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Capıtulo 4: Acumulacion de capital ycrecimiento (II). El modelo de Solow

Macroeconomıa III

Curso 2008-09

Macroeconomıa III Capıtulo 4: El modelo de Solow

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1 El modelo basico de Solow

2 Resultados teoricos

3 Implicaciones y datos

4 Progreso tecnologico

5 Evaluacion del modelo


Solow basico Resultados teoricos Implicaciones y datos Progreso tecnologico Evaluacion del modelo

El modelo basico de Solow

El unico bien final se produce con la tecnologıa

Yt = Kβt (ALt)

1−β , A > 0, β ∈ (0, 1).

Kt, el capital se deprecia a la tasa δ ∈ [0, 1].El trabajo Lt crece a la misma tasa que la poblacion, Nt,

LtLt

=Nt

Nt= n.

Por sencillez, suponemos que Lt = Nt, para todo t.

La tasa de ahorro agregada de la economıa es s ∈ (0, 1).




Economıa cerrada.

No hay gasto del gobierno ni impuestos.

Por tanto,

Ct + It = PIBt,Ct + It = (rt + δ)Kt + wt Lt,

Ct + Kt + δ Kt = Yt.

It = Kt + δ Kt: inversion bruta.Kt: Inversion neta.Ct + Kt = Yt − δ Kt: Producto Interior Neto.




s ∈ (0, 1) es la fraccion de la renta disponible que se ahorra.Por tanto, el ahorro agregado es

St = s Yt = s [(rt + δ)Kt + wt Lt] = sKβt (ALt)

1−β .

Puesto que AHORRO = INV ERSION ,

St = sKβt (ALt)

1−β = Kt + δ Kt.

hemos obtenido una ecuacion que relaciona PIB e inversion y quepodemos usar para analizar la evolucion temporal del stock decapital y de la renta.

Kt = sKβt (ALt)

1−β − δ Kt. (1)



Inversion y crecimiento

El capital por unidad de trabajo es

kt ≡ KtLt

(2)

(ratio capital-trabajo). Su tasa de crecimiento:

ktkt

= KtKt− Lt

Lt(3)

Dividiendo (1) por Kt y sustituyendo en (3) obtenemos la ecuacionde acumulacion de capital como

ktkt

= sA1−βkβ−1t − (δ + n). (4)

Multiplicando (4) por kt obtenemos

kt = sA1−βkβt − (δ + n) kt. (5)




Significado economico

kt: capital por unidad de trabajo en el momento t

yt: produccion o renta por unidad de trabajo

sA1−βkβt : ahorro por unidad de trabajo

(n+ δ) kt: inversion necesaria para mantener el stock de capitalpor unidad de trabajo constante (inversion porreposicion)

Como estamos suponiendo que Lt = Nt podemos hablar decapital per capita, renta per capita, ahorro per capita einversion por reposicion per capita.




Por tanto,

sA1−βkβt > (n+ δ) kt ⇒ kt > 0, el capital (y la renta) crece.

sA1−βkβt < (n+ δ) kt ⇒ kt < 0, el capital (y la renta) decrece.

sA1−βkβt = (n+ δ) kt ⇒ kt = 0, el capital (y la renta) constante.

El valor para el que kt = 0, despejando en la igualdadsA1−βkβt = (n+ δ) kt,

k∗ = A

(s

δ + n

) 11−β

.



El estado estacionario

Definicion: Estado estacionarioUn estado estacionario es una senda para la renta, yt, capital, kt, yconsumo, ct a lo largo de la cual todos crecen a la misma tasa,que es constante a lo largo del tiempo.

Denotamos con ∗ las variables en estado estacionario. Segun ladefinicion, en el estado estacionario

k∗tk∗t

=y∗ty∗t

=c∗tc∗t

= g.

¿Cual es esa tasa g en este modelo?




yt = A1−βkβt , for all t.

Tomando logarıtmos,

ln (yt) = (1− β) ln(A) + β ln (kt)

Diferenciando respecto al tiempo t,

ytyt

= βktkt

En esta economıa, siempre, la tasa de crecimiento de la renta es lafraccion β de la tasa de crecimiento del capital.




Puesto que en el estado estacionario ytyt

= ktkt

, entonces

ytyt

=ktkt

= 0, en el estado estacionario.

