralela opuesta a ladirección de movimiento (porque la rapidez está disminuyendo).

Normal en E.

Normal en D Normal en F" /e

E

3.15 La dirección de la aceleración de la esquiadora es diferenteen distintos puntos de la trayectoria.

Por tanto, el vector aceleración apunta hacia atrás de la normal a latrayectoria.

En la siguiente sección examinaremos la aceleración de la es­quiadora después de abandonar la rampa.

•

Considere los fragmentos de roca volcánica de la fotografia con que inicia elcapítulo. Cada fragmento pierde rapidez al subir hasta el punto máximo de su tra­yectoria y luego se acelera al descender desde ese punto. ¿Qué dirección tiene laaceleración de un fragmento en el punto más alto de su trayectoria?

3.3 I Movimiento de proyectiles

Un proyectil es cualquier cuerpo que recibe una velocidad inicial y luego sigueuna trayectoria determinada totalmente por los efectos de la aceleración gravita­cional y la resistencia del aire. Una pelota bateada, un balón lanzado, un paquetesoltado de un avión y una bala disparada de un rifle son proyectiles. El camino quesigue un proyectil es su trayectoria.

Para analizar este tipo de movimiento tan común, partiremos de un modeloidealizado que representa el proyectil como una partícula con aceleración (debidaa la gravedad) constante en magnitud y dirección. Haremos caso omiso de losefectos del aire y la curvatura y rotación de la Tierra. Como todos los modelos, és­te tiene limitaciones. La curvatura de la Tierra debe considerarse en el vuelo demisiles de largo alcance, y la resistencia del aire es crucial para un paracaidista.No obstante, podemos aprender mucho analizando este sencillo modelo. En elresto del capítulo, la frase "movimiento de proyectil" implicará que se desprecia

Actj'vPhyscs3 1 Resolución de problemas de

movimiento de proyectiles

3.2 Dos pelotas que caen

3.3 Cambio de la velocidad en x

3.4 Aceleraciones x y y de proyectiles

3.5 Componentes de la velocidad inicial

3.6 Prádica de tiro al blanco I

CA pfTULO 3 I Movimiento en dos o [reS dimensiones

(3.18)

(3.15)

(3.16)

(3.17)

(3.19)VOy = Vo sen ao

X""~+UCht

Ux "" ua.

1 ,y = Yo + uOy' - 2gr

v1 "" uo,. - gt

Ulb: = Uo cos ao

Para el movimiento y, sustituimos y por x, vypor vx' VOy por uQ., yay = -g por ax :

Por 10 general, lo más sencillo es tomar la posición inicial (en, = O) como origen;así, xo = )'0 = O. Este punto podria ser la posición de una pelota cuando abandonala mano del lanzador, o la de una bala cuando sale del cañón de U" arma.

La figura 3. [8 muestra la trayectoria de un proyectil que parte de (o pasa por)el origen en r - O. La posición, velocidad, componentes de velocidad y acelera­ción se muestran en una serie de instantes equiespaciados. La componente x dela aceleración es O, así que v% es constante. La componente y es constante pero nocero, así que v, cambía en cantidades iguales a intervalos iguales. En el puntomás alto de la trayectoria, v1 = O.

También podemos representar la velocidad inicial Vo con su magnitud Uo (la ra·pidez inicial) y su ángulo ao con el eje +x. En términos de estas cantidades, lascomponentes Vílf y u()y de la velocidad inicial son

la resistencia del aire. En el capitulo 5 veremos qué sucede cuando la resistenciano puede despreciarse.

Primero, observa'mas que el movimiento de un proyectil está limitado a un pla·no vertical determinado por la dirección de la velocidad inicial (Hg. 3.16). La ra·zón es que la aceleración debida a la gravedad es exclusivamente vertical; lagravedad no puede mover un proyectillaleralmente. Por tanto, este movimiento esbidimensional. Llamaremos al plano de movimiento plano xy, con el eje x hori·zontal y el y vertical hacia arriba.

La clave del amilisis del movimiento de proyectiles es que podemos tratar lascoordenadas x y y por separado. La componente x de la aceleración es cero, y lacomponente y es constante e igual a - g. (Recuerde que, por definición, g siemprees positiva pero, por las direcciones de coordenadas escogidas, ay es negativa.)Así, podemos analizar el movimiento de un proyectil como l/na combinación demovimiento horizomal con velocidad constante y movimielllO vertical con acele·ración constante. La figura 3.17 muestra dos proyectiles con diferente movimientox pero idéntico movimiento y; uno se deja caer desde el reposo y el otro se proyec­ta horizontalmente, pero ambos caen la misma distancia en el mismo tiempo.

Asi, podemos expresar todas las relaciones vectoriales de posición, velocidady aceleración con ecuaciones independientes para las componentes horizontales yverticales. El movimiento real es la superposición de los dos movimientos. Lascomponentes de ¡; son

ax "" O ay = -g (movimiento de proyectil, sin resistencia del aire) (3.14)

Por lo regular, usaremos g = 9.8 mJs2• Dado que las aceleraciones x y y son cons·tantes, podemos usar las ecuaciones (2.8), (2.12), (2.13) Y(2.14) directamente.Por ejemplo, suponga que en t = O la partícula está en el punto (Xo, Yo) Y suscomponentes de velocidad tienen los valores iniciales VCh YvOy' Las componentesde la aceleración son ax = 0, 01 = -g. Considerando primero el movimiento x,sustituimos 0x en las ecuaciones (2.8) y (2.12). Obtenemos

3.16 El movimiento de un proyectil siemprese da en un plano vertical que contiene alvector de velocidad inicial vo.

+.....J....: •o

y

88

3.17 Independencia del movimiento hori­zontal y vertical. La bola roja se deja caerdesde el reposo y la amarilla se proyectahorizontalmente al mismo Iiempo; las ima­genes sucesivas en esta fOlografia estrobos­cópica estan separadas por intervalos detiempo iguales. En un instante dado, ambasbolas tienen la misma posición y, velocidady y aceleración y, a pesar de tener diferenteposición x y velocidad x.

3.3 1 Movimiento de proyectiles

v = O¡¡, ¡¡

"R-------.,~I

Usando estas relaciones en las ecuaciones (3.15) a (3.18) y haciepdo Xo = Yo = 0,tenemos

x = (uocos O:o)t (movimiento de proyectil) (3.20)

1(movimiento de proyectil)y = (uosenO:o)t - 2.g? (3.21)

u. = Uo cos a o (movimiento de proyectil) (3.22)

uy = Uo sen a o - gt (movimiento de proyectil) (3.23)

Estas ecuaciones describen la posición y velocidad del proyectil de la figura 3.18en cualquier instante t.

Podemos obtener mucha información de estas ecuaciones. Por ejemplo, encualquier instante, la distancia r del proyectil al origen (la magnitud del vector, deposición r) está dada por

89

3.18 Trayectoria de un cuerpo proyectadocon una velocidad inicial Vo y un ángulo 0'0

sobre la horizontal con resistencia del aireinsignificante. La distancia R es el alcancehorizontal, y h es la altura máxima.

3.7 Práctica de tiro al blanco 1I

'1\

r = Yx' + l (3.24)

La rapidez del proyectil (la magnitud de su velocidad) en cualquier instante es

v = Vv} + v/ (3.25)

La dirección de la velocidad, en términos del ángulo o: que forma con el eje +x,está dada por

(3.26)

(3.27)

El vector de velocidad ti es tangente a la trayectoria en todos los puntos.Podem~ deducir una ecuación para la forma de la trayectoria en ténninos de x y

y eliminando l. De las ecuaciones (3.20) y (3.21), que suponen Xo = Yo = O,obtepe­mosl = xl(vocoso:o) y

Y = (tan O:o)x ~ , g , x'2vo' cos 0:0

--;;O:f-~-I~OO~~200*,"f~300*' x (m)

- 50 Con resis-tCllCia del

-100 aire

3.20 La resistencia del aire tiene un efectoacumulativo considerable sobre el movi·miento de una pelota de béisbol. En estasimulación, pennitimos que la pelola caigapor debajo de la altura desde la cual selanzó (por ejemplo, la pelota podria ha­berse lanzado desde un acantilado).

v

90

)'(m)

lOO

50Sin resislenciadel aire

cAPfrUlO 3 I Movimiento en dos o tres dimensiones

3.1 9 F'otografia estroboscópica de una pelota que rebota, donde se aprecian tray«loriasparabólicas después de cada rebote. Las imágenes sucesivas están separadas por intervalosde tiempo iguales, como en la figura 3.17. Cada cresta de la trayectoria está más abajoque la anterior debido a la pérdida de energia durante el "rebote", o choque con la super­ficie horizontal.

No se preocupe por los detalles de esla ecuación; lo importante es su forma gene­ral. Las cantidades vo, tan ao. cos ao, y g son constantes, asi que la ecuación tienela forma

y=bx-cx·

donde b y e son constantes. Esta es la ecuación de unaparabola. En el movimien­to de proyectiles, con nuestro modelo simplificado, la trayectoria siempre es unaparábola (Fig. 3.19).

Ya dijimos que la resistencia dcl aire no siempre es insignificante. Si debe in­cluirse, las ecuaciones son mucho más complejas; los efectos de dicha resistenciadependen de la velocidad, por lo que la aceleración no es constante. La figura 3.20es una simulación computarizada de la trayectoria de una pelOla con Vo = 50 rnlsyao = 53.1°. sin resistencia del aire y con una resistencia proporcional al cuadradode la rapidez de la bola. Vemos que el efecto de la resistencia cs muy grande; laaltura máxima y el alcance se reducen y la trayectoria ya no es parabólica.

Ejemploconceptual 3.6 Aceleración de una esquiadora. continuación

Consideremos otra vez a la esquiadora del ejemplo conceptual 3.5.¿Qué aceleración tiene en los puntos G, He 1de la figura 3.21 des­pllés de dejar la rampa? Desprecie la resistencia del aire.

lE!!mILa aceleración de la esquiadora cambMí de un pUnla a ouu mienU1l.Sestaba en la rampa pero, apenas la esquiadora deja la rampa, se coo-

vierte en un proyectil. Asi, en los puntos G, H e 1, y de hecho en lodos

los puntos después de dejar la rampa, la aceleración de la esquiadoraapunta verticalmente hacia abajo y tiene magnitud g. Pormas comple­ja que sea la aceleración de una partícula antes de convertirse en pro­yectil. su aceleración como proyectil cstlidada pora~ = O. a, = -g.

•

3.3 I Movimiento de proyectiles 91

G

3.21 Una vez que la esquiadoratiene movimiento de proyectil,su aceleración es constante yhacia abajo.

coordenadas y componentes de velocidad en un instanteposterior. O bien podrían darle dos puntos de la trayecto­ria y pedirle calcular la velocidad inicial. En todo caso,usará las ecuaciones (3.20) a (3.23). Asegúrese de tenertantas ecuaciones como variables meta por determinar.

3. Suele ser útil plantear el problema con palabras y luegotraducirlo a símbolos. Por ejemplo, ¿cuándo llega la par­tícula a cierto punto? (O sea, ¿con qué valor de t'I) ¿Dón­de está la particula cuando la velocidad tiene cierto valor?(¿Cuánto valenx'y y cuando 1.'xo v... tiene ese valor?) En elpunto más allo de la trayectoria, 1.'y = O. Así, la pregunta"¿cuándo alcanza el proyectil su punto más alto?" se tra­duce a "¿cuánto vale I cuando uy = 01 " Asimismo,"¿cuándo vuelve el proyectil a su altura inicial?" se tradu­ce a "¿cuánto vale t cuando y = Yo'!"'

EVALUAR la respuesta: Como siempre, examine sus resulta­dos para ver si son lógicos y si los valores numéricos son ra­zonables.

EJECUTAR la solución: Use las ecuaciones (3.20) a (3.23) paraobtener las variables meta. (También podrían ser utiles otrasecuaciones que se dan en la sección 3.3.) Al hacerlo, resista latentación de dividir la trayectoria en segmentos y analizarlos in­dividualmente. No hay que volver a comenzar, con nuevos ejesy nueva escala de tiempo, cuando el proyectil llega a su alturamáxima. Lo más fácil suele ser configurar las ecuaciones (3.20)a (3.23) al inicio y usar los mismos ejes y escala de tiempo du­rante todo el problema.

H

e

Movimiento de proyectil

PLANTEAR el problema con los pasos siguielI/es:l. Defina su sistema de coordenadas y dibuje sus ejes. Nor­

malmente 10 más fácil es colocar el origen en la posicióninicial (1 = O) del proyectil. (Si el proyectil es una pclotalanzada o un dardo disparado por una pistola, la posicióninicial es donde la pelota abandona la mano del lanzadoro sale del cañón de la pistola.) También, suele ser reco­mendable tomar el eje x como horizontal y el eje y haciaarriba. Asi, la posición inicial es Xo = O Y)'0 = O, lascomponentes de la aceleración (constante) son 0., = 0,ay = -g.

2. Haga una lista de las cantidades conocidas y dcsconoci­das, y decida cuáles incógnitas son las variables meta. En

• algunos problemas se dan las componentes (o la magnitudy dirección) de la velocidad inicial y se pide obtener las

NOTA: Las estrategias que usarnos en las secciones 2.4 y 2.5 pa­ra problemas de aceleración constante en línea recta tambiénsirven aquí.

IDENTIFICAR los conceptos pertinentes. El conccpto clave quedebernos recordar es que durante IOdo el movimiento de un pro­yectil, la aceleración es hacia abajo y tiene magnitud constante g.Esté alerta a aspectos del problema en los que no intervenga elmovimiento de proyectiles. Por ejemplo, las ecuaciones parael movimiento de proyectiles no son válidas durante el lanza­miento de una pelota, porque ahí actúan sobre la pelota tanto lamano del lanzador como la gravedad. Las ecuaciones sólo entranen juego una vez que la pelota abandona la mano del lanzador.

8

Estrategia pararesolver problemas

A

CAPITULO 3 I Movimiento en dos o lreSdimensiones

Cuerpo proyectado horizontalmente

,

EVALUAR: Nuestras respuestas ilusuan el hecho de que la grave·dad no altera el aspecto horizontal del movimiento; la motocicletase sigue moviendo horizontalmente a 9.0 mis, cubriendo 4.5 m en0.50 s. Dado que la moto tiene cero velocidad inicial vertical, caevenicalmente igual que un objeto que se suelta desde el reposo,descendiendo una distancia de !gt 2 = 1.2 m en 0.50 s.

~ """,,(-4.9m!S) =-2;9"9.0 mis

La velocidad está dirigida 29" debajo de la horizontal.

3.22 Trayectoria de un cuerpo proyectado horizontalmente.

Por la ecuación (3.26), el ángulo a del vector velocidad es

= Y{9.0mls)l + (-4.9m1s)l = 10.2 mis

¡j = v) + u,j = (9.0 mis); + (-4.9 mis);

Tambien podemos expresar la velocidad en terminos de magni.tud y dirección. Por la ecuación (3.25), la rapidez (magnitud de lavelocidad) en este instante es

u=Vu 2 +u 2. ,

hacia abajo (en la dirección -y). Si usamos vectores unitarios, lavelocidad en t = 0.50 s es

",a = arctan-".

Ejemplo37

Un acróbata en motocicleta se lanza del borde de un risco. Justo enel borde, su velocidad es horizontal con magnitud 9.0 mis. Obtengala posición, distancia del borde y velocidad de la moto después de0.50 s.

