Capitulo 9 Mov. Circular y Rotacion Rev0

7/28/2019 Capitulo 9 Mov. Circular y Rotacion Rev0

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2012, Rafael Guzmn M.

Captulo 9A.

Movimiento Circular Uniforme


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Aceleracin centrpeta

Fuerzascentrpetas

mantienen latrayectoriacircular de estos

nios.


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Objetivos: Despus de completareste mdulo, deber:

Aplicar sus conocimientos sobre aceleracin yfuerza centrpeta en la solucin de problemas

de movimiento circular. Definir y aplicar los conceptos de frecuencia y

periodo, y relacionarlos con la velocidad lineal.

Solucionar problemas de ngulos de peralte,pndulo cnico y crculo vertical.


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Movimiento circular uniforme

Movimiento circular uniformese realiza entrayectoria circular sin cambio en lavelocidad,slo cambia ladireccin.

Fuerza constantehaciael centro.

Velocidad constantetangentea latrayectoria

vFc

Pregunta:alguna fuerza empujahacia afueraal baln?


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Movimiento circular uniforme(cont.)

La pregunta sobre la fuerza hacia afuera seresuelve al observar lo que sucede cuando serompe la cuerda!

Cuando la fuerza central desaparece,el baln contina en lnea recta.

v

El baln se mueve

tangente a latrayectoria, NO haciaafuera, como seesperaba.

La fuerza centrpeta es necesaria para cambiar de

direccin


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Continuacin del ejemplo

Hay una fuerza hacia el exterior, pero no actaSOBRE usted. Es la fuerza de reaccin ejercidaPORusted SOBRE la puerta. Slo afecta lapuerta.

La fuerza centrpetaes ejercida PORla

puerta SOBRE usted.

(hacia el centro)

FcF

Reaccin


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Otro ejemplo

Empuje sobreel muro.

R

Qu fuerzas centrpetas se ejercen eneste ejemplo y sobre qu actan?

La fuerza centrpeta es ejercida POR el muroSOBRE el hombre. Una fuerza de reaccines ejercida por el hombre sobre el muro,pero no determina el movimiento de ste.

Fc


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Aceleracin CentrpetaTiene una pelota en movimiento con velocidadconstante v en un crculo horizontal de radio Ratada con una cuerda a una prtiga al centro deuna mesa. (Suponga friccin cero.)

Rv

FuerzaFcyaceleracinachacia el centro.

W =n

Fc

n

W


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Aceleracin central

Considere la velocidad inicial en A y la velocidadfinal en B:

Rvo

vfvf

-vo

A

B

Rvo

Dv s


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Aceleracin (cont.)

vf-vo

Rvo

Dv sac=

Dvt

Definicin:

=Dv

v sRTringulossimilares

=

Dv

t

vs

Rtac= =

vv

R

masa m

Aceleracin

centrpeta:

2 2

;c c c

v mva F ma

R R


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Ejemplo 1: Una piedra de 3-kg gira en uncrculo con radio de 5 m. Si la velocidadconstante es de 8 m/s, cul es la aceleracin

centrpeta?

R

vm

R= 5 m; v= 8 m/s

m= 3 kg

F =(3 kg)(12.8 m/s2)

Fc

=38.4 N

2

c c

mvF ma

R

22(8 m/s)

512.8 /s

mm

ca

2

c

va

R


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Ejemplo 2: Pedro patina a 15 m/s en un crculocon radio de 30 m. El hielo ejerce una fuerzacentral de 450 N. Cul es la masa de Pedro?

2

2; cc

F RmvF m

R v

2

(450 N)(30 m)

(15 m/s)m

m =60.0 kg

450 N 30 m

v= 15 m/s

RFc

m=?

Velocidad

Dibuje el boceto


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Ejemplo 3. El muro ejerce 600 N de fuerza enuna persona de 80-kg con movimiento de 4m/s en una plataforma circular. Cul es el

radio de la trayectoria circular?

2 2

;mv mv

F rr F

Segunda ley de Newtonpara el movimiento

circular:

2(80 kg)(4 m/s)

600 Nr r= 2.13 m

Dibuja un boceto

r = ?

m =80 kg;v= 4 m/s2

Fc=600 N


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Un auto con giro suave

R

v

Hay alguna fuerzahaciaafuera SOBREel auto?

