•

Toda misión lograda del nansbordador es­pacial t~rmina coo un brev~ periodo demovimiento rectilineo para detenerse enla pista. Esta nave, no más gronde que unjel comercial ordinario, toca tierra a másde 350 km/h. Incluso con un paracaidas dearrostre que le ayuda a frenar, la veloz navenecesita hasta 3 km para detenerse.

¿Es correcto decir que el trans­

bordador espacial está acelerando

cuando frena hasta detenerse?

40

MOVIMIENTOEN LÍNEARECTA

.......

; Cómo describimos el movimiento de unjer de combate lanzado. desde la~ cubierta de un portaaviones? Cuando lanzamos una pelota verticalmen­te, ¿qué tanto sube? Cuando se nos resbala un vaso de la mano, ¿cuánto tiempo te­nemos para atraparlo antes de que choque con el piso? Éste es el tipo de preguntasque aprenderá a contestar en este capítulo. Iniciamos nuestro estudio de la fisicacon la mecánica, el estudio de las relaciones entre: fuerza, materia y movimiento.El objetivo de este capítulo y el siguiente es J.sarrollar métodos generales paradescribir el movimiento. La parte de la mecánica que describe el movimiento es lacillemárica. Después estudiaremos [a dinámica, o sea la relación entre el movi­miento y sus causas.

En este capítulo estudiaremos el movimiento más simple: una partícula queviaja en línea recta. A menudo usaremos una particula para modelar un cuerpo enmovimiento, si efectos tales como la rotación o el cambio de forma no son impor­tantes. Para describir el movimiento de una partícula; introduciremos las cantidadesfisicas velocidad y acelerodón, que en fisica tienen dermic;:iones sencillas, aunqueson más precisas y un poco distintas de las empleadas en el lenguaje cotidiano. Sise fija bien en las definiciones, trabajará mejor con estas y otras cantidades fisi·cas importantes.

2.1 I Desplazamiento, tiempo y velocidad media 41

Un aspeclo imponante de las definiciones de velocidad y aceleración en físicaes que son vecrores. Como vimos en el capítulo 1, esto implica que tienen magni­tud y dirección. Aquí nos interesa sólo el movimiento rectilíneo, por lo que no ne·cesitaremos aÍln IOda el álgebra vectorial, pero en el capitulo 3 incluiremos ennuestro estudio el movimiento en tres dimensiones, por ello será indispensableusar vectores.

Un caso especial imponante del movimiento rectilíneo es cuando la acelera·ción es constante, situación que encontraremos con frecuencia al esmdiar fisica.Un ejemplo es el movimiento de un cuerpo que cae libremente. Deduciremosecuaciones sencillas para describir el movimiento con aceleración constante.También consideraremos situaciones en las que la aceleración varía durante elmovimiento. En estos casos habrá que integrar para describir el movimiento. (Sino ha estudiado integración aún, esta sección es opcional.)

2.1 I Desplazamiento, tiempo y velocidad media

(2.1)

Suponga que una piloto de autos de arrancones conduce su auto por una pista rec­Ia. Para esmdiar esle movimiento, necesitamos un sistema de coordenadas paradescribir la posición del auto. Decidimos que el eje x yace a lo largo de la trayec·toria recta del auto, con el origen O en la línea de salida (Fig. 2.1). Describiremosla posición del auto en ténninos de la de un punto representativo, digamos su ex­tremo delantero. Así, representamos todo el aulO con ese punto y lo tratamos co­mo una partícula.

Una forma Íltil de describir el movimiento del frente del auto -es decir, el dela partícula- es en términos del cambio en la posición de la panícula (o sea, elcambio en su coordenada x) a lo largo de un intervalo de tiempo. Supongamos que1.0 s después del arranque el frente del auto está en PI' a 19 ID del origen, y 4.0 s,después del arranque está en Pz, a 277 m del origen. El desplazamiento de la par·tícula es un vector que apunta de PI a Pz (véase la sección 1.7). La figura 2.1muestra que este vector apunta a 10 largo del ejex. La componente x del desplaza!miento es simplemente el cambio en el valor de x (277 m - 19 m) = 258 m, que·hubo en un lapso de (4.0 s - 1.0 s) = 3.0 s. Definimos la velocidad media del au­to durante este tiempo como una cantidad vectorial cuya componente x es el cam·bio en x dividido entre el intervalo de tiempo: (258 m)/(3.0 s),. 86 mIs. Engeneral, la velocidad media depende del intervalo de tiempo escogido. Durante unlapso de 3.0 s antes del arranque, la velocidad media fue cero, porque el auto es­taba en reposo en la línea de salida y tuvo desplazamiento cero.

Generalicemos el concepto de velocidad media. En el tiempo ti' el auto está enPI' con coordenada x]> y en rzestá en P2 con coordenadax2' El desplazamiento en elintervalo de t, a t2 es el vector de PI a P2, con componente x (xz - Xl) Ycompo­nentes y y z iguales a cero. La componente x del desplazamiento del auto es elcambio en la coordenada X, que abreviamos así:

;

t , x,,,,,""""'"'

1P, ~ -O- Ox P,O. ------- -- J~

_x,..j x'.,_x,_Ox------l~

•2.1 Posiciones de un auto de arrancones en dos instantes durante su rttOrrido.

42 CAPfTOLO 2 I Movimiento en línea recta

a:1III1!lI1!I1:I ~ no es el producto de A y r. es un solo símbolo que significa ~elcambio en la cantidad X·. Siempre usaremos la letra griega mayúscula .ó. (-del­ta-) para representar un cambio en una cantidad, calculada restando el valor

inicial al final. Asimismo, el intervalo de t) a tI es Al, el cambio en la cantidad 1:

6/ = /2 - /1 (tiempo final menos tiempo inicial).

Ahora podemos definir la componente x de la velocidad media con mayor pre·cisión: es la componente x del desplazamiento, a.., dividida entre el intervalo tilen el que ocurre el desplazamienlo. Representamos esta cantidad con el simboloumed.... donde el subíndice "med" indica un valor medio y el subíndice x indica quese trata de la componente x:

Xl - XI ó'xvmed =-----

•.x tI - ti ó,t( velocidad media, movimiento reclilineo) (2.2)

l

Enel ejemplo anterior teníamos XI = 19 m,x] =277 m, ti "" 1.0 s y tI =4.0 s,así que la ecuación (2.2) da

277 m - 19 m 258 !TIum«l "" "" --- = 86 mIs

·X 4.0s LOs 3.0s

La velocidad media del auto es posiliva. Esto significa que, durante el inttrva­lo, la coordenada:r aumentó y el aUlo se movió en la dirección +:r (a la derecha enla Fig. 2.1). Si una partícula se mueve en la dirección:r negativa durante un inter­valo de tiempo, su velocidad media en ese lapso es negativa. Por ejemplo, supongaque la camioneta de unjuez se mueve hacia la izquierda junto a la pista (Fig. 2.2). Lacamioneta esta en XI"" 277 m en tI ,. 16.0 s, yen x] = 19 m en t] :: 25.0 s. Enton­ces, !il=(l9 m - 277 ro) = -258 m y .6.t-(25.0s - 16.0 s) ::9.05, y la com­ponente x de la velocidad media es Vme.» ==. A..x/At = (-258 m)/(9.0 s) = -29 mis.Siempre que x es positiva y aumenta o es negativa y se hace menos negativa, lapartícula se mueve en la dirección +x y Vme<\..:< es positiva (Fig. 2.1). Siempre que xes positiva y disminuye, o es negativa y se hace más negativa, la partícula se mue­ve en la dirección -x y VmtJ_.x es negativa (Fig. 2.2).

IIlllllgl!!!~No sucumba a la tentación de pensar que una velocidad media po­sitiva implica movimiento a la derecha, como en la figura 2.1, y una velocidad

negativa implica movimiento a la izquierda, como en la figura 2.2. Tales conclu­siones sólo son correctas si la dirección +x es hacia la derecha, como escogimos

en ambas figuras. Igualmente podrlamos haber decidido que la dirección +.1" es

P, .x P,xo

X2~( -'2- XI- ax,1

II

" I,MUDA LJ.J:CADA

•2.2 Posiciones de In camioneta de un juez en dos instantes durnnte su movimiento. Lospuntos PI y PI abor. se refieren al movimiento de la camioneta, por 10 que son diferentesde los de la figurn 2.1. La componente x del desplazamiento de la camioneta es negativa,así que V-s..x es negativa.

2.1 I Desplazanrienlo. tiempo y velocidad media

• N. del E. En este texto se usa la abreviatum ft cuando se relaciona con la distancia en pies. Porejemplo,1 ft x lb-1.3561.

100

200

300"

x (m)

400

•

43

2.3 La posición de un auto de arranconesen función del tiempo. La velocidad mediav..... entre los puntos PI y Pl de la figura2.1 es la pendiente de la linea PrP2' Esta líonea sube hacia la derecha, por lo que la ..pendiente es positiva y tJlD<d-~ es positiva.

500 mis1000 mis]000 mis2 X J(fmls]X]o'mls

hacia la izquierda, con el origen en la llegada. Entonces, el auto habría tenido

velocidad media negativa, y el vehículo, positiva. En casi todos los problemas,

podremos escoger la dire<ci6n del eje de coordenadas. Una vez tomada la de<i­

si6n, debera tomarse en cuenta al interpretar los signos de v..o-~ y otras cantida­

des que describen el movimiento.

En el movimiento rectilíneo normalmente llamaremos a d.T el desplazamientoy a urned-~ la velocidad media, pero no olvide que éstas son realmente las compo­nentes.t de cantidades vectoriales que, en este caso especial, sólo lienen componen­tes x. En el capitulo 3, los vectores de desplazamiento, velocidad y aceleracióntendrán dos o tres componentes distintas de cero.

La figura 2.3 es una gráfica de la posición del auto de arrancones en funcióndel tiempo, es decir, una gráfica X-l. La curva de la figura !lO representa la trayec­toria del auto; ésta es una linea recta, como se ve en la figura 2.1. Más bien, la grá­fica es una forma de representar cómo cambia la posición del auto con el tiempo.Los puntos rotulados PI y P2 corresponden a los puntos PI y P2 de la trayectoriadel auto. La línea PiP2 es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catelo ver­tical 6.x = X2 - Xl Ycateto horizontal 6.t = t2 - tI' Asi, la velocidad media del au­to u..,..¡..,- = O.x/dl es igual a la pendiente de la linea PIP2, es decir, el cociente delcateto venical d.r y el cateto horizontal !lt.

La velocidad media depende sólo del desplazamiento total d.T =X2 - Xl que seda durante el intervalo 111 = t2 - t lo no en los pormenores de lo que sucede dentrode ese intervalo. Un segundo auto podria haber pasado por el punto PI de la figura2.1 en el mismo instante ti que el primero, rebasando a éste, para después reven­tar el motor y bajar la velocidad, pasando por P2 en el mismo instante 12que el pri­mer auto. Ambos aUlas tienen el mismo desplazamiento en el mismo lapso, asíque tienen la misma velocidad media.

Si expresamos la distancia en metros y el tiempo en segundos, la velocidad me­dia se mide en metros por segundo (mis). Otras unidades de velocidad comunesson kilómetros por hora (km/h), pies por segundo· (ftls), millas por hora (milh) ynudos (1 nudo = 1 milla náuticalh::lll 6080 ftIh). La tabla 2.1 muestra algunas mag­nitudes típicas de velocidad.

Reptar de caracol 10-3 mis Movimiento aleatorio de moléculas de airePasetlvigoroso 2 mis Avión más rápidoHombre mas nl.pido 11 mis Satélite de comunicación en órbitaLeopardo en carrera ]5 mis Electrón en un atomo de hidrógenoAutomóvil más rápido ]41 mis Luz que viaja en el vacío

Tabla 2.1 Magnitudes t¡picas de velocidad

Un camión viaja al oeste desde el punto A hasta el B, una distancia dc 60 km. Unauto viaja al este desde el punto A hasta el e, una distancia de 30 km, se da la vuelo

ta, y viaja al oeste hasta el punto B. El camión y el auto salen deA simultáneamen­te y llegan a B simultáneamente. Explique por qué el auto y el camión tienen lamisma vel~idad media.

•

44

2.4 El ganador de una carrera de nataciónde 50 En es el nadador cuya velocidad media!icne mayor magnitud es decir. el nadadorque cubre el desplazamiento al" de 50 men el tiempo transcurrido 61 más corto.

2.5 Incluso al avanzar, la velocidad instan­tánea de este ciclista puede ser negativa: siestá viajando en la dirección -x. En cual­quier problema, nosotros decidimos cualdirección es positiva y cuál es negativa.

CUIDADO

e ... pfT U LO 2 I MovimicnlO en línea recta

2.2 I Velocidad instantánea

Hay ocasiones en que la velocidad media es 10 (mico que necesitamos saber aceroca del movimiento de una partícula. Por ejemplo, una carrera en pista recta es enrealidad una competencia para determinar quién tuvo la magnitud de velocidadmedia, Vnxd-x> más grande. Se entrega el premio al competidor que pudo recorrerel desplazamicnlo Jlx de la linea de salida a la de meta en el más corto intervalode tiempo, !i.t (Fig. 2.4).

Sin embargo, la velocidad media de una partÍcula durante un intervaJo de tiempono nos dice con que rapidez, o en que dirección, la partícula se estaba moviendo enun instante dado del intervalo. Para describir el movimiento con mayor detalle, ne­cesitamos definir la velocidad en cualquier instante específico o punto específicodel camino. Ésta es la velocidad instantánea, y debe deímirse con cuidado.

La palabra instante tiene un significado un poco distinto en física que en el len­guaje cotidiano. Podemos decir "duró un instante" para referimos a algo que du­ró un intervalo muy corto, pero en fisica un instante no tiene duración; es un solo

valor de tiempo.Para obtener la velocidad instantánea del auto de la figura 2.1 en el punto P¡,

imaginamos mover el segundo punto P2cada vez más cerca a PI. Calculamos lavelocidad media Vm<d-I = tuI!!'t para estos desplazamientos y lapsos cada vez máscortos. Tanto 6.x como dt se hacen muy pequeños, pero su cociente no necesaria­mente lo hace. En el lenguaje del cálculo, el limite de ilxlilt cuando ilt se acercaa cero es la del"ivada de x respecto a t y se escribe dxldt. Úl velocidad instantáneaes el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo se acerca a O; esigual a la tasa instantánea de cambio de posición con el tiempo. Usamos el sím­bolo VI' sin "med" en el subíndice, para la velocidad instantánea en el eje x:

v = lím dx = d:r (velocidad instantánca, movimiento rectilíneo) (2.3)I <l.1-0!i.! dt

Siempre suponemos que !i.t es positivo, as! que VI tiene el mismo signo alge­braico que dx. Si el eje +x apunta a la derecha, como en la figura 2.1, un valor po­sitivo de VI indica que x aumenta y el movimiento es a la derecha; una VI negativaindica que x disminuye y el movimiento es a la izquierda. Un cuerpo puede tenerx positivo y VI negativa, o al reves; x nos dice d6nde está el cucrpo, VI nos dice có­mo se mueve (Fig. 2.5).

La velocidad instantánea, igual que la media, es una cantidad vectorial. Laecuación (2.3) define su componente x, que puede ser positiva o negativa. En elmovimiento rectilíneo, las demás componentes de la velocidad instantánea son ce­ro, y en este caso llamaremos a VI simplemente velocidad instantánea. (En el ca­pitulo 3 veremos el caso general en el que la velocidad instantinea puede tenercomponentes x, y y z disüntas de cero.) Al usar el término "velocidad", siemprenos referiremos a la velocidad instantánea, no a la media, a menos que se diga otra

cosa.Los términos "velocidad" y "rapidez" se usan indistintamente en el lenguaje

cotidiano, pero tienen diferente significado en fisica. Rapidez denota distanciarecorrida dividida entre tiempo, bajo un régimen medio o instanuineo. Usaremosel símbolo v sin subíndice para denotar la rapidez instantánea, que mide la celeri­dad con que se mueve una partícula; la velocidad instantánea mide con que rapi­dez y en qué dirección se mueve. Por ejemplo, una partícula con velocidad

•

2.2 I Velocidad instantánea 45

•

EJECUTAR: a) En ti = 1.0 s, la posición del leopardo XI es

XI = 20m + (5.0 m/s1)(1.0 s)! = 25m

En t2 = 2.0 s, su posición.1'2 es

X! = 20m + (5.0ml~)(2.0S}2 = 40m

lE!!l3l1llIIDENTIFICAR: Este problema requiere usar las definiciones de des­plazamiento, velocidad media y velocidad instantánea. El uso de lasdos primeras implica álgebra; la última requiere cálculo para derivar.

PLANTEAR: La figura 2.6 muestra el movimicnto dellel:lpardo. Paraanalizar estc problema, usamos la ecuación (2.1) del desplazamien­to, la ccuaci6n (2.2) de la velocidad h1edia y la ecuación (2.3) de lavelocidad instantánea.

Velocidades media e instantáneaEjemplo

2.1

instantánea Ux =25 mis y otra con Vx =-25 mis se mueven en direcciones opues­tas con la misma rapidez instantánea de 25 mis. La rapidez instantánea es la mag·nirud de la velocidad instantánea, así que no puede ser negativa.

A la rapidez media, sin embargo, no es la magnitud de la velocidadmedia. Cuando Alexander Popov estableció un récord mundial en 1994 nadan­

do 100.0 rn en 46.74 s, su rapidez media fue de (100.0 rnY(46.74 s) '"' 2.139 mis. Sinembargo, como nadó dos vueltas en una alberca de 50 m, terminó en el puntode donde partió, con un desplazamiento total de cero ¡y una velocidad media de

cero! Tanto la rapidez media como la instantánea son escalares, no vectores,porque no contienen información de dirección.

Un leopardo acecha 20 m al este del escondite de un observador(Fig. 2.6). En 1· O, el leopardo ataca a un antilope en un daro 50 mal este del observador. El leopardo corre en linea recIa. Un análi­sis posterior de la gmbación fe\'ela que, durante los primeros 2.0 sdel ataque, la coordenada x del leopardo varia con el tiempo se­gún la ecuación x· 20 m + (5.0 mls1 )t1

. (Las unidades de los nú­meros 20 y 5.0 deben ser las mostradas para que la expresión seadimensionalmente congruente.) a) Obtenga el desplazamientodclleopardo entre ti '" 1.0 s y 12 • 2.0 s. b) Calcule la velocidadmedia en dicho intervalo. c) Calcule la velocidad instantánea ent. - 1.0 s tomando 6t "'0.1 s,luego.6.r = 0.01 s, luego 6t=0.001 s.d) Deduzca una expresión general pamla velocidad instantánea enfunción del tiempo, y con ella calcule lJx en t - 1.0 s y t = 2.0 s.

'-0 '-1.05 '-2.05

l:I<-:~--=~~=~~_'-o_-m=~=~-_=-~-=-~_)"f=~~-50~O>-~~========~x_.....,=======~-.I---X

Escoodite

2.6 Leopardo agazapado que ataca a un antílope. Los animales no estána la misma escala que el eje.

46 CAPíTULO 2 I Movimienloen línea recta

El desplazamiento en eSle intervalo es

6.x = Xl - XI = 40 m - 25 ro = 15 m

b) La velocidad media durante este intervalo es

X2-XI 40m-2Sm 15mUmtd-~ = --- '" = -- = 15 mIs(] - '¡ 2.0s - LOs LOs

e) Con :ir = 0.1 s, el intervalo es de ti '" 1.0 s a /1 - l.l s. En [l. laposición es

X2 = 20 m + (5.0 mls1)( 1.1 s}l "" 26.05 ro

Al disminuir tll,la velocidad media se acerca a 10.0 mis, y conclui·

mos que la velocidad inslanllÍnea en 1- 1.0 s es de 10.0 mis.d) Obtenemos la velocidad inslanlanea en función delliempo deri·

vando la expresión de x respecto a l. Para cualquier n, la derivada de1Mes nIM- I , así que la derivada de I! es 2/. Por tanto,

En I - 1.0 s, v~ - 10 mis, como vimos en la parte (c). En 1- 2.0 s,v~ '" 20 mis.

La velocidad media en este intervalo es

Siga este modelo para calcular las velocidades medias de los inter·valos de 0.01 s Y0.001 s. Los multados son 10.05 mis y 10.005 mis.

