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CAPÍTULO I CONJUNTOS 1.1 CONCEPTOS BÁSICOS Llamaremos conjunto a un objeto matemático que no definiremos pero que utilizaremos con la noción intuitiva que la misma palabra nos precisa, como colección de objetos que pueden ser de carácter abstracto o concreto. Dichos objetos constitutivos del conjunto serán denominados elementos. Para definir un conjunto hay que precisar cuáles son los elementos que lo componen, y ello puede ser hecho en forma explícita, o sea enumerando cada uno de ellos, o bien enunciando la o las propiedades que deben cumplir ; en el primer caso los conjuntos se dicen definidos por extensión, y en el segundo, por comprensión o propiedad .Si un elemento está en un determinado conjunto diremos que pertenece a dicho conjunto, en caso contrario, cuando no está en el conjunto, diremos que no pertenece a él . Designaremos a los conjuntos con letras de imprenta mayúsculas : A , B, C, D, E, N, R, etc., y a los elementos con letras minúsculas : a, b ,c ,d ,e, j, x, y, etc. Para indicar que un determinado elemento a pertenece a un conjunto B, escribiremos a∈B, y para decir que a no pertenece al conjunto B, escribiremos a∉B. Al conjunto que no contiene ningún elemento lo llamaremos conjunto vacío, y lo designaremos con el símbolo φ . 1.1.1 Ejemplos:

1- A ={ x / x es un número natural par }, conjunto definido por comprensión.

2- B ={ 2, 4, 6, 8, 10, 12 } , conjunto definido por extensión.

3- C ={ x / x es ciudad de la Argentina }, conjunto definido por comprensión

4- D ={ La Plata, Bariloche, Santa Rosa, Posadas, Mar del Plata, San Rafael } , conjunto definido por extensión.

5- 6∈A , 6 ∈B , 24∈A , 18∉B , 7∉A, 7∉B 6- Buenos Aires∈C , Buenos Aires∉D , Bariloche∈C , Bariloche∈D.

Nota: Para poder definir un conjunto por extensión es necesario que tenga una cantidad finita de elementos, y, aunque teóricamente sea posible para cualquier cantidad finita, desde un punto de vista práctico también se necesita que la cantidad de elementos sea razonablemente chica. Con frecuencia, representamos gráficamente los conjuntos por los llamados Diagramas de Venn.

a∈A , b∈A , f∉A , e∈B

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1.2 INCLUSIÓN La inclusión es una relación entre dos conjuntos; dos conjuntos cualesquiera pueden o no estar relacionados por inclusión. 1.2.1 Definición: Diremos que el conjunto A está incluido ( contenido, es parte de) en el conjunto B si todo elemento de A es también elemento de B. En símbolos: A⊂ B si y sólo si BxAxx ∈⇒∈∀ / También se utiliza la expresión : B incluye o contiene al conjunto A, AB ⊃ .

Entonces, si A no está contenido en B, significa que no todo elemento de A es elemento de B, o sea, que hay un elemento, al menos, de A que no es elemento de B., así BA ⊄ si y sólo si /x x A x B∃ ∈ ∧ ∉ 1.2.2 Ejemplos: En los conjuntos del ejemplo 1.1.1 AB ⊂ , CD ⊂ , BA ⊄ , DC ⊄ 1.2.3 Generalmente, cuando definimos un conjunto por comprensión, indicamos la o las propiedades que cumplen los elementos que están en el conjunto, y esos elementos los presuponemos de un conjunto referencial mayor, un conjunto que contiene a todos los conjuntos de los que hablamos, a ese conjunto lo denominamos universal, y lo designaremos A 1.2.4 Igualdad entre conjuntos: Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos, o sea, si todo elemento de A lo es de B, y recíprocamente, todo elemento de B lo es también de A.

