-

CONTENIDO

MECÁNICA 3.5 Velocidad relativa 101ResumenITérminos clave 107Preguntas para análisislEjercicioslProblemas 109

1 UNIDADES, CANTIDADES 4FÍSICAS YVECTORES 1 LEYES DEL MOVIMIENTO

l.l La naturaleza de la físicaDENEWTON 119

21.2 Cómo resolver problemas en fislea 3 4.1 Fuerza e interacciones 120

1.3 Estándares y unidades 5 4.2 Primera ley de Newton 124

1.4 Consistencia y conversiones de unidades 8 4.3 Segunda ley de ewtnn 128

1.5 Incertidumbre y cifras significativas 10 4.4 Masa y peso 1351.6 Estimaciones y órdenes de magnitud 13 4.5 Tercera ley de Newton 1381.7 Vectores y suma de vectores 14 4.6 Diagramas de cuerpo libre 1431.8 Componentes de vectores 18 ResumenITénninos clave 1451.9 VeclOres unitarios 23 Preguntas para análisislEjercicioslProblemas 1471.10 Productos de vectores 24

ResumenfTérminos clave 31Preguntas para análisisIEjercicioslProblemas 33

S APLICACIÓN DE LASLEYES DE NEWTON 153

2 MOVIMIENTO 5.1 Empleo de la primera ley de Newton:

EN LÍNEA RECTA 40particulas en equilibrio 154

5.2 Empleo de la segunda ley de Newton:2.1 Desplazamiento, tiempo y velocidad media 41 dinámica de partículas 1612.2 Velocidad instanlánea 44 5.3 Fuerzas de fricción 1712.3 Aceleración media e instantánea 47 5.4 Dinámica del movimiento circular 1812.4 Movimiento con aceleración constante 52 ·5.5 Fuerzas fundamentales de la Naturaleza 1882.5 Cuerpos en caída libre 58 RcsumenITérminos clave 190

·2.6 Velocidad y posición por integración 62 Preguntas para análisislEjercicioslProblemas 192ResumenfTérminos clave 66Preguntas para análisislEjercicioslProblemas 68

6 TRABAJO Y ENERGÍA

3 CINÉTICA 207MOVIMIENTO EN DOS

6.1 TrabajoO TRES DIMENSIONES 78 2086.2 Trabajo y energia cinética 213

3.1 Vectores de posición y velocidad 79 6.3 Trabajo y energia con fuerzas variables 2203.2 El vector aceleración 82 6.4 Potencia 2273.3 Movl1niento de proyectiles 87 Resumenrrérminos clave 2303.4 Movimiento en un circulo 98 Preguntas para análisislEjerciciosIProblemas 2J2

xvi

,

CONTENIDO xvii

7 10.3 Rotación de un cuerpo rígidoENERGÍA POTENCIAL sobre un eje móvil 370

y CONSERVACIÓ 10.4 Trabajo y potencia en movimiento

DE LA ENERGÍA 241 rotacional 377

Energía potencial gravitacional10.5 Cantidad de movimiento angular 379

7.1 24210.6 Conservación de la cantidad

7.2 Energía potencial elástica 253 de movimiento angular 3827.3 Fuerzas conservativas y no conservativas 260 10.7 Giróscopos y precesión 3867.4 Fuerza y energía potencial 265 Resumenffénninos clave 3907.5 Diagramas de energía 268 Preguntas para análisislEjerciciosIProblemas 392

ResumenfTénninos clave 271

Preguntas para amilisislEjercicioslProblemas 273

11 EQUILIBRIO

8 CANTIDAD DE MOVIMIENTO,Y ELASTICIDAD 404

IMPULSO Y CHOQUES 282 11.1 Condiciones del equilibrio 405

11.2 Centro de gravedad 4068.1 Cantidad de movimiento e impulso 283 11.3 Resolución de problemas de equilibrio8.2 Conservación de la cantidad de cuerpos rígidos 409

de movimiento 289 11.4 Esfuerzo, tensión y módulos8.3 Choques inelásticos 295 de elasticidad 4148.4 Choques elásticos 300 11.5 Elasticidad y plasticidad 4208.5 Centro de masa 306 ResumenITénninos clave 422

·8.6 Propulsión a reacción 3ll Preguntas para análisislEjercicioslProblemas 424ReswnenITerminos clave 314

Preguntas para análisislEjercicioslProbkmas 316

12 GRAVITACIÓN 436

9 ROTACIÓN DE CUERPOS 12.1 Ley de la gravitación de Newton 437

RÍGIDOS 327 12.2 Peso 441

12.3 Energía potencial gravitacional 4449.1 Velocidad y aceleración angulares 328 12.4 Movimiento de satélites 447

9.2 Rotación con aceleración 12.5 Las leyes de Kepler y el movimientoangular constante 333 de los planetas 452

9.3 Relación entre cinemática ·12.6 Distribuciones esféricas de masa 456

lineal y angular 335 ·12.7 Peso aparente y rotación terrestre 459

9.4 Energía en el movimiento rotacional 339 12.8 Agujeros negros 461

9.5 Teorema de los ejes paralelos 345 ReswnenfTérminos clave 465

·9.6 Cálculos de momento de inercia 347 Preguntas para análisislEjercicioslProblemas 467

ResumenITérminos clave 350Preguntas para análisislEjercicioslProblemas 352

13 MOVIMlENTO

10 PERIÓDICO 476DINÁMICA DEL

13.1 Descripción de la oscilación 471MOVIMIENTOROTACIONAL 361 13.2 Movimienlo annónico simple 478

13.3 Energía en el movimiento

10.1 Momenlo de torsión 362 armónico simple 486

10.2 Momento de torsión y aceleración 13.4 Aplicaciones del movimiento

angular de un cuerpo rígido 365 armónico simple 490

xviii CONTENIDO

13.5 El péndulo simple 495 16.8 El efecto Doppler 62113.6 El péndulo fisico 496 "'16.9 Ondas de choque 62713.7 Oscilaciones amortiguadas 499 Resumen/Términos clave 63113.8 Oscilaciones forzadas y resonancia 502 Preguntas para análisislEjercicioslProblemas 633

Resumen/Términos clave 504Preguntas para análisis/EjerciciosiProblemas 506

TERMODINÁMICA

14 MECÁNICA DE FLUIDOS 515 1714.1 Densidad 515 TEMPERATURA Y CALOR 64014.2 Presión en un fluido 517 17.1 Temperatura y equilibrio térmico 64114.3 Flotación 523 17.2 Termómetros y escalas de temperatura 64214.4 Flujo de fluidos 526 17.3 Termómetros de gas y la escala Kelvin 64414.5 Ecuación de Bernoulli 528 17.4 Expansión térmica 646

*14.6 Viscosidad y turbulencia 533 17.5 Cantidad de calor 652Resumen/Ténninos clave 536 17.6 Calorimetría y cambios de fase 657Preguntas para análisislEjercicios/Problemas 538

17.7 Mecanismos de transferencia de calor 663Resumen/Términos clave 671Preguntas para análisisiEjerciciosIProblemas 673

ONDAS/ACÚSTICA

18 PROPIEDADES TÉRNlICi\S

15DE LA MATERIA 684

ONDAS MECÁNICAS 547 18.1 Ecuaciones de estado 685

Tipos de ondas mecánicas18.2 Propiedades moleculares de la materia 692

15.1 54818.3 Modelo cinético-molecular del gas ideal 694

15.2 Ondas periódicas 54918.4 Capacidades caloríficas 702

15.3 Descripción matemática de una onda 55215.4 Rapidez de una onda transversal 559

"'18.5 Rapideces moleculares 706

15.5 Energía del movimiento ondulatorio 564 18.6 Fases de la materia 708

15.6 Interferencia de ondas, condiciones Resumen/Ténninos clave 712

de frontera y superposicion 567 Preguntas para análisislEjercicioslProblemas 714

15.7 Ondas estacionarias en una cuerda 57015.8 Modos normales de una cuerda 575

Resumen!Términos clave 580 19Preguntas para análisislEjercicios/Problemas 582 LA PRIMERA LEY DE LATERMODINÁMICA 723

19.1 Sistemas termodinámicos 723

16 SONIDO Y EL OÍDO19.2 Trabajo realizado al cambiar el volumen 725

59I 19.3 Trayectorias entre estados termodinámicos 728

16.1 Ondas sonoras 592 19.4 Energía interna y la primera

16.2 Rapidez de las ondas sonoras 597 ley de la termodinámica 72916.3 Intensidad del sonido 602 19.5 Tipos de procesos termodinámicos 73516.4 Ondas sonoras estacionarias 19.6 Energía interna del gas ideal 737

y modos normales 608 19.7 Capacidad calorífica del gas ideal 73816.5 Resonancia 614 19.8 Procesos adiabáti~os para el gas ideal 74116.6 1nterferencia de ondas 616 Resumen/Ténninos clave 74516.7 Pulsaciones 619 Preguntas para análisislEjercicios/Problemas 747

CONTENIDO xix

2020.120.220.320.420.520.620.7

*20.8

LA SEGUNDA LEY DE LATERMODINÁMICA 754

Dirección de los procesos termodinámicos 755Máquinas de calor 756Motores de combustión interna 759Refrigeradores 761La segunda ley de la termodinámica 764El ciclo de Carnol 766Entropía 773Interpretación microscópica de la entropía 779Resumentrénninos clave 783Preguntas para análisislEjerciciosIProblemas 785

2323.123.223.323.423.5

24

POTENCIAL ElíCTRICO 869

Energía potencia! eléctrica 870Potencial eléctrico 878Cálculo del potencial eléctrico 885Superficies equipotenciales 890Gradiente de potencial 893Resumenrrérminos clave 896Preguntas para análisislEjerciciosiProblemas 898

CAPACITANCIAY D1ELíCTRICOS 908

ELECTROMAGNETISMO

2121.121.2

21.321.421.521.621.7

2222.122.222.322.422.5

CARGA ELíCTRlCAy CAMPO ELíCTRTCO

Carga eléctricaConductores, aisladores y cargasnuclearesLey de CoulombCampo eléctrico y fuerzas eléctricasCálculos de campos eléctricosLineas de campo eléctricoDipolos eléctricosResumenITénninos clavePreguntas para análisisiEjercicios!Problemas

LEYDEGAUSS

Carga y flujo eléctricoCálculo del flujo eléctricoLey GaussAplicaciones de la ley de GaussCargas en conductoresResumenITénninos clavePreguntas para análisis/EjercicioslProblemas

79279J

797800805811818820825827

836

837840844848855860862

24.124.224.3

24.4*24.5*24.6

2525.125.225.325.425.5

*25.6

2626.126.226.326.426.5

Capacitares y capacitancia 909Capacitores en serie y en paralelo 914Almacenamiento de energía en capacitaresy energía de campo eléctrico 918Dieléctricos 922Modelo molecular de la carga inducida 928La ley de Gauss en los dieléctricos 930ResumenITérminos clave 932Preguntas para análisislEjercicioslProblemas 934

CORRIENTE, RESISTENCIA YFUERZA ELECTROMOTRIZ 942

Corriente eléctrica 943Resistividad 947Resistancia 950Fuerza electromotriz y circuilOs 955Energía y potencia en circuitos electrícos 962Teoría de la conduccíón metálica 966ResumenfTérminos clave 970Preguntas para análisis!Ejercicios!Problemas 972

CIRCUITOS DE CORRIENTECONTINUA 980

Resistores en serie yen paralelo 981Reglas de Kirchhoff 986Instrumentos de medición eléctrica 992Circuitos R-C 997Sistemas de distribución de energía 1002Resumenrrérminos elave 1007

Preguntas para análisislEjerciciosIProblemas 1009

/

7

)()( CONTENIDO

1147

Inductancia mutua 1148Autoinductancia e inductores 1151Energía de campo magnético 1156El circuito R-L 1159El circuito L-C 1164El circuito L-R-C en serie 1168ResumenfTérminos clave 1171Preguntas para análisislEjercicios/Problemas 1173

Corriente de desplazamientoy ecuaciones de Maxwell 1128Superconductividad 1133ResumenfTérminos clave 1135Preguntas para análisisfEjerciciosIProblemas 1137

1NDUCTANCIA

30.130.230.330.430.530.6

29.7

*29.8

301029

1025

10201022

1033

1036

1019CAMPO MAGNÉTICOY FUERZAS MAGNÉTICAS

MagnetismoCampo magnéticoLíneas de campo magnético y flujomagnéticoMovimiento de partículas con cargaen un campo magnéticoAplicaciones del movimientode partículas con cargaFuerza magnética sobre un conductorque transporta corrienteFuerza y momento de torsión en unaespira de corriente 1039El motor de corriente continua 1046Efecto Hall 1048Resumenfférminos clave 1051Preguntas para análisis/EjerciciosIProblemas 1053

27.127.227.3

27.5

27.4

27.6

27.7

·27.827.9

27

1182118411901195

12171223

1215

1181

1214

CORRIENTE ALTERNA

Ecuaciones de Maxwell y ondaselectromagnéticasOndas electromagnéticas planasy rapidez de la luzOndas electromagnéticas sinusoidalesEnergía y cantidad de movimientode las ondas electromagnéticas 1228Ondas electromagnéticas estacionarias 1234El espectro electromagnético 1238ResumenfTérminos clave 1240Preguntas para análisis/EjerciciosIProblemas 1242

ONDASELECTROMAGNÉTICAS

Fasores y corriente alternaResistencia y reactanciaEl circuito L-R-C en seriePotencia en circuitos de corriente alternaResonancia en circuitos de corrientealterna 1198Transformadores 1201ResumenfTérminos clave 1205Preguntas para análisis!EjerciciosIProblemas 1207

31.131.231.331.431.5

32.2

31.6

32.1

32.332.4

32.532.6

31

32

1068

1065

10711074

110S

110611081118112011231126

1064

Experimentos de inducciónLey de FaradayLey de LenzFuerza electromotriz de movimientoCampos eléctricos inducidosCorrientes parásitas

INDUCCIÓNELECTROMAGNÉTICA

Campo magnético de una cargaen movimientoCampo magnético de un elementode corrienteCampo magnético de un conductorrecto que transporta corrienteFuerza entre conductores paralelosCampo magnético de una espiracircular de corriente 1076Ley de Ampere 1079Aplicaciones de la ley de Ampere 1082Materiales magnéticos 1086ResumenfTérminos clave 1093Preguntas para análisislEjerciciosIProblemas 1095

FUENTES DE CAMPOMAGNÉTICO

28.428.5

28.1

28.2

28.3

28.628.7

*28.8

29.129.229.329.429.5

*29.6

28

29

CONTENIDO xxi

33.1 Naturaleza de la luz 124833.2 Rc:f1exi6n y refracción 125033.3 Reflexión interna total 1256

·33.4 Dispersión 125933.5 Polarización 1262

·33.6 Dispersión luminosa 127033.7 Principio de Huygens 1271

ResumenITérminos clave 1275Preguntas para análisisIEjercicioslProblemas 1277

ÓPTICA 36.3 Intensidad en el patrón de una sola ranura 137336.4 Ranuras mtiltiples 137736.5 Rejilla de difracción 137936.6 Difracción de rayos X 138336.7 Aberturas circulares y poder resolutivo 1386

-36.8 Holografía 1390ResumenfTénninos clave 1393Preguntas para análisislEjercicioslProblemas 1395

FÍSICA MODERNA

1403RELATIVIDAD37

1247NATURALEZA YPROPAGACIÓN DE LA LUZ

33

Reflexión y refracción en unasuperficie plana 1286Reflexión en una superficie esférica 1289Refracción en una superficie esférica 1299Lentes delgadas 1304Cámaras fotográficas 1313El ojo 1317La lente de aumento 1321Microscopios y telescopios 1322ResumenITérminos clave 1327Preguntas para análisis/EjerciciosIProblemas 1329

14041407140914141419

34

34.1

34.234.334.434.534.634.734.8

ÓPTICA GEOMÉTRICAE INSTRUMENTOSÓPTICOS 1285

37.137.237.337.437.5

-37.6

37.737.837.9

Invariabilidad de las leyes fisicasRelatividad de la simultaneidadRelatividad de los intervalos de tiempoRelatividad de la longitudTransfonnación de LorentzEfecto Doppler de ondaselectromagnéticas 1423Cantidad de movimiento relativista 1426Trabajo y energía relativistas 1429Mecánica newtoniana y relatividad 1433ResumenfTérminos clave 1435Preguntas para análisislEjercicioslProblemas 1437

APÉNDICES

Interferencia y fuentes coherentes 1339Interferencia de luz de dos fuentes 1342Intensidad en los patrones de interferencia 1346Interferencia en peliculas finas 1350IntetfeTÓmetro de Michelson 1356ResumenfTérminos clave 1359Preguntas para análisislEjercicioslProblemas 1361

3S35.\3S.235.335.435.5

INTERFERENCIA 1338

A Sistema internacional de unidadesB Relaciones matemáticas útilesC El alfabeto griegoD Tabla periódica de los elementosE Factores de conversión de unidadesF Constantes numéricas

Respuestas a los problemas imparesCréditos fotográficos¡ndice

AlA3A4ASA6A7

A9

Al'A23

36 DIfRACCIÓN

36.1 Difracción de Fresnel y de Fraunhofer36.2 Difracción desde una sola ranura

1367

13681369

UNIDADES,CANTIDADES

FÍSICAS Y VECTORES

• Por qué estud.iar física? Por dos motivos. Uno es porque la física es una de las¿ciencias más fundamentales. Los científicos de todas las disciplinas aplicanlas ideas de la física, desde los químicos quienes estudian la estructura de las mo­léculas hasta los paleontólogos quienes tratan de reconstruir la forma de andarde los dinosaurios. Los principios de la física desempeñan un papel fundamentalen el esfuerzo científico por entender cómo las actividades humanas afectan a laatmósfera y a los océanos, y en la búsqueda de otras fuentes alternas de energía.También, la física es la base de loda la ingenieria y la tecnología. Ningún ingenie­ro podría diseñar un dispositivo practico, sin anles entender sus principios bási­cos. No seria posible diseñar un reproductor de DVD. un televisor de pantallaplana, una nave interplanetaria ni tan siquiera una mejor ratonera. sin anres haberentendido las leyes básicas de la fisica.

Pero hay otra razón. El estudio de la física es una avenrura que el lector encon·trará estimulante. a veces frustrante y en ocasiones dolorosa, pero con fTecuenciaproporcionará abundantes beneficios y satisfacciones. La física despertará en us­ted su sentido de 10 bello, así como su inteligencia racional. Lo que COllocemosdel mundo fisico se basa en los cimientos establecidos por gigantes como Galileo.Newton, Max\\'ell y Einstein, cuya influencia se ha extendido más allá de la cien·cia para afectar profundamenle las fonnas en que vivimos y pensamos. El lectorpodrá compartir la emoción de esos descubrimientos cuando aprenda a usar la fi·

La e~actilud en las mediciones es indis·pensable en las aplicaciones médicas de lafisica. Los rayos láser que inciden sobreesta paciente con cáncer marcan el sitio deun rumor. el cual se bombardea entoncescon un haz de neutrones de alra. energíaproveniente de la abenura cuadrada de laderecha. Los neutrones deposilan su ener­gía en el rumor. detienen su crecimienlo y.en el caso ideal. lo destruyen lotalmentc.Dado que el angosto haz de neulrones estádirigido con gran exactitud. los tejidos sa­ludables que rodean al tumor prácticamen­te no sufren da~os.

las partículas subatómicas

empleadas en la terapia contra el

cáncer se pueden dirigir con una

exactitud de 100 micras. ¿Cuántos

glóbulos sanguíneos humanos en

fila cubrirlan esa distancia?

1

2 e A P fTu L o 1 1 Unidades. canlidades físicas y vectores

sica para resolver problemas prácticos y entender los fenómenos cotidianos. Si al­guna vez se ha preb'Untado por qué el cielo es azul, cómo pueden viajar las ondas deradio por el espacio, o cómo un satélite pcnnanece en órbita. encontrará las respues­tas en la fisiea básica. Sobre todo, apreciará la fisiea como un logro sobresaliente delintelecto humano en su lucha por entcnder el mundo y la humanidad.