Por tanto, en el estado estacionario

k∗t = A

(s

δ + n

) 11−β

, y∗t = A1−β (k∗t )β , c∗t = (1− s)A1−β (k∗t )

β .

La renta del estado estacionario crece con A, s. Es menor cuantomayor es n, δ.




k*k

( )kn δ+

ββksA −1

yt

*c

*y



Dinamica de transicion

yt = A1−βkβt , ct = (1− s)A1−βkβt ,

wt = (1− β)A1−βkβt , rt = β A1−βkβ−1t − δ.

sA1−βkβt > (n+ δ) kt ⇒ kt > 0, ⇒ kt < k∗, ↑ kt, yt, ct, wt, ↓ rtsA1−βkβt < (n+ δ) kt ⇒ kt < 0, ⇒ kt > k∗, ↓ kt, yt, ct, wt, ↑ rtsA1−βkβt = (n+ δ) kt ⇒ kt = 0, ⇒ kt = k∗, kt, yt, ct, wt,

rt constante




k*ktk

( )kn δ+0>

•k

ββksA −1

yt

*c

*y

tk '

0<•k




k*k

δ+n

11 −− ββ ksA

tk 'tk

Tasa de crecimiento positiva

Tasa de crecimiento negativa

δ+n

11 −− ββ ksA

Desplazamiento temporaldel capital

0>•

kk

0<•

kk



Estatica comparativa

k*k

δ+n

11 −− ββ ksA

0>•

kk

Aumento permanente en A

11* −− ββ ksA

**k

Tasa de crecimiento positivatras el aumento en A




k*k

( )kn δ+

0>•k

ββksA −1

*'k

Caída en la tasa de Crecimiento de la Población de n a n’

( )kn δ+'

y*

y*

( )kn δ+'

ty




k*k

( )kn δ+

0<•k

ββksA −1

ββ ks’A −1

*'kCaída en la tasa de Ahorro de s a s’

*y*'y

ty



La regla dorada

El consumo en el estado estacionario

c∗ = (1− s)A(

s

n+ δ

) β1−β

Hay una relacion no monotona entre consumo y tasa de ahorro.¿Cual es la tasa de ahorro que maximiza el consumo del estadoestacionario?

d c∗

d s= 0 ⇒ s = β.

Para cualquier s > β se produce una asignacion ineficiente derecursos: las familias pueden consumir mas con una tasa deahorro menor.



La regla dorada

La Regla Dorada

k

( )kn δ+

*RDk

*RDy

*2k

ttRD yys β=

tys2

*2y

ty

*RDc

*2c



Rendimientos decrecientes y crecimiento

¿Por que la economıa no crece en el estado estacionario?

La unica fuente de crecimiento en esta economıa esacumulacion de capital

La productividad marginal del capital tiende a cero alaumentar el capital ⇒Cuanto mayor es el stock de capital, la inversion necesariapara mantener el stock constante, (n+ δ)kt, aumenta mas

rapidamente que el ahorro, sA1−βkβt

Por tanto, en el largo plazo, sA1−βkβt = (n+ δ)kt

La acumulacion de capital no es la clave del crecimientosostenido



Implicaciones del modelo

La renta per capita en el estado estacionario es

y∗ = A

(s

δ + n

) 1β

.

Ceteris paribus, los paıses con una tasa de inversion mas altatenderan a ser mas ricos

Ceteris paribus, los paıses con tasas de crecimiento de lapoblacion mas alta tienden a ser mas pobres

Estas dos hypotesis estan respaldado por los datos. . .



Relacion positiva entre tasa de ahorro s y renta y



Relacion negativa entre n y la renta y



Pero. . .

El modelo como esta tiene la prediccion que a largo plazo nohay crecimiento de la renta.

Observamos crecimiento sostenido en (casi) todo el mundo

⇒ Tenemos que anadir un ingrediente al modelo para “reparar”eso. . .



Progreso tecnologico

Supongamos queYt = Kβ

t (At Lt)1−β ,

At = egA tA.

At progreso tecnologico que aumenta la productividad del trabajo.Suponemos que crece a una tasa constante.En terminos per capita, (dividiendo por la poblacion, Nt),

yt = kβt A1−βt .