26.05 ro - 25 rou-... = 1.1 s 1.0 s 10.5 mis

EVALUAR: Nuestros resultados muestran que el leopardo aumentósu rapidez de I '" O(cuando estaba en reposo) a1- 1.0 s (v~ '" 10 mis)al'" 2.0 s (u~ '"' 20 mfs). EsIO es lógico; el leopardo sólo cubrió 5 mdurante el intervalo de t - Oa t = 1.0 s, pero cubrió 15 m durante elintervalo de I '" 1.0 s a I - 2.0 s.

¡

AcI'!vPhys es1.1 Análisis del movimiento con

diagramas

Obtención de la velocidad en una gráfica x-t

La velocidad de una partícula también puede obtenerse de la gráfica de la posi­ción de la panícula en función delliempo. Suponga que queremos conocer la ve­locidad del auto de la figura 2.1 en PI' Al acercarse P2 a PI' el punto P2 de lagráfica x-t de la figura 2.3 se acerca a PI' Esto se muestra en las figuras 2.7a y2.Th, donde la velocidad media se calcula en intervalos dr cada vez más cortos.En el límite /1t -+ O, ilustrado en la figura 2.7c, la pendiente de la Iíneap!P2 esigual a la de la linea tangente a la curva en el puntoPI' En IIna gráfica de posiciónenfllnción del tiempo paro movimiento rectilíneo, la velocidad ínstantánea encualquier plinto es igllal a la pendiente de la tangente a la curva en ese punto.

Si la tangente a la curva x-t sube hacia la derecha, como en la figura 2.7c, supendiente es positiva, la velocidad es positiva, y el movimiento es en la direceión_+x. Si la tangente baja a la derecha, la pendiente y la velocidad son negativas y elmovimiento es en la dirección -x. Si la tangente es horizontal, la pendiente y lavelocidad son cero. La figura 2.8 ilustra las tres posibilidades.

-f-c"l"'===:L-~~-1 (s)3 4 ,

,.)

x (m) x(m)

400 .},/'" 1.05 "'" 160mJ1x-55m v~· 4.05

300 v_~ = jjmfs 300 '" 40mts

200 200

100 100p,

O 2 3 4 , / (s) r (s), 3 4 ,lb) 'o)

I1r-2.05.:il- 1:K) m

u-... = 75 mis

x (m)

400

300

100

200

2,7 (a) y (b) Al calcular la velocidad media Urned-z en intervalos cada vez más cortos, suvalor se acerca a la velocidad Lnstantánea. (e) La velocidad instantánea u. en un tiempodado es igual a la pendiente de la tangente a la eurva x-/ en ese tiempo. Obtenernos dichapendiente dividiendo cualquier intervalo vertical (con unidades de dislancia) sobre la tan­gente entre el intervalo horizontal correspondiente (con unidades de tiempo).

\

2.3 I Aceleración media e instantánea

(.)

2,8 (a) La gráfica x-t del movimiento de una panícula dada. La pendiente de la langenteen cualquier punlo es igual a la velocidad en ese puma. (b) Diagrama de movimiento quemuestra la posición y velocidad de la partícula en los cinco inslanles rotulados en el dia­grama x-t. La panícula se acelera entre A y D, luego sc frena entre D y e, donde se detie­ne momentáneamente. Luego a\-anza en la dirección -x, acelerando entre eyD Yfrenando enlre D y E.

47

/", ""o • 11 .. I ,O, ,

'. • • ,O

I ''O'c • ,

O

I~,

'D XO

".~ , •O

lb)

Movimiento degr.if>ea .>:-/ l.l particula

Á pendicnte positi\"l.. movimioento enasí que Vx >0 ladi~+Á

B pendienle posiliv, movimicnto en lamayor. asi que Vx > O d~6n +.>:más

rtpido que cn A

e pendienlc cero, instanlll:neamenteasí que l/x = O

" """'"D pendiente negativa. movimiento enasí que IIx< O la dirección -.>:

E pendiente negaliva movimiento en lamenor. así que lIx< O dirección -xmás

lento que en D

E

,

Q,

2.3 I Aceleraci6n media e instantánea

La figura 2.9 es una gráficac.-r del movimiento de una partícula. ¿En cuál de lospuntos P, Q, R YS es positiva la velocidad vx? ¿En cuáles es negativa? ¿En cuáleses cero? ¿En qué punto es máxima la rapidez? 2.9 Gráficax-t para una partícula.

Observe que en la figura 2.8 se muestra el movimiento de una partícula de dosformas. La figura 2.8a es una gráficax-l, y la 2.8b es un ejemplo de diagrama demovimiento que muestra la posición de la partícula en diversos instanles, comocuadros de un filme o video del movimienlO de la particula,junto con flechas querepresentan la velocidad de la panícula en cada instante. Ambas representacionesayudan a enlender el movimienlo, y las usaremos a menudo en este capítulo. Re­comendamos dibujar una gráfica x-( y un diagrama de movimiento como parte dela resolución de cualquier problema de movimiento.

Aceleración media

Si la velocidad de un cuerpo cambia con el tiempo, decimos que el cuerpo tieneuna aceleración. Así como la velocidad describe la tasa de cambio de posición conel tiempo, la aceleración describe la lasa de cambio de la velocidad con el tiempo.La aceleración tambien es una cantidad vectorial. En el movimiento reclilineo, suúnica componenle distinta de OeSla sobre el eje en el que se da el movimiento.

Consideremos otra vez el movimiento de una panícula en el eje x. Supongamosque, en el tiempo t b la partícula esta en el punto P t Ytiene una componente x develocidad (instantánea) VIx, Yen un instante posterior /2 está en P2 y tiene la com­ponente x de velocidad V2x' Así, la componente x de la velocidad cambia en .ó.v, =

U2x - vlxenel inlervalo.ó.r= (2 - /1'

48 CAPfTULO 2 I Movimienloenlínearecla

DeHnimos la aceleración media, 0mcd-x. de la partícula al moverse de PI a P2

como un vector cuya componente x es .1.u... el cambio en la componenlexde la ve­locidad, dividido entre el intervalo de tiempo at:

(2.4)

Ejemplo2.2

(aceleración media, movimiento rectilíneo)

En el movimiento rectilíneo, normalmente llamaremos a Qmed-... aceleración media,recordando que en realidad es la componente x del vector de aceleración media. (Ve­remos otras componentes del vector de aceleración media en el capitulo 3.)

Si expresamos la velocidad en metros por segundo y elliempo en segundos, laaceleración media está en metros por segundo por segundo, o (rn/s)/s. Esto sueleescribirse m1s2 y se lee "metros por segundo al cuadrado",

¡No confunda aceleración (on velocidad! la velocidad describe elcambio de la posición de un objeto con el tiempo; nos dice con qué rapidez y en

qué dirección se mueve el objeto. La aceleración describe cómo cambia la velo·cidad con el tiempo; es decir, nos dice cómo cambian la rapidez y la dirección delmovimiento. Podrla ser útil recordar la frase Naceleración es a velocidad comovelocidad es a posición N •

Aceleración media

Una aslronaUla sale de un transbordador espacial en órbita paraprobar una unidad personal de maniobras; mientras se mueve en lí­nea recta, su compañera a bordo mide su velocidad cada 2.0 s a par­tir del instante I "" 1.0 s:

'. '.l.0 s 0.8 mis 9.0s -0.4 mis3.0s 1.2 mis Il.0s -1.0 mis5.0s 1.6 mis 13.0 s -1.6 mis7.0s 1.2 mis 15.0 s -0.8 mis

Calcule la aceleración media y diga si la rapidez aumenta o dis­minuye para cada uno de estos intervalos: a) ti - 1.0 s a t1 '" 3.0 5;b) ti • 5.0 s a t~ "" 7.0 s; e) ti ·9.0 s at~ .. 11.05; d) ti .. 13.0 s a tI

- 15.0s.

ll!l!!l!mlIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: Usamos la definición de aceleraciónmedia, ecuación (2.4), para detenninar el valor de Qmed-x a partir delcambio de velocidad en cada intervalo de tiempo. Determinamosel cambio de rapidez en cada intervalo recordando que la rapidez ves la magnitud de la velocidad instantánea vx'

EJECUTAR: La pane superior de la figura 2. 1Ografica la velocidaden función del tiempo. La pendiente de la linea que conecta los pun-

tos inicial y final de cada intervalo es la aceleración media a"""", •

~vJat para el intervalo. Los valores de aD\Od-.l se grafican en la par­te baja de [a figura. Para cada intervalo, tenemos

ti.. (mis)

1.5 ..........~ ~-."",

1.0 ~_-t,ó,tI. I,ó" I

0.5 I,Of-+---f---'~---+---'-----~ t (s)

=~:~ 5 ~ ¿'JI,'" ,-1.5 I I __ -1I I I II I I I

GfI'l<d..{mls1) : ::::I I I I I I

0.5 I I :: L...-..J

L..----' "Of------~---+-_..;.-,',+---~ I (s)SI-......J ~ IS

-O.S

2.10 La pendiente de la línea que conecta dos puntos en una grá.fica de velocidad contra tiempo (arriba) es la aceleración mediaentre esos dos punlOS (abajo).

2.3 1 Aceleración media e instantánea 49

Ya podemos definir la aceleración instantánea con el mismo procedimiento queseguimos para la velocidad. Considere este caso: un piloto acaba de entrar en larecta final del Grand Prix; llega al punto PI en el inslante ti con velocidad lIb' ypasa el punto P2, más cerca de la meta, en t2 con velocidad vlt (Fig. 2.11).

•

(2.5)

"~","....-=~.~_ x 2.11 Vehículo Grand Prix en dos pUDIOSde la recta.

EVALUAR: Si la aceleración tiene la misma dirección (mismo sig­no) que la velocidad inicial. como en los intervalos a y c. la astro­nauta se mueve más rápidamenle; cuando tiene la dirección opllesla(signo opuesto) como en los intervalos b y d se frena. Al moverseen la dirección negativa con rapidez creciente (intervalo e), su velo­cidad disminuye algebraicamente (se hace más negativa) y su ace·leración es negativa, pero cuando se mueve en la dirección negativacon rapidez decreciente (intervalo d), su velocidad aumenta alge.braicameDle (se hace menos negativa) y su aceleración es positiva.

(Las unidades de los números 60 y 0.50 deben ser las indicadas pa­ra que la expresión sea dimensionalmente congruente.) a) Calculeel cambio de velocidad entre tI - 1.0 s y /2 = 3.0 s. b) Calcule la ace·leración media en el intervalo. e) Obtenga la aceleración instantá-

"-

. 6.ux dv~a = hm--~­~ ~ .... I) 6.( dt

(aceleración instantánea, movimiento rectilíneo)

Aceleraciones media e instantáneaEjemplo

2.3

o

a) aad-~'" (1.2 mis - 0.8 mls)/(3.0 s - 1.0 s): 0.2 mlr. La rapi­dez (magnitud de la velocidad instantánea) aumenta de 0.8 mis a\.2 mis.b) ame<l_~ = (1.2 mis - 1.6 mls)/(7.0 s - 5.0 $): -0.2 mlsl

. La ra­pidez disminuye de 1.6 mis a 1.2 mis.e) ame<l_x "" [-l.O mis - (-0.4 m/s»)/[ll.O s - 9.0 s] = -0.3 mlsl

.

La rapidez aumenta de 0.4 mis a 1.0 mis.d) a"'e<l-x = [-0.8 mis - (-1.6 mls)]I[l5.0 s - 13.0 s] ~ 0.4 mls2•

La rapidez disminuye de 1.6 mis a 0.8 mis.

Aceleración instantánea

Para definir la aceleración instantánea en PI> tomamos el segundo punto P2 ca·da vez más cerca de PI de modo que la aceleración media se calcule en intervaloscada vez más COrlos. La aceleración instantánea es el límile de la aceleración me·dia cuando el intervalo de tiempo se acerca a cero. En el lenguaje del cálculo, laaceleración instantánea es la rasa instantánea de cambio de la velocidad con eltiempo. Asi,

Suponga que la velocidad Ux del auto de la figura 2.l1 en el tiempoI está dada por

Observe que la ecuación (2.5) es realmente la definición de la componente x delvector aceleración; en el movimiento rectilíneo, las demás componentes son cero.La aceleración instantánea desempeña un papel fundamental en las leyes de lamecánica. En adelame. al hablar de "aceleración". nos referiremos a la acelera·ción instantánea, no a la media.

2.3 I Aceleración media e instantánea 49

a) Q.-... = (1.2 mfs - 0.8 mfs)l(3.0 s - 1.0 s) - 0.2 mls1. La rapi.dez (magnitud de la velocidad instantánea) aumenta de 0.8 mfs a1.2 mis.b) a-.,.. - (1.2 mis - 1.6 mls)l(7.0 s - 5.0 s) = -0.2 mls2. La ra­pidez disminuye de 1.6 mis a 1.2 mis.e) Q-.. .. [-1.0 mis - (-0.4 mls>Y{ll.O s - 9.0 s] = -0.3 rn/!l,La rapidez aumenta de 0.4 mis a 1.0 mis.d) Q_ -1-0.8 mis - (-1.6 m1s>Y115.0 s - 13.0 s] = 0.4 m1sl

,

La rapidez disminuye de 1.6 mis a 0.8 mis.

Aceleración instantánea

EVALUAR: Si la aceleración tiene la misma dirección (mismo sig­no) que la velocidad inicial, como en Jos intervalos a y e, la astro­nauta se mueve mis rápidamente; cuando liene la dirección opuesta(signo opuesto) como en los intervalos b y d, se frena. Al moverseen la dirección negativa con rapidez creciente (intervalo e), su velo­cidad disminuye algebraicamente (se hace más negativa) y su ace·leración es negativa, pero cuando se mueve en la dirección negativacon rnpidez decreciente (intervalo d), su velocidad aumenta alge­brnlcamente (se bace menos negativa) y su acelernción es posiliva.

•

Ya podemos definir la aceleraclón instantánea con el mismo procedimiento queseguimos para la velocidad. Considere este caso; un piloto acaba de enlrar en larecta final del Grand Prix; llega al punto PI en el instante ' 1 con velocidad Vlv Ypasa el punto P2, más cerca de la meta, en t2 con velocidad Vlr (Fig. 2.11).

1-I~~,!!!!~~~""~,!!!!!!!",,=";,, ~''-- ~~~~''''''"""~",,,,!l!!!!!!''''==":::'~' x 2.11 Vehiculo Gran<! Prix en dos puntos01 PI Pz de la recta.

Observe que la ecuación (2.5) es realmente la definición de la componente x delvector aceleración; en el movimiento rectilíneo, las demás componemes son cero.La aceleración instanlánea desempei'ia un papel fundamental en las leyes de lamec:anica. En adelante, al hablar de "aceleración", nos referiremos a la acelera­ción instantánea, no a la media.

Para definir la aceleración instantánea en PI> tomamos el segundo punto P2 ca­da vez más cerca de PI de modo que la aceleración media se calcule en intervaloscada vez mas conos. La aceleración instantánea es el limire de la aceleración me­dia cl/ando el intervalo de tiempo se acerca a cero. En el lenguaje del cálculo, laaceleración instantánea es la tasa instantánea de cambio de la velocidad con eltiempo. Así,

EJemplo2.3

. .6.u" dv"a = hm-~­" ~-o dt dt

(aceleración instantánea, movimiento rectilíneo)

Aceleraciones media e instantánea

(2.5)

Suponga que la velocidad v.. del auto de la figuro 2.11 en el tiempoI está dada por

(Las unidades de los numeros 60 y 0.50 deben ser las indicadas pa­ra que la expresión sea dimensionalmente congruente.) a) Calculeel cambio de \'elocidad enlTe /1 .. 1.0 s Y'2" 3.0 S. b) Calcule la ace·leración media en el intervalo. c) Obtenga la aceleración instantá-

50 CAPfTULO 2 1 Movimiento en línea recIa

oea en ti" 1.0 S tomando como ~t 0.1 s, después 0.01 s y luego0.00\ s. d) Deduzca una expresión para la aceleración instantáneaen cualquier instante y úsela parn obtener la aceleración en t = 1.0 s

yt=3.0s.

lI!l!!mIIDENTIFICAR: Esle ejemplo es análogo al ejemplo 2.1 de la 5e(;­

ción 2.2. (Recomendamos repasar ese ejemplo.)Ahi, calculamos lavelocidad media en inlervalos cada \'U más cortos considerando elcambio en el desplazamiento, y obtuvimos la velocidad instantáneadiferenciando la posición en función del tiempo. En este ejemplo.determinaremos la aceleración media considerando cambios de ve­locidad en un intervalo de tiempo. Asimismo, obtendremos la ace­leración instantóneo diferenciando la velocidad en función delliempo.

PLANTEAR: Usaremos la ecuación (2.4) de la aceleración media yla ecuación (2.5) de la aceleración instantanea.

EJECUTAR: a) Primero obtenemos la velocidad en cada instantesustituyendo I en la ecuación. En el instante 11 = 1.0 S,

Vlx = 60 mis + (0.50 mlsl )( 1.0 S)2 = 60.5 mis

En el instante 1z- 3.0 s.

Ul< = 60 mis + (0.50mlsl(3.0sP = 64.5 mis

El cambio en la velocidad, 6ux , es

6vx = Vl< - ub = 64.5 mis - 60.5 mJs = 4.0 mis

El intervalo de tiempo es 61 '"' 3.0 s - 1.0 s - 2.0 s.b) La aceleración media durante este intervalo es

_ vlr - v lx _ 4.0 mis _ 2U........ - - -2O - 2.0 mis

1¡ 1, . S

Durante el intervalo de 1I - 1.0 s a 12 = 3.0 s, la velocidad y la ace·leración media tienen el mismo signo (positivo en este caso) y elauto acelera.c)Cuando~I-0.l $,lz-1.1 sy

v1< ::: 60 mis + (0.50 mislH 1.1 S)2 = 60.605 mis

ó.v. = 0.105 mis

a = 6ux = 0.105 mis = 1.05 mJs2-..., 61 0.1 s

Repita este modelo con 61 = 0.01 s y ~1 - 0.001 s; los rt:Sultadosson Q-..., - 1.005 mls2 y a...,.¡.~ = 1.0005 mI-r respa:tivamente. Al

T't'ducirse 6/, la aceleraclón media se acerca a 1.0 rnJSl. Concluimosque la aceleración inslantitnea en 1" 1.0 s es 1.0 mlr.d) La aceleración instantánea es a~ - dv/dl, la derivada de unaconstante es cero y la derivada de r2 es 21. Con esto, obtenemos

Q = dv~ = !!....[60 mis + (0.50 mlrf)r]~ dr dI

= (O.50ml,')(2t) = (1.0ml,')t

Cuandor-I.Os,

Cuando 1"" 3.0 s,

a~ = (1.0mlsl)(3.0s) = 3.0m/s:!.

EVALUAR: Observe que ninguno de los valores que obtuvimos enla pane (d) es igual a la aceleración media obtenida en (b). La ace­leración instantánea del auto varia con el tiempo. Los ingenierosautomotrices llaman a la tasa dc cambio de la aceleración con eltiempo el "tirón".

•

Obtención de la aceleración de una gráfica v,,-t o x-t

Interpretamos las velocidades media e instantánea en términos de la pendiente deuna curva de posición contra tiempo. Igualmente, podemos entender mejor losconceptos de aceleración media e instantánea graficando la velocidad instantá­nea u~ en el eje vertical y el tiempo I en el horizontal, o sea, una gráfica v~-t

(Fig. 2.12). Los puntos rotulados PI y P2 corresponden a los puntos PI y Pz de lafigura 2.11. La aceleración media amed-,r = tJ.ujtJ.I durante este intervalo es la pen­diente de la linea PIPZ' Al acercarse Pz a PI en la figura 2.11, pz se acerca a PI enla figura 2.12 y la pendiente de la IíneapIP2 se acerca a la pendiente de la tangen·te a la curva en el punto PI' Así, en una gráfica de velocidad en función delliem­po, la aceleración instantánea en cualquier punlo es igual a la pendiente de lalangeme de la cun'Q en ese puma. En la figura 2.12 la aceleración instamánea va­ría con el tiempo.

