Castor Alejandro Jiménez Gutiérrez Oscar Ortega González ...

Castor Alejandro Jiménez Gutiérrez Oscar Ortega GonzálezCesar Augusto Pérez Gamboa

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Dirección editorialGudelia Matías SilvaEditor en jefeOlivia Vega Ponce de LeónRevisión técnicaJosé Nicolás González JiménezCorrección de estiloGeorgina Margarita Arteaga FloresCoordinación de diseñoJesús González PicazoDiseño editorialKarem Anabelli Zavala AcevedoDirección de producciónJorge Rodríguez Hernández

Castor Alejandro Jiménez GutiérrezÓscar Ortega GonzálezCesar Augusto Pérez Gamboa

1ª edición febrero 2018D.R. © Grupo Editorial Mx.

ISBN: 978-607-8556-54-0

Organización didáctica por bloques con proyectos formativos.

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Registro número 3790.

Durante el proceso de impresión estamos contactando a los sitios de Internet referidos, para notificarles que estamos usando su información sin fines de lucro.

Derechos ReservadosNo está permitida la reproducción total o parcial de este libro ni su tratamiento informático ni la trans-misión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, incluyendo fotocopiado, almacenamiento en cualquier sistema de recupera-ción de información o grabado sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright.

La marca Grupo editorial Mx es propiedad de TRACK, S. A. de C. V.Prohibida su reproducción total o parcial.

Impreso en México / Printed in Mexico

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Este libro tiene como propósito que desarrolles aprendizajes al relacionar el conocimiento que adquirirás en esta asignatura con tus experiencias de la vida cotidiana.

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electrónico siguiendo 5 sencillos pasos:

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4

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Actividades que desarrollarán competencias genéricas (CG) a través de la movilización de saberes.

Actividades que desarrollarán competencias genéricas (CG) a través de la transferencia de saberes.

Actividades que desarrollarán competencias disciplinares básicas (CDB) a través de la movilización de saberes.

Actividades que desarrollarán competencias disciplinares básicas (CDB) a través de la transferencia de saberes.

Estas actividades están enfocadas al Desarrollo de Habilidades Socioemocionales (DHS).

Desarrollo de proyectos formativos que permiten evidenciar el logro de las competencias genéricas y disciplinares al utilizar en forma integrada conocimientos, habilidades y actitudes.

Esta sección te permitirá identificar los saberes con los que cuentas para tomarlos como punto de partida en tu proceso de aprendizaje.

Esta actividad despertará tu curiosidad por los nuevos conocimientos.

Esta sección contiene los conocimientos y actividades del bloque, está totalmente apegada al programa de estudios.

Esta sección ofrece actividades para la evaluación de los aprendizajes esperados e incluye un instrumento de evaluación.

Evalúa con distintos instrumentos tu desempeño en el proyecto y en diversas actividades.

Esta actividad te servirá para identificar los conocimientos adquiridos.

Prepárate para la prueba PLANEA al final de cada bloque.

Evaluación diagnósticaMi entorno

Mi aprendizaje

Evaluación formativa Evaluación sumativa

Prueba tipo PLANEAInstrumentos de evaluación

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Contenido

Bloque II Propiedades de los polígonos 28

Conocimientos Habilidades Actitudes1. Polígonos

• Elementos y clasificación • Ángulo central • Ángulo interior • Ángulo exterior • Suma de ángulos interiores, exteriores

• Diagonales • Perímetros y áreas

2. Poliedros • Elementos y clasificación • Volúmenes

• Clasifica polígonos y representa los elementos que los conforman.

• Argumenta cuáles elementos de los polígonos deberían utilizarse para solucionar problemas de su entorno.

• Identifica perímetros, áreas y volúmenes de cuerpos geométricos planos y en el espacio.

• Describe figuras geométricas en las diferentes representaciones artísticas.

• Reconoce sus fortalezas y áreas de oportunidad.

• Externa un pensamiento crítico y reflexivo de manera solidaria.

• Afronta retos asumiendo la frustración como parte de un proceso.

• Se relaciona con sus semejantes de forma colaborativa mostrando disposición al trabajo metódico y organizado.

Conocimientos Habilidades Actitudes1. Circunferencia y círculo

• Concepto de círculo y circunferencia

• Segmentos y rectas de la circunferencia

• Ángulos en la circunferencia • Perímetro de la circunferencia • Área del círculo • Secciones de un círculo (corona, sector y trapecio circular)

• Área de regiones sombreadas

• Identifica la diferencia entre círculo y circunferencia.

• Reconoce los diferentes tipos de segmentos, rectas, ángulos y figuras asociados con la circunferencia.

• Aplica los elementos del círculo y la circunferencia en la solución de situaciones cotidianas.

• Externa un pensamiento crítico y reflexivo de manera solidaria.



Elementos de la circunferencia 54Bloque III

Conocimientos Habilidades Actitudes1. Ángulos

• Sistemas de medición • Clasificación • Rectas paralelas cortadas por una transversal

2. Triángulos • Clasificación y propiedades

• Rectas y puntos notables • Semejanza y congruencia • Teorema de Tales • Teorema de Pitágoras

• Clasifica los tipos de ángulos y triángulos.

• Utiliza la imaginación espacial para visualizar triángulos semejantes.

• Establece relaciones de proporcionalidad entre rectas y triángulos.

• Analiza el Teorema de Pitágoras en la resolución de problemas de su entorno.


• Expresa ideas y conceptos favoreciendo su creatividad.


Bloque I Ángulos y triángulos 6

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Bloque VI Triángulos oblicuángulos 28

Conocimientos Habilidades Actitudes

1. Ley de los senos 2. Ley de cosenos 3. Solución de triángulos

oblicuángulos

• Discrimina entre la Ley de senos o cosenos para la solución de triángulos oblicuángulos.

• Describe el proceso de solución de triángulos oblicuángulos.

• Externa un pensamiento reflexivo de manera solidaria.

• Afronta retos asumiendo la frustra-ción como parte del proceso.


Conocimientos Habilidades Actitudes1. Razones trigonométricas

de ángulos agudos 2. Valores de las razones

trigonométricas para ángulos notables (30°, 45° y 60°)

3. Solución de triángulos rectángulos

• Establece las relaciones trigonométricas para ángulos agudos.

• Interpreta modelos para calcular el valor de las razones trigonométricas.

• Aplica razones trigonométricas para la solución de triángulos rectángulos.

• Propone de manera creativa, solución a problemas que involucran triángulos rectángulos, valorando su uso en la vida cotidiana.

• Elige razones trigonométricas para proponer alternativas en la solución de triángulos rectángulos en situaciones de su entorno.

Razones trigonométricas 102Bloque IV

Conocimientos Habilidades Actitudes1. Funciones trigonométricas

en el plano cartesiano • Signos de las funciones trigonométricas en los cuadrantes

• Gráficas 2. Círculo unitario3. Identidades trigonométricas

• Recíprocas • Pitagóricas • Ángulo doble

• Identifica y representa en el plano car-tesiano las funciones trigonométricas y sus signos en los cuadrantes.