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A = B si y sólo si A B B A⊂ ∧ ⊂ Luego A es distinto de B , o A no es igual que B, si existe un elemento en A que no es elemento de B o algún elemento de B que no lo es de A. BA ≠ si y sólo si A B B A⊄ ∨ ⊄

1.2.5 Propiedades de la inclusión:

i) reflexiva : ,A A A∀ ⊂ ii) antisimétrica : A B B A A B⊂ ∧ ⊂ ⇒ = iii) transitiva : A B B C A C⊂ ∧ ⊂ ⇒ ⊂ iv) φ A⊂ A∀ Demostraremos, a modo de ejemplo, las propiedades, iii) y iv)

Demostración : iii) Hipótesis : A B B C⊂ ∧ ⊂ , debemos demostrar que CA ⊂ , por lo tanto , tenemos que ver que todo elemento de A es elemento de C. Sea, entonces, Ax ∈ , como BA ⊂ , entonces Bx ∈ , pero CB ⊂ , luego si Bx ∈ entonces Cx ∈ , así si x A x C∈ ⇒ ∈ , luego CA ⊂ , como queríamos demostrar.

iv) Para ver que A⊂φ , cualquiera sea el conjunto A, debemos preguntarnos

qué pasaría si hubiera un conjunto A que no contuviera al conjunto φ . Por definición , si eso ocurriera, deberíamos encontrar algún elemento x tal que x φ∈ x A∧ ∉ , pero eso es imposible porque no hay ningún φ∈x , luego no ocurre jamás que haya algún elemento en el conjunto vacío que no esté en A, simplemente porque no hay ningún elemento en el vacío, por lo tanto la condición para que A⊄φ no se verifica, luego se cumple su negación, y A⊂φ , y esto es sea cual fuere el conjunto A.

1.3 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Las operaciones binarias entre conjuntos nos permiten definir un nuevo conjunto a partir de otros dos. Ellas son unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica. Existe otra operación, a veces llamada unaria, que nos define un conjunto a partir de otro; éste es el caso del complemento. 1.3.1 UNIÓN 1.3.1.1 Dados dos conjuntos A y B, llamamos BA ∪ (A unión B) al conjunto que tiene como elementos los elementos de A y los elementos de B.

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En símbolo BA ∪ = { x/ x A∈ ∨ x }B∈ Así tenemos que x∈A∪ B ⇔ x∈A ∨ x∈B. Luego x∉ A∪ B ⇔ x∉A ∧ x∉B Diagrama de Venn de A∪B:

1.3.1.2 Ejemplos: A es el conjunto de números naturales , A = ℕ

1) A = { x / x ≤ 6 }

B = { 1, 3, 5, 7, 9 }

A∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 }

2) C = { x / x es múltiplo de 5 }

D = { x / x es divisible por 3 }

C∪ D = { x / x es divisible por 5 o es divisible por 3 }

3) E = { x / x divide a 100 }

F = { x / x es par ∧ x ≤10 }

E∪ F = { 1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 20, 25, 50, 100 }

1.3.1.3 Propiedades de la unión

i) asociativa : CBACBA ∪∪=∪∪ )()(

ii) conmutativa : BA ∪ = B A∪ iii) A⊂ BA ∪ y B⊂ BA ∪ iv) BA ∪ =B si y sólo si BA ⊂ en particular : φ=∪ AA , φ∪A = A , ∪A A =A , A∀

Demostración : Se deja como ejercicio

1.3.2 INTERSECCIÓN

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1.3.2.1 Dados dos conjuntos A y B, llamamos BA ∩ (A intersección B), al conjunto de los elementos que están simultáneamente en A y en B. En símbolos : BA ∩ = { x/ x∈A ∧ x∈B } Así tenemos que x∈ BA ∩ ⇔ x∈A ∧ x∈B. Luego x∉ BA ∩ ⇔ x∉A ∨ x∉B Diagrama de Venn de A∩B:

Dos conjuntos A y B se dicen disjuntos si BA ∩ = φ

1.3.2.2 Ejemplos: Para los conjuntos dados en 1.3.1.2

1) BA ∩ = { 1, 3, 5 } 2) C∩ D = { x/ x es divisible por 15 } 3) E∩ F = { 2, 4, 10 }

1.3.2.3 Propiedades de la intersección

i) asociativa : )( CBA ∩∩ = CBA ∩∩ )( ii) conmutativa : BA ∩ = B A∩ iii) A∩ B⊂ A ∧ A∩ B⊂ B iv) BA ∩ = A si y sólo si BA ⊂

en particular : AA ∩ = A , φ∩A =φ , ∩A A = A , A∀ Demostración: Demostraremos, a modo de ejemplo, la iv)