EJECUTAR: ¿Dónde está la moto en, = 0.50 s? Por las ecuaciones(3.20) y (3.21), las coordenadas son

-' = ul)r' = (9.0 mls)(O.50 s) = 4.5 m

1 1Y = __gI2 = --(9.8m/s2)(0.50s)2 = -1.2m

2 2

El valor negativo de y indica que en este instante la motocicleta es­ta debajo de su punto inicial.

¿A que distancia está ahora la moto del origen? Por la ecua­ción (3.24),

r= Vr + ),2 =V(4.5m)2 + ( 1.2m)2 =4.7m

¿Que \'elocidad tiene en t = 0.50 s1 Por las ecuaciones (3.22) y(3.23), las componentes de la \'elocidad en ese momento son

v. = va, = 9.0 mis

u,. = -gl = (-9.8 mls2)(O.50s) = -4.9 mis

lI!I!!ImDIDENTIFICAR: Una vez que el acróbata se separa del risco, es unproyectil. Por tanto, su velocidad en el borde es su velocidad inicial.

PLANTEAR: El sistema de coordenadas se muestra en la figura3.22. Escogemos el origen cn el borde del risco, donde la molo seconvierte en proyectil, así que .lo = OY)'o = O. La velocidad iniciales puramente horizontal (es decir, tf() = O), asi que sus componen­tes son un. = VII cos ao = 9.0 mIs y VOy = /Jo sen "o = O. Para de­terminar la posición de la moto en I "" 0.50 s, usamos lasecuaciones (3.20) y (3.21), que dan x yyen función del tiempo. Da·dos estos valores., calcularemos la distancia del origen con la ecua­ción (3.24). Por ültimo, detenninaremos la velocidad en' = 0.50 scon las ecuaciones (3.22) y (3.23), que dan u. y u, en función deltiempo.

La moto liene la misma \'elocidad horizontal u. que cuando aban·donó el risco en t = O. pero además hay una \'elocidad venicalv,

92

r--------

Ejemplo38 Altura y alcance de una pelota

Un t.leador golpea una pelota de modo que esta adquiere una ra·pidez in¡cialvo = 37.0 mIs con un ángulo inicial ao = 53.1°, enun lugar donde 8 = 9.80 m/s2 (Fig. 3.23). a) Calcule la posiciónde la bola y la magnitud y dirección de su volocidad cuandor = 2.00 s. b) Detennine cuándo la pelota alcanza el punto más

alto y su altura h en ese punto. c) Obtenga el alcance horizontalR, es decir, la distancia horizontal desde el punto de partida hastadonde la pelota cae al suelo. En las tres panes, trate la pelota co­mo proyectil.

,3.3 I Movimiento de proyectiles 93

/,-3.021__----;r--""~.~,_•

tlo = 37.0 mis•

,,,,,,,,,,h=44.7m

y-39.6m I, ,, ,, 1i', ,,Q ,

'~ ,"0=53.1° I I 1=6.04s~It'l'l!l----,-------------,<' "'-__o:'--- -"'- --"R_~'_13C4Cm'_1r-,

"

3.23 Trayectoria de una pelOla bateada, Ir.nada como proyecril.

llIiJ!!m:DIDENTIFICAR: Como muestnlla figura 3.20,105 efectos del aire so­bre el movimiento de una pelota de béisbol no son insignificantespero, por sencillez., los despreciaremos en este ejemplo. Asi pues,usaremos las ecuaciones del movimiento de proyectiles para descri­bir el movimiento.

PLANTEAR: Usaremos el mismo sistema de coordenadas que en lafigura 118. Asl, podremos usar las e<:uaciones (120) a (3.23) sin mo­dificaciones. Las variables meta son (1) la posición y velocidad de la pe­lota 2.00 s después de perder contacto con el bate, (2) el tiempotranscurrido entre que la pelota sale del bate y alcanza su altura máxima-cuando u, = G- y la coordenadaycn ese momento y (3) la coorde­nada x en el momento en que la coordenadayes igual al valor inicial Yo.

La bola se golpea tal vez 1 ro sobre el suelo, pero supo'ndremosque pane del nivel del suelo (Yo = O). La velocidad iniciaitienecomponenles

Va. = Vo cos Clo = {37.0 mis )cos 53.1 o :: 22.2 mis

Vo, = Vo sen 0'0 = (37.0 mis )sen 53.1 o :: 29.6 mis

EJECUTAR: a) Queremos obtener x, y, v~. y u, en el instanter :: 2.00 s. Por las ecuaciones (3.20) a (3.23),

x= Ulb:t:: (22.2m1s)(2.00s) = 44.4 m

1 ,Y :: Uo,' - '2gr

• 1= (29.6m1s)(2.00s) - '2(9.80mls2)(2.00s)2

:: 39.6 m

u~ :: Ulb: = 22.2 mis

u, :: Uo, - gt = 29.6 mis - (9.80 mls2 ) (2.00 s)

:= 10.0 mis

La componente y de la velocidad es positiva, o sea que la bola toda­vla va en ascenso (Fig. 3.23). La magnitud y dirección de la veloci­dad se obtienen de las ecuaciones (3.25) y (3.26): -

v:: Vv~~ + v/:: V(22.2 mlS)l + (10.0 mls)2

:= 24.3 mis

a = arctan (10.0 mis) = arctan 0.450 = 24.20

22.2 mis

La dirección es 24.20 sobre la horizontal.b) En el punto más alto, la velocidad vertical u,. es cero. ¿Cuándosucede esto? Sea ese instante ti; enlonces

v, = 0:= 1.10, - gIl

tI = [10, = 29.6 mis = 3.02 sg 9.80 mls2

La alturah es el valordey cuando r '"' ti"" 3.02 s;

1 ,h = Uo,'l - 2gt,-

1= (29.6 mls)(3.02 s) - '2(9.80 mls2)(3.02 s)2

:= 44.7 m

O bien, podemos aplica, la fórmula de aceleración constante (ecua­ción 2.13) al movimiemo y;

1.1/ := v()o/ + 2a,(y - Ya) = va/ - 2g(y - YIl)•

J8~ _ O.u lrel P = -,í, I

SOWJU;llqo Á '(p ;lIUJJl?Ápe 01

-;lleJ Á 0.0 0]n5u'\l UOJ OpJJ OlnSil~!JI U1tJp OIS;lndo Ol;lIl?J [J) 0.0 UUl

PSOl OilOW ]:lp ll?f.J!U! I!JTU[lIl1] 3nb I!JIS3nW Vn: I!Jnii~ l?l "SO[oqW!S

sol ;llUJuro¡>!qJp 0pullfqum.J (Z,"Z) u9!;)en~ III JOO llpep '\lIsa U9f;)!S

-od ns ~[IIUO!SU;lW!P!UnJJq![ CP!lI:I U3l!l~ ouow [3 "31UC)SU! :lISJ U;)

-,( = -,( ;)nb JSJ![dwnJ OlqJp 'ouow [C a:xf]oS oPJep p Jnb 1!J"1Id

(Iv SOJ 0n .,p

O·I(O.uSOJlln) =p's:l[lIniJ! UOS x SlIpllUJpJOOJ SIl[ opullnJ ·,(OvSOJOn) = ""'""x;mb JJ!P sou (OZ"r) u9TJen:);l el 'Oplllp ]:lp oseJ 101 u3 "O¡U;lUIOW

0POI U:l P = 0<>0W:r Jnb !se '31U:lWlc:>!U;)'" :)c:) OllOW 13 :UVlnJ3r:l

"OUOUl [lI ¡ue~IOSop.IHp P 'oos o/ !S ~J1UUl

-SU! ;lS;l U;l ~]¡¡niJ! UOS U;¡l!qWlll -,c Á-,(!S JIIJ~!1:l¡\ I!JOO (1 rOu9!JcnJa l?l SOWJJllsn o'8anl "sJ[lln5! UOS -xÁ'-x SlIpllU<lpJOO:l

SIII ;lnb p U:l 1 odW;l!1 101 JlUIUOJU:l I!Jlld (oz'r) U9!JllnJ;l III SOW

-JJllSn OJJW!1d "JU!l PP u9\.lll:ll;lP owanr,¡ [J UJ U;liJ!lO P SOWllJOl

-oJ Á 'sepl!JqWTUSOJC ,í Á x SJUO!J~!P SlIl sow;l50JS3 :~nfl.LNVld

"IÍ Á x SlIpCU3pJOOJ SllWSfW Sll[ UJU;l!1 soqwe

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SJUO!SUJW!PS:;UlOSOPU:lOlU:;)!W,,,OW I E o,nJ.Jdv:) ~6

3.3 I Movimiento de proyectiles

,," dtanao//' ~r

95

~======dd====="=:;;¡--~

3.24 El dardo con sedante golpea al mono que caco

Para el dardo usalllOS la ecuación (3.21):

Yd:lfdo = (vo sen 0'0)1 ~ ~gt2

Vemos que, si d tan 0'0 = (vo Sl;:n 0'0) 1cuando las dos coordenadas-' son iguales, entonces Ymooo = Ydardo, Y el dardo habrá acertado.Para demostrar que esto sucede, sustituimos [por di (vo cos 0'0)' elinstante en que -'m(.", = -'<la,,",: asi,

EVALUAR: Hemos demnstrado que, cuando las coordenadas x soniguales, las)' también lo son; un dardo dirigido a la posición inicialdel mono siempre lo golpea, sin importar v(I. Este resultado tam­bién es independicntc de g, la aceleración debida a la gravedad. Singravedad (g = O). cl mono no se movería, y el dardo viajaría en lí­nea recta para golpearlo. Con gravedad, ambos "cacn" la misma dis­tancia (tg¡2) por debajo de sus posiciones con g = OYel dardo detodos modos golpea al mono.

Ejemplo3 10 Altura y alcance de un proyectil

7 Para un proyectil lanzado con rapidez Vü y ángulo inicial 0'0 (entre Oy 90°), deduzca expresiones generales para la altura máxima h y elalcance horizontal R (Fig. 3.18). Para una V(I. dada, ¿qué valor de 0'0

da la alrura máxima? ¿Y alcance máximo?

IDENTIFICAR. Éste es realmente el mismo ejercicio que las partes(b) y (e) del ejemplo 3.8. La diferencia es que buscamos expresio­nes generales_para h y R. También nos íntcresan los valores de 0'0

que dan los valores máximos de h y R.

posición inicial del proyectil. Para detenninar la altura h en el punto

más alto de la trayectoria, usaremos la ecullción (3.23) para obtener eltiempo [1 en el que v). = O, Yluego obtendremos la coordenada y enese instante con la ecuación (3.21). Para determinar R, primero usare­mos la ecuación (3.21) para dctcnninar el tiempo t2 en el que y = O(esdecir, cuando el proyectil regresa a su altura inicial) y lucgo sustituire­

mos tl en la ecuación (3.20) para detenninar la coordenada-, en 12,

EJECUTAR: Por la ecuación (3.23), el tiempo II en el que v, = Oestádado por la ecuación

PLANTEAR: Igual que en el ejemplo 3.8, usamos el sistema de coorde­nadas de la figum 3.18. Por conveniencia. escogemos como origen la "

Vo sen 0'0

g

96 CAP[TULO 3 I Movimiento en dos o ues dimensiones

8

Suelo

•• •

Vrn_, , 4 , , 10O x

"1l" -20"

-,

-,-,

•

3.26 Trayectoria de una pelota lanzada con cierto ángulo debajode la horizontal.

•••••••. ....".••• • • •• • ••.. .. . '..•• •

-4

ftlllliIJIll:l No recomendamos memorizar las expresio­nes anteriores para h y R; son aplicables sólo en las circuns­tancias especiales que describimos. En particular, laexpresión para R sólo puede usarse cuando las alturas delanzamiento y aterrizaje son iguales. En muchos de losprobemas de este capitulo no pueden aplicarse estasecuaciones.

EVALUAR: La figura 3.25 se basa en una folografia compuesta de 3trayectorias de una bola proyectada desde un cañón dc resorte conangulos de 30°, 45° Y60°. La rapidez inicial tlo cs aproximadamenteigual en los 3 casos. Los alcances son casi iguales con los ángulosde 30° y 60°, y el de 45° es el mayor que ambos. ¿Puede demostrarque para una tlo dada el alcance es igual para un ángulo inicial ao quepara 90° - ao?

Comparendo las expresiones para tI y l~. vemos que t1 '" 211; esdecir, el tiempo de vuelo total es el doble del que toma llegar a la al­tura máxima. Se sigue que esle ultimo es igual al tiempo que lomaregresar a la altura original, como afirmamos en el ejemplo 3.8.

3.25 Un ángulo de disparo de 45° (en morado) produce el alcan­ce horizontal máximo. El alcance es menor con 30° (azul) y 60°(verde).

Alturas inicial y final distintasEjemplo

3.11

uo' sen 2aoR~ ==="

Ahora podemos usar la idenlidad trigonométrica 2 sen 0:0 cos 0'0 - sen20:0 para reescribir esto como

Imagine que lanza una pelOla desde su ventana a 8.0 m del suelo. Cuan­do la pelota abandona su mano, se mueve a 10.0 mis con un ángulo de20" debajo de la horizonw. ¿A que distancia horizontal de su ventanatoc:ar.i la pelota el piso? Haga caso omiso de la resistencia del am:.

Luego. por la ecuación (3.21), la altura en ese instante es

(vn sen 0:0) 1 (uo sen ao)'Ir '" lIo sen ao --g8 2 8

vi sen20:0

28

Si variamos ao. el valor máximo de h se da con sen "o "" 1 y"o = 90";o sea, cuando el proyectil se lanza verticalmente. Esto es lo espera·do. Si se lanza horizontalmente, como en el ejemplo ].7, flo = Oy laallura máxima es ¡cero!

Si queremos deducir una expresión general para el alcance R,primero obtenemos el tiempo (2 cuando y-O. Por la ecuación(3.21), f2 satisface la ecuación

(uo sen 0:0)/2 - ±gtl = /2(005eo 0'0 - tgt1) = O

Las dos raices de esta ecuación cuadnitica en'2 son'1 = O(el lanza­miento) y '2 = (2IJ, sen ao)/g. El alcance: R es el valor de;l en elsegundo instante. Por la ecuación (3.20),

El valor máximo de sen 2ao es 1; esto ocurre cuando 2"0 = 90", o"0= 45°. Este angulo da el máximo alcance para una velocidad ini­cial dada.

PLANTEAR: Una ....ez más, escogemos el ejex como horizontal, y ely, hacia arriba. Colocamos el origen de coordenadas en el punlO enque la pelota abandona la mano, asi queXo = O,Yo - O(Fig. 3.26). Te­nemos tlo = 10.0 mis y «o = _20°; el ángulo es ncgativo porqueVoeSla debajo de la horlzootal. La variable meta es el valor de x en elpunto en que la pelota llega al suelo; es decir, cuando y = -8.0 m.

lE!!IiI'iIlIIDENTIFICAR: Al igual queen nuestro cálculo del alcance horizontal enlos ejemplos 3.8 y 110, estamos tratando de hallar la coordenada hori­zontal de un proyectil cuando está a un valor dado dc y. La diferenciaen este caso es que este valor de y no es igual a la coordenada y inicial.

,

3.3 1 Movimiento de proyectiles 97

Dado que las alroras inicial y final dc la pelota son distintas, no po­demos usar la e;o;presión para el alcance horizontal del ejemplo3.10. En vez de ello, usamos primero la ecuación (3.21) pan! hallarel instante' en que la pelota llega a y '" -8.0 m, Y luego calcula­mos el valor de x en ese instante, con la ecuación (3.20).

