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27
Cátedra: ANÁLISIS MATEMÁTICO I Carrera: ISI Coordinadora: Mg. Alicia Tinnirello SUCESIONES Y SERIES Práctica del libro “Cálculo. Trascendentes Tempranas” 4º Ed.- James Stewart - Ing. Mirta Mechni Ing. Eduardo Gago Año 2012
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Cátedra: ANÁLISIS MATEMÁTICO I Carrera: ISI Coordinadora: Mg. Alicia Tinnirello
SUCESIONES Y SERIES
Práctica del libro “Cálculo. Trascendentes Tempranas”
4º Ed.- James Stewart -
Ing. Mirta Mechni Ing. Eduardo Gago
Año 2012
Sucesiones y Series
2
CAPITULO Nº 11 – SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
SECCIÓN 11.1 – SUCESIONES.
2) a) ¿Qué es una sucesión convergente? De dos ejemplos. Se dice que una sucesión es convergente cuando Lan
n=
∞→lim , al aumentar o crecer n,
los términos de la sucesión se aproximan indefinidamente a un valor finito L Ejemplos:
i) 12 2
2
++=
nn
nan
=++∞→ 12
lim2
2
nn
nn
=++∞→ 222
22
/1/1/2
/lim
nnnn
nnn 2
1
ii) nn
e
na =
( )∞∞
∞→= Ind
e
nnn
lim
Asociamos una función a la serie dada y hallamos el límite aplicando L´Hopital
( ) xx e
xf =
01
limlim ==∞→∞→ xnxn ee
x
b) ¿Qué es una sucesión divergente? De dos ejemplos.
Se dice que una sucesión es divergente cuandon
na
∞→lim no existe .
Sucesiones y Series
3
Ejemplos: i) { } { } { },.....2,2,2,2,22 5432== n
na
∞=
∞→
n
n2lim
ii)
{ } ( ){ } { },.....5,4,3,2,1.1 −−−=−= na nn
( ) nn
n.1lim −
∞→ no existe.-
3-8 Haga la lista de los cinco primeros términos.
4) 13
1
−+=
n
nan
la lista es: 7
3
11
5
2
1
5
31 ;;;;
15-38 Determine si la sucesión converge o diverge. Si converge, establezca el límite. 15) ( )1−= nnan
Cuando n aumenta na también aumenta Como ( ) ∞=−
∞>−1nnlim
n entonces la Sucesión es divergente
17) 2
253
nn
na
n ++=
Como 510
50
11
532
=++=
+
+
∞>−
n
nlimn
entonces la Sucesión es convergente
19) 13
2+=
n
n
na
Como 03
2
3
1
33
2
3
21
=
== ∞→∞>−+∞>−
n
nn
n
nn
n
nlimlimlim de donde { }na converge
21) ( )
1
12
1
+−=
−
n
na
n
n
Sucesiones y Series
4
Como ( )
01
12
1
=+
− −
∞>− n
nlim
n
n, por Teorema Nº 5 podemos asegurar que:
( )0
1
12
1
=+
− −
∞>− n
nlim
n
n de donde { }na converge
23) πnan cos2 +=
Como ( )π+
∞>−ncoslim
n2 no existe, entonces la sujeción dada diverge
25) ( )
−+
2
113
n
n
Como ( )
013
2
1
=−+∞>− n
limn
n
5 Nº Teorema Por⇒
( )0
132
1
=−+∞>− n
limn
n, de donde { }na
converge.
27)
n
n2ln
Considerando la función a variable real x
xln)x(f
2
= , calculamos
( )∞∞
∞>−= .Ind
x
xlnlimn
2
Para resolver el límite indeterminado ( )∞∞ tomamos la función asociada a la
sucesión,
02
1
2122
===∞>−∞>−∞>− x
limx
xlim x
xlnlim
nnH'Ln, de donde 0
2
=∞>− n
nlnlimn
y { }na converge.
