Capítulo 5. Variación de funciones

1

PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

Capítulo 5. Variación de funciones. Extremos

En múltiples problemas de ingeniería se requiere optimizar

una o varias de las variables que intervienen en problemas.

Se dice que el ingeniero es un resolvedor de problemas de

optimización tales como: la determinación de volúmenes

máximos, superficies mínimas, máximos rendimientos, costos

mínimos, áreas máximas, alturas mínimas, resistencias

máximas, tiempos mínimos, velocidades máximas, fuerzas

mínimas, intensidades de corriente máximas, esfuerzos

mínimos y gastos hidráulicos máximos, entre otros.

TEOREMAS DEL VALOR MEDIO

TEOREMA DE WEIERSTRASS

x

y f x

y

2b x

1M f x

2m f x

M m f x

a b

y f x

1a x

M

m

y

x

x

y f x

y

a b 1x

2x

1M f x

2m f x m

y

M f a

m f b

M

m

1x a 2x b

M

y f x

x


2

TEOREMA DE ROLLE

Se cumple para 1 2 3, ,x x x , donde la derivada vale cero.

TEOREMA DE LAGRANGE (DEL VALOR MEDIO DEL C D)

1 2 3 4' ' ' '

f b f af x f x f x f x

b a

Ejemplo. Verificar para las siguientes funciones que se

cumple el teorema mencionado y obtener el o los valores de

" "x que satisfacen la hipótesis:

3

) en x -2 3,2 3 T. de Rolle12

xi y x

3) 2 5 en 2,3 T. de Lagrangeii y x x x

x

y

y f x

1' 0f x

1x

2x 3

x

f a f b

a b

2' 0f x

3' 0f x

4x

y f x y

x

b a

f b f a

1x

2x

3x

f b

f a

a b


3

Ejemplo. Comprobar que se cumple el teorema del Valor

medio del Cálculo diferencial para la función 4

3f x x en el

intervalo 1,1 y obtener el o los valores de " "x que lo

satisfacen.


4

Ejemplo. Investigar si la función f x sen x cumple las

condiciones del teorema de Rolle en el intervalo 0,2 y en

caso de hacerlo, obtener los valores de " "x en los que se

satisface el teorema. Hacer una gráfica aproximada de la

función en el intervalo considerado, señalando, si existen, los

valores en los cuales se satisface el teorema.


5

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

DEFINICIÓN. Una función es creciente si para dos valores

cualesquiera 1 2x y x de su dominio, se cumple que:

2 1 2 1x x f x f x

DEFINICIÓN. Una función es decreciente si para dos valores

cualesquiera 1 2x y x de su dominio, se cumple que:

2 1 2 1x x f x f x

TEOREMA. Sea y f x una función continua en el intervalo

cerrado ,a b , derivable en el intervalo abierto ,a b y tal

que ' 0f x en el intervalo ,a b . Entonces la función es

creciente en el intervalo ,a b .

x

y

f

1f x

1x 2

x

1' 0f x

x

y

f

1f x

1f x

1x 2

x

1' 0f x

2f x

x

y

f

2f x

1f x

1x

2x

1' 0f x

x

y

f

2f x

1f x

1x

2x

1' 0f x


6

TEOREMA. Sea y f x una función continua en el intervalo

cerrado ,a b , derivable en el intervalo abierto ,a b y tal

que ' 0f x en el intervalo ,a b . Entonces la función es

decreciente en el intervalo ,a b .

Ejemplo. Investigar para qué intervalos de " "x la siguiente

función es creciente y decreciente. Hacer una gráfica

aproximada.

