UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID

VIGAS

Carlos Navarro

Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras

VIGAS LAMINADAS

VIGAS LAMINADAS

Hipótesis:

1.- Se supone aplicable la hipótesis de Euler-Bernoulli: Las seccionesplanas transversales y ortogonales a la directriz (plano medio dellaminado) permanecen planas y ortogonales a la directriz una vezque la viga haya flectado.

2.- La viga es simétrica, tanto en geometría como en propiedades, respecto de su plano medio

3.- Cada lámina presenta un comportamiento lineal, no existiendoacoplamiento entre tensiones normales y deformaciones angulares(las posibles orientaciones de las láminas son 0º o 90º)

VIGAS LAMINADAS

Hipótesis (Cont.):

4.- La láminas trabajan solidariamente unas con otras

5.- Las únicas componentes tensionales no nulas son: σx y τxz

VIGAS LAMINADAS

1

izi

zi-1

z0=0

N/2

h

b

zy

x

VIGAS LAMINADAS

FLEXIÓN PURA:

MM

Plano mediox

yz

z

Laminado antes de flectar

VIGAS LAMINADAS

M viene expresado por unidad de ancho de la viga (Mtotal=M.b)

z

y

x

ρθM

M

Laminado después de flectar

Plano medio

z

( ) ( )

curvatura xy)plano elpor (definido medio plano el desde distancia

anterior figura laen definido ángulo flexión la durante medio plano del curvatura de radio

:donde

====

⋅==−+

=

κ

θρ

κρρθ

ρθθρε

z

zzzzx

DEFORMACIONES POR FLEXIÓN (Primera hipótesis)

VIGAS LAMINADAS

( ) ( ) ( )

( )

( )x dirección laen

j lámina la de allongitudinn Deformació x dirección

laen j lámina la de Young de Módulo :donde

: j lámina laen Tensión

ésima

ésima

ésima

=

=

=

jx

jx

jxjxjx

E

E

ε

εσ

TENSIONES POR FLEXIÓN (Tercera hipótesis)

VIGAS LAMINADAS

( ) ( ) ( ) κρ

σ ⋅⋅== zEzE jxjxjx

VIGAS LAMINADAS

( ) ( )

curvatura xy)plano elpor (definido medio plano el desde distancia

anterior figura laen definido ángulo flexión la durante medio plano del curvatura de radio

:donde

====

⋅==−+

=

κ

θρ

κρρθ

ρθθρε

z

zzzzx ( ) ( ) ( )

( )

( )x dirección laen

j lámina la de allongitudinn Deformació x dirección

laen j lámina la de Young de Módulo :donde

: j lámina laen Tensión

ésima

ésima

ésima

=

=

=

jx

jx

jxjxjx

E

E

ε

εσ

EQUIVALENCIA ENTRE EL MOMENTO EXTERIORY LAS TENSIONES EN LA VIGA LAMINADA (Segunda hipótesis)

( ) ( )∑

∫∫∫

∫

=−−=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+++=

==

−

2

1

31

3

0

0

32

2

2

1

2

1

1

2

/N

jjjjx

z

zx

z

zx

z

x

x

zzE

dzzdzzdzz

dzzM

n

n

h

ρ

σσσ

σ

L

VIGAS LAMINADAS

(1)

VIGAS LAMINADAS

( ) ( )∑=

+−=2

1

23

3

13332 /N

jjx zjE

NhM

ρ

Si el número de láminas (N) fuera impar, dividiríamos la lámina del plano medio en dos idénticas que tuvieran la mitad de espesor de esta lámina (de esta manera convertiríamos el número total de láminas en un número par), resultando:

( )13332 2

2

13

3

+−=

=

∑=

jjENhM

Njhz

N

jjx

j

)(ρ

(2)

VIGAS LAMINADAS

Si el material de la viga presentara un comportamiento lineal,

homogéneo e isótropo:

ρρ 12

3EhEIM y ==

12

3hanchodeunidadporinerciademomentoI

donde

y ==

:

(3)

VIGAS LAMINADAS

( )

( )1338

8

22

13

31

32

13

+−=

−=

∑

∑

=

−=

jjEN

E

ó

zzEh

E

N

jjxf

jj

N

jjxf

)(

)(

Comparando las ecuaciones (1), (2) y (3), cabe definir, para

la viga laminada, un módulo de elasticidad equivalente a flexión

de la siguiente manera:

VIGAS LAMINADAS

Mdx

wdIE yf =− 2

2

Para, por ejemplo, calcular flecha o la elástica:

VIGAS LAMINADAS

( ) ( )

( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡==

==

=

f

jx

yjx

yfjx

fyf

jxjx

EE

IMzzE

IEM

hEIEM

zE

σ

σ

ρρ

ρ

12

3

Alternativamente a expresiones anteriores, las tensiones

en cada lámina pueden calcularse como:

x

M

VIGAS LAMINADAS

L

M

z

EJEMPLO DE VIGA SOMETIDA A FLEXIÓN PURA

1

23

( ) ( ) ( )123 xxx EEE >>

( ) ( ) ( )231 xxx EEE <=Materialisótropo

VIGAS LAMINADAS

Lámina jésima a 0º en compresiónCriterio de máxima tensión

( )

