Capitulo IV. Tensión Superficial y Capilaridad

Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García

247

CAPITULO IV

TENSIÓN SUPERFICIAL Y CAPILARIDAD


248

4.1 TENSION SUPERFICIAL.

Si depositamos con cuidado sobre el agua una esfera de acero engrasada, ésta puede flotar, formando en

la superficie del agua una depresión, aunque la densidad de la esfera puede llegar a ser hasta ocho veces

mayor que la densidad del agua. Esta experiencia se muestra en la figura 4.1.

Figura 4.1. Esfera de acero flotando en la superficie de agua.

Las fuerzas que soportan la esfera no son las fuerzas de flotación sino más bien son las fuerzas debidas a

la tensión superficial las que mantienen a la aguja en dicha posición. γ

Por otro lado cuando un tubo de vidrio limpio y de pequeño diámetro, se sumerge en agua, el agua

ascenderá en el interior del tubo tal como se muestra en la figura 4.2a, pero si el tubo se le sumerge en

mercurio, el mercurio desciende en el tubo como se muestra en la figura 4.2b.

Figura 4.2. (a) Tubo de vidrio sumergido en agua; (b) Tubo de vidrio limpio sumergido en mercurio.

El fenómeno de tensión superficial también ha sido observado en la formación de gotas de agua en las

hojas de una planta como se muestra en la figura 4.3a, así mismo gracias a éste fenómeno los insectos

acuáticos pueden caminar sobre la superficie libre del agua como lo muestra la figura 4.3b

Figura 4.3. (a) Gotas de agua formadas sobre una planta; (b) insecto caminando sobre la

superficie del agua.


249

Estos fenómenos y otros de naturaleza análoga muestran la existencia de una superficie límite entre un

líquido y otra sustancia. Es decir la superficie de un líquido puede suponerse en un estado de tensión tal

que si se considera cualquier línea situada sobre ella o limitándolo, la sustancia que se encuentra a un lado

de dicha línea ejerce una tracción sobre la otra situada al otro lado. Esta tracción está en el plano de la

superficie y es perpendicular a la línea. Este efecto puede demostrarse utilizando la teoría molecular (ver

figura 4.4) es decir una molécula en el interior de un fluido está sometida a las fuerzas de atracción en

todas las direcciones dando lugar a una resultante nula tal como puede verse en la molécula A; la

molécula B que tiene más moléculas de líquido en la parte inferior de su esfera de acción experimenta una

fuerza resultante hacia abajo. La molécula C soporta la acción de una fuerza resultante dirigida hacia el

interior del líquido, esta situación repetida a lo largo de toda la superficie del líquido produce la

contracción de la superficie total del líquido como si se tratase de una membrana elástica. Esta tendencia

contráctil produce el fenómeno de tensión superficial.

Figura 4.4 Descripción molecular de la tensión superficial.

4.2 ALGUNOS EXPERIMENTTOS QUE MUESTRAN EL FENÓMENO DE LA TENSIÓN

SUPERFICIAL.

Una forma experimental como puede mostrarse los fenómenos de la tensión superficial es considerar un

anillo de alambre de algunos milímetros de diámetro en el cual se ha instalado un bucle de hilo tal como

se muestra en la figura 4.5 a. Cuando el anillo y el bucle se colocan en una disolución jabonosa, al sacarlo

de ella se forma una película delgada de líquido en la cual el bucle de hilo flota. Por otro lado si se pincha

el interior del bucle de hilo, este toma una forma circular como se muestra en la figura 4.5b, como si las

superficies del líquido tirasen radialmente hacia afuera en el sentido de las flechas.

Figura 4.5 (a) Anillo metálico con un bucle de hilo extraído de una solución jabonosa; (b) Anillo de

alambre en el que se pincho el centro del bucle.

Debe observarse que antes de pinchar la lámina líquida a ambos lados del hilo actúan las mismas fuerzas

de las manera que la resultante de las fuerzas es nula.

Otro equipo sencillo que muestra la existencia de la tensión superficial es el mostrado en la figura 4.6,

consiste en un trozo de alambre doblado en forma de U y se utiliza un segundo alambre como deslizador.

Cuando el sistema se introduce en una disolución jabonosa y posteriormente se saca de ella, el alambre, el


250

alambre de longitud L, se desplaza rápidamente hacia arriba siempre que su peso W1, no sea demasiado

grande, y para mantenerlo en equilibrio es necesario aplicar una segunda fuerza W2. Aunque parezca

extraño la fuerza total F = W1 + W2, mantendrá el alambre en reposo, independientemente del área de la

lámina líquida, siempre que la temperatura se mantenga constante.

Figura 4.6. Alambre en forma de U con un alambre móvil AB en equilibrio bajo la acción de la

tensión superficial.

Aunque una película de agua jabonosa es muy delgada, su espesor es muy grande comparado con el

diámetro molecular. Por lo tanto puede considerarse formada por un volumen de líquido limitado por dos

capas superficiales cuyo espesor es de algunas moléculas. Cuando se tira hacia debajo de la varilla móvil

y se aumenta el área de las láminas, hay moléculas situadas en el interior que se desplazan hacia las capas

superficiales.

4.3 COEFICIENTE DE TENSIÓN SUPERFICIAL.

Consideremos un alambre delgado en forma de U y un alambre móvil de longitud L, extraído de una

disolución jabonosa tal como se muestra en la figura 4.7.

Figura 4.7 Trabajo necesario para incrementar el área de la película jabonosa.

Para mantener el alambre móvil en equilibrio o para ampliar el área de la lámina es necesario aplicar una

fuerza exterior Fex es decir para ampliar el área es necesario realizar un trabajo, trabajo que resulta ser

proporcional al incremento de área, siendo la constante de proporcionalidad el llamado coeficiente de

tensión superficial, γ.

Entonces, el trabajo ΔU, necesario para aumentar el área de la superficie líquida en una cantidad ΔA, será


251

AU . (4.1)

Donde, γ es el coeficiente de tensión superficial. Δ

El trabajo que hay que desarrollar para incrementar el área de la película superficial también se expresa en

la forma.

ixiFrFU

..

(4.2)

Por otro lado el incremento de área superficial debido la aplicación de la fuerza exterior F, esta dado por

2A l x (4.3)

Remplazando las ecuaciones (4.2) y (4.3) en (4.1), tenemos

)2( xLxF

2

F

l (4.4)

La ecuación (4.4), expresa que, el coeficiente de tensión superficial γ se define como la razón entre la

fuerza superficial y la longitud perpendicular a la fuerza a lo largo de la cual actúa. En el sistema

internacional el coeficiente de la tensión superficial se expresa en N/m y el sistema CGS absoluto, se

expresa en dinas/cm.

Para un líquido dado el coeficiente de tensión superficial solo depende de la naturaleza del líquido y de la

temperatura. Es decir el coeficiente de tensión superficial disminuye con el aumento de la temperatura.

Cuando la temperatura del líquido se aproxima a la crítica Tk, el coeficiente de tensión superficial tiende a

cero.

En la Tabla 4.1, se dan los valores de la tensión superficial correspondientes a algunos líquidos.

TABLA 4.1. Valores del coeficiente de tensión superficial para algunos líquidos a la temperatura de

20ºC

LIQUIDO TENSION SUPERFICIAL

(N/m)

Agua 0,073

Mercurio 0,50

Glicerina 0,064

Aceite de ricino 0,035

Benzol 0,03

Keroseno 0,03

Alcohol 0,02

4.4 SOBREPRESIÓN Y DEPRESIÓN DEBIDA A LA CURVATURA DE LA SUPERFICIE LIBRE

DE UN LÍQUIDO.

Es sabido que la superficie de los líquidos se comporta como una membrana elástica estirada. Si la

película está limitada por un contorno plano, ella misma tiende a adoptar la forma plana. Por lo tanto, si la

película es convexa, al tendera ponerse plana presionará sobre las capas líquidas que se encuentran debajo

de ella, mientras que si la película es cóncava, tirará de ella, tal como se muestra en la figura 4.8. Es decir,

xFU


252

“Toda película superficial curva ejerce sobre el líquido una presión complementaria, en comparación

con aquella que experimenta dicho líquido cuando la película superficial es plana; si la superficie es

convexa, la presión complementaria es positiva (sobrepresión); si es convexa, la presión

complementaria es negativa (depresión)”.

Figura 4.8 Acción de la curvatura de una superficie: (a) Sobrepresión; (b) Depresión.

4.4.1. Presión complementaria para una superficie del líquido de forma esférica.

Consideremos que el radio de la esfera es R y aislemos en la superficie un casquete esférico de

área ΔA como se muestra en la Fig. 4.9. Las fuerzas de tensión superficial aplicadas al contorno del

casquete son tangentes a la superficie esférica. La fuerza ΔF, aplicada al elemento diferencial ΔL de

dicho contorno está dado por

LF s (4.5)

Debido a que esta fuerza es tangente a la superficie esférica, forma cierto ángulo con el radio OC. Por lo

tanto, la componente de la fuerza paralela al radio OC, no será igual a cero. Es decir existirá una

sobrepresión.