29) { }nn −+ 2
Como ( ) ).(Indxxlimn
∞−∞=−+∞>−
2
Para resolver este límite rompemos la indeterminación ( )∞−∞ multiplicando y dividiendo por el conjugado de la expresión dada.
( ) ( )( )( )
( ) ( )
02
2
2
2
2
2
2
222
22
=++
=++−+=
++−+=
++++−+=−+
∞>−∞>−
∞>−∞>−∞>−
xxlim
xx
xxlim
xx
xxlim
xx
xxxxlimxxlim
nn
nnn
Sucesiones y Series
5
por lo tanto la sucesión es convergente. 31) n
n na −= 2
Para calcularnn
n
n
nlimnlim
22
∞>−
−
∞>−= , consideramos la función real:
x
x)x(f
2=
y calculamos
∞∞=
∞>−.Ind
xlim
xx 2
Se presenta nuevamente una indeterminación (∞
∞ ), por lo tanto, asociamos otra vez
una función de variable real a la sucesión dada para poder aplicar la regla de L´Hopital:
⇒=∴== −
∞>−∞>−∞>−020
22
1
2n
xxx.H.Lxxnlim
lnlim
xlim La sucesión converge
53) Determine si la sucesión es creciente, decreciente o no monótona. ¿Es acotada?
32
1
+=
nan ( ) 312
11 ++
=+ nan
52
11 +
=+ nan
i) Estudiemos la monotonía:
3252 +>+ nn 1+> nn aa nan ⇒≥∀ 1 es decreciente por definición de
sucesión decreciente ii) Analicemos ahora si es convergente o divergente:
032
1 =+∞>− n
limn
Convergente
Por ser monótona y convergente es acotada: 05/1 >≥ na
57) 12 +
=n
nan
( ) 11
121 ++
+=+n
nan
i) Estudiemos la monotonía
≥+12n
n
( ) 11
12 ++
+n
n ⇔ ( ) ⇔++≥++ )1).(1(].11[ 22 nnnn
122 2323 +++≥++⇔ nnnnnn Donde observamos que 1+> nn aa nan ⇒≥∀ 1 Decreciente
ii) Analicemos ahora si es convergente o divergente:
012
=+∞>− n
nlimn
Convergente
Por se monótona y convergente es acotada: 02/1 >≥ na
Sucesiones y Series
6
SECCIÓN 11.2 – SERIES. 11-34 Determine si la serie es convergente o divergente. En caso de que converja, calcule la suma
1) ................. ++++=+
+
++=++++3
5
2
43
0
232
5
2
5
2
5
2
5
2
5
24
5
24
5
244
125
32
25
16
5
84 =
n
nnn
n
nn
n
∑
=∑=∑=∞
=
∞
=
∞
=
+
00
2
0
2
5
24
5
22
5
2 , serie geométrica de razón
5
2=r y 4=a
Como ⇒<== 15
2
5
2r la serie es convergente, y su suma es
3
204
1
4
53
52
==−
=S
15) 1
1 3
25
−∞
=∑
n
n
serie geométrica de razón 3
2=r y 5=a
Como ⇒<== 13
2
3
2r la serie converge y su suma es 15
1
5
32
=−
=S
17) ( )
∑−∞
=
−
1
1
4
3
nn
n
( ) 1
1
1
111
1
4
3
4
1
4
3
4
3
3
1
4
3
3
1
4
3−∞
=
−∞
=
∞
=
∞
=
−
−∑=
−