• Describe la relación entre las funciones trigonométricas y el círculo unitario.

• Explica las identidades trigonométricas.

• Reconoce sus fortalezas y áreas de oportunidad. • Externa un pensamiento crítico y reflexivo de manera solidaria.


• Se relaciona cons us semejantes de forma colaborativa mostrando disposición al trabajo metódico y organizado.

Bloque V Funciones trigonométricas 6

Bibliografía 176

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Propósitos del bloque • Desarrolla estrategias para representar su entorno en la resolución de problemas tanto hipotéticos como reales mediante el uso de los teoremas de Tales y Pitágoras, así como por criterios de semejanza y congruencia de triángulos.

Bloque IÁngulos y triángulos

Interdisciplinariedad Ejes transversales • Taller de Lectura y Redacción II • Informática II • Ética II

• Eje transversal Social. • Eje transversal Ambiental. • Eje transversal de Salud. • Eje transversal de Habilidades Lectoras.

Competencias genéricas (CG) a desarrollar

4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 7.3. Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana. 8.1. Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo

un curso de acción con pasos específicos.

Competencias disciplinares básicas del área de Matemáticas (CDBM) a desarrollar

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos arit-méticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la infor-mación y la comunicación.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

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Bloque I. Ángulos y triángulos

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Diseño de un boceto4. Discutan sus ideas de diseño y realicen un boceto de la casa, según el es-

cenario que seleccionaron. Dibujen su boceto.

Primer diseño con el Software SketchUp®5. Vean el video descargar el Software SketchUp® en http://gpoe.mx/MYR1kX.

Creen una biblioteca digital de los componentes de, Software SketchUp®.

II. Respondan las preguntas. 1. ¿Qué características del Software SketchUp® seleccionaron para la reali-

zación de su proyecto? y ¿Cuál plantilla del Software SketchUp® usarán?

Definición

Matemáticas II

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Evaluación diagnósticaMi entorno

A

B

C

1. ¿Cuánto mide este ángulo? 2. ¿Cuántas formas existen de

determinar su medida? 3. ¿Qué nombre tiene el ángulo?

Rectas paralelas y transversales1. Sea AB || CD y AC || BD, señala ¿cuáles de los siguientes argumentos es verdadero?

A B

C

D1

2

8 567

9

1011

12

13

1415

163

4

a. 1 es congruente con 5b. 2 es complementario con 14c. 8 es suplementario con 11d. 6 es adyacente con 13

Propiedades de los triángulosCompleta la tabla con las respuestas a los siguientes planteamientos.

1. Indica los triángulos que cumplen ambas características. Escribe los valores del triángulo.

2. En los casos que no es posible cumplir las dos características, escribe la razón por la cual no lo es.

Equilátero Isósceles EscalenoAcutángulo

Rectángulo

Obtusángulo

Ideas sobre óptica geométrica


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Mis intereses

Entre las aplicaciones de la geometría se encuentra la óptica geométrica. Ésta es la aproximación al comportamiento de la luz, que se aplica cuando la interferencia y la difracción son muy pequeñas. Responde los siguientes planteamientos. Para cada caso, argumenta tu razonamiento.Reflexión de la luz

θ1 = θr

θrθ1

Rayo incidente Rayo reflejado

Normal a lasuperficie

1. ¿Qué lados forman el ángulo de incidencia θi y el de reflexión θr ?2. Mide con un transportador los ángulos θi y θr. Indica los valores y explica cómo son

entre sí. 3. ¿Qué tipo de línea es la normal a la superficie, con respecto a la superficie reflectiva?

Espejo convexo

A

V C

R

F

θ1

θr

θ θ θ

Rayo incidente

Rayo reflejado

Ángulosinternosalternos

4. ¿Qué valor tiene el ACF?5. ¿A qué ángulos es igual ACF?6. ¿Cómo es la recta AC respecto al punto de incidencia?7. Si el rayo incidente no es paralelo a VC ¿la proyección del rayo reflejado pasa por

el punto focal (F)?

Matemáticas II

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Mi aprendizaje

ÁngulosActividad 1 CDBM 4

En equipo realice los planteamientos dados y justifiquen sus resultados con lenguaje matemático.Entre giros

1. Vean el video http://gpoe.mx/PYqL5g de Euclides y realicen un resumen sobre él y la geometría plana.

2. Usen materiales manipulativos o un software de geometría dinámica (SGD) para determinar los que se solicita en la tabla.

Parte de la circunferencia que

cubre la figura

Medida del área sombreada en grados (°)

y radianes

Número de giros requeridos por la figura para cubrir la circunferencia


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Definición de ángulo

C

Externo

VérticeA

B

CA

CB Interno

Y

X

Z

a

Final

Inicial

Un ángulo es una figura formada por dos rayos no colineales con un origen común (vértice) y la región comprendida entre ambos.

Un ángulo es la cantidad de giro necesaria para trasladar una línea en la posición de otra.

Nombre de los ángulos a o â se lee ángulo a. Y o Ŷ se lee ángulo Y. ZYX o ZŶX se lee ángulo ZYX.

3. Escribe un texto en WhatsApp en donde le expliques a otra persona qué es un ángulo.

A

BC

1

Visualiza. Es necesario elegir inicialmente la unidad de medida del ángulo. Si dos ángulos son congruentes, siempre tendrán la misma medida y de forma recíproca; si dos ángulos tienen la misma medida, entonces serán congruentes.

Sistemas de mediciónMedida de un ángulo

La medida de un ángulo corresponde a la cantidad de rotación re-querida para que uno de sus lados (lado inicial) gire sobre el vértice hasta alcanzar la posición del otro lado (lado final). El valor o mag-nitud del ángulo nunca depende de la longitud de sus lados.

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La medida de A se escribe m A.

TransportadorEl transportador es la herramienta utilizada para medir los ángulos y, conjuntamente con la regla y el compás, es utilizada desde los griegos para hacer construcciones geométricas.

El rayo (o semirecta) AB es el lado inicial.El rayo (o semirecta) AC es el lado final.

C

BA

Dado que el rayo AB se alinea con el 0° en la escala interna, usa la escala interna para encontrar que el rayo AC se intersecta con la escala a 110 grados.

El transportador tiene dos escalas que van de 0°a 180° grados en direcciones opuestas.

Coloca el punto central del transportador en el vértice.

Alinea el 0 en cualquier lado de la escala con un lado del ángulo.

Unidad de medidaLa unidad de medida de un ángulo es el grado (°). Como se muestra en la Figura, una cir-cunferencia es considerada como una vuelta de 360°. Luego entonces, un grado es del ángulo de una vuelta de la circunferencia. Es denominado grado sexagesimal. Lo que significa que es un sistema de numeración con base 60.

×60

Grados(°)

Minutos(')

Segundos('')

×60

60 60

Visualiza. Para medir un ángulo con mayor precisión y exactitud, se utilizan unidades menores que el grado: minuto (') y segundo (").

