Capitulo IV

CAPITULO IVMÉTODO DE LAS ROTACIONES.

154

MÉTODO DE LAS ROTACIONES O RIGIDECES

IV.1. Generalidades.

Existen un gran número de sistemas estructurales en los cuales predominan los efectos debido a los esfuerzos de flexión, en donde pueden despreciarse los efectos axiales, de corte y de torsión sin alterar de manera significativa los resultados del análisis estructural. Tal es el caso de las vigas, pórticos y de algunos marcos estructurales empleados en obras de Ingeniería Civil.

Es por ello que en esta sección se abordara el estudio de estructuras elásticas hiperestáticas estables, las cuales cumplen con la Ley de Hooke y el Principio de Superposición, en donde consideraremos que existen solamente efectos de flexión.

En este contexto, recordemos que en la Capitulo I se estudiaron detalladamente los conceptos relacionados con el Grado de Indeterminación Cinemática (GIC) en estructuras civiles típicas en donde se despreciaron las deformaciones axiales, observándose que para cada Grado de Libertad Cinemático (G.D.L.C.) existe una deformación elástica de la estructura al producirse dicho desplazamiento, lo cual se encuentra asociado a un estado de esfuerzos internos de flexión en los elementos estructurales.

Así por ejemplo, analizando el pórtico mostrado en la Figura IV.1a) puede observarse que si se desprecian las deformaciones axiales la estructura es cinematicamente indeterminada de grado “3” (GIC = 1 + 2) dos rotaciones B y C y una traslación B = C, tal y como se muestra en la Figura IV.1b).

Aplicando el Principio de Superposición podemos estudiar el efecto de la deformación elástica de los G.D.L.C. de la estructura, permitiéndole libertad de desplazamiento a cada uno de estos mientras los otros permanecen restringidos.

Si consideramos por ejemplo la rotación del nodo B (B) con C = B = C = 0 entonces se produce la deformada elástica que se muestra en la Figura IV.2a) la cual se puede asociar a un estado de esfuerzos internos que producen momentos flectores en los elementos que se deforman elásticamente para ese G.D.L.C. considerado [6; es decir; los elementos AB y BC de la Figura IV.2a).

155

a) Estructura aporticada a estudiar

Figura IV.1. Estructura aporticada para analisis cinematico

b) Grado de Libertad Cinemáticos del pórtico

C

A

B C

D

BCB

A

B C

D


De manera análoga las Figuras IV.2b) e IV.2c) permiten considerar el efecto de los G.D.L.C. C y B = C respectivamente, observándose que los elementos BC y CD presentan deformación elástica para C, mientras que los elementos AB y CD se deforman elásticamente para B = C = .

Para relacionar la influencia de los G.D.L.C. de una estructura y las fuerzas internas producidas por la deformación elástica de la misma recordemos que en la Capitulo III se demostró que para una estructura elástica cualesquiera, las fuerzas pueden obtenerse conociendo la Flexibilidad de la estructura a través de la expresión

Cabe destacar que [K]nxn es una matriz cuadrada que contiene a los coeficientes de rigidez los cuales que dependen del material y de la geometría de la estructura y que el vector de desplazamientos {D}nx1 representa los G.D.L.C. de la estructura (traslaciones y/o rotaciones) debido a su capacidad de deformación elástica [2.

Entonces la Ecuación (1) indica que las Fuerzas son directamente proporcionales a la Rigidez de la estructura y a los G.D.L.C. debido a las deformaciones elásticas, entonces si solo consideramos deformaciones por flexión, entonces las fuerzas que se obtendrán serán los momentos flectores y la Rigidez será solo la Rigidez a Flexión. Ahora deberá plantearse un procedimiento que permita obtener la Rigidez a Flexión a partir de su relación con las deformaciones elásticas de la estructura para así determinar las fuerzas internas y reacciones en los apoyos.

156

(1)

(2)

Figura IV.2. Superposición de efectos de cada G.D.L.C. de la estructura

b) Deformada elástica G.D.L.C. C

A

BC

D

C

a) Deformada elástica G.D.L.C. B

A

B C

D

B

c) Deformada elástica G.D.L.C. B

CB C

D

C’B’C

A


IV.2. Rigidez de una Estructura. IV.2.1. Rigidez a Flexión de una Estructura.

En ingeniería estructural la rigidez se define como la fuerza necesaria para producir un desplazamiento unitario en la estructura [6 y es una característica que depende únicamente de las propiedades del material y de la geometría de la estructura.

Ahora la Rigidez a Flexión (KFLEXIÓN) se puede definir como el Momento necesario para producir una rotación unitaria en la estructura, la cual puede ser “Absoluta” cuando el momento produce una rotación unitaria en su punto de aplicación o “Relativa o Inducida” si el momento produce la rotación de un punto diferente a su punto de aplicación [2. Entonces la Ecuación (2) toma la siguiente forma

IV.2.2. Factores de Rigidez para un elemento estructural.

Consideramos el pórtico cinematicamente indeterminado de grado “3” de la Figura IV.3a). Para determinar la Rigidez a Flexión debido a los G.D.L.C. seccionaremos la estructura en tramos discretos que contengan un nodo inicial i y un nodo final j.

Si por ejemplo analizamos el tramo BC realizando un corte seccionando en B y en C respectivamente, el D.C.L. del tramo BC puede suponerse como la viga empotrada en los extremos que se muestra en la Figura IV.3b), en donde las reacciones en los apoyos representan las fuerzas internas (momento flector, fuerza cortante y fuerza axial) que se producen en los cortes 1 y 2 como se evidencia en la Figura IV.3b) [3].