−∑
−=∑
−−=∑− n
n
n
n
n
nnn
n
Serie geométrica donde 4
1=a y la razón es: 4
3−=r , dado que ⇒<=−= 14
3
4
3r
la serie es convergente y su suma nos da: 7
1
1 43
41
=+
=S
19) ∑∞
=
+−
1
183n
nn
1
1
1
111
1
3
8
3
64
3
8
3
88
3
8883
−∞
=
−∞
=
∞
=
∞
=
+− ∑
=
∑=∑
=∑n
n
n
n
n
nn
nn
serie geométrica de razón 3
8=r y 3
64=a
Sucesiones y Series
7
Como ⇒>== 13
8
3
8r la serie diverge
21) ∑∞
= +1 5n n
n
⇒≠=+∞>−
015n
nlimn
la serie diverge (Prueba de la divergencia, Teorema Nº 7)
23) ( )∑∞
= +1 2
1
n nn
( )( )2
2
2)2(
1
+++=
++=
+ nn
BnnA
n
B
n
A
nn
( ) BxxA ++= 21
Si 2−=x ( )2
121 −=⇒−= BB
Si 0=x n 2
121 =⇒= AA
+−=
+−=
+ 2
11
2
1
2)2(
1 21
21
nnnnnn
+−+−−−−−
−+−−−−−+−+−+−+−+−=
2
111
2
1
6
1
7
1
5
1
6
1
4
1
5
1
3
1
4
1
2
1
3
11
2
1
nnnnSn
+−+=
2
1
2
11
2
1
nSn
4
3
2
1
2
3
2
1 =
+−=
∞>−∞>− nlimSlimn
nn
Serie convergente cuya suma es 4
3
27) ∑∞
= +121n n
n
011
21 12≠=
+=
+ ∞>−∞>−
n
nn n
nlim
n
nlim ï la serie diverge (Prueba de la divergencia,
Teorema Nº 7)
Sucesiones y Series
8
29) ∑+∞
=1 6
23
nn
nn
=
+
∑=+∑=∑
+ ∞
=
∞
=
∞
=
nn
nn
n
nn
n
nn
nn
3
1
2
1
6
2
6
3
6
23
111∑
+∑
∞
=
∞
= 11 3
1
2
1
n
n
n
n
a=1
⇒<== 12
1
2
1q Convergente ⇒<== 1
3
1
3
1q Convergente
Por teorema nº 8 (prop. ii) la serie dada converge.
11 2
1
21
1 =−
=S 2
1
1 31
31
2 =−
=S
S= 1 + 1/2 = 3/2
31) ∑∞
=1n
arctgn
( ) ⇒≠π=∞>−
02
arctgnlimn
la serie diverge (Prueba de la divergencia, Teorema Nº 7)
SECCIÓN 11-3
3) ∑∞
=14
1
n n
( ) ( ) ),1[01
4+∞>∧= enfContínua
nf nn
( ) ( ) PIlaaplicarposibleesenedecrecientfnn
f nn ....),1.[.0045
∴+∞⇒>∀<−=′
3
1
3
1
3
1lim
3
1lim
1lim
1313
14
14
=
+−=−==∞→∞→∞→
∞
∫∫ txdx
xdx
x t
t
t
t
t
La serie converge, ya que la integral impropia de la función relacionada resultó convergente.-
Sucesiones y Series
9
5) ∑∞
= +1 13
1
n n
( ) ),1[.13
1 +∞∧∧+
= eneDecrecientPositivaContínuan
f n
Cumple con las condiciones de las PI
( ) ∞=−+=+=+
=+ ∞→∞→∞→
∞
∫∫ 4ln13lnlim3
113ln
3
1lim
13
1lim
13
11
11
txdxx
dxx t
t
t
t
t Diverge
7) =−∞
=∑
n
n
ne1
∑∞
=1nne
n
( ) ),1[. +∞∧= enPositivaContínuae
nf
nn
( ) ( ) PIlaaplicarposibleesenedecrecientfe
n
e
ne
e
neef nnn
n
n
nn
n ....),1.[.01)1(
22∴+∞⇒<−=−=−=′
== ∫∫ ∞→
∞
dxe
xdx
e
x t
xtx11
lim =+− ∫−−
∞→)(lim