Resp. No, pero el auto no ejerce unafuerza dereaccinhacia afueraSOBREel camino.

Fc


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Un auto con giro suaveLa fuerza centrpeta Fcse debe

a la friccin esttica fs:

La fuerza centrpetaFCy la fuerza de friccinfsNo son dos fuerzas distintas. Slo hayunafuerza sobre el auto. Lanaturalezade estafuerza central es su friccin esttica.

Fc= fsR

v

mFc n

mg

fs

R


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Encuentre la velocidad mxima para daruna vuelta sin derrapar.

Fc= fs fs=msmgFc=mv2

R

El auto est a punto de derrapar cuando FC es

igual a la fuerza mxima de la friccin estticafs.

R

v

mFc

Fc= fsn

mg

fs

R


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Velocidad mxima sin derrapar (cont.)

Fc= fsmv2

R

=msmg

v = msgR

La velocidadv es lamxima para noderrapar.

n

mg

fs R

R

v

m Fc


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Ejemplo 4: Un auto da vuelta con unradio de 70 m si el coeficiente de lafriccin esttica es 0.7. Cul es laaceleracin mxima sin derrapar?

v= 21.9 m/s(0.7)(9.8)(70m)sv gRm

R

v

mFc

ms=0.7

fs=msmgFc=mv2

RDe donde: v = msgR

g= 9.8 m/s2; R= 70 m


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qAceleracin

lenta

qq

Peralte ptimo

Para el peralte de una curvacon ngulo ptimo, la fuerza

normal nda la fuerza

centrpeta necesaria para norequerir una fuerza defriccin.

Aceleracinrpida ptimo

n

fs= 0

w w

nfs

w

nfs

R

v

mFc


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Diagrama de un cuerpo libre

n

mg

q

q

La aceleracin aes hacia elcentro. Sea xel eje a lolargo de la direccin de ac ,

i. e., horizontal (izquierda aderecha).

n

mg

q

nsenq

ncosq+ac

q

n

mg

x


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Peralte ptimo (cont.)

n

mg

q

nsenq

ncosq

SFx= mac

SFy= 0 ncosq = mg

mv2

Rnsenq Aplique lasegunda leyde Newton alos ejesx yy.

q

n

mg


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ncosq= mg

mv2

Rnsenq

q

n

mg

2

2

tan

1

mv

vRmg gR

q

n

mg

q

nsenq

ncosq sintan

cos

nn

qq

q


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n

mg

q

nsenq

ncosq

q

n

mg

2

tan vgR

qPeralte ptimoq

sintan

cos

nn

qq

q


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Ejemplo 5: Un auto da una vuelta conradio de 80 m. Cul es el peralteptimo para esta curva si la velocidad es

igual a 12 m/s?

n

mg

q

nsenq

ncosq

tanq = =v2

gR

(12 m/s)2

(9.8 m/s2)(80 m)

tanq = 0.184

q

n

mg

2

C

mvF

R

Cmo encuentra la fuerzacentrpeta sobre el carro,

conociendo su masa?

q= 10.40


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El pndulo cnicoUnpndulo cnicoconsiste de una masam

giratoria en un crculo horizontal de radioRalextremo de una cuerda de largoL.

qhT

L

R mg

Tq

T senq

T cosq

Nota: El componente interiorde latensinT senqrequiere una fuerza

central.


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ngulo qy velocidad v:

q

hT

L

R mg

Tq

T senq

T cosq

Tcosq = mg

mv2

RTsen

q

Resuelva

las dosecuacionespara

encontrar

el nguloq

tanq = v2

gR


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Ejemplo 6 (cont.): Halle v para q = 300

R =5 m

v =5.32 m/s

g =9.8 m/s2

Encuentrev = ?

2

tan vgR

q

4. Use los datos para encontrar la

velocidad a300

.