157

(3)

a) Estructura seccionada en B y en C

Figura IV.3. Tramo de la Estructura aporticada para analisis cinematico

b) Viga empotrada que modela el tramo BC

B C

MB MC

NB

B C

VB VC

NC

A

B C

D


Para determinar la Rigidez a Flexión del tramo se permitirá que este se desplace con un valor unitario en dirección de un G.D.L.C. mientras el resto permanece fijo. Adicionalmente generalizaremos el análisis sustituyendo el extremo B por la letra “i” y al extremo C por la letra “j”, entonces llamaremos al momento flector en B como M ij el cual se denominara el “momento en el nodo i del tramo ij”, de forma análoga Mji representa el momento en el nodo j del tramo ij o momento flector en el extremo C [6].

Se asumirá un Convenio de Signos para el sentido de los momentos flectores que actúan en los extremos de cada tramo o elemento (Mij y Mji) tomando como Positivo el sentido horario; es decir; se supondrá que inicialmente dichos momentos flectores actúan en sentido horario, lo cual podrá verificarse al final del procedimiento de análisis según el signo de los resultados.

IV.2.2.1. Efecto de las Rotaciones ( ) .

Para determinar la Rigidez a Flexión debido a los G.D.L.C. de rotación () aplicaremos una rotación unitaria en el extremo B (i = 1 rad) en el sentido de las agujas del reloj (Convenio de Signo Positivo), entonces podemos aplicar el Método de las Fuerzas a la viga estáticamente indeterminada de 3ER grado (GIET = 3) de la Figura IV.4a) tomando en cuenta solamente los efectos de flexión, considerando EI constante, para determinar los Momentos flectores Mij y Mji que representan la Rigidez a flexión del tramo BC como se indica en la Figura IV.4.

Según el Método de las Fuerzas la Ecuación de Compatibilidad a resolver es la siguiente

158

Figura IV.4. Método de las Fuerzas aplicado al Tramo BC para determinar KFLEXIÓN por

=

Mij

i j

a) D.C.L Tramo BC

b) Estructura Primaria (0)

+ Mji

i j

+Nj

i j

c) Estructura Redundante Mij (1)

d) Estructura Redundante Mji (2)

e) Estructura Redundante Nj (3)

i j

i j

i = 1 rad

L

j = 0; Δj = 0


Del análisis estático de las estructuras primarias y redundantes se obtiene la TABLA IV.1

Tramo Xi Xf M (0) m (1) m (2) m (3)i - j i = 0 j = L 0 0

Aplicando el Método del Trabajo Virtual se determinan los Coeficientes de Flexibilidad y los desplazamientos del Sistema Primario

Sustituyendo los valores obtenidos en el sistema matricial se obtienen las fuerzas redundantes como sigue

Las Ecuaciones (4) representan la Rigidez Absoluta Kii y la Rigidez Relativa Kij para el tramo empotrado en ambos extremos el cual llamaremos Tramo Continuo – Continuo (Tramo Cont. - Cont.) [6]. Nótese que los momentos presentan la misma dirección de la rotación aplicada en el nodo i; es decir, sentido horario definido como positivo según la Convención de Signos adoptada en el párrafo anterior.

Por otra parte, podemos relacionar la Rigidez Relativa del tramo con su Rigidez Absoluta por medio de un factor de proporcionalidad tij el cual define la cantidad de momento que se induce al nodo j cuando en el nodo i actúa un momento y se denomina el “Factor de Transporte” [6] que viene dado por la expresión

159

(4)

TABLA IV.1. Expresiones de momento flector en los tramos de las estructuras primarias y redundantes para el G.D.L.C.


El Factor de Transporte tij de la expresión (5) indica que si en un extremo i se produce un momento flector Mij , en el extremo opuesto j se transporta la mitad de dicho momento con el mismo sentido, es decir, Mji = ½ x Mij, siempre y cuando dicho nodo sea continuo y el tramo posea una sección prismática (EI constante).

De manera análoga, puede demostrarse que si aplicamos una rotación unitaria al extremo C (j = 1 rad) en sentido horario, mientras que i = j = 0, las expresiones (4) y (5) se transforman en lo siguiente

IV.2.2.2. Efecto de las Traslaciones ( ) .

Para determinar la Rigidez a Flexión debido a los G.D.L.C. de la traslación () aplicaremos un desplazamiento unitario en C (j = 1) en la dirección vertical y hacia abajo. Luego, podemos trazar la deformada elástica e identificar la línea i – j’ en la Figura IV.5a) que define lo que se conoce como la cuerda elástica, la cual rota un ángulo ij respecto a la estructura no deformada (línea i – j), entonces los G.D.L.C. de traslación producen una “rotación (ij) ” de la cuerda elástica del tramo produciendo efectos de flexión, cuyo valor para pequeñas deformaciones es igual a j / L.

Ahora se puede aplicar nuevamente el Método de las Fuerzas a la viga hiperestática de 3ER grado BC considerando las estructuras isostáticas de la Figura IV.5 de la manera siguiente:

160

(5)

(6)

Figura IV.5. Método de las Fuerzas aplicado al Tramo BC para determinar KFLEXIÓN por

=

Vj

i j

+

c) Estructura Redundante Vj (1)

b) Estructura Primaria (0)

i j

Mji

c) Estructura Redundante Mji (1)

i j

+Nj

e) Estructura Redundante Nj (3)

i j

a) D.C.L Tramo BC

i = 0; j = 0

Cuerda elástica

i jL

Δj = 1ij

Deformada elástica

j’


Según el Método de las Fuerzas la Ecuación de Compatibilidad a resolver es la siguiente

Del análisis estático de las estructuras primarias y redundantes se obtiene la TABLA IV.2.

