Captulo 2

Captulo 2PROBABILIDADESEstadstica Aplicada 1Qu es la Probabilidad?En forma muy simple, entenderemos como probabilidad la cuantificacin del grado de incertidumbre (posibilidad) sobre la ocurrencia de un resultado de cierto experimento. Un ejemplo de ello es: Al lanzar una moneda, puedo apostar a que sale cara y ganar?.Dicha cuantificacin la expresaremos en cantidades numricas mayores o iguales a cero y menores o iguales a uno. Tambin pueden ser expresadas como un porcentaje entre 0% y 100%.2Espacios muestrales y eventos3Ejemplo4Ejemplo5Algunas relaciones de teora de conjuntos6Definiciones7Diagrama de Venn

8EjercicioSean A, B y C tres eventos. Encuentre expresiones, y represntelas en un diagrama de Venn, en las que se cumpla que:slo A ocurra.A y B, pero no C, ocurran.al menos un evento ocurra.al menos dos eventos ocurran.los tres eventos ocurran.ninguno ocurra.a lo ms uno ocurra.a lo ms dos ocurran.

9Axiomas, interpretaciones y propiedades de probabilidad10Axiomas11Interpretacin de la probabilidadClsica: Al realizar un experimento todos los resultados (de ste) tienen la misma posibilidad de ocurrir. (EQUIPROBABILIDAD)Frecuentista: Si repetimos infinitas veces un experimento bajo las mismas condiciones ambientales y tabulamos los resultados, la columna de proporciones corresponde a las probabilidades.Subjetiva: La probabilidad de un resultado es asignado segn el grado de certeza de un individuo. Dos sujetos distintos asignan probabilidades distintas.

12Propiedades de Probabilidad13Resultados con probabilidades iguales14Regla de Laplace (caso discreto)15EjemploUn determinado producto qumico puede contener 3 productos txicos, A, B y C, que son motivo de sancin por el Ministerio de Medio Ambiente. Por la experiencia, se sabe que de cada 1000 unidades producidas aproximadamente 15 tienen el producto A, 17 el B, 21 el C, 10 el A y el B, 9 el B y el C, 7 el A y el C y 970 no contienen ninguno de los tres productos. Un inspector elige una unidad al azar. Calcular la probabilidad de que:La empresa sea sancionada (0,03).Slo se encuentre el producto A (0,001).Se detecten A y B (0,01).Se detecte A y no C (0,008).Se detecten A y B y no C (0,007).Se detecte a lo sumo uno de los tres productos (0,98).Se detecte ms de un producto (0,02).

16EjemploConsidere el experimento aleatorio, que consiste en el lanzamiento simultneo de dos dados no cargados (es decir, todos las caras del dado tienen la misma probabilidad de salir). Calcule la probabilidad de que la suma de los dados sea 9.17Regla de Laplace (caso continuo)EjemploRomeo y Julieta tienen una cita en una fecha y hora dadas, y cada uno tiende a retrasarse al horario fijado en un tiempo aleatorio entre 0 y 1 hora, donde todos los pares posibles de retraso son igualmente probables. El primero que llega a la cita espera al otro como mximo 15 minutos. Cul es la probabilidad de que la cita efectivamente se realice?

18Tcnicas de ConteoPrincipio Bsico Multiplicativo20Principio Bsico Aditivo21Principio General Multiplicativo22EjemploUna familia se ha cambiado a una nueva ciudad y requiere los servicios mdicos de un gineclogo, un pediatra y un cirujano. Hay dos clnicas mdicas accesibles, cada una con dos gineclogos, tres pediatras y dos cirujanos. La familia obtendr un mejor plan de salud si todos mdicos pertenecen a la misma clnica. Cuntas opciones tiene la familia de satisfacer sus requerimientos si desea obtener un mejorado plan de salud? 23Diagrama de rbol24Principio General Aditivo25EjemploUna persona desea comprar una lavadora, para lo cul ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric. Cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora Whirpool se presenta en dos tipos de carga (8 11 kg.), en cuatro colores diferentes y puede ser automtica o semiautomtica, mientras que la lavadora Easy, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 15 kg.), en dos colores diferentes y puede ser automtica o semiautomtica y la lavadora GE, se presenta en slo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y slo hay semiautomtica. Cuntas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?26Introduccin al anlisis combinatorio27Introduccin al anlisis combinatorio28Introduccin al anlisis combinatorio29Anlisis CombinatorioPrimeramente, definiremos ciertos criterios, los cuales nos permitirn discernir el tipo de modelo apropiado para el resolver el problema bajo estudio.Para relacionar y comprender con mayor rapidez las definiciones utilizaremos un ejemplo: Si tenemos un mazo de 52 cartas, y un jugador recibe 5 cartas de ese mazo, nos puede interesar cuntas manos distintas podra recibir. Es decir cuntas "combinaciones" se pueden formar con 5 cartas tomadas de entre 52.