Figura 4.9. Casquete esférico de área ΔA, tomado de una esfera de radio R para determinar la

sobrepresión.

Del gráfico se observa que φ

senFF .1 (4.6)


253

Al sustituir la ec. (4.5) en (4.6), se obtiene

senLF S .1 (4.7)

Debido a que alrededor del casquete existe un conjunto de fuerzas análogas a ΔF1, la fuerza resultante

paralela al radio OC, es

.11 LsenFF S (4.8)

La suma ΣΔL, es la longitud del contorno que limita al casquete esférico. Este contorno en una

circunferencia de radio r, por lo tanto, ΣΔL = 2πr, y la ecuación (4.8) se escribe

senrF S .21 (4.9)

Del gráfico se observa además

R

rsen (4.10)

Remplazando el valor de la ec.(4.10) en (4.9), se tiene

R

rF S 2

1

.2 (4.11)

Por otro lado, la fuerza debida a la diferencia de presiones entre el interior y exterior del casquete (p – p0),

viene expresado por

AppFp 0 (4.12)

Esta fuerza es perpendicular a la superficie tal como muestra la figura 4.10. La componente de esta fuerza

en dirección vertical será

cos'0 AppFp (4.13)

Pero ΔAcosφ, es el área proyectada sobre un plano perpendicular al eje Y, es decir la fuerza en dirección

vertical será

.0 proyp AppF (4.14)

La fuerza total en la dirección vertical se expresa

.0 proypp AppFF (4.15)

Al proyectar toda la superficie del casquete de radio r se obtiene un círculo de área Aproy = πr2, entonces

la ecuación (4.15) se escribe

2

0 .rppFp (4.16)

En la dirección Y, las fuerzas debido a la diferencia de presiones y la debida a la tensión superficial se

compensan, por tanto se tiene


254

R

rrpp

F

S

y

22

0

.2.

0

Rp S2 (4.17)

Figura 4.10 Fuerza debida a la diferencia de presión para una gota

4.4.2. Presión complementaria para una lámina de líquido de forma esférica.

Consideremos una lámina esférica (pompa de jabón) muy delgada de tal manera que los radios

interior y exterior sean iguales a R. Para determinar la fuerza debido a la tensión superficial aislemos un

casquete esférico de radio r, tal como se muestra en la figura 4.11.

Figura 4.11 Casquete esférico aislado para determinar las fuerzas debido a la tensión superficial.

La componente de la fuerza ΔF, paralela al eje X, en este caso es

senFF .1 (4.18)


255

Teniendo en cuenta que ΔF = γSΔL, la ec. (18), se escribe en la forma

senLF S .1 (4.19)

La fuerza resultante total en dirección horizontal es

.11 LsenFF S (4.20)

Del gráfico se observa que

rL .22 (4.21)

En donde se considera el doble de la longitud de la circunferencia de radio r, por el hecho de existir dos

superficies, una exterior y la otra interior, entonces al remplazar la ecuación (4.21), en la ecuación (4.20),

se tiene

senrF S .41 (4.22)

Teniendo en cuenta que senφ =r/R, la ecuación (4.22) se escribe

R

rF S 2

1

.4 (4.23)

Por otro lado, la fuerza debida a la diferencia de presiones que actúa sobre el elemento de área ΔA’, está

dado por

'0 AppFp (4.24)

En donde p, es la presión del aire en el interior de la burbuja y p0 es la presión atmosférica.

Esta fuerza es perpendicular a la superficie y actúa tal como se muestra en la figura 4.12, entonces la

componente horizontal es

cos'0 AppFp (4.25)

Puesto que ΔA’ cos φ, es el área de la superficie proyectada en un plano perpendicular al eje X, la ec.

Anterior se escribe

.0 proyp AppF (4.26)

La fuerza resultante en la dirección horizontal se expresa

.0, proypxp AppFF (4.27)

Al proyectar toda la superficie del casquete de radio r se obtiene un círculo de área Aproy = πr2, entonces la

ec. (4.27) se escribe

2

0, .rppF xp (4.28)

Debido a que en la dirección horizontal existe equilibrio, la resultante de todas las fuerzas en esta

dirección es nula, es decir


256

2

2

0

0

4 ..

x

S

F

rp p r

R

4 SpR

(4.29)

La ecuación (4.29) indica que la para un coeficiente de tensión superficial constante la presión

complementaria, es directamente proporcional al radio R, de la superficie esférica, es decir la diferencia

de presión es mucho mayor cuando el radio es menor, esto es, si se soplan dos burbujas en los extremos

de un tubo, la más pequeña obligará al aire a entrar en la grande. En otras palabras la más pequeña se hará

aún más pequeña y la grande incrementará su volumen.

Figura4.12. Fuerza debido a la diferencia de presiones en una burbuja.

4.4.3. Presión bajo la superficie curva de un líquido de forma cualquiera.

Para determinar la diferencia de presión bajo una superficie de forma arbitraria, en primer

lugar, existe la necesidad de conocer lo que es curvatura de una superficie en general. θ

En la figura 4.13, se muestra una superficie cualquiera, en donde se ha trazado una perpendicular a la

superficie que pasa por O. Al trazar un plano P1 por la normal, la intersección de este plano con la

superficie se genera una sección normal.

Para el caso de una esfera, cualquier sección normal es un arco de circunferencia A1B1, cuyo radio

coincide con el de la esfera. La magnitud C = 1/R, se le conoce con el nombre de curvatura de la esfera.

Para el caso de una superficie de forma arbitraria, el trazado de diferentes secciones normales por el punto

O dará diferentes curvas geométricas y por tanto diferentes curvaturas. En la Fig. 4.13, se muestran dos

secciones normales diferentes trazadas por el mismo punto O. Una de estas secciones de la curva da el

arco A1B1 y la otra el arco A2B2, siendo sus radios de curvatura R1 y R2, respectivamente.

La curvatura media de la superficie en el punto O, se expresa como

21

11

RRC (4.30)


257

Figura 4.13 Esquema para mostrar la curvatura de una superficie.

Consideremos ahora una superficie del líquido de forma arbitraria y por el punto O tracemos dos

secciones normales A1B1 y A2B2, tal como se muestra en la figura 4.14, los radios de curvatura de las

secciones normales so R1 y R2. Teniendo en cuenta que la figura es un cuadrilátero curvilíneo, entonces

ΔL1 será la longitud de DE y ΔL2 la longitud de DG y EF, entonces el área del cuadrilátero será

.21 LLA (4.31)

La fuerza debido a la tensión superficial en el borde DE, será

11 LF S (4.32)

La componente de ΔF1 en dirección del radio OC1 es diferente de cero, por tanto

senFF 11 ' (4.33)

De la figura se obtiene la relación trigonométrica

1

2

11

11

2

R

L

CA

AOsen

1

21

2R

Lsen

(4.34)

Al sustituir la ec (4.34) en (4.33) se obtiene

1

21'

12R

LLF S

1

'

12R

AF S

(4.35)


258

Figura 4.14 Fuerza debido a la tensión superficial para una superficie de forma arbitraria

En el borde GF actuará una fuerza semejante a la dada por la ecuación anterior.

1

'

12R

AF S

(4.36)

Siguiendo el mismo procedimiento se determina la fuerza de tensión superficial en el borde DG,

obteniéndose

2

'

22R

AF S

(4.37)

Y el borde EF habrá una fuerza análoga a la dada por la ecuación (4.37)

2

'

22R

AF S

(4.38)

La fuerza neta sobre el cuadrilátero debido a la tensión superficial será

21

?

22

22

R

A

R

AF SS

(4.39)

Las fuerzas debidas a la diferencia de presiones se expresan en la forma

AppFp 0 (4.40)

Como las fuerzas debido a la diferencia de presiones se ven equilibradas por las fuerzas debido a la

tensión superficial, resulta

21

0

'

11

RRAApp

FF

S

p


259

21

0

11

RRpp S (4.41)

A la ecuación (4.41) se le denomina fórmula de Laplace, esta debida a la superficie de un líquido de

forma arbitraria. Así por ejemplo si la superficie es de forma esférica, los radios de curvatura son iguales,

entonces la ec. (4.41) se escribe

Rpp

RRpp

S

S

2

11

0

0

Por otro lado si la superficie es un cilindro de revolución, uno de los radios de curvatura es infinito y el

otro es igual al radio del cilindro R, por lo tanto, se tiene

Rpp S

110

Rpp S 0

(4.42)

4.5. ANGULOS DE CONTACTO

Las secciones anteriores se limitaron al estudio de los fenómenos de tensión superficial en láminas que

separan un líquido de un gas. Sin embargo, existen otros límites en los cuales se observa la presencia de

láminas superficiales. Uno de estos límites aparece entre la pared sólida y un líquido, y otra entre la pared

sólida y un fluido gaseoso. Estos límites se muestran en la figura 4.15, conjuntamente con sus láminas.