Tramo Xi Xf M (0) m (1) m (2) m (3)

i - j i = 0 j = L 0 0

Aplicando el Método del Trabajo Virtual se determinan los Coeficientes de Flexibilidad y los desplazamientos del Sistema Primario

Sustituyendo los valores obtenidos en el sistema matricial se obtienen las fuerzas redundantes como sigue

La Expresión (7) indica que cuando se producen desplazamientos relativos entre los nodos i y j los momentos flectores que se generan poseen una dirección contraria a la rotación de la cuerda del tramo. Como se vera mas adelante la dirección que se asuma para el G.D.L.C. () influirá en el signo del momento, el cual para el ejemplo de la Figura IV.5a) es negativo, es decir, el sentido del momento es antihorario. Si por el contrario se

161

(7)

TABLA IV.2. Expresiones de momento flector en los tramos de las estructuras primarias y redundantes para el G.D.L.C.

i

L

j12

2L12

2Li

L

j8

2L

i

L

j15

2L

i

L

j20

2L30

2L

P

i

L

j

L/2

8

PL8

PL

PL/2

i

L

j16

3PL

i

L

j

a

2

2

L

aPb 2

2

L

bPaP b

i

L

j

2

22

2

baab

L

P

a P b

Tramo Cont. – Cont. Tramo Cont. – Art.

Figura IV.7. Tablas más comunes para Momentos de Empotramiento perfecto


hubiese supuesto el desplazamiento hacia arriba el momento sería positivo, es decir, tendría sentido horario.

Nótese que las expresiones (4), (5), (6) y (7) son validas solamente para un elemento de sección prismática (EI = CTTE.), por lo tanto si el tramo presenta sección variable entonces deberán calcularse las Rigideces y el factor de transporte como se hizo en el párrafo anterior para cada caso particular.

IV.2.3. Efecto de las Cargas Externas [ ( x ) .Para tomar en cuenta el efecto de las cargas externas consideremos que sobre el tramo ij

de estudio (viga doblemente empotrada) actúa la carga externa general (x) que se muestra en la Figura IV.6.

Luego podemos aplicar el Método de las fuerzas tal como lo hicimos en los párrafos anteriores para determinar los “Momentos de Empotramiento perfecto” Mij y Mji [6] los cuales pueden ser positivos o negativos según las cargas que actúen sobre la estructura. Cabe destacar que existen tablas de momentos de empotramiento para diferentes tipos de cargas que pueden utilizarse en el análisis, siendo las más comunes las siguientes:

162

Figura IV.6. Efecto de las cargas externas (x)

Li j

(x)

ijM jiM


IV.3. Ecuaciones de Rotación.IV.3.1 Tramo Cont. - Cont.

Para determinar las Ecuaciones de Rotación para un “Tramo Cont. - Cont. representativo” que presenta el caso general en donde existen los tres G.D.L.C. i, j y , se permitirá que el tramo experimente un desplazamiento en dirección de un G.D.L.C. mientras el resto permanece fijo para obtener el efecto de todos ellos por el Principio de Superposición, en donde M = (i, j, i, j, (x)), es decir, que los momentos flectores en los extremos de cada tramo son una función de los G.D.L.C. y de las cargas externas.

Entonces en las Figuras IV.8 para cada G.D.L.C. los momentos flectores M ij y Mji se obtienen aplicando la Ecuación (3), multiplicando la Rigidez a Flexión correspondiente al G.D.L.C. considerado por dicho G.D.L.C (KFLEXIÓNxG.D.L.C.). Por ejemplo para un desplazamiento i 0 el momento producido en el nodo i; es decir Mij, es Kii = 4EI/L x i, mientras que Mji es igual a 2EI/L x i (Ver Figura IV.8a)). Se procede de manera análoga para los demás G.D.L.C. como se muestra en las Figuras IV.8b), IV8c) e IV.8d) respectivamente.

163

Figura IV.8. Ecuacuación de Rotación Tramo Cont. – Cont. por superposición de efectos

a) Efecto del G.D.L.C. i

i j

i ≠ 0

L

j = 0; Δj = 0

iij L

EIM

i

4 iji L

EIM

i

2

i j

j ≠ 0

L

i= 0; Δj = 0

jij L

EIM

j

2 jji L

EIM

j

4

b) Efecto del G.D.L.C. j

c) Efecto del G.D.L.C. j

i jL

i = 0; j = 0

Δj 0ρjj

jij L

EIM

j

2

6

jji LEI

Mj

2

6

i j

L

(x)

ijMjiM

d) Efecto de las Cargas externas (x)


De la superposición de los efectos indicados en las Figuras IV.8a), IV.8b), IV.8c) e IV.8d) se tiene que la Ecuación de Rotación del Tramo Cont. – Cont. es la siguiente

En donde los signos en la expresión (8) se indican debido a que estos pueden ser horarios o antihorarios según lo estudiado en los párrafos anteriores.

IV.3.2 Tramo Cont. - Art.

Para determinar las Ecuaciones de Rotación de un tramo articulado en uno de sus extremos, por ejemplo el extremo j, el cual llamaremos “Tramo Cont. - Art. representativo” se procederá de manera análoga al análisis del tramo Cont. – Cont.. Para ello debemos recordar que el momento flector en el nodo articulado debe ser igual a cero; es decir M ji = 0, lo que significa que la Rigidez a Flexión Kji = 0 ya que para una rotación unitaria en j no existe momento en dicho nodo. En este sentido puede concluirse que los G.D.L.C. debido a la rotación de nodos articulados no afectan los valores de los momentos flectores, lo cual disminuye las incógnitas cinemáticas de la estructura que se requieren determinar.