11
dxexet
xtx
t=−− −−
∞→
txx
texe
1)(lim
111 2)(lim −−−−−
∞→=++−−= eeeete tt
t
Resolución de la integral por partes, tomando: u=x du=dx y dv= 1/e v= -1/e Resolución del límite indeterminado por L´Hopital:
=−= −
∞→)(lim t
tte =−
∞→ tt e
tlim 0
1lim =−
∞→ tt e
Sucesiones y Series
10
SECCIÓN 11-4
3) ∑∞
= ++12 1
1
n nn
Comparamos con la serie p convergente (p>1) ∑∞
=12
1
n n
Directamente: 0.122 >∀++< nnnn
1
1122 ++
>nnn
Converge
Con paso al límite:
=++
∞→2
2
1
11
limn
nn
nConverge
nn
ntn
⇒>=++∞→
011
lim2
2
5) ∑∞
= +1 32
5
nn
Comparamos con la serie geométrica convergente ∑∞
=
1 3
1
n
n
1<r
=+
∞→n
n
n31
325
lim Convergen
n
tn⇒>=
+∞→05
32
3.5lim
Resolvemos aplicando L´Hopital a la función asociada:
Sucesiones y Series
11
=+
∴∞→ x
x
x 32
3.5lim 5
3ln3
3ln3.5lim =∴
∞→ x
x
x
6) ∑∞
= −2
1
n nn
Comparamos con la serie armónica, divergente, ∑∞
=1
1
n n
=−
∞→n
nn
n 1
1
lim =−∞→ nn
ntnlim =
−∞→ )/1(lim
nnn
ntn
Divergeserielann
ntn
..01)/11(
lim ∴>=−∞→
7) ∑∞
=
+1
2
1
n n
n
Comparamos con la serie armónica, divergente, ∑∞
=1
1
n n
=+
∞→n
nn
n 1
12
lim =+∞→ 2
2
limn
nntn
Divergeseriela ..01 ∴>
8) ∑∞
=
+1 2
34
nn
n
Comparamos con la serie geométrica Divergente ∑∞
=
1 2
3
n
n
1≥r
=+
∞→n
n
n
n
n23
2342
lim =+∞→ n
n
tn 3
34lim
Divergen
n
nn⇒>=
+
∞→01
3
3
3
4lim
9) ∑∞
=1 2
3
nnn
Comparamos con la serie geométrica convergente ∑∞
=
1 2
1
n
n
12
1 <=r
12.2 ≥∀≤ nn nn
nn n2
1
2
1 ≥
Sucesiones y Series
12
∑∑∞
=
∞
=⇒≤
11 2
1
2
1
nn
nn
Convergen
11) ( )( )∑
∞
= ++2 21
1
n nnn
Comparamos con la serie p convergente (p>1) ∑∞
=12/3
1
n n
( ) ( ) =++
∞→3
1
2.1.1
limn
nnn
n ( )( ) Convergennn
ntn
⇒>=++∞→
012.1.
lim3
13) ∑∞
= −+
13
2
1
1
n n
n
Comparamos con la serie armónica, divergente, ∑∞
=1
1
n n
=−+
∞→n
nn
n 1
11
3
2
lim =−+
∞→ 1lim
3
3
n
nntn
Divergeseriela ..01 ∴>
14) ∑∞
= +1 2)1(nnn
n
Comparamos con la serie geométrica convergente ∑∞
=
1 2
1
n
n
12
1 <=r
=+
∞→n
nnn
n21
2).1(lim =+∞→ 1
limn
ntn
Convergeseriela ..01 ∴>
15) ∑∞
=
+1 3
cos3
nn
n )
3
cos
3
3(
1n
nn
n+=∑∞
=
∑∞
=1 3
3
nn ∑
∞
==
1 3
13
nn
Converge por Teorema 8 de series convergentes.
Sucesiones y Series
13
≤∑∞
=1 3
cos
nn
n∑
∞
=1 3
1
nn
y por lo tanto es Convergente.