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Esta propiedad afirma que son equivalentes dos proposiciones: A∩ B= A ∧ A⊂ B, por lo tanto debemos demostrar dos implicaciones: A∩ B = A ⇒ A⊂ B, y la recíproca: A⊂ B ⇒ A∩ B = A ⇒ ) Comencemos con la primera. Debemos demostrar que A⊂ B con la hipótesis que A∩ B = A. Para demostrar esta inclusión hay que tomar un elemento genérico de A y ver si también está en B. Sea entonces x∈A, como A∩ B = A , entonces x∈ A∩ B , luego x∈A ∧ x∈B, así x∈B , que es lo que queríamos probar . Luego A⊂ B. ⇐ ) Demostremos la segunda implicación. Ahora nuestra hipótesis es que A⊂ B, y con ella debemos ver que se verifica la igualdad de los conjuntos A y A∩ B. Para demostrar una igualdad entre dos conjuntos debemos probar que cada uno de ellos está incluido en el otro. La inclusión A∩ B⊂ A se verifica siempre, así que aquí no hay nada para demostrar. Veamos que A⊂ A∩ B, ahora sí usando la hipótesis: Sea x∈A, como A⊂ B, entonces x∈B, luego x∈A ∧ x∈B, así x∈ A∩ B, por lo tanto A⊂ A∩ B. Los casos particulares provienen de las relaciones A⊂ A, ⊂φ A y A⊂ A respectivamente 1.3.2.4 Tenemos, además, una propiedad que vincula ambas operaciones: la distributividad. La unión es distributiva respecto de la intersección, y la intersección es distributiva respecto de la unión; en símbolos: A∪ (B∩ C) = (A∪ B) ∩ (A∪ C) A∩ (B∪ C) = (A∩ B) ∪ (A∩ C) 1.3.3 DIFERENCIA 1.3.3.1 Dados dos conjuntos A y B, llamamos A - B ( A menos B ) al conjunto: A - B = { x / x ∈A ∧ x ∉B } Así tenemos que x∈ A - B ⇔ x ∈A ∧ x ∉B, Luego x∉ A - B ⇔ x ∉A ∨ x ∈B

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Diagrama de Venn de A – B :

1.3.3.2 Ejemplos: Para los conjuntos dados más arriba 1) A - B = { 2, 4, 6 }

2) A - B = { x / x es divisible por 5 pero no por 3 }

3) A - B = { x / x divide a 100 y además x es impar o x > 10 } =

= { 1, 5, 20, 25, 50, 100 } 1.3.3.3 Propiedades de la diferencia

i) A - B = A ⇔ A ∩ B = φ , en particular A -φ = A ii) A - B = φ ⇔ A⊂ B , en particular : φ - A = φ , A – A = φ

Demostración : Se deja como ejercicio 1.3.3.4 Nota: La diferencia no es una operación asociativa: A - ( B – C ) ≠ ( A – B ) - C (en general) ni conmutativa : (en general ) A - B ≠ B - A, se puede afirmar más A - B y B - A son conjuntos disjuntos. Para demostrar las dos primeras afirmaciones, sólo debemos buscar ejemplos de conjuntos A, B, C, en el primer caso, y A , B en el segundo para los cuales no se verifiquen las igualdades . 1.3.3.5 Ejemplos: A = { 1, 2, 4, 7, 9, 12, 18, 23 }