En este capitulo inicial repasaremos algunos conceptos importantes que necc­sitaremos en nuestro estudio. Comentaremos la naturaleza de la fisiea teórica y eluso de modelos idealizados para representar los sistcmas fisicos. Presentaremoslos sistemas de unidades empleados para describir cantidades fisieas y veremos lafonna de describir la exactitud de un número. Estudiaremos ejemplos de proble­mas que no tienen (o para los que no nos interesa obtener) una respuesta exacta yen los que las estimaciones aproximadas son útiles e interesantes. Por último, repa­saremos varios aspectos de los vectores y el álgebra \'eCtOrial que necesitaremos paradescribir y analizar cantidades fisicas, como velocidad y fuerza, que tienen direc­ción además de magnitud.

1.1 I La naturaleza de la física

El desarrollo de la teoría fisiea exige creatividad en todas sus etapas. El físicodebe aprender a haccr las preguntas apropiadas, diseñar experimentos para tratarde conteslarlas y deducir conclusiones apropiadas de los resul!ados. La figura 1.1muestra dos famosas instalaciones experimentales.

(b)

La fisica es una ciencia experimell/al. Los fisicos observan los fenómenos natura­les y tnltan de encontrar los patrones y principios que los relacionen. Dichos patro­nes se denominan teorías fisicas o, si están bien establecidos y se usanampliamente, leyes o principios físicos.

~U..lQAD_O Decir que una idea es una teoria no implica que se trate de una di­vagación o de un concepto no comprobado. Mas bien, una teoria es una expli­

cación de fenómenos naturales basada en observaciones y en los principiosFundamentales aceptados. Un ejemplo es la teoría de la evolución biológica,que es el resultado de extensas investigaciones y observaciones de varias gene­raciones de biólogos.

1.1 Dos laboratorios de investigación.(a) La Torre inclinada en Pisa, Italia. Se·gún la leyenda, Galileo estudió el mo­vimiento de cuerpos en caida libresoltándolos desde la torre. Se dice quetambién esrudió el movimiento de los pén.dulos observando la oscilación del cande­labro de la catedral que está atrás de la10m.:. (b) El telescopio espacial Hubb1e esel primer telescopio importante que operófuera de la atmósfera terrestre; sus sensi­bles instrumentos miden luz visible, ultra­violeta y del infrarrojo cercano procedentede objetos astronómicos. Eltclescopio es­pacial se ha usado paTa estudiar fenómenosdesde erupciones en las lunas de Júpiterhasta los centros de galaxias lejanas. Aquíse muestra en marzo de 2002 mientras es­taba siendo reparado en órbita por la rripu.lación del transbordador espacial Columbia. (a)

1.2 I Cómo resolver problemas en física

Según la leyenda, Galileo Galilei (1564-1642) dejó caer objetos ligeros y pesa­dos desde la Torre Inclinada de Pisa (Fig. l. la) para averiguar si sus velocidadesde caída eran iguales o diferentes. Galileo sabía que sólo la investigación experi­mental podría darle la respuesta. Examinando los resullados de sus experimentos(que en realidad fueron mucho más complejos de lo que cuema la leyenda), dio elsalto inductivo al principio, o leona, de que la aceleración de un cuerpo que cae esindependicnte de su peso.

El desarrollo de tcorías fisicas como la de Galileo siempre es un proceso bidi­reccional que comienza y termina con observaciones o experimentos. El camino amenudo es indirecto, con callejones sin salida, equivocaciones y el abandono deteorías infructuosas en favor de olras más prometedoras. La fisica no es una meracolección de hechos y principios; también es el proceso que nos lleva a los princi­pios generales que describen el comportamiento del universo fisico.

Ninguna teoría se considera como la verdad final o definitiva; siempre cabe laposibilidad de que nuevas observaciones obliguen a modificarla o desecharla. Esinherente en las teorías fisicas que podemos demostrar su falsedad encontrandocomportamicntos no congruentes con ellas, pero nunca podemos probar que unateoria siempre es correcta.

Volviendo a Galileo, supongamos que dejamos caer una pluma y una bala decanón. Sin duda no caen a la misma velocidad. Esto no significa que Galileo es­tuviera errado, sino que su leoría era incompleta. Si soltamos esos objetos en unvacío para eliminar los efectos del aire, sí caeritn a la misma velocidad. La teoríade Galileo tienc un inten'alo de validez: sólo es válida para objetos cuyo peso esmucho mayor que la fuerza ejercida por el aire (debido a su resistencia y a la flo­lación del objeto). Los objetos como las plumas y paracaídas obviamente se salendel intervalo.

Toda teoría fisica tiene un intervalo de validez fuera del cual no es aplicable. Escomun que un nuevo avance en fisica extienda el intervalo de validez de un princi­pio. Las leyes del movimiento y de gravitación de Newton extendieron enorme­mente, medio siglo después, el análjsis de la caída de los cuerpos que hizo Galileo.

1.2 I Cómo resolver problemas en física

En algún punlo de sus estudios, casi todos los estudiantes de Iisica sienten que,pese a entender los conceptos, simplemente no pueden resolver los problemas. Sinembargo, en fisica, entender verdaderamente un concepto o principio es 10 mismoque saber aplicarlo a diversos problemas prácticos. Aprender a resolver problemases absolutamente indispensable; es imposible saber fisica sin poder hacer fisica.

¿Cómo aprendemos a resolver problemas de fisiea? En todos los capítulos deeste libro, el lector encontrará Estrategias para resofl'er problemas que sugierentécnicas para plantear y resolver problemas de forma eficiente y correcta. Despuésde cada Estrotegia paro resolver problemas hay uno o más Ejemplos resueltos quemuestran esas técnicas en acción. (Las ESf1TItegias paro resolver problemas tam­

bién ayudan a evitar algunas técnicas incorrecras que podríamos sentirnos tentadosa usar.) También hay ejemplos adicionales que no están asociados a una Esrraregiapara resolver problemas en particular. Recomendamos al lector estudiar detenida­mente esas estrategias y ejemplos, y resolverlos por su cuenta.

En fisica se usan diferentes técnicas para resolver distintos tipos de problemas,y es par ello que este libro ofrece docenas de Estrategias para resolver problemas.No obstante, sea cual sea el tipo de problema, hay ciertos pasos básicos que se de­ben seguir siempre. (Esos mismos pasos son utiles en matemáticas, ingeniería,

3

4

Estrategia pararesolver problemas

e A P íT U L o J I Unidades, cantidades físicas y vectores

Cómo resolver problemas de física

IDENTIFICAR los conceptos releranles: Primero, decida quéideas de la física son relevantes para el problema. Aunque estepaso no implica hacer cálculos, a veces es la parte más dificil.Nunca lo omita; si desde el principio se escoge el enfoque equi~

vocado, el problema se dificultará innecesariamente, e inclusopodría llevar a una respuesta errónea.

A estas alturas también se debe identificar la incógnita delproblema: la cantidad cuyo valor se desea encontrar. Podría ser larapidez con que un proyectil choca contra el suelo, la intensidaddel sarudo producido por una sirena o la fuerza de un campo mag­nético generado por un electroimán. (En ocasiones, la meta seráhallar una expresión matemática para la incógnita, no un valor nu­mérico. Otras veces, el problema tcndrá más de una incógnita.)Esta variable es la meta del proccso de la resolución de proble­mas; asegúrese de no perderla de vista durante los cálculos.

PLANTEAR el problema: Si resulta apropiado, dibuje la situa­ción dcscrita en el problema. Con base en los conccptos que es-

cogió en el paso dc Identificar, seleccione las ecuaciones queusará para resolver el problema y decida cómo las usará.

EJECUTAR la solución: En este paso, se "hacen las cuentas". An­tes de meterse en los cáleulos, haga una lista de las cantidadesconocidas y dcsconocidas, e indique cuál o cuáles son las varia­bles meta. Después, despeje las incógnitas de las ecuaciones.

EVALUAR la respuesta: La meta de la resolución de problemasen fisica no es sólo obtener un número o una fórmula; es enten­der mejor. Ello implica examinar la respuesta para ver qué nosdice. En particular, pregúntese: "¿Es lógica esta respuesta?" Sila incógnita era el radio de la Tierra y la respuesta es 6.38 cm (¡Oun número negativo!), hubo algún error en el proceso de resolu­ción de problemas. Revise su trabajo y modifique la soluciónsegún sea necesario.

química y muchos otros campos.) En este libro, hemos organizado los pasos encuatro etapas para la resolución de un problema.

Todas las Estrategias pam resolver problemas y Ejemplos de este libro segui­rán eslos cuatro pasos. (En algunos casos se combinarán los primeros dos o trespasos.) Le recomendamos seguir los mismos pasos al resolver problemas por sucuenta.

Modelos idealizados

Comúnmente usamos la palabra "modelo" para referirnos a una réplica miniatura(digamos, de un ferrocarril) o a una persona que exhibe ropa (o se exhibe sin ro­pa). En física, un modelo es una versión simplificada de un sistema fisico dema­siado complejo como para analizarse con todos sus pormenores.

Por ejemplo, supongamos que nos interesa analizar el movimiento de una pe­lota de béisbol lanzada al aire. ¿Qué tan complicado es el problema? La pelota noes perfectamente esférica ni perfectamente rígida: tiene costuras y está girando. Elviento y la resistencia del aire afectan su movimiento, la Tierra gira, el peso de lapelota varia un poco al cambiar su distancia respecto al centro de la Tierra, etc. Sitratamos de incluir todo esto, la complejidad del análisis nos abrumará. En vez deello, inventamos una versión simplificada del problema. Omitimos el tamaño y laforma de la pelota representándola como un objeto puntual, o partícula. Omiti­mos la resistencia del aire haciendo que la pelota se mueva en el vacio, nos olvidamosde la rotación terrestre y suponemos un peso constante. Ahora ya tenemos un pro­blema manejable. Analizaremos este modelo con detalle en el capítulo 3.

Para crear un modelo idealizado del sistema, debemos pasar por alto muchosefectos menores y concentrarnos en las características más importantes. Claro queno debemos omitir demasiadas cosas. Sí ignoramos totalmente la gravedad, nues-

1.3 I Estándares y unidades

tro modelo predecirá que si lanzamos la pelota hacia arriba ésta se moverá en lí­nea recta y desaparecerá en el espacio. Necesitamos criterio y creatividad para lo­grar un modelo que simplifique lo suficiente un problema, sin omitir suscaracterísticas esenciales.

Al usar un modelo para predecir el comportamiento de un sistema, la validezde la predicción está limitada por la validez del modelo. La predicción de Galileorespecto a la caída de los cuerpos corresponde a un modelo idealizado que no in­cluye los efectos de la resistencia de! aire. El modelo funciona bien para una balade cañón, pero no para una pluma.

El concepto de modelos idealizados es muy importante en física y en todas lastecnologías. Al aplicar principios físicos a sistemas complejos, siempre usamosmodelos idealizados y debemos tener presentes los supuestos en que se basan. Dehecho, los mismos principios de la física se expresan en términos de modelos idea­lizados; hablamos de masas puntuales, cuerpos rígidos, aislantes ideales, etc. Esosmodelos desempeñan un papel crucial en este libro. Trate de distinguirlos al estu­diar las teorias físicas y sus aplicaciones a problemas específicos.

1.3 I Estándares y unidades

Como vimos en la sección 1.1, la fisica es una ciencia experimental. Los experi~

mentos requieren mediciones cuyos resultados suelen describirse con números.Un número empleado para describir cuantitativamente un fenómeno fisico es unacantidad física. Dos cantidades fisicas que describen a una persona son su peso yestatura. Algunas cantidades fisicas son tan básicas que sólo podemos definirlasdescribiendo la fonna de medirlas, es decír, con una definición operativa. Ejem­plos de ello son medir una distancia con una regla, o un lapso de tiempo con uncronómetro. En otros casos definimos una cantidad fisica describiendo la formade calcularla a partir de otras cantidades medibles. Así, podríamos definir la velo­cidad medía de un objeto como la distancia recorrida (medida con una regla) en­tre e! tiempo de recorrido (medido con un cronómetro).

Al medir una cantidad, siempre la comparamos con un estándar de referencia.Si decimos que un Porsche Carrera 01 tiene una longitud de 4.56 m, queremosdecir que es 4.56 veces más largo que una vara de metro, que por definición tieneI m de largo. Este estándar define una unidad de la cantidad. El metro es una uni­dad de distancia, y cl segundo, de tiempo. Al describir una cantidad física con unnúmero, siempre debemos especificar la unidad empleada; describir una distanciacomo "4.56" no significa nada.

Las mediciones exactas y confiables exigen unidades inmutables que los ob­servadores puedan duplicar en distintos lugares. El sistema de unidades empleadopor los científicos e ingenieros en todo el mundo se denomina comúnmente "sis­tema métrico", pero desde] 960 su nombre oficial es Sistema Internacional, o81. En el apéndice A se presenta una lista de todas las unidades del SI y se defi­nen las fundamentales.

Las definiciones de las unidades básicas del sistema métrico han evoluciona­do. Cuando la Academia Francesa de Ciencias estableció el sistema en 1791, elmetro se definió como una diezmillonésima de la distancia entre el Polo Norte ye! Ecuador (Fig. 1.2). El segundo se definió como el tiempo que tarda un péndulode 1 m de largo en oscilar de un lado a otro. Estas definiciones eran poco prácti-

5

Polo None

1.2 En 1791, se definió que la distanciaentre el Polo Norte y el Ecuador es por de­finición exactamente \07 m. Con la defini­ción moderna del metro, esta distancia esaproximadamenle 0.02% más que 107 m.

"6 e A P f T U LO 1 I Unidades, cantidades fisicas y vectores

cas y dificiles de duplicar con precisión, por lo que se han refinado por acuerdointernacional.

Tiempo

De 1889 a 1967, la unidad de tiempo se definió como cierta fracción del día solarmedio (el tiempo medio entre llegadas su~esivas del Sol al cenit). El estándar ac­tual, adoptado en 1967, es mucho más preciso; se basa en un reloj atómico que usala diferencia de energía entre los dos estados energéticos más bajos del álomo"decesio. Al bombardearse con microondas de cierta frecuencia exacta, el átomo su­fre una transición entre dichos estados. Se define un segundo como el tiempo quetardan 9,192,631,770 ciclos de esta radiación.

Longitud

En 1960 se estableció también un estándar atómico para el metro, utilizando lalongitud de onda de la luz anaranjada-roja emitida por álamos de kriptón (86Kr) enun tubo de descarga de luz. Utilizando este estándar de longitud, se comprobó quela rapidez de la luz en el vacio era de 299,792,458 mIs. En noviembre de 1983, eleSlándar se modificó aIra vez de modo que la rapidez de la luz en el vacio fuera,por definición, exactamente de 299,792,458 mis. El metro se define de modo quesea congruente con este numero y con la definición anterior del segundo. Así, lanueva definición de metro es la distancia que recorre la luz en el vacío en1/299,792,458 s. Éste es un estándar de longitud mucho más preciso que el basa­do en una longitud de onda de la luz.

Masa

El estándar de masa, el kilogramo, se define como la masa de cierto cilindro dealeación platino-iridio guardado en la Oficina Internacional de Pesos y Medidasen Sevres, cerca de Paris. Un estándar atómico de masa seria más fundamental,pero aún no podemos medir masas a escala atómica con tanta exactitud como aescala macroscópica. El gramo (que no es una unidad fundamental) es 0.001kilogramos.

Prefijos de unidades

Ya definidas las unidades fundamentales, es fácil introducir unidades más grandesy pequeñas para las mismas cantidades físicas. En el sistema métrico estas otrasunidades siempre se relacionan con las fundamentales (o, en el caso de la masa,con el gramo) por múltiplos de 10 o k Así, un kilómetro (1 km) son 1000 metros,y un centímetro (1 cm) es l~ m. Es común expresar estos múltiplos en notaciónexponencial: 1000 = 103, rr.kio = 10-3, etc. Con esta notación, 1 km = 103 m y 1 cm= 10-2 m.

Los nombres de las unidades adicionales se obtienen agregando un prefijo alnombre de la unidad fundamental. Por ejemplo, el prefijo "kilo", abreviado k,siempre indica una unidad 1000 veces mayor; así:

1 kilóm,etro

I kilogramo

I kilowatt

= 1 km = 103 metros = 103 m.

= I kg = 103 gramos = 103 g.

= I kW = 103 watts = 103 W.

1.3 I Estándares y unidades 7

,

(a) l~m

(d) J III

(b) lOH m

(e) 10-6 m

1.3 Algunas longitudes representativas del Universo. (a) Las galaxias más distantesestán a unos 102ó ro (1023 km). (b) El Sol está a 1.50 x lOlJ ro (1.50 x lOs km) de la Tierra.

(g) 10-" m (e) El diámetro de la Tierra es de 1.28 X 107 ro (12 800 km). (d) Un ser humano representativotiene una estatura de 1.7 ro (170 cm). (e) Los glóbulos rojos humanos tienen un diámetroaproximado de 8 x 10-6 ro (O.OOS mm, o sea, 8 ¡Lm). (f) Estos álomos de oxígeno, que semuestran formados en la superficie de un cristal, tienen un radio aproximado de lO-lO m(10-4 ¡.tm). (g) El radio de un núcleo atómico tipico (que se muestra en una concepciónartística) es del orden de 10- 14 ro (10-5 nm).

1 miligramoI gramo

Una tabla en el interior de la contraportada de este libro da los prefijos estándardel SI, con sus significados y abreviaturas.

He aquí varios ejemplos del uso de múltiplos de 10 y sus prefijos con las uni­dades de longitud, masa y tiempo. La figura].3 muestra eómo los prefijos ayudana describir distancias tanto grandes como pequeñas.

Longitud

I nanómetro = I nm = IO-9 m (unos cuantos diámetros del átomo más grande)I micrómetro = I ¡..tm = 10-6 m (tamaño de algunas bacterias y células vivas)I milímetro = I mm = 10-3 m (diámetro del punto de un bolígrafo)I centímetro = 1 cm = 10-2 m (diámetro de un meñique)1 kilómetro = 1 km = 103 m (un paseo de 10 minutos)

Masa

1 microgramo = 1¡..tg = 10-6 g = 10-9 kg (masa de una partícula pequeñade polvo)

= 1 mg = IO-J g = 10-6 kg (masa de un grano de sal)= 1 g = 10-3 kg (masa de un sujetador de papeles)

"

8

1.4 MucJ(os objetos comunes usan unida­des tanto del SI como británicas. Un ejem­plo es este velocímetro de un automóvilconstruido en EE.UU., que indica la rapi­dez tanto en kilómetros por hora como enmillas por hora.

e A. P í TUL o 1 I Unidades, cantidades fisicas y vectores

Tiempo

1 nanosegundo = 1 ns = 10-9 s (tiempo en que la luz recorre 0.3 ro)1 microsegundo = 1 f.LS = 10-6 s (tiempo en que un transbordador espacial

en órbita recorre 8 mm)I milisegundo = 1 ms = 10-3 s (tiempo en que el sonido viaja 0.35 m)

El sistema británico

Por último, mencionamos el sistema británico de unidades que se usa sólo en Es­tados Unidos y otros pocos países, aunque en casi todos está siendo reemplazadopor el SI. Hoy en día las unidades británicas se definen oficialmente en términosde las del SI, como sigue:

Longitud: 1 pulgada = 2.54 cm (exactamente)Fuerza: 1 libra = 4.448221615260 newton (exactamente)

El ne\\1on, que se abrevia N, es la unidad de fuerza en el SI. La unidad británicade tiempo es el segundo, definido igual que en el SI. En física, las unidades britá­nicas se usan sólo en mecánica y termodinámica; no existe un sistema británico deunidades eléctricas.

En este libro usaremos unidades sr en todos los ejemplos y problemas, peroocasionalmente daremos equivalentes aproximados en unidades británicas. Al re­solver problemas con unidades SI, el lector puede hacer la conversión a los equi­valentes británicos aproximados, si le resultan más conocidos (véase Fig. 1.4),pero debe tratar de pensar sólo en unidades Sr.

1.4 I Consistencia y conversiones de unidades

Usamos ecuaciones para expresar las relaciones entre cantidades físicas represen­tadas por simbolos algebraicos. Cada simbolo denota siempre un número y unaunidad. Por ejemplo, d podria representar una distancia de lOro, t un tiempo de 5 sy u una rapidez de 2 mis.