La serie dada resulta convergente por suma de series convergentes.-
17) ∑+
∞
=1 5 4n n
n
Comparamos con la serie p convergente (p=3/2>1) ∑∞
=12/3
1
n n
=+
∞→3
5
1
4limn
n
n
nConverge
n
ntn
⇒>=+∞→
014
lim5
5
19) ∑∞
= +1 31
2
nn
n
Comparamos con la serie geométrica convergente ∑∞
=
1 3
2
n
n
13
2 <=r
=+
∞→nn
n
n
n
n32
312
lim =+∞→ n
n
tn 31
3lim Convergeseriela ..01 ∴>
21) ∑∞
= +1 1
1
n n
Comparamos con la serie divergente: ∑∞
=1
1
n n
=+
∞→n
n
n 1
11
lim =+∞→ n
ntn 1lim =
+∞→ 1/1
1lim
ntnDivergeseriela ..01 ∴>
23) ∑∞
= −+
13
2
1
1
n n
n
Comparamos con la serie p convergente (p>1) ∑∞
=12
1
n n
Sucesiones y Series
14
=++
∞→2
4
2
1
11
limn
nn
nConverge
n
nntn
⇒>=+
+∞→
011
lim4
24
SECCIÓN 11-5
5) ∑∞
=
−−1
1)1(
n
n
n
Sucesiones y Series
15
i) Consideramos la función asociada : ( )x
f x
1=
( ) ( ) 0002
13
>∀⇒>∀<−=′ neDecrecientfxx
f nx
ii) ⇒=∞→
01
limntn
Serie Convergente
7)
( )∑∞
= +−
1 14
21
n
n
n
n
i) Consideramos la función asociada : ( ) 14
2
+=
x
xf x
( )( )
( ) ( ) ( )Crecientefxxx
xxf xx ⇒−≠∀>
+=
+−+=′ 4/10
14
2
14
4.214222
ii) Además ⇒+
−∞→
Noexisten
nn
tn 14
2)1(lim Serie Divergente
11)
∑∞
=
−
+−
1
1
4
)1(
n
n
n
n
i) Consideramos la función asociada : ( ) 4+=
x
xf x
( )( )( ) ( ) ( )
404042
4
42
24
4
4222
21
>⇔<−⇔<+
+−=+−+=
+
−+=′ xx
xx
x
xx
xx
x
xxf x
x
( ) 4>∀neDecrecientf n
ii) =+∞→ 4
limn
ntn
⇒=+
∞→0
41
lim
nn
tn Serie Convergente
13)
( )∑∞
=−
2 ln1
n
n
n
n
Sucesiones y Series
16
i) Consideramos la función asociada : ( ) x
xf x ln
=
( ) ( ) ( ) ( ) eneDecrecientfexxxx
x
x
xxf x
xx <⇔⇒<⇔<⇔<−⇔<−=
−=′ 1ln01ln0
ln
1ln
ln
.ln22
1
No cumple con la primer condición de la prueba de convergencia de las series alternantes.
ii) Además ⇒−
∞→Noexiste
n
nn
tn ln
)1(lim Serie Divergente.
SECCIÓN 11.6-
CONVERGENCIA ABSOLUTA Y LAS PRUEBAS DE LA RAZÓN Y L A RAÍZ
1)¿Qué puede decir de la serie∑ na en los casos siguientes?