Debe notarse además que las láminas solo tienen espesores de algunas moléculas y a cada lámina se

encuentra asociada una determinada tensión superficial. Así por ejemplo:

FSL = Tensión superficial de la lámina sólido-líquido

FSV = Tensión superficial de la lámina sólido-vapor

FLV =Tensión superficial de la lámina líquido-vapor

Figura 4.15. Láminas que delimitan los límites: sólido – líquido –vapor.

La curvatura de la superficie líquida en la cercanía de la pared sólida depende de la diferencia entre la

tensión superficial sólido-vapor (FSV) y la tensión superficial sólido-líquido (FSL). Para determinar la


260

relación entre estas tensiones superficiales, se traza el DCL de una porción de láminas en la intersección

como se muestra en la figura 4.16, y se aplica las ecuaciones de equilibrio

Figura 4.16. (a) Diagrama de cuerpo libre de las láminas sólido-líquido-vapor para el Ioduro de metileno en

contacto con vidrio, (b) Interacción molecular entre moléculas del sólido (vidrio) y el líquido

(agua).

Las ecuaciones de equilibrio según las direcciones mostradas proporcionan.

0 xF

senFA LV (4.43)

0 yF

.cosLVSLSV FFF (4.44)

Donde A, es la fuerza de atracción entre la posición aislada y la pared, y se denomina fuerza de adhesión.

La ecuación (4.43) nos permite determinar la fuerza de adhesión conocida la tensión superficial líquido-

vapor y el ángulo de contacto θ, mientras que la ecuación (4.44) muestra que el ángulo de contacto, el

cual es una medida de la curvatura de la superficie del líquido-vapor adyacente a la pared, depende de la

diferencia entre la fuerza de tensión superficial sólido-vapor y de la tensión superficial sólido-líquido.

En la figura 4.16, se observa que FSV es mayor FSL, entonces cosθ es positivo y el ángulo de contacto está

comprendido entre 0º y 90º, en estas condiciones se dice que el líquido moja a la pared sólida.

FSV > FSL → 0 < θ < 90º (4.45)

En esta situación se observa que la fuerza de adhesión es mayor que la fuerza de cohesión entre las

moléculas del líquido.


261

Por otro lado, cuando interactúa un fluido como el mercurio con una pared sólida como el vidrio, la

curvatura de la superficie es convexa como lo muestra la figura 4.17.

Figura 4.17 DCL de las láminas sólido-líquido-vapor para el mercurio y el vidrio.

Aplicando las ecuaciones de equilibrio al DCL de la porción de láminas en la intersección de la pared

sólida i líquida, se obtiene

0 xF

º180senFA LV (4.46)

0 yF

º180cosLVSLSV FFF (4.47)

En este caso el ángulo de contacto es mayor que 90º y menor que 180º, por tanto la fuerza de tensión

superficial sólido-vapor es menor que la fuerza de tensión superficial sólido-líquido. En estas condiciones

se dice que el fluido no moja al vidrio.

FSV < FSL → 90º < θ < 180º (4.48)

Para esta situación se observa que la fuerza adhesiva es menor que la fuerza cohesiva.

Finalmente, si se pone en contacto una superficie de plata con un fluido líquido como el agua, como se

muestra en figura 4.18, se observa que el ángulo de contacto es aproximadamente 90º. En estas

condiciones las ecuaciones de equilibrio nos dan

0 xF

LVFA (4.49)

0 yF


262

SLSV FF (4.50)

Figura 4.18 DCL de la intersección de láminas: sólido-líquido-vapor para el agua en contacto

con una pared de plata.

Debe aclararse además que un mismo líquido puede mojar unos sólidos y no mojara a otros, así por

ejemplo, el agua moja perfectamente la pared de vidrio limpio pero no moja a una pared de parafina; en

forma análoga el mercurio no moja el vidrio pero si a una pared de hierro.

Cuando un fluido líquido moja a un sólido en forma de tubo de diámetro pequeño, su superficie libre es

cóncava, mientras que si el fluido no moja al tubo la superficie es convexa. A estas superficies curvas se

le llaman meniscos. Por otro lado el agregado de impurezas a los líquidos modifica considerablemente el

ángulo de contacto como se muestra en la figura 4.19.

Figura 4.19 Efecto del añadido de impurezas a los líquidos sobre la tensión superficial: (a) agua con

detergente, el líquido moja la superficie (θ < 90°); (b) agua con keroseno el líquido

no moja la superficie (θ > 90°)

4.6 CAPILARIDAD.

Uno de los efectos más importantes de la tensión superficial es la elevación de un fluido líquido en un

tubo abierto de radio muy pequeño. Este fenómeno es conocido como capilaridad y a los tubos donde se

presenta este efecto se les llama capilares (análogo a cabello).

En el caso donde el fluido líquido moja a la pared, el ángulo de contacto es menor que 90º, en esta

situación el fluido se eleva una altura h hasta alcanzar el equilibrio tal como se muestra en la figura 4.20.


263

Figura 4.20 Ascenso de un fluido en un capilar.

Para determinar la altura h en primer lugar se traza el DCL de la masa líquida ABBCD que ascendió,

como se muestra en la figura 4.21, sobre ella se observa que actúan las fuerzas: la tensión superficial (FS),

el peso de la masa líquida (W), la fuerza debido a la presión atmosférica sobre CD y la fuerza debido a

la presión sobre la superficie AB.

Figura 4.21 DCL del fluido que ascendió en el capilar.

Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene

0 yF

WFS (451)

Si el radio interior del tubo es r, el fluido líquido estará en contacto con al pared del capilar a lo largo de

una longitud (2πr), entonces la fuerza debido a la tensión superficial en la dirección vertical será

cos.2 rF LVS (4.52)

Además el peso del líquido que se extiende desde la concavidad hasta la línea AB, será

hrggVW 2. (4.53)

Remplazando la ecuación (4.52) y (453) en la ec. (4.51), resulta


264

gr

h LV

cos2 (4.54)

La ecuación anterior muestra que la altura a la que se eleva un fluido líquido será tanto mayor cuanto

menor es el radio r del capilar. Por esta razón se vuelve notorio el ascenso del líquido en tubos de radios

muy pequeños. Por otro lado la elevación será mucho mayor, cuanto más grande sea el coeficiente de

tensión superficial. Además si el líquido moja perfectamente (θ=0º), la ecuación (4.54) puede escribirse

gr

h LV

2 (4.55)

Cuando el líquido no moja la pared del tubo, el menisco es convexo, en este caso la presión

complementaria es positiva y el nivel del líquido en dicho tubo es inferior al de la superficie libre en la

vasija, esta situación se muestra en la figura 422, la altura h que desciende el fluido en el capilar se

determina también con la ecuación (4.54).

Figura 4.22 Descenso de un fluido líquido en un capilar.

Debe recalcarse que los fenómenos capilares son de gran interés en la vida cotidiana, un ejemplo lo

constituye la infiltración del agua en un determinado suelo, otro ejemplo lo constituye el funcionamiento

de las mechas, la absorción del agua por el algodón hidrófilo, etc.


265

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1.

Un anillo de 25 mm de diámetro interior y 26 mm

de diámetro exterior está colgado de un resorte,

cuyo coeficiente de deformación es igual a 0,98

N/m, y se encuentra en contacto con la superficie de

un líquido. Al descender la superficie del líquido el

anillo se desprendió de ella en el momento en que

el resorte se había alargado 5,3 mm. Hallar el

coeficiente de tensión superficial del líquido.

Solución

Datos e incógnitas.

.??;..3,5

;../98,0;..26;..25 21

Smmx

mNKmmdmmd

En la figura se muestra el DCL del anillo, sobre el

actúan las fuerzas: la fuerza elástica (Fe), el peso del

anillo (W) y la fuerza debido a la tensión superficial

(FS).

El valor de la fuerza de tensión superficial es

)1.(....................

.2.2

21

21

ddF

rr

longitudF

SS

S

SS


)2.......(....................

0

WFF

F

Se

y

Debido a que el peso del anillo es despreciable, la

ecuación anterior se escribe en la forma

............................/10.4,32

102625

10.3,598,0

.

3

3

3

21

21

RtamN

dd

xK

xKdd

FF

S

S

S

eS

Problema 2.

Sobre un bastidor vertical ABCD mostrado en la

figura, provisto de un travesaño móvil MN, hay

extendida una película de agua jabonosa. (a) ¿Qué

diámetro deberá tener el travesaño de cobre MN

para poder estar en equilibrio?. (b) ¿Qué longitud

tiene este travesaño si sabemos que para

desplazarlo 1 cm hay que realizar un trabajo igual a

4,5.10-5 J? Para el agua jabonosa γS = 0,045N/m.

Solución

Parte (a).