B = { x / x es par ∧ x < 30 }

C = { x / x ∈ ℕ ∧ 7 < x < 36 }

A - B = { 1, 7, 9, 23 }

B - C = { 2, 4, 6 }

A - ( B – C ) = { 1, 7, 9, 12, 18, 23 }

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( A – B ) - C = { 1, 7 } Claramente se observa que: A - ( B – C ) ≠ ( A – B ) - C Ejercicio para pensar: ¿ se verifica siempre alguna de las dos inclusiones?, ¿o nunca?, ¿o a veces ?. Cualquiera sea la respuesta que dé, justifíquela. Para la segunda afirmación calculamos B - A B - A = { 6, 8, 10, 14, 16, 20, 22, 24, 26, 28 } Aquí también se observa que: A - B ≠ B - A Ahora debemos demostrar que ( A – B ) ∩ ( B – A ) = φ Si no fuese así, existiría un elemento x ∈( A – B ) ∩ (B – A ), Luego x ∈ A - B ∧ x ∈ B - A Así x ∈A ∧ x ∉B ∧ x ∈ B ∧ x ∉A, Lo que claramente es una contradicción, que provino de la suposición: ( A – B ) ∩ ( B – A ) ≠ φ , por lo tanto ( A – B ) ∩ ( B – A ) = φ . 1.3.4 COMPLEMENTO Esta operación es llamada unaria porque, a diferencia de las anteriores, no se obtiene un nuevo conjunto a partir de otros dos, sino de uno solo.

1.3.4.1 Dado un conjunto A, se llama A (complemento de A), al conjunto formado por todos los elementos que no están en A (considerados éstos en un conjunto Universal predeterminado).

A = { x / x∉A }

Diagrama de Venn de A :

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Claramente se observa que el complemento de A se puede pensar como una diferencia, puesto que:

A = A – A 1.3.4.2 Ejemplos: Sea A = ℕ (conjunto de números naturales) A = { x / x es múltiplo de 6 }

B = { x / x es par }

C = { 1, 2, 3, 4, 6, 7 }

A = { x / x no es divisible por 2 ∨ x no es divisible por 3 }

B = { x / x es impar }

C = { x / x > 7 ∨ x = 5 } 1.3.4.3 Propiedades del complemento

i) A = A

ii) φ = A ∧ A = φ

iii) Leyes de De Morgan: BA ∪ = A ∩ B

BA ∩ = A ∪ B

iv) A⊂ B B⇔ A⊂ Demostración : Se deja como ejercicio 1.3.5 DIFERENCIA SIMÉTRICA 1.3.5.1 Esta operación se define a partir de otras anteriores: A ∆ B = ( A∪ B) – ( A∩ B) Luego un elemento pertenece a la diferencia simétrica de A y B ( A ∆ B ) si pertenece a uno de ellos, pero no a ambos. Diagrama de Venn de A∆ B:

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1.3.5.2 Ejemplos: 1) A = { x / x ≤ 6 }

B = { 1, 3, 5, 7, 9 }

A ∆ B = { 2, 4, 6, 7, 9 } 2) C = { x / x es múltiplo de 5 }

D = { x / x es divisible por 3 }

C ∆ D = { x / x es múltiplo de 3 o de 5, pero no de 15 } 3) E = { x / x divide a 100 }

F = { x / x es par ∧ x ≤ 10 }

E ∆ F = { 1, 5, 6, 8, 20, 25, 50, 100 } 1.3.5.3 Propiedades de la diferencia simétrica i) Asociativa: A ∆ (B ∆ C) = (A ∆ B) ∆ C ii) Conmutativa: A∆ B = B ∆ A iii) A ∆ A = φ , A φ∆ = A iv) Distributiva respecto de la intersección: (A ∆ B) ∩ C = (A ∩ C) ∆ (B ∩ C) Demostración : Se deja como ejercicio Ejercicio para pensar : ¿Se verifica la propiedad distributiva de la diferencia simétrica respecto de la unión?, o sea, ¿es verdadero o falso que: (A ∆ B) ∪ C = (A ∪ C)∆ (B ∪ C) ? Justificar la respuesta. 1.3.5.4 Teorema: Cualesquiera sean los conjuntos A y B, se verifica:

i) A ∆ B = ( A – B ) ∪ ( B – A )

ii) A ∆ B = ( A B∩ ) ∪ ( B A∩ ) Demostraremos i) a modo de ejemplo Demostración:

Como debemos demostrar una igualdad entre dos conjuntos, debemos probar dos inclusiones: A ∆ B ⊂ (A – B ) ∪ (B – A ) ∧ (A – B ) ∪ (B – A ) ⊂ A ∆ B.