Toda ecuación debe ser dimensional mente consistente. No podemos sumarmanzanas y automóviles; sólo podemos sumar o igualar dos términos si tienen lasmismas unidades. Por ejemplo, si un cuerpo que viaja con rapidez constante v re­corre una distancia d en un tiempo t, estas cantidades están relacionadas por laecuación

d = vi (U)

.1

si d se mide en metros, el producto vi también debe expresarse en metros. Con losnúmeros anteriores como ejemplo, escribimos

Como la unidad l/s del miembro derecho de la ecuación cancela a s, el productovt está en metros, como dcbe ser. En los cálculos, las unidades se tratan igual quelos símbolos algebraicos en cuanto a la multiplicación y la división.

lA 1 Consistencia y conversiones de unidades

1l:!!I!ªlIlIiJ Cuando un problema requiere de cálculos con números y unida­des, siempre escriba los números con las unidades correctas en todo el cálculo,como en el ejemplo. Esto es muy útil, pues ayuda a verificar los cálculos. Si en al­

gún momento una ecuación o expresión tiene unidades inconsistentes, es quehay un error. Aquí siempre llevaremos unidades en todos los calculos, y reco­mendamos sobremanera al lector hacer lo mismo al resolver los problemas.

9

Estrategia pararesolver problemas Conversiones de unidades

IDENTifiCAR los conceptos pertilll!l1tes: La conversión de uni­dades es importante, pero también lo es saber cuándo se requie­re. En general, lo mejor es usar las unidades sr fundamentales(longitudes en metros, masas en kilogramos y tiempo en segun­dos) dentro de un problema. Si la respuesta se debe dar en otrasunidades (kilogramos, gramos u horas, por ejemplo), esperehasta el final para efectuar la conversión. En los ejemplos que

....... siguen, nos concentraremos exclusivamente en la conversión de,r unidades, así que omiliremos el paso de Identificar.

PLANTEAR el problema)' EJECUTAR lasolucion: Las WJidades semultiplican y dividen igual que los símbolos algebraicos ordina­

... nos. Esto facilita la conversión de W1a cantidad de un conjunto deunidades a otro. la idea clave es que podemos v:presar la mismacantidad rlSica en dos unidades dislintas y formar una igualdad.

Por ejemplo, al decir 1min - 60 s, 00 implicamos que el mi­mero I es igual al número 60, sino que 1mm rq¡resenta el mismointervalo de tiempo que 60 s. Por ello, el cociente (1 min)! (60 s)

es igual a 1, lo mismo que su reciproco (60 s)/(I min). Podcmosmultiplicar una cantidad por cualquiera de estos factores, sin al­terar el significado fisico de la cantidad. Para averiguar cuántossegundos hay en 3 min, escribimos

3 min = (3 mirf)(I~) = 180 s

EVALUAR la respuesta: Si COn\'ertimos las unidades correcla­mente las unidades no deseadas se eliminanin, como en el ejem­plo. Si hubieramos multiplicado 3 min por (1 min)/(6O s), elresultado habría sido -J!¡ minl/s, una forma un tanto rara de me­dir elliempo. Para asegurarse de convertir bien las unidades,dcbe incluirlas cn todos las etapas del cálculo.

Por último, verifique si la respuesta es lógica. ¿El resultado3 min '"' 180 s es razonable? Si; el segundo es más pequeilo queel minuto, por lo que habrá más segundos que minutos en elmismo intervalo de tiempo.

Ejemplo1.1 (onversión de unidades de rapidez

El record oficial de rapidez terrestre es de 1228.0 km/h, estableci­do por Andy Green el 15 de octubre de 1997 en el auto a reacciónThrust SSc. Exprese esta rapidez en mis.

l'1ll!!millIIDENTifICAR, PLANTEAR YEJECUTAR: El prefijo k indica 103,por lo que 1228.0 kmIh. 1228.0 X IIf m1h. Sabemos también quehay 3600 s en I h, asi que debemos combinar la rapidez de 1228.0x IIf mIh y un factor de 3600. Pero, ¿debemos multíplícar o divi­dir por 3600? Si tratamos el factor como número sin unidades, len­dremos que adivinar.

El proceder correcto es incluir las unidades en el factor, el cualacomodaremos a modo de eliminar la unidad de horas:

1228.0km/h = (J228.0 X UY;)(3~~s) = 341.11 mis

Si multiplicáramos por (3600 s)!( I h) en vez de (1 h)!(3600 s), lashoras no se cancelarían, y seria fácil detectar el error. la unica for­ma de estar seguro de haber convertido correctamente las unidadeses llevarlas durante todo el cálculo.

EVALUAR: Aunque el lector seguramente tiene una buena idea dela magnitud de una rapidez expresada en kilómettos por hora, losmettos por segundo probablemente son un poco más misteriosos.Cabe señalar que. eon cada paso, un adulto representativo avanzaaproximadamente un metro. y que un buen ritmo para caminar esde un paso por segundo. Asi. ese adulto camina con una rapidezaproximada de I nlIS. En comparnción. una rapidez de 341.11 mises en \'erdad elevada.

10

Ejemplo1.2

CA P¡ TUL O 1 I Unidades, cantidades fisicas y vectores

Conversión de unidades de volumen

El diamante tallado más grande del mundo es la Primera Estrella deÁfrica (montada en el celro real británico y guardado en la Torrede Londres). Su volumen es de 1.84 pulgadas cúbicas. Exprese suvolumen en centímetros cúbicos y en metros cúbicos.

lIil!!I3l'illIIDENTIFICAR, PLANTEAR YEJECUTAR: Para convertir pulgadascúbicas en centímetros cúbicos, multiplicamos por [(2.54 cm)/(lpulg)]J, no sólo (2.54 cm)/(l pulg). Tenemos

(2.54 cm)'1.84 pulgJ = (1.84 pulgJ ) ---1 pulg

pulg3 cm'(1.84)(2.54)] 3 = 3ü.2cm3

pulg

También, 1 cm= IO-<m,y

(10-' m)'30.2 cm' = (30.2 cm') --­1cm

cm' mJ

= (30.2) (10-2)3--,- = 30.2 X 10-6m'""

EVALUAR: Nuestra respuesta muestra que mientras que 1 centíme­tro es 10-2 de un metro (es decir, I cm = 10-2 m), un centímetro cú­bico (1 cmJ) no es 10-2 de un metro cúbico. Más bien, esel volumende un cubo cuyos lados son 1 em de largo. Así, 1 cm3 = (1 cm») =

(lO-2mi= (lO-2)3m3o I cm); lO-6m3

1.5 Este espectacular percance se debió aun porcentaje de error muy pequeño: reco­rrer unos cuantos metros dc más en un vía­je de eíentos de miles de metros.

1.5 I Incertidumbre y cifras significativas

Las mediciones siempre tienen incertidumbre. Si medimos el espesor de la porta­da de este libro con una regla común, la medición sólo será confiable al milíme­tro más cercano, y el resultado será de 3 mm. Scria erróneo dar este resultadocomo 3.00 mm; dadas las limitaciones del instrumento de medición, no puede sa­berse si el espesor real es de 3.00 mm, 2.85 mm o 3.11 mm. Pero si se usa un mi­crómetro, que mide'distancias de forma confiable al 0.01 mm más cercano, elresultado será 2.91 mm. La distinción entre estas dos mediciones radica en su in­certidumbre. La medida con micrómetro tiene menor incertidumbre; es másexacta. La incertidumbre también se llama error, porque indica la máxima dife­rencia probable entre el valor medido y el real. La incertidwnbre o error de un va­lor medido depende de la técnica empleada.

A menudo indicamos la exactitud de un valor medido ---es decir qué tantocreemos que se acerca al valor real- escribiendo el número, el simbolo ::!:: y unsegundo número que indica la incertidumbre. Si el diámetro de una varilla se dacomo 56.47 ::!:: 0.02 mm, esto implica que es poco probable que el valor real seamenor que 56.45 mm o mayor que 56.49 mm. En una notación abreviada común,1.6454(21) significa 1.6454 ::!:: 0.0021. Los números entre paréntesis indican laincertidumbre de los digitos finales del número principal.

También podemos expresar la exactitud en términos del error fraccionario oporcentaje de error máximo probable (también llamados incertidulI1brejraccio­noria o porcentaje de incertidumbre). Un resistor rotulado como "47 ohms ::!::10%" probablemente tiene una resistenci'l real que difiere de 47 ohms en menosdel 10% de 47 ohms, o sea, unos 5 ohms. Es probable que la resistencia esté entre42 y 52 ohms. En el caso del diámetro de la varilla antes citada, el error fraccio­nario es de (0.02 mm)/(56.47 mm), que es aproximadamente 0.0004; el porcenta­je de error es (0.0004)(\00%) o 0.04%. Incluso porcentajes de error muypequeños pueden ser muy significativos (Fig. l.5).

En muchos casos, no se da explicitamente la incertidumbre de un número, si­no que se indica con·el número de digitos informativos, o cifras significativas, enel valor medido. Indicamos el espesor de la portada como de 2.91 mm, que tiene

1.5 I lncer1idumbre y cifras significativas

3 cifras significativas. Con esto queremos decir que, hasta donde sabemos, los dosprimeros digitos son correctos, pero el tercero es incierto. El ultimo dígito está enla posición de las centésimas, así que la incertidumbre es de 0.01 mm. Dos valo­res con el mismo numero de cifras significativas pueden tener diferente incerti·dumbre; una distancia dada como 137 km también tiene tres cifras significativas,pero la incertidumbre es de I km.

Si usamos numeras con incertidumbre para calcular otros números, el resulta­do también es incierto. Es muy importante entender esto al comparar un numeroque se obtuvo de mediciones con un valor que se obtuvo de una predicción teóri·ca. Suponga que quiere verificar el valor de"li, la razón entre la circunferencia yel diámetro de un circulo. El valor verdadero hasta 10 digitos es 3.141592654. Pa­ra calcularlo, dibuje un circulo grande, mida el diámetro y la circunferencia al mi­límetro más cercano, obtendni los valores 135 mm y 424 mm, los cuales dividirácon su calculadora para obtener 3.140740741. ¿Concuerda esto con el valor real?

En primer lugar, los últimos 7 digitos de la respuesta no significan nada; impli­can una incertidumbre menor que la de las mediciones. Cuando se multiplican odividen números, el resultado no puede tener mas cifras significativas que el fac­tor con menos cifras significativas. Por ejemplo, 3.1416 X 2.34 X 0.58:: 4.3. Lasdos mediciones que usted efectuó tienen 3 cifras significativas, así que el valorm~ido de 7T', igual a (424 mm)l(135 mm), sólo puede tener 3 cifras significativas, yctebe darse simplemente como 3.14. Dentro del limite de 3 cifras significativas, es·te valor coincide con el verdadero.

Al sumar o restar numeros, lo que im¡}ona es la posición del punto decimal, noel numero de cifras significativas. Por ejemplo, 123.62 + 8.9 = 132.5. Aunque1"23.62 tiene una incertidumbre de 0.01, la de 8.9 es de 0.1, así que la suma debetener esta misma incertidumbre y escribirse como 132.5, no 132.52.

En los ejemplos y problemas de este libro, por lo regular daremos valores nu­méricos con 3 cifras significativas, así que sus respueslas no deberán tener más de3 cifras significativas. (En el mundo real muchos números tienen una exactitudaun menor. Un velocímetro de automóvil, por ejemplo, sólo suele indicar dos ci·fras significativas.) Podemos hacer cuentas con una calculadora que exhibe lO di·gilOS, pero dar una respuesta de 10 dígitos no sólo es innecesario, es erróneo,porque falsea la exactitud del resultado. Siempre redondec su respuesta final con­servando sólo el número correcto de cifras significativas o, si hay duda, acaso unamás. En el ejemplo 1.1 habría sido erróneo dar la respuesta como 341.11111 mis.Cabe señalar que, al reducir una respuesta así al numero apropiado de cifras sig­nificalivas, debemos redondear, no tnmcar. La calculadora indica que 525 ml311m es 1.688102894; con 3 cifras significativas, esto es 1.69, no 1.68.

Al calcular con números muy grandes o muy pequeños, es mucho mas fácil in­dicar las cifras significativas usando notación científica, también llamada nota­cion de potencias de ] O. La distancia de la Tierra a la Luna es de cerca de384,000,000 m, pero esta forma del número no da idea de cuántas cifras signifi­cativas tiene. En vez de ello, movemos el punto decimal ocho lugares a la izquier­da (que equivale a dividir entre 108) y multiplicamos por 108

. Es decir.

384,000.000 m = 3.84 X 108m

En esta forma, es obvio que tenemos 3 cifras significativas. El numero 4.00 X10-7 también tiene 3 cifras significativas, aunque dos de ellas sean ceros. En no­tación científica se acosmmbra expresar la cantidad como un numero entre I y 10multiplicado por la potencia de 10 apropiada. La tabla 1.1 resume las reglas paralas cifras significativas.

11

Suma o resta

Multiplicación o división

r

12

Ejemplo1.3

CA P íT U L O I I Unidades, cantidades fisicas y vectores

Tabla 1.1 Uso de ~cifras significativas

Operación matemática Cifras significativas en el resultado

No más que en el número que liene menos cifrassignificarivasEjemplo: (0.745 x 2.2)13.885 = 0.42Ejemplo: (1.32578 X 101 ) X (4.11 X 10-3) = 5.45 X 10"Lo determina el número con menor incenidumbre (es decir,el menor número de dígitos a la derecha del pumo decimal)Ejemplo: 27.153 + 138.2 - 11.74 = 153.6

Nota: En este libro normalmente daremos valores numéricos con tres cifras significativas.

Cuando aparece un entero o una fracción en una ecuación general, tratamos esenúmero como si no tuviera incertidumbre. Por ejemplo, en la ecuaciónV~2 = VQx2 + la,,(x - xo), que es la ecuación (2.13) del capítulo 2, el coeficiente2 es exactamente 2; podemos pensar que tiene un número infinito de cifras signi­ficativas (2.000000...). Lo mismo ocurre con el exponente 2 en v} y vG/.

Por último, cabe señalar que precisión no es 10 mismo que exactitud. Un relojdigital barato que dice que la hora es 1035: 17 A.M. es muy preciso (la hora se dacon segundos), pero si el reloj está atrasado varios minutos, el valor no será muyexacto. Por otro lado, un reloj de caja puede ser muy exacto (da la hora correcta)pero, si no tiene segundero, no sera muy preciso. Una medición de alta calidad,como las que definen estándares (Sección 1.3), es precisa y exacta.

Cifras significativas al multiplicar

r '

\

La energía en reposo E de un objeto con masa en reposo m está da·da por la ecuación de Einstein

E=me!

donde e es la rapidez de la luz en el vacio. Calcule E para un obje­to con ni • 9.11 x lO-JI kg (la masa del electrón, con tres cifrassignificativas). La unidad SI para Ees el joule (J); 1 J., 1 kg.m2/s2.

ll!ll!m:llIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: La incógnita es la energía E. Nos danla ecuación que debemos usar y el valor de la masa m. En la Sec·ción 1.3 vimos que el valor exacto de e es 299 792 458 mis"2.99792458 X lo' mis.

EJECUTAR: Si sustituimos los valores de m y e en la ecuación deEinstein tenemos

E = (9.11 X lO-JI kg)(2.99792458 X lo' m1s)2

= (9.11)( 2.99792458)l( lO-JI) ( 10')2 kg' m2/s2

= (81.87659678) (lof-11 "(2x'H) kg -m2/s2

= 8.187659678 X 10-14 kg _m2/s2

Dado que el valor de m se dio con sólo tres cifras significativas, de·beremos redondear esto a

E = 8.19 x IO-14kg_m2/s2 = 8.19 X 10-14 J

Casi todas las calculadoras usan notación científica y escriben losexponentes automáticamente, pero conviene saber realizar este tipode cálculos a mano.

EVALUAR: La energía en reposo contenida en un electrón podriaparecer ridículamente pequeña, pero en la escala atómica es tre­menda. Comparemos nuestra respuesta con 10-19 J, la energía queun átomo gana o píerde durante una reacción química típica; ¡laenergía en reposo de un electrón es aproximadamente 1,000,000veces mayor! (Hablaremos del significado de la energía en reposoen el capítulo 37.)

1.6 I Estimaciones y órdenes de magnitud

la densidad de un material es igual a su masa dividida entre su volumen. ¿Quédensidad (en kglmJ

) tiene una roca de masa 1.80 kg Y volumen 6.0 X 10-.( mJ?Compruebe que la respuesta tenga el numero correcto de cifras significativas.

1.6 I Estimaciones y órdenes de magnitud

Hemos subrayado la imponancia de conocer la exactitud de los números que re­presentan cantidades físicas, pero aun una estimación burda de una cantidad puededamos información titil. A veces sabemos cómo calcular ciena cantidad pero de­bemos estimar los datos necesarios para el cálculo. O bien, el cálculo podría serdemasiado complicado para efectuarse con exactitud, así que lo aproximamos. Enambos casos el resultado es una estimación, pero puede servimos incluso si tieneun factor de incertidumbre de 2, 10 o más. Tales cálculos se denominan esti­maciones de orden de magnitud. El gran físico italoamericano Enrico Fermi(1901- ¡954) los llamaba "cálculos del reverso de un sobre".

Los ejercicios 1.18 a 1.29 de este capitulo son del tipo de estimación u "ordende magTiitud". Algunos son risibles, y casi todos requieren estimar los datos de en­trada requeridos. No trate de consultar muchos datos; estímelos como mejor pue­da. Aun con un error del 1000% los resultados pueden ser útiles e interesantes.

13

Ejemplo1.4 Estimación de orden de magnitud

Suponga que está escribiendo una novela en la quc el héroe huye aotro pais con mil millones dc dólares en oro en la maleta. ¿Es posibleesto? ¿Cabria tanto oro en una maleta? ¿Seria demasiado pesado?

Em:1lIIDENTIFICAR, PLANTEAR Y EJECUTAR: El oro se vende a unos400 dólares la onza, aunque el precio podría variar entre 200 y 600dólares. Una onza equivale a unos 30 g. De hecho, una onza ordina­ria (a\"oirdupois) es 28.35 g; una onza de oro es una onza troy. quepesa 9.45% más, pero no importa. Diez dólares en oro tienen una ma­sa de cerca de I g, así que mil millones (JO'> de dólares en oro soncien millones (lo') de gramos = cien mil (lOS) kg = 100 toneladas.Sea que el número exacto se acerque mas a 50 o a 200 toneladas, elhéroe no podrá cargar tanto oro en una maleta.

También podemos estimar el vO/lImen del oro. Si su densidadfuera igual a la del agua (1 gfcm). el volumen sería lOS cmJ , o sea,100 ml

. Pero el oro es un metal pesado; podriamos pensar que sudensidad es 10 veces la del agua. Dc hecho, el oro es 19.3 vecesmás denso que el agua. pero al estimar 10 obtenemos un volumende 10 mJ . Imagine 10 pilas cúbicas de lingotes de oro, cada una conI m por lado, y pregúntese si cabrían en una maleta.

EVALUAR: Es evidente que hay que reescribir la novela. Pruebe elcalculo ahora con una maleta llena de diamantes de cinco quilates(1 gramo), cada uno de los cuales vale 100,000 dólares. ¿Ahora sípodria transportarse el botin?

¿Podría estimar el numero de dientes que hay en todas las bocas de su campus uni·versitario (de estudiantes, empleados y profesores)? (Sugerencia: ¿Cuántos dien·tes tiene en su boca? Cuentelos.)

-

14

N013ción manuscrita: Il o R

(o)

(b)

1.6 (a) El vector Aes el desplazamientodel punto PI al punto Pl' (b) Un desplaza­miento siempre es un segmento recIo diri­gido del punto inicial al final, aunque elcamino seguido sea curvo. Si un caminotermina donde comenzó, el desplazamientoes O.

e A pi T u LO 1 I Unidades, cantidades fisicas y vectores

1.7 I Vectores y suma de vectores

Algunas cantidades fisicas, como Tiempo, temperatura, masa, densidad y cargaeléctrica, se pueden describir plenamente con un número y una unidad, pero mu­chas otras cantidades importantes están asociadas a una dirección y no puedendescribirse con un solo número. Tales cantidades desempeñan un papel funda­mental en muchas áreas centrales de la fisica, como el movimiento y sus causas ylos fenómenos de electricidad y magnetismo. Un ejemplo sencillo es el movi­miento de un avión: para describirlo plenamente, debemos indicar no sólo qué tanrápidamente se mueve, sino también hacia dónde. Para ir de Chicago a NuevaYork, un avión debe volar al este, no al sur. La rapidez del avión combinada consu dirección constituye una cantidad llamada velocidad. Olro ejemplo es lafuer­za, que en física es un empuje o tirón aplicado a un cuerpo. Para describir plena­mente una fuerza hay que indicar no sólo su intensidad, sino también en quédirección tira o empuja.