Datos e incógnitas

.??;../8600;../045,0 3 dmkgmN CuS

En la figura se muestra el DCL del travesaño en la

posición de equilibrio, sobre el actúan las fuerzas:

la fuerza de tensión superficial (FS) y el peso (W).


266

La fuerza debido a la tensión superficial es

)1(....................2

2

SS

S

SS

F

L

longitudF

El peso del travesaño es

)2..(....................4

2

LdgW

gVmgW


)3....(....................

0

WF

F

S

y

Remplazando las ec. (1) y (2) en (3), resulta

........................17,1

)8,9)(8600(

)045,0(88

42

2

Rtammd

gd

gLdL

S

S

Parte (b)

Datos e incógnitas

JUmNcmyL S 45;../045,0;..1??;..

Se sabe que el trabajo para incrementar el área de la

película jabonosa es proporcional al área, siendo la

constante de proporcionalidad el coeficiente de

tensión superficial, entonces se tiene

....................................5

10045,02

10.45

2

tan

)2(

2

6

RtacmL

y

UL

topor

yLU

AU

S

S

S

Problema 3.

El alcohol que hay en un recipiente aislado sale a

través de un tubo vertical que tiene 2 mm de

diámetro interior. Considerando que cada gota se

desprende 1 segundo después que la anterior, hallar

cuánto tiempo tardará en salir 10 gramos de

alcohol. El diámetro del cuello de la gota en el

momento en que ésta se desprende tómese igual al

diámetro interior del tubo.

Solución

Datos e incógnitas

mN

grmtstmmd

al

alcoholT

/02,0

;10??;..;..1;..2

.

En la figura se muestra el DCL de la gota un

instante antes de desprenderse del tubo, sobre ella

actúan: el peso de la gota (W) y la fuerza de tensión

superficial (FS).


kgm

g

dm

mgd

mgr

mglongitud

WFF

S

S

S

S

Sy

0128,0

8,9

10.202,0

2.2

.2

0

3


267

Para determinar el número de gotas (N), que hay en

10 gramos de alcohol se usa una regla de tres

simple, esto es

gotasN

entonces

kgN

kggota

780

310.10

0128,01

Finalmente se determina el tiempo que demora e

salir 10 gramos de alcohol

.....Rta...........minutos... 13

7801780.

T

T

t

segseggotastNt

Problema 4.

De un tubo vertical cuyo radio interior es 1 mm

gotea agua. Hallar el radio de las gotas en el

momento de desprenderse. Considerar que las gotas

son esféricas. El diámetro del cuello de la gota en el

momento de desprenderse tómese igual al diámetro

interior del tubo.

Solución


:??;..1;../073,0 RmmrmNS

En la figura se muestra el DCL de la gota en un

instante antes de desprenderse del tubo, las fuerzas

que obran son: el peso de la gota (W) y la fuerza de

tensión superficial (FS).


a.........Rt..........mm........ 23,2

8,910002

10.073,03

2

3

.2

0

3

3

3

3

34

R

g

rR

gRr

mglongitud

WFF

S

S

S

Sy

Problema 5.

¿Cuánto se calentará una gota de mercurio que

resulta de la unión de dos gotas que tienen 1 mm de

radio cada una?

Solución

Datos e incógnitas

RmmrmkgT hg ;..1;../13600??;.. 3

En la figura se muestra las gotas en estado inicial y

final.

En primer lugar se determina el área total de las

gotas pequeñas

)1......(...........8.42 22 rrA

En forma análoga se determina el área de la gota

formada después de la unión de las gotas pequeñas

)2.......(....................4 2RA

La energía liberada al disminuir la superficie, como

consecuencia de la unión de las gotas será

)3.......(..........24

4.8

22

22

0

Hg

Hg

Hgffi

RrE

Rr

AAUE

Como no se conoce el valor de R se determina

teniendo en cuenta que la masa del fluido antes de

la unión de las gotas es igual a la masa del fluido

después de la unión, es decir


268

)4.......(....................2

.2

2

2

3

3

3

43

3

4

21

rR

Rr

VV

Mm

Mmm

Rr

Remplazando la ec.(4) en (3), resulta

)5........(....................10.57,2

5,022104

22.4

2.24

6

3

2

232

3

2

3

2

JE

r

rrE

Hg

Hg

La energía de 2,57.10-6 J, se utiliza para el

calentamiento de la gota de mercurio formada.

Según la calorimetría se tiene

13

6 343

36 34

3

4

0, 24 2,57.10 0,033

0, 24 2,57.10 13600 2 .10 (0,033)

1,64.10 º ......... .

Hg e

Hg

E m c T

R T

T

T C Rta

Problema 6.

¿Qué trabajo hay que realizar contra las fuerzas de

tensión superficial para aumentar al doble el

volumen de una pompa de jabón que tiene 1 cm de

radio? El coeficiente de la tensión superficial del

agua jabonosa tómese igual 0,043 N/m.

Solución

Datos e incógnitas

.??;../043,0;..11 UmNcmr S

En primer lugar se determina el nuevo radio de la

pompa debido al aumento de volumen

)1....(....................210

2

.2.

2

3

12

2

312

3

13

43

23

4

12

r

rr

rr

VV

Se procede ahora a determinar el área total de la

superficie de la pompa,

)3....(.....................42

)2.....(.....................42

2

21

2

11

rA

rA

El trabajo se procede a determinar mediante la

ecuación

...Rta.....................J......... 64

1010.2043,08

8

222

2

2

1

2

2

12

3

1

ffi

Hg

Sffi

U

rr

AAU

Problema 7

Determinar la presión del aire (en mm de Hg) que

hay dentro de una burbuja de diámetro d = 0,01 mm

que se encuentra a la profundidad de h = 20 cm

bajo la superficie libre del agua. La presión

atmosférica exterior es p0 =765 mmHg.

Solución

Datos e incógnitas

mmHgpcmhmmdpa 765;..20;..01,0??;.. 0

En la figura se muestra la burbuja ubicada en el

interior del agua.

Siendo la presión interior del aire pa y la presión p

en un punto inmediatamente fuera de la burbuja, la

diferencia de presiones se expresa como

)1....(....................4

2

dpp

Rpp

S

S

a

a

Utilizando la hidrostática se obtiene la presión p

)2....(....................0 ghpp

Remplazando la ec. (2) en (1), se tiene


269

)3...(........../31160

10.01,0

073,04)2,0(9800

4

2

0

30

0

mNpp

p

dghpp

a

a

S

En seguida se procede a convertir la presión de

31160 N/m2 a mmHg

)........(4mmHg...... 76,233

/31160

/3,1331

2

2

X

mNX

mNmmHg

Remplazando la ec.(4) en (3), resulta

Rta...........mmHg...... 76,998

75,233765

a

a

p

mmHgmmHgp

Problema 8.

La presión atmosférica que hay dentro de una

pompa de jabón es de 1 mmHg mayor que la

atmosférica. ¿Qué diámetro tiene esta pompa? El

coeficiente de la tensión superficial de la solución

jabonosa tómese igual a 0,043 N/m.

Solución


mNdmmHgpp S /073,0??;..;..10

En la figura se muestra la situación descrita en el

enunciado

La diferencia de presión para una pompa de jabón

viene expresada por la relación

0

4S

ap pR

0

8S

ap pd

Entonces el diámetro será

2

0

2

2

8 0,043 /8d

1

8 0,043 /

133,3 /

S

a

N m

p p mmHg

N md

N m

Problema 9.

En un recipiente con agua se introduce un tubo

capilar abierto cuyo diámetro interior es d =1 mm.

La diferencia entre los niveles de agua en el

recipiente y en el tubo capilar es Δh = 2,8 cm. (a)

¿Qué radio de curvatura tendrá el menisco en el

tubo capilar? (b) ¿Cuál es la diferencia entre los

niveles del agua en el recipiente y en el tubo capilar

si este líquido mojara perfectamente?

Solución

Parte (a)

Datos e incógnitas

.??'??;..;..8,2;..1 HRcmhmmd

En la figura se muestra el DCL del agua ubicada

dentro del capilar


)1.(..........

0

CDSAB

y

FWFF

F

Debido a que las fuerzas FAB y FCD son debidas a la

presión atmosférica y actúan en la misma área,

entonces se cancelan y la ec. (1) se escribe


270

)2.(...........cos.2

cos.2

cos

2 hrgr

gVr

mgL

WF

S

S

CS

S

Despejando θ se obtiene

)3.......(º.........20

939726,0cos

073,02

10.8,210.5,09800

2

...cos

23

S

hrg

De la geometría del menisco se obtiene

......Rta.mm........ 532,0

939726,0

5,0

939726,0cos

R

R

R

r

Parte (b)

Cuando el fluido moja perfectamente la superficie

el ángulo de contacto es θ =0º, entonces cosθ =1, y

la altura en este caso será

.Rta...........cm........ 98,2'

10.5,09800

073,02

..