La Figura muestra que el ángulo dado por una revolución completa contiene 360°, que es igual a 2π rad.

de giro de la circunferencia

360°

360°1° = 1

360° = 2π


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El radián es la unidad del ángulo plano (llano) en el sistema internacional de unidades.

π = 180°Tenemos que:

π π=

°° =

°rad rad1 180 y 1 180

Actividad 2 CDBM 6

MidiendoI. Responde los planteamientos relacionados con los ángulos.

LP

CM

NO

BA

1. Sea el segmento OA el lado inicial de cada ángulo, ¿cuántos ángulos hay trazados en el la Figura?

2. Completa la tabla con base en la medida de cada ángulo de la Figura.

Ángulos que miden menos de

90°

Ángulos que miden 90°

Ángulos que miden más de 90° y menos de

180°

Ángulos que miden igual o más de 180°

II. Expresa en radianes la medida del ángulo BAC. Escribe los cálculos de conversión.

Matemáticas II

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Actividad 3 CDBM 4

Entre ángulos

A

B

CD

EF

G

H

I

J

K L

1

2345

67

8

910 11

12

1. Escribe sobre la figura los valores en radianes de los ángulos 8 al 12. 2. Determina en radianes las medidas de los ángulos AOG, EOH, IOC,

FOA. Justifica cada paso del proceso de las conversiones de las medidas de ángulos a radianes.

3. Escribe en grados la medida de BOC, BOD, BOF y B OK y expresa sus ángulos negativos correspondientes .

4. Si se suman los ángulos 14°24'44" y 75°35'25", ¿qué tipo de ángulo resulta?5. El ángulo ABC = 100°20' y el ángulo CBD = 79°40'. ¿Los lados AB y BD

que tipo de ángulo forman?

ClasificaciónActividad 4 CDBM 4

Reúnete en equipo y resuelvan los planteamientos dados.

A

αβγ

εδφ

E

FG

H

I

J


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Ángulos simples, clasificación por sus medidasNulo Agudo Recto Obtuso

Colineal ( Llano) Reflejo / Entrante Perigonal

Clasificación de ángulos por la posición de sus lados

Ángulos opuestos por el vértice. Es un par de án-

gulos, no adyacentes, cuyos lados son dos pares de rayos opuestos. Es decir, que son los ángulos que se forman

cuando se cruzan dos líneas.

λϑ

ω

Ψ

ψ y ω ; λ y θ son ángulos opuestos por el vértice.

1. Visualización. Indiquen los ángulos que tienen la misma medida entre sí, que están en los intervalos 0° < x < 90° o 90° < x ≤ 180°

2. Principio de inducción. Completen la tabla, argumenten su solución y vean el video.

EAF EAG EAH EAI EAJ

Nº de rayos

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nº deángulo

A

F

D90°

H

180°

J

L

�

B

m A = 0° 0°, 0 <m A =< 90° m A = 90°

m A = 180°, πrad 180° < m A < 360° m A = 360°

90° < m A < 180°

Matemáticas II

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Dos ángulos son ángulos con-gruentes, si tienen la misma

medida. m ABC = m FDE , entonces m ABC m FDE.

B

C

A

D F

E

72°

72°

m ABC = m EDFABC EDF

Clasificación de ángulos por la suma de sus medidas

Dos ángulos son ángulos complementarios, si la suma de sus medidas es 90°. Cada ángulo es el complemento

del otro. No es requisito que sean adyacentes.

90°α

β

β y α son complementarios. son ángulos adyacentes.

Dos ángulos son ángulos suplementarios, si la suma de sus medidas es 180°. Cada ángulo es el suplemento del

otro. No es requisito que sean adyacentes.

90°ϑ Φ

θ y ϕ son ángulos suplementarios. Son ángulos adyacentes.

Visualiza. Ángulos adyacentes: son un par de ángulos que comparten un lado común y son ángulos consecutivos.

Actividad 5 CG 4.1

Problemas de demostraciónEn equipo discutan y demuestren, con una tabla de dos columnas, cada uno de los problemas planteados.Ángulos suplementarios.

1. Dado: α y β son ángulos suplementarios, ϕ y σ son ángulos suplementarios y β σ .


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Probar: α ψ

α

βΦ

δ

Enunciados Razonesα y β son ángulos suplementarios. 1. ϕ y σ son ángulos ___________________.2. α + β = 180° y ϕ+ σ = ___________________3. α + β = ϕ+ σ

4. β σ5. mβ = mσ6. ___________________= ___________________7. α ϕ

1. Dado2. Por definición de ángulos suplementarios.3. Porque las dos sumas tienen como resultado 1,80°; entonces, son iguales las sumas de sus medidas.4. ___________________5. Definición de congruencia de ángulos.6. Sustituyendo 5 en 3.7. ___________________

Ángulos complementarios. 2. Prueba que el teorema de ángulos complementarios congruentes es verdadero.

Dado: 1 es complementario del 2 y 3 es complementario del 2. Probar: 1 3.

1 2 3

Ángulos rectángulos. 3. Prueba que la afirmación es verdadera: todo ángulo rectángulo es congruente.

Dado: A y el B son ángulos rectángulos. Probar: A B.

BA

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Actividad 6 CDBM 1

Debate y justificaciones matemáticasEn equipo discutan los planteamientos y usen al menos dos tipos de prueba.

1. Pensamiento crítico. Explique por qué hay dos casos para probar los teoremas de ángulos suplementarios o los complementarios congruentes. Justifica con términos matemáticos.

Actividad 7 DHS

Resolver problemas y retosEn matemáticas, como en la vida, se deben resolver problemas. Es necesario en-frentar obstáculos que se tienen, para cumplir las metas personales y académicas.

¿Cómo me va en matemáticas?I. Lee la conversación y responde la pregunta.

Desde el semestre pasado me estaba yendo mal en la clase de matemáticas, además, me aburría mucho. Tenía la intención de dejar la escuela e irme a tra-bajar, porque pensé que estudiar no era lo mío. Pero me he organizado, en la es-cuela me han ayudado y estoy lidiando con la frustración. Ahora, le doy sentido a los problemas y persevero en resolverlos.

Siempre me había ido mal en matemáticas, pero ahora descubrí que estamos aprendiendo a comunicarnos matemáticamente, donde se logra plantear argu-mentos viables y discutir, en buena onda, el razonamiento de los demás. Veo que construimos un sistema axiomático, al usar lo que antes hemos estudiado.

El curso de geometría ha cambiado. Antes, nos daban una definición y muchos ejercicios a realizar. Ahora, estamos desarrollando actividades de trabajo colabo-rativo, en donde construimos las respuestas entre todos. Al inicio, el trabajo en equipo no me gustaba, porque sentía que no avanzaba. Pero ahora entiendo que trabajar colaborativamente ayuda a comprender mejor y entre todos tenemos más precisión.

2. ¿Cuáles de los planteamientos del diálogo de los estudiantes, también te suceden a ti?