Si una cantidad física se describe con un solo número, decimos que es una can­t~d escalar. En cambio, una cantidad vcctorial tiene una magnitud (el "quétanto") y una dirección en el espacio. Los cálculos con escalares usan las opera­ciones aritméticas ordinarias. Por ejemplo, 6 kg + 3 kg = 9 kg,'o 4 X 2 s = 8 s.Combinar vectores requiere un juego de operaciones distintas.

Para entender mejor los vectores y su combinación, comencemos con la canti­dad vectorial más simple, el desplazamiento, que es un cambio en la posición deun punto. (El punto podria representar una particula o un cuerpo pequeño). En lafigura 1.6a represen13mos el cambio de posición del punto PI al punto P2 con unalínea que va de PI a P2> con una punta de flecha en P2 para indicar la dirección. Eldesplazamiento es una cantidad vectorial porque debemos decir no sólo cuánto semueve la partícula, sino también hacia dónde. Caminar 3 km al norte desde nues­tra casa no nos lleva al mismo sitio que caminar 3 km al sureste; ambos desplaza­mientos lienen la misma magnitud, pero diferente dirección.

Frecuentemente podemos representar una cantidad vectorial como el desplaza­miento con una letra, como A en la figura 1.6a. En este libro siempre simbolizare­mos los vectores con /etra.\' negritas cursil'as CO/l una flecha arriba, comorecordatorio de que los vectores tienen diferentes propiedades que los escalares;la flecha nos recuerda que los vectores tienen dirección. Los simbolos manuscri­tos de vectores suelen subrayarse o escribirse con una flecha (Fig. 1.6). Siempreescriba los símbolos vectoriales de una de estas formas. Si no distingue entre vec­tores y escalares en su notación, probablemente tampoco lo hará en su mente, y seconfundíni.

Al dibujar un vector, siempre trazamos una linea con punta de flecha. La lon­gitud de la línea indica la magnitud del vector, y su dirección es la del vector. Eldesplazamiento siempre es un segmento recto dirigido del punto inicial al final,aunque el camino real seguido por la partícula sea curvo. En la figura 1.6b, la par­tícula sigue el camino curvo de PI a P2, pero el desplazamiento sigue siendo elvector A. Observe que el desplazamiento no se relaciona directamente con la dis­tancia total recorrida. Si la partícula siguiera a P3 y volviera a PI> el desplaza­miento total seria cem.

Si dos vectores tienen la misma dirección, son paralelos; si tienen la mismamagnitudjdirección, son iguales, sea cual sea su ubicación en el espacio. EJ.vec­lor A' de P3 a P4 en la figura 1.7 tiene la misma longitud y dirección que Ade PI aP2. Ambos desplazamientos son iguales, aunque parten de puntos distintos. Eseri-

,

1.7 I Vectores y suma de vectores 15

(1.2)

P2 P4 P,

} id f=-A1.7 El desplazamiento de Pj a P4 es i~al

a aquél de PI a P2• El desplazamiento B deP, a p. tiene la misma magnitud que Ayque A'~ dirección opuesta; el despla­zamiento B es el negativo del desplaza­mientoA.

r,

ñ

;fZ+B(.,

a-I -I AI C=B+Añ

P,

bimos esto como A = A' en la figura 1.7, usando un signo igual en negritas parasubrayar que la igualdad de dos cantidades veclOriales no es 10 mismo que laigualdad de dos c3n1idades escalares. Dos vectores sólo son iguales si tienen la mis­ma magnitud)' la misma dirección.

Sin cmbargo, el vector Bde la figura ¡.7, no es igual a Aporque su dirección es0pllesta. Definimos el negativo de UII vector como un vector con la misma mag­nitud que el original pero dirección opuesta. El negativo de Ase denota con -A, yusamos un signo menos en negritas para destacar la índole vectorial de las cantida­des. Si Aes 87 mal sur, entonces - Á es 87 m al norte. Así, la relación entre Ay Ben la figura 1.7 puede escribirse ii = -8 o iJ = -.4.. Si dos vectores tienen direc­ciones opuestas, sean sus magnitudes iguales o no, decimos que son antiparalelos.

Frecuentemente podemos representar la magnitud de una cantidad vectorial (sulongitud, en el caso de un vector de desplazamicnto) con la misma letra que usa­mos para el vector pero en cursiva delgada sin la flecha arriba. Una notación al­terna es el símbolo vectorial encerrado en barras verticales:

(M,gruruld'A) ~ A ~ IAI

Supongamos que una partícula sufre un desplazamiento A, seguido de un despla·zamiento jj (Fig. 1.8a). El resultado final es el mismo que si la partícula hubiernpartido del mismo punto y sufrido un solo desplazamiento e, como se muestra.Llamamos a eel vector sumatoria, o resultante, de los desplazamientos ii y B.Expresamos esta relación simbólicamente así;

Por definición, la magnitud de una cantidad vectorial es una cantidad escalar (unnúmero) y siempre es positi\'O. Cabe señalar también que un vector nunca puedese.!" igual a un escalar porque son cantidades de distinto tipo. La expresión"A = 6 m" es tan absurda como "2 naranjas = 3 manzanas" o "6 lb - 7 km".

Al dibujar diagramas con vectores, nonnalmeme usamos una escala similar ala de los mapas, en la que la distancia en el diagrama es proporcional a la magni­tud del vector. Por ejemplo, un desplazamiento de 5 km podria represenlarse conun vector de I cm en un diagrama, pucs usar el tamaño real no sería práctico. Altrabajar con cantidades vectoriales en unidades dístintas de las de desplazamien­to, como fuerza o velocidad, debemos usar una escala. En un diagrama de vecto­res de fuerza podríamos representar una fuerza de 5 N con un vector de l cm.Entonces, un vector de 4 cm representaría una fuerza de 20 N, con la direcciónapropiada.

Suma de vectores

El signo mas en negritas subrnya que sumar dos vectores requiere un proceso geo­métrico y no es lo mismo que sumar dos escalares como 2 + 3 = 5. Al sumar vec­lores, por lo regular colocamos la cola del segundo vector en la cabeza, o punta,del prime/' vector (Fig. 1.8a). "

Si efectuamos los desplazamientos Ay jj en orden inverso, primero 8 y luego

Á. el resultado es el mismo (Fig. 1.8b). Así,

y

(1.3)

(1.4)

(b,

~'A _' _ _SI=A+B

ñ('l

1.8 El vector ees la suma vectorial de Ay B. El orden no importa; la suma de vec­tores es conmutativa.

16 e A P fT ti L o I I Unidades, cantidades físicas y vectores

1.9 ('!) En_el caso especial en que los vec­tores A y 8 son paralelos, y linicamente enese caso, la magnitud de su suma es iguala la suma de_sus .!Mgnitudes: c· A + B.(b) Cuando A y B son antiparalelos, lamagnitud de su suma es igual a la diferen­cia de sus magnitudes: C_=- JA -= 81. Cabeseñalar que los vectores A. B Y(dc:.1a _pane (a) no son los mismos que A. B Yede la pane (b).

A ii• ••

•

Esto indica que el orden de los términos en una suma de vectores no importa. Di­cho de arro modo, la suma de vectores obedece la ley conmutativa.

La figura 1.8e muestra otra representación de la suma vectorial. Si dibujamos¡¡ y iJ con sus colas en~1 ~jsmo punto, el vector é es la diagonal de un paralelo­gramo construido con A y B como dos lados adyacentes.

L!:!!!J!!I~1l Es un error común suponer que si e=A+ 8, la magnitud e debe­rá ser igual a la magnitud A más la magnitud B. la figura 1.8 muestra que, engeneral, tal conclusión es errónea; en la figura es obvio que e < A + B. la mag­nitud de la suma vectorial A+ Bdepende de las magnitudes de ji y de jj y tam­bién del ángulo que forman Ay jj (véase Problema 1.88). Sólo en el casoespecial en que ji y jj son paralelos es la magnitud de e= ji + jj igual a la su­ma de las magnitudes de Ay jj (Fig. 1.9a). En contraste, cuando los vectores sonantipara/elos (Fig. 1.9b) la magnitud de ees la diferencia de las magnitudes deAy B. los estudiantes que no se cuidan de distinguir entre cantidades escalaresy vectoriales suelen cometer errores respecto a la lTI.agnitud de una suma vecto-rial. ¡Que no le suceda estol '\.

ji =A + (8 + e) =A + E

(1.5)A- 8 =A + (-8)

Como alternativa, podemos sumar primero iJ y e(Fig. l lOe) para obtener el vec­tor E, y luego sumar Ay Epara obtener R:

No necesitamos dibujar los vectores jj ni E; basta con dibujar los vectores dadosen sucesión, con la cola de cada uno en la punta del anterior, y completar el polí­gono con un vector Rque va de la cola del primero hasta la punta del último (Fig.1.10d). El orden no importa; la figura 1.IOe muestra un orden distinto, y el lectorpuede probar otros. La suma de vectores obedece la ley asociativa.

Ya mencionamos que el vector -Á tiene la misma magnitud que Apero direc­

ción opuesta. Esto es la base para definir la resta de vectores. DefilÚmos la dife­rencia A - jj de los dos vectores Ay Ocomo la suma vectorial de Ay -o:

Si necesitamos sumar mas de dos veclores, podemos sumar primero dos cua­lesquiera, sumar la resultante al tercero, etc. La figura 1.10a muestra Ires vecto­res, Á, ñ y C. En la figura 1.10b, se suman primero Á y Bdando D; luego sesuman los vectores vectores ey Dpara obtener el vector sumatoria R:

ji = (A + 8) + e= ji + e

La figura 1.11 mueslra un ejemplo de resta de vectores. Para construir la diferen­cia ji - O, la cola de -8 se coloca en la punta de A.

Una cantidad veclorial, como el desplazamiento, se puede multiplicar por unaescalar (un número ordinario). El desplazamiento 2Á es un desplazamiento (can­tidad vectorial) en la misma dirección que Á pero dos veces más largo; esto equi·vale a sumar A a si mismo. En general, cuando un vector A se multiplica por unescalar e, el resultado cA tiene magnitud lelA (el valor absoluto de e multiplicadopor la magnitud de A). Si e es positivo, cA tiene la dirección de A; si e es negati­vo, cA tiene la dirección opuesta a la de A. Asi, 5A es paralelo a A, pero -5.4 esantiparalelo a A.

R :z'(•ii

(d)

Rii 41

(,)

Ars(78

(b)

(,)

(.)

1.10 Varias coJ!!itlUC5ion~ para oblener lasuma vectorial A + B + C.

j

11

~!,

1.7 I Vectores y suma de veClores 17

y

1y•

A

(.)

• ,¡

(b)

~+(-B)=.i-B

A

(o)

6;-8,¡(d)

1.11 (a) V~torAyvcctor B. (b) Vector AYo vectgr -8. (e) La diferencia wctorialA _- 8 es la suma de A y -8..: La cola de-8 se coloca en la punta de A. (d) Paraverificar: (A - ñ) + jj = A. .

El escalar que multiplica un vector también puede ser una cantidad flSica conunidades. P~r ejemplo, es posible que el lector conozca la relación F = ma; lafuerza neta F (un vector) que actúa sobre un cuerpo es igual al produclo de la ma­sa del cuerpo m (una cantidad escalar positiva) y su aceleración ti (un vector). Lamagnitud de la fuerza neta es igual a la masa (que es positiva e igual a su propiovalor absoluto) multiplicada por la magnitud de la aceleración. La unidad de lamagnitud de la fuerza es la unidad de masa multiplicada por la unidad de la mag­nitud de la aceleración. La dirección de Pes la de ti porque m es positiva.

1Ejemplo

1 5 Suma vectorial

Una esquiadora viaja I.DO km al norte y luego 2.00 km al este porun campo nevado horizontal. a) ¿A que distancia y en que direcciónesta del punto de partida? b) ¿Qué magnitud y dirección tiene sudesplazamiento resultante?

lE1!mIIDENTIFICAR: El problema implica combinar desplazamientos, asique podemos resolverlo con una suma de vectores. Las variablesmeta de la pane (a) son la distancia total y la dirección de la esquia­dora respecto a SU punto de partida. Cabe señalar que las variablesmeta de la parte (b) son las mismas que las de (a): la "magnitud desu desplazamiento resultante" no es sino su distancia final respectoal punlO de origen, y la "dirección de su desplazamiento resullanle"es simplemenle [a dirección del punto de origen al punlO en el que sedetuvo.

1.12 Diagrama veclorial, a escala, de un recorrido en esqui acampo rraviesa.

PLANTEAR: La figura 1.12 es un diagrama a escala de los despla­zamientos de la esquiadora. Describiremos la dirección desde elpunto de partida con el angulo (ji (la lerra griega "fi"). Si medimoscon cuidado, veremos que la distancia al punto inicial es de unos2.2 km Ylj¡ es aproximadamente 63", pero podemos calcular un re­sultado mucho más exacto sumando los vectores de desplazamien­lO de 1.00 km Y 2.00 km.

EJECUTAR: a) Los vectores del diagrama forman un triangulo rec­tángulo; la distanCia del punlO de partida es igual a la longitud de lahipotenusa. Obtenemos esa longitud usando el teorema de Pitágoras:

Y(I.OOkm)2+ (2.ookm)2 = 2.24 km

El ángulo (ji se obliene por trigonometria simple. Si necesita un re­paso, en el apéndice B se resumen las funciones e idenlidades trigo­nométricas y otras relaciones matemáticas y geométricas útiles. Porla definición de langente:

caleto opuesto 2.00 kmlanlj¡ = =---

cateto adyacente 1.00 km

,¡, = 63.4"

b) La magnitud del desplazamiento resultanle es la diSl8Ilcia calcu­lada en (a), 2.24 km. Podemos describir la dirección como 63.4" aleste del norte o 90" - 63.4" _26.6" al none del este. como prefiera.

EVALUAR: Conviene practicar \'erificando los resultados de un pro­blema de suma vecroriai efectuando mediciones en un dibujo de lasiluaci6n. Felizmente, las respuestas que obtuvimos calculando(2.24 km y (ji '"' 63.4") son muy cercanas a los resultados burdos queobtuvimos midiendo (unos 2.2 km Y 63"). Si fueran muy distintos,tendriamos que regresar y buscar el error.

¡

1

18

y

1.13 Los vectores Ax y Ay sOn !os veclorescomponcOIes fe(:tangulares de A sobre losejes x y y. En este caso, las componentesAx YAy son posirivas.

e A P íT U LO I I Unidades, cantidades fisicas y vectores

Si la esquiadora hubiera avanzado primero 2.00 km al este y luego 1.00 km al nor·te, desde su punto de partida, ¿qué magnitud y dirección habria tenido su despla­zamiento resultante?

1.8 I Componentes de vectores

En la sección 1.7 sumamos vectores usando un diagrama a escala y las propieda­des de los triángulos rectángulos. La exactitud de las mediciones en diagr~mas esmuy limitada y los cálculos con triángulos rectángulos sólo funcionan con vecto­res perpendiculares. Necesitamos un método simple pero general para sumar vec­tores: el método de componentes.

Para definir las componentes de un vector partimos de un sistema rectangularde ejes de coordenadas (cartesiano) (Fig. 1.13) Ydibujamos el vector en cuestióncon su cola en O, el origen. Podemos representar cualquier vector en el planoxy como la suma de un vector paralelo al eje.T y uno paralelo al eje y. Rotulamosesos vectores A.. y A, en la f3ura; son los '·ectores componentes del vector A. ysu suma vectorial es igual a A. En símbolos,

'.

A = A.. + A~ (1.6)

II

.~.·1

Por definición, cada vector componente tiene la dirección de un eje de coorde­nadas, por lo que sólo necesitamos un número para describirlo. Si el vector com·ponente A.. apunta hacia la dirección.T positiva, definimos el número A.. como lamagnitud de A..;si As apunta en la dirección.T negativa, A...es igual al negativo dedicha magnitud, teniendo presente que la magnitud en sí de un vector nunca es ne·gativa. Definimos el número Ay del mismo modo. A.. y Ay son las componentesdeA.

1JfbAD Las componentes Ax YAy de un vector ;¡ son sólo números, no sonvectores. Por ello las simbolizamos con letras cursivas delgadas sin flecha arriba,en vez de las letras negritas cursivas con flecha que están reservadas para losvectores.

Podemos calcular las componentes de Á si conocemos la magnitud A y su di·rección. Describimos la dirección de un vector con su ángulo relativo a una direc­ción de referencia, que en la figura 1.13 es el eje x positivo, y el ángulo entre Ay el eje.T positivo es 8 (la letra griega "theta"). Imaginemos que el vector Ayaceoriginalmente sobre el eje +.T y 10 giramos hasta su dirección correcta, como in­dica la flecha sobre el ángulo 8 en la figura 1.13. Si la rotación es del cje +.T aleje +y, como en la figura 1.13, entonces (J es positivo; si la rOlación es del eje +xal eje -y, entonces (J es Ilegalil'o. Por tanto, el eje +y está a 900, el eje -x está a1800 y el eje -y está a 270" (o -90"). Si medimos de esta manera {J, entonces porla definición de las funciones trigonométricas,

1.8 J Componentes de vectores 19

A" = A cos O y Ay = A sen O

(O medido del eje +x girando hacia el eje +y)

A.A=cosO

A,Y A=senO

(1.7)jj

y

8,(+)

.....¡c¡-",

UID Las ecuaciones (1.7) son correctas sólo si el ángulo (J se mide desde

el eje x positivo, como se describe aqur. Si el ángulo del vector se da desde otradirección de referencia o se usa otro sentido de rotación, las relaciones son dis­

tintas. ¡Tenga cuidado! El ejemplo 1.6 ilustra este punto.

En la figura 1.13, Az es positiva porque su dirección está sobre el eje +x, y Ayes positiva porque su dirección está en el eje +y. Esto es congruente con las ecua­ciones (1.7); Oestá en el primer cuadrante (entre O" y 9(0) Ytanto el coseno comoel seno del ángulo son positivos en este cuadrante. En cambio, en la figura 1.14a,la componente Bz es negativa; su dirección es opuesta a la del eje +x. Esto tam­bién es congruente con las ecuaciones (1.7); el coseno de un ángulo en el segun·do cuadrante es negativo. La componente By es positiva (sen 8 es positivo en elsegundo cuadrante). En la figura 1.14b, tanto ex como e, son f1Jegativas (cos Oysen 8 son negativos en el tercer cuadrante).

(,)

y ,-----,--biP-x

(b)

1.14 Las componcntes de un vector pue­den ser números positivos o negativos.

Ejemplo1 6 Cálculo de componentes

a) Obtenga las eomponenlesx y yde jj en la figura 1.15a. La mag­nitud del vector es 0= 3.00 m y el án~ulo es a = 45°.b) Obtenga las componentes:\: y yde E en la figura 1.15b. La mag­nitud [es 4.50 m y f3 = 37.0".

l'I!ll!mIIDENTIFICAR YPLANTEAR: El problema implica determinar com­ponenles, por lo que aparentemente sólo necesilamos las ecuacio­nes (1.7). Sin embargo. debemos tener cuidado porque los ángulosde la figura 1.15 no esllin medidos del eje +x al eje +y.

lOS para estudiar el deslizamiento de un objeto en una rampa; un ejequedará sobre la rampa, y el otro será perpendicular a ella.)

Aquí el ángulo f3 (la letra griega "beta") es el ángulo entre Eyel eje +y. no el eje +x, asi que no podemos usar este ángulo en lasecuaciones (1.7). Observe que Edefine la hipotenusa de un trián­gulo rectángulo cuyos catetos son las componentes x y y de E, E~ YEy El seno de f3 cs el caleto opuesto (E.) dividido entre la hipotenu-

1.15 Cálculo de las componentes x y y de vectores.

EJECUTAR: a) El ángulo entre jj y el eje x positivo es a (la letragriega "alfal, pero esle angulo se mide hacia el eje y lIegaliw}. Portanto, en las ecuaciones (1.7) debemos usar el ángulo e- -a =-45°. Obtenemos

D~ = Deos e= (3.00 m)(cos( -45°)) = +2.1 m

Dy = Osene = (3.00m)(sen(-45°)) = -2.1 ro

El vector tiene una componente x positiva y una componente y ne­gativa, como se muestra. Si por descuido hubiéramos usado 8 ­+45" en las ecuaciones (1.7), habríamos obtenido Oy con el signoequivocado.b) El eje x no está horizontal en la figura 1.15b, y ely no está verti­cal. En general, los ejes x y y pueden tener cualquier orientación entanto sean perpendiculares entre si. (Luego usaremos ejes como es-

y

-rtJD'(~,.'0,.(-) _~__ ¡

I(.)