º0cos2'

3

h

rgh S

Problema 10

¿Hasta qué altura se elevará el benzol en un tubo

capilar cuyo diámetro interior es 1 mm?. Considere

que el benzol moja perfectamente.

Solución

Datos e incógnitas

2/03,0;..5,0??;.. mNmmrh S

En la figura se muestra el DCL del benzol dentro

del capilar

Del problema anterior se tiene que

...Rta...........mm........ 9,13

10.5,08,9880

º0cos03,02

..

cos2

3

h

h

rgh S

Problema 11

Hallar la diferencia de alturas a la que se encuentra

el mercurio que hay en dos tubos capilares

comunicantes cuyos diámetros respectivos son d1

=1 mm y d2 =2 mm. Considere que el mercurio no

moja en absoluto.

Solución

Datos e incógnitas

.??

/5,0;º180;..1;..2,0 21

h

mNmmrmmr S

En la figura se muestra la ubicación del mercurio en

los capilares comunicantes


271

La sobrepresión p1, producida por la superficie

convexa del mercurio en la rama más delgada del

tubo, se equilibra con la debida a la diferencia entre

los nivele de Hg, en ambas ramas y con la

sobrepresión p2 en la rama ancha, esto es

)1....(............21 hgpp

Como el mercurio no moja en absoluto, entonces se

tiene que θ =180º, y las presiones complementarias

será

)3.......(..........2

)2.........(..........2

2

2

1

1

rp

rp

S

S

Remplazando la ec.(2) y (39 en (1), resulta

......Rta...........mm........ 5,7

10.15,08,913600

10.5,010.15,02

...

2

..22

6

33

21

12

21

h

h

rrg

rrh

hgrr

S

SS

Problema 12

¿Qué diámetro máximo pueden tener los poros de la

mecha de una hornilla de petróleo para que este

último suba desde el fondo del depósito hasta el

mechero de la hornilla (esta altura es h = 10 cm)?

Considerar que los poros son tubos cilíndricos y

que el petróleo moja perfectamente.

Solución

Datos e incógnitas

./03,0

/800;..º0;..10??;.. 3

mN

mkgcmhd

S

P

En la figura se muestra el DCL del petróleo en

capilar formado en la mecha.

La altura del petróleo en el capilar se determina a

partir de la ecuación.

...Rta...........mm........ 15,0

10.108,9800

03,04

..

º0cos4

..

cos2

3

h

dg

rgh

S

S

Problema 13

Un tubo capilar de 2 mm de radio interior se

introduce en un líquido. Hallar el coeficiente de

tensión superficial del líquido sabiendo que la

cantidad de éste que se eleva por el tubo capilar

pesa 88.10-2 N.

Solución

Datos e incógnitas

NWmmr LS

210.2.88??;..;..2

En la figura se muestra el DCL del fluido en el

capilar y las fuerzas que actúan sobre el fluido


272

Del equilibrio de fuerzas se tiene

)1..(..........cos.2

cos

0

Wr

WL

F

S

CS

y

Asumiendo que el fluido moja perfectamente el

capilar cosθ = 1, entonces la ec. (1) se escribe

........../10.02,7

10.22

10.2,88

.2

.2

2

3

2

RtamN

r

W

Wr

S

S

S

Problema 14.

Un tubo capilar cuyo radio es r =0,16 mm está

introducido verticalmente en un recipiente con

agua. ¿Qué presión deberá ejercer el aire sobre el

líquido que hay dentro del tubo capilar para que

éste se encuentre al mismo nivel que el agua que

hay en el recipiente ancho? La presión exterior es

p0=760 mmHg. Considere que el agua moja

perfectamente.

Solución

Datos e incógnitas

2

0 /101308760

??;../073,0;..16,0

mNmmHgp

pmNmmr S

Para que el fluido se ubique al mismo nivel que el

agua en el depósito se debe insuflar aire como se

muestra en la figura.

Analizando el menisco que forma el fluido se tiene

0 3

2

2'

2'

2 0,073

0,16.10

102220,5 /

767 mmHg................Rta.

S

S

p pR

p pR

p p

p N m

p

Problema 15.

Un tubo capilar está introducido verticalmente en

un recipiente con agua. El extremo de este tubo está

soldado. Para que el nivel del agua fuera igual

dentro del tubo que en el recipiente ancho hubo que

sumergir el tubo en el líquido hasta el 15% de su

longitud. ¿Qué radio interior tendrá el tubo? La

presión exterior es igual a 750 mmHg. Considerar

que el agua moja perfectamente.

Solución

Datos e incógnitas

.750??;..;../073,0 0 mmHgpRmNS

En las figuras se muestran al tubo capilar antes y

después de sumergirlo

(a) antes de sumergir (b) después de sumergir.


273

Antes de sumergir el tubo, la presión y el volumen

del aire atrapado dentro del tubo son

)1....(..........Vy 00p

Después de sumergir el tubo en el fluido, la presión

y el volumen del aire atrapado serán

y V (2)p

Según la ley de Boyle, debe cumplirse que

)3...(....................00VppV

En la figura se muestra la posición del tubo en el

fluido

La presión se calcula a partir del menisco formado

por el fluido dentro del tubo

)4......(..........2

2

0

0

Rpp

Rpp

S

S

Remplazando la ec. (4) en (3) y teniendo en cuenta

que V0 = A0h0, se tiene

)5...(....................

2

2

2

2

10

10

0

10

00

10

00

0

0000100

hh

hp

R

phh

hp

R

hh

hp

Rp

hApAhhR

p

S

S

S

S

Teniendo en cuenta que h1 =(1.5/100)h0, la

ecuación (5) se escribe

......Rta.mm........ 096,0

3,1337505,1

5,1100073,02

100

5,1

100

5,12

00

00

R

hp

hh

R

S

Problema 16

El tubo barométrico A de la figura está lleno de

mercurio y tiene un diámetro interior d igual a: (a) 5

mm y (b) 1,5 cm. ¿Se puede determinar

directamente la presión atmosférica por la columna

de mercurio de este tubo? Hallar la altura de la

columna en cada uno de los casos antes

mencionados, si la presión atmosférica es p0 = 758

mmHg. Considerar que el mercurio no moja en

absoluto.

Solución

Datos e incógnitas

.758??;..;../5,0

/13600;..5,1;..5

0

3

21

mmHgphmN

mkgcmdmmd

S

Hg

De la hidrostática se tiene

)1..(............0 hgppp BA

Teniendo en cuenta la curvatura del menisco, se

tiene

,

2 SB V Hgp p

R

,

4................(2)S

B V Hgp pd


274

Remplazando la ec. (2) en (1), resulta

)3......(............4

,0 hgd

pp S

HgV

Debido a que la presión del vapor de mercurio es

muy pequeña 0., HgVp , la ec. Anterior se escribe

)3.....(......................4

0 hgd

p S

Caso (a), Remplazando los valores dados resulta

Rta.....................mm........ 755

8,91360010.5

5,04)3,133(758

3

h

h

Caso (b). Remplazando el valor de d =1,5 cm, se

tiene

Rta.....................mm........ 757'

'8,91360010.5,1

5,04)3,133(758

2

h

h

Problema 17.

El diámetro de un tubo barométrico es igual a 0,75

cm. ¿Qué corrección habrá que introducir al medir

la presión atmosférica por la altura de la columna

de mercurio de este tubo? Considerar que el

mercurio no moja en absoluto.

Solución

Datos e incógnitas

.??

/5,0;/13600;..75,0 3

corrección

mNmkgcmd SHg

En la figura se muestra el tubo barométrico sin

considerar la tensión superficial

Aplicando la ley de la hidrostática se tiene

)1........(..............................133280

8,9136000

.

..

0

1

10

1,0

0

ph

hp

hgpp

hgppp

HgHgV

BA

En la figura se muestra el tubo barométrico

teniendo en cuenta los efectos de tensión superficial

Del gráfico se observa que tomando los puntos de

igual presión, resulta

)2........(..........4

.

..4

..

..

2

0

20

2,0

2

'

hgdg

p

hgd

p

hgppp

hgppp

S

S

HgVB

BoA

Remplazando la ec.(1) en (2), se tiene

321

10.5,78,913600

5,04

hh

A la altura del menisco hay que añadirle 2 mm

.................... 221 Rtammhh

Problema 18.

¿Qué error relativo cometemos al calcular la

presión atmosférica, igual a 760 mmHg, por la

altura de la columna de mercurio de un tubo

barométrico cuyo diámetro interior es iguala: (a) 5

mm y (b) 10 mm? Considerar que el mercurio no

moja en absoluto.


275

Solución

Datos e incógnitas

0;../5,0;../13600.

;.10;..5;..760..??

,

3

210

HgVSHg

R

pmNmkg

mmdmmdmmHgpe

Del problema anterior se tiene que cuando no se

tiene en cuenta la tensión superficial, resulta

)1.....(.....................

..

0

0

g

pH

Hgp

Y cuando se tiene en cuenta la tensión superficial,

se obtiene

)2........(..........4

.