EJECUTAR: Para determinar t, reescribimos la ecuación (3.21) en laforma estándar de una ecuación cuadrática en t:

Las raíces de esta ecuación son

Vo sen <ro -+- VVOl senl ao - 2gy

g

[(IO.Oml'j"n(-20"j ]-+-V( 10.0 mls}2sen2 ( -20") - 2(9.8 mls2)( -8.0 m)

%

9.8 m1s2

Podemos desechar la raíz negativa. pues se refiere a lID tiempo p¡ev1o allanzamiento. La raíz positiva nos dice que la pelota tarda 0.98 s en Ue­gar al suelo. Por la ecuación (310), la coordenada x en ese instante es

x = (l/o eos «o)t '" (10.0 mis )(cos( -20")](0.98 s)

= 9.2m

La pelma toca el suelo a una distancia horizontal de 9.2 m de laventana.

EVALUAR: La raiz I '" -1.7 s es un ejemplo dc solución "ficticia"a una ccuación cuadrática. Ya vimos esto en el ejemplo 2.8 de lasección 2.5; le recomendamos repasarlo.

Con el origen que escogimos, teníamos alturas inicial y finalYo '" OyY '" -8.0 m. ¿Puede demostrar, con la ayuda de las ecua·ciones (3.16) y (3.18), quc se obtienen los mismos valores de , y xsi se coloca el origcn en el suelo, inmediatamente abajo de donde lapelota abandona la mano?

En el ejemplo 3.9, suponga que el dardo sedante tiene una velocidad de salida re­lativamente baja, de modo que el dardo alcanza su altura máxima en un punto Pantes de golpear al mono (véase la Fig. 3.27). Cuando el dardo esta en P, ¿el mo­

no estará en el punto A (mas alto que P), en el punto B (a la misma altura que P)o en el punto e (más abajo que P)? Haga caso omiso de la resistencia del aire.

•

3.27 Misma situación que en el ejcmplo 3.9, pero con velocidad dc salida baja.

98 CA PfTU LO 3 Movimiento en dos o lres dimensiones

~o•

(3.28)(movimiento circular uniforme)u'

arad = -R

1<\;;1 u, lisa =--=--

lD<d lit R 6t

Movimiento circular uniforme

1<\;; 1 lis= ou, R

3.4 I Movimiento en un circulo

Cuando una partícula se mueve en un círculo con rapidez constante, tiene un movi­miento circular uniforme. Un auto que da vuelta a una curva de radio constantecon rapidez constante, un satélite en órbita circular y un patinador que describe uncirculo con rapidez constante son ejemplos de este movimiento. o hay compo­nente de aceleración paralela (tangente) a la trayectoria; si la hubiera, la rapidezcambiarla. La componente de aceleración perpendicular (normal) a la trayectoria,que causa el cambio de dirección de la velocidad, tiene una relación sencilla conla rapidez de la partícula y el radio del circulo. Ahora deduciremos esa relación.

Primero observamos que este problema es distinto del movimiento de proyectilque vimos en la sección 3.3, donde la aceleración era constante, tanto en magni­tud (g) como en dirección (hacia abajo). En el movimiento circular uniforme, laaceleración siempre es perpendicular a la velocidad; al cambiar la dirección de ésta,cambia la de la aceleración. Como veremos, el vector de aceleración en cada PUnlO

de la trayectoria apunta al centro del círculo.La figura 3.28a muestra una partícula que se mueve con rapidez constante en una

trayectoria circular de radio R centrada en O. La partícula se mueve de PI a P2 en untiempo lil. El cambio vectorial en la velocidad I1v se muestra en la figura 3.28b.

Los ángulos rotulados 111> en las figuras 3.28a y 3.28b son iguales porque VI esperpendicular a la linea OPI y i12 es perpendicular a OP2, y los triángulos OP IP2

(Fig. 3.28a) y OPtP2 (Fig. 3.28b) son semejantes. Los cocientes de lados corres­pondientes son i~ales, así que

Cuando una partícula se mueve en una trayectoria curva, la dirección de su velocidadcambia. Como vimos en la sección 3.2, esto implica una componente de aceleraciónperpendicular a la trayectoria, aun si la rapidez es constante. Aquí calcularemosla aceleración para el caso especial imponante de movimiento en un círculo.

La magnitud 0med de la aceleración media durante lit es entonces

La magnitud a de la aceleración inSlantimeo ti en el PUnlO PI es el límite de estaexpresión conforme P2 se acerca a PI:

V¡ lis VI 6.sa:::: lím--::::-lfm-

.1t->o R lil R tu .....o lil

Sin embargo, el límite de Ilsflil es la rapidez Ul en PI.Además, PI puede ser cual­quier punto de la trayectoria, así que omitimos el subindice y u representa la rapi­dez en cualquier punto. Así.,

o

R

p, -

P-' ..

p,

~4> "'.,o

(.)

'o)

(b)

3.28 Dcterminacion del cambio de veloci­dad, .lv. de una partícula que se mueve enun círculo con rapidez constante.

Acl'!YPhysc~s

4.1 Magnitud de aceleracióncentrfpeta

(3.29)

3.4 I Movimiento en un círculo

Agregamos el subindice "rad" para recordar que la dirección de la aceleración ins­tantanea siempre sigue un radio del círculo, hacia su centro. Esto es congruentecon lo dicho en la sección 3.2: el vector aceleración apunta aliado cóncavo de latrayectoria circular, o sea, hacia adentro del circulo (nunca hacia afuera). Dadoque la rapidez es constante, la aceleración siempre es perpendicular a la velocidadinstantánea. Esto se muestra en la figura 3.28c; comparela con la figura 3.12a.

En conclusión, en el movimiento circular uniforme, la magnitud a de laaceleración instantánea es igual al cuadrado de la velocidad v dividido entreel radio R del círculo; su dirección es perpendicular a V y hacia ade1llro so­bre el radio. Puesto que la aceleración siempre apunta al centro del círculo, sele llama aceleración centrípeta ("que busca el centro", en griego). La figura3.29 muestra las direcciones de los vectores de velocidad y aceleración en va­rios puntos para una partícula con movimiento circular uniforme. Compare es­to con el movimiento de proyectil de la figura 3.18, donde la aceleraciónsiempre es vertical hacia abajo y /lO perpendicular a la trayectoria, excepto enun punto.

También podemos expresar la magnitud de la aceleración en un movimientocircular unifonne en ténninos del periodo Tdel movimiento, el tiempo de una re­volución (una vuelta completa al círculo). En un tiempo T, la partícula recorre unadistancia igual a la circunferencia 21r'R así que su rapidez es

2r.Rv=--

T

Al sustituir esto en la ecuación (3.28), obtenemos la expresión alterna

99

3.29 Para una panicula en movimientocircular uniforme, la velocidad en cadapunto es tangente al circulo y la aceleraciónestá dirigida hacia cl centro.

Aceleración centrípeta en un camino curvoEjemplo

3 12

4r.'Ral3d =7 (movimiento circular unifonne) (3.30)

•

Un automóvil BMW Z4 tiene "acelemción lateral" de O.87g, que es(0.87)(9.8 mls2) - 8.5 mi.}. Ésta es la acelcración cenlripeta máximaque puedc lograrse sin salirse de la trayectoria circular derrapando.Si el auto viaja a 40 mis (144 kmfh), ¿cuál es el radio mínimo decurva que pucde describir? (Suponga que no hay peralte.)

Ell!!EIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: PueslO que el coche se mueve en unacurva ---es decir, tm segmento de circulo-- con rapidez constante,podemos aplicar las ideas del movimiento circular uniforme. Espe­cíficamente, podemos usar la ecuación (3.28) para obtener la varia­ble meta R (el radio de la curva) en términQs de la aceleracióncentripeta dada a..... y la rapidez t/.

EJECUTAR: Nos dan atad Yu. así que despejamos R de la ecuación (3.28):

(unos 600 ft)

EVALUAR: Nueslro resultado muestra qUC' el radio dc giro requeri­do R es proporcional al cuadroda de la rapidez. Por tanto, inclusouna reducción pequeña en la rapidez puede reducir R considerable­mente. Por ejemplo, si u disminuye en un 20".4 (de 40 a 32 mis), Rdisminuirá en un 36% (de 190 m a 120 m).

Otra forma de reducir el radio requerido es peraltar la curva. in­vestigaremos esta opción en el capitulo 5.

r~------

(3.31)

(7.9 mlsP= 12 mJs~

S.Om

(movimiento circular no uniforme)

2rrR 2r.(5.0 m), ~ -- = = 7.9 mis

T 4.0 S

"(.lr.od ""¡¡ =

La aceleración centrípeta es enlonces

EVALUAR: Al igual que en el ejemplo anterior, la dirección de tisiempre es hacia el centro del círculo. La magnitud de ii es mayorque g, la aceleración debida a la gravedad, así que este juego mecá·nico sólo es para los audaces. (Algunas montanas rusas someten asus pasajeros a aceleraciones de hasta 4g.)

Obtenemos el mismo valor de Q,...¡ con ambas estrategias.

/Movimiento en dos o tres dimensiones

.'arad=/i Y

CAPíTULO 3 I

Movimiento circular no uniforme

En esta sección, hemos supuestO que la rapidez de la panícula es constante. Si la

rapidez varía, tenemos un movimiento. circular no uniforme. Un ejemplo es un

carrito de montaña rusa que frena y se acelera al moverse en un lazo vertical. En

el movimiento circular no uniforme, La ecuación (3.28) nos sigue dando la como

ponente radial de la aceleración a..... = u21R, siempre perpendicular a la velocidadinstantánea y dirigida al centro del circulo. Sin embargo, dado que la rapidez utiene diferentes valores en diferentes puntos, arad no es constante. La aceleración

radial (centrípeta) es mayor donde v es mayor.

~ En el movimiento circular no uniforme también hay una componente de acelera·

ción paralela a la velocidad instantánea. Ésta es la componente a. que vimos en la

sección 3.2, y aqui la llamamos al'" para subrayar que es tangenle al círculo. Porlo dicho al final de la sección 3.2, sabemos que a u", es igual a la tasa de cambio dc

la rapidez. Entonces

El vector aceleración de una panicula que se mueve con rapidez variable en uncírculo es la suma vectorial de las componentes de aceleración radial y tangencial.

Esta última tiene la dirección de la velocidad si la partícula esta acelerando, y la

dirección opuesta si está frenando (Fig. 3.30).

En el movimiento circular uniforme, la aceleración no tiene componente tan­gencial, pero la componente radial es la magnitud de dvldt. Ya dijimos que, en ge­

neral, Idvldrl y dlVlldt no son iguales. En el movimiento circular uniforme, laprimera es constante e igual a v"IR; la segunda es cero.

Aceleración centrípeta en un juego mecánicoEjemplo

3.13

100

En un juego mecilnico, los pasajeros viajan COD rapidez constanteen un circulo de 5.0 m de radio, dando una vuelta cada 4.0 s. ¿Quéaceleración tienen?

EJECUTAR: Por la ecuación (3.30),

""'(5.0 m)lJm = (4.05)2

Verificaremos esta ~puesta usando la ecuación (3.28) después decalcular la rapidez v. Por la ecuación (3.29), la rapidez es la circun­ferencia dividida entre el periodo T:

l'lll!!13I':JlIIDENTIFICAR YPLANTEAR; La rapidezesconstante, asi que es un pro­blema de movimiento circular unifonne. Nos dan el radio R = 5.0 m yel periodo T= 4.0 s, así que podemos usar la ecuación (3.30) para calcu­lar a. Como alternativa, podríamos calcular primero la rapidez u con laecuación (329) Yluego obtener la aceleración con la ecuación (328).

3.30 Parricula que se muevc en un lazo \'et"­

tiea!, como un carrito de montai\a rusa, conrapidez \'ariable. La componente radial de laaceleración a,., es mixima donde la rapidezes máxima (en la base dcllazo) y mínimadonde la rapidez es mínima (en la pane su­perior). La componente tangencial de la are­leración, Q_ tiene la misma dirección que¡; cuando la partícula se está acelerando(cuando va de bajada) y opuesta a ¡; cuandoestá frenando (cuando va de subida).

•

3.5 I Velocidad relaúva

Suponga que, en la parte inferior del lazo, el carro de la figura 3.30 experimentauna aceleración cuatro veces mayor que en la parte superior. Compare las rapide­ces en esos dos puntos del lazo.

" 3.5 I Velocidad relativa

Sin duda el lector ha observado que un aUlo que avanza lentamente parece mo­verse hacia atrás cuando usted lo rebasa. En general, si dos observadores miden lavelocidad de un cuerpo, obtienen diferentes resultados si un observador se mueverelativo al otro. La velocidad que un observador dado percibe es la velocidad re­lativa a él, o simplemente velocidad relativa. La figura 3.31 muestra una situa­ción en la que entender la velocidad relativa es en extremo importante.

Primero consideraremos la velocidad relativa en línea recta, y luego la generali­zaremos a un plano. Recuerde que en el movimiento rectilíneo (unidimensional),velocidad se refiere a la componenle del vector velocidad sobre la línea de movi~

miento, y puede ser positiva, negativa o cero.

Velocidad relativa en una dimensión

Una mujer camina con velocidad de 1.0 mis por el pasillo de un vagón de ferroca­rril que se mueve a 3.0 mis (Fig. 3.32a). ¿Qué velocidad tiene la mujer? Es unapregunta sencilla, pero no tiene una sola respuesta. Para un pasajero sentado en untren, la mujer se mueve a 1.0 mis. Para un ciclista parado junto al tren, la mujer semueve a 1.0 mis + 3.0 rnls ::: 4.0 mis. Un observador en Otro tren que va en ladirección opuesta daría otra respuesta. Debemos especificar quién es el observadory dar la velocidad relatira a él. La velocidad de la mujer relativa al tren es 1.0 mis,relativa al ciclista es 4.0 mis, etc. Cada observador, equipado en principio con un

3.31 Los pilotos de acrobacias aéreasenfrentan un complicado problema de ve­locidades relativas. Deben eslar pendientesde su velocidad relativa al aire (a fin demantener un flujo de aire sobre las alassuficiente para la suslentación), su veloci­dad relativa a los otros aviones (para man­tener una formación cerrada sin chocar) ysu velocidad relativa al publico (para quelos espectadores no los pierdan de visla).

3.32 (a) Una mujer camina dentro de untren. (b) En el inslante que se muestra, laposición de la mujer (partícula P) relaúvaal marco de referencia A es diferente de suposición relativa al marco de referencia B.

p

O, 0·1 .lA_ XII

r----X&lA '1 x,m4XPIA

(b)(,)

CAPfTUl.Q 3 I Movimiento en dos o tres dimensiones

Volviendo a la mujer en el tren, A es el marco de referencia del ciclista, B es el deltren, y el punto P representa a la mujer. Usando la notación anterior, tenemos

(J.32)

(J.J4)

(J.JJ)

DBlA = 3.0 mis

(velocidad relativa en una línea)

VIJB = -VB/A

XplA == ;(1'/8 + XmA

DplS = 1.0 mis

referencia; además, casi siempre será preciso incluir el marco de re­ferencia de la superficie terresm:. (Frases como"el automóvil viaja alnorte a 90 kmIh" se refieren implicitamenlc a la velocidad dcl nuto­móvil relativa a la superficie terrestre.) Use los rótulos para identifi­car la variable mela. Por ejemplo, si quiere obtener la velocidad de un

coche (C) coo respecto a un aulobUs (B), la variable meta será lIaB.

UPfA = VplB + U8I.4

o sea

metro y un cronómetro, constituye lo que llamamos un marco de referencia. Así.un marco de referencia es un sistema de coordenadas más una escala de tiempo.