( ) jj

cyf

j

zEXIE

M1

=

=

max

cxmax

ésima

X:cuando rompe j lámina La

σ

CRITERIO DE ROTURA:

VIGAS LAMINADAS

Lámina jésima a 90º en tracciónCriterio de máxima tensión

( )

( ) jj

tyf

j

zEYIE

M2

=

=

max

txmax

ésima

Y:cuando rompe j lámina La

σ

CRITERIO DE ROTURA (Cont):

VIGAS LAMINADAS

Fabricación y diseño de vigas

Fabricación:– pultrusión– filament winding– moldeo a mano– preimpegnados– moldeo por inyección de resina

Diseño:– Minimizar el área de la sección transversal

(peso)– Incrementar el momento de inercia

• aumento de las dimensiones de la sección– Típicamente, se trabaja con elementos

prismáticos

VIGAS

Consideraciones:– Longitud >> ancho y canto– Vigas sometidas, principalmente, a

flexión– Columnas sometidas, principalmente

a compresión axial– Árboles de transmisión sometidos,

principalmente, a torsión

VIGAS A TRACCIÓN

PP

Plano mediox

yz

z

h

La carga P viene dada por unidad de ancho del laminado

VIGAS

{ } [ ] { }

{ } [ ] { } N/m

0

02

2

enAN

A

dzQNh

h

ε

ε

⋅=

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−∫

43421

/

/

PRIMERA MANERA DE TRATAR EL PROBLEMA:

VIGAS

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′′′′′′′′

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

00

00

662616

262212

161211

0

0

0

0

0

0

662616

262212

161211

P

AAAAAAAAA

AAAAAAAAAP

xy

y

x

xy

y

x

γεε

γεε

ESTADO DE CARGAS:VIGAS

h Nx=P

hPhP

PhP

x1111

0x

x

110x

x

A1

AεσE

Aε

σ

′=

′

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

==

′=

=

0

Nx=P

DEFORMACIONES EN EL LAMINADO

VIGAS

TENSIONES EN EL LAMINADO

{ } { }0

0

0

0

εγεε

γεε

ε =⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

xy

y

x

k

xy

y

xk

Lámina k-ésima:

{ } [ ] { } [ ] { }0εεσ kk

kk QQ ==

VIGAS

SEGUNDA MANERA DE TRATAR EL PROBLEMA:

{ } { } [ ] { }kk

k S σεε == 0

k

kx

Ex

0x

σε =

∑∑ ⋅⋅=⋅=

⋅⋅=⋅

=

kk

k

kk

kx

kk

kkx

kkx

hEhP

hEh

E

0xx

0xx

0xx

ε)(σ

εσ

εσ

VIGAS

h

hEE k

kk∑ ⋅

=x

x0

Definiendo:

hP

E

EhP

hEhEhP

x

kk

k

kk

kx

0

00

0

1

x

0x

0xx

0xx

0xx

ε

εσ

εε)(σ

=

⋅==

⋅⋅=⋅⋅=⋅= ∑∑

VIGAS

VIGAS A FLEXIÓN

MM

Plano mediox

yz

z

M viene expresado por unidad de ancho de la viga (Mtotal=M.b)

VIGAS

{ }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=00M

MMM

M

xy

y

x

ESTADO DE CARGAS:

VIGAS

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′′′′′′′′

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

00

00

662616

262212

161211

662616

262212

161211

M

DDDDDDDDD

DDDDDDDDDM

xy

y

x

xy

y

x

κκκ

κκκ

Laminado simétrico sometido a flexión, solamente

VIGAS

Mx=M

Mx=M

113fx

3y

xyfx

x11x11x

Dh12E

hb121I

ρ1

IEM

ρ1MDMDκ

′=∴

=

=

=′=′=

DEFORMACIONES EN EL LAMINADO

VIGAS

TENSIONES EN EL LAMINADOEn laminados simétricos a flexión suele utilizarse una tensión máxima

equivalente, cuya expresión es:

0062 === f

xfy

fx h

M τσσ

Podríamos escribir:

{ } { }Mh

hM

f2

26

00

6

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=σ

VIGAS

DEFORMACIONES A FLEXIÓN

Llamamos deformación máxima equivalente a:

{ } { }κε2hf =

{ } { } [ ] { }MDhhf 1

22−== κε

MDh

MDh

MDh

fxy

fy

fx

16

12

11

2

2

2

′=

′=

′=

γ

ε

ε

VIGAS

z

x x

z

M

Como suponemos que las deformaciones varían linealmente a lo largo

del espesor del laminado, podemos calcular las deformaciones en cualquier

lámina y, por tanto, las tensiones a las que se encuentra sometida

VIGAS

Las vigas de materiales compuestos presentan efectos combinados de flexión y cortante– δ= δb + δs– δb controlado por EI– δs controlado por GA