Como antes,kt = s kβt A

1−βt − (n+ δ)kt

¿Cual es el estado estacionario ahora?



Estado estacionario

Tomamos logs en ambos lados de la ecuacion yt = kβt A1−βt ,

ln (yt) = β ln (kt) + (1− β) ln (At)

Diferenciamos con respecto al tiempo t,

ytyt

= βktkt

+ (1− β)AtAt

Usando la definicion de estado estacionario

ytyt

=ktkt

= g,

Sustituimos,g = β g + (1− β)gA ⇒ g = gA.



Estado estacionario

Por tanto, en el estado estacionario

kt/kt = s kβ−1t A1−β

t − (n+ δ) = gA ⇒

k∗t =(

s

δ + n+ gA

) 11−β

At,

y∗t =(

s

δ + n+ gA

) β1−β

At,

c∗t = (1− s)(

s

δ + n+ gA

) β1−β

At,



Estado estacionario

Sera util trabajar con logarıtmos,

ln (k∗t ) =1

1− β(ln(s)− ln (δ + n+ gA)) + gA t

ln (y∗t ) =β

1− β(ln(s)− ln (δ + n+ gA)) + gA t

ln (c∗t ) = ln(1− s) +β

1− β(ln(s)− ln (δ + n+ gA)) + gA t

que se pueden representar muy facilmente graficamente



Estado estacionario

Un cambio en la tasa de inversion s no afecta a la tasa decrecimiento de estado estacionario, solo al nivel

Un cambio en la tasa de crecimiento de la poblacion n noafecta a la tasa de crecimiento de estado estacionario, solo alnivel

Un cambio en la tasa de crecimiento de la productividadagregada gA afecta a la tasa de crecimiento y al nivel




Recordamos la ley de movimiento del stock de capital per capita,

ktkt

= s kβ−1t A1−β

t − (n+ δ).

Definimoskt = kt/At, for all t,

stock de capital en unidades eficientes de trabajo.

yt = yt/At =kβt A

1−βt

At=(ktAt

)β= kβt ,

renta en unidades eficientes de trabajo.




Podemos calcular,

ln(kt

)= ln (kt) − ln (At) ,ektekt = kt

kt− At

At.

Entonces,˙kt

kt= s kβ−1

t − (n+ δ + gA),

˙kt = s kβt − (n+ δ + gA)kt.

Sabiendo la evolucion de kt podemos saber la evolucion de kt.Podemos utilizar diagramas como en el modelo de Solow sincambio tecnologico para analizar las trayectorias de kt, yt y ct.




En esta economıa, kt → k∗,

k∗ =(

s

n+ δ + g

) 11−β

k∗t =(

s

n+ δ + g

) 11−β

Aeg t

Mientras kt → k∗, kt → eg tk∗.

En el modelo de Solow la unica fuente de crecimientosostenido es el progreso tecnologico.



Graficos de ln kt, ln yt y ln ct en el tiempo t

Recuerde:

kt = Atkt

yt = A1−βt kβt

ct = (1− s)yt

Tomando logaritmos:

ln kt = ln kt + lnA+ gAt

ln yt = β ln kt + lnA+ gAt

ln ct = β ln kt + ln(1− s) + lnA+ gAt

⇒ Se dibuja “ln kt (o β ln kt) mas una recta”




t t

ln kt

ln k¤

ln k0

ln kt

ln k0

ln k¤t




Una caıda permanente en la tasa de ahorro

1 En el estado estacionario

el capital en unidades eficientes de trabajo es menor,

k∗ = k∗t /At =(

s

δ + n+ g

) 11−β

,

tambien bajara la renta y∗t /At,el consumo, c∗t /At aumentara o caera dependiendo de si s esmayor o menor que β.La caıda de s tiene un efecto de nivel en k∗t , y∗t , c∗t

2 ¿La transicion?




Una caıda permanente en la tasa de ahorro

t t

ln kt

ln kt

ln k¤t

ln k¤

ln k¤¤ln k¤¤t



¿Por que hay crecimiento en el estado estacionario?

La inversion en el estado estacionario es positiva

En el estado estacionario la inversion en unidades eficientes detrabajo es igual a la inversion por reposicion en unidadeseficientes de trabajo

Crece el capital per capita. . .