Sucesiones y Series
17
a) 8lim 1 =+
∞→n
n
n a
a
Divergean
n :1∑
∞
=
Recordar lo establecido en la Prueba de la razón
ii) Si DivergenteSerieLa
a
n
n
n.1lim 1 ⇒>=+
∞→
b) 8.0lim 1 =+
∞→n
n
n a
a
Recordar lo establecido en la Prueba de la razón
i) Si ⇒<=+
∞→1lim 1 L
a
a
n
n
nSerie Convergente, entonces en este caso
Convergean
n :1∑
∞
=
c) 1lim 1 =+
∞→n
n
n a
a
En este caso la Prueba de la razón no es concluyente, es decir el criterio no
dice nada.- Determine si la serie es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente. 2)
......44
1
33
1
22
11
)1(
1
1
+−+−=−∑
∞
=
−
n
n
nn Serie alternante, veamos si se cumplen las
Propiedades necesarias para aplicar la Prueba de la Serie Alternante…
01
>=nn
na
i) Veamos si se satisface: naa nn ∀≤+1
( ) ⇒>++ nnnn 11 nedecrecientSeriennnn
∀⇒++
> .1)1(
11
Sucesiones y Series
18
Conclusión que puede alcanzarse asociando a la serie dada la respectiva función e investigando su crecimiento a través de la derivada primera:
2/3)(
11
xxxf x ==
( ) ( ) 0002/3
2/5>∀⇒>∀<−=′ xDecrecefx
xf xx
ii) ?0lim¿ =
∞→ nn
a
01
lim =∞→ nnn
Se satisfacen las condiciones i) e ii) eConvergentSerieunaesdadala .....⇒ Además:
=−∑
∞
=
−
1
1)1(
n
n
nn 2/31
1
nn∑
∞
=
Serie convergente, por ser una serie con p=3/2>1.-
Por lo tanto
∑∞
=
−−1
1)1(
n
n
nn Es Absolutamente Convergente.-
7)
∑∞
= +−
1 5
)1(
n
n
n Serie Alternante.-
Veremos si cumple las propiedades para aplicar el criterio correspondiente. i) Análisis del crecimiento de la serie
⇒+>++ nn 515 5.5
1
15
1 −≠∀⇒+
<++
nedecrecientSerienn
Analizamos el crecimiento de la serie asociándole una función y estudiando el signo de la derivada primera:
xf x +
=5
1)(
( ) ( ) ( ) 5505
12
−≠∀⇒−≠∀<+−=′ xDecrecefx
xf xx
ii) Límite del término enésimo:
Sucesiones y Series
19
eConvergentSerienn
.05
1lim ⇒=
+∞→
Pero,
=+
−∑
∞
=1 5
)1(
n
n
n ∑∞
= +1 5
1
n n
Comparamos esta serie con la armónica divergente, con paso al límite:
=+
∞→n
n
n 1
51
lim Divergen
ntn
⇒>=+∞→
015
lim
Entonces la serie dada: ∑∞
= +−
1 5
)1(
n
n
n es Condicionalmente Convergente.-
5)
∑∞
=
−1
3
)3(
n
n
n
Analizamos =−∑
∞
=13
)3(
n
n
n∑
∞
=13
3
n
n
n
*Si tomamos la función correspondiente y hallamos el límite al infinito aplicando L´Hopital:
3)(
3
xf
x
x =
=∞→ 3
3lim
x
x
n=
∞→ 23
3ln3lim
x
x
tn=
∞→ x
x
tn 6
3ln3lim
2
⇒∞=∞→ 6
3ln3lim
3x
tn∑
∞
=13
3
n
n
n Diverge
*Asimismo, si aplicamos el criterio de la razón:
( ) =−
+−
∞→
+
3
.
3
1
3
13
limn
n
nn
n
=+∞→ 3
3
)1(
3lim
n
ntn
=
+∞→
3
1.3lim
n
ntn
Divergentn
⇒>=
+∞→13
/11
1.3lim
3
9)
∑∞
= +−
1 5)1(
n
n
n
n
i) Análisis del crecimiento:
Sucesiones y Series
20
Si x
xf x +
=5)(
( ) ( ) ( ) ( ) xcrecefxxx
xxf xx ∀⇒∀>
+=
+−+=′ 0
5
5
5
522
ii) Límite del término enésimo:
Divergen
ntn
⇒≠=+∞→
015
lim
11)
∑∞
=1 )!2(
1
n n Serie a términos positivos, no utilizamos signos de valor absoluto,
directamente: Aplicamos el criterio de la razón:
=+
∞→)!2(
1
)!22(1
limn
n
n ( )( ) =++∞→ !2.12).22(
)!2(lim
nnn
ntn ( ) eConvergent
nntn⇒<=
++∞→10
12).22(
1lim
Y así la serie resulta Absolutamente Convergente.- 13)
∑∞
=12
2
n n
nSen
Comparamos con la serie p convergente (p=2>1) ∑∞
=12
1
n n
⇒≤ 12nSen22
12
nn
nsen≤
≤∑∞
=12
2
n n
nSen0
1
12
≠∀∑∞
=n
nn
La serie dada es Absolutamente Convergente.-
15)
∑∞
=−
−1
14
)3.(
nn
nn
Utilizamos el criterio de la razón:
Sucesiones y Series
21
( )
=−
+
−
+−
∞→1
.