"'/

- /"E, "

" x,

(b)

r

20 e A P fT U L o 1 I Unidades, cantidades fisicas y vectores

sa (la magnitud E), y el coseno de f3 es el cateto adyacente (Ey ) en­tre la hipotenusa (E). Ambas componentes son positivas, así que

Ex =Esenf3 = (4.50 m)(sen 37.0°) = +2.71 m

Ey = Ecosf3 = (4.50 m)(cos 37.00) = +3.59 m

Si hubiéramos usado las ecuaciones (1.7) directamente escribien­do Ex = Ecos 37.0° y Ey = E sen 37.0°, ¡las respuestas se habríaninvertido!

Si insiste en usar las ecuaciones (1.7), primero deberá encontrarel ángulo entre "E y el eje +x, medido hacia el eje +y; es decir, 0=90.0° - O" 90.0° - 37.00 = 53.0°. Entonces, Ex = E cos Oy Ey " Esen O. Ahora sustituya los valores de Ey fJ en las ecuaciones (1.7)para demostrar que los resultados para Ex YEyson los mismos que ob­tuvimos.

EVALUAR: Observe que las respuestas a (b) tienen 3 cifras signifi­cativas, pero las de (a) tienen sólo 2. ¿Sabe por qué?

Empleo de componentes para sumar vectoresPodemos describir un vector plenamente dando su magnitud y dirección o biensus componentes x y y. Las ecuaciones (1.7) indican cómo obtener las componen­tes si conocemos la magnitud y la dirección. También podemos invertir el proce­so y obtener la magnirud y la dirección a partir de las componentes. Aplicando elteorema de Pilágoras a la figura 1.13, vemos que la magnitud de un vector Aes

(1.8)

y

f

donde siempre tomamos la raíz positiva. La ecuación (1.8) es válida para cualesquierejesx y y, en mnto sean perpendiculares. La expresión para la dirección vectorial pro­viene de la definición de la tangente de un ángulo. Si medimos 8 desde el eje +x, yun ángulo positivo se mide hacia el eje +y (como en la Fig. 1.13), entonces

Ay Aytan 8 = - y 8 = arctan - (1.9)

Ax Ax

Siempre usaremos la notación aretan para la función tangente inversa. Tambiénsuele usarse tan -1, Yuna calculadora podría tener un botón rNV para usarse conel botón TAN. Microsoft Excel usa ATAN.

mlfAlf El uso de las ecuaciones (1.9) para obtener (J tiene una pequeñacomplicación. SupongamosAx = 2 lO YAy = -2 m; entonces tan (J = -], Sin em­bargo, hay dos ángulos con tangente -1, 135 0 Y315 0 (o -45°). En general, dosángulos que difieren en 1800 tienen la misma tangente. Para decidir cuál es co­rrecto, debemos examinar las componentes. Dado que Ax es positiva y Ay es ne­gativa, el ángulo debe estar en el cuarto cuadrante; así que (J = 3150 (o ~45°)

es el valor correcto. Casi todas las calculadoras dan arc¡an( -1) = -45°. En estecaso es lo correcto, pero si Ax = -2 m y Ay = 2 m, entonces el ángulo correctoes 135°. Asimismo, si AxY Ay son negativas, la tangente es positiva, por lo que elángulo está en el tercer cuadrante. Siempre debe hacerse un dibujo para verifi­car cuál posibilidad es la correcta.

Veamos cómo usar componentes para calcular la resultante de dos o más vec­tores. La figura 1.16 muestra dos vectores, A y iJ, y su suma R, junto con lascomponentes x y y de los tres vectores. Es evidente que la componente Rx de la re­sultante es la suma (Ax + Bx) de las componentes x de los vectores sumados. Lomismo sucede con las componentes y. En símbolos,

(componentes de R=Á + B) (l.lO)

1.8 I Componentes de vectores 21

La figura 1.16 muestra este resultado para el caso en que las componentes Av AY'Bx YBy son positivas. Dibuje diagramas adicionales para verificar que las ecuacio­nes (1.10) son validas sin importar el signo de las componentes de Ay B.

Si conocemos las componentes de dos veclOres cualesquiera, A y R, tal vezusando las ecuaciones (1.7), podemos calcular las componentes de la resultante R.Enlonces, si necesitarnos la magnitud y la dirección de k podremos obtenerlas delas ecuaciones (1.8) Y(1.9), cambiando las A por R.

Es facil extender e~te'pr~ce~im!entoa cualquier canlidad de vectores:.Sea Relvector sumatoria de A, B, e, D, E, .... entonces, las componentes de R son

Rx = Ax + Bx + ex + Dx + Ex +(1.11)

Sólo hemos hablado de vectores que están en el plano;ry, pero el método decomponentes funciona igual para vectores con cualquier dirección en el espacio.Introducimos un eje z perpendicular al plano xy; en general, un vector A tienecomponentes Ax, Ay YA: en las tres direcciones de coordenadas. La magnitud A es­tá. dada por

y

I --------

8, 11

Bys:

11

A, 11-,

o A, 8,, ,v

B,

1.16 El vect,gT ¡tes la suma vectorial (re­sultante) de A y B. Su componente x, RntS ig!!al a la suma de las componentes x deA y B. Las componentes y exhiben la mis­ma relación.

A = VA} + A} + Al (1.12)

Siempre tomamos la raíz positiva. También, las ecuaciones (1.11) para las compo­nenles del vector sumatoria R tienen un miembro adicional:

R: = A: + B: + C: + D: + E: + ...Por último, aunque nuestro análisis de la suma de vectores se centró en combi­

nar vectores de desplazamiento, el método se puede aplicar igualmente a todas lasdemás cantidades vectoriales. Al estudiar el concepto de fuerza en el capitulo 4,veremos que las fuerzas son vectores que obedecen las mismas reglas de suma vec­torial que usamos con el desplazamiento. Otras cantidades vectoriales apareceránen capítulos posteriores.

Estrategia pararesolver problemas Suma de vectores

Ax = Aeos(J AJ' = A sen(J

Algunas componentes podrian ser positivas y otras nega­tivas, dependiendo de la oríentación del vector (es decir, elcuadrante de (J). Puede usar esta tabla de signos para \·eri·ficar:

IVIDuCuadrante 1A. +A, +

Si los ángulos de los vectores se dan de otra forma, quizácon otra referencia direccional, conviértalos en ángulosmedidos desde el eje +x como se describió. Cuidado conlos signos.

2. Sume las componenles x algebraicamente, incluyendosignos. para obtener Rx, la componente.r de la resultante.Haga lo mismo con [as componentes y para obtener RJ'"

IDENTIFICAR los conceptos relevantes y PLANTEAR el proble­ma: Decida cuál es la incágnilll. Podría ser la magnitud de la su­ma vectorial, la dirección o ambas cosas. Dibuje los vectorespor sumar y los ejes de coordenadas a emplear. Coloque la coladel primer vcctor en el origen de las coordenadas; coloque la ro­la del segundo vector en la punta del primero, etc. Trace el \'ec­tor sumatoria Rdesde la cola del primer vector hasta la puntadel último. Examinando su dibujo. haga una estimación burda dela magnitud y dirección de R; usara esas estimaciones despuéspara verificar sus cálculos.

EJECUTAR la solución como sigue:l. Obtenga las componenles x yy de cada veclor y anote los

resultados en una tabla. Si un vector se describe con sumagnimd A y su ángulo 8, medido del eje +x al eje +y.las componentes son

I

e", P fT IJ LO 1 I Unidades, cantidades ¡¡sicas y vectores22

3. EnlOnces, la magnitud R y la dirección 8 de la resultanteestarán dadas por

EVALUAR la respuesta: Verifique la magnitud y dirección obte­nidas para el vector sumatoria comparándolas con las estima­ciones basadas en su dibujo. Recuerde que la magnilUd Rsiempre es positiva y que 9 se mide desde el eje.x positivo. Elvalor de 8 obtenido con una calculadora puede ser el conecto,

o tener un error de 180". La decisión se loma c)(aminando eldibujo.

Si sus cálculos son muy diferentes de la estimación hecha apartir del dibujo, verifique si su calculadora está en modo de··radianes" o de "grados". Si está en modo de radianes, introdu­cir ángulos en grados dará respuestas absurdas. Tenga cuidadocon este problema si usa Microsoft Excel, donde todas las fun­ciones trigonométricas usan unidades de radianes. no de grados.Para con,-ertir grados a radianes o viceversa, recuerde que 360grados equivale a 21T radianes.

Ejemplo1 ) Suma de vedores con componentes

componentey61.40 m

-33.68 ro-17.80m

componente x38.37 ro

-46.36 m0.00 m

Rk = -7.99 m Ry = 9.92 m

Ángulo58.00

216.00270.00

y (Norte)

17.8 m

R = V(-7.99 m)2 + (9.92 m)2 = 12.7 ro

9.92 m8 = arcran = 129° = 39° a\ oeste del norte

-7.99 m

---"-,'1'--'-------- ,(B><'

Los perdedores tratan de medir tres ángulos y tres distancias paraun total de 147.5 m, un metro a la vez. El ganador midió sólo un án~

gulo y una distancia mucho más corla.

DistanciaA :: 72.4 m

8=57.3mC=17.8m

1.17 Tres desplazamiemos sucesivos.4, jj y ey el desplazamien­

to resultante (vector sumatoria) R = .4 + B+ C.

Los desplazamientos conducen al puniD donde están enterradas lasllaves de un Porsche nuevo. Dos concursalltcs comienzan a medirde inmediato, pero el ganador primero calcula adónde debe ir.

¿Qué calculó?

A~ = Acos8~ :: (72.4 m)(cos 58.0°) = 38.37 m

A" = A scn 8,1 = (72.4m)(sen58.00) = 61.40 m

Los tres finalisras de un concurso se colocan en el cenrro de uncampo plano grande. Cadtl uno tiene un metro. una bníjula, una cal­culadora, una pala y (en diferente orden para cada concursante), es­tos desplazamientos:

72.4 m, 32.0" al este del norte;57.3 m, 36.0" al sur del oeste;17.8malsur.

Eil!!I3mIDENTIFICAR Y PLANTEAR: La situación se muestra en la figura1.17. Escogimos el eje +x como este y el eje +y como norte, que eslo usual en los mapas. Sea.4 el primer desplazamiento, jj el segun­do1 ec\tereero. Podemos estimar en el diagrama que la resultan­te R está a unos 10m, 40" al oeste del norte.

EJECUTAR: Los ángulos de los vectores, medidos del eje +.x al +y.son (90.0" - 32.0") - 58.0", (180.0" + 36.0") = 216.0" Y270". Debe­mos obtener las componentes. Dada nuestra elección de ejes, po­demos usar las ecuaciones (1.7), que nos dan las siguientescomponentes de A:

Observe que conservamos una cifra significativa extta en las com­ponentes. Esperaremos hasta el final para redondear el resultado.La siguiente tabla muestra las componentes de los desplazamien­tos, la swna de las componentes y los otros cálculos. Siempre aco­mode sus cálculos siSlemáticamente.

I\ir,I

1.9 I Vectores unitarios 23

EVALUAR: Los valores que calculamos parn R Y8 no son muy dife­rentes de nuestras estimaciones de 10 m y 4{1" al oeste del norte;imuy bien! Observe que 8'" -51·(51°al sur del este) también satis-

face la ecuación de 8, pero como el ganador hizo un dibujo (Fig.1.17), sabe que 8 = 129" es la única solución C()ITC'.:l.';U! par:a el ángulo.

Ejemplo1 8 Vector en 3 dimensiones

Un avión despega y viaja 10.4 km al oeste, 8.7 km al norte y 2.1 kmhacia arriba. ¿A qué dislancia eslá de su punlo dc partida?

lllI!!m!llISea el eje +.1" este, el +y norte y el += hacia arriba. Enlonces, A,,·-10.4 km, Ay'" 8.7 km y A, - 2.1 km; la ecuación (1.12) da

A =' V( -10.4 km)2 + (8.7 km)2 + (2.1 km)" =' 13.7 km

¿A que distancia está el lector de su punto de salida si primero viajó 4.00 km al

oeste y luego 4.00 km al sur? Detennine la dirección de su posición desde el ori­gen a su destino.

1.9 I Vectores unitarios

Un vector unitario es un vector con magnitud 1, sin unidades. Su único ím es di­reccionar, o sea, describir una dirección en el espacio. Los vectores unitarios son

una notación cómoda para muchas expresiones que incluyen componentes de vec­

tores. Siempre incluiremos un acento circunflejo (A) sobre el símbolo de un vector

unitario para distinguirlo de los vectores ordinarios cuya magnitud podría o no ser l.

En un sistema de coordenadas x-y podemos definir un vector unitario i que

apunte en la dirección del eje +x y un vector unitario Í que apunte en la dirección

+y. Asi, podemos expresar la relación entre vectores componentes y componentes,

descrita al principio de la sección 1.8, como sigue:

Asimismo, podemos escribir un vector A en términos de sus componentes como

A = A"i + Ayj (1.14)

Las ecuaciones (l.13) y{l.14) son vectoriales; cada termino, como A), es un vector

(Fig. 1.18). l.os signos igual y más en negritas indican igualdad y suma de vectores.

Cuando representamos dos veClores Ji y Ben términos de sus componenles,

podemos expresar la resultante Rusando vectores unitarios como sigue:

A,,=A)

Ay = Ayj (1.13)

y

J-'o"",'---.c-xA;

1.18 Si usamos vectores unitarios, pode­mos expresar un vector Aen lérminosQ.e sus c~mpon~ntes A;. y~ comoA =A~l + A,}.

A= A) + AJÍ

jj = B) + Byj

24 CA PfT ULO I I Unidades, cantidades fisicas y vectores

- - -R =A +B

= (A,i + A,j) + (B,i + B,j)

= (A, + BJi + (A, + B,)j

(1.15)

La ecuación (1.l5) plantea el contenido de las ecuaciones (1.10) en forma de unasola ecuación vectorial en lugar de dos ecuaciones de componentes.

Si todos los vectores no están en el planoX}'J necesitaremos una tercera compo­nente. lntroducimos un tercer vector unilario k que apunta en la dirección del eje+z. Las formas generalizadas de las ecuaciones (1.14) Y(1.15) son

ii = Axi + AJ,j + A):

Ejemplo1.9 Uso de vectores unitarios

ji = (A, + B,)i + (A, + B,)j + (A, + B,)k

= R). + Ryj + RJe

(1.16)

(1.17)

Dados los dos desplazamientos

D= (6; +3j -¡)m y E= (4; -5j +8k)mObtenga la magnitud del desplazamiento 2ij - É.

El!!m!llIIDENTIFICAR, PLANTEAR YEJECUTAR: Si ¡ = 2D - F.. tenemos

¡ = 2(6' + 3i - k)m - (4, - si + Sk)m

= [(12 - 4)i + (6 + ')i + (-2 - 8)k)m= (8,+ IJi - IOk)m

Las unidades de los vectores D. Ey F son metros, así que lascomponentes de estos vectores también estan en metros. De laecuación (1.12),

=Y(Bm)2+(llm)2+( IOm)1=17m

EVALUAR: Trabajar con vectores unitarios hacc que la suma y res­ta de vectores no sean más complicadas que la suma y resta de nú­meros ordinarios. Aun así, no olvide verificar que no hayacometido errores dc aritmética simple.

fExprese los vectores.4, By edel ejemplo 1.7 (sección 1.8) en términos de vec·tores unitarios.

1.10 I Productos de vectores

Hemos visto cómo la suma de vectores es consecuencia narural del problema decombinar desplazamientos, y sumaremos muchas otras cantidades vectorialesposteriormente. También podemos expresar muchas relaciones físicas de formaconcisa usando productos de vectores. Los vectores no son números ordinarios,así que no podemos aplicar la multiplicación ordinaria. Definiremos dos tipos deproductos de vectores. El primero, llamado producto escalar, produce un resulta­do escalar. El segundo, el producto vectorial, produce otro vector.

1.10 I Productos de vectores

Producto escalar

El producto escalar de dos vectores A y B se denota con A .B. Por esta notaciónel producto escalar también se denomina producto punto.

Para definir el producto escalar A.Edibujamos Ay E, con su cola en el mis­mo punto (Fig. 1.I9a). El ángulo entre sus direcciones es <p, como se muestra; <psiempre está entre O" y 180". (Como siempre, usamos letras griegas para los ángu­los.) La figura l. l 9b muestra la proyección del vector Esobre la dirección de A;esta proyección es la componente de jj paralela a A y es igual a B cos <p. (Pode­mos obtener componentes en cualquier dirección conveniente, no sólo los ejes x yy.) Definimos Ji. jj como la magnitud de Amultiplicada por la componente de Eparalela a A. Expresado como ecuación,

h---;,¡-'"('1

(b]

25

donde <p está entre O" y 180".

También podemos definir A' jj como la magnitud de 8 multiplicada por la

componente de Ji paralela a R, como en la figura 1.19c. Así, A.R= B(A cos <p) =

AB cos <p, igual que en la ecuación (1.18).El producto escalar es una cantidad escalar, no un vector, y puede ser positivo,

negativo o cero. Si <p está entre O" y 90", el producto escalar es positivo, y negati­vo si <p está entre 90" y 180". Dibuje un diagrama como el d~..Ia figura 1.~9, perocon <p entre 90" y 180", para constatar que la componente de B paralela a A es ne­gativa en este caso, lo mismo que la componente de A paralela a 8. Cuando<p = 90", A.jj = O. El producto escalar de dos vectores perpendiculares siemprees cero.

Para dos vectores A y 8 cualesquiera, AB cos <p = EA cos <p. Esto implica queA· jj = jj ·A. El producto escalar obedece la ley conmutativa de la multiplica­ción; el orden de los dos vectores no importa.

Usaremos el producto escalar en el capítulo 6 para describir el trabajo realiza­do por una fuerza. Si una fuerza constante F se aplica a un cuerpo que sufre undesplazamiento S, el trabajo W(una cantidad escalar) realizado por la fuerza es

A'E ~ABco,~ ~ IAIIElco,~

(definición del producto escalar (pUnlo))

( 1.18)

(el

1.1 9 (a) Dos vectores dibujados desdeun punto de partida común para definirsu producto escalarA' B= AB cg,.~ q,.(b) B cos q, es)a cgmeonente de B en ladirección de A yA..: B es el productode la magnitud de A y esa componente.(e) A. iJ también es el producto de lamagnitud de By la componente de Aen la dirección de B.

El trabajo es positivo si el ángulo entre F y sestá entre O" y 90°, negativo si el an­gula está entre 90" y 180", YOsi F y sson perpendiculares. (Éste es otro ejemplode un término con significado especial en fisica; en el lenguaje cotidiano, "traba­jo" no es algo que pueda ser positivo o negativo.) Más adelante usaremos el pro­ducto escalar para varios fines, desde calcular potencial eléctrico hasta determinarel efecto de campos magnéticos variables sobre circuitos eléctricos.

Podemos ca~cula.! el producto A.8 directamente si conocemos las componen­tes x, y y z de A y B. Para ver cómo se hace, obtengamos primero los productosescalares de los vectores unitarios. Esto es fácil, pues i, j y k son perpendicu­lares entre sí. Por la ecuación (1.18),

¡·í ~ j.j ~ k'k ~ (1)(I)co'O ~ 1

í·j ~ í'k ~ j'k ~ (1)(I)co,90' ~ ° (1.19)

26 e A pf T U LO 1 I Unidades, cantidades fisicas y vectores

Ahora expresamos Ay Ben términos de sus componentes, expandimos el produc­to y usamos estos productos de vectores unitarios:

Á'E = (A) + Ay} + A:i)·(B..i + By] + BJ)

:: A)'8",i + A)'BJ + A)-B.k

+ A,.j- B) + A,.j· By} + A),;' 8J(

+A~i'B) + AJ{'By} + AJ,.a)

= ABi·i+An¡o¡A+AQ.i·¡:< .< xUy _.....~

•

+AJB",]· i + A)3yj· j + A)B.i· ir

+A~B)'¡ + A:fl/"] + A:B).·k (1.20)

Por las ecuaciones (1.19), es evidente que seis de estos nueve términos son 0, y losotros 3 dan simplemente

Á . jj = A~Bx + AyE] + A:B:

(produclo escalar (punlo) en términos de componentes)(1.21)

Por tanto, el producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de susrespeclivas componentes.