2

tanv gR q tanv gR q2 0(9.8 m/s )(5 m) tan30v

qhT

L

R

q 300

R =5 m


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Ejemplo 7: Ahora halle la tensin T en lacuerda si m= 2 kg, q= 300, y L= 10 m.

q

hT

L

R mg

Tq

T senq

T cosq

SFy= 0: T cosq - mg = 0; T cosq= mg

T = =mg

cosq

(2 kg)(9.8 m/s2)

cos 300

T =22.6 N

2 kg


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Ejemplo 8: Halle la fuerza centrpeta Fcpara el ejemplo.

q

hT

L

R mg

Tq

Tsen q

Tcos q

m= 2kg; v= 5.32 m/s;R = 5 m; T = 22.6 N

Fc=11.3 N

2 kg

Fc=mv2

R

or Fc= Tsen 300

Fc

q = 300


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Sillas giratorias

qh

T

L

Rd

Este problema esidntico a los otrosejemplos, excepto quedebe hallar R.

R = d + b

R = L senq + b

tanq=v2

gRy v = gR tanq

b


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Ejemplo 9. Si b= 5 m y L= 10 m, culser la velocidad si el ngulo es q= 260?

R = d + b

R= 4.38 m + 5 m = 9.38 m

tanq= v2

gRq

T

L

Rd

bd =(10 m) sen 260 = 4.38 m

2 tanv gR q tanv gR q

2 0(9.8 m/s )(9.38 m) tan 26v v =6.70 m/s


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Movimiento en crculo verticalConsidere las fuerzas en

una pelota sujeta a unacuerda que da una vueltavertical.Note que la direccinpositivasiempre es deaceleracin, i.e., hacia elcentrodel crculo.

D click en el mouse paraver las nuevas posiciones.

+

T

mg

v

Abajo

Tensin mximaT, W opuesta a

Fc

+v

T

mg

Derecha

arribaEl peso noafecta aT

+

T

mg

v

DerechaarribaEl peso

disminuye latensin en T

vT

mg

+

IzquierdaEl peso no

tiene efecto en

T

+

T

mg

v

Abajo

v

Tmg

Hacia arribaLa tension esmnima, el

peso ayuda ala fuerza Fc

+


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R

v

v

Como ejercicio, supongaque la fuerza central deF

c=40 N es requerida

para mantener elmivimiento circular de lapelota yW = 10 N.

La tensin T ajusta,as que el resultantecentral es 40 N.

Arriba:10 N + T = 40 N

Abajo: T 10 N = 40 N T =__?___

T = 50 N

T =30 NT =_?_

T10 N

+

+T

10 N


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Ayuda visual: Suponga que la fuerzacentrpeta para mantener el movimiento

circular es de 20 N. Con un peso de 5 N.

R

v

v

2

20 NCmv

FR

Fuerza central resultanteFCpara todo punto de latrayectoria!

FC=20N

El vector pesoWdesciendea cualquier punto.

W =5N, abajo

FC=20N arribaY abajo.


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Movimiento en crculo

R

v

v

Haciaarriba:

T

mg +

Hacia abajo:T

mg+

T = - mgmv2

R

T = + mgmv2

R


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Ejemplo 10: Una piedra de 2-kg gira en uncrculo vertical de 8 m de radio. La velocidad dela piedra en el punto ms alto es de 10 m/s.Cul es la tensin T en la cuerda?

R

v

v

Tmg

mg + T =mv2

RMs alto:

T = - mgmv2R

T= 25N - 19.6 N T= 5.40N

22(2kg)(10m/s)

2 kg(9.8 m/s )8 mT


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Ejemplo 11: Una piedra de 2-kg gira en uncrculo vertical de 8 m de radio. La velocidad dela piedra en el punto ms bajo es de 10 m/s.Cul es la tensin T en la cuerda?

R

v

vT

mg

T - mg =mv2

RMs bajo:

T = + mgmv2R

T =25N + 19.6 N T =44.6N

22(2kg)(10m/s)

2 kg(9.8 m/s )8 mT


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Ejemplo 12: Cul es la velocidad crtica vchacia arriba, si la masa de 2-kg contina e

un crculo de radio de 8 m?