Llamemos A al marco de referencia del ciclista (en reposo respecto al suelo) yB al del tren en movimiento (Fig. 3.32b). En el movimiento rectilíneo, la posición deun punto P relativa al marco de referencia A está dada por la distancia ;(1'110 (la po.sición de P respecto a A), y la posición respecto al marco B está dada por XPtB- Ladistancia del origen de A al origen de B (posición de B respecto aA) esxB!A' Vemosen la figura que

Esto nos dice que la distancia IOIa1 del origen de A al pumo P es la distancia delorigen de B a P más la distancia del origen de A al origen de B.

La velocidad de P relativa al marcoA, denotada con Up/A' es la derivada de XP/A

respecto al tiempo. Las otras velocidades se obtienen igual, así que la derivada res­peciO al tiempo de la ecuación (3.32) nos da la relación entre las velocidades:

dxPIA d-':P/B dl:81A-----+--d! d! dI

Por la ecuación (3.33), la velocidad UplA de la mujer relativa al ciclista es

Up/A = 1.0 mIs + 3.0 mIs = 4.0 mIs

10 cual ya sabiamos.En este ejemplo, ambas velocidades son a la derecha, e implícitamente toma­

mos esta dirección como positiva. Si la mujer camina a la izquierda relativa altren, UI'IlI = -1.0 mIs, y su velocidad relativa al ciclista es de 2.0 mis. La suma dela ecuación (3.33) siempre es algebraica, y cualquiera de las velocidades puedeser negativa.

Si la mujer se asoma por la ventana, le parecerá que el ciclista estacionario semueve hacia atrás; llamamos uIJP' a la velocidad del ciclista relativa a ella. Es evi­dente que esta es el negativo de Up/A' En geneml, si A y B son dos puntos o marcos dereferencia cualesquiera,

Velocidad relativa

IDENTIFICAR los concepros pertinentes: Siempre que lea lafrase ''velocidad relaliva a" o "velocidad con respecto a", segura­mente le resultaran utiJes los conceptos de velocidad relativa.

PLANTEAR el problema: Rotule todos los marcos de referencia delproblema. Cada objeto en mm'imienlo tiene su propio matw de

Estrategia pararesolver problemas

102

3.5 I Velocidad relativa 103

EJECUTAR la SO/l/don: Despeje la variable meta empleando laecuación (3.33). (Si las velocidades no tienen la misma dirección,será preciso usar la forma vectorial de esta ecuación, que deducire­mos másadelanteen esta misma sección.) Es importante observar elorden de los dobles subindiees en la ecuaeión (3.33): vMe siempresignifica "velocidad de A relativa a B". Estos subindices obedecenun tipo interesante de álgebra, como mucstra la ecuación (3.33). Silos consideramos cada uno como una fracción, la fracción delmiembro izquierdo es el producto de las fracciones del miembroderecho: PIA "" (PIBXBIA). Puede usar esta útil regla al aplicar la

ecuación (3.33) a cualquier cantidad de marcos de referencia. Porejemplo, si hay !reS marcos A, B Ye, podemos escribir de inmediato

EVALUAR la respuesta: Esté pendiente de los signos menos en surespuesta. Si la variable meta es la velocidad de un aUlo relativa aun autobús (vae). asegúrese de no haber calculado por equivoca­ción la velocidad del Gil/obús r"c1ativa al aUlo (vBlcl. Si cometióeste error, la ecuación (3.34) le dani la respuesta correcta.

Ejemplo3.14 Velocidad relativa en un camino recto

Imagine que viaja al none en un camino recto de dos carriles a 88km/h. Un camión que viaja a 104 kmIh se acerea a usted (en el otrocarril, no se preocupe). a) ¿Qué velocidad tiene el camión relativa austed? b) ¿Y usted relativa al camión? e) ¡,CÓmo cambian las velo­cidades relativas una vez que los dos vehículos se han pasado?

l3ilElII1iIIIDENTIFICAR YPlANTEAR: Sea usted U, el camión e y la TierraT, y sea el norte la dirección positiva (Fig. 3.33). Entonces,su velocidad relativa a la Tierra es vwr:::: +88 km/h. En unprincipio, el camión se acerca, así que debe ir hacia el sur, osea que Var "" -104 km/h. La variable meta en la parte (a) esvCJ\.:; la variable meta en la parte (b) es VIl.'C' Obtendremos am­bas respuestas utilizando la ecuación para velocidad relativa,ecuación (3.33).

EJECUTAR: a) Para obtener VCJ1J' primero escribimos la ecuación(3.33) para los tres marcos, U, eyT, Ylucgo reacomodamos:

T

Vcrr = [)Ctu + [)vrr

VCJ1J = VC/T - [)UfT

= -104 kmlh - 88 km/h :::: -192kmlh

El camión se mueve a 192 km/h al sur relativo a Ud.b) Por la ecuación (3.34),

vU/I: "" -uoo:::: -(-192km1h) = +192km/h

Ud. se mueve a 192 km/h al none relalivo al camión.c) Las velocidades relativas no cambian después de pasarse losvehículos. Las posiciones relativas de los cuerpos no imponan. La

Velocidad relativa en dos o tres dimensiones

3.33 Marcos de referencia para usted y el camión.

velocidad del camión relativa a usted sigue siendo -192 km/h. pe­TO ahora se aleja en vez de acercar5e.

EVALUAR: Para comprobar su respuesta de la pane (h). use laecuación (3.33) directamenle en la forma Vu.c = vU/T + VT,c.

(R~uerde que la velocidad de la Tierra relativa al camión es opues­ta a la velocidad del camión respecto a la Tierra: f}T": = -VC/T.)

¿Obtiene el mismo rcsullado?

Podemos extender el concepto de velocidad relativa al movimiento en un plano o enel espacio usando suma vectorial para combinar velocidades. Suponga que la mujerde la figura 3.32a camina no por el pasillo del vagón sino de un costado al otro, conrapidez de 1.0 mis (Fig. 3.34a). También podemos describir su posición P en dos

(3.37)

(3.35)

(3.36)

a = 180y

(velocidad relaliva en el espacio)

UptB 1.0 mistana=--~

UB/A 3.0 mis

1J,.1ll- 1.0mls

(o)

Si las tres velocidades están en la misma linea, la ecuación (3.36) se reduce a laecuación (3.33) para las componentes de las velocidades en esa línea.

Si la velocidad del tren relativa al suelo tiene magnitud U8IA = 3.0 mJs y la ve­locidad de la mujer relativa al vagón tiene magnitud UplB = 1.0 mis, su vectorvelocidad DPiA relativo al suelo es la mostrada en el diagrama vectorial de la figura3.34c. Elleorema de Pitágoras nos da

UPlA = V(3.0mlS)2 + (1.0m/s)2 = YlOm2 /s2 = 3.2 mis

La velocidad de la mujer con respecto al tren es el negativo de la velocidad deltren con respeclo a la mujer, elcélera.

También es evidente en el diagrama que la dirección de su vector velocidad rela·tivo al suelo forma un ángulo a con la velocidad del tren D8IA, donde

Igual que antes, derivamos respeclo al tiempo para obtener una relación entre lasvelocidades; la velocidad de P relativa aA es Vp1,4 = di1'1"ldt, e igual para las demás ve·locidades. Obtenemos

Como en el caso del movimiento rectilíneo, tenemos la regla general de que siA y B son dos puntos o marcos de referencia cualesquiera,

marcos de referencia distintos, A para el observador terrestre estacionario y B parael tren en movimiento, pero en vez de coordenadas x usamos vectores de posición¡. porque el problema es bidimensional. Entonces, como muestra la figura 3.34b.

•p

(b)

CAPITULO 3 I Movimiento en dos o ITesdimensiones

'~~-'-'------"

";'----.,

104

3.34 (a) Mujer que camina a lo ancho deun vagón de ferrocarril, vista desde arriba.(b) El vector de posición depende del marcode referencia. (e) Diagrama veelOrial para lavelocidad de la mujer relativa al suelo.

3.5 I Velocidad relativa 105

La ecuación (3.36) se conoce como transformada galileana de la velocidad, ymuestra que la velocidad de un objeto P con respecto al marco A y su velocidadcon respecto al marco B (Vi'IA y Vi'1B respectivamente) están relacionadas por lavelocidad del marco B con respecto al marco A (VNB)'

Ejemplo3.15 Vuelo con viento cruzado

La brújula de un avión indica que va al norte, y su velocimetro in­dica que vuela a 240 km/h. Si hay un vicnto de 100 km/h de oeste aeste, ¿cuál es la velocidad del avión rclativa a la Tierra?

EVALUAR: El viento lateral aumenta la rapidez del avión relativa alsuelo, pero al precio de desviarlo de su curso.

EJECUTAR: Usando la ecuación (3.36), tenemos

Nuestras variables meta son la magnitud y dirección de vvrr.

El!'!llIDIDENTIFICAR Y PLANTEAR: Es obvio que se trata de un problemade velocidad relativa, asi qne usaremos la ecuación (3.36) para ha­llar la velocidad del avión (V) relativa a la Tierra (T). Nos dan lamagnitud y dirección de la velocidad del avión relativa al aire (A),así como la magnitud y dirección de la velocidad del viento, que esla velocidad del aire con respecto a la Tierra:

VVIA =

240 km/h,norte

VAfT = tOO km/h.este

al norte

al este

VVIA = 240 km/h

Vwr = 100km/h

Vvrr = VVIA + VAfT

Las tres velocidades relativas y su relación se muestran en la figura3.35; las incógnitas son la rapidez Uvrr y el ángulo,p. Del diagramaobtenemos

Uvrr = V(240 km/h)2 + (100 km/h)2 = 260 km/h

(IOOkm/h)

4> = arctan 240 km/h = 23" E de N3.35 El avión apunta al none, pero el viento sopla al este, dandola velocidad resultante v"rr relativa a la Tierra.

_ Corrección por viento cruzado

Podemos calcular las variables meta desconocidas empleando lafigura 3.36 y trigonometria.

Como muestra la figura 3.36, el piloto apunta la nariz del avión conun ángulo 4> hacia el viento para compcnsar su efecto. Este ángulo,que nos da la dirección del vector VVIA (la velocidad del avión re­lativa al aire), es una dc nuestras variables meta. La otra es la rapidezdcl avión sobre el suelo, que es la magnitud del vector vvrr (la ve­locidad del avión relativa a la Tierra). He aquí las cantidadcs qucconoccmos y que desconocemos:

vvrr = magnitud desconocida al norte

En el ejemplo 3.15, ¿qué rumbo debe tomar el piloto para viajar alnorte? ¿Cuál será su velocidad relativa a la tierra? (Suponga que surapidez respecto al aire y la velocidad del viento son las del ejem­plo 3.15.)

El!'!llIDIDENTIFICAR: La figura 3.36 ilustra la situación. Ahl, los vectoresse han acomodado según la ecuación vectorial de velocidad relatI­va, ecuación (3.36):

VVIA = 240 kmlh

VAfT = 100 km/h

dirección desconocida

al este

106 CAPÍTULO 31 Movimiento en dos o tres dimensiones

EVALUAR: Obsef"\.'e que habia dos variables meta -la magnitudde un vector y la dirección de un vector- tanto en este ejemplocomo en eI3.15. La diferencia es que, en el ejemplo 3.15, la mag­nitud y dirección se referian al mismo \'CCIOr (vvn), mientras queen este ejemplo se refieren a vectores distintos (vvn y VVI~).

No es sorpresa que un viento de frente reduzca la rapidez dc unavión relativa al suelo. Lo que este ejemplo demuestra es que un ~'iefl­

lO cruzado también frena a los aviones; esta es una triste realidad dela aeronáutica.

EJECUTAR: Por el diagrama, la rapidez vvrr y el ángulo c/J estándados por

VVfT = V(240kmlh)l (IOOkmlh)~ = 218kmlh1

c/J = arcsen (100 kmIh) = 25 0

240 km/h

El piloto debe dirigirse 250 al oeste del norte, y su rapidez respectoal suelo será de 218 km/h."

Cuando dedujimos las ecuaciones de velocidad relativa, supusimos que todoslos obsen'3dores usan la misma escala de tiempo. Aquí es precisamente donde lateoría de la relatividad especial de Einstein se apana de la fisica de Galileo y deNewton. Cuando la rapidez se acerca a la de la luz. denotada con e, hay que modioficar la ecuación de suma de velocidades. Resulta que si la mujer de la figura 3.32apudiera caminar por el pasillo del vagón a 0.3Oe y el tren pudiera moverse a O.9Oc,la rapidez de ella relativa al suelo no sería 1.2Oe sino O.94c; ¡nada puede viajar conmayor rapidez que la luz! Volveremos a ver esto en el capitulo 37.

Suponga que el viento del ejemplo 3.16 bajara repentinamente hasta cero, pero elpiloto siguiera apuntando el avión 25" al oeste del norte. ¿Cuánto se habría desvia­do de su curso sur·norte después de una hora?

Vvrr.norte

,0+.,

3.36 El piloto debe apuntar el avión en la dirección del vectorVW~ para viajar nI norte relativo a la Tierra.

Resumen 107

RESUMEN

El vector de posición rde un punto P~n

el espacio es el vector del origen a P.Sus componentes son las coordenadasx,yy;:.

r = xi + yj + zk (3.1)

,-

CamiM

K-' ~'"P.

P, •,;t-~

~~

é

"O P,

,

(3.9)

(3.8)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.21)

(3.20)

(3.22)

(3.23)

dl1:u.=-

• d,(3.10)

de11=­

, d,

dv,a =-

, d'

dyu:::­, d,

x= (vacosao)'

y = (vo sen ao)' - ~g,~

v.l: = 110 cos <ro

~V di}ti= lím-=-

.I.1--..o~1 dI

_ Ar drv=lím-=-

.11-0;1, dI

dxV.r = dI

dv,a =­

.l: dt

_ i1~ - VI ~¡¡a_=---=-/2 - /1 ~I

El vector aceleración media ii_ duranteel intervalo de tiempo t.J es igual a ~¡¡ (elcambio en el vector velocidad o) divididoentre At. El vector aceleración instantá­nea ti es la derivada de li. respecto altiempo. y sus componenles son las deri­vadas de 1)., I)y' y v~. respectb al tiempo.(Véanse ejemplos 3.2 y 3.3.)

El vector velocidad media Vmed durante elintervalo ilt es el desplazamiento /:J.r (elcambio del vector de posición;') divididoentre 61. El vector velocidad instantánea i.ies la derivada respeclo al tiempo de r, ysus componentes son las derivadas de x,y y z respecto al tiempo. La rapidez instan·linea es la magnirud de V. La velocidad ¡¡de Wl8 partícula siempre es tangente al ca­mino de la particula. (Véase el ejemplo 3.1.)

La aceleración también puede representarse en ténIÚnos de sus componentes paralela yperpendicular a la dirección de la velocidad instantánea. La componente paralela ti afecta larapidez, mientras que la componente perpendicular ti afecta la dirección del movimiento.(Véanse los ejemplos 3.4 y 3.5.)

En elmovimienlo de proyectiles sin resislcrK"iadelaire,a.l: = Oya, = -g.lascoordcnad.asy componentes de la \-elocidad son funcionessencillas del tiempo, y la fonna de la trayecto.­ria siempre es una parabola. Por convención.colocamos el origen en la posición inicial delproyectil. (Véanse los ejemplos 3.6 a 3.11.)

108 CA PfTULO 3 I Movimiento en dos o tres dimensiones

Aunque la rapidez en un movimiento circular no sea constante, habrá una componenteradial de ii dada por la ecuación (3.28) o la (3.30), pero también habrá una paralela ala rrayeclOria; esta componenle aes igual a la tasa de cambio de la \'elocidad, duldl.