El prodUCID escalar permite calcular directamente el ángulo ti> entre dos vecto­res ji y jj cuyas componentes conocemos. En este caso, obtenemos el productoescalar de Ay jj con la ecuación (1.21). Por la ecuación (1.18), dicho producto tam­bién es igual a AB cos <p. Las magnitudes A y B pueden obtenerse de los vectorescomponentes con la ecuación (1.12), así que podemos determinar cos cP y de ahíq, (véase el ejemplo 1.11).

Ejemplo1.10 Calculo de un producto escalar

f Obtenga el producto escalar de los dos vectores de la figura 1.20.Las magnitudes de los veetores son A - 4.00 YB '" 5.00.

y

130.0"

•

------'f-.,.--'---"------.,EJECUTAR: Usando el primer enfoque, el ángulo entre losvectores es rjJ = 130.0° - 53.0° = 77.0°, así que

A' ii : AB ros q, = (4.00)(5.00)ros n.O" "" 4.50

Esto es positivo porque el ángulo entre Ay ii está entre O" y90". 1.20 Dos vectores en dos dimensiones.

lE!!mIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: Hay dos formas de calcular el pro­ducto escalar. La primera usa las magnitudes de los vectores y el

_ingulo entre ellos (ecuación 1.18); la segunda usa las componentesde los veclores (ecuación 1.21).

1.10 I Productos de vectores 27

Cálculo de ángulos con el producto escalar

Producto vectorial

El producto vectorial de dos vectores Ay 8, también llamado producto cruz, se

denota con A x 8. Usaremos este producto en el capítulo]O para describir el par

r

Para el segundo enfoque necesitamos las componentes de losdos vectores. Como los ángulos de Ay jj se dan con respecto al eje+x, medidos hacia el eje +y, podemos usar las ecuaciones (L7):

A, = (4JXJ)cos53.0" = 2.407

Ay = (4.00)sen 53.0° = 3.195

A, = O

Bx = (S.OO)cos 130.0" = -3.214

By = (5.00) sen 130.0° = 3.830

B, = O

Las componentes z son cero porque ambos vectores están en el pla­no xy. Como en el ejemplo 1.7, dejamos una cifra significativa de

Ejemplo1.11

Determine el ángulo entre los dos vectores

ti = 2i + 3j + k y B = -4í + 2j - k

llil!.!mDIDENTIFICAR: El producto escalar de dos vectores Ay Bestá rela­cionado con el ángulo rP entre ellos y con las magnitudes A y B.También está relacionado con las componentes de los dos vectores.Si nos dan las componentes (como en este ejemplo), primero deter-

y

1.21 Dos vcctores en tres dimensiones.

más en las componentes; redondearemos al final. Por la ecuación(1.21), el producto escalar es

A'H = AxB, + AJB, +Aj3z

~ (2.407)( -3214) + (3.195)(3.830)

+ (0)(0) ~ 4.50

EVALUAR: Obtenemos el mismo resultado con ambos métodos, co­mo debe ser.

minamos el producto escalar ti· By los valores de A y B, Y luegodetenninamos la incógnita 1>.

PLANTEAR Y EJECUTAR: Los vectores se muestran en la figura1.21. El producto escalar de dos vectores está dado por la ecuación(1.18) o la (1.21). Igualándolas y reacomodando, obtenemos

A~B~ + A,By + A,B,cos1> = AB

Podemos usar esta fórmula para calcular el ángulo entre cuales­quier dos vectores A y B. En este ejemplo las componentes de AsonA~- 2,Ay - 3 YA,-l, Y las de B, B, - -4, By - 2 Y B," -1.Entonces,

ti'B = A)3, + A¡By + A,B,

~ (2)(-4) + (3)(2) + (1)(-1) ~-3

A = VA ~ + A ~ + A ~ = V22 + 32 + 12 = Vl4, j" ,

B=YB}+B}+B,2=y( 42)+22 +( 1)2=v2l

A,R, + AyEy + A,R, -3C05rP = • r.-:.;;:-; = -0.175

AB vl4v21

rP = 100°

EVALUAR: Para verificar el resultado, observe que el produc­to escalar ti· Bes negativo. Esto implica que rP está entre 900

y 180°, lo que concuerda con nuestra respuesta.

28 CA PfT ULo 1 1 Unidades, cantidades fisica5 y vectores

(o tarque) y la canlidad de movimiento angular. También lo usaremos mucho alestudiar los campos magnélicos, pues nos ayudará a describir las relaciones entrelas direcciones de varias cantidades vectoriales.

Para definir el producto vectorial de A x ñ otra vez dibujamos los vectorescon su cola en el mismo punto (pig. 1.22a). Así, los dos vectores están en un pIa­no. Definimos el producto vectorial como un vector perpendicular a este plano (osea, perpendicular a ii y 8) con una magnitud igual a AB sen cjJ. Es decir, sie= ii x 8, enlonces

Como hicimos con el producto escalar, podemos interpretar geométricamentela magnitud del producto vectorial. En la figura 1.23a, B sen q, es la componente deiJ q;ae es,perpendiclllar a la direcció~ de A. Por la ecuación (1.22), la ma~itudde A x B es ~ual a la magnitud de A multiplicada por la compone~te de B per­pendicular a A. La figura 1.23b muestra que la magnitud de A x B también esigual a la magnitud de Bpor la componcnte de A perpendicular a ¡j. Esta figu­ra ilustra el caso cn que q, está entre 0° y 90°; dibuje un diagrama similar para q,entre 90° y 180" para comprobar que es válida la misma interpretación geométri­ca de la magnitud de A x ñ.

Si conocemos las componentes de Ay ñ, podremos calcular las componentesdel p.roducto vectorial usando un procedimiento similar al del producto escalar.

(1.23)

(1.22)

A x jj = -B x Á

e = ABsen f/J(magnitud del prodUCIO vectorial (cruz) de Ay 8)

Medimos el ángulo 4J de Ahacia Btomando el más pequeño de los dos ángulosposibles, por lo que q, está entre 00 y 180". Por tanto, e en la ecuaci6n (1.22) siem­pre es posilivo, como toda magnitud de vector. Observe también que, si Ay Bsonparalelos o antiparalelos, q, = 0° o 180°, y C= O. El producto vectorial de dos vec·tores paralelos o amiparalelos siempre es O. En particular, el producto vectorialde un vector consigo mismo es O. Para contrastar el produclo escalar y la magni­tud del producto vectorial, imagine que variamos el ángulo entre A y ¡j mante­niendo constames sus magnitudes. Si Ay Bson paralelos, el producto escalar esmáximo y la magnitud del producto cruz es O. Si A y iJ son perpendiculares, elproducto escalar es Oy la magnirud del producto cruz es máxima.

Siempre hay dos direcciones perpendiculares a un plano dado, una a cada ladodel plano. Escogemos la dirección de ii x Bcomo sigue. Imagine que gira el vec­tor Asobre la linea perpendicular hasta alinearlo con ¡j, escogiendo el ángulo máspequeño entre Ay B. Enrosque los dedos de su mano derecha sobre la perpendicu­lar, con las puntas apuntando en la dirección de rOlación; el pulgar apuntará en ladirección de A x jj. Esta regla de la mano derecha se ilustra en la figura 1.22a.La dirección del producto cruz también es aquella en la que avanza un tornillo conrosca derecha si se gira de Ahacia B.

Asimismo, determinamos la dirección de ñ x Agirando jj hacia Ji en la figura1.22b. El resultado es un vector opuesto a ii x 8. ¡El producto vectorial no esconmutativo! De hecho para cualesquier dos vectores Ay 8,

1ii

"Ji(.)

ii

"~-,~ , fBXA

(O)

Q~_A~,"t -------~-->

(b)

(.)

'.23 (a) B sen t/J es la componente de jjperpendicular a la dirección de A, y lamagnitud de A ~ B es el producto de[a magnitud de A y ~ta cQmponenlc.(b) La magnitud de A x 8 t!!mbién es elproducto!!e la magnitud de ~ y la compo­neDle de A perpendicular a B.

1.22 (a) Vectores.1. y B.sn un plano; elproducto vectorial A x B es perpendiculara este plano en una dirección determinadapor!a re&!a de la_manS! derecha.(b) B x A =-A x B: el productovectorial es anticonmutativo.

,.

1.10 I Productos de vectores 29

Primero deducimos la tabla de multiplicación de los vectores unitarios í, j y k. Elproducto cruz de un vector consigo mismo es 0, así que

íxí=jxj=kXk=O

(1.24)

El cero en negritas nos recuerda que cada producto es un vector cero; es decir, unocon todas sus componentes iguales a °y dirección indefinida. Usando las ecua­ciones (1.22) y (1.23) Y la regla de la mano derecha, tenemos

íxj=-jxi=k

j X k = -k X j = í

k X í = -í x'k = j

Ahora expresamos Ji y B en términos de sus componentes y los vectores uni­tarios, y expandimos la expresión del producto cruz:

= A"í X Bxi + A"í X BJ + A"í x Br.k

+ AJ x B) + Ayj x B) + Ayj x B,k

+ A} x Bxi + A,k x B) + A/, x B,k 0.25)

También podemos escribir los términos individuales como A;:Í x Byj =(AJiy ) i x j, etc. Evaluamos éstos usando la tabla de multiplicar de los vectoresunitarios y agrupamos términos para obtener

Por tanto, las componentes de e= A x Bestán dadas por

1.24 (a) Sistema de,coorde[ladas derceho.en el que i x ¡ = k, ¡ x k = I yk x I = j. (b) Un sistema de CctOrdemdasizquierdo, en el que i x j = - k. etc:..

Sólo usaremos sistemas derecbos.

('l

(1.27)

, J k

A xB= A, A, A,B, B, B,

(componentes de e= Ji x B)

El producto cruz también puede expresarse en forma de determinante:

Si no ha estudiado determinantes, olvídese de esta forma.Con el sistema de ejes de la figura 1.24a, si invertimos la dirección del eje z,

obtenemos el sistema de la figura 1.24b. Aquí, como podrá comprobar el lector, ladefinición del producto cruz da í x j = - ken vez de í x j = k. De hecho, to­

dos los productos vectoriales de í, j, y k tendrían signos opuestos a los de lasecuaciones. (1.24). Vemos que hay dos tipos de sistemas de coordenadas que di­fieren en los signos de los productos cruz de los vectores unitarios. En un sistemaderecho, í x j = k, como en la figura 1.24a. Lo usual es utilizar sólu sistemasderechos, cosa que haremos en todo este libro.

,30

Ejemplo1.12

CA PfT ULO I I Unidades, camidades físicas y vectores

Cálculo de un producto vectorial

Definiendo e= A x B. tenemos, por las ecuaciones (1.27), que

EJECUTAR: Con el primer enfoque, por la ecuación (1.22), la mag­nitud del producto cruz es

AB sen </J = (6)(4)(sen300) = 12

Por la regla de la mano derecha, A x B liene la dirección del eje+z; por tanto, A x B = 121.

Para usar el segundo enfoque, primero escribimos las compo­

nentes de Ay B:

El vector Atiene una magnitud de 6 unidades y está sobre el eje+x. Btiene una magnitud de 4 unidades y está en el plano.1}' for­mando un ángulo de 30" con el eje +x (Fig. 1.25). Calcule el pro­ductoA x k

El!!l3mlIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: Podemos obtener el producto cruz dedos maneras. La primera es usar la ecuación (1.22) para dcteminarla magnitud de A x jj y luego usar la regla de la mano derecha pa­ra encontrar la dirección. La segunda forma es usar [as componen­les de ;¡ y jj para obtener las componentes del produclo cruze= A x Busando las ecuaciones (1.27).

A~ = 6

B. = 4cos30~ = 2v3Ay = O

8,. = 4 sen 30° =2

A; = O

8, = O

,

ii1PI"::::f.'= 30"

1.~ Vectores Ay By su producto w~tor!al e= A x 8. El vec­lar B está en el plano.xy.

c, ~ (0)(0) - (0)(2) = O

C, ~ (0)(2\13) - (6)(0) = O

C, ~ (6)(2) - (0)(2\13) = 12

El producto vectorial e tiene sólo una componente z sobre el eje+:. La magnitud concuerda con el resuhado obtenido antes, comodebe ser.

EVALUAR: En este ejemplo, el primer enfoque fUe más directo por­que conocíamos las magnitudes de los vectores y el ángulo entreellos, y además ambos vectores estaban en uno de los planos delsistema de coordenadas. Sin embargo, muchas veces habrá que ob­tener el producto cruz de dos vectores con una orientación menoscómoda o de los que sólo se dan las componentes. En tales casos, elsegundo enfoque es más directo.

(

Pam los dos vectores A = 3i + 2j y B = 4¡ + 5t, obtenga el producto escalar

A· iJ y el prodUClo vectorial A x iJ.

Resumen

RESUMEN

Las cantidades flJ'¡cas fundamentales de la mecánica son masa, longitud y tiempo. Las unidadesSI básicas correspondientes son el kilogramo, el metro y el segundo. Otras unidades para estascantidades, relacionadas por potencias de 10, se identifican agregando prefijos. Las unidadesderivadas para otras cantidades fisicas son productos o cocientes de las básicas. Las ecuacionesdcben ser dimensionalmente congruentcs. Sólo pueden sumarse dos términos si tienen las mis­mas unidades. (Véanse ejemplos 1.1 y 1.2.)

La exactitud de una medición puedc indicarse con el numero de cifras significativas o dandouna incertidumbre. El resultado de un cálculo no sucle tener más cifras significativas que losdatos. Cuando s610 disponemos de estimaciones burdas corno datos, podemos estimar e! ordende magnitud de! resultado. (Véanse ejemplos 1.3 y lA.)

Las cantidades escalares son numeros y se combinan con la aritmética usual. Las cantidadesvectoriales tienen dirección t majnitud y se combinan segun las re.$las de la suma ~ectorial.

Gráficamcnte, dos vectores A y 8 se suman colocando la cola de 8 en la punta de A. El vectorsumatoria A + Bse extiende desde la cola de Ahasta la punta de B. (Véase ejemplo 1.5.)

31

La suma vectorial puede efecruarse con componentes de ,"cc­tores. La componente x del vector sumatorla R = A + S esla suma de las componentes x de Ay B.las componentes y y: se obtiencn de forma análoga. (Véanse ejemplos 1.6 y 1.7.)

•(1.10)

Los vectores unitarios describen direcciones en el espacioy tienen magnitud de 1, sin unidades. Los vectores unitariosi, j y i::, alineados con los ejes x, y y l de un sistema decoordenadas rectangular, ticnen especial utilidad. (Véaseejemplo 1.9.)

A=A,i + A) + A)

(1.16)

El producto escalar e = .4 .8 de dosvectores Ay 8 es una cantidad escalar.Se puede expresar de dos maneras: en tér­minos de las magnitudes de .4 y By elangulo di que forman, o en términos delas componentes de Ay B. El productoescalar es conmutativo; para cualesquierdos vectores A y 8, A.8 = B..4. Elproducto escalar de dos vectores perpen­diculares es cero. (Véanse ejemplos 1.10y 1.11.)

A'S = ABcos</1 = IAIlolcos</1 (1.18)

(1.21) 3---;"--ft A

32 CA pf TU LO I I Unidades, cantidades fisicas y vectores

El producto vectorial e:: A x Ji de dos vectores Ji y jj esotro vector é. cuya magniTUd depende de las magnirudes deAy jj y del ángulo tjJ entre los dos vectores. La direcciónde A x ii es perpendicular al plano de los dos vectoresmultiplicados, se~ l~ regl! de la mano derecha. Lascomponentes de e = A x B se pueden expresar en tér­minos de las componentes de Ji y 8. El prodUCID vectorial~ es ?,nmu~tivo;yara cualesquier dos vectores Ji y 8.A x B = -8 x A. El producto vectorial de dos vcctoresparalelos o anliparalelos es cero. (Vease ejemplo 1.12.)

Términos clave

C=ABsen4> (1.22)

ex = A"B, - A,By

el = A,B, - A...B,

e, = A,B, - AyB, (1.27)

--

cantidad escalar, 14cantidad ÍlSica, Scantidad vectorial, 14cifras significativas, 10componentes, 18definición operativa, 5desplazamiento, 14dimensionalmente consistente, 8error rraccionario, 10estimaciones de orden de magnitud, 13exactitud, 10-incertidumbre (error), 10

incógnita, 4

Notas del lector

inten"alo de ,"alidez, 3kilogramo, 6magnitud de un netor, 14metro, 6modelo,4negativo de un "ector, ISnolación cienHflca (de potencias

de 10), 11partícula, 4porcelltaje de error, 10precisión, 12prefijo, 6producto escalar (punto), 25

producto vec::torial (cruz), 27regla de la mano derecha, 28segundo,6sistema derecho, 29Sistema Internacional (si), 5Sumaloria de vectores (resultante), 15unidad,5,'ec::lor unitario, 23vec::tores antiparalelos, 15vec::tores componentes, 18"mores paralelos, 14

Preguntas para análisis 33

Respuesta a la pregunta inicialdel capítulo

La figura 1.3e muestra que un glóbulo rojo humano tiene un diáme­tro aproximado de 8 p,m. Doce o trece de esas células en fila abar­carían una distancia de 100 ¡.tm = 10-4 m.

Respuestas a las preguntas de Evalúesu comprensión

Sección 1.S Densidad = (1.80 kg)l(6.0 X 10-4 ml) = 3.0 X 10JkglmJ . Al multiplicar o dividir, el númcro con menos cifras signifi­cativas controla el número de cifras significativas del resultado.Sección 1.6 La respuesta depende de cuántos estudiantes estáninscritos en el campus.Sección 1.7 AI sumar dos vectores, el orden de los vectores noimporta. Por tanto, el desplazamiento resultante sería el mismo queen el ejemplo 1.5 (magnitud 2.24 km, dirección 63.4 0 al este delnorte).Sección 1.8 Está a 5.66 km del punto de partida en una dirección45.0Q al sur del ocste.Sección 1.9A = (38.37í + 61.40j)m, jj = (~46.36í - 33.68j)m,e = (-17.80j)m.

Socdó" 1.10 A·¡j ~ (3)(4) + (2)(0) + (0)(5) ~ 12A x ¡j ~ [(2)(5) - (O)(O)J' + [(0)(4) - (3)(5)Ji

+ [(3)(0) - (2)(4)J*= loí - 15j - 8k

Preguntas para análisis

P1.1 ¿Cuántos experimentos correctos necesitamos para refutaruna teoría? ¿Y para demostrarla? Explique.P1.2 Una guia dice que la pendiente de una vereda en una monta­ña es de 120 metros por kilómetro. ¿Cómo podemos expresar estocon un número sin unidades?~1.3 Suponga que se le pide calcular la tangente de 5.00 metros.¿Es posible? ¿Por qué si o por qué no?P1.4 Un contratista dice que al construir la cubierta de un puentevació 250 yardas de concreto. ¿A qué cree que se refería?P1.S ¿Qué estatura tiene usted en centímctros? ¿Qué peso tiene ennewtons?P1.6 El Nationallnstitute of Science and Technology (NIST) deEE.UU. mantiene varias copias exactas del kilogramo estándar in­ternacional. Pese a una cuidadosa limpieza, estos estándares nacio­nales aumentan de peso a razón de I ¡.tg/ano, en promedio, encomparación con el estándar internacional (se comparan cada 10anos aproximadamente). ¿Es importante este cambio aparente? Ex­plique.Pl.7 ¿Qué fenómenos fisicos (además de un péndulo o un reloj decesio) podrian servir para definir un estándar de tiempo?