..4

..

..

0

0

,0

'

hgdg

p

hgd

p

hgppp

hgppp

S

S

HgVB

BoA


)3....(......................

4h

dgH S

El error relativo viene expresado por

)4..(....................4

4

..

4

.

..

4

..

4

.

..

4

..

0

0

0

00

S

S

R

S

S

S

S

R

dpe

dgg

p

dg

dgg

p

dgg

p

g

p

h

hHe

Caso (a) el error relativo cuando d =5 mm, será

.......................%.........396,0

5,0410.53.133760

5,043

Rtae

e

R

R

Caso (b). El error relativo para d =10 mm, será

.......................%.........197,0

5,0410.103.133760

5,043

Rtae

e

R

R

Problema 19.

Sobre la superficie del agua se depositó

cuidadosamente una aguja de acero grasienta

(suponiendo que el agua no moja en absoluto).

¿Qué diámetro máximo podrá tener esta aguja para

mantenerse a flote?.

Solución

Datos e incógnitas

mN

dmkgmkg

wS

wac

/073,0

??;;../1000;/7700

,

33

En la figura se muestra el DCL de la aguja flotando

en el agua por acción de la tensión superficial, las

fuerzas que actúan son: el peso (W) y la fuerza de

tensión superficial que tiene una dirección vertical

porque el agua no moja en absoluto


)1....(....................

0

WF

F

S

y

La fuerza debido a la tensión superficial se expresa

)2(....................2LF

longitudF

SS

SS

El peso de la aguja será

)3.(..........4

....

...

2

2

gLdW

gLrgVW

ac

acac

Remplazando la ec. (2) y (3) en (1), resulta


276

...Rta.....................mm........ 57,1

8,97700.

073,08

.

8

4

....2

2

d

gd

gLdL

ac

S

ac

S

Problema 20.

¿Flotará en la superficie del agua un alambre

grasiento de platino de 1 mm de diámetro?.

Suponga que el agua no moja en absoluto.

Solución

Datos e incógnitas

3/21400;.../073.0;..1 mkgmNmmd ptS

Para verificar si flota o no el alambre de platino, se

calculan las fuerzas de tensión superficial y el peso

del alambre y se aplican las ecuaciones de

equilibrio al DCL mostrado en la figura

La fuerza debido a la tensión superficial se expresa

)1(....................2LF

longitudF

SS

SS

El peso de la aguja será

)2.(..........4

....

...

2

2

gLdW

gLrgVmgW

pt

ptpt

Para que exista equilibrio debe cumplirse que

2

,

23

4

0

0

. .2 0

4

2 0,073 21400 9,8 1.10 0

0,146 0.1647 0

0,0187 0..........................(3)

Y

S

PtS w

F

F W

L g dL

De la ec. (3) se concluye que, el alambre no flota

puesto que no existe equilibrio ya que el peso es

mayor que la fuerza de tensión superficial.

Problema 21.

En el fondo de un depósito que contiene mercurio

hay un orificio. ¿Qué diámetro máximo puede tener

este orificio para que cuando la altura de la

columna de mercurio sea de 3 cm éste último no

pueda salir de él?.

Solución

Datos e incógnitas

3

max

/13600

;./5,0;..3??;..

mkg

mNcmhd

Hg

S

En la figura se muestra la situación planteada en el

problema

Del menisco debe observarse que la diferencia de

presiones está dado por

)1.(....................4

0d

pp S

Aplicando la ecuación de la hidrostática se tiene

)2.......(............0 hgpp Hg

Comparando las ec. (1) y (2) resulta


277

a.........Rt....................mm........ 5,0

10.38,913600

5,04

..

42

d

hgd

Hg

S

Problema 22.

Del fondo de una laguna se separó una pompa de

gas de diámetro d. Durante su ascenso a la

superficie su diámetro aumentó, η veces. Si la

presión atmosférica es normal p0 y la densidad del

agua es ρ, y considerando que el proceso de

expansión del gas es isotermo.

(a) Calcular la profundidad de la laguna en dicho

lugar en función de d, η, γS; p0 y ρ.

(b) ¿Cuál es el valor de la profundidad si d= 4

μm; η =1,1; ρ =1000kg/m3; γS =0,073 N7m y

p0 =101300 N/m2?.

Solución

El la figura se muestra a la burbuja en el fondo del

lago

La diferencia de presiones debido a la tensión

superficial es

)1...(..........4

4

dpp

dpp

S

a

S

a

Aplicando la hidrostática se determina la presión p

)2......(............ hgpp o


)3.........(4

..0d

hgpp S

a

En la figura se muestra el diagrama de la burbuja

cuando está llegando a la superficie del lago

La diferencia de presiones en esta posición será

)4...(..........4

4

0

'

'0

'

dpp

dpp

S

a

S

a

Como el proceso es isotérmico, la ley de Boyle nos

da

)5.......(....................

82

3

'

3

3

4'

3

3

4

''

a

a

aa

aaaa

pp

dp

dp

VpVp

Al remplazar la ec. (5) en (4), resulta

)6..(..........4

0

3

dpp S

a

Comparando las ec. (3) y (6), se obtiene

dp

dhgp SS

2

3

00

44..

Despejando el valor de h, se tiene

......

.

14

1 23

0

Rtag

dp

h

S

Remplazando los valores del enunciado del

problema resulta


278

..Rta............................... m 5

8,91000

11,110.4

)073,0(411,1101300 2

6

3

h

h

Problema 23.

Un capilar de longitud L, que tiene el extremo

superior soldado, se puso en contacto con la

superficie de un líquido, después de lo cual éste

ascendió por el capilar hasta alcanzar una altura h.

La densidad del líquido es ρ; el diámetro de la

sección interna del canal del capilar es d; el ángulo

de contacto es φ, y la presión atmosférica es po.

Hallar el coeficiente de tensión superficial del

líquido.

Solución

Datos e incógnitas

L; h; ρ; d; φ; p0; γS =??

En la figura se muestran los diagramas del tubo

antes y después de colocarlo en contacto con el

fluido

(a) Estado inicial (b) Estado final

Como el proceso es isotérmico la ley de Boyle

establece

)1...(....................

44

0

22

0

00

hLpLp

hLd

pLd

p

pVVp

Para evaluar la presión del aire atrapado en el tubo

cuando éste se coloca en contacto con el agua, se

traza el DCL del fluido que ascendió, como se

muestra en la figura.

Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene

4

....

4

.

4

.cos..

cos

0

222

0

0

dhgdp

dpd

WpAApF

F

S

S

y

Despejando la presión, p, se tiene

)2.......(...cos4

0 hdgpd

p S


)3.......()...cos4

( 00 hLhdgpd

Lp S

Despejando el coeficiente de tensión superficial,

resulta

.........cos4

.. 0

Rta

dhl

hphg

S

Problema 24.

En un capilar de vidrio cuyo canal interno tiene un

diámetro d2 =2 mm se colocó concéntricamente,

una barra de vidrio de diámetro d1 = 1,5 mm. Luego

el sistema se estableció verticalmente y se puso, en

contacto con la superficie del agua. ¿A qué altura

ascenderá el agua en este capilar?.

Solución


.??;../1000

/073,0;..2;..5,1

3

21

hmkg

mNmmdmmd

w

S


279

En la fig.(a), se muestra la disposición de los tubos

colocados en el agua y en la fig (b), se muestra el

DCL del fluido que ascendió en el capilar formado.

(a) Disposición de tubos (b) DCL del fluido

Debido a que el fluido que ascendió en el capilar

está en equilibrio, se tiene

)1.....(....................

0

00

gmF

WApFAp

F

fS

S

y

La fuerza de tensión superficial es

)2......(..........21 ddF

LongitudF

SS

SS

El peso del fluido que asciende por el capilar es

)3(..........44

.

2

1

2

2 hdd

gW

Remplazando la ec. (2) y (3) en (1), resulta

)4(..........44

.

2

1

2

2

21 hdd

gddS

Despejando h resulta

)5......(..........

.

4

12 ddgh S

Remplazando valores del enunciado, se tiene

....Rta...........cm........ 96,5

10.5,110.28,91000

073,0433

h

h

Problema 25.

Entre dos láminas de vidrio horizontales se

encuentra una gota de mercurio en forma de torta

cuyo radio es R y el grosor h. Considerando que

h << R, calcular la masa de la carga que debe

ponerse sobre la lámina superior para que la

distancia entre las láminas disminuya η veces. El

ángulo de contacto es φ. Calcular m si R= 2 cm; h =

0,38 mm; η =2; φ =135º.

Solución

Datos e incógnitas

.??;../13600;../5,0

º135;..2;..38,0;..2

3

mmNmN

mmhcmR

HgS

En la figura se muestra a la gota de mercurio entre

las placas paralelas

De la figura puede observarse que las fuerzas

debido a la tensión superficial se equilibran con las

fuerzas debido a la diferencia de presiones, es decir

)1.....(..........cos2

2cos22

cos

0

0

0

0

hpp

RhppR

AppF

F

S

S

proyS

x

Para determinar la masa de la placa superior se

traza el DCL de la placa superior tal como se

muestra en la figura



280

)2.....(..........