3 296 1

2f x x x x


7

SIGNO DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN BIYECTIVA

2

) Sea la función: 1 ; : 0, 1,2

xi f x f

2

21 2 2 2 2 1, 02

xy x y x y y

2

1 ' 0 0,2

xf x f x x x

2) Sea la función: 4 ; : 0, 2 0,4ii f x x f

24 4 0,4y x x y y

24 ' 2 0 0, 2f x x f x x x

2

12

xy

x

y

0, 1

0,fD

1,f fR C

' 0 crecientef x

0, 4f fR C

x

y

24f x x 0, 4

2, 0

0,2fD

' 0 decrecientef x


8

EXTREMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS

DEFINICIÓN. Una función f x tiene un máximo relativo 0f x

para un valor 0x x en un intervalo ,a b , si se cumple que:

0 ,f x f x x a b

DEFINICIÓN. Una función f x tiene un mínimo relativo 0f x

para un valor 0

x x en un intervalo ,a b , si se cumple que:

0 ,f x f x x a b

0 mínimo

relativo

f x 0 mínimo

relativo

f x

f

y

0' 0f x

x a b 0

x

a f

0'f x

y

a b 0x

x

b

f

y

0' 0f x

x a b 0

x

a

f

0'f x

y

a b 0x

x

b

0 máximo

relativo

f x 0 máximo

relativo

f x


9

DEFINICIÓN. Se conocen como valores críticos de la variable

independiente " "x a los valores del eje de las abscisas

donde la derivada es cero o no existe.

f

0'f x

y

x a

0x b

f 0' 0f x

y

x a

0x b

asíntota

rM

rM

rM

rM

rm

rm rm

f

x

y AM

Am

1x

2x

3x 4

x 5x

6x

7x

x

y

' 0f x

'f x

' 0f x

' no existef x

picor

m

no hay

f

r AM M

no hay

asíntota

no hay máximos ni mínimos relativos


10

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

1. Se calcula la derivada de la función.

2. Se obtienen los valores críticos donde la derivada vale

cero o no existe.

3. Se analiza el posible cambio de signo de la derivada,

antes y después de cada punto crítico, lo que manifestaría la

presencia de un extremo relativo. Si la función no está

definida o si la derivada no cambia de signo, no hay

extremos relativos. Si la función está definida, entonces se

pueden presentar los siguientes casos:

Si la derivada cambia de positiva a negativa, quiere

decir que la función cambia de creciente a decreciente

y se tiene un máximo relativo.

Si la derivada cambia de negativa a positiva, quiere

decir que la función cambia de decreciente a creciente

y se presenta un mínimo relativo.

Ejemplo. Obtener los máximos y mínimos relativos de las

funciones siguientes por medio del método de la primera

derivada y hacer un trazo aproximado de sus gráficas a partir

de los resultados obtenidos:

4 3 23

) ; ) 2 2 ; 0 24 6 2

x x xi f x ii y senx sen x x

2

32

2) ; ) 3iii y iv f x x x

x

2

2

4 22) ; ) 2 3

1 22

xsi x

v f x vi f x x xx

si x


11


12


13

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

TEOREMA. 0 0; ' 0 '' 0 M

ry f x f x y f x

TEOREMA. 0 0; ' 0 '' 0

ry f x f x y f x m

Secuela de pasos del criterio de la segunda derivada:

1. Se calcula la derivada de la función.

2. Se obtienen los valores críticos donde la derivada vale

cero o no existe.

3. Se calcula la segunda derivada de la función y se sustituye

en ella cada uno de los valores críticos.

Si la segunda derivada es negativa, la función presenta

un máximo relativo en ese valor crítico.

Si la segunda derivada es positiva, la función presenta un

mínimo relativo en ese valor crítico.

Nota. Si la segunda derivada es cero o no existe, entonces

habría que utilizar el criterio de la primera derivada para ver

si se presentan extremos relativos.

Ejemplo. Determinar los extremos relativos de las siguientes

funciones mediante el criterio de la segunda derivada y

hacer un trazo aproximado de sus gráficas, utilizando los

resultados obtenidos:

4 3 2) 4 4 1 ; ) 1i f x x x x ii y x x

5 24

3 3) ; ) 3 1016

xiii f x iv y x x


14


15

Extremos absolutos

Ejemplo. Determinar los extremos relativos y absolutos de la

siguiente función, definida en el intervalo 3 5

,2 2

. Hacer un

trazo aproximado de su gráfica.

3 3 3f x x x


16

CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN

DEFINICIÓN. Se dice que una curva es cóncava hacia arriba

cuando las rectas tangentes a todos sus puntos están

situadas por debajo de su gráfica, y cóncava hacia abajo

cuando las rectas tangentes están por encima de su gráfica.

DEFINICIÓN. Al punto en el que una curva cambia su

concavidad se le conoce como Punto de Inflexión y es en


17

este punto el único lugar en el cual la tangente corta a la

curva sin tocar su gráfica en otro lugar.

Relación entre la concavidad y la segunda derivada

TEOREMA. Sea la función y f x y considérese que su

segunda derivada existe y es positiva en el punto 0 0,P x y , es

decir, 0'' 0f x . Entonces su gráfica es una curva " "C

cóncava hacia arriba en dicho punto.

TEOREMA. Sea la función y f x y considérese que su

segunda derivada existe y es negativa en el punto 0 0,P x y ,

es decir, 0'' 0f x . Entonces su gráfica es una curva " "C

cóncava hacia abajo en dicho punto.

TEOREMA. Sea la función y f x cuya representación es la

curva " "C . Y considérese que para 0x x se cumple que:

0 0'' 0 ''' 0f x y f x

Entonces el punto 0 0,P x y es un punto de inflexión de la

curva " "C .

PI

x

y

f

concavidad

hacia arriba

concavidad

hacia abajo

PI (Punto de inflexión)


18

Criterio para determinar los puntos de inflexión y el sentido de

la concavidad. Secuela de pasos:

1. Se calculan la primera, segunda y tercera derivadas.

2. Se iguala cero o se analiza la no existencia de la segunda

derivada para determinar los valores " "x donde es posible

que haya puntos de inflexión.

y senx

Máximo

relativo

Punto de

Inflexión

mínimo

relativo

y

x

x

4

2

3

4

5

4

3

2

7

4

2

x ' cosy x

x

''y senx

''' cosy x


19

3. En los valores donde puede haber punto de inflexión se

analiza la tercera derivada que si es diferente de cero

garantiza la existencia de punto de inflexión lo que se hace

también al investigar si hay cambio de signo en la segunda

derivada o cambio en la concavidad. Se hace el siguiente

razonamiento:

Si 2

2

d y

dx cambia de negativa a positiva, entonces, si la

función existe, se presenta un punto de inflexión y la

gráfica de la función cambia de cóncava hacia abajo a

cóncava hacia arriba.

Si 2

2

d y

dx cambia de positiva a negativa, entonces, si la

función existe, se presenta un punto de inflexión y la

gráfica de la función cambia de cóncava hacia arriba a

cóncava hacia abajo.

Ejemplo. Dada la siguiente función, investigar dónde es

creciente o decreciente, determinar sus extremos relativos,

calcular sus puntos de inflexión, decir en qué intervalos es

cóncava hacia arriba y en cuáles hacia abajo, y hacer un

trazo aproximado de su gráfica:

3

5 3 5 20) 3 5 ; )

3

xi f x x x ii y x

Se resolverá el primero.


20

x y y’ y’’ característica


21

SECUELA SUGERIDA PARA RESOLVER PROBLEMAS DE EXTREMOS

- Leer cuidadosamente el enunciado para comprender la

problemática presentada y ver qué se pretende optimizar.

- Construir, cuando sea posible, un modelo geométrico del

problema, que considere magnitudes constantes y variables.

- Establecer un modelo matemático preliminar, que exprese

como función al concepto que se desea optimizar.

- Si este modelo matemático tiene más de una variable

independiente, acudir a una o más ecuaciones auxiliares.

- Sustituir las ecuaciones auxiliares en el modelo matemático

preliminar y obtener el modelo matemático definitivo.

- Se aplica cualquiera de los criterios para calcular extremos

al modelo matemático definitivo y se resuelve el problema.

- Cuando se obtienen los puntos críticos, alguno evidencia

de inmediato el máximo o mínimo de la función y si se desea

verificar su naturaleza, lo que no es indispensable, se

prosigue con el criterio que se elija para ello.

Ejemplo. La suma de dos números positivos es 40 . Obtener

los números tales que:

)i Su producto sea máximo.

)ii La suma de sus cuadrados sea mínima.

)iii El producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del

otro sea máximo.


22


23

Ejemplo. Un viaje de prácticas para realizar estudios

geológicos, subsidiado por una escuela de ingeniería,

costará a cada estudiante $15,000 si viajan no más de 150

estudiantes. Sin embargo, el costo por estudiante se reducirá

en $ 50 por cada uno que exceda los 150 . ¿Con cuántos

estudiantes los ingresos de la escuela serían los máximos?

Construir también una gráfica de los ingresos en función del

número de estudiantes.


24

Ejemplo. Se tienen dos postes de 7 10m y m de altura,

separados una distancia de 15m en un piso horizontal.

Deben sujetarse con cables que van de sus puntas a un solo

punto en el suelo. ¿En qué lugar se deben fijar los dos cables

al suelo para que la longitud total de cable sea mínima?

¿Cuál es la longitud mínima de cable?


25

Ejemplo. Una empresa petrolera desea construir un

depósito en forma de cilindro circular recto, con tapa. El

tanque debe contener 500,000 litros de crudo. El material

para la superficie lateral tiene un costo de $ 400 por 2m , para

la tapa de $ 300 por 2m y para base de $ 500 por 2m . ¿Qué

dimensiones debe tener el tanque para que el costo de los

materiales empleados en su construcción sea el mínimo?

Calcular también el costo mínimo del material.


26

Ejemplo. Un abrevadero de 6m de largo tiene su sección

transversal en forma de triángulo isósceles invertido, cuyos

lados iguales miden 1.2m c/u. Determinar el ancho en la

parte superior de la sección, tal el volumen del abrevadero

sea máximo. Calcular el valor de este volumen máximo.


27

Ejemplo. ¿Qué dimensiones tiene el cono circular recto de

volumen máximo que se inscribe en una esfera de radio R?


28

Ejemplo. Una lámpara está colgada sobre el centro de una

mesa redonda de radio igual a 1.4m. Se requiere saber a

qué altura deberá estar la lámpara para que la iluminación

de un objeto en el borde sea la máxima. Considérese que la

iluminación es directamente proporcional al coseno del

ángulo de incidencia de los rayos luminosos e inversamente

proporcional al cuadrado de la distancia al foco de luz.


29

Ejemplo. Se cuenta con 40m de alambre para cercar un

seto de flores en un jardín. El seto debe tener la forma de un

sector circular. ¿Cuál será el radio y la longitud del arco del

círculo si se desea que el seto tenga área máxima y cuál es

el valor del área máxima?


30

Ejemplo. De un tronco recto de sección circular, de diámetro

100 cm, es necesario cortar una viga de sección rectangular.

¿Qué ancho y qué peralte (altura) debe tener la sección

para que la viga ofrezca la resistencia máxima posible a la

compresión y a la flexión? La resistencia de una viga a la

compresión es proporcional al área de su sección transversal

y a la flexión es proporcional al producto de su ancho por el

cuadrado de su peralte.


31

Ejemplo. Determinar la base y la altura del triángulo de

mínima área que en el primer cuadrante se puede formar al

cortar los ejes coordenados una recta que pasa por el punto

3,4P .


32

VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN

El estudio de la variación de una función consiste en analizar

sus características geométricas como sus intersecciones con

los ejes, sus simetrías, la existencia de asíntotas verticales y

horizontales, sus extremos relativos, puntos de inflexión y

sentido de la concavidad, concluyendo con el trazado

aproximado de su gráfica.

Se pretende estudiar la variación de la función:

2

12

9

xy

x

1. Intersecciones

a) Con el eje " "x : 0 0y x la curva interseca al

eje " "x en el origen.

b) Con el eje " "y : 0 0x y la curva interseca al

eje " "y en el origen.

2. Simetrías

a) Con el eje " "x : Se cambia y por –y y se tiene 2

12

9

xy

x

.

Como se altera la función, no hay simetría.

b) Con el eje " "y : Se cambia x por –x y se tiene 2

12

9

xy

x

.

Como se altera la función, no hay simetría.

c) Con el origen: Se cambia x por –x y y por –y y se tiene que

2 2

12 12

9 9

x xy y

x x

. Como no se altera la función, sí

hay simetría con respecto al origen.

3. Asíntotas. Estas, si existen, se localizan como se vio en el

tema II.


33

a) Asíntotas verticales. No tiene ya que no existe ningún

valor real al cual tienda la " "x que haga que el límite de la

función no exista.

b) Asíntotas horizontales. Se calcula el valor numérico del

límite de la función cuando la variable " "x tiende a y,

2

12lim 0

9x

x

x

por lo que la recta 0y (el eje x) es una asíntota horizontal

de la función.

4. Extensión. Se despeja cada una de las variables y se

obtiene su dominio. De esta manera,

a) Extensión en " "x : 2

12

9

xy x

x

.

b) Extensión en " "y : 2

2 12 144 3612 9 0

2

yyx x y x

y

2144 36 0 12 6 12 6 0y y y

Primera posibilidad: 12 6 0 2

12 6 0 2

y y

y y

Segunda posibilidad: 12 6 0 2

12 6 0 2

y y

y y

Por lo tanto, la extensión en " "y es: 2, 2 0y .

5. Extremos relativos, intervalos de creciente y decreciente,

puntos de inflexión y concavidad.

Se obtienen la primera, segunda y tercera derivadas y se

procede como ya se estudió en el presente capítulo.

2 2 0 x

1 1

x 2 1 1 2 0


34

2 2

2 2 22 2

9 12 12 212 108 12

9 9 9

x x xx dy dy xy

dx dxx x x

212 2

22

2

3108 120 108 12 0 9

39

xxx x

xx

22 2 22

2 42

9 24 108 12 2 9 2

9

x x x x xd y

dx x

2 3 3 2 3

2 3 2 32 2

24 216 432 48 24 648

9 9

d y x x x x d y x x

dx dxx x

332

432

5

3 324 648

0 24 27 0 09

3 3

xx x

x x xx

x

que son los posibles puntos de inflexión.

3 22 2 3 23

3 62

9 72 648 24 648 3 9 2

9

x x x x x xd y

dx x

2 2 33

2 32

9 72 648 6 24 648

9

x x x x xd y

dx x

3 4 2

3 32

72 3888 5832

9

d y x x

dx x

3

3 33 3 0 3 3, 3

d yx PI

dx

3

4 30 0 0, 0

d yx PI

dx

3

3 33 3 0 3 3, 3

d yx PI

dx

En ocasiones puede resultar muy difícil calcular la tercera

derivada para garantizar la existencia de un punto de

inflexión cuando '' 0f x o no existe, por lo que es suficiente

con saber si la función cambia su concavidad o bien, si su

segunda derivada cambia de signo.


35

Ahora se construye la correspondiente tabla y,

x y 'y ''y característica

, 3 3 decrece

3 3x PI 0 3 3, 3PI

3 3, 3 decrece

3x mínimo 0 3, 2rm

3, 0 crece 0x PI 0 0, 0PI

0, 3 crece 3x máximo 0 3, 2rM

3, 3 3 decrece

3 3x PI 0 3 3, 3PI

3 3, decrece

De acuerdo con la tabla, es posible decir que la curva que

representa a la función dada:

Es creciente en el intervalo 3, 3

Es decreciente en los intervalos , 3 3,y

Es cóncava hacia arriba en 3 3, 0 3 3,y

Cóncava hacia abajo en , 3 3 0, 3 3y

Tiene un máximo relativo en el punto 3, 2

Tiene un mínimo relativo en 3, 2

Tiene tres puntos de inflexión en los puntos

3 3, 3 ; 0, 0 ; 3 3, 3


36

Cabe decir que a pesar de que la curva corta a los ejes

coordenados en el origen, al crecer " "x en los dos sentidos,

el eje de las abscisas, esto es, 0y , se convierte en asíntota

de la curva, por lo que no se contradice el análisis realizado.

Ejemplo. Estudiar la variación de las siguientes funciones: 2

2

1 4) ; )

1

x xi y ii y

x x

y

x

3, 2r

M

0, 0PI

3 3, 3PI

3 3, 3PI 3, 2r

m


37


38

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