R

v

v

T

mgmg + T =

mv2

RHacia arriba:

vc= 8.85 m/s

vccuando T = 0

0

mg =mv2

R

v = gR = (9.8 m/s2)(8 m)

vc= gR

Dar vueltas


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Dar vueltasMisma cuerda, nreemplaza a T

HACIAARRIBA:

n

mg +

HACIA ABAJO:n

mg+

n= - mgmv2

R

n= + mgmv2

R

R

v

v


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Sillas giratorias

Haciaarriba:n

mg

+

Hacia abajon

mg+

mg- n= mv2

R

n= + mgmv2

R

R

v

v n= mg-mv2

R

Ejemplo 13: Cul es el peso


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Ejemplo 13: Cul es el pesoaparente de una persona de60-kg al pasar por el puntoms alto cuando R= 45 m

y la velocidad en ese punto esde 6 m/s?

n

mg

+

R

v

v

mg

- n=

mv2

R n= mg

-

mv2

R

El peso aparente ser lafuerza normal hacia arriba:

22 (60kg)(6m/s)60 kg(9.8 m/s )

45 mn n= 540 N


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RESUMENAceleracincentrpeta:

2 2

;c c c

v mva F ma

R R

v = msgRtanq=

v2gR

v = gR tanqPndulocnico:


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Resumen: Sillas giratorias

HACIAARRIBA:n

mg

+

HACIA ABAJO:n

mg+

mg- n= mv2

R

n= + mgmv2

R

R

v

v n= mg-mv2

R


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CONCLUSIN: Captulo 9A

Movimiento Circular Uniforme


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Captulo 9B.

Movimiento Angular


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Las TURBINAS DE VIENTOcomo stas pueden generarenerga significativa en unaforma que esambientalmente amistosa y

renovable. Los conceptos deaceleracin rotacional,velocidad angular,desplazamiento angular,inercia rotacional y otros

temas que se discuten eneste captulo son tiles paradescribir la operacin de lasturbinas de viento.

Objetivos: Despus de


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Objetivos: Despus decompletar este mdulo,

deber: Definir y aplicar los conceptos de

desplazamiento, velocidad y aceleracinangular.

Dibujar analogas que relacionan parmetros demovimiento rotacional (q, , ) con lineal (x, v,a) y resolver problemas rotacionales.

Escribir y aplicar relaciones entre parmetroslineales y angulares.


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Desplazamiento rotacional, q

Considere un disco que rota de A a B:

A

B

q

Desplazamiento angularq:

Medido en revoluciones,grados o radianes.

1 rev=3600

= 2radLa mejor medida para rotacin de

cuerpos rgidos es el radin.


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Definicin del radin

Un radin es el ngulo q subtendido alcentro de un crculo por una longitudde arco sigual al radio Rdel crculo.

1rad = = 57.30R

R

ss

Rq


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Ejemplo 2: Una llanta de bicicleta tiene unradio de 25 cm. Si la rueda da 400 rev,

cunto habr recorrido la bicicleta?

q= 2513 rad

s =qR = 2513rad (0.25 m)

s =628 m

2 rad

400 rev1 rev

q


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Velocidad angularLa velocidad angular, , es la tasa decambio en el desplazamiento angular.(radianes por segundo)

2f Frecuencia angular f(rev/s).

La velocidad angular tambin se puede dar como

la frecuencia de revolucin, f(rev/s o rpm):

Velocidad angular en rad/s.Dq

Dt

Ejemplo 3 Una c e da se en olla m chas


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Ejemplo 3: Una cuerda se enrolla muchasveces alrededor de un tambor de 20 cm deradio. Cul es la velocidad angular del

tambor si levanta la cubeta a 10 m en 5 s?

h =10 m

R

= 10.0 rad/s

Dq

Dt

50 rad

5 s

q = 50 rad10 m

0.20 m

s

Rq


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Ejemplo 4: En el ejemplo anterior, cul esla frecuencia de revolucin para el tambor?Recuerde que = 10.0 rad/s.

h = 10 m

R

f = 95.5 rpm

2 or2

f f

10.0 rad/s

1.59 rev/s2 rad/revf

O, dado que 60 s = 1 min:

rev 60 s rev1.59 95.51 min min

fs


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Aceleracin angular

La aceleracin angular es la tasa de cambio envelocidad angular. (radianes por s por s)