(3.30)

(3.28)

"ector de posición, 79,"elocidad instantánea, 79,'elocídad media, 79,'clocidad relativa, 101

v'a,.,,=¡¡

VfI',( = Vl'flJ + v&\t(velocidad relativa en el espacio)

(3.36)

VPI,( = IlP1lJ + UtJi,(

(yelocidad relativa en una linea)(3.33)

movimiento circular uniforme, 98

pcriodo,99pro)-~til,87tra)'~toria,87

Cuando una panícula se mueve en una oayccloria circu­lar de radio R con rapidez conslante v, su aceleración iiestá dirigida hacia el centro del círculo y es perpendiculara V. La magnitud a,." de [a aceleración se puede expresaren ténninas de uy R o en ténninos de R y el periodo T(el tiempo que tarda una vuelta), donde u = 21/"RIT.(Véanse los ejemplos 3.12 y 3.13.)

Cuando un cuerpo P se mueve relativo a un cuerpo (o mar­co de referencia) 8, y B se mueve relativo aA, denotamosla velocidad de Prelativa a Deoo vPIB.ta velocidad de Prelativa a A con 01'1..1' y la \'Clocidad de 8 relativa a A conVIL-1' Si todas estas velocidades están en la misma línea,sus componentes sobre la 1mestán relacionadas por laecuación (3J3). De forma mas general, estas velocida­des estin relacionadas por la ecuación (3.36). (Véanselos ejemplos 3.14 a 3.16.)

aceleración centrípeta, 99aceleración instantánca, 82aceleración media, 82marco de referencia, 102

mO"imienlo circular no uniforme,lOO

Términos clave

•

Notas del lector

Ejercicios 109

Respuesta a la pregunta inicial del capítulo •

En el ejemplo 3.10 (sección 3.3) demostmmos que un proyectil tienealcance horizontal máximo cuando se lanza con un ángulo de 45°.

Respuestas a las preguntas de Evalúesu comprensión

Sección 3.1 El vector de velocidad media Vm«l a lo largo de un in­tervalo y la velocidad instantánea val final del intervalo son igua­les si la velocidad es constante durante ese intervalo.Sección 3.2 En el punto más alto de la trayectoria del fragmento, larapidez es minima. En ese punto, la rapidez no está aumentando nidisminuyendo, y la componente paralela de la aceleración (es decir,la componente horizontal) es cero. La aceleración sólo liene unacomponente perpendicular hacia el interior de la trayectoria curva delfragmento. Dicho de otro modo, la aceleración es hacia abajo. (Tra­taremos la aceleración de proyectiles más a fondo en la sección 3.3.)Sección 3.3 Si no hubiera gravedad (g = O), el mono no caería y eldardo seguiría una trayectoria recta (que aparece como linea inte­rrumpida en la Fig. 3.27). El efecto de la gravedad es hacer que tan­to el mono como el dardo caigan la misma distancia fEt 2 abajo desus posiciones cong '" O. En la figura 3.27, el punto A está a la mismadistancia abajo de la posición inicial dcl mono que el punto P estáabajo de la recta interrumpida, asi que el punto A es donde encon­traríamos al mono en el instante de marras.Sección 3.4 Tanto en la parte alta como en la baja de11azo, la ace­leración es puramente radial y está dada por la ecuación (3.28). Elradio R es el mismo en ambos puntos, así que la diferencia de ace­leración se debe exclusivamente a diferencias de rapidez. Puestoque Urn<l es proporcional al cuadrado de v.la rapidez deberá ser dosveces mayor en la parte baja del lazo que en la parte alta.Sección 3.S Al apuntar el avión hacia el oeste, el piloto hace que la ve­locidad del avión relativa al aire (VYI.J tenga una componente hacia eloeste de 100 kmih, apenas suficiente para cancelar el viento hacia el es­te. Si no hubiera viento, el avión dcrivaría al oeste 100 km en una hora.

Preguntas para análisis

P3.1 Un péndulo simple (una masa que oscila en un cordel) semueve en un arco circular. ¿Qué dirección tiene su aceleración enlos extremos del arco? ¿En el punto medio? En cada caso, expliquecómo obtuvo su respuesta.P3.2 Redibuje la figura 3.11 a si ii es antiparalela a VI. ¿La particu­la se mueve en linea recta? ¿Qué pasa con la rapidez?P3.3 Un proyectil se mueve en una trayectoria parabólica sin resis­tencia del aire. ¿Hay un punto donde ti sea paralela a v? ¿Y perpen­dicular a v? Explique.

P3.4 Cuando se dispara un rifle a un blanco lejano, el cañón no seapunta exactamente al blanco. ¿Por qué? ¿El ángulo de correccióndepende de la distancia al blanco?P3.5 En el instante que dispara una bala horizontalmente de un arma,usted suclta una bala desde la ahura del cañón. Si no hay resisten­cia del aire, ¿cuál bala toca el piso primero? Explique.

P3.6 Un paquete se deja caer de un avión que vuela en línea rectacon altitud y rapidez constantes. Si se pudiera despreciar la resis­tencia del aire, ¿qué trayectoria del paquete observaría el piloto? ¿Yuna persona en tierra?P3.7 Dibuje las seis gráficas de las componentes x y yde posición,velocidad y aceleración contra el tiempo para un movimiento deproyectil con Xo = Yo = OYO < 0'0 < 90°.P3.8 Si Yo = OY(lo es negativo, y nunca puede ser positivo para unproyectil. Empqo, la expresión de h del ejemplo 3.10 parece daruna altura máxima positiva para un 0'0 negativo. Explique esta apa­rcntc contradicción.P3.9 Si una rana puede saltar con la misma velocidad inicial sin im­portar la dirección (hacia adelante o hacia arriba), ¿qué relación hayentre la altura máxima y el alcance máximo,de su salto, Rmh = v021g?P3.10 Cuando un proyectil alcanza.su altura máxima, ¿su rapidezes cero? Explique.P3.11 En el movimiento circular unifonne, ¿cuál es la velocidadmedia durante una revolución? ¡,Y la aceleración media? Explique.P3.12 En el movimiento circular unifonne, ¿cómo cambia la ace­leración cuando la rapidez aumenta al triple? ¿Y cuando el radio sereduce a la mitad?P3.13 En el movimiento circular unifonne, la aceleración es per­pendicular a la velocidad en todo instante. ¿Sigue siendo verdad es­to cuando el movimiento no es uniforme, es decir, cuando larapidez no es constante?P3.14 Las gotas de lluvia suelen dejar rayas diagonales en las venta­nas laterales de un auto en movimiento. ¿Por qué? ¿Es la misma ex­plicación para las rayas diagonales en el parabrisas?P3.15 En una tonnenta con viento fuerte, ¿qué detennina la orienta­ción óptima de un paraguas?P3.16 Imagine que está en la ribera oeste de un río que fluye alnorte a 1.2 mis. Usted nada con rapidez de I.S mis relativa al aguay el río tiene 60 m de anchura. ¿Qué trayectoria relativa a tierra lepennite cruzar en el menor tiempo? Explique su razonamiento.

Ejercicios

Sección 3.1 Vedores de posición y velocidad3.1 Una ardilla tiene coordenadas x/y (1.1 m, 3.4 m) en /1 = OY (5.3m, -0.5 m) en 11= 3.0 s. Para este intervalo, obtenga a) las componen­tes de la velocidad media; b) la magnitud y dirección de esa velocidad.3.2 Un rinoceronte está en el orígen en 1I = o. Para el intervalo de/1"" Oa 12 = 12.0 s, la velocidad media del animalliene componentex dc - 3.8 mis y componente y de 4.9 mis. En t~, a) ¿qué coordena­das x y y tiene el rinoceronte? b) ¿Qué tan lejos está del origen?3.3 Un discñador de páginas Web crea una animación en la queun punto en una pantalla dc computadora tiene posiciónr= [4.0cm+ (2.scmJs2)r)i + (5.0cm/s)tj. a) Determine lamagnitud y dirección de la velocidad media del punto entre t = OY/ = 2.0 s. b) Determine la magnitud y dirección de la velocidad ins­tantánea en t = O, en t = 1.0 s y en t "" 2.0 s. cl Dibuje la trayectoriadel punto de t = Oa 1= 2.0 s y muestre las veioeidades calculadasen (b).

....,...----- .-

3.4 Si r := b12j + cr3j. donde b y e son constantes positivas,¿cuándo forma la velocidad un ángulo de 450 con los ejes x y y?

1.75 m

Cornís

9.00 m

t

Figura 3.38 Ejercicio 3.12.

3.10 Un helicóptero militar en una misi6n de entrenamiento vuelahorizontalmenle con una rapidez de 60.0 mis y accidentalmente suel­ta una bomba (por suene no annada) a una allitud de 300 m. Puededespreciarse la resistencia del aire. a) ¿Qué tiempo tarda la bomba enllegar a lierra? b) ¿Qué dislancia horizontal viaja mientras cae? e)Obtenga las componentes horizontal y venical de su velocidad justoantcs de tocar tierra. d) Dibuje gráficas X-I, y-/, lJ[t Y ti~-I para elmovimiento de la bomba. e) ¿Dónde esta el helicóptero cuando labomba toca lierrn si la rapidez del helicóptero se mantuvo conStante?3.11 Dos grillos Chirpy y Milada, lidltan desde lo alto de un acanti­lado vertical. Chirpy salla horirontalmentc y llega al suelo en 3.50 5.

~liIacla salta con una \'elocidad inicial dc 95.0 cmls y un angula de32.0° arriba de la horizontal. ¿A qué distancia de la base delllcanti­lado tocará Milada el suelo?3.12 Una osada nadadora de510 N se lanza desde un riscocon un impulso horizontal, comose mueslra en la figura 3.38.¿Qué rapidez minima debe teneral saltar de lo alto del risco parano chocar con la cornisa en labase, que tiene una anchura de1.75 m y esta 9.00 m abajo delborde superior del risco?3.13 Salto del rio I. Un aUlo-móvil de 10,000 N llega a unpuente durante una tormenta y el conductor descubre que las aguasse lo han llevado. El conductor, que pesa 650 N, debe llegar al otrolado, así que decide tratar dc sallar la brecha con su auto. La orillaen la que se encuentra está 21.3 marriba del rio, mientras que la ori­lla opuesta está sólo 1.8 m sobre las agua5. El Tio es un torrente em­bravecido con una anchura de 61.0 m. a) ¿Con qué rapidez se deben!estar moviendo el aUla cuando llegue a la orilla para librar el rio yllegar a salvo al otro lado? b) ¿Qué rapidez tendrá el aUla juslo antesde que toque tierra en la otra orilla?3.14 Una estudiante' apuesta a otra quc puede rodar una canica demodo que caiga desde lo alto de una mesa en una taza colocada enel piso. Asegura poder hacerlo en el primer intento. En su lugar,¿qué baria usted para determinar dónde colocar la taza? Expliquequé medióones efcctuaria y cómo las usaría para determinar la co­locación de la taza.3.15 Imagine que lanza un balón de fütbol americano con una ra­pidez inicia! tio = 15.0 mis y un angula inicial 0'0 =45.0°. a) Deter­mine el tiempo r en que el balón alcanza su altura máxima. b) Entres instantes. ti = r - 0.50 s, 12 - Ty Il = T+ 0.50 S, obtenga lascomponentes x y y del vector de posición. c) En los tres instantes'1> I~ Y 'l' determine la magnirud y dirección del vector \'elociclad.d) Elllos rres instantes ti' I~ Y t l • obtenga la componente del vectoraceleración que es paralela (o antiparalcla) a la velocidad, así comola quc es perpendicular a ella. e) Dibuje la trayectoria del baJ6n, ro­tulando la posición del bal6n en los tres instantes/ I , r1 YIJ. En cadauna dc estas posiciones. dibuje el vector \'elocidad y las componen­tes paralela y perpendicular del vcetor aceleración. f) Explique có­mo eslin cambiando la rapidez y la dirección del movimiento delbalón en los lres instantes th'2 Y tJ• Ycómo los \'Celares de su dibujodescriben esos cambios.

CA PfT ULO 3 I Movimiento en dos o tre.~ dimensiones

1;_?'D" 8A

">Ejercicio 3.8.

110

Sección 3.2 El vector aceleradón3.5 Un/el vuela a altitud' constante. En el instante (¡ = O, tienecomponentes de velocidad L/A = 90 mis, v, = 110 mis. En'2" 30.0s, las componentes son VA = 170 mis. tl. = 40 mis. a) Dibuje losvectores de velocidad en ti y '2- ¿En que difieren? Para este intE:rvaJo,calcule b) las componentes de la aceleración media; e) la magnitudy dirección de esta aceleración.3.6 Un perro que corre en un campo liene componentes de veloci­dad Vx = 2.6 mIs y ti, = -1,8 mis en /] = LO,O s. Para el intervalode ti '"' 10.0 s a /2" 20.0 s, la aceleración media del perro tiene mag­nitud de OA5 mls2 y dirección de 3\.00 medida del eje +x al eje +y.En 12 .20.0 s, a) ¿qué eomponenles x y y tiene la velocidad del pe~

rro? b) ¿Qué magnirnd y dirección tiene esa velocidad? e) Dibujelos veclOres de velocidad en 11 y 11, ¿En qué difieren?3.7 Las coordenadas de un ave que vuela en el plano xy esllÍn da­das por x(r) = al y y(r) = 3.0 m - {31 1. donde a = 2.4 mIs y(3 = 1.2 mls~. a) Dibuje la trayectoria del ave entre 1= OY1- 2.0 s.b) Calcule los vectores de velocidad y aceleración en funci6n de l. e)Calcule la magnitud y dirn:ci6n de la velocidad y aceleración delave en , ~ 2.0 s. d) Dibuje los vectores de velocidad y aceleraciónen 1- 2.0 s. En esle instanle. ¿el ave esta acelerando. frenando o surapidez no esta cambiando instanlaneamente? ¿Está dando vuelta?Si asi es, ¿en qué dirección?3.8 Una partícula sigue un camino como se muestra en la figura3.37. Entre B y D, el camino es recto. Dibuje los vectores de ace­leración en A, Cy E si a) la particula se mueve con rapidez constall~

le; b) la rapidez aumenta continuamente: e) la rapidez disminuyeconlinuameme.

1;

I -D

, e8

A,.)Figura 3.37

Sección 3.3 Movimiento de proyectiles3.9 Un libro de risica que se desliza sobre una mesa a 1.10 miscae al piso en 0.350 s. Haga caso omiso de la resistencia del aire.Calcule a) la altura de la mesa; e) la distancia horizontal del bordede la mesa al punto en el que cáe el libro; c) las componentes hori­zontal y \'enical, y I:¡.~gnimd Ydirección, de la velocidad del librojusto ames de locar el'piso. Dibuje gráficas X-l, )H, IJ~-' Y lJ,.t parael movimiento.