1
4
.)3(
4
1)3(
limn
n
n
n
n
n
n
( ) ( ) =−
+−− −
∞→ n
nnn
nn
n )3(4
14433lim
1
( )rgenteSerieConve
n
nn
⇒<=+∞→
14
3
.
.1
4
3lim
La serie es Absolutamente convergente.- 17)
∑∞
=++1124)1(
10
nn
n
n
Se trata de una serie a términos positivos y no hace falta utilizar signos de valor absoluto.
Utilizamos el criterio de la razón:
∞→nlim
( )
( ) 12
32
1
4110
4.210
+
+
+
+
+
n
nn
n
n
n
n=
( ) =+
++
+
∞→ nn
nn
tn n
n
104).2(
4110.10lim
32
12 ( ) =+
+∞→ nn
nn
tn n
n
104.4).2(
4.4110.10lim
32
2
( )eConvergentnteAbsolutameesdadaserieLa
n
ntn
.....18
5
)2(
1
4
10lim
2⇒<=
++
∞→
19)
∑∞
= −1 )10(
!
nn
n
Tomamos valor absoluto ya que se trata de una serie alternante, aplicamos el criterio de la razón:
( )( )
( )
=
−
−+
+
∞→
n
n
n n
n
10
!10
!1
lim1 ( )
( )( ) =−−−+=
∞→ !.10.)10(
10)!.1(lim
n
nn
n
tn ( ) ⇒∞=−
+=∞→ 10.
)1(lim
ntn
La serie Diverge.-
21)
Sucesiones y Series
22
∑∞
=1 !
)3/.cos(
n n
nπ
1)3/.cos( ≤πn !
1
!
)3/.cos(
nn
n≤
π
Consideramos la serie
∑∞
=1 !
1
n n
Aplicamos el criterio de la razón para series con términos positivos:
=+
∞→)!(
1
)!1(1
limn
n
n ( ) =+∞→ !1.
)!(lim
n
ntn ( ) eConvergent
ntn⇒<=
+∞→10
1
1lim y como
∑∞
=≤
1 !
)3/.cos(
n n
nπ∑
∞
=1 !
1
n n
Y así la serie dada resulta Absolutamente Convergente.- 23)
∑∞
=+ =
1313nn
nn∑
∞
=
=1
333nn
nn∑
∞
=
=1 27.3n
n
nn∑
∞
=
1
273
1
n
nn
Esta serie tiene términos positivos, aplicaremos el criterio de la raíz:
⇒∞=
∞→
n
n
n
n
27lim La serie Diverge
33) ¿Para cuál de las series adjuntas la prueba de la razón no es concluyente (esto es, no produce una respuesta definitiva)acerca de la convergencia?
a) ∑∞
=13
1
n n
Aplicamos el critrerio de la razón
( ) =+
∞→3
3
1
11
limn
n
n ( ) =+∞→ 3
3
1lim
n
nn
=
+∞→
3
1lim
n
nn
⇒=
+∞→1
1lim
3
n
nn
El criterio no es
Sucesiones y Series
23
concluyente.
b) ∑∞
=1 2n n
n
=+
+
∞→n
n
n
n
n2
211
lim =+∞→ n
nn
n
n .2.2.
2).1(lim AbsolutaiaConvergenc
n
nn
.12
1
.2
1lim ⇒<=+
∞→
c) ∑∞
=
−−1
1)3.(
n
n
n
=−−+
−
∞→n
n
nn
n
1)3(
1
)3(
lim( )( )( )
=+−
−−∞→ 13
33lim
n
nn
n
n( ) =
+−
∞→ 13lim
n
nn
Divergen
n⇒>=
+∞→13
1
1lim3
1
d) ∑∞
= +121n n
n
( ) =+
+++
∞→2
2
1
11
1
limn
n
n
n
n
( )( )[ ] =
++++
∞→ 2
2
11.