Para la primera, sea x ∈ A ∆ B, entonces x ∈ A ∪ B ∧ x ∉ A ∩ B. Como x ∈ A ∪ B, entonces x ∈A ∨ x ∈B. Si x ∈A entonces x ∉B, pues x ∉ A ∩ B, ⇒ x ∈ A - B

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y si x ∈B entonces x ∉A, por la misma razón, ⇒ x∈ B - A. Luego x ∈ A - B ∨ x ∈ B - A ⇒ x ∈ (A – B ) ∪ (B – A ). Por lo tanto A ∆ B ⊂ (A – B ) ∪ (B – A ). Para la segunda inclusión, sea x ∈ (A – B ) ∪ (B – A ), entonces x ∈ A - B ∨ x ∈ B - A, luego (x ∈A ∧ x ∉B) ∨ ( x ∈B ∧ x ∉A), así ( x ∈A ∨ x ∈B) ∧ ( x ∉A ∧ x ∉B). Luego x ∈ (A ∪ B) - (A ∩ B) = A ∆ B. Por lo tanto ( A – B ) ∪ ( B – A ) ⊂ A ∆ B. Como hemos demostrado ambas inclusiones, podemos afirmar que : A ∆ B = ( A – B ) ∪ ( B – A ) 1.4 CONJUNTO DE PARTES DE UN CONJUNTO 1.4.1 Definición: Llamaremos conjunto de partes de un conjunto A , al conjunto cuyos elementos son los subconjuntos de A. En símbolos P(A) = { X / X⊂ A } Observación: φ ⊂ A y A⊂ A ∀ A, por lo tanto φ ∈P(A) ∧ A∈P(A) ∀ A.

Por consiguiente, excepto en el caso en que A = φ , P(A) tiene, al menos, dos

elementos; en particular siempre es P(A) ≠ φ .

P(φ ) = { }φ , conjunto de un solo elemento, o unitario, puesto que el único subconjunto del conjunto φ , es él mismo. 1.4.2 Ejemplos:

1) A= {1, 2, }3 ,

P(A) = {φ , { }1 , { }2 , { }3 , { }1,2 , { }1,3 , { }2,3 , {1, 2, }}3

2) B = { }a ,

P(B) = { }{ },a φ

3) C = { }φ

P(C) = { }{ },φ φ

Observe que el conjunto C del ejemplo 3) no es el conjunto vacío, es el conjunto unitario (como lo es también B del ejemplo 2) cuyo único elemento es el conjunto vacío, y por ello P(C) tiene dos elementos, como P(B), y no uno solo

como P(φ ).

1.4.3 Propiedades i) Si A⊂ B ⇒ P(A)⊂ P(B)

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ii) P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A ∪ B) , ¿se verifica la igualdad?. Justifique.

iii) P(A)∩P(B) = P(A∩ B)

iv) P ( A – B ) ⊂ P(A) - P(B), ¿vale la igualdad?. Justifique la respuesta. Demostración : Se deja como ejercicio 1.5 UNIONES E INTERSECCIONES GENERALIZADAS Así como hemos definido la unión y la intersección entre dos conjuntos, podemos extender estas definiciones a cualquier familia finita de conjuntos, e incluso, a cualquier familia infinita. Por ejemplo si tenemos tres conjuntos A, B, C : A ∪ B∪ C = { x / x∈A ∨ x∈B ∨ x∈C }

A ∩ B∩ C = { x / x∈A ∧ x∈B ∧ x∈C } Si tenemos una sucesión finita de conjuntos A1 , A2 , A3 , ……,An , donde n es cualquier número natural:

A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ …….∪ An = 1

n

ii

A=∪ = { x / ∃ i, i= 1,...,n tal que x ∈ }iA

En otras palabras, 1

n

ii

A=∪ es el conjuntos de los elementos que están en cada uno

de los Ai .

A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ …∩ An =1

n

ii

A=∩ = { x / x∈Ai ∀ i , i=1,…, }n .

Luego 1

n

ii

A=∩ está constituido por los elementos que pertenecen simultáneamente

a todos los Ai . Si tenemos una familia cualquiera de conjuntos (Ai)i∈ I , donde I es un conjunto de índices ( I podría ser el conjunto de Números Naturales, un conjunto finito, o cualquier otro conjunto infinito), definimos: i

i I

A∈∪ = { x / x ∈ Ai para algún i∈ I } ={ x / ∃ i∈ I tal que x ∈ }iA

ii I

A∈∩ ={ x / x∈Ai ∀ i ∈ }I .