Ejercicios 111

3.16 Una pelota de tenis que rueda cae del borde de 'una mesa a0.750 m sobre el piso y toca el piso a 1.40 m horizontalmente delborde de la mesa. Puede despreciarse la resistencia del aire. a) Calcu­le el tiempo de vuelo. b) Calcule la magnirnd de la velocidad ini­cial. e) Calcule la magnitud y dirección de la velocidad de la pelotajusto ames de locar el piso. d) Dibuje gráficas x-t. y-t, IJx-t Y 0,-1pelota el movimiemo.3.17 Una pistola que dispara una luz bengala le imprime una rapidezinicial de 120 mIs. a) Si la bengala se dispara 55° sobre la horizontalen los salares planos de Utah, ¿qué alcance horizontal tiene? Hagacaso omiso de la resistencia del aire. b) Si la bengala se dispara conel mismo angulo en el mar de la Tranquilidad en la Luna, dondeg - 1.6 mis2, ¿qué alcance tiene?3.18 Un mariscal de campo n0\1IIO lanza un balón ron componen­te de velocidad inicial hacia arriba de 16.0 mfs y horizontal de 20.0mis. Haga caso omiso de la resistencia del aire. a) ¿Cuanto tiempotarda el balón en llegar al cenit de la trayectoria? b) ¿A qué alturaestá estc punto? c) ¿Cuánto tiempo pasa desde que se lanza el balónhasta que vuelve a su nivel original? ¿Qué relación hay entre estetiempo y el calculado en (a)? d) ¿Qué distancia horizomalviaja elbalón en este tiempo? e) Dibuje gráficas X-l, 1'-', 0x-t y v,, para elmovimiento.3.19 Un pelotero de grandes ligas batea una pelota de modo que sa­le con una rapidez de 30.0 mis y un ángulo de 36.9" sobre la horizon­tal. Puede despreciarse la resistencia del aire. a) ¿En cuáles dosinstantes estuvo la bola 10,0 m sobre el punto en que se separó del ba­le? b) Calcule las componentes horizontal y venital de la velocidadde la bola en esos dos instantes. e) ¿Qué magnitud y dirección teniala velocidad de la bola al regresar al nivel en el que sc bateó?3.20 Un deponisla lanzador de bala, la suelta a ciena distancia sobreel suelo plano con velocidad de 12.0 mis. 51 JJ" sobre la horizontal.La bola toca el suelo 2.08 s despues. Puede despreciarse la resislen­cia del aire. a) ¿Cuáles son las componentes de la aceleración de labala en vuelo? b) ¿Cuáles son las componentes de la velocidad dela bala al principio y el final de·su trayectoria? e) A qué distanciahorizontallleg61a bala? d) ¿Por qué la expresión para R del ejerci·cia 3.10 no da la respuesta corm:ta para la pane (e)? e) ¿A qué al­tura sobre el suelo se soltó la bala? f) Dibuje gráficas X-l, y-I, Ux-I Yur-, para el movimiento.3.21 Gane el pn>mlo. En una feria, se gana una jirafa de peluchelanzando una moneda a un platito, el cual está en una repisa mis

Figura 3.39 Ejercicio 3.21.

arriba del punto en quc la moneda abandona la mano y a una distan­cia horizontal de 2.1 m de ese punto (Fig. 3.39). Si lanza la monedacon velocidad de 6.4 mis, 60" sobre la horizontal, caerá en el plati­to. Puede despreciarse la resistencia del aire. a) ¿A qué altura estála repisa sobre el punto de panida de la moneda? b) ¿Qué compo­nente \'enicaltiene la velocidad de la moneda justo antes de caer enel platito?3.22 Suponga que el ángulo inicial ao de la figura 3.24 es 42.0" yla distancia d es 3.00 m. ¿Dónde chocarán el dardo y el mono si larapidez inicial del dardo es a) 12.0 mis? b) ¿8.0 mis? e) ¿Qué sucede­rá si la rapi'pez inicial del dardo es de 4.0 mJs? Dibuje la trayectoriaen cada caso.3.23 Un hombre está parado en la azotea de un edificio de 15.0 my la~z.a una piedl1l con velocidad de 30.0 mis en un ángulo de. 33.0"sobre la horizontal. Puede despreciarse la resistencia del aire. Calcu­le a) la altura máxima que alcanza la roca sobre la azotea; b) lamagnitud de la velocidad de la piedra justo antes de golpear el sue­lo; e) la distancia horizontal desde la base del edificio al punto don­de la roca golpea el suelo.?) Dibuje gráficas X-I, y-t, Vx-I y Uy-I parael movimiemo.3.24 Los bomberos están lanzando un chorro de agua a un edificioen llamas utilizando una manguera de alta presión que imprime alagua una rapidez de 25.0 mfs al salir por la boquilla. Una vez quesale de la manguera, el agua se mueve con movimicnto de proyec·til. Los bomberos ajustan el ángulo de elevación a de la mangu'erahasta que el agua tarda 3.00 s en llegar a un edificio que está a 45.0m de distancia. Haga caso omiso de la resistencia del ai!C y supongaque la boquilla dc la manguera está a nivel del suelo. a) Calcule elánguloa. b) Determine la rapidez y aceleración del agua cn el pun­to más alto de su trayectoria. c) ¿A qué alrura sobre el suelo incideel agua sobre el edificio, y con qué rapidez lo hace?3.25 Un globo de 124 kgque lleva unacanastillade 22 kg está des­eendiendo con rapidez constante hacia abajo de 20.0 mis. Una pie­dra de 1,0 kg se lanza desde la canastilla con una velocidad inicialde 15.0 mis perpendicular a la trayectoria del globo, medida relativaa una persona en reposo en la canasta. Esa persona ve que la piedrachoca con el suelo 6.00 s después de lanzarse. Suponga que el glo­bo continUa su descenso a 20.0 mis. a) ¿A que altura estaba el globocuando se lanz61a piedra? b) ¿Y cuando ehocó con el suelo? e) Enel instante en que la piedra tocó el suelo, ¿a qué distancia estaba dela canaslilla? d) Determine las componentes horizontal 'i verticalde la velocidad de la piedra justo anles de chocar con el suelo. rela­tivas a un observador i) en reposo en la canastilla; ii) en reposo enel suelo,3.26 Un eaii6n, situado a 60.0 m de la base de un risco vertical de25.0 m de altura, dispara un obús de 15 kg con un ángulo de 43.0°sobre la horizontal, hacia el risco. a) ¿Qué velocidad minima de sa­lida debe tener el oblis para librar el borde superior del risco? b) Elsuelo en la pane superior del risco es plano, con una altura constan­te de 25.0 m sobre el cañón. En las condiciones de la pane (a), ¿aqué dislancia del borde del risco cae el obús?3.27 Un avión vuela con una velocidad de 90.0 mis y un ángulo de23.00 arriba de la horizontal. Cuando está 114 m directamente arribade un perro parado en suelo plano, se cae una maleta del comparti­miento de equipaje. ¿A qué distancia del perro caerá la maleta? Ha­ga caso omiso de la resistencia del aire.

•lS00m

....

Figura 3.42 Ejercicio 3.38.

3.39 Una canoa tiene velocidad de 0.40 mis al sureste, relativa a laTierra. La canoa está en un Iio que fluye al este a 0.50 mis relativaa la Tierra. Calcule la velocidad (magnitud y dirección) de la canoarelativa al río.

Figura 3.41 Ejercicio 3.36.

3.37 Una "banda móvil" de un aeropuerto se mueve a 1.0 mis y tie­ne 35.0 m de largo. Si una mujer entra en un extremo y camina a 1.5mis relativa a la banda móvil, ¿cuánto lardará en llegar al otro extre­mo si camina a) en la misma dirección en que se mueve la banda? b)¿En la dirección opuesta?3.38 Dos muelles, A y B, están situados en un río; B está 1500 mrío abajo de A (Fig. 3.42). Dos amigos deben ir de A a fJ y regresar.Uno rema un bote con rapidez constante dc 4.00 km/h relativa alagua; el otro camina en tierra a 4.00 kmJh (constante). La velocidaddel río es 2.80 kmJh en la dirección de A a B. ¿Cuánto tarda cadapersona en hacer el viaje redondo?

e) En qué punto(s) de la elipse la aceleración del auto tiene magni­tud máxima? E¡¡pliquc.

Sección 3.S Velocidad relativa3.36 Un furgón plano de ferrocarril viaja a la derecha con rapidezde 13.0 mis relativa a un observador que está parado en tierra. Alguiense mueve en la moloneta sobre el furgón (Fig. 3.41). ¿Qué veloci­dad (magnitud y dirección) tiene la maloneta relativa al furgón si suvelocidad relativa al observador es a) 18.0 mis a la derecha? b) ¿3.Dmis a la izquierda? e) ¿Cero?

CAPíTULO 3 I Movimiento en dos o tres dimensiones112

Sección 3.4 Movimiento en un circulo3.28 [magine que, en su prímer dia de trabajo para un fabrican­te de electrodomésticos, le piden averíguar qué hacerle al periodode rotación de una lavadora para triplicar la aceleración centrípe­ta, y usted impresiona a su jefe contestando inmediatamente.¿Qué contesta?3.29 La Tierra tiene 6380 km de radio y gira una vez sobre su ejeen 24 h. a) ¿Qué aceleración radial tiene un objeto en el ecuador?Dé su respuesta en mls2 y como fracción de g. b) Si a,...¡ cn el ccuadorfuera mayor queg, los objetos saldrían volando al espacio. (Veremospor qué en el capitulo 5.) ¿Cuál tendría que ser el periodo de rotaciónpara que esto sucediera?

,/ 3.30 Un modelo de rotor de helicóptero tiene cuatro aspas, cadauna de 3.20 m de longitud desde el eje central hasta la punta. El mo­delo se gira en un túnel de viento a 550 rpm. a) ¿Qué rapidez linealtiene la punta del aspa-en mis? b) ¿Qué aceleración radialliene lapunta del aspa, expresada como un múltiplo de g?3.31 En una prueba de un "traje g", un voluntario gira en un círcu­lo horizontal de 7.0 m de radio. ¿Con qué periodo la aceleracióncentripeta tiene magnitud de a) 3.0g? b) ¿IOg?3.32 El radio de la órbita terrestrc alrededor del Sol (suponien­do quc fuera circular) es de 1.50 x 108 km, Y la Tierra la recorreen 365 días. a) Calcule la magnitud de la velocidad orbital de laTierra en mis. b) Calcule la aceleración radial hacia el Sol cnm/s2. e) Repita las partes (a) y (b) para el movimiento del plane­ta Mercurio (radio orbital"" 5.79 X 107 km, periodo orbital = 88.0dias).3.33 Una rueda de la fortuna de 14.0 m dc radio gira sobre un ejehorizontal en el centro (Fig. 3.40). La rapidez lineal de un pasaje­ro en el borde es constante c igual a 7.00 mis. ¿Qué magnitud y di­rección tiene la aceleración delpasajero al pasar a) por el pun­to más bajo de su movimientocircular? b) ¿Por el punto másalto? c) ¿Cuánto tarda una revo­lución dc la rueda?3.34 La rueda de la figura 3.40,que gira en sentido antihorario,se acaba de poncr en movimien­to. En un instante dado, un pasa­jero en el borde de la rueda queestá pasando por el punto más Figura 3,40 Ejercicios 3.33bajo de su movimiento circular y 3.34.tiene una rapidez de 3.00 mis, lacual está aumentando a razóh de 0.500 mis!. a) Calcule la magnitud,y la dirección de la aceleración del pasajero en este instante. b) Di­buje la rueda de la forruna y el pasajero mostrando sus vectores de\~Iocidad y aceleración.3.35 Camino elíptico. Una pista plana de carreras tiene fonna dedipse.. (Consulte su texto de matemáticas, un diccionario o una en­1 •••..,tia para ver la ilustración de una elipse.) Un auto da vuel­as por esta pista con rapidez constante. a) Dibuje la pista,,,Ni ..:0, kJs \-ectores de \'elocidad y aceleración del auto en cin­co o mis puntos distintos de la pista. b) ¿El vector aceleración~ apunta hacia el centro geométrico de la elipse'! E¡¡plique.

Problemas 113

3.40 Un piloto desea volar al ocsle. Un viento de 80.0 km/h soplaal sur. a) Si la rapidez en aire estacionario del avión es de 320.0km/h, ¿qué rumbo debe lomar el piloto? b) ¿Cuál es la rapidez delavión sobre el suelo? Ilustre con un diagrama vectorial.3.41 Cruce del rlo l. Un rio fluye al sura 2.0 mis. Un hombre cru­za el rio en una lancha de motor con velocidad relativa al agua de4.2 mis al este. El rio tiene 800 m de anchura. a) ¿Qué velocidad(magnilUd y dirección) tiene la lancha relativa a la Tierra? b)¿Cuánto tiempo tarda en cruzar el rio? c) ¿A que distancia al sur desu punto de panida llegara a la otrn orilla?3.42 Cruce del río n. a) ¿Que dirección debe tomar la lancha delejercicio 3.41 parn llegar a un punto en la orilla opuesta directa­mente al esle de su punlo de partida'! (la rapidez de la lancha rela­tiva al agua sigue siendo 4.2 mis.) b) ¿Qué velocidad tendría lalancha relativa a la Tierra'! c) ¿Cuánto tardaria en cruzar?3.43 La nariz de un avión ultraligero apuma al sur, y el \'elocíme­tro indica 35 mis. Hay un viento de 10 mis que sopla al suroesterelativo a la Tierra. a) Dibuje un diagrama de suma vectorial quemuestre la relación de vwr (velocidad del avión relativa a la Tie­rra) con los dos vtetores dados. b) Six es al este y y al norte, ob­tenga las componentes de vwr. c) Obtenga la magnitud ydirección de vwr.

Problemas

3.44 Un cohete de modelo defectuoso se mueve en el plano xy (ladirección +fes venical hacia arriba). La aceleración del cohete tie·ne componentes dadas por ax(t) = ar a,(I) - f3 - yr donde (a =

2.50 mls~. [j '"' 9.00 mls1Yy - 1.40 mis). En I = Oel cohete está enel origen y tiene velocidad inicial Vo = ulki + uo-,.j conUo.r = 1.00 mIs y VOy = 7.00 mis. a) Calcule los vectores de velo­cidad y posición en función del tiempo. b) ¿Qué altura máxima al­canza el cohete? c) Dibuje el camino que sigue el cohete. d) ¿Quédesplazamiento horizontal tiene cl cohete al volver ay = O?3.45 Un estudiante se mueve en el plano.t}' en un cuarto oscuro.tratando de encontrar un billete de $20 que perdió. Las coordenadasdel estudiante, en función del tiempo, están dadas por x(t) '"' at yy(t) - 15.0 m - [jr. donde a - 1.20 mis y [j = 0.500 mls1

. El bille­té está en el origen (aunque el estudiante no 10 sabe). a) ¿En quéinstantes. la velocidad del estudiante es perpendicular a su acelera­

ción? b) ¿En qué instantes la rapidez del estudiante no está cam­biando instantáneamente? e) ¿En qué instantes la velocidad delestudiante es perpendicular a su vector de posición? ¿Dónde está elestudiante en esos instantes'! d) ¿A que distancia minima del bille~

te llegó el estudiante'! ¿En qué instante se dio ese mínimo'! e) Dibu­je el camino del pobre estudiante.3.46 Un ave vuela en el plano:cy con velocidad v = (a - [jr)i+ ytj, dondea-2.4 mis, {3- 1.6 mls3 Yy- 4.0 mJ~. La dirección

+y es venical hacia arriba. En r- O. el ave está en el origen. a) Cal·cule los vectores de posición y aceleración del ave en función de t.

b) ¿Que alturn (coordenada y) tiene el ave al volar sobre x = Opor

primera \'ez después de t - O'!