La aceleracin angular tambin se puede encontrar a

partir del cambio en frecuencia, del modo siguiente:

)(rad/sangularnAceleraci2

tD

D

ft

f

2pues)(2

D

Ejemplo 5: El bloque se levanta desde el


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Ejemplo 5: El bloque se levanta desde elreposo hasta que la velocidad angular deltambor es 16rad/s despus de 4 s. Cul

es la aceleracin angular promedio?

h =20 m

R

= 4.00 rad/s2

0f o f

or

t t

2

16 rad/s rad4.00

4 s s


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Rapidez angular y lineal

De la definicin de desplazamiento angular :s =qR Desplazamiento lineal contra

angularv =R

s Rv R

t t t

q qD D D

D D D

Rapidez lineal = rapidez angular x radio

Rapidez lineal = Rapidez Tangencial


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Aceleracin angular y lineal:

De la relacin de velocidad se tiene:

v =R Velocidad lineal contra angular

aT=*Rv v R v

v Rt t t

D D D

D D D

Acel. lineal = Acel. angular x Radio

aw w

Acel lineal = Aceleracin Tangencial


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Aceleracin Neta : Centrpeta yTangencial :

Debemos ser cuidadosos en distinguirentre la aceleracin tangencial o linealrecin vista, y la aceleracin centrpetavista en el capitulo 9A

La aceleracin tangencial aT representa uncambio en la velocidad lineal, mientras que laaceleracin centrpeta ac representa tan solo uncambio en la direccin del movimiento.

La aceleracin neta o resultante puede determinarse calculando elvector suma de las aceleraciones tangenciales y centrpeta.

Su magnitud est dada por:aneta

2=aT2+ a

c2


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Ejemplo de aceleracin


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Ejemplo de aceleracin

R1=20 cmR2=40 cm

Cules son las aceleracionesangular y linealpromedioen B?

R1

R2

A

Bo= 0; f = 20 rad/st = 4 s

Considere disco rotatorio

plano:

= 5.00 rad/s2

a = R = (5 rad/s2)(0.4 m) a= 2.00 m/s2

0 20 rad/s

4 s

f

t


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Ejemplo lineal: Un automvil que


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Ejemplo lineal: Un automvil queinicialmente viaja a 20 m/s llega adetenerse en una distancia de 100 m.

Cul fue la aceleracin?100 m

vo= 20 m/s vf= 0 m/s

Seleccione ecuacin:

2 202 fas v v

a = =0 - vo2

2s-(20 m/s)

2

2(100 m)a = -2.00 m/s2

Analoga angular: Un disco (R 50 cm)


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Analoga angular: Un disco (R = 50 cm),que rota a 600 rev/min llega a detenersedespus de dar 50 rev. Cul es laaceleracin?

Seleccione ecuacin:2 2

0

2f

q

= =0 - o

2

2q

-(62.8 rad/s)2

2(314 rad)= -6.29 rad/s2

R

o=600 rpm

f=0 rpm

q =50rev2 rad 1 min

600 62.8 rad/smin 1 rev 60 s

rev

50 rev = 314 rad

Estrategia para resolucin de


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Estrategia para resolucin deproblemas:

Dibuje y etiquete bosquejo de problema. Indique direccin + de rotacin.

Mencione lo dado y establezca lo que debe

encontrar.Dado: ____, _____, _____ (q,o,f,,t)

Encontrar: ____, _____ Selecciones la ecuacin que contenga una

y no la otra de las cantidadesdesconocidas y resuelva para la incgnita.

Ejemplo 6: Un tambor rota en sentido de lasill d l l j i i i l t 100


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manecillas del reloj inicialmente a 100 rpm yexperimenta una aceleracin constante endireccin contraria de 3 rad/s2 durante 2 s. Cul

es el desplazamiento angular?

q = -14.9 rad

Dado:o= -100 rpm; t =2 s= +3 rad/s2

2 21 12 2

( 10.5)(2) (3)(2)ot tq

rev 1 min 2 rad100 10.5 rad/smin 60 s 1 rev

q= -20.9 rad + 6 rad

El desplazamiento neto es en

direccin de las manecilla del reloj (-)

R


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CONCLUSIN C l 9B


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CONCLUSIN: Captulo 9BMovimiento Angular


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Captulo 9C.