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Situaciones de la vidaII. Organicen un equipo y cada integrante escribe una situación o problema que le pre-

ocupa del curso de Geometría. Planteen una solución al problema más relevante.a. Planteamiento del problema individual.b. Solución a un problema colectivo.c. ¿A quién le pueden pedir ayuda para resolver los problemas individuales

planteados con relación al curso de Geometría?

Dialogo de mujeres STEM (Ciencia, Tecnología, Ingeniería y Matemáticas)III. En equipo, argumenten sobre sus opiniones en relación con los mensajes entre

Fernanda y Emma. ¿En qué están de acuerdo y en qué no?

Fernanda: Ahora que estoy en el curso de geometría, me di cuenta que las matemáticas son esencialmente una manera de pensar y resolver problemas.

Emma: Pero se supone que las matemáticas no tienen que tener significado.

Fernanda: Ahora que trabajamos sobre án-gulos y vimos contextos de física, arte y deporte, pienso que las matemáticas son esencialmente un conjunto de conocimientos (hechos, reglas, fórmulas y procedimientos) socialmente útiles.

Emma: Ummm… pero amiga, las matemá-ticas están siempre bien definidas; no están abiertas a cuestionamientos, argumentos o interpretaciones personales.

Fernanda: Te invito a que estudiemos juntas y le pidamos ayuda a los profesores y podrás encontrar otras dimensiones de las matemáticas...

1.

2.

Matemáticas II

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Rectas paralelas cortadas por una transversalActividad 8 CDBM 4

Exploración de la relación de ángulos entre rectas paralelas y transversales

I. Con Geogebra o regla y transportador realiza esta construcción.1. Construye una línea y etiquetala con los dos puntos A y B.2. Crea un punto que no este en AB y etiquetalo con C. Construye una línea

paralela en AB en el punto C. Etiqueta el otro punto con la letra D.

Traza una línea transversal3. Traza dos puntos fuera de las dos líneas paralelas y etiquétalos con las letras

E y F. Construye una línea transversal EF. Traza los puntos de intersección entre AB y EF, CD y EF Etiqueta los puntos con las letras H y G.


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4. Mide los ocho ángulos formados por las líneas paralelas y la transversal. Por ejemplo, selecciona los puntos B, E y G para encontrar la m BGE.

Análisis en equipoII. Cada integrante del equipo organice las medidas que obtuvieron del paso 4 en

la siguiente tabla.Ángulo A B C D E F G H

Medida

1. Realicen tres medidas más de los ángulos y escriban los valores. 2. Escriban los ángulos según las características planteadas.3. ¿Cuáles ángulos se ubican fuera de las rectas paralelas?4. ¿Cuáles ángulos están entre las rectas paralelas? 5. ¿Cuáles ángulos externos se ubican opuestos por la transversal?6. ¿Cuáles pares de ángulos internos están en el mismo lado de la transversal?7. ¿Cuáles son los ángulos congruentes entre sí?

Actividad 9 CG 8.1

Resolución de problemasI. Encuentra el valor de la variable x y determina la medida de los ángulos de

cada inciso. a) b) c)

B D

A C

F

E

xy

60°

B

D

A

C

x y

60° 40°B D

A C

FE g h3x + 10° 2x + 20°

II. Resuelve el siguiente problema, escribiendo en tu libreta los procedimientos completos que sean evidencia del análisis realizado para obtener tu resultado.

Calcula los valores de (x) y (y) en las figuras sabiendo que AB || CD:

77°

s = 135° 12

34

57w

r

p q

vt u 8

3x + 65°

8x + 25°

Matemáticas II

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Actividad 10 CG 4.1

Relaciones entre ángulos En equipo usen la Figura y describan la relación entre los pares de ángulos.

j jL G B

O

MKH

F

D

A

h

fl

E

a. EGB y DHF b. JLA y IKH c. LGI y DHFd. EGB y LIHe. JLA y GIK f. MKO y GIK

1. Conjetura. Planteen una conjetura respecto a la relación que se tiene entre los ángulos relacionados en los incisos e, f y g.

2. Valor. Con relación a la Figura, determina los valores de los ángulos indicados.a. Si m EGL = 121° y m ikhl = 47° , ¿cuál es m GIK?b. Si m LIH = 84° y m DHF = 51° , ¿cuál es m JLA?

Integración

Repensando el diseño con SketchUp®I. Vean el video http://gpoe.mx/mTX8G2 de planta baja y planteen qué ele-

mentos usarán para su diseño.1. Usen el software SketchUp® para perfeccionar sus diseños originales (bocetos)

que realizaron en papel y lápiz. En esta etapa, diseñen la primera planta de su propuesta de casa.

Repensando el diseño SketchUp®II. Discutan y respondan los siguientes planteamientos.

1. Con relación a las necesidades de los ocupantes de la casa, ¿cómo incidió la tarjeta de descripción de los ocupantes para tomar sus decisiones de diseño?

2. ¿Cuáles son las dimensiones de la casa que diseñaron con SketchUp®?, ¿cuál es el total de metros cuadrados de la casa que diseñaron?

La casa y las necesidades de los habitantesIII. Con relación al diseño, respondan.

1. Planteen una justificación sobre cómo y por qué el diseño de su casa res-ponde a las necesidades de sus ocupantes.

2. ¿Qué características particulares incluyeron como respuesta a la tarjeta de escenario que seleccionaron?

3. Mientras trabajaron en su prototipo en SketchUp® ¿cómo usaron las herra-mientas del software? Describan sus argumentos con palabras matemáticas, dibujos y símbolos.

Mi proyecto


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TriángulosActividad 11 CDBM 1

I. Realicen las actividades en equipo.

Puente de solidaridad

II. Con base en la fotografía, indiquen si los triángulos del puente de mezcala so-lidaridad son congruentes. Expliquen su razonamiento.

Actividad 12 CG 4.1

Problemas a demostrarCon los resultados obtenidos en la relación de ángulos entre dos paralelas y una transversal, prueben la afirmación: La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es un ángulo llano (180° o π radianes).

1. Problema. Sea el ∆ABC , probar: BAC + ACB + CBA = 180° .

AC

B

a. Tracen una línea auxiliar que prolongue CA y asigne el punto D en la recta. Se forma el BAD.

b. Tracen una recta paralela a BC por el punto A y asignen los puntos E y F sobre la recta. Formen los ángulos BAE , EAD y CAF.

Mi aprendizaje

Matemáticas II

24

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ducción

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x

c. Escriban el resultado de la suma BAC + BAE + EAD = _______. Expliquen su razonamiento.

d. Como las rectas BC y EF son paralelas, apliquen los elementos de ángulos entre paralelas para responder las razones de los siguientes cuestionamientos.

2. m ACB = m CAF . ________________________________________3. m CAF = m EAD. _________________________________________4. _________________= _________________. Por la propiedad de transi-

tividad de igualdades.5. m CBA = m BAE. ________________________________________6. Se tiene que BAC + BAE + EAD = 180°, sustituyan en la ecuación los

valores congruentes de los ángulos. Expliquen su razonamiento.