El sígno algebraico de la aceleración por sí solo no nos dice si el cuerpo estáacelerando o frenando; hay que comparar los signos de la velocidad y la acelera­ción. Si u" y a" tienen el mismo sígno, el cuerpo está acelerando; si ambas son po-

2.3 I Aceleración media e instantánea 51

IO

(b)

.4-_____JI_••-""-.~- •

O

V~I1..\ := O - ••-'"••--"""*.------ <

O

2.12 Gnífica I),-f del movimiento de lafigura 2.11. La aceleración media entreti y f2 es igual a la pendíente de la líl),eaPiP2' La aceleración instantánea en PI esigual a la pendiente de la tangente en PI'

MovimientoGráfica V",-I de la partícula

A u.. <O; se mueve en lapendiente positiva. dirección -x.así que a.. > O frenando

8 u.. - O; instantáneamente enpendiente positiva. reposo. a punto deasí que a.. > O moverse en la

dirección +x

e v.. >O; se mueve en lapendiente cero, dirección +x,asíquea.. =O con máxima rapidez

D " 0' instantáneamente enpendiente negativa, reposo. a punto de

así que a .. < O moverse en ladirección -x

E V.. < O; se mueve en lapendiente negativa. dirección -x,así que a.. < O acelerando

Pendiente de la Ifneap,p, = aceleraciónmedia

,,,,,

:tJc-<-Vb=ll.V~,,,,/2 - ti '"' lit I

c.._~-------- ---- 1

Pendiente de la tangente'" aceleración instantánea en P J,o\

sitivas, el cuerpo se mueve en la dirección positiva con rapidez creciente. Si am­bas son negativas, el cuerpo se mueve en la dirección negativa con velocidad ca­da vez más negativa, y la rapidez aumenta. Si Vx y Qx tienen signos opuestos, elcuerpo está frenando. Si Ux es positiva y Qx negativa, el cuerpo se mueve en direc­ción positiva con rapidez decreciente; si v" es negativa y Gx positiva, el cuerpo semueve en dirección negaTiva con velocidad cada vez menos negativa, y está fre­nando. La figura 2.13 ilustra estas posibilidades.

Frecuentemente podemos llamar desaceleración a una reducción de rapidez.Dado que esto puede implicar a", positiva o negativa, dependiendo del signo de v""evitaremos este término.

(.)

e

2.13 (a) Gráfica V,-t del movimiento de una partícula (un movimiento distinto que en laFig. 2.8). La pendiente de la tangente en cualquierpun\o es igual a la aceleración en esepunto. (b) Diagrama de movimiento que muestra la posición, velocidad y aceleración dela partícula en los instantes rotulados en la gráfica [i,-I. Las posiciones son congrucntescon la gráfica; por ejemplo, de f~ a tR la velocidad es negativa, así que en tB la particulaestá en un valor más negativo de x que en fA"

CAPfTULO 2 I Movimiento en línea recta

También podemos obtener la aceleración de un cuerpo a partir de una gráficade su posición con el tiempo. Dado que ax = dv)dt y Vx = dx/dt, podemos escribir

(2.6)

-"(.. = O • u ., I"[)

a=O¡ "" • "[)

I,-". O

'e • "O

I • v(1=0

" • "[) •v...."" a

" "O

lb)

du, d (dx) d'xa ----- --X-dt-dtdt-dr-

Es decir, ax es la segunda derivada de x respecto a t. La segunda derivada de unafunción se relaciona directamente con la concavidad o curvatura de la gráfica dela función. Donde la curva x-t es cóncava hacia arriba, la aceleración es positiva yVx aumenta; donde la curva es cóncava hacia abajo, la aceleración es negativa y v"disminuye. Donde la gráfica x-t no tiene curvatura, como en un punto de infle­xión, la aceleración es cero y Vx es constante. Estas tres posibilidades se ilustranen la figura 2.14. La curvatura de una gráfica ;r-t nos dice qué signo tiene la acele·ración. Esta técnica es menos útil para detenninar valores numéricos de la acelera­ción, porque es dificil medir con exactitud la curvatura de una gráfica.

2.14 (a) La misma gráficax-t de la figura 2.8a. La velocidad es igual a ¡a pendiente de lagráfica, y la aceleración está dada por su concavidad o curvatura. (b) Diagrama de movi­miento que muestra la posición, velocidad y aceleración de la particula en cada uno de losinstantes rotulados en la gráfica x-t.

Movimiento de laGráficax-I panícula

A pendiente positiva. se mueve en lacurvatura hacia arriba. dirección +.1'.asíqueux>O,ax>O acelerando

B pendiente positiva. se mueve en lacurvatura cero, dirección +x,asíquevx >O, ax =0 la rapidez no cambia

e pendiente cero, instantáneamente encurvatura hacia abajo, reposo. la velocidadasíquevx=O,ax<O cambia de + a -

D pendiente negativa. se mueve en lacurvatura cero, dirección -x.asíqucVx<O,ax=Q la rapidez no cambia

E pendiente negativa. se mueve en lacurvatura hacia arriba. dirección -x,

asíqueux<O,ax>O Frenando

E

52

Examine otra vez la gráfica x-t de la figura 2.9 al final de la sección 2.2. ¿En cuá­les de los puntos P, Q, R YS es positiva la aceleración ax? ¿En cuáles es negativa?¿En cuáles parece ser cero? Compare la aceleración en cada punto con la veloci­dad Vx en ese punto y decida si la rapidez está aumentando, disminuyendo o semantiene constante.

2.4 I Movimiento con aceleración constante

El movimiento acelerado más sencillo es el rectilíneo con aceleración constante.En este caso, la velocidad cambia al mismo ritmo todo el tiempo. Se trata de unasituación muy especial, pero común en la Naturaleza: como veremos en la secciónque sigue, un cuerpo que cae tiene aceleración constante si los efectos del aire no

1

2.4 I Movimiento con aceleración constante 53

~IV. :c

•--t = UI "'--~."":'._--__ ,O

•--,,1••""- ,

o~

,. fU ,,'-••" ••-------,O

~r-3~t~'----.,""•• ,

O

t=4Af 1O

'.

o

'.r---.....-

o

2.15 Diagrama de movimiento para una.panícula que se mueve en línea recta eo ladirección +.1' con aceleración posiliva cons­tante Qro Se muestran la posición, veloci­dad y aceleración en cinco instantesequiespaciados. La velocidad cambia lomismo en cada intervalo porque la acelera­ción es constante. La posición cambia endiferentes cantidades en intervalos igualesporque la velocidad está cambiando.

lIr -----------

2.16 Gráfica aceleración-tiempo (a..-t) pa­ra movimiento rectilíneo con aceleraciónpositiva constante aro

2.17 Gráfica velocidad-tiempo (uz·r) paramovimiento rectilíneo con aceleración po­sitiva constante aro La ...elociclad inicial u..tambien es positi\'3.

(2.7)

(2.8)

o

(sólo con aceleración constante)

a =•Vh - Vb

'1 1I

Sean ahora rl = OY11 cualquier instante arbitrario posterior l. Simbolizamos con Va.

la componente:cde la velocidad en el instante inicial 1-0; la componente:c de la ve­locidad en el instante posterior 1 es vr . Entonces, la ecuación (2.7) se convierte en

Podemos interpretar la ecuación como sigue. La aceleración a r es la tasa cons­tame de cambio de velocidad, o sea, el cambio en la velocidad por unidad de tiem­po. Elténnino a..,t es el producto del cambio en la velocidad por unidad de tiempo,ar , y el intervalo de tiempo 1; por tamo, es el cambio 10lal de la velocidad desde elinstante inicial I = Ohasta un instante f posterior. La velocidad v" en cualquier ins­tante 1es entonces la velocidad inicial va. (en 1= O) más el cambio en la velocidada..,t. Gráficamente, podemos considerar la altura Vr de la gráfica de la figura 2.17en un instante 1 como la suma de dos segmentos: uno con longitud VIb: igual a lavelocidad inicial y otro con longitud a..,t igual al cambio de velocidad durante elintervalo l. La gráfica de velocidad en función del tiempo es una linea recta conpendiente ar que interseca el eje vertical (eje u) en unr.

Otra interpretación de la ecuación (2.8) es Que el cambio de velocidad vr - v(Irde la partícula entre 1 = OYun ( posterior es igual al área bajo la gráfica ar-I entreesos dos instantes. En la figura 2.16, el área bajo la curva ar-I es el rectángulo verdecon lado vertical a~ y lado horizontal l. El área del rectángulo es a..,t, que por la ecua­ción (2.8) es igual al cambio en velocidad V" - VIh- En la sección 2.6 veremos queaun si la aceleración no es constante, el cambio de velocidad durante un intervalo esigual al área bajo la curva ar-', aunque en tal caso la ecuación (2.8) no es válida.

Queremos ahora deducir una ecuación para la posición x de una partícula quese mueve con aceleración constante. Para ello usamos dos expresi<?nes para la ve­locidad media umed-r en el intervalo de , = Oa cualquier t posterior. La primera pro­viene de la definición de v-o-r, ecuación (2.2), que se cumple sea constante o nola aceleración. La posición inicial es la posición en 1 = O, denotada con :Co. La po-

son importantes. Lo mismo sucede con un cuerpo que se desliza por una pendien­le o sobre una superficie horizontal áspera. El movimiento rectilíneo con acelera­ción casi constante se da también en la tecnología, como cuando unjer de combatees lanzado con catapulta desde un portaaviones.

En esta sección deduciremos ecuaciones clave parn el movimiento rectilineo conaceleración constante que nos permitirán resolver una amplia gama de problemas.

La figura 2.15 es un diagrama de movimiento que muestra la posición, veloci­dad y aceleración en cinco instantes distintos de una partícula que se mueve conaceleración Constante. Las figuras 2.16 y 2.17 representan el movimiento con lasgráficas. Puesto que la aceleración ar es constante, la gráfica Qr~t (aceleracióncontra tiempo) de la figura 2.16 es una línea horizontal. La gráfica de velocidad con­tra tiempo tiene pendiente conStante porque la aceleración es constante; por tanto,es una línea recta (Fig. 2.17).

Si la aceleración es constante, es fácil deducir ecuaciones para:c y u en funcióndel tiempo. Comencemos con la velocidad. En la ecuación (2.4) podemos sustituirla aceleración media amed-r por la aceleración constante (instantánea) a;

í

54 CAPÍTULO 2 I MovimienlOenlínearecta

sición en el (posterior es simplemente x. Así, para el intervalo ~t = f - OYel des­plazamiento correspondiente llx = x - xo, la ecuación (2.2) da

•(2.10)

(2.12)(sólo con aceleración constame)

(sólo con aceleración constante)Vil.< + fJx

fJmed-x =2

(Esto no se cumple si la aceleración varia y la gnifica ux·t es una curva, como enla Fig. 2.13). También sabemos que, con aceleración constante, la velocidad ux en uninstante l está dada por la ecuación (2.8). Sustituyendo esa expresión por fJx en laecuación (2.10),

x - Xou....~-- (2.9)

ITambién podemos obtener otra expresión para lJ""'d_.. que es válida sólo si a esconstante, de modo que [a gráfica V[f sea una línea recta (como en la Fig. 2.17) Yla velocidad cambie a ritmo constante. En este caso, la velocidad media en cual­quier intervalo es sólo el promedio de las velocidades al principio y al final del in­tervalo. Para el intervalo de Oa l,

1vrned·x = "2(VQx + vil.< + a;)

1= VO:r + "2axl (s610 con aceleración constante) (2.11)

Por último, igualamos las ecuaciones (2.9) y (2.11) Ysimplificamos el resultado:

I x - Xovil.< + -axt = --- o

2 I

Act¡"VPHyscs

1.1 Análisis del movimiento condiagramas

1.2 Análisis del movimiento congráficas

1.3 Predicción de un movimiento conbase en gréficas

1.4 Predicción de un movimiento conbase en ecuaciones

1.5 Estrategias para resolverproblemas de cinemática

1.6 Esquiador en competencia dedescenso

III

Esta ecuación dice que, en el instante inicial l = O, una partícula está en Xo y tienevelocidad u¡a; su nueva posición x en un 1posterior es la suma de tres ténninos: suposición inicial xo, más la distancia vn./ que recorreria si su velocidad fuera cons­tante y una distancia adicional !axl2 causada por el cambio de velocidad.

Así como el cambio de velocidad de la partícula es igual al área bajo la gráfi­ca 0x-t, el desplazamiento -es decir, el cambio de posición- es igual al áreabajo la gráfica Vx·f. Específicamente, el desplazamiento x - Xo de la panícula en­tre t = OYcualquier instanle 1posterior es igual al área bajo la curva vx·t entre esosdos instantes. En la figura 2.17 el área se dividió en un rectángulo oscuro conlado venical VO:r Y lado horizontall y un triángulo rectángulo claro con lado verti­cal axt y lado horizontal t. El área del rectangulo es v(hI, y la dellriangulo,!(o;) (t) = 101, así que el área total bajo la curva es

Ix - Xo = Uful + '2a;2

lo que concuerda con la ecuación (2.12).El desplazamiento durante un intervalo siempre puede obtenerse del área bajo

la curva vx·t, incluso si la aceleración no es constante, aunque en tal caso la ecua­ción (2.12) no es válida. (Demostraremos esto en la sección 2.6.)

Podemos comprobar si las ecuaciones (2.8) y (2.12) son congruentes con el su­puesto de aceleración constanle derivando la ecuación (2.12). Obtenemos

dxti =-=tI +atxdrU<·t

2.4 I Movimiento con aceleración conslanle 55

que es la ecuación (2.8). Diferenciando otra vez, tenemos simplemente

du.-~a

dI •

Act¡"vPhyscs

Pendienle '" ti"

I...e..--r PendieDte ., Vo."'o ~

,o

1.8 Los cinturones de seguridadsalvan vidas

1.9 Frenado con derrape

1.11 Auto arranca y luego se para

1.12 Resolución de problemas condos vehlculos

1.13 Auto alcanza a camión

1.14 Cómo evitar un choque ~or atrás

2.18 Gnifica de posición contra tiempo(X+/) para movimienlo m;tilineo con acele­ración constante. Esta gráfica se refiere almismo movimiento que las figuras 2.15.2.16 Y2.17. En esle caso, la posición ini·cial xI), la velocidad inicial un. y la acelera­ción o" son positivas.

(sólo con aceleraci6n constante) (2.13)

(s610 con aceleración constante) (2.14)lu", + u.)x-.xo= I2

Podemos obtener una relación más útil igualando dos expresiones para U...o.:r>

ecuaciones (2.9) y (2.10) y multiplicando por t. Obtenemos

u" = UOJ: = constantex = Xo +'u"t

Observe que la ecuación (2.14) no contiene la aceleración O". Esta ecuación es utilcuando 0x es constante pero se desconoce su valot.

Las ecuaciones (2.8), (2.12), (2.13) Y(2.14) son las ecuaciones delmovimien­to CO/1 aceleración conslollte. Con ellas, podemos resolver cualquier problema decinemática que implique movimiento rectilineo de una partícula con aceleraciónconstante.

La figura 2.18 es una gráfica de la coordenada x en función del tiempo paramovimiento con aceleración conslante; es decir, es la gráfica de la ecuación(2.12); la grafica x-f para aceleración constante siempre es una parábola. La cur­va interseca el eje vertical (x) en xl), la posición en f = O. La pendiente de la tan­

gente en t - Oes VQn la velocidad inicial, y la pendiente de la tangente en cualquiert es la velocidad u" en ese instante. La grafica de la figura 2.18 es cóncava haciaarriba. La pendiente y la velocidad aumentan conlinuamente, así que la acelera­ción es positiva. Si o" es negativa, la gráfica x·t es una parábola cóncava hacia abajo.

En el caso particular de movimiento con aceleración constante ilustrado en lafigura 2.15 y graficado en las figuras 2.16, 2.17 Y2.18, los valores de Xo. uQr Yo"son positivos. Vuelw a dibujar las figuras para los casos en que una, dos o las lTescantidades son negativas.

Un caso especial de movimiento con aceleración constante se da cuando la ace­leraci6n es cero. La velocidad es conSlante, y las ecuaciones del movimiento seconvierten sencillamente en

Transferimos el termino Xo al miembro izquierdo y multiplicamos la ecuación JXlr 2ax:

2a.(x - xo) = 2u(lru~ - 2uo} + u} - 2u(lrv" + va}

Por último, al simplificar obtenemos

como era de esperar.En muchos problemas, es útil tener una relación entre posición, velocidad y

aceleración que no incluya el tiempo. Para obtenerla, despejamos I en la ecuación(2.8), susliruimos la expresión resultante en la ecuación (2.12) y simplificamos:

CAPÍTUL02 I Movimienloen línea recia

Movimiento con aceleración constante

v~ '= uQr + a,,1

'= 15 mis + (4.0 mI¡){20 s) '= 23 mis

I ,x=r·+u +-at·.,. (lo 2~

= 5.0m + (15m1s)(2.0s) + ~(4.0m/s2)(2.0sF

= 43 m

está la partícula cuando tiene cierta velocidad (o sea,cuánto vale x cuando f)~ tiene ese valor)? El ejemplo 2.4pregunta "¿Dónde está el motociclista cuando su veloci­dad es de 25 mis'!' En símbolos, esto es "¿Cuánto vale xcuando v~ .. 25 mis?"

4. Haga una lista de las cantidades como x, xo, v,,, !Jo.. a~ y t.En general, algunas serán conocidas y otras no. Escribalos valores de las conocidas y decida cuáles de las varia­bles son las incógnitas. No pase por aito información im­plicita. Por ejemplo, "un auto está parado ante unsemaforo" implica va. = O.

EVALUAR la respuesta: Examine sus resultados para \'er si sonlógicos. ¿Eslin dentro del intervalo general esperado de valores?

EJECUTAR la solución: Escoja una ecuación de las ecuaciones(2.8), (2.12), (2.13) Y(2.14) que contenga sólo una de las incóg­nitas. Despeje la incógnita usando sólo símbolos, sustituya losvalores conocidos y calcule el valor de la incógnita. A veces ten­drá que resolver dos ecuaciones simultáneas con dos incógnitas.

posición"inicial es "1l- 5.0 m y la velocidad inicial es [la.. 15 mis.La aceleración constante es as. 4.0 mls2. Las variables desconoci·das en la parte (a) son: los valores de la posición x y la velocidad v~

en el instante posterior t =< 2.0 s; la incógnita en la parte (b) es el va­lor dex cuando Us '" 25 mis.

EJECUTAR: a) Podemos hallar la posición en I • 2.0 s usando laecuación (2.12) que da la posición x en función del tiempo t:

Podemos hallar la velocidad en ese instante con la ecuación (2.8),que da la \'elocidad u.. en función del tiempo t:

x (este) b) Para la solución de la parte (a), vemos quc la velocidad es v. '"25 mis en un instante posterior a 2.0 s y a más de 43 m del letrero.Por la ecuación (2.13), tenemos

V~2 '= V(lol + 2aAx - "1l)

Cálculos de aceleración constante

·'0,-O

Ejemplo2.4

PLANTEAR el problema siguiendo estos pasos:l. Es preciso decidir al abordar un problema dónde está el

origen de las coordenadas y cual dirección es positiva. El cri­terio suele ser la comodidad. Lo más fiícil suele ser colo­car la partícula en el origen en t - O; así,.l:o - O. Siemprees útil un diagrama de movimiento que muestre estas de­cisiones y algunas posiciones posteriores de la particula.

2. Recuerde que la dirección positiva del eje detennina auto­máticamente las direcciones positivas de la velocidad y laaceleración. Si x es positiva a la derecha del origen, u~ y o"también son positivas hacia la derecha.

3. Primcro replantee el problema con palabras y luego tra­duzca su descripción a símbolos y ecuaciones. ¿Cuandollega la partícula a cierto PUnlO (cuánto vale t)1 ¿DQnde

IDENTIFICAR los conceptos pertinentes: En casi lodos los pro­blemas de movimiento reclilíneo, podrá usar las ecuaciones deaceleración constante, aunque a veces se topará coo situacionesen las que la aceleración no es constante. En tales casos. necesi­tará otra estrategia (véase sección 2.6).

o

•

Estrategia pararesolver problemas

56

PLANTEAR: Tomamos el letrero como origen de coordenadas (x =O) Ydecidimos que el eje +x apunta al este (Fig. 2.19). En t - 0, la

El!!IiI':'IlIIDENTIFICAR: El enunciado del problema nos dice explicitamenteque la aceleración es constante, así que podemos usar las ecuacio­nes para aceleración constante.

~.19 Motociclista viajando con aceleración constante.