P1.8 Describa cómo podría medir el espesor de una hoja de papelcon una regla ordinaria.Pl.9 La cantidad 7T = 3.14159... no tiene dimensiones, pues es uncociente de dos longitudes. Describa otras dos o tres cantidadesgeométricas o fisicas adimensionales.Pl.10 ¿Cuáles son las unidades de volumen? Suponga que le dicenque un cilindro de radio r y altura h tiene un volumen dado por7Trh. Explique por qué no puede ser.Pl.ll Trcs arqueros disparan 4 flechas a un blanco. Las 4 flechasde Juan quedan: 10 cm arriba, 10 cm abajo, 10 cm a la dcrecha y IDcm a la izquierda del centro. Las 4 flechas de Luis quedan a menosde I cm de un punto que está a 20 cm del centro. Las 4 flechas deAna quedan a menos de 1 cm del centro del blanco. El juez dice queuno dc los arqueros es preciso pero no exacto, otro es exacto pero no ,preciso, y el tercero es exacto y preciso. ¿Cuál descripción corres­ponde a cada arquero? Explique su razonamiento.Pl.12 Una pista circular de carrcras tiene 500 m de radio. ¿Cuál esel desplazamiento de una cic1ista"gue sigue la pista del extremonorte al extrcmo sur? ¿Y cuando da una vuelta completa? Expliquesu razonamiento.P1.13 ¿Puede encontrar dos vectores con diferente longitud que su­mados den cero? ¿Qué restricciones de longitud son necesarias paraque tres vectores tcngan resultante cero? Explique su razonamiento.P1.14 A veces hablamos de la "dirección del tiempo", del pasadoal futuro. ¿Implica eso quc el ticmpo es un vector? E:\plique su ra­zonamiento.P1.15 Los comroladores de tráfico aéreo dan instrucciones a los pi­lotos respecto hacia dónde volar. Tales instrucciones se denominan"vectores". Si éstas son las úlÚcas instrucciones dadas, ¿se está usan­do correctamente el ténnino "vcctor',? ¿Por qué si o por qué no?P1.16 ¿Puede encontrar un vector de magnitud cero cuyas compo­nentes sean distintas de cero? Explique. ¿La magnitud de un vcctorpuede ser menor que la magnitud de cualquicra de sus componen­tes? Explique.P1.17 (a) ¿Tiene sentido decir que un vector es negativo? ¿Porqué? (b) ¿Tiene semido dccir que un vector es el negativo de otro?¿Por qué? l-Esta respuesta contradic= lo .9u~ dijo_en la~parte (a)?P1.18 Si e es la suma vectorial de A y R, e = A + R, ¿qué debe­rá ser cierto si e = A + B? ¿Qué deberá ser cierto si e = O?Pl.19 Si Ay Bson vectores distintos de cero, ¿es posible que tan­to A' jj y A x jj sean cero? Explique.P1.20 ¡.Qué resulta de A.A, el producto escalar de un vector con­sigo mismo? ¿Y A x .4, el producto vectorial de un vector consigomismo?Pl.21 Sea Acualquier vector distinto de cero. ¿Por qué AlA es un •vector unitario y qué dirección tiene? Si 8 es el ángulo entre Ayeleje +x, explique por qué (AlA) - i se llama el coseno director dedicho eje.P1.22 Indique cuálcs de las siguientes son operaciones matenláti­cascorrectas:a)A- (n - e);b) (.4 --Ji) x C,c)A' ~x el;dlA ~-ª x e); e) _4.. x Jl!' e)? En cada caso, justifique susrespuestas.P1.23 Considere los dos productos vectoriales sucesivosA x (B x e) y (A x 8) x e. Dé un ejemplo que ilustre la re­gla general de quc estos dos productos no tienen la misma magnitudni dirección. ¿Puede escoger los vcctores A, jj y e de modo que

34 CA PfTU LO 1 I Unidades. cantidades físicas y vectores

esos dos productos vectoriales si sean iguales? Si puede, dé unejemplo.

Ejercicios

Sección 1.3 Estandares y unidadesSección 1.4 Consistencia y conversiones de unidades1.1 Puniendo de la definición 1 pulg - 2.54 cm, averigue cuánloskilómetros hay en LOO milla.1.2 Según la etiqueta de un frasco de aderezo para ensalada, el vo­

lumen del contenido es OA73 litros (L). Use sólo las conversiones1 L= 1000 cm) y 1pulg = 2.54 cm para exprcsardicho volumen enpulgadas cubicas.1.3 ¿Cuinlos nanosegundos tarda la luz en viajar 1.00 km ~ el \'OCio?1.4 la densidad del plomo es 11.3 g/cml

. ¿Cuánlo es esto en kil()­

gramos por metro cúbico?1.5 El molor mas polen te que había para el automóvil clásicoChevrolel Con'elle Sling Ray modelo 1963 desarrollaba 360 caba­

llos de fue:rza y tenía un desplazamiento de 327 pulgadas cúbicas.

Exprese este desplazamiento en litros (L) usando sólo las conver­siones I L - 1000 cm) y 1 pulg = 2.S4 cm.1.6 Le dijeron a Pito Perez que debia fijarse metas. asi que decidióbeber I ml de su bebida favorita durante el ano que inicia. ¿Cuán­tas botellas de 16 onzas liquidas deberá beber cada dia? (Use elapéndice: E. La onza liquida es una unidad de volumen; 128 onzas

liquidas equivalen a un galón.)

1.7 El Concordc es el avi6n comercial más rápido, con una veloci­dad de crucero de 14S0 milh (unas dos veces la vclocidad del soni­do, o Mach 2). a) Exprese la velocidad de crucero del Concorde en

km/h. b) Exprésela en mis.1.8 Conduciendo en un país extranjero. ve un lelrero que indica el

límite de velocidad como 180000 furlongs por quincena. ¿Cuánto

es eslO en rnilh? (Un furlong o estadio es ~ de milla. y una quincena

son 14 días. Originalmente el estadio se refería a la longitud de unsurco arado.)

1.9 El consumo de gasolina de un coche pequeño se anuncia como15.0 kmlL (1 L = I litro). ¿Cuánto es esto en millas por gal6n? Uselos factores de conversión del apendice E.

1.10 Las conversiones que siguen son comunes en física, además

de muy útil~a) Use I mi = 5280 ti. Y 1 h = 3600 s para convenir

60 mph a unidades de ftIs. b) La aeeleraeion de un objeto en eaidalibre es de 32 ftls~. Use 1 ft = 30.48 cm para expresar esta acelera­

ción en unidades de mls2• e) La densidad del agua es de 1.0 g/cm).Convierta esta densidad a kg/mJ.

1.11 Neplunio. En otoño de 2002, un grupo de científicos del LosAjamos Nationallaboratory detenninó que la masa eriliea del nep­

tunio 237 es de unos 60 kg. La masa critica de un material fisiona­ble es la cantidad minima que debe junt3r.ie para inieiaruna reacción

en cadena. Este elemento tiene una densidad de 19.5 g/cmJ . ¿Qué ra­

dio tendría una esfcra de este material que liene la masa critica?

Sección 1.5 Incertidumbre y cifras significativas1.12 Un valor aproximado, útil y fácil de recordar del número de se­

gundos que hay en un año es 'Ir X 101. Determine el porcentaje de

error en este valor aproximado. (Un año tiene 365.24 dias.)

1.13 la figura 1.5 muestra el resultado de un crror inaccptable en

el punto de parada de un tren. a) Si un tren viaja 890 km dc Berlin

a París y luego rebasa el fin de la via 10m, ¿cual es el porcentaje de

error en la distancia total recorrida? b) ¿Sería correcto escribir la

distancia total cubiena por el tren como 890,010 m? Explique.

1.14 CaD una regla de madera. usted determina que UD lado de un

trozo rectangular de ltimina mide 12 mm, y usa un micrómetro pa­

ra mcdir el ancho del trozo. obtenicndo 5.98 mm. Conteste las si­

guientes preguntas con las cifras significativas correctas. a) ¿Qué

área tiene el rectángulo? b) ¿Qué razón ancho/largo tiene el rectán­

gulo? c) ¿Qué perimctro tiene el rectángulo? d) ¿Qué diferencia

hay entre la longitud y la anchura?

1.15 Estime el porcentaje de error al medir a) una distancia de

unos 75 cm con un melro; b) una masa de unos 12 g con una balan­

za analÍlica; e) un lapso de unos 6 min con un cronómetro.

1.16 Un trozo rcctangular de aluminio mide S.10 ::.t 0.01 cm de

longitud y 1.90::.t 0.01 cm de anchura. a) Calcule su área y la incer­

tidumbre del área. b) Verifiquc que la inccrtidumbre fraccionaria

del área sea igual a la suma de las incertidumbres fraccionarias de

la longitud y la anchura. (Este es un resultado general; vea el pro­

blema de desafio 1.94.)

1.17 Al comer una bolsa de galletas con ehispas de chocolate, lIS­

led observa que cada una es un disco circular con diámetro de 8.50

=0.02 cm y espesor de 0.050 ::.t 0.005 cm. a) Calcule el volumen

medio de una gallcta y la incertidumbre del volumen. b) Obtenga la

raz6n diámetro/espesor y la incertidumbre de dicha razón.

Sección 1.6 Estimaciones y órdenes de magnitud1.18 ¿Cuántos galones de gasolina se consumen en EE.UU. en un

dia?

1.19 Una caja de papel para mecanografiar mide 11 X 17 X 9 pulg

yeslá mareada "'lO M". ¿Indica eso quc contiene diez mil hojas, o

10 millones?

1.20 ¿Cuántas semillas de maíz se necesitan para llenar una botella

de rcfresco de 2 L?

1.21 ¿Cuántas palabras hay en este libro?

1.22 ¿Qué volumen total de aire respira una persona duranle su vi­

da? Compárelo con el volumen del Houston Aslrodome. (Estime

que una persona respira unos SOO cm] de aire en cada aliento.)

1.23 ¿Cuánlos cabellos liene en la cabeza?

1.24 ¿Cuántas veces lalc el corazón de una persona en su vida?

¿Cuántos galones de sangre bombea? (Estime que el coraz6n bom­

bea 50 cmJ de sangrc en cada latido.)

1.2S En la ópera Ef Qnillo de fos Nihelungás de Wagncr, la diosa

Freya es rescatada con una pila de oro con la altura y anchura sufi­

cientes para ocultarla. Estime el valor monetario de la pila. (En el

ejemplo lA bay datos sobre el precio por onza y la densidad del

oro.)

1.26 ¿Cuántas golas de agua hay en todos los océanos de la Tierra?

1.27 ¿Cuántas pizlas consumen cada afio escolar los estudiantes

dc su escuela?

1.28 ¿Cuántos billetes de un dólar habría que apilar para llegar a la

Luna? Seria más económico que construir y lanzar una nave?

•

Ejercicios 35

Ejercicios 1.43

y

y

Figura 1.29y 1.56

--,--,,k----,----"60.00

Figura 1.28 Ejercicios 1.35, 1.45 Y1.50, Yproblema 1.68.

1.36 Sea el ángulo (j elque forma cl vector Acon el eje +x, medido ensentido antihorario a par­tir de ese eje. Obtenga elángulo (j para un vectorque tiene estas componen­les: Ax = 2.00 m, Ay. =- LOO m; b)Ax = 2.00 m,Ay = 1.00 m, e) A x =

-2.00 m. Ay = LOO m.d) Ax = -2.00 m. Ay =-1.OOm.1.37 Un cohete dispara dos mOtores simultáneamente. Uno produ­ce un empuje de 725 N directamente hacia adelantc, mielllras queel otro produce un empuje de 513 N 32.40 arriba de la dirección ha­cia adelante. Obtenga la magnitud y dirección (relativa a la direc­ción hacia adelante) de la fuerza resultantc quc estos motoresejercen sobre el cohete.1.38 Un empleado postal conduce su camión por la ruta de la figura1.26. Use el método de componenles para determinar la magnitudy dirección de su desplazamiento resultante. En un diagrama de su­ma de vectores (a escala aproximada), muestre que el desplaza­miento resultante obtenido del diagrama coincide cualitativamentecon el obtenido con el método de componcntes.1.39 Para los vectores A y B de la figura 1.27, use el método dccomponentes para obtener la magnitud y dirección de a) ji + B;b) la suma vectorial B+ A; c) la diferencia vectorial A - B; d) ladiferencia vectorial jj - A.1.40 Calcule la magnitud y dirección del vector representado por lossiguientes pares de componentes: a)Ax = -8.60 cm, Ay = 5.20 cm;b)Ax = -9.70 m,Ay = -2.45 m;c)Ax = 7.75 km, Ay = -2.70 km.1.41 Un profesor de física desorientado conduce 3.25 km al norte,4.75 km al oeste y 1.50 km al sur. Calcule la magnitud y direccióndel desplazamiento resultante, usando el mélodo de componentcs.En un diagrama de suma de vectores (a escala aproximada), mues­tre quc el desplazamiento resultante obtenido del diagrama coincidecualitativamente con el obtenido con el método de componentes.1.42 El vector .4 tiene componentes A,: 1.30 cm, Ay: 2.25 cm; elvector jj tiene componentes Bx: 4.10 ~m, By = -3.75 cm. Calculea) las componentes de la resul-tante A+ B:_b) I~magnitud ydirección de A + B: c) las com­e,oneJ].tes del vector diferenciaB - A; d) la magnitud y direc­cióndeS -.4.1.43 El vector Amide 2.80 cmy está 60.0" sobre el ejc x en el pri­mer cuadrante. El vector Bmidc1.90 cm y está 60.0° bajo el eje xen el cuarto cuadrante (fig. 1.29).

Obtenga}a m~.gnitlld Xdire3ciónde a) A + B; b) A - B: e)ñ - A. En cada caso, dibuje lasuma o resta de vectores y de­muestre que sus respuestas nu­méricas concuerdan con el dibujo.

••

Figura 1,27 Ejercicios 1.32,1.39, 1.44 Y 1.54.

4.0 km

••~11IlNIClO

Figura 1.26 Ejercicios 1.31 y 1.38.

,.

Sección 1.7 Vectores y suma de vectores1.30 Al oir el cascabel de una serpiente usted realiza 2 desplaza­mientos rápidos de 1.8 m y 2.4 m. Haga dibujos a escala aproxima­da mostrando cómo dichos desplazamientos podrían dar unaresultantc de magnitud a) 4.2 m; b) 0.5 m; c) 3.0 m.1.31 Un empleado postal conduce su camión por la ruta de lafigura 1.26. Dctcrmine la magnirud y dirección del desplazamientoresultante en un diagrama a escala. (En el ejercicio 1.38 se abordade otra manera este problema.)

1.33 Una espe\cóloga está ex­plorando unjLJ;ueva; sigue unpasadizo 180 m al oeste, lucgo2 JO m 450 al este del sur, des­pués 280 m 30° al este del nor­te. Tras un cuarto desplazamien-to no medido, vuelve al punto inicial. Determine con un diagramaa escala el cuarto desplazamiento (magnitud y dirección). (El pro­blema 1.69 enfoca de manera distinta este problema.)

1.29 ¿Cuánto costaria tapizar todo Estados Unidos (incluidosAlaska y Hawai) con billetes de un dólar? ¿Cuánto tendría queaportar cada estadounidcnse?

1.32 Con los veelores.4 y iJ de la figura 1.27, use un dibujo a esca­

la para obtener la magnirud y dirección de a) la resultante.4 + B;b) la diferencia A - fi. Con base en sus respuestas a (a) y (b), de­

duzca la magnitud y dirección

de e) -A - B; d) B - A. (El

ejercicio 1.39 enfoca el pro­

blema de olra manera.)

Sección 1.8 Componentes de vectores1.34 Use un dibujo a escala para obten~s componentes x y y delos vectores siguientes. Sc da i) la magnitud del vector y ii) el ánguloque forma con el eje +x, mcdido desde el eje +x hacia el eje -+y. a) Mag­nitud 9.30 m, ángulo 60.00

; b) magnitud 22.0 km, ángulo 135°;c) magnitud 6.35 cm, ángulo 30r.1.35 Calcule las componentes x y y de los vectores A, By ede lafigura 1.28.

36 e A P fT U L o 1 I Unidades. cantidades físicas y vectores

•

Problemas

1.57 Un acre, unidad de agrimensura que todavia se usa mucho,tiene una longimd de un furJong Omi) y su anchura es un déci­mo dc su longitud. a) ¿Cuántos acres hay en una milla cuadrada?b) Cuantos pies cuadrados hay en un acre? (Vca el apéndice E.) e) Unacre-pie es el volumen de agua que cubriria un acre de terreno pla­no hasta 1 ft de profundidad. ¿Cuántos galones hay en un acre-pie?1.58 Una propiedad en la costa de California se ofreció a la ventaen 54,950,000. Su área IOtal era de 102 acres (véase el problema1.57). a) Considerando que el precio de la propiedad es proporcio.nal a su área, ¿cuánto costaba un metro cuadrado de la propiedad?b) ¿Cuimto costana una porción de la propiedad del tamaño de unsello de correo Gpulg por 1.0 pulg)?1.59 El máser de hidr{igeno. Las ondas de radio generadas por unmáser de hidrógeno pueden servir como estandar de frecuencia. Lafrecuencia de las ondas es 1,420,405,751.786 herlz. (Un hertz es unciclo por segundo.) Un reloj controlado por máser de hidrógeno tie­ne un error de 1 s en 100,000 años. Para lo que sigue, use sólo trescifras significalivas. (El gran número de cifras dadas para la fre­cuencia meramente ilustra la notable exactimd con que se midió.)a) ¿Cuánto dura un ciclo de la onda de radio? b) ¿Cuantos ciclosocurren en 1 h? c) ¿Cuántos ciclos habrán pasado durante la edadde la Tierra, estimada cn 4.6 X 109 años? d) ¿Qué error tendna unreloj de máser de hidrógeno después de un lapso semejante?1.60 Estime cuantos átomos hay en su cuerpo. (Sugerencia: Conbase en sus conocimientos de biologia y química, ¿cuáles son los ti­pos de atomos mas comunes en su cuerpo? ¿Qué masa tiene cada ti·po? El apéndice D da la masa atómica de diversos elementos,medida en unidades de masa atómica; el valor de una unidad de ma­sa atómica (1 u) se da en el apéndice E)1.61 Los tejidos biológicos normalmente contienen 98% de agua.Dado que la densidad del agua es de 1.0 X loJ kgfml

, eslime la ma­sa dc a) el corazón de un ser humano adulto; b) una ceJula de 0.5JLm dc diámetro; c) una abeja.1.62 El hierro tiene la propiedad de que un volumen de 1.00 ml

tiene una masa de 7.86 x 10l kg (densidad"" 7.86 X 10l kglmJ). Sedesea fonnar cubos y esferas de hicrro. Detennine a) la longituddel lado de un cubo de hierro que tiene una masa de 200 gi b)e1 ra­dio de una esfera sólida de hierro que tiene una masa de 200 g.1.63 a) Estime el número de dentistas que hay en su ciudad. Nece­sitará considerar el número de habitantes, la frccuencia con que de·ben visitar al denlista, la frecuencia con que realmente lo visitan,las horas que tarda un procedimiento odontológico típico (obtura­ción, endodoncia. etc.) y las horas que un dentista trabaja a la sema­na. b) Utilizando su directorio Iclerónieo local. verifique si suestimación se acercó a la eirra rcal.1.64 Los fisicos, malematicos y otros a menudo manejan númerosgrandes. Los matcmáticos inventaron el curioso nombre googol pa­ra el número IOICM). Comparemos algunos números grandes de la fí­sica con el googoJ. (Nota: Consulte los valores numéricos en losapéndices y familiaricese con ellos.) a) Aproximadamcnte, ¿cuantosátomos componen la Tierra? Por sencillez, suponga una masa ató­mica media de 14 glmol. El número de Avogadro da el número deátomos en un moL b) ¿Como cuántos neutrones hay en una estrella

y

jj (2.4 m)

Figura 1.30 Ejercicio 1.46 yproblema 1.82.

_==-..1'---'--__<

Sección 1.9 Vectores unitarios1.44 Escriba los \"eCIOres de la figura 1.27 en terminas de los vec­lares unitarios i y¡.1.45 Escriba los vectores de lafigura 1.28 en ténninos de losvectores unitarios i y j.1A6 a) Escriba los vectores dela figura 1JO en t6minos de losvectores unitarios i y j. b)Use vectores unitarios paraexpresar el vector C. dondee= 3.00..4 - 4.008.e) Calcule la magnitud y direc­ción de C.1.47 Dados dos veclOres A =4.ooi + 3.ooj y B = 5.00; ­2.00j. a) calcule las magnitu­des de cada vector; b) escribauna expresión para A - Busando vectores unitarios; e) obtenga lamagnitud y dirección de A-B. d) Dibuje un diagrama vectorialque muestre A. iJ y A - By demuestre que coincide con su res­puesta a la parte (e).1.48 a) ¿El vector (1 + j + k) es unitario? Justifique su respuesta.b) ¿Un vcctor unitario puede tener alguna componente con magnitudmayor que la unidad? ¿Puede tencr alguna componente negativa? Encada caso,justifique su respuesta. c)Si A=a(3.0i + 4.0j).dondea es una cOll$tante, detennine el valor de a que convierte a Aen unvector unitario.1.49 a) Use componentcs vectoriales para demostrar que tanto lasuma como el producto escalar de dos vectores son conmutativos.b) Use componentes vectoriales para demostrar que el productovectorial de dos vectores es anticonmutativo. Es decir, demuestreque A x B=-8 x A.