3.47 Una Piper Warrior, avioneta de cuatro plazas, requiere 300 mde pista para poder despegar. Su rapidez para el ascenso es de 88km/h; luego asciende con rapidez constante de 88 kmIh en linearecia, librando apenas un cable tendido a 15 m de altura a una distan­cia horizontal de 460 m de donde partió del reposo. a) ¿Qué acele­ración (que suponemos constante) tuvo la avioneta en tierra? b) Yaen el aire, ¿que ángulo de vuelo tiene sobre la horizontal'! c) ¿Quetasa de ascenso (en mis) tiene la avioneta? d) ¿Cuánto tiempo pasadesde que la nave empieza a rodar hasta que libra el cable'!3.48 Un entrenador de atletismo (que también es profesor de fisi­ca) entrena a un atleta en el lanzamiento de la jabalina de modo quela lance desde una altura h sobre el suelo con una rapidez deV25ghJ8 y un angula de 36.9° sobre la horizontaL Lajabalina con­tinúa su vuelo hasta caer al suelo. El campo es plano y la resistenciadel aire es insignificante. a) Grafique las velocidades horizontal y\'enical de la jabalina contra el tiempo. b) Determine la altura ma­xima alcanzada por la jabalina. c) Calcule la distancia horizontalque cubre la jabalina desde que el atleta la suelta hasta que se elavaen el campo.3.49 ¡Dinamita! Una cuadrilla de demolición usa dinamita paraderribar un edificio viejo. Los fragmentos del edificio salen dispa­rados en todas direcciones. y después se encuentran a distancias dehasta 50 m de la explosión. Estime la rapidez mliJ¡ima con que sa­lieron disparados los fragmentos. Describa todas las suposicionesque haga.3.50 Espiral ascendente. Es común ver a las aves de presa ascen­der en corrientes calientes de aire, por lo general describiendo unatrayectoria espiral. Se puede modelar un movimiento espiral comomovimiento circular uniforme combinado con una velocidad cons­tante hacia arriba, Suponga que un ave describe un circulo comple­to de radio 8.00 m cada 5.00 s y asciende verticalmente a razón de3.00 mis. Determine 10 siguiente: a) la rapidez del ave relativa alsuelo; b) la aceleración del ave (magnitud y dirección); e) el ánguloentre el vector de velocidad del ave y la horizontal.3.51 Un veterinario de la selva provisto de una cerbatana cargadacon un dardo sedante y un mono astuto de 1.5 kg están 25 m arribadel suelo en árboles separados 90 m. En el momento justo en que elveterinario dispara el dardo horizontalmente al mono, éste se dejacaer del árbol en un vano intento por escapar del dardo. ¿Qué velo­cidad de salida minima debe tener el dardo para golpear al monoantes de que éste llegue al suelo?3.52 Una doble de cinc se deja caer desde un helicóptero que está30.0 m sobre el suelo y se mueve con velocidad constante cuyoscomponentes son 10.0 mis hacia arriba y 15.0 m horizontal haciael sur. Haga caso omiso de la resistencia del aire. a) En que punto delsuelo (relativo a la posición del helicóptero cuando se suelta) dcbe·rá haber colocado ella los colchones que amortiguan el golpe?b) Dibuje graficas x-l. y--I, /J,-I Y/J,t para el movimiento.3.53 Al combatir los incendios forestales. los aviones apoyan a losequipos terrestres dejando caer agua sobre el fuego. Un piloto prac­tica tirando un bote con tinte rojo, tratando de atinarle a un blancoen el suelo. Si el avión vuela horizontalmente a 90.0 m de altura conrapidez de 64.0 mis, a que distancia borizontal del blanco deberásoltar el bote'! Haga caso omiso de la resistencia del aire_33.54 No haga eslo l. Una chica lanza un globo lleno de agua a50.0" sobre la horizontal con rapidez de 12.0 mis. La componente

114 CA píTULO 3 I Movimiento en dos o tres dimensiones

Figura 3.45 Problema 3.62.

t6.1 In

"o I\ l)o 8.2 In-----f~ 8.6malared,

Figura 3.44 Problema 3.60.

vocosao( V" )x = g Vo sen 0:0 + (Jo sen (lo + 2gh

Verifique quc, si el punto de lanzamiento está en el suelo (h = O),esto es igual al alcance R obtcnido en el ejemplo 3.10. b) ConVo = 10 mIs y h ., 5.0 m, grafiquc x en función del ángulo de lan·zamiento 0:0 para valores de 0'0 dc 0° a 90", La gráfica deberá mos­Irar que x es cero si 0'0" 90", pcro x no es cero si 0:0 = O°. Explique

esto. c) Vimos en el ejemplo 3.10 que, para un proyectil que cae ala misma almra de la quc sc lanzó, el alcance horizontal es máximocon 0:0 = 45°. Para el caso graficado en la parte (b), ¡,el ángulo queproduce la distancia horizontal máxima cs igual, mayor o menorque 45"1 (Éste es un resultado gcncral para el caso en que un pro­yectil se lanza de un punto más alto que en el que cae.)

3.60 ¡Cuidado! Una bola denieve rueda del techo dc un gra­nero con inclinación hacia aba­jo de 40° (Fig. 3.44). El bordedcl tccho está a 14.0 m del sue­lo y la bola tiene una rapidez de7.00 mis al dejar el techo. Puc­dc despreciarse la resistencia

del aire. a) ¿A qué distancia dclborde del granero golpea la bo­la el piso si no golpea otra cosaal caer? b) Dibuje gráficas X-I,

y-t, u,-t y uy-tpara el movimien­to de la parte (a). c) Un hombrede 1.9 m de estatura está parado

a 4.0 m del granero. ¿Lo 1501-pcará la bola?3.61 a) Demucstre que un proyectil lanzado con ángulo (lo tiene elmismo alcance horizontal quc uno lanzado con la misma rapidezpero con ángulo (90°-0:0) b) Una rana salta con velocidad de 2.2mis y cae a 25 cm de donde saltó, ¿Con qué ángulos respecto a la

horizontal pudo haber saltado?3.62 En el trapecio yolador. Un nucvo acto circense se llama los

Maromeros del Norte. La her-mosa Maribel se columpia de untrapecio y se proyecta con un án­gulo de 53". Joselc, cuyas manosestán 6.1 m arriba y 8.2 m ade·lante del punto de lanzamiento(Fig. 3.45), debe atraparla. Pue­

de despreciarse la resistencia delaire. a) ¿Qué velocidad inicial Vodebe tcner Maribel para alcanzarapcnas a Joscle? b) Para la velo­cidad inicial calculada en (a),

¿qué magnitud y dirección tienc

rección de la velocidad de la bola justo antes de golpear el edificio.c) Dibuje gráficas x-t, y-I, v,-t y Vy-t para el movimiento.3.59 Se lanza un proyectil con rapidez Vo y ángulo 0'0 sobre la ho­rizontal desdc una altura h sobre el suelo. a) Demuestre que, si nose considera la resistcncia del airc, la di~tancia horizontal que reco­

rre el proyectil antes de tocar el suelo es1111111

v = 8.~:'j~?~~~

Figura 3.43 Problema 3.54.

" horizontal de la velocidad del globo va dirigida a un aula que avan­za hacia la chica a 8_00 mis (Fig. 3.43). Para que el globo golpee elauto a la misma altura que tenía al ser lanzado, ¿a que distancia má­xima de la chica puede estar el auto en el instante del lanzamiento?Haga caso omiso de la resistencia del aire.3.55 El jonrón más largo. Según el libro de récords Guiness,el jamón más largo que se ha medido fue bateado por Roy'"Dizzy" Carlyle en unjuego de ligas menores. La bola viajó 188

m antes de caer al suelo fuera del parque. a) Suponiendo que lavelocidad inicial estuviera 45" sobre la horizontal y haciendo ca­

so omiso de ía resistencia del aire, ¿cuál debió ser la rapidez ini­cial de la bola si se golpeó en un punto 0.9 m sobrc cl suelo'!Suponga que el suelo es perfectamente plano. b) ¿A qué alturahabría pasado la bola sobre una barda de 3.0 m situada a 116 m

de home?3.56 No haga esto 11. Suponga que, el día después de su gradua­ción, decide lanzar una cerilla cncendida hacia la boca de un cesto

de basura cilindrico (diámetro D y altura 2D) lleno de tareas y tra·bajos viejos. Para hacer la cosa más interesante, la base del cestoestá a la altura en que la cerilla sale de la mano, y el costado cerca­

no de la cesta está a una distancia horizontal 6D del punto en que eslanzada la cerilla. Ésta se lanza con un ángulo de 45.0° sobre la ho­rizontal. Determine los valores mínimo y máxímo de la rapidez de

lanzamiento que harán que la cerilla entre por la boca de la cesta.

Haga caso omiso de la resistencia del aire y dé sus respuestas en

ténninos de g y D.3.57 Atrapada en el pasillo. Imagine que está jugando con unamigo a atrapar una pelota en el pasillo de su dormitorio. La distan­cia del piso al cielo raso es D, y la pelota se lanza con una rapidezinicial Vo = v6ifj. Determine la máxima distancia horizontal (en,términos de D) que la pelota puede recorrcr sin rebotar. (Suponga

que la pelota se lanza desde el piso.)3.58 Una bola de béisbol lanzada con un ángulo de 60.0~ sobre la

horizontal golpea un edificio simado a 18.0 m en un punto 8.00 mlIJij¡ arn"ba del puma de lanzamiento, Haga caso omiso de la resis­

tencia del aire. a) Calcule la magnitud de la velocidad inicial de labola (la velocidad con que se lanzó). b) Obtenga la magnitud y di-

Problemas 115

100mr~o:m Acantilado

~ -,L:::"g~O ~/p=

figura 3.47 Problema 3.67.

b) Dibuje con precisión la trayectoria de la pelota vista por-: i) unapersona en reposo en el suelo; ii) la corredora.3.67 Un peñasco de 76.0 kg está rodando horizontalmente hacia elborde de un acantilado que está 20 m arriba de la superficie de unlago (Fig. ].47). El tope de la cara \'Cnical de una presa está a lOOm del pie del acantilado, al nivel de la superficie del lago. Hay unallanura 25 m debajo del tope de la presa. a) ¿Qué rapidcz minimadcbe tencr la roca al perder contacto con el acantilado para llegarhasta la llanura sin golpear la presa? b) ¿A qué distancia del pie dela presa cae en la llanura?

3.68 Lanzamiento de almuerzo. Enriqueta va a su clase de fisica,trotando por la acera a 3.05 mis. Su esposo Bruno se da cuenta deque ella salió con tanta prisa que olvidó su almuerzo. así que correa la ventana de su departamento, que eslá 43.9 m directamente arri·ba de la acera. para lanzárselo. Bruno lanza el almuerzo horizontal­meDIe 9.00 s después de que Enriqucta ha pasado debajo de laventana. y ella lo atrapa corriendo. Haga caso omiso de la resisten­cia del aire. a) ¿Con qué rapidez inicial debe haber lanzado Brunoel almuerzo para que Enriqueta lo atrape justo antes de tocar la ace·ra? b) ¿Dónde esta ella cuando atrapa el almuerzo?3.69 Dos tanques participan en un ejercicio de maniobras en terrenoplano. El primero lanza una bala de práctica cargada con pintura.con velocidad de salida de 250 mis a 10.0° sobre la horizontal mien­tras avanza hacia el segundo tanque con una rapidez de 15.0 misrelativa al suelo. El segundo tanque va en retirada a 35.0 mis relati·va al suelo, pero es alcanzado por la bala. Haga caso omiso de la re·sistencia del aire y suponga que la bala golpea al tanque a la mismaaltura desde la que fuc disparada. Calcule la distancia entre los tan­qucs a) cuando se disparo la bala; b) en el momento del impacto.3.70 ¡Bang! Un estudiante eslá sentado en una plataforma a una al­tura h sobre el suelo. Lanza un cohctón horizontalmente con unarapidez !J. Sin embargo, un viento que sopla paralelo al suelo impri­me al cohetón UJla aceleración horizontal constante de magnitud Q.

El resultado es que el cohetón cae al suelo directamente abajo delestudiante. Determine la altura h en lénninos de /). Q Yg. Se puedehacer caso omiso del cfecto de la resistencia del aire sobre el movi­miento vertical.3.71 Tiro libre. Un jugador dI' baloncesto recibe una falta y se leconceden 2 tiros libres. El centro de la canasta esta a una distanciahorizontal de 4.21 m de la linea de falla y a una altura de 3.05 m so­bre el piso (Fig. 3.48). En el primcr intento. el jugador lanza el ba­lón a 35° sobre la horizontal con rapidez !Jo = 4.88 mis. El balón sesuelta 1.83 m sobre el piso. El tiro falla pot mucho. Haga caso omi­so de la resistencia del aire. a) ¿Qué altura máxima alcanzó el ba-

3.64 Se lanza una piedra de una azotea con rapidez voy ángulo 0'0 res­pecto a la horizontal. La altura del edificio es h. Puede despreciarse laresistencia del aire. Calcule la magnitud de la velocidad de la piedrajunto antes de tocar el suelo, y demuestre que cs indcpendiente de 0'0.

3.65 Un carro de 5500 kg que lleva un lanzador vertical de cohetesavanza a la derecha con rapidez conStanle de 30.0 mis por una via ho­rizontal. Lanza un cohete de 45.0 kg verticalmente hacia arriba conuna rapidez inicial de 40.0 mis relativa al carro. a) ¿Qué alrura alean·zani el cohete? b) ¿A qué distancia del carro caerá el cohete a tierra?c) ¿Qué distancia avanza el carro mientras el cohete está cn el aire? d)¿Con qué ángulo, relativo a la venical y medido por un observador enreposo en el suelo. esti viajando el cohete en el momento en que esdisparado? e) Dibuje la trayectoria del cohete vista por un 00sen'a­doro i) estacionario en el carro; ii) estacionario en tierra.3.66 Se lanza una pelota de 2.7 kg verticalmente hacia arriba conuna rapidez inicial de 20.0 mis desde el borde de un acantilado de45.O-m de altura. En el instante de lanzamiento, una mujer comien·za a correr alejándose de la base del acantilado con rapidez cons­tante de 6.00 mis. La mujer corre en línea recta sobre suelo plano,y puede despreciarse la acción de la resistencia del aire sobre lapelota. a) ¿Con qué ángulo arriba de la horizontal deberá lanzarsela pelota para que la corredora la atrape justo antes de que toqueel suelo, y qué distancia corre la mujer antes de atrapar la pelota?

la velocidad de Maribel cuando alcanza a Josele? c) Suponiendoque Maribel tiene la velocidad inicial calculada en (a), dibuje grá­ficas X-I.y-t. !J..-t y /),-1 que muestren el movimiento de los dos tra­pecistas. Las gráficas deberán mostrar el movimiento hasta elmomento en que Maribelllega a Josele. d) La noche del debut Jo­sele no atrapa a Maribel. ¿Qué distancia horizontal recorre ella des·de su punto de lanzamiento antes de caer en la red que estit 8.6 mdebajo de dicho punto?3.63 Salto del rio U. Un profesor de lisica hacia acrobacias auda­ces en su tiempo libre. Su última acrobacia fue un intento por saltarun no en motocicleta (Fig. 3.46). La rampa de despegue está incli­nada 53.0", el rio tiene 40.0 m de anchura y la ribera lejana está 15.0m bajo el tope de la rampa. El rio está 100 m abajo de la rampa.Puede despreciarse la resistencia del aire. a) ¿Qué rapidez se nece­sita en el tope de la rampa para alcanzar apcnas el borde de la ri­bera lejana? b) Si su rapidez era sólo la mitad del valor obtenido en(a), ¿dónde cayó?

figura 3.46 Problema 3.63.

CA plTuLO 3 I Movimiento en dos o tres dimensiones

.1'(1) = Rcoswl Y(I) = Rsenwldonde R y w son constantes. a) Demuestre que la distancia de la pie­dra al origen es constante e igual a R, es decir, que su trayecloria esun círculo de radio R. b).Dcmuestre que la velocidad de la piedrasiempre es perpendicular a su vector de posición. c) Demuestre quela aceleración de la piedra siempre es opuesta en dirección al vectorde posíción y liene magnitud w1R. d) Demuestre que la magnirud dela velocidad de la piedra es constante e igual a wR. e) Combine losresultados de (c) y (d) para demostrar que la aceleración de la pie­dra tiene magnitud constante ti11R.