Un motociclista que viaja al este cruza una pequeña ciudad de loway acelera apenas pasa el letrero que marca el1imite de la ciudad(Fig. 2.19). Su aceleración constante es de 4.0 mls1. En r- O, esta a5.0 m al este del letrero, moviéndose al este a 15 mis. a) Calcule suposición y velocidad en t - 2.0 s. b) ¿Dónde está el motociclistacuando su velocidad es de 25 mis?

2.4 I Movimiento con aceleración conStante 57

Despejando x y sustiNyendo los valores conocidos, obtenemos Despues, por la ecuación (2.12), tenemos

X (m)

160

120

u.. = 15 mis 8il- 40

O 2 4 6 8 10 121(5)

(bl

1 ,x = Xo + uo.' + 2G~r

1= 5.0 m + (15 m/s)(2.5 s) + '2(4.0m/S2)(2.5 s)2

= 55 m

EVALUAR: ¿Son lógicos los resultados? Según lo que calculamose'lla parte (a), el motociclista acelera de 15 mis (unos 54 kmIh) a23 mis (unos 83 kmIh) en 2.0 s, mientras recorre una distancia de38 m. El resultado de la pane (b) nos dice que, después de otros0.5 s, el motociclista ha avanzado otros 12 m y ha acelerado a 25 mis(90 km/b). Ésta es una aceleración considerable, pero una moto dealto rendimiento bien puede alcanzarla.

EJECUTAR: a) Buscamos el valor del tiempo 1cuando el conductory el policía cstin en la misma posición: x"" '= Xp. Aplicando la ecua­ción (2.12), x ;; Xo + uClI + (1!2 )0';, a cada vehiculo, tenemos

1XM ;; O+ VMnrt + '2(0)t2 ;; UMnrt

1 1Xp '" O+ (0)( + 2'0p,,1

1'" '2apJ1

el cual el policia alcanza al conductor, es decir, cuando los dos ve­hículos estan cn la misma posición. En la parle (b) nos interesa larapidez u del policía (la magnitud de su velocidad) en el tiempo ob­tenido en la parte (a). En la parte (c) nos interesa la posición de cua­lesquiera de los vehiculos en ese liempo. Por lanto, usaremos laecuación (2.12) (que relaciona posición y tiempo) en las panes (a)y (e), y la ecuación (2.8) (que relaciona velocidad y tiempo) en lapane(b).

Puesto que XM ,. Xp en el tiempo 1, igualamos las dos expresiones ydespejamos 1:

Uz '= 3.0m/52

•

Dos cuerpos con diferente aceleración

u} - U0z1

x=xo+ asi,2",

(,.::25c:m1=,'),-'cc-_<"I.;;S.::m1:.:',,-)'=5.0rn+-2( 4.0 O1/s2)

= 55 m

Ejemplo25

= 2.5 s

u.. =uQ:t+a¿ asi

•

o bien, podemos usar la ecuación (2.18) para averiguar en qué ins­tante Uz '= 25 mis:

(.)

O

Un conductor que viaja a velocidad constante de 15 mis pasa por uncruce de escolares cuyo límite de velocidad es de 10 mis. En esemomento, un policía en su motocicleta que está parado en el cruce,arranca para perseguir al infractor, con aceleración constante de 3.0m1r(Fig. 2.208). a) ¿Cuánto tiempo pasa antes de que el policía al­cance al infractor? b) ¿A qué velocidad va el policía en ese instan­te? e) ¿Qué distancia total ha recorrido cada vehícuJo basta ahi?

PLANTEAR: Tomamos como origen el cruce, así que Xo - Oparaambos, y tomamos como dirección positiva a la derecha. Sea Xp laposición del policia y XM la del conductor en cualquier instante. Lasvelocidades iniciales son VI'(b = Opara el policía y U.'Klr = 15 mis pa­ra el conductor; las respectivas aceleraciones constantes son Gpz ,.

3.0 mJr y aMo- - O. Nuestra incógnita en la parte (a) es el tiempo tras

lIiI!!liIiJlIIDENTIFICAR: El policía y el conductor se muc\'cn con aceleraciónconstante (cero en el caso del conductor), asi que podemos usar lasfónnulas que deducimos.

2.20 (a) Movimiento con aeeleracíón COnSlanle que alcanza a movimiento con velocidadconstante. (b) Gráfica de x vs. r para cada vehículo.

58 CAPfTULO 2 I Movimiento en Hnearecla

2V~1O-' 2( 15 mIs)t=O o 1=--= = las

Upx 3.0 m/sl

Hay dos instantes en que los \'ehículos tienen la misma coordenada:c.El primero. t = 0, es cuando el conductor pasa por el cruce dondeestá la motocicleta. El segundo, t'" 10 s, es cuando el policía alcan­za al conductor.b) Queremos la magnitud de la \'c1ocidad del policia v"" en el ins­lame I obtenido en (a). Su \'elocidad en cualquier momento esta da­da por la ecuación (2.8):

up" = Uro. + (lp"f = O+ (10m/52)1

asi que cuando t '" 1Os, up, ., 30 mis. Cuando el policía alcanza alconductor, va al doble de su velocidad.e) En 10 s, la dislancia recorrida por el conductor es

xM = UMk' = (15m1s)(lOs) = 150m

y la distancia que el policía recorre es

Esto comprueba que cuando el policía alcanza al conductor, amboshan recorrido la misma distancia.

EVALUAR: La figura 2.20b muestra las gráficas dc x contra 1 paraambos vehiculos. Aquí vemos también quc hay dos instantes en quela posición es la misma (donde se cruzan las curvas). En ninguno deellos los dos vchículos tiencn la misma velocidad (las curvas secruzan con distinta pendiente). En r = 0, el policia eslá en reposo;en r= lOs, [a rapidez del policía es el doble de la del conduelor.

En tina persecución real, el policía aceleraría a una rapidez ma­yor que la del conductor y luego frcnaria para tener la misma velo­cidad al alcanzarlo. No tratamos este caso aqui porque implicacambio de aceleración (pero véase el problema 2.68).

La figura 2.20b es una gráfica x-' para cada vehículo del ejemplo 2.5. Dibuje unagráfica Vx-t para cada vehículo. ¿Hay un momento en que el conduclOr y el poli­cia tengan la misma velocidad? ¿En qué tiempo sucede?

2.5 I Cuerpos en caída libre

"

2.21 FOlografia con mulliples destellos deuna pelota en caída libre.

El ejemplo más conocido de movimiento con aceleración (casi) constante es lacaída de un cuerpo bajo la influencia de la atracción gravitacional de la Tierra. Es­to ha interesado a rilósofos y cientificos desde la antigüedad. En el siglo IV a.C,Aristóteles pensaba (erróneamente) que los objetos pesados caen con mayor rapi­dez que los ligeros, en proporción a su peso. Diecinueve siglos después, Galileoafirmó que los cuerpos caían con una aceleración constante e independiente de supeso. En la sección 1.1 mencionamos que, según la leyenda, Galileo experimentódejando caer balas desde la Torre Inclinada de Pisa.

Desde entonces, la caída de los cuerpos se ha estudiado con gran precisión. Sipuede descontarse el efecto del aire, Galileo esta en 10 cieno; todos los cuerpos enun lugar específico caen con la misma aceleración hacia abajo, sea cual sea su ta­maño o peso. Si la distancia de caída es pequeña en comparación con el radio te­rrestre, la aceleración es constante. En lo que sigue usamos un modelo ¡dcnlizndoen el que hacemos caso omiso de los efectos del aire. la rotación terrestre y la dis­minución de la aceleración con la altitud. Llamamos a este movimiento idealiza­do caída libre, aunque incluye también el movimielllo ascendente. (En el capitulo3 extenderemos el estudio de la caída libre para incluir el movimiento de proyec­Iilcs, que además se mueven horizontal y venicalmeme.)

La figura 2.21 es una foto de una pelota que cae lOmada con una lámpara es·troboscópica que produce destellos intensos a intervalos iguales. Cada destello es

2,5 1 Cuerpos en caída libre 59

el=O.uy=O

,(= 3.0s,y= -44.1 rot ti)' .. -29.4 mis

Actj'VPhys es1.7 Se deja caer limonada desde

un globo aerostático

1.10 Caída de un saltador congarrocha

11= I.Os.y= -4.910

r.'l~ll>I ' ti)' = -9.8 mis

2.22 Posición y velocidad de una moneda en caída libre desdeel reposo.

Moneda en caida libreEjemplo

2.6

y = Vo;/ + ~a/! = O +1.( -g)t! = (-4.9 mls2)t!2 2

vy = VD)' + ay! = O + (-g)! = (-9.8 mis!)!

EJECUTAR: En un instante arbitrario r, la posición y la velocidad son

tan corto (millonésimas de segundo) que casi no se borran las imágenes de los ob­jetos en movimiento, aunque éste sea rápido. En cada destello, la película registrala posición de la pelota. Como los intervalos entre destellos son iguales, la veloci­dad media de la pelota entre dos destellos es proporcional a la distancia entre lasimágenes correspondientes en la foto. El aumento en las distancias muestra que lavelocidad cambia continuamente; la pelota está acelerando hacia abajo. Al medirconstatamos que el cambio de velocidad es el mismo en cada intervalo, así que laaceleración de la pelota en caida libre es constante.

La aceleración constante de un cuerpo en caida libre se llama aceleración de­bida a la gravedad, y denotamos su magnitud con g. Por 10 regular, usaremos elvalor aproximado de g cerca de la superficie terrestre:

g := 9.8 m/s2 = 980 cm/s2

= 32 ft/s 2 (valor aproximado cerca de la superficie terrestre)

El valor exacto varía según el lugar, asi que normalmente sólo lo daremos con doscifras significativas. Dado que g es la magnitud de una cantidad vectorial, siem­pre es positiva. En la superficie de la Luna, la aceleración debida a la gravedad sedebe a la fuerza de atracción de la Luna, no de la Tierra, y g = 1.6 mls2

• Cerca dela superficie del Sol, g = 270 m/s2

.

En los ejemplos que siguen usamos las ecuaciones que deducimos en la sec­ción 2.4. Sugerimos al lector repasar las estrategias de resolución de problemas deesa sección antes de estudiar estos ejemplos.

PLANTEAR: Tomaremos el origen O como el punto de partida, el ejede coordenadas es vertical y la dirección hacía arriba es positiva(Fig. 2.22). Como el eje de coordenadas es vertical, llamaremos a lacoordenada y en vez de x. Sustituiremos todas las x de las ecuacio­nes de aceleración constante por y. La coordenada inicial Yo Yla ve­locidad inicial VOy son cero. La aceleración es hacia abajo (en ladirección y negativa), asi que ay= -g = -9.8 mis!. (Recuerde que,por definición, g siempre es positiva.) Por tanto, nuestras íncógnitasson los valores de y y vyen los tres instantes especificados. Para ob­tenerlos usamos las ecuaciones (2.12) y (2.8), sustirnyendo x por y.

Se deja caer una moneda de un euro dcsdc la Torrc Inclinada de Pi-sa; parle del reposo y cae libremente. Calcule su posición y velo­cidad después de 1.0, 2.0 Y3.0 s.

lE!!I!r:DIDENTIFICAR: '·Cae libremente" significa "tí ene una aceleraciónconstante debida a la gravedad", asi que podemos usar las ecuacio­nes para aceleración constante en la detcrminación dc nuestras in­cógnitas.

60 e AP fT u lO 2 Movirnienlo en línea recta

Cuando l. 1.0 s,y - (-4.9 mJs1)(I.O 5)2 '"' -4.9 m y uy - (-9.8m1s2)(I.0 s) = -9.8 mis; después de un segundo, la moneda está 4.9m debajo del origen (y es negativa) y licne una velocidad hacia aha­jo (uyes negativa) con magnimd de 9.8 mis.

La posición y la \'elocidad a los 2.0 y 3.0 s se obtienen de la mis­ma forma. Los resultados se muestran en la figura 2.12; verifiquelos valores numencos.

EVALUAR: Todos los valores que obtuvlmos para u, son negalivosporque: decidimos que el eje +y apuntaría hacia arriba, pero bienpodríamos haber decidido que apuntara hacia abajo. En tal caso, laaceleración habría sido ay: +g y habriamos obtenido valores posi­tivos para 11,.. No importa que eje escoja; sólo asegUrese de decirloclaramente en su solución y confinne que la aceleración tenga elsigno correcto.

Movimiento ascendente y descendente en caida libre

Cuando 1- 4.00 5, las ecuaciones para y y u, en función delliempo I dan

La pelota pasó su punto más alto y esta 18.4 m debajo del origen (yes negativa); ticne velocidad hacia abajo (uy es negativa) de magni­tud 24.2 mis, mayor que la rapidez inicial, lo que es lógico para lospuntos por debajo del punto de lanzamienlo. Para oblener estos re­sullados, no necesitamos conocer el punto más alto alcanzado nicuándo se alcanzó; las ecuaciones dan la posición y la velocidaden cualquier instante, esté subiendo la pelota o bajando.b) La velocidad u,en cualquier pos[ciónyestá dada por la ecuación(2.13) cambiando lasx pory

v/ = vo/ + 2a,(y - Yo) = vo:>~ + 2( -g)(y - O)= (15.0 mls)~ + 2( -9.80 mis2)y

u, = -24.2 misy=-18.4m

Ejemplo2.7

Imagine que usted lanza una pelota venicalmente hacia arriba des­de la azotea de un edificio. La pelota abandona la mano en un pun­to a la altura del barandal de la azolea con velocidad ascendeme de15.0 mis, quedando en caida libre. Al bajar, la pelola libra apenas elbarandal. En este Jugar,g = 9.8 mls2. Obtenga a) la posición y velo­cidad de la pelota 1.00 s y 4.00 s después de soltarla; b) la veloci­dad cuando la pelota está 5.00 ro sobre el barandal; e) la alturamáxima alcanzada y el instante en que se alcanza; y d) la acelera­ción de la pelota en su altura máxima.

lEl!millIIDENTIFICAR: Las palabras "caida libre" en el enunciado del pro­blema implican que la aceleración es constante y debida a la grave­dad. Las incógnitas son la posición [en las partes (a) y (c)], lavelocidad [en las panes (a) y (b)] Yla aceleración [en la parte (d»).

2.23 Posición y velocidad de una bola lanzada hacia arriba.

y (m)

l',.

PLANTEAR: En la figura 2.23, la trayectoria descendente se mues·Ira desplazada un poco a la derecha por claridad. Sea el origen elbarandal, donde la pelota abandona la mano, y sea la dirección po­siliva hacia arriba. Primero, reunamos los dalOS. La posición inicialYo es O, la velocidad inicial uOyes +15.0 mis y la aceleración es Q, =g" -9.80 mls1. Usaremos otra vez las ecuaciones (2.12) y (2.8) pa­ra calcular la posición y la velocidad, respectivamente, en funcióndel tiempo. En la parte (b), nos piden hallar la velocidad en ciertaposición, no en cierto tiempo, así que nos convendrá usar la ecua­ción (2.13) en esa pane.

EJECUTAR: a) La posición y y la velocidad v y en cualquier instanle, una vez que se suelta la pelola están dadas por las ecuaciones(2.12) y (2.8), cambiando x por y:

y = Yo = vOy' + ±ayt2 = Yo + vOyt + ±< -g)1 2

= (O) + (15.0miS)I+~(-9.80mls2)t2

v, = VOy + a,' = VOy + (-g),

= 15.0 mis + ( -9.80 mls2),

Cuando t = 1.00 s, estas ecuaciones dan

y=+lO.lm u,=+S.2m1s

La pelota está 10.1 m sobre el origen (y es positiva) y se mueve ha­cia arriba (uyes positiva) con rapidez de 5.2 mis, menor que la rapi­dez inicial de 15.0 mis, como se esperaba.

1--·~'roo'

L

10

,o

-10

-1'

-2J)

-25

2.5 I Cuerpos en caída libre

Observe que con la primera forma no es necesario calcular primeroel tiempo.

61

y(m) u, (mis)

15 15

10 lO

55

O t (5)O r (5) 4

-5-5

-10-10 -15

-15 -20

-20 -25

(,) lb)

La verdad es que, en el punto más alto, la aceleración sigue siendoay = -g= -9.80 mlsl, la misma que cuando está subicndo y cuan­do está bajando. La pelota se detiene un instante en el punto más aito,pero su velocidad está cambiando continuamente, de valores posi­tivos a negativos, pasando por O.

EVALUAR: Una forma útil de verificar cualquier problema de mo­vimiento es dibujar las gráficas de posición y de velocidad en fun­ción del tiempo. La figura 2.24 muestra esas gráficas para esteproblema. Observe que la gráfica vy-t tiene pendiente negativaconstante. Ello implica que la aceleración es negativa (hacia abajo)al subir, en el punto más alto y al bajar.

velocidad de la pelota ya no cambiaría y, al estar instantáneamen­te en reposo, permanecería en reposo por siempre.

Queremos despejar t cony - -5.00 m. Puesto que la ecuación in­cluye r!, es una ecuación cuadrática en l.

2.24 (a) Posición y (b) velocidad en función del tiempo para unapelota lanzada hacia arriba con una velocidad inicial de IS mis.

EJECUTAR: Primero replanteamos la ecuación en la fonna cuadrá­tica estándar para x desconocida, A.r +Ex + e = o:

¿Dos soluciones o una?Ejemplo

28

Con la bola a 5.00 m sobre el origen, Y = +5.00 m, así que

v/ = (15.0 mIs)" + 2( -9.80 m/sL)(S.OO m) = 127 mL/s2

v,= ~11.3m1s

Obtenemos dos valores de v]~ uno positivo y uno negativo, pues lapelota pasa dos veces por este punto, una subiendo y otra bajando.La velocidad de subida es +11.3 mis, y de bajada, -11.3 mis.e) En el punto más alto, la pelota deja de subír (vy positiva) y co­mienza a bajar (vy negativa); en el instante en que llega al pun­to más alto, vy = O. La altura máxima YI puede obtenerse de dosformas. La primera es usar la ecuación (2.13) y sustituir uy= O, Yo=Oyay=-g:

0= VCJ>2 + 2(-g)(Yl - O)

U[}y2 (1S.0 mlS)2YI =z;¡= 2(9.80mls2) = +l1.Sm

La segunda es calcular el instante en que vy = Ousando la ecuación(2.8), uy= VOy + a;, y sustituir este valor de t en la ecuación (2.12)para obtener la posición en ese instante. Por la ecuacíón (2.8), elinstante 11 en q~e la bola llega al punto más alto es

v}' = O = u[}y + (-g)t l

VO>' IS.0 mIs1=-= =I.S3s

1 g 9.80 mls2

Sustíruyendo este valor de 1en la ecuación (2.12), tenemos

1Y=Yo+VOyl+ 2Q}'t

2 = (O) + (15m1s)(1.53s)

+ ±(-9.8m1s1)(1.S3S)l = +l1.Sm

d) Es ljJl error común pensar que en el punto más altodel movimiento la velocidad es cero y la aceleración es cero. Sifuera así, ila pelota quedaría suspendida en el punto más altoeternamente! Recuerde que la aceleración es la tasa de cambio dela velocidad. Si la aceleración fuera cero en el punto más alto, la

Determine el instante en que la pelota del cjemplo 2.7 cstá 5.00 mpor debajo del barandal.

llEl!l'!lmIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: Otra vez escogemos el ejey como enla figum2.23, así que Yo, vO¡iy a:r= -g tienen los mismos valores queen el ejemplo 2.7. Otra vez, la ecuación (2.12) day en función de t:

y = Yo + vo,t + ±ayt2

=)'0 + V[}yl + ±( _g)t2

62 CAPiTULO 2 I MovimieDtoeD línea recta

oon A = gf1., a - -vOy y c"" y - Yo- Usando la fónnula cuadrática(apéndice B), vemos que la ecuación tiene dos soluciones:

-B" val 4AC

2A

-(-o.)" \I( o,)' 4(812)(,

2(gl2)

Sustituyendo los valores Yo .. O, vlll' = +15.0 mfs,g - 9.80 m/s1Yy., - 5.00 m, obtenemos

(15.0mls) :!: V(IS.Omfs)l 2(9.80mls1)( S.rom O)t :: ,

9.80 mis-/::+3.36s o t=-0.30s

Para decidir cuál de éstas es la respuesta correcta, la pregunta clavees: "¿Son lógicas estas respuestasT La segunda, / = -0.30 s. sim·plelllente es absurda; ¡se refiere a un instante OJO s antes de sollarla pelota! Lo correcto es I = +3.36 s. La pelota está 5.00 m debajodel barandal 3.36 s despues de abandonar la mano.

y :: Jo + 1}C\r' + H_g)1 1. Esta ecuación incorpora el supuesto deque la aceleración es constante para lodos los valores de 1, positi.vos, negativos o cero. Tal cual, esta «uación nos diría que la pelo­ta se ha estado moviendo hacia arriba en caída libre desde losalbores del tiempo y pasó por la mano en y - Oen el instante espe­cial que decidimos llamar r = O, y continuó su caida libre. Sin em­bargo, todo lo que esta ecuación describa como sucedido antes deI = Oes ficción, ya que la pelota entró en caida libre sólo despuésde abandonar la mano en I = O; la '·solución" (- -OJO s es parte deesta ficción.