Rotacin de cuerpo rgido

Obj ti D d


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Objetivos: Despus decompletar este mdulo, deber:

Definir y calcular el momento de inercia parasistemas simples.

Definir y aplicar los conceptos de segunda ley deNewton, energa cintica rotacional, trabajorotacional, potencia rotacional y cantidad demovimiento rotacional a la solucin de problemasfsicos.

Aplicar principios de conservacin de energa ycantidad de movimiento a problemas queinvolucran rotacin de cuerpos rgidos.

d


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Inercia de rotacin

Considere la segunda ley de Newton para que la inercia derotacin se modele a partir de la ley de traslacin.

F = 20 N

a = 4m/s2

Inercia lineal, m

m = =5kg24 N4 m/s2

F = 20 NR = 0.5 m

= 2 rad/s2

Inercia rotacional, I

I = = =2.5kg m2

(20 N)(0.5 m)

4 m/s2

t

La fuerza hace para la traslacin lo que el momento detorsin hace para la rotacin:


81/111

Ejemplo 1: Cul es la energa cintica


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Ejemplo 1: Cul es la energa cinticarotacional del dispositivo que semuestra si rota con rapidez constantede 600 rpm?

3 kg2 kg

1 kg1 m

2 m

3 m

Primero: I= SmR2

I = (3 kg)(1 m)2

+ (2 kg)(3 m)2+ (1 kg)(2 m)2

I = 25 kg m2 = 600rpm = 62.8 rad/s

K = Iw2=(25 kg m2)(62.8 rad/s) 2

K = 49,300 J


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Inercias rotacionales comunes

213I mL

2112I mL

L L

R R R

I = mR2 I = mR2 225I mRAro Disco o cilindro Esfera slida

Ejemplo 2: Un aro circular y un disco


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j p ytienen cada uno una masa de 3 kg y unradio de 20 cm. Compare sus inercias

rotacionales. R

I = mR2

Aro

R

I = mR2

Disco

2 2(3 kg)(0.2 m)I mR

2 21 12 2

(3 kg)(0.2 m)I mR

I =0.120 kg m2

I =0.0600 kg m2

Analogas importantes


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Analogas importantesPara muchos problemas que involucran rotacin,

hay una analoga extrada del movimiento lineal.

xf

R

4kg

t

o 50 rad/s

t = 40 N m

Una fuerza resultanteFproduce aceleracin

negativa a para unamasa m.

F ma

Im

Un momento de torsinresultante tproduceaceleracin angular de

disco con inercia rotacionalI.

It


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Segunda ley de rotacin de Newton

R

4kg

F o 50 rad/s

R = 0.20 m

F = 40 Nt= I

Cuntas revolucionesrequiere paradetenerse?

FR = (mR2)

2 2(40N)

(4 kg)(0.2 m)

F

mR

= 100rad/s2

2q f2 - o20

2 2

02

(50 rad/s)

2 2(100 rad/s )

q

q = 12.5 rad = 1.99 rev


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Trabajo y potencia para rotacin


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Trabajo y potencia para rotacin

Trabajo = Fs = FRqq

F

F

s

s = Rq

t FR

Trabajo = tq

Potencia = =Trabajot

tq

t =q

t

Potencia = Momento de torsin x velocidad angular promedio

Potencia = t

Ejemplo 4: El disco rotatorio tieneun radio de 40 cm y una masa de


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un radio de 40 cm y una masa de6 kg. Encuentre el trabajo y lapotencia si la masa de 2 kg se

eleva 20 m en 4 s.q

F

F=W

s

s = 20 m

2 kg 6 kgTrabajo = tq = FRq

Trabajo = (19.6 N)(0.4 m)(50 rad)

sRq = = = 50 rad

20 m0.4 m

Trabajo = 392 J

F = mg= (2 kg)(9.8 m/s2); F = 19.6 N

Potencia = =Trabajo

t392 J

4s Potencia = 98 W


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El teorema trabajo-energa

Recuerde para movimiento lineal que el trabajorealizado es igual al cambio en energa cinticalineal:

2 2

0 fFx mv mv

Al usar analogas angulares, se encuentra que eltrabajo rotacional es igual al cambio en energacintica rotacional:

2 2

0 fI Itq


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Aplicacin del teorema trabajo-energa:

Trabajo= DKr

Qu trabajo se necesitapara detener la rueda

que rota? R

4kg

F o 60 rad/s

R = 0.30 m

F = 40 N

Primero encuentre Ipara rueda: I = mR2= (4 kg)(0.3 m)2= 0.36 kg m2

2 2

0 fI Itq Trabajo = -Io2

Trabajo = -(0.36 kg m2)(60 rad/s)2 Trabajo = -648 J

0

Rotacin y traslacin combinadas


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Rotacin y traslacin combinadas

vcm

vcm

vcm

Primero considere un disco que sedesliza sin friccin. La velocidad decualquier parte es igual a lavelocidad vcmdel centro de masa.

vR

P

Ahora considere una bola que ruedasin deslizar. La velocidad angular en torno al punto P es igual que para el disco, as que se escribe:

Ov

R v R


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Dos tipos de energa cintica

vR

P

Energa cinticade traslacin: K = mv

2

Energa cinticade rotacin: K = I2

Energa cintica total de un objeto que rueda:

2 21 12 2T

K mv I


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Conversiones angular/linealEn muchas aplicaciones, debe resolver unaecuacin con parmetros angulares y lineales. Esnecesario recordar los puentes:

Desplazamiento:s

s RR

q q

Velocidad:

vv R

R

Aceleracin: v R aR


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Traslacin o rotacin?Si debe resolver un parmetro lineal, debe convertirtodos los trminos angulares a trminos lineales:

Si debe resolver un parmetro angular, debeconvertir todos los trminos lineales a trminos

angulares:

a R

s

Rq

v

R2

(?)I mR

s Rq v R v R


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Ejemplo (a): Encuentre la velocidad vde un

disco dada su energa cintica total E.Energa total: E = mv2 + I2

2 2 21 1 1

2 2 2; ;

v

E mv I I mR R

2

2 2 2 21 1 1 1 12 2 2 2 42

;v

E mv mR E mv mvR

23 4or

4 3

mv EE v

m


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Ejemplo (b) Encuentre la velocidad angular

de un disco dada su energa cintica total E.Energa total: E = mv2 + I2

2 2 21 1 12 2 2; ;E mv I I mR v R

2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 12 2 2 2 4( ) ;E m R mR E mR mR

2 2

2

3 4or

4 3

mR EE

mR

E t t i bl


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Estrategia para problemas

Dibuje y etiquete un bosquejo del problema.

Mencione lo dado y establezca lo que debeencontrar.

Escriba frmulas para encontrar los momentosde inercia de cada cuerpo que rota.

Recuerde conceptos involucrados (potencia,

energa, trabajo, conservacin, etc.) y escribauna ecuacin que involucre la cantidaddesconocida.

Resuelva para la cantidad desconocida.

Ejemplo 5: Un aro y un disco circulares,d l i di


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cada uno con la misma masa y radio,ruedan con rapidez lineal v. Compare sus

energas cinticas.

v vDos tipos de energa:

KT

= mv2 Kr

= I2

Energa total: E = mv2 + I2 =v

R

22 2

2

v

E mv mR R

Disco: E = mv2

2

2 2

2

vE mv mR

R

Aro: E = mv2

Conservacin de energa


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Conservacin de energa

La energa total todava se conservapara sistemas en rotacin y traslacin.

Inicio: (U + Kt+ KR)o= Fin: (U +Kt+ KR)f

mgho

Io2

mvo2=

mghf

If2

mvf2

Altura?

Rotacin?

Velocidad?

Altura?

Rotacin?

Velocidad?

Sin embargo, ahora debe considerar la rotacin.