0

0 gmApp

F

P

y


)3.........(

.

cos2

..cos2

2

2

hg

Rm

gmRh

S

P

P

S

En la figura se muestra la disposición cuando se

coloca un bloque de masa m, sobre la placa

En la dirección horizontal se equilibran las fuerzas

debido a la diferencia de presiones y el debido a la

tensión superficial

)4...(..........cos2

..2cos.22

cos

0

'0

'

0

'

0

hpp

hrppr

AppF

F

S

S

proyS

x

Por condición del problema

hh

' .............................(5)

Entonces la ec. (4) se escribe

)6...(..........cos.2

0

hpp S

En la figura se muestra el DCL de la placa superior

más el bloque de masa desconocida

Aplicando las ecuaciones de equilibrio obtenemos

)7(..........)(.

0

2

0 gmmrpp

F

P

y

Remplazando la ec. (6) en (7) nos da

)8.......(..cos.2 2

gmmrh

P

S

Debido a que la masa del mercurio no varía, se

tiene

)9..(....................

.

22

22

'22

Rr

hrhR

hrhR

mm

HgHg

fi


)10........(1cos.

2 2

2

hg

Rm S

Teniendo en cuenta los valores del enunciado, se

tiene

....Rta...........kg........ 7,0

12º135cos10.38,08,9

10.25,02 2

3

22

m

m

Problema 26.

Dos discos de vidrio de radio R = 5 cm se mojaron

con agua y se colocaron juntos de modo que el

grosor de la capa de agua entre estos es h = 1,9 µm.

Considerando que la humectación es total,

determinar la fuerza adicional que debe aplicarse

perpendicularmente al plano de los discos, para

separarlos.

Solución


:??;../1000

;º0;../073,0;9,1;..5

3

Fmkg

mNmhcmR S


281

En la figura se muestra el DCL de las placas con el

agua en su interior.

Debido a que la humectación es total, entonces la

fuerza debido a la tensión superficial actúan sobre

el borde de las láminas y paralelas a su área, estas

equilibran a las fuerzas debido a la diferencia de

presiones, es decir

)1......(....................2

222

0

0

0

0

hpp

RhppRR

AppF

F

S

S

proyS

x

Para determinar la fuerza necesaria para separar los

discos se traza el DCL del disco superior, en él se

observa aplicado las fuerzas: fuerza (pA) debido al

fluido líquido entre las placas y la fuerza (p0A)

debido a la presión del aire.


)2..(..............................

0

0 AppF

F

R

y


)3........(..............................2

2

2

2

h

RF

Rh

F

S

R

S

R

Sustituyendo los valores del enunciado del

problema, resulta

.....................................10.035,6

10.9.1

10.25/073,02

2

6

24

RtaF

m

mmNF

R

R

Problema 27.

Un cubo de hierro cuya densidad es 7900 kg/m3,

engrasado con parafina, flota en el agua de manera

que su cara superior se encuentra a nivel del agua,

como se ve en la figura. El agua no moja en

absoluto a la parafina. Hallara la longitud de la

arista del cubo si la tensión superficial del agua es

0,073 N/m.

Solución

Datos e incógnitas

.??;../073,0

;/1000;../7900 33

amN

mkgmkg

S

wacero

En la figura se muestra el DCL del cubo, las fuerzas

que actúan son: el peso del cubo (W); la fuerza de

tensión superficial (FS) y el empuje hidrostático

debido al agua.

Aplicando las ecuaciones de equilibrio, resulta

0y

S

F

F E W


282

3 3

2

4

4

4

S w acero

s ac w

S

ac w

a g a g a

a g

ag

Remplazando los valores consignados en el

problema, resulta.

..Rta...............................mm........ 08,2

/10007900/8,9

/073,0432

a

mkgsm

mNa

Problema 28

Un tubo de sección transversal circular y radio

exterior R está cerrado por su extremo. Este

extremo está lastrado y el tubo flota verticalmente

en un fluido de densidad ρ y coeficiente de tensión

superficial γS con el extremo pesado hacia abajo

como se muestra en la figura. La masa total del

tubo y el lastre es m. Si el ángulo de contacto es θ.

¿A qué distancia se encuentra el fondo del tubo de

la superficie libre del fluido.

Solución


.??;..;..;..;..;.. hgmR S

En la figura se muestra el DCL del tubo lastrado en

la posición de equilibrio.

Aplicando las ecuaciones de equilibrio. Resulta

.......

cos.2.

cos.2....

cos2

cos

0

2

2

RtagR

Rgmh

RgmghR

Rmggm

FWE

F

S

S

Sf

S

y

Problema 28.

Sobre cuatro bolas de mercurio, yacentes en el

plano horizontal, se pone con cuidado una placa

cuadrada de la manera expuesta en la figura. El

radio de las bolas es R =1 mm, la masa de la placa

es m = 80 g y el coeficiente de tensión superficial

es γS = 0,045N/m. Asumiendo que el mercurio no

moja en absoluto. ¿Cuánto distará del plano

horizontal a la superficie inferior de la placa?.

Solución

Datos e incógnitas

.??;../465,0;..80;..1 HmNgrmmmR SP

En la figura se muestra el DCL de una de las gotas,

las fuerzas que actúan son la tensión superficial (FS)

y la fuerza debido a la diferencia de presiones


0

02 . 2 . 2 . .

S P

S proy

S

F F

Longitud p p A

r r p p r H


283

0

0

4 . . 2 . .

2.........................(1)

S

S

r r H p p

p pH

La fuerza que ejercerá la gota de mercurio sobre la

placa superior será

)2.......(...............................2

.2

2

1

2

01

H

rF

rH

AppF

S

S

Debido a que en el sistema hay cuatro gotas la

fuerza neta será

)3.......(.....................8

4

2

1H

rFF S

N

El radio se determina a partir del principio de

conservación de la masa

)4........(....................3

4

.

32

23

3

4

H

Rr

HrR

mm

HgHg

gotafgotai

Remplazando la ec. (4) en la ec. (3), resulta

)5.....(..............................3

32

3

48

2

3

3

H

RF

H

R

HF

S

N

S

N

En la figura se muestra el DCL de la placa en donde

se observa que actúan el peos de la misma y la

fuerza neta resultante debido a la diferencia de

presiones

Esta fuerza es la que equilibra al peso de la placa,

es decir

gm

RH

H

RgmF

P

S

S

PN

3

32

3

32

3

2

·

Remplazando los valores consignados en el

problema, resulta.

Rta. mm. 14,0

8,910.803

10.10465,0323

33

H

H

Problema 29.

Un capilar vertical de radio interno r se puso en

contacto con la superficie del agua. ¿Qué cantidad

de calor se desprenderá durante el ascenso del agua

por el capilar?. Considere que la humectación es

total, el coeficiente de tensión γS y la densidad del

agua es ρw.

Solución

Datos e incógnitas

.??;...;...;... Qr wS

En la figura se muestra el DCL de la masa de agua

que ascendió en el capilar, las fuerzas que actúan

son: La fuerza de tensión superficial (FS) y el peso

del fluido (W).



284

)1.....(..........................................

2

....2

....2

2

rgh

hrgr

gVgmr

WF

S

S

S

S

La energía potencial de la columna del líquido será

)3.(..............................2

...

2.

2..

2.

22

2

hgrE

hghr

hgV

hgmE

Pg

pg

Remplazando la ec, (1) en (2), resulta

)3.......(...............................

2

2

4..

2

222

2

2

gE

rggrE

S

Pg

S

Pg

La fuerza de tensión superficial realiza un trabajo

dado por

)4.......(...............................

4

..

2..2

..2

2

1

1

gW

rgr

hr

hFW

SF

f

S

S

S

S

F

f

S

S

De esta energía irá para aumentar la energía

potencial y la otra mitad se disipará en forma de

calor.

..........................................

.2

.

.2

.

.4

2

22

Rtag

Q

ggQ

EWQ

S

SS

Pg

F

fiS

Problema 30.

Dos láminas de vidrio verticales paralelas entre sí,

se sumergen parcialmente en agua. La distancia

entre estás es d = 0,10 mm, su anchura L = 12 cm.

Considerando que el agua no llega hasta los bordes

superiores de las láminas y que la humectación es

total, calcular la fuerza de atracción mutua que

existe entre estas.

Solución


.??,../1000

;/073,0;..12;..10,0

3

Fmkg

mNcmLmmd S

En la figura se muestra es DCL de la porción de

fluido que ascendió entre las láminas


)1....(......................

2

...2

..2

.

0

dgh

ghdLL

gVL

gmlongitud

WF

F

S

S

S

S

S

y

Par calcular la fuerza de atracción mutua, se traza el

DCL de la placa izquierda tal como se muestra en la

figura.