. . . pero no hay rendimientos decrecientes porque tambiencrecen las unidades eficientes de trabajo.



Tipos de interes y salarios

rt =∂Yt∂Kt

− δ = βA1−βt kβ−1

t − δ = βkβ−1t − δ

wt =∂Yt∂Nt

= (1− β)A1−βt kβt = (1− β)Atk

βt

1 El tipo de interes real converge a un nivel estacionario, perolos salarios reales crecen para siempre.

2 Los salarios reales son mas altos en paıses con mayor nivel derenta.

3 El tipo de interes real es menor en paıses con mayor nivel derenta.

⇒ Acierta el modelo.



Implicaciones principales

Paıses con la misma tasa de inversion s, tasa de crecimientode la poblacion n, y crecimiento de la productividadagregada gA convergen al mismo nivel de renta per capita (yla misma tasa).

El nivel de renta de estado estacionario es mayor cuanto mayorsea la tasa de inversion s (siempre que sea menor que β).

Fuera del estado estacionario la tasa de crecimiento de larenta esta postivamente correlacionada con la tasa deinversion (fijando el stock de capital).(Recuerde:

˙kt

kt= skβ−1

t − (n+ δ + gA) )



Convergencia de Alemania y Japon



Tasas de inversion mas altas y crecimiento mas rapido



Pero: ¿Hay convergencia global?

¿Podemos usar el modelo de Solow para entender las diferenciasobservadas en niveles de PIB por unidad de trabajo?El nivel de PIB por unidad de trabajo en el estado estacionariopara un cierto paıs i es

yit =(

siδ + ni + gi

) α(1−α)

Aiegi t

En terminos relativos al paıs mas rico, USA,

yityUSAt

=(si (δ + nUSA + gUSA)sUSA (δ + ni + gi)

) α(1−α) Ai

AUSAe(gi−gUSA)t



Efecto de la tasa de inversion...

Supongamos que los paıses solamente difieren en la tasa deinversion y la tasa de crecimiento de la poblacion

La tecnologıa se transfiere libremente entre paısesNo hay diferencias permanentes en la productividad de lashoras de trabajo

yityUSAt

=(si (δ + nUSA + g)sUSA (δ + ni + g)

) α(1−α)



Datos utilizados

sk: participacion de la inversion en el PIB, 1960-80

n: tasa de crecimiento promedio de la poblacion,1980-90

yr90: PIB por trabajador en el paıs i relativo al de USA enel ano 1990

Suponemos α = 0.30 y δ + g = 0.075



Datos de varios paıses

s n yr90EUA 0.210 0.009 1.000Alemania occidental 0.245 0.003 0.800Japon 0.338 0.006 0.610Francia 0.252 0.005 0.820RU 0.171 0.002 0.730Espana 0.239 0.004 0.720Argentina 0.146 0.014 0.360India 0.144 0.021 0.090Zimbabwe 0.131 0.034 0.070Uganda 0.018 0.024 0.030Hong Kong 0.195 0.012 0.620Taiwan 0.237 0.013 0.500Corea del Sur 0.299 0.012 0.430

yUSA90 = 36, 810Macroeconomıa III Capıtulo 4: El modelo de Solow


Falta de convergencia global

Solow- acumulación de capital

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1.200

1.400

1.600

EUA Alemaniaoccidental

Japón Francia RU España Argentina India Zimbabwe Uganda Hong Kong Taiwan Corea delSur

Val

or

rela

tivo

del

PIB

PIB real PIB estimado



Preguntas

¿Por que los paıses pueden crecer permanentemente a tasasdiferentes?

Paıses ricos deben tener mayor productividad At⇒ ¿Por que? (Capıtulo final).

Hay paıses con tasa baja de inversion que tienen altas tasas decrecimiento de la renta – ¿Como podemos entender eso?

Paıses ricos deben tener tasas de inversion s mas altas quepaıses pobres.⇒ ¿De que capital estamos hablando? (Capıtulo 5)

Primero, vamos a aumentar el modelo con capital humano(capıtulo 5) y evaluarlo otra vez. . .


Capítulo 4: Acumulación de capital y crecimiento (II). El ... Cap tulo 4: Acumulaci on de capital...

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