Ejemplo 6: Encuentre la velocidad de la masa


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Ejemplo 6: Encuentre la velocidad de la masade 2 kg justo antes de golpear el suelo.

h = 10 m

6 kg

2 kg

R = 50 cm

mgho

Io2

mvo2

=mghf

If2

mvf2

2

2 21 1 10 2 2 2 2

( ) vmgh mv MRR

2.5v2 = 196 m2/s2

v = 8.85 m/s

2 21 10 2 2

mgh mv I 212

I MR

2 21 12 4

(2)(9.8)(10) (2) (6)v v

Ejemplo 7: Un aro y un disco ruedan desdel lt d l i li d C l


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lo alto de un plano inclinado. Cules sonsus rapideces en el fondo si la altura inicial

es 20 m?

20 m

mgho = mv2 + I2 Aro: I = mR2

22 2

0 2 ( )

vmgh mv mR

R

v = 16.2 m/s

22 2

0 2 ( )

vmgh mv mR

R

mgho = mv2 + mv2; mgho = mv

2

2

0 (9.8 m/s )(20 m)v gh v = 14 m/sAro:

mgho = mv2 + I2Disco: I = mR2; 43 0v gh

Definicin de cantidad dei i t l


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movimiento angular

m2

m3

m4

m

m1

eje

v = r

Objeto que rota con constante.

Considere una partcula mquese mueve con velocidad venun crculo de radio r.

Defina cantidad demovimiento angular L:

L = mvr

L = m(r) r = mr2

Al sustituir v=r, da:

Para cuerpo extendido enrotacin:

L = (Smr2)

Dado que I = Smr2, se tiene:

L = I

Cantidad demovimiento angular

Ejemplo 8: Encuentre la cantidad demovimiento angular de una barra L= 2 m


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movimiento angular de una barradelgada de 4 kg y 2 m de longitudsi rota en torno a su punto mediocon una rapidez de 300 rpm. m= 4 kg

I = 1.33 kg m2

rev 2 rad 1 min300 31.4 rad/smin 1 rev 60 s

L = I (1.33 kg m2)(31.4 rad/s)2

L= 1315 kg m2/s

22 m)kg)(2(412

1

12

1:barraPara mLI

Impulso y cantidad de


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Impulso y cantidad demovimiento

Recuerde que, para movimiento lineal, el impulsolineal es igual al cambio en cantidad de movimientolineal:

0fF t mv mvD

Al usar analogas angulares, se encuentra que elimpulso angular es igual al cambio en cantidad demovimiento angular :

0ft I It D

Ejemplo 9: Una fuerza de 200 N se aplica alborde de una rueda libre para girar. La fuerza


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bo de de u a ueda b e pa a g a a ue aacta durante 0.002 s. Cul es la velocidadangular final?

R

2kg

F

o 0 rad/sR= 0.40 m

F= 200 N

D t = 0.002 s

Momento de torsinaplicado t FR

I = mR2= (2 kg)(0.4 m)2

I= 0.32 kg m2

Impulso = cambio en cantidad de movimiento angular

t Dt = If Io

0

FRDt = If

f= 0.5 rad/s


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Resumen Analogas rotacionales

Cantidad Lineal RotacionalDesplazamiento Desplazamiento x Radianes q

Inercia Masa (kg) I (kgm2)

Fuerza Newtons N Momento detorsin Nm

Velocidad v m/s Rad/s

Aceleracin a m/s2 Rad/s2

Cantidad demovimiento

mv(kg m/s) I(kgm2rad/s)


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Frmulas anlogas

Movimiento lineal Movimiento rotacional

F = ma t=I

K = mv2

K = I2

Trabajo=Fx Trabajo =tq

Potencia = Fv Potencia = I

Fx = mvf2 -mvo

2 tq = If2 - Io

2

Resumen de frmulas:2


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I = SmR2

2 2

0 fI Itq

mgho

Io2

mvo2=

mghf

If2

mvf2

Altura?

Rotacin?

Velocidad?

Altura?

Rotacin?

Velocidad?

212

K I o o f f I I Trabajo = tq

ttq

t

Potencia

CONCLUSIN: Captulo 9C


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CONCLUSIN: Captulo 9CRotacin de cuerpo rgido

Capitulo 9 Mov. Circular y Rotacion Rev0

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