Actividad 13 CDBM 4

Ángulos exteriores de un triánguloVean el video http://gpoe.mx/MUKeSc sobre la demostración de los ángulos exte-riores de un triángulo y determinen con relación al triángulo DEF, el valor solicitado.

1. Calculen m D , si m GFE = 135°, m E = (6x − 19)° y m E = (5x + 7)°.

2. Calculen m GFE = (6w − 9)°, m E = (2w + 1)° y m F = 55°

Clasificación y propiedades

Clasificación de los triángulos por la longitud de sus lados

Triángulo equilátero Triángulo isósceles Triángulo escaleno

Tres lados iguales Dos lados iguales y el tercero desigual Tres lados desiguales

J

I

H

A B

C

G

E

F

J

I

H

A B

C

G

E

F

J

I

H

A B

C

G

E

F


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x

En un triángulo isóceles, usualmente, el lado distinto de los dos lados congruentes se llama base. Respectivamente, el vértice de un triángulo isóceles es el vértice del ángulo formado por los lados congruentes.

En un triángulo isóceles, los ángulos de la base son congruentes.Completa las tabla.

Clasificación de los triángulos por la medida de sus ángulos

Triángulo acutángulo Triángulo rectángulo Triángulo obtusángulo

Tres ángulos agudos o acutángulos

(menor que un recto)Un ángulo recto

Un ángulo obtuso u obtusángulo (mayor que

un recto)

____ es un triángulo____ ____ es un triángulo____ ____ es un triángulo____

Actividad 14 CDBM 4

Resolución de problemas y pensamiento críticoEn equipo, respondan las siguientes preguntas y preparen una presentación para toda la clase. En cada caso, deben explicar su razonamiento.

1. ¿Lo siguiente es una definición, un axioma o un teorema?: “Dos segmentos son congruentes, si se puede colocar uno sobre el otro de tal manera que sus extremos coincidan”.

2. ¿Un triángulo equilátero puede considerarse isóceles? ¿Un triángulo isóceles puede considerarse escaleno?

Actividad 15 CDBM 4

Problema de demostrar1. Comprueben si es verdadera la siguiente afirmación: en todos los triángulos

isosceles, los lados opuestos a ángulos congruentes son congruentes.

En el EFG, sean los ángulos E y F congruentes, probar que EG = GF.

G

E

F

P

O

N

M

K

L

Q

S

R

Matemáticas II

26

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x

2. Proposición I. Construyan con GeoGebra un triángulo equilátero a partir de un segmento dado. Expliquen el procedimiento realizado y realicen una demostra-ción de arrastre (al mover la el triángulo construido conserva su congruencia)

Rectas y puntos notablesMediatriz de un lado del triángulo es la recta perpendicular al lado por su punto medio. Un triángulo cualquiera tiene tres mediatrices que se cortan en un punto común.

Este punto es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo (pasa por los vértices), se llama circuncentro.

P P P

Mediana de un triángulo es el segmento que une el punto medio del lado con el vértice opuesto. Un triángulo cualquiera tiene tres medianas que se cortan en un punto común que se llama baricentro (gravicentro o centroide).

Se tiene que la medianas de un trián-gulo ABC se intersectan en el punto P y que

= = =AP AE BP BF CP CD, y23

23

23

A F C

E

B

D P

Bisectriz de un ángulo es la semirrecta que divide al ángulo en dos án-gulos iguales.

Un triángulo cualquiera tiene tres bisectrices que se cortan en un punto común.

Este punto es el centro de una circunferencia inscrita al triángulo (es tan-gente a los lados), y se llama incentro.

Para dibujar dicha circunferencia, es necesario trazar la perpendicular a uno de los lados que pasa por el incentro I, y tomar como radio la distancia de I al punto de corte con el lado, H.

ف Figura 1.1 Hoja Facsímil de los Elementos de Euclides


27

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x

Si P es el incentro del ΔABC , entonces:

PD = PE = PF

C

E

A

D

B F

P

Altura de un triángulo es la recta perpendicular que se traza desde el vértice al lado opuesto (o su

prolongación). P

Q

R P

Q

R

El punto en donde se intersectan las alturas (o de sus prolongaciones) de un triángulo se llama ortocentro.

P

P

P

Para fortalecer este tema te invitamos a ver el video: rectas y puntos notables

Descubre más

Actividad 16 CDBM 1

Resolución de problemasEn la siguiente tabla, indiquen si es posible crear un triángulo donde el valor de los tres lados y las tres alturas son números enteros.

1. En los casos que es posible, construyan el triángulo con las alturas y las lon-gitudes de los lados. Se sugiere usar Geogebra.

2. En los casos que no es posible, escriban la razón de por qué no lo es.

Equilatero Isosceles Escaleno

Acutángulo

Rectángulo

Obtusángulo

Matemáticas II

28

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x

Semejanza y congruenciaCongruencia de triángulosDos figuras geométricas son congruentes si tienen la misma forma y el mismo tamaño. Es decir, que se pueden identificar una con otra al superponerlas. Los lados y ángulos que coinciden se llaman elementos homólogos o correspondientes.

La expresión ∆ABC ∆FED o

∆BAC ∆EDF se lee: el triángulo ABC escongruente con el triángulo FED .

A FC D

B E

En los triángulos congruentes, los elementos correspondientes están seña-lados con el mismo trazo. Se tiene la correspondencia de los lados y los ángulos.

Actividad 17 DHS

Análisis de la resolución del pro-blema y las emociones

I. En equipo, resuelvan el siguiente problema: Encontrar el ortocentro en cada uno de los siguientes triángulos: acutángulo, rectángulo y obtusángulo.

II. Expliquen cada paso geométrico de la construcción. Escuchen las estrategias de resolución del pro-blema de sus compañeros/as.

1. ¿Qué emociones experimentaron cuando se les propuso resolver el problema?2. ¿Qué emociones sintieron cuando trataron de resolver el problema? 3. ¿Cuáles fueron las reacciones al escuchar las estrategias de resolución del

problema de sus compañeros/as?

ف Figura 1.2 Xilografía Sol y Luna (1948) de M. Escher

Visualiza. En triángulos congruentes, los ángulos congruentes son opuestos a los lados congruentes e, inversamente, los lados congruentes son opuestos a los ángulos congruentes.

Correspondencia de ángulos A F B E C D

Correspondencia de lados AB FE BC ED AC FD


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x

En el proyecto de arquitectura, se plantea pintar las habitaciones con dos colores. Se divide la pared en una sección naranja y

azul a lo largo de JK. Muestra, si las sec-ciones de la pared son del mismo tamaño

y forma.