30Anlisis CombinatorioLas cantidades: Es necesario determinar cuntos elementos hay en total, y cuntos vamos a tomar. En el ejemplo anterior, tomamos 5 elementos de 52.La naturaleza: Hay que determinar si estamos tomando todos los elementos disponibles, o slo algunos de ellos. Por ejemplo, tomando 5 cartas entre 52, importar cules tomamos (es decir, importa la naturaleza de la seleccin). En cambio, si solamente nos interesa de cuntas formas podemos ordenar 5 libros, no nos interesa la naturaleza, porque no tenemos que elegir determinados libros sino que vamos a estar trabajando con los 5 al mismo tiempo.

31Anlisis CombinatorioEl orden: Debemos determinar si nos interesa o no nos interesa el orden en que tomamos los elementos. Por ejemplo, si nos importa el orden, tirar un dado y sacar un 5 y luego un 3, no es lo mismo que sacar un 3 y luego un 5. Seran dos resultados distintos. En cambio si no nos importa el orden, sacar un 5 y luego un 3 un 3 y luego un 5 es lo mismo, y los dos casos constituirn un nico resultado. La repeticin: Se refiere a la posibilidad de elegir ms de una vez el mismo elemento. Por ejemplo, si en una caja hay una bolita blanca, una negra, y una violeta, y vamos a sacar dos, si lo hacemos con reposicin entonces habr repeticin, porque es posible sacar dos veces la misma bolita.

32EjemploMe gan un viaje al caribe para m y 2 amigos. Pero tengo 5 amigos, as que voy a tener que elegir a 2. Si voy a calcular cuntas decisiones distintas podra tomar, cules son los factores involucrados?

33EjemploMe gan un viaje al caribe para m y 2 amigos. Pero tengo 5 amigos, as que voy a tener que elegir a 2. Si voy a calcular cuntas decisiones distintas podra tomar, cules son los factores involucrados?

Las cantidades: Vamos a elegir 2 elementos de un total de 5.La naturaleza: Notamos que los 5 elementos son todos distinguibles entre s. Invitar a Juan no es lo mismo que invitar a Pedro. O sea, como no puedo elegir a todos, importa a cules elijo.El orden: En este caso el orden en que escoja los 2 elementos no importa. Invitar a Martn y a Nicols es lo mismo que invitar a Nicols y a Martn.Repeticin: Es ilgico pensar en que se puede elegir dos veces al mismo amigo. Deben ser dos personas distintas.

34EjemploUna habitacin tiene 4 paredes, y tengo 4 colores distintos para pintarlas. No voy a mezclar colores, y voy a pintar cada pared de un color distinto. Si voy a calcular de cuntas formas distintas puedo pintar la habitacin, cules son los factores involucrados?

35EjemploUna habitacin tiene 4 paredes, y tengo 4 colores distintos para pintarlas. No voy a mezclar colores, y voy a pintar cada pared de un color distinto. Si voy a calcular de cuntas formas distintas puedo pintar la habitacin, cules son los factores involucrados?

Las cantidades: Usaremos 4 colores de un total de 4. Es decir, todos los elementos posibles.La naturaleza: Los 4 elementos son todos distinguibles entre s. Usaremos todos los elementos, lo cual implica que no es importante "cules elementos" elijo.Orden: Observemos que si no importa cules elementos elegimos, lo nico que va a importar es el orden en que los elijamos. Elegir el rojo para la primera pared y el verde para la segunda no es lo mismo que elegir el verde para la primera pared y el rojo para la segunda. Ojo!Repeticin: No es posible elegir dos veces el mismo color. No hay repeticin.

36Modelamiento de Problemas37Permutacin Simple38EjemplosSuponga que a un cartero al final del da le quedan an por repartir 5 cartas (a 5 direcciones distintas). De cuntas maneras puede repartirlas?