Analicemos el tramo Cont. – Art. que se muestra en la Figura IV.9b). Podría aplicarse una vez mas el Método de las Fuerzas para determinar la Rigidez a Flexión del nodo i (Kii) aplicando una rotación unitaria i; sin embargo, emplearemos otra metodología suponiendo que inicialmente j es un nodo continuo (Ver Figura IV.9a)), entonces existe un momento actuante Mji; por lo tanto ya que el nodo j en realidad es articulado (Mji = 0). Ahora debe aplicarse en dicho nodo un momento de igual magnitud y de sentido contrario – M ji que lo anule (Ver Figura IV.9b)), luego este momento se transporta al nodo i multiplicando por el factor de transporte (tji = ½).

164

(8)

Figura IV.9. Ecuación de Rotación Tramo Cont. – Art. por superposición de efectos

a) Tramo Cont. – Cont.

i j

L

ijM jiM

b) Tramo Cont. – Art.

i j

L

ijMjiM

jiM21 jiM


Luego considerando cada G.D.L.C. se tiene que para i al aplicar el momento antihorario de 2EI.i / L en el nodo j (Ver Figura IV.10a)) se inducirá al nodo i un momento Mijt = 2EI.i / L tji, entonces el momento resultante en i será la suma algebraica de Mij y Mijt, es decir Miji es igual a 3EIi / L (Ver Figura IV.10a)). Se procede de forma análoga para el G.D.L.C. (Ver Figura IV.9b)).

De la superposición de los efectos indicados en las Figuras IV.10a), IV.10b) e IV.10c) se tiene que la Ecuación de Rotación del Tramo Cont. – Art. es

La Ecuación (9) evidencia que el momento Mij en el nodo continuo i no depende de la rotación del nodo articulado j, lo cual permite corroborar lo indicado en el párrafo anterior en donde los nodos articulados que existen en la estructura disminuyen las incógnitas

165

(9)

Figura IV.10. Ecuacuación de Rotación Tramo Cont. – Art. por superposición de efectos

a) Efecto del G.D.L.C. i

i j

i ≠ 0

L

j = 0; Δj = 0

iij LEI

Mi

4 iji LEI

Mi

2

iLEI 2

L

EI

L

EI

i

2

12

i j

L

iij LEI

Mi

3 0i

jiM

c) Efecto de las Cargas externas (x)i j

L

(x)

ijM 0jiM

b) Efecto del G.D.L.C. j

i j

Li = 0; j = 0

Δj 0ρjj

jij LEI

Mj

2

3

0 j

jiM

i j

Li = 0; j = 0

Δj 0ρjj

jij LEI

Mj

2

6

jji LEI

Mj

2

6

jLEI 2

6j

ij L

EI

L

EI

22

3

2

16


cinemáticas de la estructura; es decir, que el número de incógnitas debido a los G.D.L.C. son iguales al numero de rotaciones () de los nodos rígidos mas el número de traslaciones () dados por la desplazabilidad de la estructura [6.

IV.4. Procedimiento General (Método de las Rotaciones).IV.4.1. Método de las Rotaciones para Análisis Estructural.

Para establecer un procedimiento general de análisis debemos aplicar las Ecuaciones (8) y (9) seccionando la estructura en tramos discretos i – j. Entonces debe generarse un sistema de “n” ecuaciones para determinar las “n” incógnitas dadas por los G.D.L.C. estableciendo el equilibrio estático de la estructura para así encontrar los valores de los momentos flectores en los extremos de cada tramo que están relacionados con los G.D.L.C. por medio de las Ecuaciones de Rotación.

Consideremos como ejemplo la estructura de la Figura IV.11a) que presenta un G.D.L.C. de rotación en el nodo B y ninguna desplazabilidad ( = 0), lo que significa que existe solo una incógnita por resolver. Al trazar el D.C.L. del nodo B (nodo rígido), los momentos en el extremo derecho del tramo AB (MBA) y en extremo izquierdo del tramo BC (MBC) se dibuja actuando en sentido horario en los tramos según la Convención de Signos asumida anteriormente (Momento Horario positivo) (Ver Figura IV.11b)).

Luego se puede establecer el equilibrio estático del nodo B para generar la ecuación requerida para determinar la incógnita B como sigue

Aplicando las Ecuaciones de Rotación a los tramos A – B y B – C, observando que A = C = 0 y que los momentos de Empotramiento perfecto se definen con su valor y sentido en las tablas correspondientes de la Figura IV.7, se tiene que los momentos flectores en el extremo B de ambos tramos son respectivamente

166

(10)+

a) Estructura aporticada a estudiar

Figura IV.11. Estructura aporticada para analisis por Rotaciones

b) D.C.L. del nodo B indicando los momentos actuantes

TRAMO B-C

MBC

MBA

NODO B

MBC

MBA

TRAMO A-BA

B C

(x)

(x)


La Ecuación (13) indica que para cada G.D.L.C. de rotación () podemos establecer una ecuación considerando el equilibrio estático del nodo rígido en donde este se produce. Por otra parte, los momentos de los tramos que llegan al nodo rígido considerado se dibujaran siempre en sentido antihorario en el nodo, ya que por Convención se han asumido actuando en sentido horario en los tramos.

Cuando la estructura además de los G.D.L.C. de rotación presenta G.D.L.C. de traslación (), entonces se deben generar las ecuaciones necesarias para cada uno de estos tomando el equilibrio estático global de la estructura o de una parte de ella.

Para ilustrarlo considérese por ejemplo el pórtico mostrado en la Figura IV.12a) el cual presenta dos G.D.L.C de rotación () y una desplazabilidad ().