Repita estos cálculos para detenninar cuándo la pelota está 5.00m sobre el origen 0'· +5.00 m). Las respuestas son I = +0.38 s y1 - +2.68 s; ambos son valores positivos de 1y se refieren al movi­miento real de la pelota una Ve-L soltada. El primer inslallte es cuan­do la pelora pasa por y = +5.00 m de subida, y el segundo, cuandopasa por ahí de bajada. (Compare esto oon la parte (b) dd ejemplo2.7.) Detennine también los inslantes en quey = +15.0 m. En estecaso, ambas soluciones requieren obtener la raíz cuadrada de unnumero negativo, asi quc no hay soluciones reales. Esto es lógico;en la parle (e) del ejemplo 2.7 vimos que la altura máxima de la pe­lota esy = +11.5 m, así que nunca llega ay - +15.0 ffi. Aunque unaecuación cuadrática como la (2.12) siempre tienc dos soluciones, aveces una o ambas no tienen sentido físico.

l'

EVALUAR: ¿De dónde salió la "solución" erronea I = -0.30 s? Re­cuerde que partimos de la ecuación (2.12) eon al''' -g, es decir,

Si lanza una pelota hacia arriba con ciena velocidad, cae libremente y alcanza unaaltura máxima 11. ¿Qué alturn máxima alcanza la pelota si se le lanza con una ve­locidad inicial dos veces mayor?

I

Aceleración: conocidaVelocidad: por determinarPosición: por determinar

2.2S la. posición Yvelocidad de un aviónque cruza el AlÜntico se obtienen ime­graDdD su acde:rac-ión respectO al tiempo.

*2,6 I Velocidad y posici6n por integraci6n

Esta sección opcional es para estudiantes que ya aprendieron algo de cálculo inte­gral. En la sección 2.4 analizamos el caso especial de movimiento rectilíneo conacelernción constante. Si QJI no es constante, como es común, no podemos aplicarlas ecuaciones que deducimos en esa secG,Íón. Pero aun si OJl varia con el tiempo,podemos usar la relación UJI = d:cldl para obtener la \'elocidad en función del tiem­po si x es una función conoc~a de t, y podemos usar oJl = duJdt para obtener laaceleración oJlen función del tiempo si UJI es una función conocida de l.

En muchas situaciones físicas, sin embargo, no conocemos la posición y la ve·locidad en función del tiempo, pero sí la aceleración. ¿Cómo obtenemos la posi­ción y la velocidad a partir de la función de aceleración axCl)? Este problema surgeal volar un avión de Norteamérica a Europa (Fig. 2.25). La tripulación del avióndebe conocer su posición precisa en todo momento, porque el espacio aéreo sobreel Atlántico none está muy congestionado. Sin embargo, un avión sobre el océanosuele estar fuera del alcance de los radiofaros terrestres y del radar de los contro­ladores de tráfico aéreo. Para determinar su posición, los aviones cuentan con un

2.6 I Velocidad y posición por integración 63

"

2.26 Cuando pisamos el pedal del acelera·dor de un auto. la acelcración resultante noes constantc: cuanto mayor sea la rapidezdel auto, mas lentamente adquirirá rapidezadicional. Un auto ordinario tarda el dobleen acelerar de SO kmlh a 100 kmIh que enacelerar de Oa SO km/h.

2.27 El área bajo una curva a.-t entre lostiempos 11 y l zes igual al cambio de veloci­dad, v,4 - v lx que se da en ese lapso.

(2.15)

(2.16)

El cambio cn Vx es la integral de la aceleración a x respecto al tiempo.Podemos seguir exactamente el mismo procedimienlo con la curva de veloci­

dad contra tiempo, donde Vx es en general una función de /. Si XI es la posición deun cuerpo en tI> y X2 es su posición en '2' por la ecuación (2.2) el desplazamiento~x en un intervalo~' pequeño es vmtO-xA1, donde vlJci.x es la velocidad media du·raOle At. El desplazamiento t~31 x2 - XI duranle'2 - /1 está dado por

Gráficamente, 6.v,. cs igual al área de la tira sombreada con altura Gme<l_x Y anchu­ra At, es decir, el área bajo la curva entrc los lados derecho e izquierdo de At. Elcambio total de velocidad en cualquier intcrvalo (digamos, ti a t1) es la suma delos cambios Aux en los subintervalos, y sc representa gráficamente con el área to­ta/bajo la curva 0x·/ entre (1 y (2' (En la sección 2.4 demostramos que esto se cum­plía para el caso especial en que a es constante.)

En el limite donde los ~ se hacen muy pequeños y numerosos, el valor de 0lllfd.x

para el intervalo de cualquier (a / + At se acerca a la aceleración instantánea 0xenel instante t. En este límite, el área bajo la curva 0x·( es la integral de 0x (que en ge­neral es una función de t) de 1, a 12, Si Vtx es la velocidad del cuerpo en /1 y u¡, esla velocidad en t2'

sistema de navegación inercial (lNS) que mide la aceleración del avión. Eslo sehace de forma análoga o como sentimos cambios en la aceleración de un aUlO en elque viajamos, aun con los ojos cerrados. (En el capitulo 4 veremos cómo el cuer­po detecta la aceleración.) Dada esla información y la posición inicial del avión(digamos, una puerta dada en el aeropuerto Kennedy) y la velocidad inicial (cerocuando esta estacionado en esa puerta), el fNS calcula y muestra la velocidad yposición actuales dcl avión en todo momento durante el vuelo. Nuestro objetivoen el resto de esta sección es mostrar cómo se efectúan estos cálculos en el casomás sencillo de movimiento rcctilineo con aceleración variable en el tiempo. Lafigura 2.26 muestra un cjemplo cotidiano de movimiento rectilineo con acelera­ción variable.

Primero consideraremos un enfoque gráfico. La figura 2.27 es una gráfica 0x·/

para un cuerpo cuya aceleración aumenta con el tiempo. Podemos dividir el inter­valo entre los tiempos ti y t1 en muchos intervalos más pequeños, llamando tlt auno representativo. Sea 0mN'x la aceleración media durante tl/. Por la ecuación(2.4), el cambio de velocidad tlux durante tlt es

El cambio en la posición x ---o sea, el desplazamiento-- es la integral en el tiem­po de la velocidad uX' Gráficamente, el desplazamiento entre ti y t2 es el área ba­jo la curva Vx·l entre esos dos instantes. (Éste es el resultado que obtuvimos en lasección 2.4 para el caso en que V x está dado por la ecuación (2.8).)

Si /] = OY t2 es cualquier inslante posterior 1, y si Xo y VO,r son la posición y lavelocidad en I "'" O, respectivamente, podemos reescribir las ecuaciones (2.15) y(2.16) así:

64 CAPÍTULO 2 I Movimiento en línea recta

Movimiento con aceleración cambiante

Aquí, x y Ve< son la posición y la velocidad en el instante t. Si conocemos la acele·ración a.. en función del tiempo y la velocidad inicial vOx' podremos usar la ecua·ción (2.17) para oblencr v.I en cualquier instante; es decir, podemos obtener Vz enfunción de r. Una vez conocida esta función, y dada la posición inicial xCh pode­mos usar la ecuación (2.18) para calcular x en cualquier instante.

(2.17)

(2.18)

1.0

O,,+-~---:~--L~""'-":---:L I(s)

5 10 15 20 30

-1.0

o+-~~-~~---:~~(s)O .5 10 15 20 2S 30

10

20

600

x(m)

800

v. (mis)

30

O"+-~-~-,L---:':--,L---:'::- 1(5)

.5 10 15 20 25 30

200

400

u.. = un. + i'a..-dt

x = xl) + i'VAdr

b) El valor máximo de u, se da cuando v.. deja de aumentar y co­mienza a disminuir. En este instante, du,/dl- a.... O. Igualando a Ola expresión de la aceleración,

0= 2.0 mis! - (0.10 m/s))t

2.0 mls¡t= =20s

0.10 misl

Ejemplo2.9

Sara conduce su Muslang 1965 por una autopista recta. En el ins­tante r'" O, cuando Sara avanza a 10 mis en la dirección +x, pasa un le­trero que está en x-50 m. Su aceleración es una función del tiempo:

a~ "" 2.0 mls2 - (0.10 m/sJ)r

Luego usamos la ecuación (2.18) para oblener x en función de r:

x = 50 m + i'[ 10 mIs + (2.0 mls2 )r - ~(O.IO mlsJ)t~ ]dt1 1

= 50 m + (10 m/s)t + 2"(2.0mls2 )r2 - 6(0.10 mls.l)t J

ti" = 10m/s + i'[2.0mlS1 - (O.IOm/sJ )t]dt

= 10m/s + (2.0m/s1)r- ~(0.1Om/~)r2

a) Deduzca expresiones para su velocidad y posición en función deltiempo. b) ¿En qué momento es máxima su velocidad? c) ¿Cuál esesa velocidad? d) Dónde está el aulo cuando alcanza esa velocidad?

lE!!mIIDENTIFICAR YPLANTEAR: La ace1entción es función delliempo,así que.nn podemos usar las fórmulas para aceleración constante dela sección 2.4. Debemos usar las ecuaciones (2.17) y (2.18) paraobtener la velocidad y la posición, respe<:tivamenle, en función delliempo. Una vez que tengamos esas funciones, podremos cOnlestardive~as preguntas acerca del movimiento.

•EJECUTAR: a) En I - 0, la posición de Sara es xo'" 50 m y su ve-locidad es Vnr - 10 mis. Puesto que se nos da la aceleración a, enfunción del tiempo, primero usamos la ecuación (2.17) para obte­ner la velocidad v~ en función delliempo r. La integral de l' esJ,~dt c:o .-±-ir·"I con rl *' -l. asi que

1

I

La figura 2.28 muestra las gráficas de x, ti.. y a~ en función del tiem­po. Observe que, para cualquier t, la pendienle de la curvax-t es igualal valor de ti... y la pendiente de la curva v.-r es igual al valor de a...

2.28 Posición. velocidad y aceleración del auto del ejemplo 2.9como funciones del tiempo. ¿Puede demostrar que, de continuar elmovimiento, el aUIO parará en t = 44.5 s?

2.6 I Velocidad y posición por integración 65

c) Obtenemos la velocidad máxima sustituyendo 1 = 20 s (cuando ves máxima) en la ecuación general de velocidad:

1vmÓJl_~ = lO mis + (2.0 m/s2 )(20 s) ~ 2(0.10 mis')(20 S)2

= 30 mis

d) El valor máximo de v~ se da en I '" 20 s. Obtenemos la posicióndel auto (el valor de x) en ese instante sustituyendo t = 20 s en la ex­presión general de x:

1x= SOm + (IOm/s)(20s) + 2(2.0 m/s2)(20 S)2

- ~(O.1O mis')(20 s)'

517 m

EVALUAR: La figura 2.28 nos ayuda a interpretar los resultados. Lacurva inferior de esa figura muestra que Q~ es positiva entre r= OY1=20 s y negativa después, y es Oen I =20 s, cuando v~ es máxima(punto .1110 en la curva de en medio). El auto acelera hasta 1'" 20 s (por­que v~ y Q~ tienen el mismo signo) y frena después de 1'" 20 s (porquetienen signos opuestos).

Puesto que v~ es máxima en 1 '" 20 s, la gráfica x-t (la de arribaen la Fig. 2.28) tiene su pendiente positiva máxima ahí. Observeque la curva es cóncava hacia arriba entre f = OY1 = 20 s, cuando Q~

es positiva, y es cóncava hacia abajo después de f= 20 s, cuando Q, esnegativa.

Ejemplo2 10 Fórmulas de aceleración constante por integración

Use las ecuaciones (2.17) y (2.18) para obtener v, y x en funcióndel tiempo para el caso de Q, constante. Compare los resultados conla~ fórmulas de aceleración constante v, - Va,- + al (ecuación 2.8)y x = Xo + Vo,1 + ~a,t2 (ecuación 2.12) que deducimos en la sec­ción 2.4 sin usar integración.

lE!!I3liJlIEJECUTAR: Por la ecuación (2.17), la velocidad está dada por

Pudimos sacar Q, de la integral porque es constante. El resultado esidéntico a la ecuación (2.8), como debe ser. Si sustitiuimos esta ex­presión para V, en la ecuación (2.18), obtendremos,

x = Xo + i'U~dl = Xo + i'(vo, + a,r)dr

dado que Vo.. Yax son constantes, pueden sacarse de la integral:

i' i' 1 ox=xo+va,- dt+ax Idl=Xo+voxl+-a.r-

"" 2

EVALUAR: Este resultado es igual a la ecuación (2.12). Nuestrasexpre~iones para Vxy x, ecuaciones (2.17) y (2.18), que deducimospara manejar casos en que la aceleración depende del tiempo, pue­den servimos también cuando la aceleración es constante.

I

Si la aceleración a~ está aumentando con el tiempo, ¿la gráfica v,--! será una línearecta, una curva cóncava hacia arriba o una curva cóncava hacia abajo?

,

66 CAPfTUL02 I Movimientocn línea recUl

RESUMEN

Cuando una partícula se mueve en línea recta,describirnos su posición respecto al origen O me­dianle una coordenada como x. La velocidadmedia de la panicula, 11........, durante un intervalo.11 = 12 - tI es igual a su desplazamiento Ó-t '"' Xl

- .TI dividido entre t:.t. (Véase ejemplo 2.1.)

La velocidad instantanca v~ en cualquier instante I esigual a la velocidad media en el intervalo de tiempode tal + 1::.1 en cllímite cuando.1r se acerca a cero. Defonna equivalente, v, es la derivada de la función deposición respecto al tiempo. (Véase ejemplo 2.1.)

.x dxlJ = lím-=­r .l,~otl.l dI (2.3)

x(m)

"Xl 160mV x - ""4':07

;00

'00

'00

"O , 3 X

j 1(5)

"

,,:t.u,,

- __ }.!. __I

l'm<li<D< do lo~ •

~"""""""",O

Vz,. ~ ~.!'

Ptoo!<mo de lo IlDellp,p, - O<'<I",.,ió

~"(2.5)

(2.4)La aceleración media 0_ durante un intervalo i1t esigual al cambio de velocidad !::.u~ = U;!r - Ub duranteese lapso dividido entre 1::.1. La aceleración instantánea0x es el limite de a,l\<d.x cuando ti! se apro¡{ima a cero,o la derivada de vr respecto a l. (Véanse ejemplos 2.2y 2.3.)I¡Cuando la aceleración es constante, cuatro sólo aceleración constante: x

• ecuaciones relacionan la posición x y la ve- lJx = Vilo + U.,1 (2.8)Pendienle - v,

locidad v. en cualquier instante t con la posi-,

1ción inicial Xo. la velocidad iniciallJo. (ambas x = Xo + lJa,;I + "2l1,;l2 (2.J2)

en l "" O) y la aceleración aro (Véanse ejem-v} = vol + 2a..(x - xo) (2.13) Peooi<nle - vOl>

plos 2.4 y 2.5.) ,." ___ .J,("~ + "'l (2.14) o.~~xo= 2 t

La caída libre es un caso del movimiento con aceleración constante. La magnitud de laaceleración debida a la gravedad es una cantidad positiva g. La aceleración de un cuerpoen caida libre siempre es hacia abajo. (Véanse ejemplos 2.6 II 2.8.)

,o¡"_o.,,.o,¡-1.0s.y- ~4.9m

"'!O m v, • -9.8 mI,

~20m J'. 2.0 •. y= -19.6mv, = -19.6 mis

-JOm

Cuando la aceleración no es constante, sino una función 1;0­

nocida delliempo, podemos obtener la velocidad y la posi­ción en función delliempo integrando la función de laaceleración. (Veanse ejemplos 2.9 y 2.1 O.)

Notas delleclor

lJ~ = Ulb. + i'o. dt (2.17)

x = Xo + fu. dr (2.18)

"

"-' ----

"

67

Términos clave

aceleración debida a la gravedad, 59aceleración instantánea, 49aceleración media, 48caída libre, 58derh'ada,44

Notas del lector

diagrama de movimiento, 47gráfica o,,-t, 53gráfica v,,-t, 50gráfica x-t, 43

partícula, 41rapidez, 44vclocidad instantánea, 44velocidad media,41

68 CAPfTUL021 Movimienloenlíneareeta

Respuesta a la pregunta inicialdel capítulo

Si. Aceleración se refiere a cualquier cambio de velocidad, ya seaque aumente o disminuya.

Respuestas a las preguntas de Evalúesu comprensión

Sección 2.1 Tanto el camión como el auto tienen el mismo despla­zamiento lotal ax (del punto A al punto B) durante el mismo inter­valo de tiempo 6.1. Por tanto, tienen la misma velocidad mediatI__~ - 6xJAJ. Los detalles de lo que sucede durante el intervalo detiempo no importan.Sección 2.2 La velocidad es positiva cuando la pendiente de lagráfica.x-I es positiva (punto P), negativa cuando la pendiente esnegativa (punto R) y cero cuando la pendiente es cero (puntos QyS). La rapidez es máxima en los tiempos en los que la pendiente dela gráfica x-¡ es más empinada (positiva o negativa). lo cual sucedeen el punto R.Sección 2.3 La aceleración es positiva cuando la curva X-l es cón­cava hacia arriba, como en el punto S, y negaliva cuando la curva esconcava hacia abajo, como en el punto Q. La aceleración es eerocuando la grafica X-l es una linea recta, como en los puntos P y R.

En P, u~ > Oy a~" O(la rapidez no está cambiando); en Q, u. > Oy a~ < O([a rapidez está disminuyendo); en R, u, < Oy a," O(larapidez no está cambiando); y en S, u~ < Oy a, > O(la rapidez es­tá disminuyendo).Sección 2.4 El conductor y el policía tienen la misma velocidad en(=5.0s.

u~ (mfs)

30

" Polida

20

"10

Cood_

,5

I (.~)

O 2 4 6 , 10 12

Sección 2.S Use la ecuación (2.13) sustituyendo x por y y a, = g;uf = uo; - 2g(y - )b). Laalnrra inicial esYo=Oylavelocidadala altura máxima y • h es u, = O, así que O = uo,~ - 2gh Yh = orin,. Si la velocidad inicial aumenta en un factor de 2, la al­tura máxima awnentará en un factor de 22 = 4 Y la pelota alcanzarála altura 4h.Sección 2.6 La aceleración lI, es igual a la pendiente de la gráficau.-t. Si a~ está aumentando, la pendiente de la gráfica v,-/tambiénaumenta y la curva es cóncava hacía arriba.

Preguntas para análisis

P2.1 ¿El velocímetro de un automóvil mide rapidez o velocidad?Explique.P2.2 En un intervalo de tiempo dado, un auto acelera de 15 mis a20 mis mientras un camión acelera de 36 mis a 40 mis. ¿Cuál vehícu­lo tiene mayor aceleración media? Expliquc.P2.3 ¿Un objeto con aceleración constante puede invertir la direc­ción en la que se mueve? Explique.P2.4 ¿En qué condiciones la velocidad media es igual a la veloci­dad instantánea?P2.5 En un tiempo dado, ¿el dt$plazamiento total de una partículaes igual al producto de la velocidad media y el intervalo de tiempo,aun si la velocidad no es constante? Explique.P2.6 ¿En qué condiciones la magnitud de la velocidad media esigual a la rapidez media?P2.7 Cuando un Dodge Viper está en el negocio "Lavamóvil", unBMW 23 está en las calles Olmo y Central. Luego. cuando el Dod­ge llega a Olmo y Central, el BMW llega a "Lavamóvil". ¿Qué re­lación hay entre las velocidades medias de los autos entre esosinstantes?P2.8 Un conductor en el estado de Massachusens fue citado a lacorte porexeeso de velocidad. La prueba contnl el condu<:torent queuna mujer policía observó al auto del conductor junto a un segundoauto, en un momento en el que la mujer policía ya habia detennina­do que el segundo auto excedía el límite de velocidad. El conductoralegó que: "el otro auto me estaba rebasando, yo no iba a exceso develocidad". El juez dictaminó contra él porque, según dijo, "si losautos estaban juntos, ambos iban a exceso de velocidad". Si ustedfuera el abogado del conductor, ¿cómo defendería su caso?P2.9 ¿Podemos tener despl:muniento Oy \'elocidad media distinta deO? ¿velocidad distinta de rn Ilustre sus respuestas en una gráflCax-l.P2.10 ¿Podemos tener aceleración Oy \'elocidad distinta de O? Ex­plique, usando una gráfica 1),-1.