Criterios de congruenciaCriterio Lado-Ángulo- Lado (LAL)

Criterio Hipótesis Conclusión Dos triángulos son congruentes, si tienen respectivamente con-gruentes dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

B

C

DS

R T U

V

W

RT UVRS UV

SRT VUW

Criterio Ángulo-Lado-Ángulo ( ALA)

Dos triángulos son congruentes, si tienen respectivamente dos án-gulos adyacentes y el lado comprendido. R A

B

D

C

E

F

AC DF

BAC EDFBCA EFD

Criterio Lado-Lado-Lado (LLL)

Dos triángulos son congruentes, si tienen respectivamente con-gruentes su tres lados. A

B

R

T

AB RS BC ST AC RT

BJA

D K3

1

3C

4

2

Actividad 18 CDBM 1

Semejanza I. En equipo resuelvan la actividad.1. Diseño de escaleras. En el proyecto arquitectónico, deben trabajar en las esca-

leras rectas de las casas. Respondan la pregunta y expliquen su razonamiento.2. Comparen la razón entre subir (desplazamiento vertical) y avanzar (desplaza-

miento horizontal) en A con la razón entre la razón entre subir y avanzar en B.

Matemáticas II

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x

3. ¿Cuál es la relación entre las razones =AAOA

BBOB ?, ¿las razones son iguales o

una razón es mayor que otra?

A1 B1

B

A

O

II. Vean el video http://gpoe.mx/OUcfhb de como diseñar una escalera en el sof-tware SketchUp® y hagan su diseño para su proyecto arquitectonicos.

∆ABC ∆A'B'C' se lee: el triángulo ABC es semejante al triángulo A prima, B prima y C prima.

A

AA1

B1C1

aa1

b1c1bc

BC

Proporcionalidad geométricaLa razón de dos segmentos es la relación entre sus longitudes, medidas respecto a un seg-mento unidad, y expresada en forma de cociente:

←←

ab

antecedentesconsecuente

Una proporción es una igualdad de razones:ab

cd= = , donde b y d ≠ 0.

Donde ad = bc que se obtiene de ab

cd=

Las longitudes a y d se llaman extremos y las longitudes b y c se llaman medios. Dos segmentos son proporcionales a otros dos, si sus longitudes forman una proporción. Triángulos semejantesSon triángulos semajantes los que tienen sus ángulos iguales y sus lados correspondientes proporcionales (la misma forma, aunque tengan distinto tamaño). La razón de semejanza es el valor común de los cocientes entre las longitudes de lados proporcionales.


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x

Si dos triángulos ∆ABC ∆A'B'C' son semejantes: A = A', B = B' y

C = C' ,entonces , yABAB

ACAC

BCBC

.

Identificación. En la Figura identifica los triángulos semejantes.

EB F

D

Postulados de semejanzaPostulado Ángulo-Ángulo (AA)

Postulado Hipótesis Conclusión Dos triángulos

son semejantes, si tienen dos ángulos respectivamente

congruentes.

A

B

F

EC

D

A D, B E∆ABC ∆DEF

Postulado Lado-Ángulo-Lado (LAL)Dos triángulos

son semejantes, si tienen respectiva-mente congruentes un ángulo compren-dido entre los lados

proporcionales.

A

E

C

D

F

B EABDE

BCEF≅

∆ABC ∆DEF

Postulado Lado-Lado-Lado (LLL)Dos triángulos

son semejabtes, si tienen sus tres lados

respectivamente proporcionales.

D

F

B

E

C

A

∆ABC ∆DEF AB

DEBCEF

ACDF≅ ≅

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x

Actividad 19 CG 4.1

Prueba con triángulos semejantesEn equipo, realicen y discutan la demostración con dos columnas en relación a triángulos semejantes.

Dado: L es el punto medio de HI y M es el punto medio de HJ

Probar: ∆HML ∆HJI

H

M

JL

I

Actividad 20 CDBM 4

Resolución de problemasEn equipo, resuelvan los siguientes problemas. Para cada caso, justifiquen sus ra-zonamiento y utilicen algún tipo de demostración.Construcción y demostración.

Sobre los lados AB y AC del triángulo ABC, se construyen los triángulos equi-láteros ABC’ y ACB’, los segmentos BB’ y CC’ son iguales. Demuéstralo.

1. Prueba. Demuestren que los triángulos son semejantes.

Sea AC = BC y CD = CE ; Probar:

∆ ADC ∆ BEC

A

B C

B’

C’

A B

C

D E


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Actividad 21 CDBM 6

En equipo, resuelvan el siguiente problema e investiguen qué son, cómo se forman los fractales y en qué se aplican. Vean el video http://gpoe.mx/Xzvdju de Geometría fractal que está en este libro.

a. Analicen el triángulo de Sierpinski y expliquen por qué son seme-jantes los triángulos menores, medianos y mayores que se en-cuentran en la Figura.

b. Para cada caso, determinen la razón de semejanza (observen que cada vértice toca el punto medio del lado de un triángulo).

2. Criterio de congruencia. Probar que los triángulos dados son congruentes. Sean ABC y A'B'C' dos triángulos tales que:

AC = A'C' , AB = A'B' , A A' , probar que estos triángulos son congruentes.

A

BC

A’

B’C’

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x

Teorema de TalesActividad 22 CDBM 1

ExplorandoOrganicen un equipo de trabajo colaborativo y exploren en GeoGebra el archivo llamado teorema de Tales. Respondan de forma justificada lo que se plantea.

Se presenta en GeoGebra un sistema de rectas paralelas cortadas por dos rectas que se cruzan. Expliquen cómo son los segmentos determinados en cada recta.

Teorema de TalesEl Teorema de similaridad, también conocido como teorema de Tales, plantea que:

Dado un triángulo ABC, se traza un segmento paralelo (DE) a cualquiera de sus lados y que corte los otros dos lados restantes, de esta manera se obtiene otro triángulo ADE, en el cual sus lados son proporcionales a los lados del triángulo original ABC.

A

B

C

DE

La relación de proporción está dada por la siguiente expresión:ABAD

ACAE

BCDE= =

Una aplicación importante del teorema de Tales es la determinación de la distancia entre dos puntos de difícil acceso, o la altura de alguna edificación sabiendo la longitud de la sombra que proyectan; todo esto utilizando un segundo elemento del cual se conoce su medida.


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Actividad 23 CG 4.1

Resolución de problemasI. Resuelvan los problemas en equipos. En cada caso deben discutir sus razonamientos.

Teatro de sombras. En el club de teatro se están haciendo pruebas de la pro-yección de objetos para proyectar su sombra. Se tiene que una lámpara ilumina a una estaca que proyecta una sombra sobre una pantalla.

II. Resuelvan los problemas y tengan en cuenta que en a, b y c la lámpara está sobre el piso.

a. La sombra de la estaca mide 6 dm8 al proyectarse sobre una pantalla que se encuentra a 3 dm de la lámpara. ¿Cuánto mide la sombra si la pantalla se coloca a una distancia de 5 dm de la lámpara?

b. Cuando la estaca se encuentra a 5 dm de la lámpara, su sombra sobre la pantalla es de 1 dm. ¿Cuánto mide la sombra si la estaca se coloca a 4 dm de la lámpara?

c. El objeto mide 3 dm y cuando la lámpara se coloca a una altura de 1 dm sobre el suelo, la sombra de la estaca es de 7 dm. ¿Cuánto mide la sombra si la lámpara se coloca a 2 dm de altura sobre el suelo?