Las ecuaciones correspondientes a las rotaciones de los nodo B y C (nodos rígidos) pueden obtenerse al igual que se hizo en el parrado anterior tomando el equilibrio estático de los momentos en los nodos, entonces

Para determinar la ecuación correspondiente al G.D.L.C. realizaremos una sección en los apoyos A y D y trazaremos el D.C.L. indicando los momentos flectores MAB y MDC

167

(14)

(15)

(12)

(13)

Figura IV.12. Tramo de la Estructura aporticada para analisis cinematico

a) Pórtico deformado en dirección del G.D.L.C.

b) D.C.L. de la estructura seccionada en A y D

A

B C

DVAB VDC

NAB

MAB MDC

NDC

P

A

BC

D

P

’

B’C’

+

+


actuando en sentido horario por convención, mientras que las fuerzas cortantes y la fuerzas axiales actúan con una dirección supuesta (Ver Figura IV.12b)), entonces el equilibrio estático de las fuerzas en dirección x para ese D.C.L. establece que

Ahora debemos relacionar las fuerzas cortantes VBA y VDC con los momentos flectores que actúan en los tramos AB y CD respectivamente con la finalidad de expresar dichas fuerzas en función de las incógnitas cinemáticas a resolver. Para ello analizaremos el equilibrio estático de los D.C.L. de los tramos AB y CD mostrados en las Figuras IV.13a) e IV.13b) respectivamente

Sustituyendo las Ecuaciones (17) y (18) en la Ecuación (16) se tiene la ecuación para el G.D.L.C. que se requiere para resolver las tres incógnitas del sistema

Las Ecuaciones (14), (15) y (19) representan el Sistema de “n” ecuaciones necesario para determinar las incógnitas cinemáticas del pórtico de la Figura IV.11a), los cuales servirán para calcular los momentos flectores obtenidos en las ecuaciones de rotación, que a

168

(16)

(17) (18)

(19)

Figura IV.13. Relación entre las fuerzas cortantes y los momentos flectores

a) D.C.L. del tramo AB

MAB

P

MBA

NAB

NBA

VBA

VAB

MDC

MCD

NDC

NCD

VCD

VDC

b) D.C.L. del tramo CD

+ +


su vez permitirán determinar loas fuerzas cortantes, las fuerzas axiales y las reacciones por el equilibrio estático de los tramos y de la estructura. Cabe destacar que las fuerzas internas calculadas en los extremos de los elementos vinculados a apoyos de la estructura representan los valores y dirección de las reacciones en dicho apoyo.

Una forma alternativa de establecer la Ecuación (19) se obtiene al establecer el equilibrio estático empleando el Principio de los Trabajos (WEXT = WINT) para cada una de estructuras deformadas debido a los G.D.L.C. . En tal sentido el WEXT viene dado por las cargas externas que actúan dirección del desplazamiento de sus puntos de aplicación y WINT viene dado por los momentos flectores (Mij) que actúan en dirección contraria a la rotación de la cuerda (ij) del tramo en donde exista deformación elástica debido al efecto considerado (Ver Figuras IV.14a) e IV.14 b)).

Debe observarse que un signo positivo para el WEXT indica que la fuerza considerada actúa en el mismo sentido al desplazamiento de su punto de aplicación, mientras que un signo negativo indica lo contrario. Por otra parte, una rotación ij horaria implicará un signo negativo para el WINT mientras que un ij antihorario indica un WINT negativo. Para ilustrar lo anterior tomemos como ejemplo la Figura IV.14b), luego

169

Figura IV.14. Pórtico deformado en dirección del G.D.L.C.

a) Determinación del WEXT b) Determinación del WINT

A

BC

D

P

’

B’C’

(MBA)

(MAB)

(MDC)

(MCD)AB DC

A

BC

D

P

’

B’C’


Puede observarse que las expresiones (19) y (20) son exactamente las mismas, por lo que el empleo de cualquiera de los dos métodos conllevara a una solución del problema.

Ahora podemos plantear un Procedimiento General de Análisis o Método de las Rotaciones para analizar vigas y estructuras aporticadas estables e indeterminadas de grado “n” aplicando los siguientes pasos:

1. Identificar los G.D.L.C. de la estructura.

2. Trazar las deformadas elásticas para los G.D.L.C. de traslación () para la desplazabilidad y para los desplazamientos en apoyos, en caso que los hubiere.

3. Discretizar la estructura dividiéndola en tramos y escribir las Ecuaciones de Rotación correspondientes según sea el caso.

4. Establecer el Sistema de Ecuaciones para resolver las incógnitas cinemáticas planteando el equilibrio estático en los nodos y en la estructura.

5. Resolver el sistema y evaluar los G.D.L.C. en las Ecuaciones de rotación para calcular el momento flector en los extremos de cada tramo.

6. Aplicar equilibrio estático de los tramos para determinar las fuerzas cortantes y obtener las reacciones y fuerzas axiales del equilibrio de la estructura.

7. Trazar los Diagramas de Momento Flector, Fuerza Cortante y Fuerza Axial.

IV.4.2. Ejemplo Demostrativo.

170

(20)


Para ilustrar la aplicación de los pasos del Procedimiento del Método de las Rotaciones analizaremos el EJEMPLO DEMOSTRATIVO de la Figura IV.15.

El propietario de un inmueble destinado a uso residencial desea realizar una ampliación para instalar un local comercial. El sistema de techo se construirá con una losa de tabelon de 15 cms de espesor apoyada sobre perfiles IPN la cual se puede modelar como la viga continua mostrada en la Figura IV.15. Las cargas sobre los elementos fueron calculadas según las normas de diseño vigentes y se indican sobre las estructuras. Tomando Usar EI = 1000 Ton.m2 se pide:

a.- Determinar empleando el Método de las Rotaciones las reacciones a fin de predimensionar los apoyos de la viga continua.

b.- Suponer que el apoyo A experimenta un desplazamiento de 0.005 m () por efecto de la sobrecarga. ¿Cuál es el nuevo valor de los momentos en los extremos de cada tramo?.