Nota:– La contribución a los movimientos del cortante es

despreciable frente a los de flexión en vigas metálicas porque el módulo de corte es bastante alto --> G~E/2,5

– Sin embargo, en materiales compuestos noEjemplo: AS4/3501-6: E1=142 GPa; E2=10,3 GPa;G12=7,2 GPa

VIGAS

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA ELASTICA

( )2

32

22

1

1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

−==

dxdw

dxwd

EIxM

ρ1<<dxdw

( )2

2

dxwd

EIxM

−=

+ 1

xw

z

VIGAS

Análisis de vigas de material isótropo– Definiciones

• κ = curvatura• ρ = radio de curvatura• M = momento flector• E =módulo de elasticidad• I = momento de inercia de la sección

respecto del eje neutro• w = flecha• Q = esfuerzo cortante• q = carga por unidad de longitud

– Solución• requiere integración • condiciones de contorno

4

4

3

3

2

2

2

2

1

xw

EIxq

xw

EIxQ

xw

EIxM

xwEIM

∂∂

=

∂∂

−=

∂∂

−=

∂∂

−=

==

)(

)(

)(

κ

ρκ

VIGAS

Propiedades geométricas y del materialPropiedades geométricas:– área, momento de inercia, etc.

Propiedades elásticas del material:– E, G, etc.

En materiales homogéneos podemos separar ambos conjuntos de propiedadesNo lo podemos hacer en materiales compuestos– Las propiedades del material varían lámina a

lámina

VIGAS

Procedimiento de análisis de vigas– Usamos la teoría clásica de vigas para

analizar la estructura– Usamos la teoría clásica de laminados para

calcular las rigideces efectivas a flexión (EI) ó a cortante (GA) para el laminado de la viga

– Calculamos la distribución de deformaciones en la viga

– Calculamos las tensiones y deformaciones para cada una de las láminas

– Aplicamos el criterio de fallo

VIGAS

GAqL

EIqL

max

24

81

3845 +=δ

GAqL

EIqL

max

24

81

3841 +=δ

q

q

Análisis de vigas de material isótropoFlechas máximas para diseño:

VIGAS

Análisis de vigas de material isótropo

GAPL

41

EIPL

481 3

max +=δ

P

GAPL

41

EIPL

1921 3

max +=δ

P

VIGAS

Análisis de vigas de material isótropo

EIML

max 82

=δ

GAPL

EI3PL3

max +=δ

M

P

M

VIGAS

Análisis de vigas de material isótropo

GAqL

EIqL

max

24

21

81 +=δ

q

VIGAS

Diseño frente a movimientosDebemos tratar de maximizar Ex en las alas y Gxy en el almaEx se incrementa con el número de láminas a 0 grados– Esto compromete los valores de Gxy y Sxy

Gxy se incrementa con el número de láminas a 45 grados

VIGAS

tensiónmáxima sección la de inercia de momento

vigala deinferior osuperior cara la a neutro eje del distancia

flector momento

==

==

=

σ

σ

I

cM

IMc

Diseño resistente

NOTA: debe chequearse tanto tracción como compresión

FLEXIÓN:

VIGAS

Diseño resistente

( )( ) ó ct XX

MSeguridadCoefW

cIW

⋅=

=

.

MÓDULO RESISTENTE DE LA SECCIÓN:

compresión a aresistenci traccióna aresistenci

=

=

c

t

XX

VIGAS

alma delEspesor inercia de Momento

estático Momentocortante Esfuerzo

==

==

=

hI

QIh

Q

est

est

M

Mτ

CORTANTE:

Diseño resistente

VIGAS

( )cortante a aResistenci =

≤=

xy

xyest

SSeguridadCoefS

IhQ

.maxMτ

Diseño resistente

VIGAS

VIGAS

L

h D Hipótesis:

h<<DM

TORSIÓN

VIGAS

Deformaciones:

66

060

62

0 12S

EhEDM

==π

γ

Tensiones:

hDM

20 2

πτ =

Giros:

4

3

06

hDIIE

MLO

O

πθ ==

VIGAS

PANDEOHay que comprobar la seguridad frente a pandeo para vigas sometidas

a compresión, dado que los materiales compuestos son muy flexibles y,

por tanto, presentan mayor riesgo de pandeo que si, por ejemplo, la viga

estuviese fabricada de acero.

Experimentalmente, se ha comprobado que, la formulación de Euler para

pandeo de vigas de material isótropo es aplicable al caso de los materiales

compuestos.

VIGAS

L

P

124

3

2

2 bhIL

IEPf

crit ==π

2

2

LIEP

f

critπ

=L PP

L PP2

24L

IEPf

critπ

=

VIGAS

COMPROBACIÓN DE SEGURIDAD FRENTE A PANDEO:

.. SegCoefPP crit<