Actividad 24 CDBM 6

Medidas y distanciasDetermina la distancia entre dos puntos A y B accesibles, pero que están sepa-rados por un obstáculo, como en de la Figura, que impide la medición directa. ¿La solución depende de si es una construcción o un lago?

A B

1. Encuentra la distancia entre dos puntos A y B, que están separados por un obstáculo no acotado (un río) que impide la medición directa.

A

B

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Actividad 25 CDBM 8

Macroconstruc cionesEn equipo, resuelvan los planteamientos dados. Justifiquen sus respuestas.

1. Calculen los valores de la altura E y las distancias F y G .

C

B

F

A

60°75°

45°

678m

Vigas de soporte

D

47.57m

23.26m23.26m

47.57m xx

E

2. Las torres petronas están conectadas por pasarelas con vigas de soporte. Encuentren la longitud aproximada de la viga de soporte.

Teorema de PitágorasEl teorema de Pitágoras es probablemente la relación matemática más famosa que se conozca, ocupa el número uno de las 17 ecuaciones que han cambiado el mundo.

En todo triángulo rectángulo, la suma del cuadrado de la longitud de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.

c2 = a2 + b2A

B

Cc

a

b

Teorema de Pitágoras

Los criptólogos poseen agilidad para codificar datos y conocen el uso corriente de principios matemáticos y programación para abrir códigos. Esta profesión es una excelente opción si te interesa trabajar en la Administración Nacional de Seguridad

Principios matemáticos y programación de códigos.

Conocimiento adquirido

ORIÉNTATE Profesiones vinculadas con los conocimientos del bloque


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x

Actividad 26 CG 7.3

Conexiones matemáticasEn equipos, trabajen colaborativamente en las actividades.En un criadero de perros, el patio exterior tiene la forma de triángulo rectángulo. Se busca usar la correa más corta posible para atar a las mascotas; pero que donde quiera que se ate, sea posible asegurar que el perro puede alcanzar cualquier esquina del patio (que sea equidistante). ¿Dónde se debería atar a los perros?

1. Planteen una conjetura en relación al punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

2. Realicen al menos dos demostraciones de la conjetura que plantearon. A

B C

Actividad 27 CDBM 4

Resolución de problemasI. El área. Usen la Figura para responder la pregunta planteada. Justifiquen sus

respuestas.

1. ¿Cuál es el área del cua-drado de lado?a. a2 + b2 b. a2 − b2 c. ab4

2

d. a2 + b2 − ab42

ab

a

a

a

b

b

b

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x

II. Proposiciones. En los dos siguientes casos, encuentren el valor de a2. Justifiquen su razonamiento.2. Se muestra un triángulo escaleno ABC, donde la altura h es trazada desde

el vértice B que se intersecta en la prolongación de CA en el punto D.

B

a

b

ch

AC

D

3. Se muestra un triángulo escaleno ABC donde la altura h es trazada desde el vértice B, que se intersecta en la prolongación de CA en el punto D.

A

abh

cB

C

D

III. Prueba. Con relación a la Figura, demostrar que b − a = 4

A

B Ca b

x-1 x+1

X

D


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x

Actividad 28 DHS

MatetubersI. En equipos de tres o cinco integrantes, lean la conversación en Messenger de

Juan José y Mariana sobre los videos de su proyecto de Matetuber.

II. Discutan y respondan: 1. ¿Qué piensan del proyecto de Juan José como una herramienta para cumplir

sus metas de matemáticas?2. ¿Qué sienten ustedes con relación a su clase de matemáticas?, ¿también

están confundidos?3. Debatan qué hacer para tener un canal de matetubers. Escriban sus ideas.4. Escriban un mensaje para video en donde expliquen a chavos (audiencias),

¿cuáles podrían ser los pasos para aprobar matemáticas y aprender a usarlas? 5. Si hay chavos que no pueden usar tecnología, ¿de qué manera podrían hablar

de matemáticas a sus audiencias?

Juan José Contacto

Holaa Juan José, K onda

Que bueno que escribes…te tengo una buena, para contarte… estoy creando mi canal de youtube …

¡A poco! para qué el canal, te vas a volver un youtubero qué…

… ¿cuál es el plan?

Juan José Contacto

En clase de mate me surgióuna idea…

Súper… y ¿por qué en clasede matemáticas?, pensé queera en clase de tecnología.

Es que en mate estamos usando tecnología, … vemos muchos videos y usamos un programa que se llama Geogebra…

los videos vienen en el libro y escaneamos un QR, es ¡padre! ir estudiando y vervideos…

Crear un canal de youtubematetangs y matehuals.

En mate de mi escuela, también lo usamos… pero no vemos videos…

¿cuál fue la idea?

Juan José Contacto

Que buena onda… entonces ¿vas a presentartemas especiales de matemáticas con videos?

Es que tenía mi cabezarevuelta porque el profedice que toca presentar varios exámenes, usar latecnología, el proyecto de arquitectura y matemáticastrabajar en equipos…escribir…

sí… y contaré en los videos los temas que vamos viendo en clase…

Ah, te estas organizando…

Juan José Contacto

Si…me quiero organizarpara alcanzar mis metas en matemáticas

Claro, y además que te ayude en tu proyecto de vida

Voy a cenar…un abrazo y beso

Neta que sí… también quiero ayudar a otros con los videos…

Matemáticas II

40

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Evaluación formativa

TriángulosI. En las siguientes figuras, determina el valor de x. Justifica tu razonamiento.

x

132°

x

103.5°

38.0°

x

3x-20°

x+10°

x-42°

A B

C

Dx+8

2x+73y-6

3xE

Problemas de demostraciónII. En cada caso, demuestra las siguientes afirmaciones. Realiza la representación geomé-

trica y justifica cada una de las razones dadas. 1. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.2. En un triángulo isósceles, la bisectriz del ángulo en el vértice es al mismo tiempo la

mediana y la altura.

III. En cada uno de los siguientes casos, demuestra la afirmación dada. 1. Sea ∆ABC un triángulo cualquiera y M, L, N los puntos medios de sus lados, de-

muestra que los triángulos ∆LMN y ∆ABC son semejantes y que AB es paralela a LN, BC es paralela a MN y AC es paralela a ML.

A

B

C

L

M

N


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x

Problema a resolver

2. AB ‖ DE y DF ⊥ CE. Calcula el perímetro del ∆ABC y el de ∆CDE. Explica detalladamente cómo calculas las respuestas y justifica cada una de los pasos realizados.

A

B C

D

EF

5248

13 15

Triángulo rectánguloIV. Responde los planteamiento dados.

1. Sea ABC un triángulo rectángulo, sea AD la altura por A. Construye un triángulo rectángulo en cada cateto, con un lado igual a AD.

D

A

B C

D’

D1’

a. Determina si el triángulo ADC es congruente con el triángulo construido en el cateto AC.

b. ¿El triángulo ADB es congruente con el construido en el cateto AB?c. ¿El área de la suma de los triángulos construidos en los catetos es igual al área

del triángulo ABC? Justifica tu respuesta. d. ¿Los triángulos construidos en los catetos son semejantes?¿Bajo qué criterio de

semejanza?e. Demuestra que el triángulo ADB es semejante con el triángulo ADC y, a su vez,

son semejantes al triángulo ABC.