1.5.1 Ejemplos: Ai = [ ], 1i i + (intervalo real) , i =1,…,n

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1

n

ii

A=∪ =[ ]1, 1n + ,

1

n

ii

A=∩ = φ

Bn = 1 1,

n n −

, n∈ ℕ

[ ]1, 1ii

B∈

= −ℕ

∪ , ii

B∈ℕ∩ = { }0

Cn = 1 1

1 , 1n n

− + − , n∈ ℕ , ( )1, 1i

i

C∈

= −ℕ

∪ , ii

C∈ℕ∩ = { }0

1.6 PRODUCTO CARTESIANO Sean a y b dos elementos (del mismo conjunto o no), se puede formar el conjunto { }ba, que los tiene a ambos como elementos; en este conjunto importan los

elementos a y b pero no el orden en que éstos figuren, puesto que { }ba, = { },b a .

Si nosotros necesitamos, no sólo especificar los elementos, sino también el orden en que aparecen, debemos definir otro conjunto que dependa de los elementos a y b y también del orden en que sean tomados. 1.6.1 Definición: dados dos elementos a y b , llamaremos par ordenado ab (de

primer elemento a y de segundo elemento b ) al conjunto { } { }{ }, ,a a b .

Designaremos al par ordenado ab con el símbolo (a, b)

Claramente (a, b)≠ (b, a) puesto que los conjuntos { } { }{ }, ,a a b y { } { }{ }, ,b a b

son distintos ya que { }a ∈ { } { }{ }, ,a a b y { }a ∉ { } { }{ }, ,b a b , cuando a ≠ b ,

como así también { }b ∈ { } { }{ }, ,b a b y { }b ∉ { } { }{ }, ,a a b .

Por la definición anterior (a, a) = { } { }{ }, ,a a a = { }{ }a .

En el par ordenado (a, b), a se denomina primera coordenada y b segunda coordenada del par. 1.6.2 Observación importante: A partir de la definición podemos establecer las condiciones necesarias y suficientes para la igualdad entre pares ordenados:

(a, b) = (c, d) si y sólo si a = c ∧ b = d

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Demostración: ⇒ ) Supongamos que (a, b) = (c, d), por definición de par ordenado, esto significa

que: { } { }{ }, ,a a b = { } { }{ }, ,c c d .

Si a = b entonces { } { }{ }, ,a a b = { }{ }a , o sea un conjunto unitario, de donde,

por la igualdad supuesta, { } { }{ }, ,c c d también debe ser unitario, luego { }c = { },c d ,

lo que implica que c = d . Como (a, a) = { }{ }a y (c, c) = { }{ }c , y por ser

(a, a) = (c, c) por hipótesis, tenemos que { }{ }a = { }{ }c , de donde { }a = { }c , y

así a = c, como queríamos probar.

Sea ahora a ≠ b , como { } { }{ }, ,a a b tiene dos elementos, por la igualdad

supuesta, { } { }{ }, ,c c d también debe tener dos elementos, luego { },c d ≠ { }c

entonces c ≠ d.

De la igualdad { } { }{ }, ,a a b = { } { }{ }, ,c c d sabemos que { }a ∈ { } { }{ }, ,c c d , y

como este conjunto tiene dos elementos, debe ser { }a = { }c o { }a = { },c d .

Como ya vimos que { },c d tiene dos elementos { }a = { },c d es imposible, luego

{ }a = { }c , de donde a = c. Por otra parte, de la igualdad afirmada en la hipótesis,

tenemos que { }ba, ∈ { } { }{ }, ,c c d = { } { }{ }, ,a a b , y por ser { }ba, un conjunto

de dos elementos y { }a uno unitario, no pueden ser iguales, luego { }ba, = { },a d ,

y como b ≠ a, debe ser b = d, como queríamos demostrar. ⇐ ) Esta implicación es trivial, pues si a = c y b = d, se verifica que { }a = { }c

y { }ba, = { },c d , luego { } { }{ }, ,a a b = { } { }{ }, ,c c d , o lo que es lo mismo

(a, b) = (c, d). Así podemos afirmar que: (a, b)≠ (c, d) si y sólo si a≠ c ∨ b ≠ d. 1.6.3 Definición: Sean los conjuntos A y B, llamamos producto cartesiano de A por B , al conjunto: A× B={ }( , ) /a b a A b B∈ ∧ ∈