Paso 1 : Determinar los G.D.L.C. de la estructura

Paso 2 : Discretizar la estructura dividiéndola en tramos y escribir las Ecuaciones de Rotación correspondientes según sea el caso.

En este caso podemos dividir la viga continua en dos tramos (A – B y B – C) que se indican en la Figura IV.16, ya que en el volado se conoce el Momento Flector, la Fuerza Cortante y la Fuerza Axial (es un tramo isostático) y se puede sustituir por un sistema Fuerza – par aplicado en C.

171

3.00 m

AB(I) (I)(I) C

1.00 m4.00 m

1 Ton/m

D

Figura IV.15. Estructura hiperestática para análisis por el Método de Rotaciones

Figura IV.16. Discretización de la Estructura para análisis

3.00 m

AB(I)

0.5 Ton.m(I) C

4.00 m

1 Ton/m

1 TonTRAMO A-B TRAMO B-C


Paso 3 : Establecer el Sistema de Ecuaciones para resolver las incógnitas cinemáticas planteando el equilibrio estático en los nodos y en la estructura.

Paso 4 : Resolver el sistema y evaluar los G.D.L.C. en las Ecuaciones de rotación para calcular el momento flector en los extremos de cada tramo.

Paso 5 : Aplicar equilibrio estático de los tramos para determinar las fuerzas cortantes y obtener las reacciones y fuerzas axiales del equilibrio de la estructura.

Trazamos los D.C.L. de los tramos considerados en el Paso 2 indicando los momentos flectores calculados en el paso anterior dibujados según el sentido dado por la Convención de Signos adoptada; es decir, (+) horario y (-) antihorario (Ver Figura IV.17). También se indican las fuerzas cortantes que actúan en los extremos de los tramos asumiendo para ellos una dirección arbitraria, la cual se verificara estableciendo el Equilibrio Estático del tramo (en este caso todos se asumieron actuando hacia arriba).

172

+

+

3.00 m

AB

VBA

1 Ton/m1.482 Ton.m

VAB


Del equilibrio de cada tramo se tiene que:

173

4.00 m

B0.5 Ton.m

C

1 Ton/m

1 Ton

VBC VCB

1.482 Ton.m

MCD = 0.5 Ton.m

VCD = 1 TonC

1.00 m

1 Ton/m

D

+

+

Figura IV.17. D.C.L. de la estructura seccionada en tramos discretos i - j


Paso 6 : Trazar los Diagramas de Momento Flector, Fuerza Cortante y Fuerza Axial.El trazado de los diagramas puede realizarse tal y como se indica en los textos de

Mecánica Racional (Ver Figura IV.18).

IV.4.3. Ejemplos Resueltos.1. Calcular las reacciones de la viga de la Figura IV.19 aplicando el Método de las

Rotaciones y trazar los Diagramas de Momento y Cortante. Usar EI es constante.

174

1.40 m

A D

2.80 m 3.00 m

3 KN/m

B

10 KN

C

1.50 m

10 KN

E

D

2.80 m 3.00 m

3 KN/m

B C

14 KN.m 15 KN/m

10 KN 10 KN

-

++

-

2.246

+

1.006

AB C

1.7551.994

1.000

D

Diagrama de Fuerza Cortante

-

+

-

1.482

+

0.506

AB C

1.040

0.500

D

Diagrama de Momento Flector

Como paso adicional se establece un sistema fuerza-par equivalente en los volados

Figura IV.18. Diagramas de Fuerza Cortante y de Momento flector de la estructura

Figura IV.19

MÉTODO DE LAS ROTACIONES O RIGIDECES 175

Aplicamos las Ecuaciones de Rotación para cada tramo

Aplicamos las Ecuaciones de Equilibrio Estático en la estructura. Deben incluirse los momentos externos debido a los volados que actúan en B y en D en el equilibrio de dichos nodos.

+

+

Resolvemos el Sistema de Ecuaciones para las incógnitas cinemáticas, las cuales se sustituyen en las Ecuaciones de Rotación para determinar los momentos flectores en cada extremo

Del equilibrio de cada tramo se tiene que:

Determinamos las incógnitas cinemáticas de la estructura

+


2. Para la estructura mostrada en la Figura IV.20 se pide aplicando el Método de las Rotaciones: a) Las reacciones en los apoyos y b) Trazar los Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flector. Usar EI es constante (Extraido del Kinney [6).

176

A

C D

(0.45I)

(0.75I)

(0.60I)

E

B

0.90 Ton

3.00 m

2.40 m

3.00 m

1.80 m

1.80 Ton1.50 m

3.60 m

(I)


6.96

A D

11.33

-2.33

B

10.00

C E

+

10.00

+

-

6.96


10.00

10.00


13.992

A D

-

5.503

B C E

15.00

+

-

Figura IV.20


177


Aplicamos las Ecuaciones de Equilibrio Estático en la estructura

+

+


Del equilibrio de cada tramo y de la estructura se tiene que:

Diagrama de Fuerza Cortante0.56

A

C D

E

B

0.93

0.232

0.87

-

+

+

-

0.42

-

0.1750.175

+

0.232


3. Calcular los momentos en los extremos de cada tramo de la estructura de la Figura IV.21 aplicando el Método de las Rotaciones y trazar los Diagramas de Momento Flector. Usar EI es constante.

178

4.00 m

A

C E

D

(I)

(I) (I)

(I)

2 Ton/m

B

4.00 m 3.00 m1.00 m


A

C D

E

B

0.469

0.235

0.469-

+

+

-

0.470

-

0.537

0.526

0.384

-

-

0.142

0.922

4.00 m

A

C E

D

(I)

(I) (I)

(I)

2 Ton/m

B

4.00 m 3.00 m

2 Ton1 Ton.m

Como paso adicional se establece un sistema fuerza-par equivalente en el volado

Figura IV.21


179



Aplicamos las Ecuaciones de Equilibrio Estático en la estructura Debe incluirse el momento externo debido al volado que actúa en B en el equilibrio de dicho nodo.