P2.11 ¿Podemos tener velocidad cero y aceleración media distintade cero? ¿Velocidad cero y aceleración distinta de cero? Explique,usando una gráfica 1),-[ y dé un ejemplo de dicho movimiento.P2.12 Un automóvil viaja al oeste; ¿puede tener una velocidad ha­cia el oeste y simultáneamente una aceleración hacia e[ este? ¿Enqué circunstancias?P2.13 El camión del juez en la figura 2.2 está en Xl = 277 m en'.= J6.0 s, y en x! = 19 m en 1! = 25.0 s. a) Dibuje do! posibles gráfi­cas x-, distintas para el movimiento del camión. b) ¿la velocidadmedia I)meW en el intervalo de 1, a /2 puede lene' el mismo valor enambas gráficas? ¿Por qué?P2.14 Con aceleración constante, la velocidad media de una par­tícula es la mitad de la suma de sus velocidades inicial y final. ¿Secwnple esto si la aceleración no es constante? Explique.P2,15 Usted lanza una pelota verticalmente hasta una altura máxi­ma mucho mayor que su estatura. ¿Es la magnitud de la acelera­ción mayor mientras se lanza o después de que se suelta? Explique.P2.16 Demuestre lo quc sigue. i) En tanto puedan despreciarse losefectos del aire, si se lanza algo verticalmente hacia arriba tendrá lamisma rapidez cuando regrese al punto de lanzamiento que cuandose soltó. ii) El tiempo de vuelo será el doble delliempo de subida.

IV

69

8 \O 12 14 1610 16 19 22 22

Ejercicios

Tiempo(s) O 2 4 6Rapidez (mis) O O 2 6

Figura 2.29 Ejercicio 2.10.

100

200

300

-oJ"''-"-~-~~~-~-:--'o- 1 (mio)O 2345678

400

Sección 2.2 Velocidad instantanea2.9 Un auto está parado ante un semáforo. Después viaja en línearecta y su distancia respecto al semáforo está dada por .T(t) - bt ­etl

, donde b: 2.40 mls2 y e = 0.120 mlsJ • a) Calcule la velocidadmedia del auto entre ,: Oy t = 10.0 s. b) Calcule la velocidad ins­tantánea en i) 1: O: ii) t - 5.0 s; iii) t: 10.05. c) ¿Cuánto tiempodespuCs de arrancar vuelve a estar parado el auto?2.10 Una profesora de fisica sale de su casa y camina bacia elcampus. A los 5 min, comienza a llover y ella regresa a casa. Su dis­tancia respecto a su casa en función del tiempo se muestra en lafigura 2.29. ¿En cuál punto rotulado es su velocidad a) cero? b)constante y positiva? c) constante y negativa? d) de magnitud cre­ciente? e) de magnitud decrecieIJte?

2.6 Geología. Los sismos producen varios tipos de ondas de eho­que. Las más conocidas son las ondas P (primarias Ode pn'!Sión) ylas ondas S (secundarias o de cone). En la eoneza terrestre, las on­das P viajan a cerca de 6.5 km/s mientras que las S lo hacen a unos3.5 km/s. Las rapideces reales varian dependiendo del tipo de ma­lerial que atraviesan. La diferencia de tiempo entre la llegada de es­tos dos tipos de ondas en una estación de registro sísmico revela a losgeólogos la distancia a la que se produjo cl sismo. Si el retraso es de33 s, ¿a qué distancia de la estación sísmica se produjo el sismo?2.7 a) Su vieja Combi VW trnquetea con una rapidez media de 8.0 misdurante 60 s, luego eDlra en calor y corre otros 60 s con una rapidezmedia de 10.0 mis. a) Calcule la rapidez media en los 110 s. b) Su­ponga que la rapidez de 8.0 mis se manruvo durante 24{) m, segui­da de la rapidez media de 20.0 mis durante Olros 24{) m. Calcule larapidez media en toda la dislancia. c) ¿En cuál caso es la rapidezmedia de todo el movimiento el promedio de las dos rapideces?2.8 Un Honda Civil' viaja en línea recta en carretera. Su distanciax de un letrero de alto está dada en función de I por: x(t) = ur - {3f,donde u = 1.50 mls2 y (3 "0.0500 mlsl • Calcule la velocidad mediadel auto para los intervalos a) 1- Oal" 2.00 s; b) 1: Oa t - 4.00 s;c) t = 2.00 s a t - 4.00 s.

x(m)

Sección 2.3 Aceleración media e instantánea2.11 Un piloto dc pruebas de Automotores Galaxia, S. A. está pro­bando un nuevo modelo de aUla con un velocímetro calibrado paraindicar mJs en lugar dc km/h. Se obtuvo la siguiente serie de leclu­ras durante una prueba efecruada en una carretera recta y larga:

P2.17 En el ejemplo 2.7, sustiruir Y" - 18.4 m en la ecuación(2.13) nos da v,.-±l4.2 mis. La raiznegativa es la velocidad en t­

4.00 s. Explique el significado de la raiz positiva.P2.18 Si se conocen la posición y velocidad iniciales de un vehicu­lo y se registra la aceleración en cada instante, ¿puede calcularse laposición después de cierto tiempo con eSlOS dalos? Si se puede. ex­plique cómo.P2,19 Usted y un amigo se estan asomando por la orilla de la azo­tea de un edificio alto. En el mismo instante en que ustcd lanza unapelota verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial vo, su ami­go lanza una canica verticalmente hacia abajo con la misma rapidezinicial Vo- Suponga que se puede despreciar la resistencia del aire.¿Cuál objeto llegara primero al suelo? Compare sus rapideces justoantes de tocar el suelo.P2.20 Se deja caer una pelota desde el reposo en la azotea de unedificio de altura h. En el mismo instanle, una segunda pelota seproyecta verticalmente hacia arriba desde el nivel de la calle, demodo que tenga velocidad cero cuando llegue al nivel de la azotea.Cuando las dos pelotas se cruzan, ¿cuál tiene mayor rapidez (o tie­nen las dos la misma rapidez)? Explique. ¿Dónde eslarán las dos pe­lotas cuando se crucen: a una altura hl2 sobre la calle, más abajo deesa altura o arriba de esa altura? Explique.

Sección 2.1 Desplalamiento, tiempo y velocidad media2.1 Un cohete que lleva un satilite acelera venicalmente alejindo­se de la superficie terrestre. 1.15 s después del despegue, el cohetelibra el tope de su plataforma, 63 m sobre cl suelo; después de otros4.75 s, está 1.00 km sobre el suelo. Calcule la magnirud de la velo­cidad media del cohete en a) la parte de 4.75 s de su vuelo; b) losprimeros 5.90 s de su vuelo.2.2 En un experimento, se sacó una pardela (un avc marina) de sunido, se le !levó a 5150 km de distancia y luego fue liberada. El averegresó 13.5 dias después de haberse liberado. Si el origen es el ni·do y extendemos el eje +x al punto de liberación, ¿cuál fue la velo­cidad mcdia del ave en mis a) en el vuelo de regreso'! b) ¿Desde quese tomó del nido hasta que regresó?2.3 Viaje a casa. Suponga que nonnalmeDle conduce por la autopis­ta que va de San Diego y Los Ángeles con una rapidez media de 105lcrnIh Yel viaje le toma 2 h y 20 min. Sin embargo, un viemes en latarde el rráfico le obliga a conducir la misma distancia con una rapi­dez media de sólo 70 kmIb. ¿Cuánto tiempo más tardará el viaje?2.4 De pilar a poste. Partiendo de un pilar, usted corre 200 m aleste (1a dirección +x) con rapidez media de 5.0 mis, luego 280 m al oes­te con rapidez media de 4.0 mis hasta un poste. Calcule a) su rapi­dez media y b) su velocidad media; del pilar al poste.2.S Dos corredores paTlen simultáneamente del mismo punto deuna pista circular de 200 m y corren en la misma dirección. Uno co­rre con una rapidez constante de 6.20 mis, y el otro, con rapidezconslanle de 5.50 mis. ¿Cuándo alcanzará el más rápido al más len­to (sacindole una vuella) y qué distancia desde el punto de salidahabrá cubierto cada uno?

Ejercicios

,

70 CAPfTULO 2 I Movimiento en lineanx:ta

a) Calcule la aceleración media en cada intervalo de 2 s. ¿Es cons·tante la aceleración? ¿Es constante durante alguna parte de la prue·ba? b) Prepare una grifica Vr-I con los datos, usando escalas de I cm"" I s horizontalmente y I cm = 2 mis verticalmente. Dibuje unacurva suave que pase por los puntos. Mida la pendiente de la curvapara oblener la aceleración instantánea en: r = 9 s, 13 s y 15 S.

2.12 La figura 2.30 muestra la velocidad de un auto solar en fun­ción del tiempo. El conductol acelera desde un letrero de alto, via­ja 20 s con rapidez constante de 60 lcrnIh Y frena para detenerse40 s después de partir dclletrero. Calcuk la aceleración media paraestos intervalos: a) 1- Oa 1= 10 Sj b) ,,,30 s a 1-40 s; c) 1-\0 sal = 30 s; d), = Oa 1- 40 s.

00

50

40

30

20

10

--;cp''-;;;-!;~7.~-;;-~ r (s)O 5 10 15 20 25 30 35 4(l

Figura 2.30 Ejercicios 2.12 y 2.13.

guicntes cambios de velocidad, cada uno en un intervalo de 10 s. In­dique la magnitud, el signo y la dirección de la aceleración mediaen cada intcn'al0. Suponga que la dirección posiliva es a la derecha.a) Al principio del intervalo, la astronauta se mueve a la derecha so­bre el eje x a 15.0 mis, ya1 fmal se mucve a la derecbaa 5.0 mis. b)Al principio se mueve a la izquierda a 5.0 mis y al final lo hace a laizquierda a 15.0 mis. e) Al principio se mueve a la derecha a 15.0mis y al final lo hace a la iJ;quierda a 15.0 mis.2.17 Aceleración de un aulomóvil, Con base en su experiencia alviajar en automóvil, estime la magnitud de la aceleración media deun auto cuando frena desde una rapidez de autopista hasta un all0lotal. b) Explique por qué esa aceleración media podria considerar­se positiva o bien negativa.2.18 La velocidad de un auto en función del tiempo está dada porv.(r) = a + Pl~, donde a" 3.00 mis y f3 = 0.100 mlr. a) Calcule laaceleración media entre 1= OY1- 5.00 S. b) Calcule la aceleracióninstantánea en: i) 1 - O. ii) 1 '"' 5.00 s. c) Dibuje las gráficas: V~·I yux-I exactas para el movimienlO dcl auto entre 1- OY1= 5.00 s.2.19 La figura 2.31 es una gráfica de la coordcnada de una arañaque camina sobre el eje x. a) Grafique su velocidad y aceleración enfunción del tiempo. b) En un diagrama de movimicnto (como el delas Figs. 2.13b Y 2.14b), muestte la posición, velocidad y acelera­ción de la arañacn los tiempos:, - 2.5s, 1= 10 s, 1- 20 s. 1= 30 s y1=37.5s.

x (m)

--::1-"':-=--7:--=--::--7:-7:,,"":-- 1 (s)0510152Q25303540

Figura 2.31 Ejercicio 2.19.

2.20 La posición del frente de un auto de pruebas controlado pormicroprocesador está dada por x(t) '" 2.17 m + (4.80 m/s1)r ­(0.100 mls')t6. a) Obtenga su posición y aceleración en los instan·tes en que tiene velocidad cero. b) Dibuje las gnificas: x-I, f)~·1 ya.-l

para el movimiento del frente del aUlo entre' - OY1= 2.00 s.

Panibola

Parábola

Unea

="

LO

0.5

Sección 2.4 Movimiento con aceleración constante2.21 Un antílope con aceleración constante cubre la distancia de70.0 m entre dos puntos cn 7.00 s. Su rapidez al pasar el segundopunto es 15.0 mis. a) ¿Qué rapidez tcnía en el primcro? b) ¿Quéaceleración tiene?2.22 La catapulla del portaaviones USS Abrohom Lincoln aceleraunje' de combate F/A-18 Homel desde el reposo a una rapidez dedespegue dc 173 milh en una dislancia de 307 R. Suponga ace­leración constante. a) Calcule la aceleración del avión en mlsl.b) Calcule el tiempo necesario para acelerar el avión hasta la rapi­dez de despegue.2.23 Bolsas de aire de automóvil. El cuerpo humano puede so­brevivir a un incidente de trauma de aceleración negativa (parada

2.13 Refiérase al ejercicio 2.12 y a la figura 2.30. a) ¿En qué in­ter\"310 de tiempo liene la aceleración inslantánea a~ su valor máspositi\'o? b) ¿Y el más negativo? c) Detennine la acelcración ins­tantánea en t ~ 20 s. y d) Determinela en 1= 35 s. e) En un diagra­ma de movimiento (como el de las Figs. 2.J3b o 2.14b), muestre laposición, velocidad y aceleración del aUla en tos instantes: 1 - 5 s,1-15s.t-25sYI-35s.2.14 Una persona que se asoma por la venlana de un edificio alto deoficinas observa lo que sospecha es un OVl\'I. La persona registrala posición del objeto en función del tiempo y determina que estádada por ;(/) = - (5.0m/s)li + (1O.0m/s)lj + [(7.0m/s)'- (3.0 mI~)r] k. a) Obtenga los vectores de: desplazamiento, ve­locidad y aceleración del objeto en t - 5.0 s. b) ¿Hay algún liempoen que la velocidad del objeto sea cero? c) ¿La aceleración del ob­jeto es constante o cambia con e1tiempo?2.15 Una tonuga camina en línea recta sobre lo que llamaremoseje x con la dirección positiva hacia la derccha. La ecuación de laposición dc la tortuga en función delliempo es X(I) '" 50.0 cm +(2J)Q cmlS)1 - (0.0625 Cmls2)12. a) Detennine la velocidad inicial,posición inicial y aceleración inicial de la tortuga. b) ¿En qué ins­tante 11a lonuga liene velocidad cero? e) ¿Cuánto tiempo despuésde ponerse en marcha regresa la lonuga al punto de partida? d) ¿Enqué instantes 1la tortuga está a una distancia de 10.0 m de su puntode panida? ¿Qué velocidad (magnilUd y dirección) tiene la tortugaen cada uno de esos instantes? c) Dibuje las gráficas: X-I, U~·I y a~·t

para el intervalo de 1- Oal'" 40.0 s.2.16 Una astronauta salió de la Estación Espaciallntemacional pa­ra probar un nuevo vehiculo espacial. Su compañero mide los si-

,

Ejercicios 71

50 ,

"40]S

lO25

2015

10

5

O 2 4 6 6 10 12 14

y la posición del gato en función dcl tiempo, suponiendo que cl ga·to partió del origen.2.29 En 1= O, un Corvelle viaja por un tramo largo y recto de ca­rretcra en Arizona con rapidez constante de 30 mis. El movimientodura 20 s. Luego la conductora, preocupada porque va a llegar tar­de, acelera a una tasa constante durante 5 s para alcanzar una rapidezde 40 mis. El auto viaja con esta rapidez lOs, pero la conductora veun policía en motocicleta parado detrás de un cacto grandc y frenacon aceleración constante de magnitud 4.0 mls2 hasta que la rapi­dez del auto baja otra vez al límite legal de 30 mis. Ella mantieneesta rapidez y saluda al policia cuando lo pasa 5 s después. a) Dibu­je las gráficas: a,-r, v,-r y x-t exactas para el movimiento del autodesde! = Ohasta que pasa al policía. b) En un diagrama de movi­miento (como los de las Figs. 2.13b o 2. 14b), muestre: la posición,velocidad y aceleración de! auto.2.30 En t = O, Ull auto está detenido ante un semáforo. Al encender­se la luz verde, el auto acelem a mzón constante hasta alcallzur Ullarapidez de 20 mis 8 s después de arrancar. El auto continúa con m·pidez constante durante 60 m. Luego, el conductor ve un semáforocon luz roja en el siguiente cruce y frena a razón constante. El autopara ante el semáforo, a 180 tll de donde estaba en 1= O. a) Dibujelas gráficas: x-t. V,-! y a,-t exactas para el movimiento del aUlo. b)En un diagrama de movi-miento (l:omo los de las Figs. v,(m/s)

2.13b y 2.14b), muestre: laposición, velocidad y acele­ración del auto.2.31 La gráfica de la figura2.33 muestm la velocidad deun policia en motocicleta enfunción del tiempo. a) Calcu­le la aceleración instantáneaen:I=3s,I-7syt=lls.¿Qué distancia cubre el poli­cía los primeros 5 s? ¿Los pri-meros 9 s? ¿Los primeros 13 s? I (s)2.32 La figura 2.34 es unagráfica de la aceleración de Figura 2.33 Ejercicio 2.31.

una locomotora de jugueteque se mueve en el eje x. Dibuje las gráficas de su velocidad y coor­dcnada x en función del tiempo si X" OYV," Ocuando 1"'" O.2.33 Una nave espacial que lleva trabajadores a la Base Lunar 1,viaja en linea recta de la Tierra a la Luna, una distancia de 384, 000km. Suponga que acelera a 20.0 m/s2 10s primeros 15.0 min, viaja

G, (mls2)

repentina) si la magnitud de la aclereración es menor que 250 mls2

(cerca de 25 g). Si usted sufre un accidente automovilístico con ve­locidad inicial de 105 ktnIh Yes detenido por una bolsa de aire quese inna desde el tablero, ¿en-qué distancia debe ser detenido parasobrevivir?2.24 Ull avión recorre 280 m en una pista antes de despegar; partedel reposo, se mueve con aceleración COllstante y está en el aire en8.00 s. ¿Que rapidez en mis tielle cuando despega?2.25 Ingreso a la autopista. Ull auto está parado en una rampa deacceso a una autopista esperalldo un hueco en el tráfico. El conduc­tor ve un hueco entre una vagoneta y un camión de 18 ruedas y ace­lera con aceleración constante para entrar en la autopista. El autoparte del reposo, se mueve en linea recta y ticne una rapidez de 20mis al llegar al final de la rampa de 120 m de largo. a) ¿Que acelera­ción tiene e! auto? b) ¿Cuánto tarda e! auto en salir de la rampa? c) Eltráfico de la autopista se mueve con rapidez constante de 20 mis. ¿Quedistancia recorre el tráfico mientras el auto se mueve por la rampa?2.26 Las figuras 2.15, 2.16, 2.17 Y2.18 se dibluaron para movi­miento con aceleración constante y valores positivos de xQ, vQ, y U X'

Vuelva a dibujar las figuras para estos casos: a) Xo < O, Vil< < O, a,< O; b)xo > O, Vil< < O, a, > O; c)xQ > O, vo, > O,a,< O.2.27 Según datos de pruebas efectuadas en 1994, un automóvilFordAspire recorre 0.250 millas en 19.9 s, partiendo del reposo. Elmismo auto, viajalldo a 60.0 mph y frenando en pavimento seco, sedetiene en 146 pies. Suponga una aceleración constante en cadaparte del movimiento, pero no necesariamcnte la misma acelera­ción al arrancar que al frenar. a) Calcule la aceleración del auto alarrancar y al frenar. b) Si su aceleración es conslante, ¡,con qué ra­pidez (en mph) deberá estar viajando el auto después de acelerardurante 0.250 millas? La rapidez real medida es de 70.0 mph; ¿quéle dice esto acerca del movimiento? c) ¿Cuánto larda este auto endetenerse cuando viaja a 60.0 mph?2.28 Un galO camina en línea recta en lo que llamaremos eje x conla dirección positiva a la derecha. Usted, que es un físico observa­dor, efectúa mediciones del movimicnto del gato y construye unagráfica de la velocidad del felino en función delliempo (Fig. 2.32).a) Determine la velocidad del gato en: t = 4.0 s y en t = 7.0 s. b)¿Qaé aceleración tiene el gato cn t - 3.0 s? ¿En t = 6.0 s? ¿En 1"7.0 s? c) ¿Qué distancia cubre el gato duranle los primeros 4.5 s?¿Entre t .. OYt - 7.5 s? d) Dibuje gráficas claras de: la aceleración

2

-;;-t-+-c';--;t--;;ccJr::;-,;;-c';- I (s)O 5 -JO t 20 30 35 40

-2

Figura 2.32 Ejercicio 2.28.