Sección 1.10 Productos de vectores

1.S0 Para los vectores A. 8 y ede la figura 1.28, obtenga los pro­

ductos escalarcs a) A' B: b) B' C; c) A.C.1.S1 a) Obtenga el producto escalar de los dos ,·ectores Ay 8 dadosen el ejercicio 1.47. b) Obtenga el ángulo enlR esos dos vectores.1.52 Calcule el angula entre estos pares de vectores:

a) ~ = -2.~Oí + 6.~Oj),! _ jj = 2.0~i - 3.O<J)b) A =3.001 + 5.00¡ y B =10.001 + 6.00J

c) A = -4.00í + 2.00j y ¡j = 7.00i + l4.00j1.S3 Suponiendo un sistema derecho de coordenadas. encuentre ladi~ción del eje +z en a) la figura 1.15a; b) la figura 1.15b.1.54 Para los dos vectores de la figura 1.27, a) obtcnga la magni­tud y dirección del producto veclorial A x B: b) obtenga la magnitudy dirección de B x A.1.55 Obtenga el producto cruz A x B(expresado en vectores uni­tarios) de los vectOres del ejercicio 1.47. ¿Qué magnitud tiene elproducto vectorial?1.56 Para los vectores de la figura 1.29, a) calcule la magnitud ydirección del producto vcctOrial A x B; b) obtenga la magnitudy dirección de B x A.

Problemas 37

•

Ll.EGAOA

106 km1670

IOWA

SI. Joseph

Lineoln

NEBRASKA147 km

SSo

Manh;luan_c__-,

• 166 km235"

Figura 1.33 Problema 1. 72.

,O+E~..:',-",KAN"",>S"AS,---,Ml",§SOURI

2.00 km

1<-(---S.80km----->,1

Figura 1.32 Problema 1.70.

1.11 Un esquiador viaja a campo traviesa 2.80 km en una direc·ción 45.0" al oeste del sur, luego 7.40 km en una dirección 30.0" alnone del oeste y por último 3.30 km en la direccion 22.0" al sur deloeste. a) Muestre los desplazamienlos en un diagrama. b) ¿A quedistancia está el esquiador del punto de partida?1.72 En un vuelo de práctica, una piloto estudiante vuela de Lin­coln, Nebraska, a Clarinda, lowa; luego a St. Joseph, Missouri ydespués a Manhaltan, Kansas (Fig. 1.33). Las direcciones se muestranrelativas al norte: O" es norAte. 90" es csle. 180" es sur y27rt> es oeste. Use el meto­do de componentes paraaveriguar a) la distanciaque debe volar para regrc­sar a Lincoln desde Man­hallan; b) la dirección(relaliva al norte) que debeseguir. Ilustre su solucióncon un diagrama vecloria1.1.73 Una diseñadora estácreando un nuevo logotipopara el sitio Web de su em­presa. En el programa queestá usando, cada pixel de un archivo de imagen tiene coordenadas(.l,y), donde el origen (O, O) esla en la esquina superior izquierda dela imagen, el eje +x apunta a la derecha y el eje +y apunta hacia aba­jo. Las distancias se miden en pixelcs. a) La diseñadora traza una li­nea del punto (10. 20) al punto (210, 200). Quiere trazaruna segundalínea que parta de (10, 20), tenga 250 pixeles de longitud y forme unángulo de 300 medido en selllido horario a partir de la primera línea.¿En qué punto deberá tenninar la segunda línea? De su respuesta conprecisión de enteros. b) Ahora la diseñadora traza una flecha que co­necta el extremo inferior derecho de la primera línea con el extremoinferior derecho de la segunda. Dctenninc la longitud y dirección deesta flecba. Haga un diagrama que muestre las tres lineas. ,1.14 Regreso. Un explorador en las espesas junglas del Africaecuatorial sale de su choza. Camina 40 pasos al noreste, 80 pasos60" al norte del oeste y 50 pasos al sur. Suponga que lodos sus pa­sos tienen la misma longitud. a) Dibuje, aproximadamente a escala,los trcs vectores y su resultantc. b) Sálvelo de perderse irremedia­blemente en la jungla dándole el dcsplazamicnto, calculado con elmétodo de componentes, que lo llevará de regreso a su choza.

,

C(40.0N)

Figura 1.31 Problema 1.65.

zas sea cero.1.66 Aterrizaje de emer·gencla. Un avión sale delaeropuerto de Galisto y vue­la 170 km en una dirección680 al este del none: luegocambia el rumbo y vuc:la230 km 480 al sur del este,para efectuar ínmediatamente un alerrizaje de emergencia en unpotrero. En qué dim::cion y qué distancia deberá volar una cuadri- .lIa de rescate enviada por el aeropuerto para llegar directamente al

avión averiado?1.61 Le hall pedido programar un brazo robot de una línea de en­samble quc se mueve en el plano.lJ'. Su primer desplazamienlo esA: el segundo es B. de magnitud 6.40 cm y dirección 6~.0" ~didaen el sentido del eje +.x al eje -y. La resultante e = A + B tam­

bién debe tener una magoilud de 6.40 cm pero una dirección de22.0" medida en el sentido del eje +x al eje +)'. a) Dibuje el diagra­ma de la suma de estos vectores, aproximadamente a escala. b) Ob­tenlia las componentes de A. e) Obtenga la magnitud y direcciónde A. _1.68 a) Obte~a la magnitud y dirección del vector R que es la su­ma deA, jj y ede la figura 1.28. En un diagrama, muestre cómo sefonna ji a panir de}os ~s V~I0n:.s. b) Oblenga la magnitud y d~­

reccion del vector S = e - A-B. En un diagrama, muestre ro­

mo se forma oS a partir de los lres vectores.1.69 La espeleologa del ejercicio 1.33 está explorando una cueva.Sigue un pasadizo 180 mal oeste, luego 210 m cn una dirccción 45"al eSle del sur, luego 280 ro 30" al este del norle. Tras un cuarto des­plazamienlo no medido, vuelve al punto inicial. Use el método decomponentes para determinar el cuarto desplazamiento (magnitudy dirección). Dibuje el diagrama de la suma vectorial y demuestreque concuerda cualitativamellle con su solución numérica.1.10 Una marinera en un velero pequeno se topa con vientoscambiantes. Navega 2.00 km al este, 3.50 km al sureSle y luegootrO tramo en una dirección desconocida. Su posición final es5.80 'Km al este del punto inicial (Fig. 1.32). Determine la magni­tud y dirección del tercer tramo. Dibuje el diagrama de suma vec­torial y demuestre que concuerda cualitativamente con su

solución numérica.

de neutrones? Tales estrellas sólo contienen neutrones y lienenaproximadamente dos veces la masa del Sol. e) La principalteoriadel origen del Universo dice que, hace mucho, todo el Universo ob­servable ocupaba una esfera de radio aproximadamente igual a ladistancia actual de la Tierra al Sol y tenia una densidad (masa entrevolumen) de 1015 gfcmJ . Suponiendo que 101~ gfcm3 eran neUlm­nes y ! de las panículas eran protones., i eran electrones, ¿cuantaspanieulas babia en el Universo?1.65 Tres cuerdas horizonlales tiran de una piedra grand.= ~edi~

enterrada en el suelo, produciendo los vectores de fuerza A, B Yeque se muestran en la figura1.31. Obtenga la magnitud ydireccion de una cuartafuerza aplicada a la piedraque haga que el vector su­maloria de las cuatro fuer-

38 CA PfT U LO I I Unidades. cantidades físicas y \'ectores

a

Figura 1,34 Problema 1.76.

l

1.75 Un barco zarpa de la isla de Guam y navega 285 km con rum­bo 40.0° al norte del oeste. ¿Qué rumbo deberá tomar ahora y quédistancia deberá navegar para que su desplazamiento resultante sea115 Ion directamente al este de Guam?1.76 Un peñasco con peso 11' descansa en una ladera que se elevacon un ángulo constante a sobre la horizontal, como se muestra enla figura 1.34. Su peso es una fuerza sobre el pcñasco con direcciónvertical hacia abajo. a) En términos de a y w, ¿qué componente tie­ne el peso del peñasco en la di-rección paralela a la superficiede la ladera? b) ¿Qué componen-te tiene el peso en la direcciónperpendicular a la superficie dela ladera? c) Una unidad de aireacondicionado esta montada enun techo que tiene una pendientedc 35.0°. Panl que la unidad noresbale. la componente del pesode la unidad, paralela al techo, no puede exceder 550 N. ¿Cuántopuede pesar como máximq la unidad?

1.77 Huesos y músculos. El antebrazo de una paciente en tcrapiapesa 25.0 N Ylevanta una pesa de 112.0 N. Estas dos fuerzas estándirigidas verticalmente hacia abajo. Las unieas otras fuerzas apre­ciables que actúan sobre el antebrazo provienen del músculo biecps(que acttia perpendicular al antebrazo) y la fuerza en el codo. Si elbíceps produce un empuje de 232 N cuando el antebrazo se alza 43°sobre la horizontal, detcrmine la magnitud y dirección de la fuerzaque el codo ejerce sobre el antebrazo. (La suma de la fuerza del codoY la del biceps debe equilibrar el peso del antebrazo y la pesa quecarga. así que su \'ector sumatoria debe ser 132.5 N hacia arriba.)1.78 Usted tiene hambre y decide visitar su restaurante de comidar.ípida preferido. Sale de su departamento, baja 10 pisos en cl ele­vador (cada piso tiene 3.0 m de altura) y camina 15 m al sur haciala salida del edificio. Luego camina 0.2 km al este, da \uelta al nor.te y camina 0.1 km hasta la entrada del restaurante. a) Detennine eldesplazamiento entre su departamento y el restaurante. Use nota­ción de vectores unitarios en su respuesta, dcjando bien en claroqué sistema de coordenadas escogió. b) ¿Qué distancia recorrió porel camino que siguió de su departamento al restaurante y qué mag­nitud tienc el desplazamiento que calculó en la parte (a)?1.79 Imagine que pasea en canoa en un lago. Desde su campamen­to en la orilla, rema 240 m en una dirección 32° al sur del este parallegar a un almacén doooe compra víveres. Conoce la distancia por.que ha localizado tanto el campamento como el almacén en un ma­pa. Al regreso, rema una distancia B en la dirección 48° al norte deloeste y una distancia e en la dirección 62° al sur del oeste para vol­ver a su campamento. Ha medido con su brujula las dirccciones enque remó, pero no conoce las distancias. Dado que le interesa cono­cer la distancia total que remó, use métodos vectoriales para caleu­larBye.1.80 Imagine que acampa con dos amigos, José y Carlos. Puestoque a los tres les gusta la privacia, no levantan sus tiendas juntas. Lade José está a 21.0 m de la suya, en dirección 23.1)° al sur del este. La deCarlos está a 32.0 m de la suya. en dirección 37.0° al norte del es­te. ¿Qué distancia hay entre las tiendas de José y de Carlos?

1.81 Los vectores A y jj se dibujan desde un punto común. titiene magnitud A y ángulo 8,. medido del eje +x al eje +y. Las can­tidades jj son B y 6,_ Entonces A :: A cos 6A ; + A sen 6.0]'ii = B ros 8,; +Bsen 811 j. ytJ, =lo, - eAI es el ángulo entre Ay 8. a) Deduzca la ecuación (1.18) a panir de la (1.21). b) Deduz­ca la ecuación (1.22) de [a (1.27).1.82 Para los vectores Ay ji de la figura 1.30, a) obtenga el pro­ducto escalar A .B: b) obtenga la magnitud y dirección del produc­10 vectorial A x 8.1.83 La figura 1.8e muestra un paralelogramo basado en los vec­tores;¡ y B. a) Demuestre que la magnitud del producto cruz de es­tos dos vectores es igual al área del paralelogramo. (Sugerencia:

área - base x altura.) b) ¿Que ángulo hay entre el prodUCIO cruz yel plano del paralelogramo?1.84 El vector Ji tiene 3.50 cm de longitud y está dirigido haciadentro del plano de la página. El vector Bapunta de la esquina in­ferior derecha a la esquina superior izquierda de csta página. Defi­na un sistema derecho aproe.iadoje coordenadas y obtenga las lreS

componentes del producto A x B, medidas en cm". En un diagra­ma, represente su sistema de coordenadas y los vectoresA,8yAXB.1.85 Dados dos vect~resA = -2.ooi + 3.00] + 4.ook y B=3.ooi + 1.00] - H)Ot. a) obtenga la mainitu~ de cada vector;b) Escriba una expresión para la diferencia A - 8, empleando \'ec­

tores unitarios; e) obtenga!a majnitud de la diferencia A - 8. ¿Esigual que la magnitud de B - A? EXplique.

1.86 Ángulo de enlace del metano. En la molecula de metano,CH~, cada átomo de hidrógeno está en la esquina de un tetraedro re­gular, con el átomo de carbono en el centro. En coordenadas en lasque uno de los enlaces C-H esté en la dirección de i - j - k. unenlace C-H adyacente está en la dirección i + j + k, Calcule elángulo entre los enlaces.

1.87 Dos vectores Ay B se dibujan desde un pU~1O eomun, ye= A+ 8. a) Demuestre que si C; = A2 + 82

, el ángulo entreAy jj es 90°. b) Demuestre que si C2 < A2 + 8", el ángulo entre AyBes mayor que 90". c) Demuestre que si e2 > A" + B 2

, el ánguloentre Ay Bestá entre O" y 90".1.88 Si dibujamos dos vectores Á y iJ desde un punto común, elángulo entre ellos es t/J. a) Con técnicas vectoriales, demuestre quela magnitud de su suma es

VA~+82+2ABcoS¡p

b) Si Ay Btienen la misma magnitud, ¿con qué valor de 4J su sumatendrá la misma magnitud que A081 c) Deduzca un resultado aná­logo al de (a) para la diferencia A - ñ. d) Si A y jj tienen la mismamagnitud, ¿con qué v.alor de t/J tendrá t/J A - ñ esa magnitud?1.89 Un cubo se coloca de modo que una esquina este en el origeny tres aristas esten ellos ejes :e, y y =de un sistema de coordenadas(Fig. 1.35). Usc vectores para calcular a) el ángulo entre la aristasobre el eje z (linea ah) y la diagonal que va del origen a la esquinaopuesta (línea aJ); b) el ángulo entre od y oc (la diagonal de W'la cara).

1.90 Obtenga un l't!Clar unitaria perpendicular a los dos vectores

dados en el problema 1.85.

Problemas de desafío 39

Figura 1.35 Problema I.S9.

•

OOסס.0 VA-0.0414 VA

0.9329 VA-0.4423 VA

yx

0.3182 VA1.3087 VA

TierraMarte

Figura 1.36 Problema de desafio 1.97.

En estas coordenadas, el Sol está en el origen y el plano de la órbi­ta de la Tierra es el plano.\)'. La Tierra pasa por el eje +x una vez alario en el equinoccio de otoiio, el primer dia de otorio en el hemis­ferio nortc (cerca del 22 de sep.). Vlla VA (unidad astrol/ómica) esigual a 1.496 X 10~ km, la distancia mediade la Tierra al Sol. a) Di­buje un diagrama que muestre las posiciones del Sol, la Tierra yMarte el 3 de diciemhre de 1999. b) Calcule las siguientes distan·cias en UA el3 de diciembre de 1999: (i) del Sol a la Tierra; (ii) delSol a Martc; (¡ii) de la Tierra a Marte. e) Visto desde la Tierra, ¿quéángulo habia entre la dirección al Sol y la dirección a Marte el 3 dediciembre de 1999? d) Indique si Marte se veía desde donde ustedestaba el 3 de diciembre de 1999 a media noche. (Cuando es la me­dia noche en su posición, el Sol está en el lado opuesto de la Tierra.)1.97 Navegación en la Osa Mayor. Las estrellas de la Osa Mayorparecen estar todas a la misma distancia de la Tierra, pero en reali­dad están muy lejanas entre sí. La figura 1.36 muestra las distanciasdesde la Tierra a cada estrella en años luz (al), la distancia que la luzviaja en un mio. Vn año luz es 9.461 X 1Ol~ m. a) Alkaid y Merakestán separadas 25.6° en el firmamento. Dibuje un diagrama quemuestre las posiciones relativas de Alkaid, Merak y el Sol. Obtengala distancia en anos luz de Alkaid a Merak. b) Para un habitante deun plancta en órbita alrededor de Merak, ¿cuántos grados de sepa­ración habría entre Alkaid y el Sol?

1.98 El vector --¡. = XI + yj + z.1.:. llamado vector de posición,apunta del origen (O', 0, O) a un punto arbitrario cn el cspacio cuyascoordenadas son (x, y, z). Use sus conocimientos de vectores parademostrar que todos los puntos (l-, y, z) que satisfacen la ecuaciónAx + Sy + Cz = O, donde A, B YC son constantes. están en un planoque pasa por el origen y es perpendicular al vector A í + sj + Cl.Dibuje este vector y el plano.

.;h...._~"F'---fj",,,a~ _,,

1.91 Le dan los vectores A =s.oí - 6.Sj Y B = -3.5; +7.0j. Un tcrccr vcctor Cestá enel plano xy y cs perpendicular a~,el producto escalar de CconBes 15.0. Con esta informa­ción, obten;a las componentesdel vector C.1.92 Dos vectorcs Ay Btienenmagnitudes A = 3.00 Y xB = 3.00. Su producto cruz esA x B = -S.OOk + 2.00/.¿Qué ángulo fonnan Ay B?1.93 Más adelante encontraremos cantidades representadas porcA x B) .C. a) Demuestre que, para cualesquier A, B y C,A' (B x c) = (A x B) ·C. b) Calcule (A x B) 'C- A tienemagnitud A = 5.00 Yángulo 81 = 26.00 medido del eje +x al +y, ¡jtiene B - 4.00 YBB '"' 63.00 Ye tiene magnitud 6.00.y sigue el eje+1. Ay ¡j están en el plano.\)'.

Problemas de desafío

1.94 La longitud de un rectángulo se da como L ::+:: 1y su anchuracomo W::+:: w. a) Demuestre que la incertidumbre de su área A es a= Lw + 1ft'. Suponga que I y w son pequeñas y puede despreciarseel producto Iw. b) Demuestre que la incertidumbre fraccionaria delárea es igual a la suma de las incertidumbres fraccionarias de lalongitud y la anchura. c) Un cuerpo regular tiene dimensiones L ::+::

1, W::+:: w y H::+:: h. Obtenga la incertidumbre fraccionaria dcl volu­men y demuestre que es igual a la suma de las incertidumbrcs frac­cionarias de la longitud, la anchura y la altura.1.95 Pase complelo. En la Universidad Autónoma de Inmcnsidad(UAI), el equipo dc fútbol amcricano registra sus jugatlas con des­plazamientos vectoriales, siendo el origen la posición del balón aliniciar la jugada. En cierta jugada de pase, el rCl:cptor parte de+I.oi - S.oj, donde las unidades son yardas, / es a la derecha y jes hacia adelante. Los desplazamientos subsel:uentes del receptorson +9.0/ (en movimiento antes de salir la jugada), +11.oj (salehacia adelante), -6.0/ + 4.0j (a un lado) y +12.01 + IS.oj (aotro lado). Mientras, el mariscal de campo retrocedió -7.0j. ¿Quétan Icjos y en qué dirección debe el mariscal lanzar el balón? (Aligual que al entrenador, le recomendamos diagramar la situaciónantes de resolverla numéricamente.)1.96 Navegación en el Sistema Solar_ La nave Mars Polar Landase lanzó el 3 de enero de 1999. El 3 de diciembre de 1999, el dia enque la nave se posó en la superficie de Marte, las posiciones de laTierra y Marte estaban dadas por estas coordenadas: