1

CAPITULO 8.-APLICACONES A FILTROS Y

ECUALIZADORES8.1 Introducción.8.2 Condiciones para la transmisión sin distorsión.8.3 Filtros paso baja ideales.8.4 Diseño de filtros.8.5 Funciones de aproximación.8.6 Transformaciones de frecuencia.8.7 Filtros pasivos.8.8 Filtros digitales.8.9 Filtros digitales FIR.8.10 Filtros digitales IIR.8.11 Distorsión lineal.8.12 Ecualización.

8.1 Introducción.

Diseño utilizando las transformadas de Laplace y z.FILTROS: bloques funcionales para suprimir señales espurias.ECUALIZADORES: bloques funcionales para compensar la distorsión

de la señal transmitida.Transmisión sin distorsiónMarco de referencia para filtros ideales.Filtros anaógicos.Filtros digitales.Ecualización.

2

8.2 Condiciones para la transmisión sin distorsión.

)(tδ

)( ωjX )( ωjY

0

0

0

)(arg.2)(.1

)()()()()(

)()()()(

0

0

tjHKjH

ttKth

KejXjYjH

ejXKjYttxKty

tj

tjF

ωωω

δωωω

ωω

ω

ω

−=−

=−

−=

==

⇒=⎯→←−=

−

−

ω==

vKC

)(th

a) Continuo

8.2a

EJEMPLO 8.1Supongamos que :¿ Cuál es el efecto de esta modificación ?

ZkktjH ∈∀+−=− ,)(arg.2 0 πωω

parkimpark

e

KeeKeKejH

jk

tjjktjjktj

=+=−

=

±=== −−+−

,1,1

)(

000

π

ωπωπωω

0

0

)(arg.2

)(.1

)(

)()(][][0

0

teH

KeH

KeeH

eeKXeYnnKxny

j

j

tjj

tjjj

Ω−=−

⇐=−

=

=⎯→←−=

Ω

Ω

Ω−Ω

Ω−ΩΩb) Discreto

3

8.3 Filtros paso baja ideales.FILTROS : pasobajas, pasoaltas, pasobanda y supresor de banda.Respuesta en frecuencia de un filtro:

Banda de pasoBanda de rechazoBanda de transición/guarda

FILTRO PASOBAJAS ideal:

c

ctje

jHωωωω

ωω

>≤

=−

,0,

)(0

no causal

8.3a

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

==

=

∫

∫

−

−

−

)()(

)(21)(

21)(

0

)( 0

ttsencth

ttsendetsenc

deth

cc

tj

ttjc

c

πω

πω

ππω

π

ωπ

π

π

ω

ω

ω

ω

Duración del lóbulo principal de la respuesta al impulso = 2π/ωc

Filtro NO CAUSAL

4

Figure 8.4 (p. 618)Time-shifted form of the sinc function, representing the

impulse response of an ideal (but noncausal) low-pass filter for ωc = 1 and t0 = 8.

8.3b Transmisión de un pulso rectangular a través de un filtro pasobajas ideal

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −==

−−==⇒+=+−==⇒−=

−=−−=−−−−

=−==

−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

∫ ∫∫

∫∫ −

∞

∞−

a

o

ba

b

c

c

cc

T

Tc

cc

c

cccc

dsendsendsenty

TttbTTttaT

ddtt

dtt

ttsendthxthtxty

ttttsenttsencth

0

000

000

0

2/

2/0

0

0

00

11)(

)2/(2/)2/(2/

;)()(

))(()()()(*)()(

)())(()()(

0

0

λλλλ

λλ

πλ

λλ

π

ωλτωλτ

τωλτωλ

ττωτω

πωτττ

ωω

πω

πω

πω

2,02,1

)(0

0 Tt

Tttx

>

≤=

Comunicaciones digitales1: transmitir un pulso rectangular0: suprimir el pulso rectangular

5

8.3c [ ]

∫

∫ ∫∫

=⇒

−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −==

u

a

o

ba

b

dsenuSesenoIntegral

bSeaSedsendsendsenty

0

0

)(

)()(111)(

λλλ

πλ

λλλ

λλ

πλ

λλ

π

La integral seno Se(u):tiene simetría impar alrededor del origen u=0tiene máximos y mínimos en múltiplos de πtiende al valor límite de ± π para valores grandes de |u|

Figure 8.6 (p. 620)Pulse response of an ideal low-pass filter for input pulse of

duration T0 = 1 s and varying filter cutoff frequency ωc: (a) ωc = 4π rad/s; (b) ωc = 2π rad/s; and (c) ωc = 0.4π rad/s.

t0=0

pulso

0/2 Tc πω =0/4 Tc πω =

0/4.0 Tc πω =

Relación inversa entre 0Tc ↔ω

6

Figure 8.7 (p. 622)The Gibbs phenomenon, exemplified by the pulse response of an ideal low-pass filter. The overshoot remains essentially the same despite a significant increase in the cutoff frequency ωc: (a) ωcT0

= 10π rad and (b) ωcT0 = 40π rad. The pulse duration T0 is maintained constant at 1 s.

9 %

8.4 Diseño de filtros.ωδε

→→→

vde

ps

s

s

p

p

bandadeanchorechazodebandaladetoleranciadeparámetro

inaciónerechazodebandaladecortedefrecuenciaparajH

pasodebandaladetoleranciadeparámetro

pasodebandaladecortedefrecuencia

parajH

ωωδω

ωωδω

ε

ω

ωωωε

−=⇒

≥≤

≤≤≤≤−

transicióndeBanda

rechazodeBanda

pasodeBanda

:)lim(:

)(

:

:

01)(1

Filtros en tiempo continuo realdistorsionesdesviaciones

7

8.4a

DISEÑO DEL FILTRO (no único)Partiendo de un conjunto de especificaciones que describe las propiedades deseadas del filtro selector de frecuencias :1.- Aproximación de una respuesta en frecuencia preestablecida por

medio de una función de transferencia racional que presentan unsistema que es tanto causal como estable.

2.- Realización de la función de transferencia aproximada mediante un sistema físico.

Planteamientos para el diseño de filtros analógicos y digitales :1.- Método analógico2.- Método analógico-digita3.- Método digital directo

8.5 Funciones de aproximación.1 Conjunto de especificaciones específicas2 Estructura de filtro específica 3 Elección de la función de transferencia ( desempeño del filtro )

“No hay una solución única”La aproximación es un problema de optimizaciónCriterios de optimización : 1.- Respuesta en magnitud máximamente plana

Filtro pasobajas analógico de orden N

2.- Respuesta en magnitud de rizo uniformeFiltro pasobajas analógico

00)(12

12

==∂∂

−

−

ωωω

enjHN

N

)(11)( 22

2

ωδω

FjH

+=

(Filtros Butterworth)

(Filtros Chebyshev)

8

8.5a

La respuesta en magnitud |H(jω)| se dice que será de rizo uniformeen la banda de paso si F2(ω) oscila entre máximos y mínimos de igual amplitud sobre la banda de paso completa (Chebyshev I).Distinguiremos dos casos según el orden del filtro sea N par o imparEjemplos :

1,,,,0,0)()

1,,0,1)()

,,0)()10;1,4:

1,,,0,0)()

1,,1)()

,0,0)()10;1,3:

212

221

21

2

2

±±±±==∂∂

±±==

±±==<<<<==

±±±==∂∂

±±==

±==<<<==

aba

b

aa

abac

ab

b

a

abc

siFiii

siFii

siFiyN

siFiii

siFii

siFiyN

ωωωωωω

ωωω

ωωωωωωωω

ωωωωω

ωωω

ωωωωωω

bCaso

aCaso

NO

Figure 8.9 (p. 625)Two different forms of function F2(ω): (a) N = 3. (b) N= 4.

NO

9

8.5bFiltros Butterworth

Una función Butterworth de orden N se define :|H(jω)| función par de ω

N

c

jH 22

1

1)(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

ωω

ω

( )( )

[ ]

[ ]211

1

1

)(*

)()

111

1

1

11

1)(*

01)(1)

21

222

21

222

N

csN

c

s

s

s

N

cpN

c

p

p

p

c

jH

jHb

jH

jHafiltrodelcortedefrecuencia

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⇒

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

=⇒=

≥∀≤

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⇒

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=−

−=⇒=

≤≤∀≤≤−

=

δωω

ωω

δ

δωωω

ωωωδω

εωω

ωω

ε

εωωω

ωωωωεω

8.5cFiltros Butterworth

( )

( ) ( )( )

( )

p

s

R

R

p

s

R

R

N

R

R

N

p

sA

RR

s

RR

p

p

s

p

s

p

s

s

s

p

p

N

dBenrechazodebandaladetoleranciamáximorizadoR

dBenpasodebandaladetoleranciamáximorizadoR

ωω

ωω

ε

δωωω

δδ

δεε

ε

log

110110log

log2

110110log

110110

11

1

11

1010

)()(log20101101

)()(1log20NdeCálculo

2/1

1.0

1.0

1.0

1.0

21

1.0

1.0

21

2

2

1.0220

1.0220

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−==

=⇒=

⇒−==−⇒=−

⇒−−=

−−

−−

10

8.5dFiltros Butterworth

[ ] ( )( )

0|)(

;0)(

20|)(

;)(

1log101log20)(

110110112

deCálculo

0

22/12

21

1.0

21

1.021

2

==

−==

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−=⇒−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⇒

=

=

−

ω

ωω

ωω

ωω

ωω

ωωω

ωω

ωωω

ωωωδ

ωω

ω

ddBjHd

endBjHdePendiente

Nd

dBjHdendBjHdePendiente

dBjH

c

s

s

c

N

c

N

c

NR

sc

NRc

N

cs

c

8.5eFiltros Butterworth

( ) ( )

kckckkk

jckk

NNkj

ckj

cj

ck

N

c

N

c

js

senjjp

NkepNNk

Nkeeejppolos

js

sHsHjHsHsH

sH

k

NN

θωθωωσ

ωπθ

ωωω

ωωω

ω

θ

πππ

ω

+=+=

−==⇒−+

=

−===−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

==−

−+−

=

cos

12,,1,0;2

)12(

12,,1,0;1:

1

1)()(;

1

1)(|)()(

?)(¿

2)12(

)12(2/

222

21

21

K

K

Las primeras 2N-1 derivadas de |H(jω)| en el origen son ceroLa función de Butterworth es máximamente plana en ω=0

11

8.5fFiltros Butterworth

8817;

815;

813;

811

89;

87;

85;

834

26

12;3

56

10;3

46

86

6;3

26

4;36

23

:

12,,1,0;2

)12(;cos

7654

3210

543

210

ππθπθπθπθ

πθπθπθπθ

ππθππθππθ

ππθππθππθ

πθθωθω

=====

====

=

======

======

=

−=−+

=+=

N

NEJEMPLOS

NkNNksenjp kkckck K

Figure 8.11 (p. 628)Distribution of poles of H(s)H(–s) in the s-plane for two different filter orders: (a) K =N= 3 and (b) K =N= 4, for which the total number of poles is 6 and 8, respectively.

N polos H(s) N polos H(-s)

2N polos

N polos H(-s)N polos H(s)

2N polos

12

Figure 8.10 (p. 627)Magnitude response of Butterworth filter for varying

orders.

Ejemplo 8.3aDetermine la función de transferencia de un filtro de Butterworthde tipo pasobajas con orden N=3. Supongamos que la frecuenciade corte de 3dB es ωc=1.Solución : Para N=3, los 2N polos de H(s)H(-s) se localizan en uncírculo de radio unitario con espaciamiento angular de 60º. Asignando los polos del semiplano izquierdo H(s), tenemos

23

21

32

32cos

1cos23

21

32

32cos

34;;

32

:)(3;1;3

12,,1,0;2

)12(;cos

3

2

1

321

jjsenp

jsenp

jjsenp

splanodelizquierdosemiplanosHdepolosN

NkNNksenjp

c

kkckck

+−=+=

−=+=

+−=+=

===

==

−=−+

=+=

ππ

ππ

ππ

πθπθπθ

ω

πθθωθω K

13

Ejemplo 8.3b

122

1)(122

1)(

)1)(1(1

23

21

23

21)1(

1)(

23

21;1;

23

21

2323

2

321

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇐

+++=

+++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++

=

−−=−=+−=

ccc

ssssH

ssssH

sssjsjss

sH

jppjp

ωωω

8.5g

12361.32361.52361.52361.3516131.24142.36131.24

1223122

11

2345

234

23

2

+++++

++++

+++

++

+

sssssssss

sssss

s

Resumen de filtros de Butterworth: H(s)=1/Q(S)

Orde N del filtro Polinomio Q(s)

14

8.5hFiltros ChebyshevRespuesta en magnitud de rizo uniforme (0.5 dB) en la banda de paso.Funciones de aproximación de Chebyshev.Ancho de banda de transición reducido.Los polos yacen sobre una elipse en el plano s de una manera estrechamente relacionada a la del filtro de Butterworthcorrespondiente.Comportamiento monotónico en la banda de rechazo.

Filtros Chebyshev inversoComportamiento monotónico en la banda de paso.Respuesta en magnitud de rizo uniforme en la banda de rechazo.Tiene ceros sobre el eje jω del plano s.

Filtro elípticoRespuesta en magnitud de rizo uniforme en la banda de paso y de rechazo. Banda de transición estrecha.

Figure 8.12 (p. 629)Magnitude response of Chebyshev filter for order (a) K = 3

and (b) K = 4 and passband ripple = 0.5 dB. The frequencies ωb and ωa in case (a) and the frequencies ωa1 and ωb, and ωa2

in case (b) are defined in accordance with the optimality criteria for equiripple amplitude response.

NO

15

Figure 8.13 (p. 630)Magnitude response of inverse Chebyshev filter for order (a)

K = 3 and (b) K = 4 and stopband ripple = 30 dB.

NO

8.6 Transformaciones de frecuencia.No afectan a las tolerancias dentro de las cuales se aproxima lacaracterística de interés ideal

Transformación pasobajas a pasoaltas

j

cj

j

j

j

j

j

j

c

j

jcj

cj

c

dDDsd

s

ds

Dsd

s

ds

ds

sds

ds

dsss

ω

ωωωω

=−

−→

−

−

−=

−

−=

−=

−→

−⇒→

;1

11

16

8.6a

Ejemplo 8.4

)1)(1(1)( 2 +++

=sss

sHLa ecuación

define la función de transferencia de un filtro de Butterworth pasobajasde orden 3 y frecuencia de corte unitaria. Determine la función detransferencia del filtro pasoaltas correspondiente con frecuencia de corte unitaria.Solución:

)1)(1()(

111111)(

)1)(1(1)(

2

3

2

1

2

+++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎯⎯⎯ →⎯+++

==→

sssssH

sss

sHsss

sH

pa

pass

s

pb

cω

17

8.6bTransformación pasobajas a pasobanda

Propiedades de un filtro pasobanda:1.- H(jω)=0 tanto en ω=0 como en ω=∞2.- |H(jω)|≈1 para una banda de frecuencias centrada en ω0

(frecuencia de banda media del filtro)Función de transferencia con :• Ceros en s=0 y s= ∞• Polos cerca de s=±jω0 sobre el eje jω en el plano s

B= ancho de banda

( )20

2221

2120

2

20

2

421,

))((1

ω

ωω

−±=

−−=

+−→

−⇒

+→

jj

jj

dBBdppdonde

pspsBs

sBdsBs

dsBsss

Ejercicio 8.6

Considere un filtro pasobajas cuya función de transferencia es

Determine la función de transferencia del filtro pasobandacorrespondiente con frecuencia de media banda ω0=1 y ancho debanda B=0.1

11.01.0)(1)( 2

1.012

++=⎯⎯→⎯

+=

+

ssssH

assH s

s

assH

+=

1)(

18

8.7 Filtros pasivos.

Figure 8.14 (p. 633)Low-pass Butterworth filters driven from ideal current source:

(a) order K = 1 and (b) order K = 3.

Elementos reactivos: inductores y capacitoresElementos resistivos : resistencia de fuente y/o de carga

Síntesis de red: a partir de H(s) determinar los elementos del filtro

1=cω

8.8 Filtros digitales.

• El término filtro digital lo entenderemos como cualquierprocesamiento realizado en una señal de entrada digital.

• Un filtro digital es la implementación en hardware o software de una ecuación diferencia.

• Ventajas de los filtros digitales• Alta precisión (limitada por los errores de redondeo en la

aritmética empleada)• Fácil modificación de las características del filtro• Muy bajo coste (y bajando)• Alta inmunidad al ruido

• Por estas razones, los filtros digitales están reemplazandorápidamente a los filtros analógicos.

19

Filtros digitales.

Diseño de filtros digitales:1.- “Teórico” Utiliza un modelo analógico de precisión infinita para

las muestras de datos de entrada y todos los cálculos interno.Amplitud continua. (Filtros en tiempo discreto)

2.- “Práctico” Los datos de entrada y los calculos internos están cuantizados hasta una precisión finita. Errores de redondeo. Su desempeño se desvía del de un filtro en tiempo discreto a partir del cual se obtuvo. (Filtros digitales)

8.8a

Clasificación de los Filtros Digitales

I.- Filtros de Respuesta al Impulso Finita :FIR(Finite Impulse Response)

MA (Moving Average) Media en movimiento

II.- Filtros de Respuesta al Impulso Infinita : IIR(Infinite Impulse Response)

AR (Autoregresivo)ARMA (Autoregresivo y Moving Average)

20

8.8b

][...]1[][][ 10 Mnxbnxbnxbny M −++−+=

kb

I.- Filtros de Respuesta al Impulso Finita : FIR MA(M), Moving Average

•Un filtro FIR de orden M se describe por la siguiente ecuacióndiferencia

•La función de transferencia es un polinomio en z-1

•La función de Transferencia tiene un denominador constante y sólotiene ceros.

•La secuencia son los coeficientes del filtro.•La respuesta es por tanto una suma ponderada de valores pasados y

presentes de la entrada. De ahí que se denomineMedia en Movimiento (Moving Average)

•Tienen memoria finita y en vista de ello ningún transitorio de inicio es de duración limitada

MM zbzbbzH −− +++= ...)( 1

10

8.8c

•Siempre son estables en sentido BIBO

•Pueden realizar una respuesta en magnitud deseada con exactamente respuesta en fase lineal (sin distorsión de fase)

•No hay recursión, es decir, la salida depende sólo de la entrada y no de valores pasados de la salida.

•La respuesta es de duración finita ya que si la entrada se mantiene en cero durante M periodos consecutivos, la salida será tambiéncero

21

8.8d

• Ecuaciones en diferencias lineales de coeficientes constantes deuna naturaleza recursiva.

• La función de transferencia es una función racional en z-1

• Longitud de filtro más corta, para una respuesta en frecuencia dada

• Distorsión de fase.

I.- Filtros de Respuesta al Impulso Infinita : IIR

a) AR (Autoregresivo)b) ARMA (Autoregresivo y Moving Average)

8.8e

][][...]2[]1[][ 21 nxNnyanyanyany N =−++−+−+•La ecuación diferencia que describe un filtro AR es

, lo que da lugar a una función de transferencia

•La función de transferencia contiene solo polos.•El filtro es recursivo ya que la salida depende no solo de la entrada

actual sino además de valores pasados de la salida(Filtros con realimentación).

•El término autoregresivo tiene un sentido estadístico en que la salida y[n] tiene una regresión hacia sus valores pasados.

•La respuesta al impulso es normalmente de duración infinita, de ahísu nombre.

I.- Filtros de Respuesta al Impulso Infinita : IIR a) AR (N), Autoregresivo

NN zaza

zH −− +++=

...11)( 1

1

22

8.8f

][...]1[][][...]1[][ 101 MnxbnxbnxbNnyanyany MN −++−+=−++−+

I.- Filtros de Respuesta al Impulso Infinita : IIRb) ARMA(N,M), Autoregresivo y Moving Average

NN

MM

zazazbzbbzH −−

−−

++++++

=...1...)( 1

1

110

• Es el filtro más general y es una combinación de los filtros MA y AR descritos anteriormente. La ecuación diferencia que descibe un filtro ARMA de orden N es

Y la función de transferencia

• Un filtro de este tipo se denota por ARMA(N,M), es decir es Autoregresivo de orden N y Media en Movimiento de orden M.

• Su respuesta a impulso es también de duración infinita y por tanto es un filtro del tipo IIR.

8.8e

23

8.10 Filtros digitales IIR.

8.10aNO

24

8.10bNO

8.10cNO

25

8.10dNO

8.10eNO

26

8.10fNO

8.10 Filtros digitales IIR.

Método para convertir las funciones de transferencia analógicas enFunciones de transferencia digitales. Se basa en la TRANSFORMACIÓN BILINEAL (mapeo único entre puntos del Plano s en el plano z) :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=⇒

−+

=⎯⎯ →⎯−+

=

=−+

=

=+−

=

−=

−+

=

+−

=

22)arg(

1||

22

22

|)()(;22

|)()(;112

1

22

112

ωωωω Ttgz

z

jTjTz

TsTsz

zHsHTsTsz

sHzHzz

Ts

js

TsTsza

zz

Tsa

27

Figure 8.24 (p. 646)Illustration of the properties of the bilinear transform. The left half of the s-plane (shown on the left) is mapped onto the interior of the unit circle in the z-plane (shown on the right). Likewise, the right

half of the s-plane is mapped onto the exterior of the unit circle in the z-plane. The two corresponding regions are shown shaded.

Figure 8.25 (p. 647)Graphical plot of the relation between the frequency Ω pertaining to

the discrete-time domain and the frequency ω pertaining to the continuous-time domain: Ω = 2 tan-1 (ω).

aladeodedistorsión

tgtgT

tgT

TtgzeHzH jez j

⇒<Ω<−⇔∞<<∞−

Ω==Ω⇒=

Ω=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==Ω⎯⎯ →⎯

−

−Ω= Ω

ππω

ωω

ωω

2;)(22

22;

22)arg(;)()(

1

1

28

8.11 Distorsión lineal.•Distorsión de amplitud•Distorsión o retardo de fase ( no lineal con la frecuencia)

8.12 Ecualización.Para compensar una distorsión lineal.

Problema 8.20

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +++++ 1618.121618.021 SsSss

El polinomio del denominador de la función de transferencia de un filtropasabaja de Buttetworth de orden 5 es :

Encontrar la función de transferencia del correspondiente filtro pasaaltacon frecuencia de corte de 1 Hz.

( )

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +++

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

=

→

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +++

=

1618.121618.021

5)(

1618.1211618.0

2111

1)(

1

1618.121618.021

1)(

SsSss

ssH

sssss

SHpasaaltas

s

SsSssSHpasabaja

29

Problema 8.21

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +++++ 1618.121618.021 SsSss

El polinomio del denominador de la función de transferencia de un filtropasabaja de Buttetworth de orden 5 es :

con frecuencia de corte de 1 Hz, si queremos modificar dicha frecuencia de corte a cualquier valor , calcular la nueva función de transferencia H2

( )

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +++

=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛++

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛++

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

=

⇒→⇒≠⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +++

=⇒=

2618.122618.02

5)(2

1618.122

1618.022

1

1)(2

1;1618.121618.021

1)(11

cScscScscscSH

c

s

c

s

c

s

c

s

c

sSH

c

sscSsSss

SHc

ωωωωω

ω

ωωωωω

ωωω

Problema 8.22

)11.001.21.0)(11.0(001.0)(

)01.01.01.012)(11.0(001.0)(

11.0

11.0

111.0

1

1)()1)(1(

1)(

2342

3

23242

3

2222

1.01

2

220

2

++++++=

+++++++=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

+++=

+=

+→

ssssssssH

sssssssssH

ss

ss

ss

sHsss

sH

pbanda

pbanda

pbandas

sBs

ss ω

Dada la función de transferencia H(s) de un filtros de Butterworthpasabaja de orden 3 y frecuencia de corte unitaria. Determinar lafunción de transferencia del correspondiente filtro pasabanda confrecuencia de media banda ω0=1 y ancho de banda B=0.1

30

Problema 8.29

( )321

321

2014.00308.17564.113310181.0)( −−−

−−−

−+−+++

=zzz

zzzzH

Dado un filtro IIR con función de transferencia :

Formule una forma directa II para realizar esta función de transferencia

( )( )( )39812.02505.150953.0

10181.0)( 2

3

+−−+

=zzz

zzH

Problema 8.38¿Es posible que un filtro digital IIR sea inestable?¿Cómo puede surgirtal condición? Suponiendo que se usa la transformación bilineal, ¿dóndetendrían que estar algunos de los polos de la función de transferenciaanalógica correspondiente para que esto ocurra?

Para un filtro digital IIR, la función de transferencia puede expresarse Cómo H(z)=N(z)/D(z), donde N(z) y D(z) son polinomios en z-1.Un filtro es inestable si un polo de H(z) está fuera del circulo de radio Unidad. La transformación bilineal se define como :

*El semiplano izquierdo del plano s se mapea sobre el interior del circuloUnitario en el plano z.*El semiplano derecho del plano s se mapea sobre el exterior del circuloUnitario en el plano z.Si algún polo de la función de transferencia analógica (inestable) estáen el semiplano derecho del plano s, entonces algún polo de la funciónde transferencia digital (inestable) está fuera del circulo unitario.

112|)()(+−

==

zz

Tsa sHzH