Figura 2.34 Ejercicio 2.32.

,- con rapidez constante hasta los últimos 15.0 min, cuando acelera a- 20.0 mls2

, parando justo al llegar a la Luna. a) ¿Qué rapidez máxi­ma se alcanzó'? b) ¿Que fracción de la distancia total se cubrió conrapidez constante? c) ¿Cuánto tardó el viaje?

72 CAPfTULO 21 Movimienloen línea recta

•

T5.0.__C]

1~_1

Figura 2.31 Ejercicio 2.44.

Figura 2.36 Ejercicio 2.40.

2.41 Una prueba sencilla detiempo de reacción, Se sostie­ne un metro verticalmente demodo que su extremo inferioresté entre el pulgar y el índicede la mano del sujelo de laprueba. Al ver que suchan elmetTO, el sujeto lo detiene jun­tando esos dos dedos. Se puedecalcular el tiempo de reaccióncon base en la distancia que elmetrO cayó antes de que se ledelUviera, leída de la escala enel pumo en que el sujeto lo to­mó. a) Deduzca una relación para el tiempo de reacción en térmi­nos de esta distancia d. b) Si la distancia es 17.6 cm, ¿cual es eltiempo de reacción?2.42 Se deja caer un tabique (rapidez inicial cero) desde la azotcade un edificio. El1abique choca con el piso en 2.50 s. Se puede des­preciar la resistencia del aire, así que el tabique está en caída libre.a) ¿Qué altura (en ro) tiene el edificio? b) ¿Qué magnitud tiene lavelocidad del tabique justo antes de llegar al suelo? c) Dibuje lasgr.i.ficas: ay-t, fJ,t y y-l para el movimiento.2.43 Enojada, Verónica lanza su anillo de compromiso vertical­mente hacia arriba desde la azotea de un edificio, a 12.0 m del sue­lo, con rapidez inicial de 5.00 mis. Se puede despreciar laresistencia del aire. Para el movimiento desde la mano hasta el suc­Io, ¿qué magnitud y dirección tienen a) la velocidad media del ani­llo? b) ¿su aceleración media? c) ¿Cuántos segundos después de serlanzado toca el suelo el anillo? d) ¿Qué rapidez tiene el anillo justoantes de tocar el suelo? e) Dibuje las gráficas: ay-t, fJy-t y y-l para elmovimiento.2.44 El tripulante de un globoaerostático, que sube verlical­mente con velocidad constantede magnitud 5.00 mis, suelta unsaco de arena cuando el globoestá 40.0 m sobre el suelo (Fig.2.37). El saco está en caída libre.a) Calcule la posición y veloci­dad del saco a 0.250 s y I.()() sdespués de soltarse. b) ¿Cuántolardará el saco en chocar con elsuelo? e) ¿Con qué rapidez cho­cará? d) ¿Qué altura máxima al­canza el saco sobre el suelo? e)Dibuje las gráficas: ay·t, vy-t yy·t

para el movimiento.2.45 Un estudiante lanza unglobo lleno con agua, vertical-mente hacia abajo desde un edificio, imprimiéndole una rapidezinicial de 6.00 mis. Puede despreciarse la resistencia del aire. asique el globo está en caida libre una vez soltado. a) ¿Qué rapidez tie­ne después de caer durante 2.00 s? b) ¿Qué distancia cae en ese lap­so? c) ¿Qué magnitud tiene su velocidad después dc caer 10.0 m?d) Dibuje las gráficas: ay-t, vy-t yy-t para el movimiento.

x(m)

25

20

"10

;;1¿~-~~:----¿- t (s)O 1 2 3 4

Figura 2.35 Ejcrcicio 2.35.

2.34 Un trcn subterráneo en reposo parte de una estación y acele­ra a 1.60 mis' durante 14.0 s, viaja COIl rapidez constante 70.0 s yfrena a 3.50 mis' hasta parar en la siguientc estación. Calcule la dis­tancia tOlal cubiena.2.35 Dos autos. A y B. se mueven por el eje x. La figura 2.35 gra­fica sus posiciones contra elliempo. a) En diagramas de movimien­tO (como la Fig. 2.13b o la 2.14b), muestre la posición, velocidad yaceleración de cada auto en: t =

OS, t - I s y t - 3 s. b) ¿En quéinstante(s), si acaso, ticnen A y 8la misma posición? e) Trace unacurva de velocidad contra tiem­po para A y para B. d) ¿En quéinstantc(s), si acaso. tienen A y Bla misma velocidad? e) i.En quéinstanle(s), si acaso, el auto A re­basa a 8? f) ¿En qué instante(s)si acaso, el aUlo B pasa a A?2.36 En el instante en que un se-máforo se pone en luz verde, un auto que esperaba en el crucearranca con aceleración constante de 3.20 mls2• En el mismo ins­tante, un camión que viaja con rapidez constante de 20.0 mis alcan­za y pasa al auto. a) ¡.A qué distancia de su punto de partida el autoalcanza al camión? b) ¿Qué rapidez tiene el auto en ese momento?c) Dibuje una gr.i.fica x·t del movimiento de los dos \'ehículos, to­mandox= Oen el cruce. d) Dibuje una gnifica fJ~-t del movimientode los dos vehiculos.2.37 Como en el ejemplo 2.5, un auto viaja a velocidad constantecon magnitud vc. En el instante en que el aUlo pasa a un policia,éste acelera su motocicleta desde el reposo con aceleración aM>­a) Dibuje una gráfica x-t del movimiento de ambos objetos. De­muestre que. cuando el policía alcanza al auto. tiene una rapidezdos veces mayor que la del auto, no importando el valor de aM.<.b) Sea d la distancia que la mOlocicleta recorre antes de alcanzar alauto. En ténninos de d, ¿cuánto ha viajado el policía cuando su vc­locidad es igual a la del auto?

Sección 2.5 Cuerpos en caida libre2.38 Gotas de lluvia. Si pueden descontarse los efcctos del airesobre las gotas de lluvia, podemos tratarlas como objetos en cai­da libre. a) Las nubes de lluvia suelen eslar a unos pocos cientos demetros sobre el suelo. Estime la rapidez (en mis. kmlh y miIh) conque las gotas Ilegarlan el suelo si fueran objetos en caida libre. b) Es­time (con base en sus observaciones personales) la velocidad realcon que las gotas de lluvia chocan con el suelo. c) Con base en susrespuestas a las partes (a) y (b), ¿es justificable ignorar los efectosdel aire sobre las gotas de lluvia? Explique.2.39 a) Si una pulga puede sallar 0.440 m hacia arriba, ¿qué rapi­dez tiene al separarse del suelo? ¿Cuánlo tiempo está en el aire?2.40 Alunizaje. Un alunizador está descendiendo hacia la BaseLunar 1(Fig. 2.36) frenado por el empuje del motor de descenso. Elmotor se apaga cuando el alunizador está 5.0 m sobre la superficiey tiene una velocidad hacia abajo de 0.8 mis. Con el motor apaga­do, el vehiculo esta en caída libre. ¿Qué rapidez tiene justo antes detocar la superficie? La aceleración dcbida a la gravedad lunar esde 1.6 mis'.

Problemas 73

2.46 Se lanza un huevo casi verticalmente hacia arriba desde unpunto cerca de la comisa de un edificio a1l0; al bajar, apenas librala comisa y pasa por un punto 50.0 m bajo su punto de panida 5.00 sdespués de abandonar la mano que lo lanzó. Puede despreciarse laresistencia del aire. a) ¿Qué rapidez inicial tiene el huevo? b) ¿Quéaltura alcanza sobre el punto de lanzamiento? c) ¿Qué magnitudliene su velocidad en el punlo más alto? d) ¿Qué magnitud y direc­ción liene su aceleración en el punto más allo? e) Dibuje las gráfi­cas: a,-I, 1),-1 y y-t para el movimiento.2.47 El trineo cohete Sanie Wind No. 2, utilizado para investigarlos efectos fisiológicos de aceleraciones elevadas, corre sobre unavía recta horizontal de 1070 m. Desde el reposo, puede alcanzaruna rapidez de 224 mfs en 0.900 5. a) Calcule la aceleraciÓn enmls2, suponiendo que es constante. b) ¿Cuál es la raron de esta ace­leración a la de un cuerpo en caida libre <E)? c) ¿Qué distancia secubre en 0.900 s? d) En una revista se aseguró que, al final de cier­ta prueba, la rapidez del trineo descendió de 283 mis a cero en 1.40 sy que en ese tiempo la magnitud de la aceleración fue mayor que40g. ¿Son congruentes estaS cifras?2.48 Un peñasco es expulsado verticalmente hacia arriba por unvolcán, con una rapidez inicial de 40.0 mis. Puede despreciarse laresistcncia del aire. a) ¿En qué instante después de ser expulsado elpeñasco está subiendo a 20.0 mis? b) ¿En qué instante esci bajandoa 20.0 rnls? c) ¿Cuándo es cero el desplazamiento respeclo a laposición inicial? d) ¿Cuándo es cero la velocidad del peñasco?e) ¿Qué magnirud y dirección tiene la aceleración cuando el penas­ca está: i) subiendo? ii) ¿bajando? ¡ii) ¿en el punto más alto? f) Di­

buje las gráficas: a,-I, I),-t y y-I para el movimiento.2.49 Suponga que g fuera sólo 0.98 mls1 en lugar dc 9.8 mlsl, pe­ro que no cambiaran las velocidades iniciales con que podcmos sal­tar hacia arriba o lanzar pelotas. a) Calcule la altura hasta la quepodría saltar verticalmente estando parado si puede saltar 0.75 mcon g = 9.8 mls1

. b) ¿Qué tan alto podría lanzar una bola si la lanza18 m hacia arriba con g. 9.8 mls2? c) Calcule la altura máxima deuna ventana desde la que saltaría a la acera si con g = 9.8 mls1 seatreve a saltar desde 2.0 m, la altura normal de una ventana de pri­mer piso.

*Sección 2.6 Velocidad y posición por integración*2.50 La aceleración de un camión está dada por a,(t) = o:t, dondea = \.2 m/sJ• a) Si la rapidez del camión en t = 1.0 s es 5.0 mis,¿cu~1 será en 1- 2.0 s? b) Si la posición del camión en 1:= 1.0 s es6.0 m, ¿cuál será en 1- 2.0 s? e) Dibuje las gráficas: a",-t, U",-1 y X-I

para el movimiento.*2.51 La aceleración de una motocicleta está dada por aJ.t) = Ar ­

8r2, conA - 1.50 mlsl y 8" 0.120 mJs·. La molo está en reposo enel origen en 1 - O. a) Obtenga su posición y velocidad en función de l.

b) Calcule la velocidad máxima que alcanza.*2.52 Sallo \'olador de la pulga. Una película tomada a alta velo­cidad (3500 cuadros por segundo) de una pulga saharina de 210 p.gprodujo los dalOS que se usaron para dibujar la gráfica de la figura2.38. (Véase 4'he Flying Leap ofthe Flea", por M. Rothschild, Y.Schlein, K.. Parker, C. Neville y S. Stembergen el ScienrificAmeri­can de noviembre de 1973.) La pulga tenia una longitud aproxima­da de 2 mm y saltó con un ángulo de despegue casi vertical. Use la

~150

u100o

'",~ '"••«O o, LO l., 2.0 2.'

TiemDO feD milise~)

Figura 2.38 Ejercicio 2.52.

gráfica para contestar estas preguntas. a) ¿La aceleración de la pul­ga es cero en algún momento? Si lo es, ¿cuándo? Justifique surespuesta. b) Calcule la altura maxima que la pulga alcanzó enlos primeros 2.5 ms. e) Detennine la aceleración de la pulga a los:0.5 ms.. 1.0 ros y 1.5 ms. d) Calcule la altura de la pulga a los: 0.5 ros,1.0 ms y 1.5 ros.*2.53 La gráfica de la figura 2.39 describe, en función del tiempo,la aceleración de una piedra que baja rodando por una ladera, ha­biendo partido del reposo. a) Determine el cambio de velocidad dela piedra entre 1- 2.5 5 Y I - 7.5 5. b) Dibuje una gráfica de la velo­cidad de la piedra en función delliempo.

87

6,4

3

2

1

-"L-7----.,-7----:--;-----;----:;--;;--;;- I (s)O 2 3 4 5 6 7 8 9

Figura 2.39 Ejercicio 2.53.

Problemas

2.54 En un paseo de 20 mi en bicicleta, usted recorre las prime­ras 10 mi con rapidez media de 8 milh. ¿Qué rapidez media en lasotras 10 mi requerirá para que la rapidez media total en las 20 misea: a) 4 milh? b) ¿ 12 mi!h? e) Dada la rapidez media indicada pa­ra las primeras 10 millas, ¿le sería posible alcanzar una rapidez me­dia de 16 milh para lodo el paseo? Explique2.55 La posición de una partícula entre 1" OY1= 2.00 5está dadapor x(1) - (3.00 mlsly - (10.0 mls1y + (9.00 mls)1. a) Dibuje lasgráficas: X-I, iJ",-1 y a",-I para la par1icula. b) ¿En qué instante(s) en­tre l· OYl· 2.00 s está instantáneamente en reposo la panícula?¿Coincide el resultado numérico con la gráfica I)",-t de la par1e (a)?c) En cada instante calculado en (b). ¿es la aceleración posiliva onegaliva? DemueslTC que las respuestas pueden deducirse de aJ.l) y

CAPÍTULO 2 I Movimiento en línea recta

.... ......,..3.5 m

durante toda la carrera? d) Explique por qué su respuesla a la pane(e) no es el promedio de las R:Spuestas.a las panes (a) y (b).2.60 Un trineo parte del reposo en la cima de una colina y baja conaceleración constante. En un instante posterior, el trineo está a14.4 ro de la cima; 2.00 s después esta a 25.6 ro de la cima, 2.00 Sdespués está a 40.0 m de la cima y 2.00 s después está a 57.6 m. a)¿Qué magnitud tiene la velocidad media dellrinco en cada intervalode 2.00 s después de pasar los 14.4 m? b) ¿Qué aceleración tiene el tri­nco? e) ¿Qué rapidez tiene el trineo al pasar los 14.4 m? d) ¿Cuan.to tiempo tomó al trinco llegar de la cima a los 14.4 ro? e) ¿Quédistancia cubrió ellrineo durante el primer segundo después de pa­sar los 14.4 m?2.61 Frenar o acelerar. Un auto de 3.5 m viaja con rapidez cons­tante de 20 mis y se acerca a un cruce de 20 m de ancho (Fig. 2.41).El semáforo se pone en amarillo cuando el frente del auto está a 50 mdel cruce. Si el conduClorpisa el freno, el auto se frenará a ~3.8 mlil;si pisa el acelerador, el auto acelerará a 2.3 mlr. El semáforo esta­rá en amarillo 3.0 s. Suponga que el conductor reacciona instantá­neamente. ¿Deberá éste, para no estar en el crucc con el semáforoen rojo, pisar el freno o el acelerador?

2.62 En el aire o en el vacío, la luz viaja con rapidez constante de3.0 x 108 mis. Para contestar algunas de las preguntas podría ser ne­cesario consultar datos astronómicos en el apéndice F. a) Se defineun año luz como la distancia que la luz recorre en un año. Utiliceesta información para averiguar cuántos metros hay en un año luz.b) ¿Cuántos metros recorre la luz en un nanosegundo? c) Cuandohay una erupción solar, cuánto tiempo pasa antes de que pueda ver­se en la Tierra? d) Rebotando rayos láser en un reflector colocadoen la Luna por los astronautas del Apolo, los astrónomos puedenefectuar mediciones muy exactas de la distancia Tierra-Luna.¿Cuánto tiempo después de emitido tarda el rayo láser (que es unhaz de luz) en regresar a la Tierra? e) La sonda Voyager, que pasópor Nepruno en agaslo de 1989, estaba a cerca de 3000 millones demillas de la Tierra en ese momento, y envió a la Tierra fotografias yotra infonnación mediante ondas de radio, que viajan con la rapi­dez de la luz. ¿Cuánto tardaron esas ondas en llegar del Voyager ala Tierra?2.63 Utilice la información del apéndice F para contestar estaspreguntas. a) ¿Qué rapidez tienen las islas Galápagos, situadas en elecuador, debido a la rotación de la Tierra sobre su eje? b) ¿Qué ra­pidez tieDe la Tierra debido a su traslación en torno al Sol? c) Si laluz siguiera la cun'atura de la Tierra (cosa que no hace), ¿cuántasveces daría la vuelta al ecuador un rayo de luz en un segundo?

Figura 2.41 Problema 2.61.

Aurora York ScwardfoE---76 km----l~34 km-+!

sE B

74

Figura 2.40 Problema 2.57.

de la gráfica U~-I. d) En qué instante(s) entre t,. Oy t: 2.00 s no es­tá cambiañdo la velocidad instantánea de la panícula? Ubique estepUnlO en las curvas U~-I y a~-I de (a). e) ¿Cuál es la distancia máxi­ma de la particula respecto al origen (x: O) enlre 1: Oy 1= 2.00 s?f) ¿En qué instante(s) entre t - OYt= 2.00 s la partícula está uumell­talldo de rapidez con mayor ritmo? ¿En qué instantc(s) de ese lap­so se estáfrellundo con mayor ritmo? Ubique esos puntos en lasgráficas V~-I y u~-I de (a).2.56 Carrera de relevos. En una carrera de relevos, cada compe­tidora corre 25.0 m con ulthuevo sostenido en una cuchara, se davuelta~sa al puma de partida. EIsa corre los primeros 25.0 men 20.0 s.~regresar se siente más confiada y tarda sólo 15.0 s.¿Qué magnitu~ene su velocidad media en a) los primeros 25.0 m?b) ¿el regreso? c)..¿Cuál es su velocidad media para el viaje redon­do? d) ¿Y su rapici~media?2.57 Dan enlra en la c¿melera interestatall-80 en Seward, Nebras­ka, y viaja al oeste en )í'tea recta con rapidez media de 88 km/h.Después de 76 km, llega ara~lida de Aurora (Fig. 2.40). Percatán­dose de que llegó demasiado lejos, se da vuelta y conduce 34 km aleste hasta la salida de York con fílpidez mcdia de 72 km/h. Para elviajc to'tal de Seward a la salida de York, detcrmine a) su rapidezmedia. b) La magnitud de su velocidad media.

2.58 Tráfico de aUlopista. Según el Scienrific American (mayo de1990), las autopistas aclllales pueden conlrOlar 2400 vehículos porcarril por hora en tráfico unifonne a 96 km/h. Si hay más vehicu­los, el flujo de rráfico se hace "turbulento" (intennitente). a) Si unvehículo tiene longitud media de 4.6 m, ¿qué espacio medio hay en­tre vehículos con la densidad de rráfioo mencionada? b) Los siste·mas de control para evilar automáticamente los choques, queoperan rebotando ondas de radar o sonar en los vehiculos circun­dantes, acelerando o frenando el vehículo segun sea necesario, po­drlan reducir mucho el espacio entre vehículos. Si el espacio medioes de 9.2 m (el largo de dos autos), cuántos vehículos por hora po­drian circular a 96 kmJh en un carril?2.59 Un velocista de clase mundial acelera a su rapidez máxima en4.0 s y mantiene esa rapidez durante el resto de la carrera de 100m,llegando a la meta con un ticmpode 9.\ s. a) ¿Qué aceleración me­dia tiene durante' los primeros 4.0 s? b) ¿Qué aceleración media tíe­ne durante los ultimas 5.1 s? e) ¿Qué aceleración media tiene

Problemas 75

2.64 En una cam:ra de 350 m, el conedor A parte del reposo yace­lera a 1.6 mlSl durante los primeros 30 m y luego rom: con rapidezconstante. El corredor B parte del reposo y acelera a 2.0 mlSl du­rante los primeros 30 m y después corre caD rapidez constante. Elcorredor A comienza a correr tan promo como inicia la competen­cia. pero B se duerme primero unos momenlos para descansar.¿Cuamo puede: durar como maximo la siesta de: B para que no pier­da la cam:ra?2.65 Una pelOla parte del reposo y baja rodando una loma con ace­leración uniforme, recorriendo ISO m durante los segundos 5.0 5 desu movimiento. ¿Qué distancia cubrió durame los primeros 5.0 s?2.66 Choque. El maquinisla de un tren de pasajeros que viaja a25.0 mis avista un tren de carga cuyo eabús está 200 m más adelan­le en la misma vla (Fig. 2.42). El tren de carga viaja en la misma di­rección a 15.0 mis. El maquinista del tren de pasajeros aplica deinmediato los frenos, causando una aceleración constante de -0.100mls2, mientras el tren de carga sigue con rapidez constante. Sea X" Oel punto donde eslá el fren!e del tren de pasajeros cuando el ma­quinista aplica los frenos. a) ¿Presenciarán las vacas una colisión?b) Si es asi, ¿Dónde ocurrirá? c) Dibuje en una sola gráfica las po­siciones del frenle del tren de pasajeros y del cabús del tren de car­ga en función del tiempo.