1.6.4 Ejemplos:

1) A= { }ba, ; B= { }3,2,1

A× B = { ,(a 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b , })3

B× A = { 1( , a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, })b

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2) C = { }1 ; D ={ }5,1

C× D = { ,1( 1), (1, })5

D× C = { ,1( 1), (5, })1 1.6.5 Propiedades

i) A× B=φ ⇔ A=φ ∨ B=φ ii) A’⊂ A y B’⊂ B ⇔ A’× B’⊂ A× B iii) (A∪ B) × C = (A× C)∪ (B× C) iv) (A∩ B) × C = (A× C)∩ (B× C) v) (A - B) × C = (A× C) - (B× C)

vi) BA× = ( A × B )∪ ( A × B)∪ (A× B )

Demostración : Se deja como ejercicio 1.6.6 Representación gráfica: Usualmente se representa el producto cartesiano de dos conjuntos A× B en un sistema de dos ejes cartesianos, en el cual el eje horizontal, o de las abscisas se utiliza para indicar los elementos de A, y el vertical, o de ordenadas, los de B.

Ejercicios

1.- Dado el conjunto { } { }{ }1, 2, 3 , 1, 2 , 1 ,A = − determinar cuáles de las siguientes

afirmaciones son verdaderas. Justificar. i) 3 A∈ ii) { }1, 2 A⊂ iii) { }1, 2 A∈

iv) { }3 A⊂ v) { }{ }3 A⊂ vi) φ ∈ A

vii) φ ⊂ A viii) { }1, 2, 1− A∈ ix) { }1, 2− ⊂A

2.- Determinar si A B⊂ en cada uno de los siguientes casos. Justificar.

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i) { }1, 2, 9A = { }{ }1, 2, 3 , 3B = −

ii) { }1, 2, 0, 1, 2A = − − { }/ 3 1B x x= ∈ + ≤ℝ

iii) { }1, 2, 9A = { }1, 2, 3, 4, 5B =

iv) A = {φ } B = φ

v) { }/ 2 3A x x= ∈ < <ℝ { }2/ 3B x x= ∈ <ℝ

3.- Dados los conjuntos: A = { }/n n es par∈ℕ B = { }/n n es impar∈ℕ C = { }/ 0 1x x∈ ≤ ≤ℝ

D = { }/ 10n n es impar n∈ ∧ <ℕ

E = { } { }/ 1, 2 0, 1, 2n

q q con m nm

∈ = ∈ ∧ ∈ ℚ

a) ¿ Cuáles de ellos pueden ser definidos por extensión ? b) Realizar las siguientes operaciones describiendo, cuando sea posible, la solución por

extensión: i) A ∩ B ii) A ∪ B iii) A ∩ E iv) E ∩ C

v) ℚ ∆ E vi) ℝ - C v) A ∆ B vii) C ∆ E 4.- Dados A, B y C conjuntos de un conjunto universal A , demostrar cada una de las siguientes Leyes del Álgebra de Conjuntos: Leyes idempotentes i-a) A ∪ A = A i-b) A ∩ A = A Leyes de asociatividad ii-a) A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C ii-b) A ∩ ( B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C Leyes conmutativas iii-a) A ∪ B = B ∪ A iii-b) A ∩ B = B ∩ A Leyes distributivas iv-a) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) iv-b) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) Leyes de identidad v-a) A ∪ φ = A v-b) A ∩ A = A vi-a) A ∪ A = A vi-b) A ∩ φ = φ Leyes de complementos

vii-a) A A∪ = A vii-b) =∩ AA φ viii-a) A A=

viii-b) A = φ ∧ φ = A

Leyes de De Morgan: ix-a) ( ) BABA ∩=∪ ix-b) ( ) BABA ∪=∩

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5.- Sean A, B conjuntos, probar que: i) BBAABA ⊃∪∧⊃∪ ii) BBAABA ⊂∩∧⊂∩

iii) =∩ BA φ ⇔ BA ⊂ iv) ( ) ( )A B A B B A∆ = − ∪ −

v) ABBBAABABA ⊂⇔=∪⇔=∩⇔⊂ vi) A B φ∩ = ⇔ A B∆ A B= ∪

vii) A B A Bφ∆ = ⇔ = viii) ( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∆ = ∩ ∆ ∩