Pedro tiene 6 libros y desea leerlos (de a uno a la vez). Cuntas opciones tiene, en cuanto al orden de lectura?39Variacin Simple40EjemplosPablo tiene 7 calcomanas distintas, y desea pegar una en el vidrio de adelante de su auto, y otra en el vidrio de atrs. Cuntas decisiones distintas puede tomar?

Supngase que un club consta de 30 miembros y que se ha de elegir de la lista de miembros un presidente y un secretario. De cuntas formas se puede elegir esta directiva, si una misma persona no puede ejercer ambos cargos?

41Combinacin Simple42EjemplosJos se gan un viaje al caribe para l y 2 amigos. Tiene 8 amigos y debe elegir slo a 2. Cuntas decisiones posibles puede tomar?

El conscripto Augusto tiene dos das francos por semana. Cuntas formas posibles tiene el comandante de asignarle los dos das francos?

43Permutacin Cclica o Circular44EjemplosUna familia de 5 personas (padre, madre y 3 hijos) se van a sentar a su mesa redonda a almorzar. De cuntas formas distintas pueden hacerlo?

Basndonos en la misma familia, de cuntas maneras pueden sentarse a la mesa si deseamos que el padre y la madre queden sentados juntos?

45Variacin con Repeticin46EjemplosSi lanzamos al aire cinco veces la misma moneda, cuntos resultados distintos pueden producirse?

Fernando est loco. A veces cree que es Napolen, a veces cree que es astronauta, y a veces cree que un da lo secuestraron los marcianos mientras estaba en la ducha. Si le hacen peritajes psicolgicos y le cuenta un delirio al doctor A y un delirio al doctor B (puede contarles a los dos el mismo delirio), de cuntas formas posibles pudo delirar en los peritajes psicolgicos?

47Combinacin con Repeticin48EjemplosHay una gran bolsa con caramelos surtidos, cuyos sabores son limn, naranja, frutilla y manzana. Nos dejan elegir dos caramelos. Cuntas opciones tenemos?

Juan recibi 2 cartas en una determinada semana. Si le preguntan en qu da o das de esa semana recibi cartas, de cuntas formas posibles puede responder?

49Permutacin con Repeticin50EjemplosHay que ubicar en la puerta del refrigerador 3 botellas de bebidas, 2 de agua y una de vino. De cuntas formas posibles de las puede disponer?

Diego decide organizar su semana: dedicar 3 das a trabajar, 2 a estudiar y 2 a descansar. Cuntas opciones tiene?

51Resumen Modelos Simples

52Resumen Modelos Compuestos

53La probabilidad condicional le da sentido a los resultados en un experimento donde se cuenta con informacin parcial.Probabilidad CondicionalEjemplosQu tan probable es que una mujer est embarazada si un test de embarazo arroj un resultado positivo?Un estudiante asisti a todas las clases de estadstica, qu tan probable es que apruebe la asignatura? Qu tan probable es que un vehculo se descomponga si no se le han realizado las mantenciones programadas?

5555Deduccin de la DefinicinConsideremos el experimento consistente en el lanzamiento de un dado, cuyos resultados son equiprobables. Si nos dicen que el resultado es un nmero par, entonces nuestros resultados posibles disminuyen a solamente 2, 4 y 6. Estos tres resultados posibles al comenzar el experimento eran igualmente probables, por lo que si incluimos la informacin parcial de que el resultado es par, stos deben seguir siendo igualmente probables.

5656Deduccin de la Definicin5757Definicin5858Propiedades de la probabilidad condicional5959Ejemplo6060Solucin6161Regla de la multiplicacin6262Ley de Probabilidad Total6363Ley de Probabilidad Total

64Teorema de Bayes65EjemploSlo 1 de cada 1.000 adultos est afectado por una rara enfermedad, para la cual se ha desarrollado una prueba de diagnstico. Durante la prueba, cuando un individuo padece la enfermedad, presentar un resultado positivo el 99% de las veces, mientras que un individuo sin la enfermedad mostrar un resultado de prueba positivo slo el 2% de las veces. Si se hace una prueba en un individuo seleccionado al azar, y el resultado es positivo, cul es la probabilidad de que el individuo tenga la enfermedad?66Ejemplo67Independencia68EjemploTres componentes con confiabilidades:c1 = 0,92, c2 = 0,95 y c3 = 0,975 son puestos en serie.Un cuarto componente con confiabilidad c4 = 0,96 puede ser ubicado en paralelo con cualquier de los otros tres componentes. Dnde debera ser ubicado el cuarto componente si se desea maximizar la confiabilidad del sistema completo?.69