+

+




-

-

3.775 3.854

0.343

2.146

-

+

+ 0.075+

-

0.075

A

C E

D

B

4.225

0.3432.000


4. Para la viga de la Figura IV.22 cuyos apoyos sufren los siguientes asentamientos: ∆c = 0.005 m (), ∆D = 0.010 m () y ∆E = 0.005 m (); se pide aplicando el Método de las Rotaciones: a) Las reacciones y b) Trazar los Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flector. Usar EI = 1200 Ton.m2.

180

1.00 m

A D

3.00 m 4.00 m

2 Ton/m

B C

4.00 m

E

D

3.00 m 4.00 m

2 Ton/m

B C

4.00 m

E

0,25 Ton0.083 Ton.m

DB C EMBC

∆CD = ∆DE = 5 mm

∆CD = 5 mm

MCB

MCD

MDCMDE


-

+

1.913 2.814

0.913

0.459

-

+

-0.250

+ -

0.125A

C E

D

B

Determinamos las incógnitas cinemáticas de la estructura y trazamos la deformada elástica para los desplazamientos en los apoyos


Figura IV.22



Aplicamos las Ecuaciones de Equilibrio Estático en la estructura Debe incluirse el momento externo debido al volado que actúa en B en el equilibrio de dicho nodo.

+

+

+


4.093

A D

0.361

1.889

0.250B C

3.908

E--

++

-

4.743

3.258

+

-


A D

0.083

B C

2.000

E+

- - -

2.370

+




5. Aplicando el Método de las Rotaciones se pide: a) Calcular los momentos en los extremos de la estructura indeterminada de la Figura IV.23; b) Calcular las reacciones y c) Trazar los Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flector. Usar EI es constante. (Extraido del Ana Scheuren [2)

182

A

C

D

(2I)

(I)

(2I)

2 Ton/m

B

4 Ton

4.00 m

4.00 m

4.00 m

2.00 m

A

C

D

2 Ton/m

B

4 TonMBA

MDC

MAB

B’ C’

Determinamos las incógnitas cinemáticas de la estructura y trazamos la deformada elástica para los desplazamientos

Figura IV.23




+



3.098A

C

D

0.902

+

3.629

B

4.372

-

+

-

-

0.902

0.902

Diagrama de Fuerza Cortante Diagrama de Momento Flector

0.329

-A

C

D

1.485

B

5.867

3.609

-

+

1.485

-

-


6. Calcular las reacciones de la estructura de la Figura IV.24 aplicando el Método de las Rotaciones y trazar los Diagramas de Momento Flector. Usar EI es constante (Extraido del Ana Scheuren [2).

184

5.00 m

A

C

F

D

(I)

(2I) (2I)

(2I)

(I)

3 Ton/m

B

5.00 m

2.00 m

3.00 m

2 Ton

E

2 Ton/m


Figura IV.24

A

C

F

D

3 Ton/m

B

2 Ton

E

2 Ton/m

1

MBAMCD

MAB

1

MCE

C’B’

2 Ton

A

C

F

D

3 Ton/m

B

E

2 Ton/m

2

MBCMCB

2

MFE

D’

C’

E’

2


185



+

+




A

C

F

D

B

3.873

E

12.160

+

-

12.160

4.480

+

-

-4.237

8.718+

21.010

-


10.003


A

C

F

D

B

3.207

E

0.847

+-

10.997

4.003

+

-

4.003

4.360

-

-

3.207

+4.360

0.847


7. Calcular los momentos extremos de la estructura de la Figura IV.25 aplicando el Método de las Rotaciones y trazar los Diagramas de Momento Flector. Usar EI es constante.

187

4.00 m

A

C

D

(I)

(I) (I)

3 Ton/m

B

4.00 m 3.00 m3.00 m

4 Ton

2.00 m


MBA

MDC

MBC

AB MCD

MCB CD

A

C

D

B

MAB

BC

B’

C’

4 Ton ’

3 Ton/m

AB=5/4∆

C’

CD=5/4∆

BC=2*3/4∆

A’=D’

B’

Diagrama de Williot


Figura IV.25



+


-

-

-

+A

C

D

B

2.767

+

4.087

2.923

1.605

4.0851.607

+

- -


+


8. Para la estructura mostrada en la Figura IV.26 determinar empleando el Método de las Rotaciones los momentos en los extremos de cada tramo. Considerar que el apoyo E sufre un asentamiento de 0.02 m () y el apoyo F un asentamiento de 0.05 m (). Usar EI = 180 Ton.m2.

189

5 Ton4.00 m

3.00 m

A

C D

E

(2I)

(I)(I)

(2I) (2I)(2I)

2 Ton/m

F

1 m3.00 m

5 Ton.m

3.00 m

2.00 m 2.00 m

B G

5 Ton

Determinamos las incógnitas cinemáticas de la estructura y trazamos la deformada elástica para los desplazamientos en los apoyos

Figura IV.26

A

C

D’

B

5 Ton

E

2 Ton/m

F5 Ton.m

5 Ton

0.25 Ton

0.083 Ton.m

MCD MDC MDF

MFDD

Ev

EEv


A

CB

5 Ton

E

2 Ton/m

F

5 Ton.m

5 Ton

0.25 Ton

0.083 Ton.mD


190


A

C DB

5 Ton

E

2 Ton/m

F

5 Ton.m5 Ton

0.25 Ton

0.083 Ton.m

MDF

MFDF’

Fv


191

+

+

Aplicamos las Ecuaciones de Equilibrio Estático en la estructura. Debe incluirse el momento externo debido al volado en F en el equilibrio de dicho nodo.