6.- Usando el diagrama de Venn, conjeturar cuáles de las siguientes afirmaciones pueden ser verdaderas y demostrarlas. En los casos que se consideren falsas, verificarlo con algún ejemplo:

i) ( ) ( ) ( )A B C A C B C∪ − = − ∪ − ii)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

A B C A B C

A B C A B C

A B C A B C

− − ⊂ − −

− − ⊃ − − − − = − −

iii) A - B = A ⇔ B = φ

iv) ( ) ( )A B A B A B∆ ⊂ ∩ ∪ ∩ , ( ) ( )A B A B A B∆ ⊃ ∩ ∪ ∩ ,

( ) ( )A B A B A B∆ = ∩ ∪ ∩

v) A B A B B A∆ = − ⇔ ⊂ vi) A B C B C A B A C∪ ∪ = ∪ ⇔ ⊂ ∨ ⊂ 7.- Realizar las siguientes operaciones para los conjuntos A, B , C, D y E del ejercicio 3, haciéndolo por extensión cuando sea posible, y realizar un gráfico también cuando sea posible: i) D × ℕ ii) C × C iii) C × ℝ iv) E × E v) B × B vi) C × { }0, 1 vii) A × { }0 viii) C × C× C ix) { } { } { }0, 1 0, 1 0, 1× ×

8.- Probar que, para A, B y C conjuntos: i) ( ) CBCACBA ×∪×=×∪ ii) ( ) CBCACBA ×∩×=×∩

iii) ( ) ( ) ( )CBCACBA ×−×=×− iv) ( ) ( ) ( )A B C A B A C× ∆ = × ∆ ×

v) A × B= φ ⇔ A = φ ∨ B = φ vi) BABABBAA ×⊂×⇒⊂⊂ ''','

vii) A ≠ φ , B ≠ φ , ABBABA ×≠×⇒≠ ; ¿ cuándo es ( ) ( ) ≠×∩× ABBA φ ? 9.- Para los conjuntos U ={ }/iA i I∈ que se indican, calcular:

{ }/ :i

i i iA i I

A A x i I x A∈ ∈

= = ∃ ∈ ∈∪ ∪U

y { }/i

i i iA i I

A A x x A i I∈ ∈

= = ∈ ∀ ∈∩ ∩U

i) I = { }4, 5, 6, 10 , Ai = { }/d d divide a i∈ℕ

ii) I = ℕ , Ai = { }1, 2,...., i

iii) I = ℚ , Ai = { }i2,0 10.- Hallar los conjuntos de partes de los siguientes conjuntos: i) A = { }2, 3, 4 ii) B = { },a b iii) B× B

iv) φ v) P (φ ) vi) P (B)

11.- Demostrar que ⇒⊂ BA P(A)⊂ P(B)

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12.- Analizar la veracidad o falsedad de:

i) P(A ∪ B)= P(A)∪P(B) ii) P(A∩ B)= P(A)∩ P(B)

iii) =∩ BA φ ⇒ P(A)∩P(B) = φ iv) P(φ ) = φ

v) P(A) ≠ φ ⊂∀ A A (A universo dado) vi) P ( A – B ) = P(A) - P(B) 13.- Demostrar las siguientes propiedades del producto cartesiano de conjuntos: i) A × B = φ ⇔ A = φ ∨ B =φ ii) A’⊂ A ∧ B’⊂B ⇔ A’× B’ ⊂ A× B iii) (A∪ B) × C = (A× C)∪ (B× C) iv) (A∩ B) × C = (A× C)∩ (B× C) v) ( A – B ) × C = (A× C) - (B× C)

vi) BA× = ( A × B )∪ ( A × B)∪ (A× B ) Bibliografía: Oubiña,L.: Introducción a la Teoría de Conjuntos. EUDEBA.1965. Godement,R.: Álgebra. Ed. Tecnos- Madrid. 1967. Herstein,N: Álgebra Moderna. Ed. Trillas-México. 1973. Birkhoff,G y MacLane,S: Álgebra Moderna. Vincens Vives- Barcelona. 1963. Halmos,P.: Teoría Intuitiva de los Conjuntos. CECSA.1965.