~~-2S.0mls--a - -0.100 mis2

iITc = 15.0 nVs

Figura 2.42 Problema 2.66.

2.67 Las cucarachas grandes pueden correr a 1.50 mis en tramoscortos. Suponga que enciende la luz en un hOlel barato y ve una eu­caracha alejándose en linea recta a 1.50 mis (constante) mientrasusted se acerca a ella a 0.80 mis. Si inicialmente usted estaba 0.90 mdetrás. ¿qué aceleración constante mínima necesitará para alcanzaral bicho cuando ésle ha recorrido 1.20 m,justo ames de escapar ba­jo un mueble?2.68 Considere la simación descrila en el ejemplo 2.5, que no esrealista porque si el policía mantiene una aceleración constante re­basará al aula. En una persecución real, el policía aceleraría a unarapidez mayor que la del aula y luego frenana para tener la veloci­dad del aulo al alcanzarlo. Suponga que el policía del ejemplo ace.lera del reposo con az = 2.5 mlr hasta que su rapidez es de 20 misy luego frena a ritmo constante hasla alcanzar c:I auto en x = 360 m,viajando con la rapidez del aUlo, 15 mis. a) ¿En qué instante el po­licia alcanza al auto? b) ¿En qué instante el policia deja de acelerary comienza a frenar? ¿A qué distancia está entOnces del letrero? ¿Ydel aulo? c) Calcule la aceleración del policia mientras está frenan-

do. d) Grafique x contra / para los dos vehículos. e) Grafique V zcontra 1 para los dos vehiculos.2.69 Un auto y un camión parten del reposo en el mismo instante,con el auto cic:na distancia detrás del camión. El camión Iiene ace­leración constanTe de 2.10 mlSl, Yel auto, 3.40 mlsl . El auto alcan­za al camión cuando éste ha recorrido 40.0 m. a) ¿CuánlO tarda elaUla en alcanzar al camión? b) ¿Qué tan alrás del camión estaba el au­to inicialmente? c) ¿Qué rapidez tienen los vehiculos cuando estánjuntos? d) Dibuje en una sola gráfica la posición de cada vchiculo enfunción delliempo. Sea x = Ola posición inicial del camión.2.70 Dos pilotos de exhibíción conducen uno hacia el otro. En / - Ola distancia entre los aulaS es D, el auto I está parado y e12 se mue­ve ala izquierda con rapidez uo. El auto 1 comienza a moverse cnt - Ocon aceleración constantc Uz . El auto 2 sigue a velocidad cons­tante. a) ¿En qué instante chocarán los autos? b) Calcule la rapidezdel auto 1justo antes de chocar. c) Dibuje las gráficas x-t y uz-t pa­ra los 2 autos, usando los mismos ejes.2.71 Viajando a 20 mis en su Muslang, Juan sale de una curva a unlramo recio de un camino rural y ve un camión fertiliZador cargadoque bloquea totalmenle el camino 37 m más adelante. Asustado,avanza 0.8 s a velocidad conslanle antes de: reaccionar y pisar el fre­no causando una aceleración conslante que le pemúte parar justoantes donde está el camión. Con los mismos Iiempos de reacción yaceleración, si hubiera salido de la curva a 25 mis en vez. de 20 mis.a) ¿cuál babria sido su rapidez al chocar con el camión? b) ¿Cuán­tO tiempo habria tenido para recordar loda su vida desde que avistóel camión hasta chocar con éste?2.72 Una patrulla viaja en línea recta con rapidez Vp conslanle. Uncamión que viaja en la misma dirección con rapidez ~ u, rebasa a lapalrul1a. La conductora del camión ve que va a exceso de velocidady de inmediato comienza a frenar a rilmo constante hasla parar.Por suene, la patrulla (que sigue a la misma velocidad) pasa al ca­mión sin multar a la conductora. a) Demuestre que la rapidez delcamión cuando la patrulla lo pasa //0 dcpende de la magnitud de laaceleración del camión al frenar, y oblenga el valor de esa rapidcz.b) Dibuje la gráfica x-t paTa ambos vehiculos.2.73 Rebasado. El conductor de un aulO desea rebasar un camiónque viaja a 20.0 mis (constante). Inicialmente, el auto también viajaa 20.0 mis y su parachoques delantero (defensa) está 24.0 m atrás delparachoques trasero (defensa) del camión. El auto adquiere una ace­leración constante de 0.600 mls2y regresa al carril del camión cuan­do su parachoques trasero (defensa) está 26.0 m adelante del frentedel camión. El auto tiene una longitud de4.5 m., y el camión, 21.0 m.a) ¿Cuánto tiempo necesita el auto para rebasar? b) ¿Qué distanciarecorre el auto eo ese tiempo? c) ¿Qué rapidez fmal tiene el aUlo?·2.74 La velocidad medida de: un objeto es UÁl) = a -{3tl, dondea - 4.00 mis y (3 = 2.00 mis). En / - O, el objeto esta en x-O.a) Calcule la posición y aceleración del objelo en función de l.

b) ¿Qué desplazamiento positivo maximo tiene el objeto respecloal origen?·2.75 La aceleración de una particula está dada por a..(t) - -2.00mlSl + (3JY' mlsJ)t. a) Encuentre la velocidad inicial VD> tal que laparticula te ;a la misma coordenada x en 1- 4.00 s que en t - O. b)¿Cuál será velocidad en t= 4.00 s?2.76 Cald. ~e huevo. Imagine que ~stá en la azotea del edificio defisica. 46.0 f1 sobre el suelo (Fig. 2.43). Su profesor, que tiene una

76 e A P fTUL o 2 I Movimiento en línea recta

estatura de 1.80 m, camina jun­to al edificio a 1.20 mis (cons­tante). Si desea dejar caer unhuevo sobre su cabeza, dóndedeberá estar el profesor cuandousted suelte el huevo? Supongacaída libre.2.77 Un estudiante de físicacon demasiad'o tiempo libresuelta una sandía desde una azo­tea y oye que la sandia se estre·lIa 2.50 s después. ¿Qué altura 1.80 mtiene el edificio? La rapidez del i-''-'Ci-'-­sonido es de 340 mis. No tomeen cuenta la resistencia del aire. Figura 2.43 Problema 2.76.

2.78 Elevadores. Estime la ra-pidez máxima y la magnitud deaceleración de un elevador. Necesitará usar sus observaciones deaproximadamente cuánto tarda el elevador en ir de un piso a otro, ladistancia vertical aproximada de un piso al siguiente y la distanciaa lo largo de la cual un elevador acelera hasta su rapidez máxima ofrcna para detenerse.2.79 Quienes visitan cierto parque de diversiones ven cómo unosclavadistas se lanzan de una plataforma a 21.3 m por arriba de unestanque. Según el anunciador, los cJavadistas entran en el agua conuna rapidez de 25 mis. Puede despreciarse la resistencia del aire.a) ¿Es verdad lo que dice el anunciador? b) ¿Puede una clavadistasaltar hacia arriba desde la plataforma y, librando la tabla, entrar enel agua a 25.0 mis? De ser asi, ¿qué velocidad inicial requiere? ¿Sepuede alcanzar fisicamente esa velocidad?2.80 Una maceta con flores cae del borde de una ventana y pasafrente a la ventana de abajo. Se puede despreciar la resistencia delaire. La maceta tarda 0.420 s en pasar por esta ventana, cuya alturaes de 1.90 m. ¿A qué distancia debajo del punto desde el cual cayóla maceta está el borde superior de la ventana de abajo?2.81 Se patea un balón verticalmente hacia arriba desde el suelo yuna estudiante asomada a una ventana lo ve subir frente a ella a5.00 mis. La ventana está 12.0 m sobre el suelo. Se puede despreciarla resistencia del aire. a) ¿Hasta dónde sube la pelota? b) ¿Cuántotarda en alcanzar esa altura?2.82 Un modelo de cohete tiene aceleración ascendentc constantede 40.0 mis! con el motor ttabajando. El cohete se dispara verti­calmente y el motor trabaja 2.50 s antes de agotar el combustible,quedando el cohete en caída libre. El movimiento es sólo verticaLa) Dibuje las gráficas: ay-t, uy·t y y·t para el cohete. b) ¿Qué alturamáxima alcanzará el cohete? e) ¿Qué rapidez tendrá el cohete justoantes de tocar el suelo? d) ¿El tiempo total de vuelo es el doble deltiempo que el cohete tarda en alcanzar la altura máxima? ¿Por quési o por qué no? (Véase la pregunta P2.16.)2.83 Cuidado abajo. Sam avienta una bala de 16 lb directamentehacia arriba imprimiéndole una aceleración éonstante de 45.0 mlsl

desde el reposo a lo largo de 64.0 cm, soltándola 2.;'\m sobre elsuelo. Puede despreciarse la resistencia del aire. a), 'ué rapideztiene la bala cuando Sarn la suelta? b) ¿Qué altura alcza sobre elsuelo? c) ¿Cuánto tiempo tiene Sam para quitarse de a .Ijo antes deque la bala regrese a la altura de la cabeza, 1.83 m so lre el suelo?

2.84 Una profesora de física que está efectuando una demostra­ción al aire libre, de repente cae desde el reposo en lo alto de unacantilado y simultáneamente grita "¡Auxilio!" Después de caer3.0 s, escucha el eco de su grito proveniente del suelo del valle. Larapidez del sonido es de 340 mis. a) ¿Qué altura tiene el acantilado?b) Si se desprecia la resistencia del aire, con qué rapidez se estarámoviendo la profesora justo antes de chocar con el piso? (Su rapi­dez real será menor, debido a la resistencia del aire.)2.85 Malabarismo. Un malabarista actúa en un recinto cuyo techoestá 3.0 m arriba del nivel de las manos. Lanza una pelota haciaarriba de modo que apenas llega al techo. a) ¿Qué velocidad inicialtiene la pelota? b) ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en llegar al techo?En el instante en que la primera pelota está en el techo, el malaba­rista lanza una segunda pelota hacia arriba con dos terceras panesde la velocidad inicial de la primera. e) ¿Cuánto tiempo después delanzada la segunda pelota se cruzan las dos pelotas en el aire? d) ¿Aqué altura sobre la mano del malabarista se cruzan las dos pelotas?2.86 Un helicóptero que lleva al doctor Malvado despega con ace­leración constante hacia arriba de 5.0 mis!. El agente secreto Aus­tin Powers se trepa de un salto al helicóptero justo cuando éstedespega. Los dos hombres forcejean durante 10.0 s, después de locual Powers apaga el motor y se lanza desde el helicóptero. Supon­ga que el helicóptero está en caida libre después de apagarse el mo­tor y que la resistencia del aire es insignificante. a) ¿Qué alturamáxima sobre el suelo alcanza el helicóptero? b) 7.0 s después desaltar del helicóptero, Powers enciende un cohete que trae sujeto ala espalda, el cual le imprime una aceleración constante hacia aba­jo con magnitud de 2.0 mis!. ¿A qué distancia sobre el suelo estáPowers cuando el helicóptero se estrella en el piso?2.87 Altura de edificio. El hombre Araña da un paso al vacio des­de la azotea de un edificio y cae libremente desde el reposo una dis­tancia h hasta la acera. En el último 1.0 s de su caida, cubre unadistancia de h14. Calcule la altura h del edificio.2.88 Altura de acantilado. Imagine que está escalando una mon­taña y que repentinamente se encuentra en el borde de un acantila­do, envuelto en niebla. Para determinar la alturd del acantilado, dejacaer un guijarro y 10.0 s después escucha el sonido que hace al gol­pear el suelo al pie del acantilado. a) Sin tomar en cuenta la resis­tencia del aire, ¿qué altura tiene el acantilado si la rapidez delsonido es de 330 mis? b) Suponga que hizo caso omiso del tiempoque el sonido tarda en llegar a los oIdos. ¿Habria sobreestimado osubestimado la altura del acantilado? Explique su razonamiento.2.89 Lata que caco Un pintor está parado en un andamio que subecon rapidez constante. Por descuido, empuja una lata de pintura, lacual cae del andamio cuando está 15.0 m sobre el suelo. Un obser­vador usa su cronómetro para determinar que la tata tarda 3.25 s enllegar al sl}elo. No tome en cuenta la resistencia del aire. a) ¿Qué ra­pidez tiene la lata justo antes de llegar al suelo? b) Otro pintor estápamdo en una comisa, una lata está a 4.00 m arriba de él cuandoésta se cae. Tiene reflejos felinos, y si la lata pasa frente a él, podráatraparla. ¿Tiene oportunidad de hacerlo?2.90 Decidido a probar la ley de la gravedad, un estudiante se dejacaer (vo = O) desde un rascacielos de 180 m, cronómetro en mano,e inicia una caida libre. Cinco segundos después, llega Supermán yse lanza de la azotea para salvarlo, con una rapidez inicial Voqueimprimió a su cuerpo empujándose hacia abajo desde el borde de la

Problemas estimulanteS

azotea con sus piernas de acero. Después. cae con la misma acele·ración que cualquier cuerpo en caida líbrc. a) ¿Qué. valordcberá tenerVo para que Supermán atrape al esrudiante justo antes de llegar alsudo? b) Dibuje en una sola gráfica las posiciones de Supennán ydel estudiante como funciones de t. La rapidez inicial dc Supermántiene el valor calculado en (a). c) Si la altura del edificio es menorque cierto valor, ni Supermán podrá salvar al estudiante. ¿Cuál es laaltura mínima?2.91 Otro estudiante decidido (véase el problema 2.90) se dejacaer desde la Torre eN de Toronto; de 553 m, y cae libremente. Suvelocidad inicial es cero. Rocketeer l1ega 5.00 segundos después yse lanza de la torre para salvarlo. Rocketeer se lanza con una velo­cidad hacia abajo de magnitud Vil- A fin de evitar lesiones. Roc::ke·teer deber:i atrapar al estudiante a una altura tal que puedan fTenary llegar al suelo con "elocidad cero. La aeelernción ascendente pa.ra lograrlo proviene del cohete de Roc::keleer, el cual se enciendejusto cuando atrapa al estudianle; antes, está en caída libre. Para nolastimar al estudiante, la magnitud de la aceleración de Roc::keteery el estudiante al bajar juntos no deberá ser mayor que 5 veces g.a) ¿Cuál es la altura mínima sobre el suelo a la que Rocketeer debe·rá atrapar al estudiante? b) ¿Qué rapitlez inicial hacia abajo deberátener Rocketeecr para atrapar al estudiante a la altura mínima obte·nida en (a)? c) Dibuje las gráficas: v~-t y ayt para el estudiante ypara Rocketeer. En cada una, use un solo par de ejes para amboscuerpos.2.92 Se lanza una bola verticalmente hacia arriba desde el suelocon rapidez Vil- En el mismo instante, una segunda bola (en reposo)se deja caer de una alturn H dittctamente encima del punto de lan­zamienlo de la primera. No hay resistencia del aire. a) ¿Cuándochocan las bolas? b) Oblenga el valor de H en ténninos de Va Yg demodo que, cuando choquen las ~las, la primera esté en su puntomás alto.2.93 Dos aUlos, A y a, viajan en línea recta. La distancia de A reS'pecto al punto de partida está dada por xit) - at + f3t2, con a = 2.60mis y f3 = 1.20 mls2• La distancia entre ay el punto de partida esx~t) '" yt2 - 8fJ, con "y - 2.80 mls2 y 8 - 0.20 mlsl

. a) ¿Cuál autose adelanta justo después de partir? b) ¿En qué instante(s) los dosautos están en el mismo punto? c) ¿En qué instantc(s) la distanciaentre A y B no está aumentando ni disminuyendo? d) ¿En qué ins­tante(s) A ya tienen la misma aceleración?2.94 Una manzana cae libremente de un árbol, estando originalmen.te en rcposo a una alrura H sobre un césped crecido cuyas hojas mi·den h. Cuando la manzana llega al césped, se frena con razónconstante de modo que su rapidez es O al llegar al suelo. a) Obten­ga la rapidez de la manzana justo antes de locar el césped. b) Ob­lenga la aceleración de la manzana ya dentro del césped. c) Dibujelas gráficas: v,.t y ayt para el movimiento de la manzana.

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Problemas de desafio

2.95 Tomar el camión. Una estudiante corre a más no poder paraalcanzar su camión, que está detenido en la parada, con una rapidezconstante de 5.0 mis. Cuando ella está a 40.0 m del camión, éste sepone en marcha con aceleración constante de 0.170 mls2

• ¿Durantequé tiempo y qué distancia debe correr la estudiante a 5.0 mis paraalcanzar al camión? b) Cuando 10 hace, ¿qué rapidez ticne el ca·mión? e) Dibuje una gráfica X-l para la estudiante y el camión, don­de.T = Oes la posición inicial de la estudiante. d) Las ecuacionesque usó en (a) para calcular t tienen una segunda solución, que co­rresponde a un instante posterior en que la estudiante y el camiónestán otra vez en el mismo lugar si continúan su movimiento. Ex­plique el significado de esta otra soluciÓn. ¿Qué rapidez tiene el ca­mión en ese punto? e) Si la rapidez de la estudiante fuera de 3.5 mfs,¿alcanzarla al camión? f) ¿Qué rapidez minima requiere la estu­diante para apenas alcanzar al camión? ¿Durante qué tiempo y quédistancia deberá correr en tal caso?2.96 En el salto vertical, un atleta se agazapa y salta hacia arribatratando de alcanzar la mayor altura posible. Ni los campeones pa­san mucho más de 1.00 s en el aire ("ticmpo de suspensión"). Trateal atleta como particula y sea Ymix su altura máxima sobre el suelo.Para explicar por qué parece estar suspendido en el aire, calcule larazón del tiempo que está sobre yrm/2 alliempo que tarda en llegardel suelo a esa altura. Desprecie la resistencia del aire.2.97 Se lanza una pelota bacia arriba desde el borde de una azotea.Una segunda pelota se deja caer desde la azotea 1.00 s despues.Desprecie la resistencia del aire. a) Si la altura del edificio es 20.0 m,¿qué velocidad inicial necesitará la primera bola para que las doslleguen al suelo al mismo tiempo? Dibuje en una sola gráfica la po­sición de cada pelota en función delliempo, a partir del instante enque se lanzó la primera. Considere la misma situación, pero sea larapidez inicial Vo de la primera pelota un dato y la altura h del edi­ficio la incógnita. b) ¿Qué altura deberá tener el edificio para quelas dos pelotas lleguen al suelo al mismo tiempo si Vo es: i) 6.0 mis?ii) ¿9.S mis? c) Si Vo es mayor que cierto valor V.m, no existe una h talque ambas pelotas lleguen al piso simultáneamente. Obtenga Vmix'

Este valor tiene una interpretación lisica sencilla. ¿Cuál es? d) Si Vo

es menor que cierto valor VmiDo no existe una h tal que ambas pelotaslleguen al piso al mismo tiempo. Obtenga v_o Este valor tambiéntiene una interpretación fisica sencilla. ¿Cuál es?2.98 Un excursionista despierto ve un peñasco caer desde un riscolejano y observa que tarda 1.30 s en caer el último tercio de la dis·tancia. Puede despreciarse la resistencia del aire. a) ¿Que altura (en m)tiene el risco? b) Si en (a) obtiene dos soluciones de una ecuacióncuadrática y usa una para su respuesta, ¿qué representa la olra?