+


IV.5. Ejercicios Propuestos.

IV.5.1. Parte 1: AUTOEVALUACIÓN.

1.- Selección simple: Colocar el número de la definición indicada en la lista (b) en el paréntesis que le corresponda a cada elemento de la lista (a) c/u)

2.- Verdadero y falso: Indicar en cada paréntesis si los siguientes postulados son verdaderos (V) o falsos (F)

a.- El Método de las Rotaciones se emplea para determinar la indeterminación cinemática total de una estructura ( ).

b.- En el Método de las Rotaciones las incógnitas a resolver se definen a partir del grado de indeterminación estática ( ).

c.-El Método de las Rotaciones se puede emplear a cualquier estructura hiperestática estable ( ).

d.- Cuando en un nodo i se aplica un momento M en el nodo opuesto j se transporta la mitad siempre que este ultimo sea continuo y EI constante ( ).

3.- Desarrollo: Responda de forma breve las siguientes preguntas

a.- ¿Para que se utiliza el Método de las Rotaciones?

b.- ¿Cuáles son las hipótesis de cálculo que debe satisfacer la estructura para su análisis empleando el método de las Rotaciones?

c.- Indique para que se utilizan las Ecuaciones de Rotación

d.- ¿Qué efectos adicionales pueden considerarse empleando el Método de las Rotaciones y cómo se realiza su análisis?

192

Lista (a)Rigidez ( )

Ecuaciones de Rotación ( )Rigidez Inducida ( )

Incógnitas Cinemáticas ( )

Lista (b)1.- Momento que se produce en un nodo j cuando en el nodo i se aplica un desplazamiento unitario. 2.- Desplazamientos elásticos de la estructura los cuales representan las incógnitas del sistema de ecuaciones.3.- Relación que existe entre los momentos flectores en cada extremo de un tramo y sus grados de libertad cinemático. 4.- Es la fuerza que se produce en un punto de una estructura cuando se aplica un desplazamiento unitario.


IV.5.2. Parte 2: Análisis Estructural empleando el Método de las Rotaciones

1. Para la estructura de la Figura se pide empleando el Método de las Rotaciones: a) Calcular las reacciones. Usar EI = 1500 Ton.m2 (Extraido del Kinney [6).

2. Para la estructura mostrada determinar empleando el Método de las Rotaciones: a) Los momentos en los extremos de cada elemento. b) Los diagramas de Fuerza cortante y de Momento flector. Considerar que el apoyo D sufre un asentamiento de 0.005 m () y el apoyo F un asentamiento de 0.005 m (). Usar EI = 1500 Ton.m2

3. Se propone reforzar un muro de contención empleando un pórtico de perfiles de acero HEA tal como se muestra la Figura. El elemento CD se apoyará contra el muro soportando las cargas provenientes del empuje de la tierra (carga triangular). Se requiere determinar empleando el Método de las Rotaciones los momentos en los extremos (Mij y Mji) de cada tramo. Usar EI = CTTE.

193

1 Ton

4.00 m

4.00 m

3.00 mA

B

E

C

D

(2I)

(I)

(I)

(I)

(2I) (2I)(2I)

1 Ton/m2 Ton

F

1.50 m1.00 m 3.00 m

1.50 m

1 Ton.m

2.00 m

1.80 m 3.60 m

4.50 Ton

2.25 Ton

2.70 m 3.00 m

A

B C

D

(1.25I)

(I)

(2I)

4.80 m

2.25 Ton

2.40 m6.75 Ton.m

1.00 m 1.00 m

4.00 m

0.5 Ton/m

A

BC

D

(I)

(2I)

(I)

2 Ton/m

3.00 m


4. En la Figura se muestra un pórtico de acero correspondiente a uno de los ejes estructurales de la ampliación de un galpón industrial que servirá como deposito de mercancía. Las cargas mostradas se han determinado a partir de las combinaciones de carga de las normas de diseño, siendo estas las condiciones más desfavorables. El galpón se encuentra apoyado a la edificación existente en B (modelado por el rodillo). Se requiere emplear el Método de las Rotaciones para determinar los momentos flectores mas desfavorables en los elementos a fin de seleccionar el mínimo perfil metálico necesario para el diseño por resistencia. Considerar que el apoyo B puede asentarse un máximo de 0.05 m (). Usar EI = 1500 Ton.m2.

5. En la Figura se muestra un pórtico de concreto armado correspondiente a uno de los ejes estructurales de la ampliación de una vivienda unifamiliar. Las cargas mostradas se han determinado a partir de las combinaciones de carga de las normas de diseño, siendo estas las condiciones más desfavorables. La estructura se encuentra apoyada a la edificación existente en C (modelado por la articulación). Determinar empleando el Método de las Rotaciones a.- La combinación de Momento Flector y Fuerza Axial (ME y REy) requerido para diseñar la fundación en D considerando que la edificación existente puede experimentar un asentamiento máximo en el apoyo C de 0.005 m () por efecto de la sobrecarga.

b.- El máximo valor absoluto del Momento Flector del tramo BD necesario para el diseño por resistencia de dicho tramo. Usar EI = 1200 Ton.m2

194

FIGURA N° 7FIGURA N° 7

6.00 m

2.00 m

4.00 m

A

B

DE

(2I) (2I)

(I)1 m

100 kgf

10 m

(I)

C

10 m

200 Kgf/m200 Kgf/m

5 m

100 Kgf/m

2.00 m

4.00 m

2 Ton/m

5 Ton

3.00 m 4.00 mA

B

D

E

(I)

(2I)

(I)

3.00 m

2 Ton.m(2I)

C

Capitulo IV

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