285

La fuerza será

)2(...............................10

0

dLppF

AppF

Analizando la curvatura del menisco, se tiene

)3........(....................2

0dr

pp SS

Despejando la presión p, resulta

)4.........(..............................2

0d

pp S

La presión en la mitad del área mojada será

)5..(..............................2

..1

hgpp


)6......(....................2

.2

01

hg

dpP S


)7....(..............................

..2

2.

2

01

01

dpp

dgg

dpp

S

SS

Remplazando la ec (7) en la ec. (2), resulta.

)8(..........................................

2

..

2

2

2

00

dg

LF

dgL

dppF

S

SS

Remplazando los valores dados en el problema

resulta

.....Rta...............................N......... 13

10.10,08,91000

12,0073,023

2

F

F


286

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. En el fondo de un recipiente que contiene

mercurio hay un orificio circular de diámetro d

= 70 μm. ¿Cuál será el grosor máximo de la

capa de mercurio con el que este no saldrá por

el orificio?.

Rta. 21 cm

2. En un recipiente que contiene aire bajo una

presión p0 see encuentra una pompa de jabón de

diámetro d. La presión del aire se disminuyó

isotérmicamente en η veces y como resultado de

esto el diámetro de la pompa aumentó N veces.

Determinar el coeficiente de tensión superficial

del agua jabonosa.

Rta. 18

1

2

3

0

N

Ndp

S

3. ¿Cuál es la presión en una pompa de jabón de

diámetro d = 4 μm, que se encuentra a la

profundidad h = 5 m en el seno del agua. La

presión atmosférica p0 es normal.

Rta. 2,2 atm.

4. Hallar la diferencia de niveles del mercurio

contenido en dos capilares verticales que se

comunican entre sí y cuyos diámetros son d1

=0,5 mm y d2 = 1 mm, si el ángulo de contacto

es φ = 138º

Rta. 11 mm

5. Un capilar vertical cuyo diámetro interno es de

0,5 mm se sumergió en el agua de modo que la

longitud de la parte que no se sumió en ésta

resultó ser h = 25 mm. Determinar el radio de

curvatura del menisco.

Rta. mmhg

R S 6,0..

2

6. Una gota de agua cae uniformemente en el aire.

Determinar la diferencia entre los radios de

curvatura de la superficie de la gota en sus

puntos superior e inferior, la distancia entre los

cuales es h = 2,3 mm.

Rta. S

hgRR

8

.. 3

12

7. Hallar la fuerza de atracción de dos láminas de

vidrio paralelas que se encuentran a una

distancia de h = 0,1 mm, una vez que entre ellas

se introdujo una gota de agua de masa m = 70

mg. Considerar que la humectación es total.

Rta. Nh

mF S 1

.

22

8. Calcular el incremento de energía libre de la

capa superficial durante la fusión isotérmica de

dos gotas de mercurio idénticas de diámetro d =

1,5 mm cada una.

Rta. .5,112.2 3/12 JdE S

9. Estime el tamaño máximo de las gotas de agua

que pueden estar “suspendidas” en el techo. La

tensión superficial del agua es de 0,073 N/m.

Rta. R = 0,5 cm.

10. Hállese la tensión superficial de un líquido, si el

lazo de un hilo de goma con longitud L y

sección A, puesto sobre la película de líquido,

se extiende formando una circunferencia de

radio R después de que la película fue pinchada

dentro del lazo. El módulo elástico de la goma

es E.

Rta.

RLEA

12

2

1

11. Determínese la masa máxima de la unidad de

área de una placa que no se “hunde”, si se le

pone con cuidado sobre la superficie del agua.

La placa no es mojada por el agua

Rta. m = 0,546 gr/cm2.

12. Un areómetro flota en un líquido cuya densidad

es ρ = 800 kg/m3 y cuyo coeficiente de tensión

superficial es γS =30 dinas/cm. El líquido moja

perfectamente las paredes del areómetro. El

diámetro del tubo cilíndrico vertical de éste

último es de d = 9 mm. ¿Cuánto variará la

profundidad a que se sumerge el areómetro si,

por estar grasiento, el líquido no moja en

absoluto sus paredes?.

Rta.


287

13. Las películas de dos líquidos se dividen por un

tabique de longitud L. Los coeficientes de

tensión superficial de los líquidos son γ1 y γ2 ¿

Qué fuerza actúa sobre el tabique?.

Rta.

14. ¿En cuántas veces la densidad de la sustancia de

que está hecho un palito largo de sección

cuadrada supera la densidad del líquido, si el

palito flota en la superficie tal como se muestra

en la figura?.

Rta.

15. El radio de curvatura de una gota en su punto

superior es R. ¿Cuál será la masa de la gota, si

su altura es h y el radio de contacto de la misma

con el plano horizontal en el que “está sentada”

es igual a r?. La densidad del líquido es ρ, la

tensión superficial es γS. El líquido no moja al

plano.

Rta.

16. Dos láminas verticales, sumergidas

parcialmente en un líquido humectante, forman

una cuña con un ángulo muy pequeño, δφ. La

arista de la cuña se encuentra en Posición

vertical. La densidad del fluido es ρ, su

coeficiente de tensión superficial es γst y el

ángulo de contacto es θ. Calcule la altura h de

ascenso del líquido como función de la distancia

z medida desde la superficie libre del fluido

hasta el vértice de la cuña.

17. ¿Qué trabajo contra las fuerzas de tensión

superficial es necesario realizar con el fin de: (a)

dividir una gota esférica de mercurio con radio

de 3 mm en dos gotas idénticas; (b) aumentar

dos veces el volumen de una pompa de jabón

que tiene el radio de 1 cm?

Rta.

18. Obtenga una expresión para el ascenso capilar h

de un fluido en función de la densidad , el

coeficiente de tensión superficial γS , el ancho L

y ángulo de contacto θ entre dos placas paralelas

verticales separadas una distancia W, como se

muestra en la figura. ¿Cuál será el valor de h si

el fluido es agua con = 1000 kg/m3, γst = 0,073

N/m, W = 0,5 mm; L = 10 cm y la humectación

es total?. ¿Qué cantidad de calor se desprenderá

durante el ascenso del agua entre las placas?

19. Sobre cuatro esferas de mercurio, yacentes en el

plano horizontal, se ponen con cuidado una

placa cuadrada de la manera expuesta en la

figura. El radio de cada una de las esferas es de

1 mm, la masa de la placa es de 80 g y el

coeficiente de tensión superficial del mercurio

es 0,465 N/m. Suponiendo que el mercurio no

moja en absoluto, determine la distancia entre la

superficie horizontal y la superficie inferior de

la placa.

20. Hallar la fuerza de atracción de dos láminas de

vidrio paralelas y horizontales que se

encuentran separadas una distancia h = 0,10

mm, una vez que entre ellas se introdujo una

gota de agua de masa m = 70.10-6 kg. Considere

que el coeficiente de tensión superficial del agua

es 0,073 N/m, la densidad del agua es 1000

kg/m3 y que la humectación es total ( = 00)

Rta.

21. El mercurio forma un ángulo de 130° cuando

está en contacto con vidrio limpio. ¿A qué

distancia bajará el mercurio en un tubo capilar

vertical de 0,4 mm de radio?

Rta


288

22. Obtenga una expresión para la fuerza vertical

máxima requerida para levantar lentamente un

anillo de radio R desde un líquido cuyo

coeficiente de tensión superficial es γ.

Rta.

23. Dos placas planas se coloca como se muestra en

la figura con un ángulo pequeño α en un

recipiente abierto que contiene un poco de

líquido. La placas son verticales sube entre las

placas. Obtenga una expresión para la ubicación

h(x). de la superficie del líquido suponiendo que

la humectación es total.

Rta.

24. ¿Qué error relativo admitimos al medir la

presión atmosférica atendiéndonos a la altura de

la columna de mercurio, si el diámetro interior

del tubo barométrico es de 5 mm y el

coeficiente de tensión superficial del mercurio

es 0,465 N/m?.

Rta.

25. ¿ A qué altura ascenderá el líquido por un tubo

capilar cónico vertical con un ángulo en el

vértice α << 1?. La densidad del líquido es ρ y

el coeficiente de tensión superficial el γs. El

líquido moja por completo al capilar. La altura

del tubo capilar es H.

Rta.

26. ¿A qué altura ascenderá un líquido entre dos

placas verticales, que distan Δ, si el ángulo de

contacto para la primera es θ1 y para la segunda

es θ2?. La densidad de líquido es ρ y el

coeficiente de tensión superficial del líquido es

γs.

Rta.

27. Determínese las presiones mínima y máxima

dentro de una gota esférica de líquido que flota

en otro líquido. El centro de la gota dista de la

superficie libre del líquido h, el radio de la gota

es R, las densidades de los líquidos es ρ y la

tensión superficial en la superficie de separación

es γs.

Rta.

Capitulo IV. Tensión Superficial y Capilaridad

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