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Integración

I. Discutan en su equipo los planteamientos dados y escríbanlos con argumentos matemáticos y del SketchUp®.Revisión del diseño con Software SketchUp®La Figura muestra los comentarios realizados por un arquitecto, respecto al diseño de la casa realizado con SketchUp del equipo de Anibal.

1. ¿Qué opiniones cambiaron en su proyecto con relación a los comentarios del arquitecto? Sean específicos.

2. ¿Cómo resolverían los problemas presentados en el diseño del equipo de Anibal? Expliquen con términos matemáticos y del uso de SketchUp.

II. Revisen su diseño con SketchUp y vean el video http://gpoe.mx/SqVzYx de cómo crear una casa (parte 2) y completen la tabla:

Aciertos

Dificultades

Matemáticas con SketchUpIII. Escriban cómo se usaron tres temas de matemáticas en el proyecto de diseño

arquitectónico (incluyan los que se abordaron en los videos tutoriales).1. ¿Cuál es el área y volumen total de su casa? Escriban los procedimientos

matemáticos que usaron.IV. Presentación del proyecto

1. ¿Quiénes serán responsable de cada parte de la presentación? ¿Qué pre-guntas deberían estar preparados para responder (por ejemplo, consideren su audiencia: un arquitecto, el director, el profesor, tus padres, etc.)?

2. Durante su presentación, ¿cómo explicarán a los interesados las matemáticas importantes relacionadas con su diseño? ¿Qué han aprendido de este proyecto?

Mi proyecto

Los volúmenes están altos. Miren, consideren algunos espacios con volímenes más altos que otros.

Utilicen el programam para definir el espacio que lo rodea. Piensen una forma diferente en la división de los espacios. Es importante que vaya más allá de las paredes simples.

La medida a escala de las puertas no es correcta. Ustedes pusieron las puertas de-masiado pequeñas o los espacios son muy grandes.


43

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3. ¿Qué matemáticas esenciales deben saber los arquitectos para hacer su trabajo?

4. Supongan que contratarán a un arquitecto para diseñar su casa: ¿Qué pre-guntas matemáticas le harían para determinar si él o ella es calificado para el trabajo?

Categorías a evaluar Cumple las expectativas

Debe mejorar Insuficiente

Identifica los diferentes tipos de ángulos.

Expresa ideas y conceptos matemáticos mediante las

representaciones geométricas de los diferentes tipos de ángulos.

Reflexiona sobre el procedimiento para trazar ángulos.

Identifica cuáles ángulos son suplementarios y cuáles son

complementarios.

Comprende el concepto de rectas y puntos notables.

Es capaz de proponer ejercicios donde aplica los conocimientos de las rectas

notables.

Identifica los diferentes tipos de triángulos.

Dibuja triángulos congruentes considerando los criterios.

Establece relaciones de proporcionalidad entre rectas y triángulos.

Es capaz de aplicar el teorema de Pitágoras en un problema o

situación real.

Conoce diferentes tipos de demostración.

Realiza demostraciones de teoremas sobre congruencia y semejanza.

Utiliza el razonamiento visual y las representaciones geométricas para

resolver los problemas.

Hace construcciones geométricas con la mediación del GeoGebra.

Relaciona la geometría, el arte, la tecnología y la ingeniería.

Matemáticas II

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x

Autoevaluación

Reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje en este bloque y responde las siguientes preguntas:

¿Qué aprendí?

¿En qué situaciones de mi vida cotidiana lo utilizaré?

¿Cómo lo aprendí?

¿En mi vida académica cómo lo usaré?


45

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Evaluación sumativa

I. Se plantean tres definición de ángulo adyacente. ¿cuál es la verdadera?

a. Definición de Diegob. Definición de Alen

c. Definición de Ivad. Ninguna de las anteriores.

II. En cada una de las siguientes proposiciones de los puntos 2 a 6 indica si es verdadera (V) o falsa (F).

Proposición V Fa. Dos triángulos rectángulos son congruentes si sus ángulos agudos

correspondientes (homólogos) son iguales.

b. Dos triángulos son congruentes si sus lados homólogos son iguales (miden lo mismo).

c. Dos triángulos son congruentes si sus ángulos respectivos son iguales.d. Para demostrar que dos triángulos son congruentes se puede utilizar

el criterio AALe. En un triángulos isóceles la bisectriz del ángulo en el vértice es al

mismo tiempo la mediana y no es la altura.

1. Si ∆ABC, m A = 2(m B + m C). ¿Qué tipo de triángulo describe los términos dado?a. Equiangularb. Acutángulo

c. Obtusod. Rectángulo

2. Si ∆PQR ∆STU ¿qué proporción es verdadera?a. PQ

PRSTSU=

b. PQQR

STTU=

c. PQSU

PRSU=

d. PRSU

QRTU=

3. Todo segmento paralelo a un lado de un triángulo divide los otros dos en partes proporcionales. ¿Cuál teorema al que hace referencia la afirmación?a. Teorema de Pitágorasb. Teorema básico de la proporcionalidadc. Teorema de Talesd. Teorema de las paralelas

A

BC D

E

F

Ivan: Dos ángulos que com-parten un lado común

Alen: Dos ángulos que comparten un vértice común

Diego: Los ángulos que comparten un lado común y un

vértice común

Matemáticas II

46

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x

III. Con referencia en la Figura responde las preguntas 1 y 2.

AB

F

C

G

D

1. ¿Cuál es el punto ortocentro de ?a. F b. A

c. B d. G

2. ¿Cuáles de las siguientes longitudes pueden ser los lados de ∆ABC?a. CA = 2 , AB = 3 , CB = 4 b. CA = 5 , AB = 4 , CB = 3

c. CA = 4 , AB = 5 , CB = 6d. CA = 5 , AB = 8 , CB = 10

3. La medida de uno de los ángulos exteriores de un triángulo rectángulo es 113°. ¿Cuál es la medida de los ángulos agudos interiores del triángulo?a. 33° y 65° b. 33° y 80°

c. 23° y 67° d. 63° y 60°

4. En la Figura, MNMR

MPMQ= ¿Cuál de las siguientes aseveraciones es verdadera?

a. ΔMNP ΔMNP b. 1 2 c. QR‖NPd. 1 4

IV. Usa la figura para responder los puntos 1 y 2.A B

C D

12

3

E

1. Dado AB CD , ¿cuál sería la información adicional que sea suficiente para demostrar que ABCD es un paralelogramo?a. AB ‖CD b. AC ‖DB

c. CAB = CDBd. E es el punto medio de AD

2. Si AC es paralela de BS y m 1 + m 2 = 140°, ¿cuál es la medida de 3?a. 20° b. 70°

c. 40° d. 50°

2 3

1 4

RQ

N

M

P


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