3.76 La rapidez de una particula que se mueve en un plano es lamagnilud de su velocidad instantánea, v = Ivl = Yv} + v/oa) Demuestre que la tasa de cambio de la rapidez es duldr =

(uxa~ + U,0,)/Yu~l + u/o b) Use esta expresión para obtenerduIdl en 1" 2.0 s para el carrito de los ejemplos 3.1 a 3.4. Compare surespuesta con las componentes de aceleración obtenidas en el ejem­plo 3.4. Explique por qué su respuesta no es igual a la magnitud dela acelcración obtenida en la parte (b) del ejemplo 3.2. e) Demues­tre que la tasa de cambio de la rapidez puede expresarse comodv/dI = v·o./v. y use este resultado para explicar por qué dvldl esigual a a.. la componente de o. paralela a v.3.77 Una particula se mueve en el plano xy. Sus coordenadas estándadas en función del tiempo por

x(t) = R(wl - sen WI) y(r) = R(I - COSWf)

donde R y w son constantes. a) Dibuje la trayectoria de la partícula.(Es la trayectoria de un punto en el borde de una rueda que está rodan­do con rapidez conslante sobre una superficie haPizontal. La curvadescrita par el punto en el espacio se lIamacidoide.) b) Determine lascomponentes de velocidad y de aceleración de la partícula en cual­quier instante r. e) ¿En que instantes la particula está momentánea­mente en reposo? ¿Qué coordenadas tiene la particula en esosinstantes? ¿Qué magnitud y dirección liene la aceleración en esos ins­tantes? d) ¡'~3JI1agnil1.~de la aceleración depende delliempo?Compare esle movimienlo con el movimienlO circular uniforme.,3.78 Usted vuela\ulta avioneta y observa el tráfico para enviar in­formes a una eslación de radio. Su vuelo 10 lleva en dirección estesobre una autopista. Los accídentes del terreno le indican que su ra­pidez es de 50 mis relativa a tierra, y el indicador de rapidez en elaire también indica 50 mis. Sin embargo, la nariz de la avionetaapunta un poco al sur del este, yel meteorólogo dice que sopla unviento de 20 mis. ¿En qué dirección sopla el vienlo?3.79 El proble,"li de la paloma mensajera. Luis conduceal este a 40km/h. Su gemelo Óscar conduce al oeste a 30 kmIh hacia Luis en unauto idéntico en el mismo camino recto. Cuando están a 42 km uno delotro. Luis envía una paloma mensajera. que vuela con rapidez constan­te de 50 km/h. (Todas las rapideces son relativas a la Tierra) La palo­ma vuela a áscar, se confunde porque cree que regresó a Luis y deinmediato regresa a Luis, se confunde más y de inmcdiato regresa aóscar. Esto continúa hastaquc los gemelos se encuentran, momento enque la paloma, agotada y mareada, cae al suelo. Sí no se loma en cuen­ta el tiempo que la paloma tarda en darse la vuelta, ¿qué distancia voló?3.80 Gotas de lluvia. Cuando la velocidad de un tren es de 12.0mis al este, las golas de lluvia que caen verticalmente respectO ala Tierra dejan huellas inclinadas 30.0" respecto a la vertical en lasventanillas del tn:n. a) ¿Qué componente horizontalliene la velo-

3.0Smf:"-

1.83 m

L'21m---4

116

Figura 3.48 Problema 3.71.

Ión? b) ¿A qué distancia de la linea de falta toca el piso el balón? e)En el segundo tiro, el balón pasa por el centro de la canasta. El án­gulo y el punto de lanzamiento son los mismos. ¿Que rapidez ini­cial imparlt el jugador al balón esta vez? d) En el segundo liro.¿qué altura máxima alcanza el balón? En este punlO, ¿a qué distan·cia horizontal está de la canasta?3.72 Romeo lanza un guijarro a la ventana de Julieta para des­pertarla. Lamentablemente, lanza un guijarro muy grande condemasiada rapidez. Justo antes de romper el crislal, el guijarro seestá moviendo horizontalmente, habiendo recorrido una distan­cia horizontal x y una distancia vertical y como proyectil. Calcu­le la magnitud y dirección de la velocidad del guijarro al serlanzado.3.73 Un cohete está inicialmente en reposo en el suelo. Cuandoarrancan sus molores, el cohete despega en línea recIa con un ángu­lo de 53.1° sobre la horizontal y aceleración constante de magnitudg. los motores paran rsegundos después del lanzamiento, y emon­ces el cohete se mueve como proyectil. Haga caso omiso de la resis­tencia del aire y suponga que g es independiente de la altitud. a)Dibuje la trayectoria del cohete desde el disparo inicial de los mo­tores hasla que el cohete cae al suelo. Indique la dirección de losvectores de velocidad y aceleración en diversos puntos de la trayec­toria. b) Dibuje gráficas tix-I Y ti,-! para el movimiento del cohetedesde el disparo inicial de los motores hasta que el cohete cae alsuelo. e) Determine la altura máxima alcanzada por el cohete. Dé surespuesla en terminos de g y r. d) Obtenga, también en terminos deg y r, la distancia horizontal desde el punto de lanzamiento hasta elpunto en que el cohete cae al suelo (es decir, el alcance).3.74 En una película de aventuras_ el heroe debe lanzar una gra­nada desde su aUlo, que viaja a 90.0 km/h, al de su enemigo, queviaja a 110 km/h. El auto del enemigo eslá 15.8 m adelante deldcl héroe cuando éste suelta la granada. Si la velocidad inicial de lagranada relativa al héroe está 45° sobrc la horizontal, ¿que mag­nitud deberá tener? Ambos aUIOS viajan en la misma dirección enun camino plano, y puede despreciarse la resistencia del aire. Ob­tenga la magnitud de la velocidad relativa tanto al héroe como ala Tierra.3.75 Una piedra atada a una cuerda se mue\'e en el plano.ty, suscoordenadas en función del tiempo son

r

Problemas de desafío 117

.b:o;e

Figura 3.50 Problemade desafio 3,89,

r--------4.90 m

-1,~

Figura 3.49 Problema de desafio 3.86.

gón? ¿Relativa al marco de referencia de un observador parado enel suelo?3.87 Una escopeta dispara muchos perdigones hacia arriba. Al­gunos viajan casi verticalmente, pero olros se desvian hasta 1.00

de la vertical. Suponga que la rapidez inicial de todos los perdi­gones es de 150 mIs y haga caso omiso de la resistencia del aire.a) ¿En qué radio del punto de disparo caerán los perdigones? b)Si hay 1000 perdigones y se distribuyen uniformemente en undrculo del radio calculado en (a), ¿qué probabilidad hay de queal menos un perdigón caiga en la cabeza de quien disparó? (Su­ponga que la cabeza tiene JO cm de radio.) c) En realidad, la re­sistencia del aire tiene varios efectos; frena los perdigones alsubir, reduce la componente horizomal de su velocidad y limitala rapidez con que caen, ¿Cuál efecto tenderá a hacer el radio ma­yor que el calculado en (a), y cuál tcnderá a reducirlo? ¿Quéefecto global cree que tendrá la resistencia? (Su efecto sobre unacomponente de velocidad se incrementa al alUllentar la ma!:,'Ilirud de lacomponente.)3.88 Un proyectil se lanza desde un punto P. Su movimiento es talque su distancia respecto a P siempre aumenta. Detennine el ángu­lo máximo arriba de la horizontal con que pudo haberse lanzado.Haga caso omiso de la resistencia del aire.3.89 Movimiento de proyectil en una pendiente 1. Una bola debéisbol recibe una velocidad inicial de magnitud Un Yángulo.p so­bre la superficie de una rampa, que a su vez está inclinada IJ gradossobre la horizontal (Fig, 3.50). a) Calculc la distancia sobre la rampadesde el punto de lanzamiento adonde el objeto golpea la rampa.Responda en términos detJo,g, OYrP. b) ¿Qué ángulo rPda el alcance máximo sobre larampa? (Nola: Tal vez le intere­sen los tres métodos de resolu­ción presentados por 1. R.Lapidus en Amer. Jour. ofPhys.,va\. 5I (1983) páginas 806 y 847.En H. A. Buekmaster, Amer.Jour. ofPhys_, vol. 53 (1985), páginas 638-641, se esrudia a fondoeSle problema y otros similares.)3.90 Movimiento de proyectil cn una pendiente 11. Remitase alProblema de desafío 3.89. a) Un arquero parado en un lerreno coninclinación ascendente constante de 30.00 apunta a un blanco situa­do 60.0 m más arriba en la ladera. La flecha en el arco y el centrodel blanco están ambos 1.50 m sobre e! suelo. La rapidez inicial dela flecha es de 32.0 mis. ¿Con qué ángulo sobre la horizontal debeapuntar el arquero para dar en el blanco? Si hay dos ángulos, calcu­le e! menor, Tal vez necesite rcsolver la ecuación del ángulo por ite­ración, es decir, prueba y error. Compare el ángulo con el que se

3.86 Un hombre sobre un furgón plano que viaja con rapidezconstante de 9.10 mis (Fig. 3.49) quiere lanzar Ulla pelota a travésde un aro estacionario a 4.90 m sobre la alrura de la mano, de modo

,que la bola se mueva horizontalmente al pasar por el aro. El hom­bre lanza la bola con una rapidez de 10.8 m/s respecto a si mismo,a) ¿Qué componente vertical debe tener la velocidad inicial de labola? b) ¿Cuántos segundos después del lanzamiento la bola atra­vesará el aro? c) ¿A qué distancia horizontal del aro se deberá sal­lar la bola? d) Cuando la pelota deja la mano del hombre, ¿quédirección tiene su velocidad relativa al marco de referencia del va-

cidad de una gota respecto a la Tierra? ¿Respccto al tren? b) ¿Quémagnitud tiene la velocidad de la gota respecto a la Tierra? ¿Res­pecto al tren?3.81 Un piloto de avión fija un curso al oeste según la brújula ymantiene una rapidez respecto al aire de 220 km/h. Después de vo­lar 0.500 h, está sobre una ciudad 120 km al oesle y 20 km al sur desu punto de partida. a) Calcule la velocidad del viento (magnitud ydirección). b) Si dicha velocidad es de 40 kmfh al sur, qué curso de­be fijar el piloto para viajar al oeste? La rapidez respecto al aire esla misma.3.82 En una carrera aérea, un avión vuela desde un punto directa­mente arriba de Metrópolis a un punto directamente arriba de Ciu­dad Gótica, da vuelta y regresa al punto de partida. La rapidez delavión respecto al aire es constante en todo el vuelo e igual a u. Ciu­dad Gótica está a una distancia D al este de Metrópolis. a) Si nohay viento, ¿cuánto tiempo se requiere para el viaje redondo?¿Cuánto tiempo se requiere si sopla un viento con rapidez constan­te w b) hacia el este? c) ¿Hacia el sur? d) Si D = 3.00 x 102 km,tJ = 4.00 X lO' km/h, Y IV = 1.00 X lO' km/h, calcule los tiem­pos de vuelo redondo para las partes (a), (b) y (c). ¿En cuál caso esmás lento el viaje redondo?3,83 Un elevador sube con rapidez constante de 2.50 mis. Un per­no en el techo del elevador, 3.00 m arriba del piso, se anoja y cae,a) ¿Cuánto tarda en tocar el piso del elevador? ¿Qué rapidez tienejusto antes de tocar el piso b) según un observador en el elevador?c) ¿Según un observador parado en uno de los rellanos del edificio?d) Segun el observador de la parte (c), ¿qué distancia recorrió elperno entre el techo y el piso del elevador?3.84 La ciudad A está directamente al oeste de la ciudad B. Cuan­do no hay viento, un avión comercial realiza el vuelo redondo de5310 km entre ellas en 6.60 h viajando con la misma rapidez enambas direcciones. Cuando sopla un viento fuerte y constante deoeste a este y el avión tiene la misma rapidez respecto al aire que

,,/ antes, el viaje redondo tarda 6.70 h. ¿Con qué rapidez sopla elviento? .

3,85 En un panido durante la Copa Mundial de fútbol soccer, Juancorre al none hacia la ponerla con una rapidez de 8.00 mis relativaal suelo. Un compañcro le pasa el balón, el cual tiene una rapidez_de 12.0 mis y se mueve en una dirección 37.0° al este de! norte, re­lativa al suelo. ¿Qué magnirud y dirección tiene la velocidad del ba­lón relativa a Juan?

Problemas de desafío

CA PfTu LO 3 I Movimiento en dos o tres dimensiones

,,

118

necesita cuando el sucio está horizontal. b) Repita con una pendien­te constante hacia abajo de 30.0~.

3.91 Sin motivo aparente, un poodle está corriendo con rapidezconstante de v = 5.00 mis en un círculo con radio R = 2.50 m. ScaVI el vector velocídad en 1" y Vl en I~. Considere ÓV = Vl - V, YÓt = t~ - 1

"Recuerde que ii..... = Sit/ÓI. Para ÓI = 0.5 s, 0.1 s

Y 0.05 s, calcule la magnitud (con cuatro cifras significativas) y laditttción (relativa a VI) de la aceleración media a_. Compare suresultado con la expresión general para la aceleración ti instantáneaen movimiento cirl:ular uniforme deducida en el texto.3.92 Un cohete diseñado para colocar cargas pequeñas en órbita selleva hasta una altitud de 12.0 km, montado en un avión comercialconvertido. Cuando el avión esta volando en línca recIa, con rapi­dez constante de 850 km/h, deja caer el cohete. Después, el aviónmantiene la misma altitud y rapidez y sigue volando en línca recta.El cohete cae durante un lapso corto, después dcl cual el motor seenciende. A partir de ese momento,Tos efectos combinados del em­puje y la gravedad imparten al cohete una aceleración constante demagnitud J.()Og dirigida con un angulo de 30.0~ arriba de la hori­zontal. Por motivos de seguridad el cohete deberá estar por lo menos1.00 km adelante del avión cuando vuelva a alcanzar la altitud de

éste. Hay que determinar el tiempo mínimo que el cohete debe caerantes de que su motor se encienda. Se puede hacer caso omiso de laresistencia del aire. La respuesta debe incluir i) un diagrama que

muestre las trayectorias de vuelo del cohete y del avión, rotuladasen varios puntos con vectores que representen su velocidad y su

aceleración: ii) una gráfica ;r., que muestre los movimientos del co­hete y del avión; y ¡ii) una gráfica y.¡ que muestre los movimientos

del cohete y del avión. En el diagrama y las graficas, indique los roo­

mentas en que el cohete se deja caer, el motor del cohete se encien­

de y el cohete en ascenso alcanza la altura del avión.3.93 Dos estudiantes pasean en canoa en un no. Yendo rio arriba,dejan caer accidentalmel1\e una botella vacia al agua, después de 10

cual reman durante 60 minutos hasta llegar a un punto 2.0 km río

arriba. En ese momento, se dan cuenta de que la botella no está y,preocupados por la ecología, se dan vuelta y reman río abajo. Al­

canzan a la botella (que se ha estado moviendo con la corriente) 5.0

km río abajo del punto donde se dieron la vuelta, y la recogen. a)Suponiendo un esfuerzo de paleo constame todo el tiempo, ¿conqué rapidez fluye el río? b) ¿Que rapidez tendría la canoa en un lago

tranquilo con el mismo esfuerzo de paleo?