11lim
nn
nnn
( )( )[ ] ⇒=
++++
∞→1
11
11lim
2
2
n
n
n
nn
El criterio no es
concluyente en este caso.- 35)
a) Demuestre que ∑∞
=1 !n
n
n
x converge x∀
( )( )( )
=+
+
∞→
!
!1lim
1
n
x
n
x
n
n
n
( )( )( ) =
+=
∞→ !.1.)(
.!.lim
nnx
xxnn
n
tn ( ) =+
=∞→ 1
limn
xtn
0<1
RxConvergeRx ∈∀⇒∈∀
b) Deduzca que xn
xn
n∀=
∞→0
!lim
Sucesiones y Series
24
∑∞
=1 !n
n
n
x es Convergente, ver ejercicio 21, entonces, por Propiedad de las Series
Numéricas – Teorema nº 6, resulta:
∞→nlim
!n
xn
= 0
SECCIÓN 11-7
Sucesiones y Series
25
1)
∑∞
= +−
12
2 1
n nn
n
genteSerieDivernn
nn
⇒≠=+−
∞→01
1lim
2
2
, según prueba de la divergencia.
3)
∑∞
= +12
1
n nn Serie con términos positivos, utilizaremos los criterios de
comparación para dicho tipo de series.-
-Comparamos con la serie p convergente (p>1) ∑∞
=12
1
n n
Directamente: 0.22 >∀+< nnnn
nnn +
>22
11 ∑
∞
= +∴
12
1
n nn Converge por ser menor ( sus términos son más
pequeños) que una serie convergente -Con paso al límite:
=+
∞→2
2
1
1
limn
nn
nConverge
nn
ntn
⇒>=+∞→
01lim2
2
por prueba de
comparación en el límite con una serie convergente. 5)
( ) =−∑
∞
=
+
13
1
2
3
nn
n ( ) ( ) =−−∑
∞
=1 8
3.3
nn
n
( ) =
−−∑∞
=
.8
33
1
n
n
( ) =
−−−−∞
=∑ .
8
3
8
33
1
1
n
n
Serie geométrica convergente
⇒<= 18
3q Convergente a=9/8
Sucesiones y Series
26
=+
=83
89
1S
11
9
811
89
=
15)
∑∞
=1
2
!
3
n
n
n
n Serie con términos positivos, donde encontramos productos y factorial,
entonces aplicaremos la prueba del cociente.
( )( ) =+
+
∞→
+
!.3
!113
2.
21
limnn
nn
nn
n
( )( ) =
++
∞→ 2
2
3!.1
!.13.3lim
nn
nnn
n
n
( )( ) rgenteSerieConve
nn
nn
⇒<=+
+∞→
10.1
.1.3lim
2
2
17)
∑∞
= +1 5
3
nn
n
n
Comparamos con la serie geométrica convergente ∑∞
=
1 5
3
n
n
15/3 <=r
⇒<+
⇒>+n
n
n
nnn
nn
5
3
5
355 La serie dada es menor que la geométrica convergente
utilizada para comparar y por elle también converge. La misma conclusión sacamos con la comparación en el límite:
=+
∞→n
n
n
n
n
n53
53
lim =+∞→ nn
n
tn 5
5lim Convergeseriela ..01 ∴>
Para resolver el límite, asociamos una función a la expresión dada y aplicamos L´Hopital:
=+∞→ xx
x
tn 5
5lim =
+∞→ 15ln5
5ln5lim
x
x
tn1
5ln5
5ln5lim
2
2
=∞→ x
x
tn
31)
∑∞
= +1 )!12(
2
n
n
n
Aplicamos el criterio de la razón, ya que encontramos una expresión con potencias enésimas y factoriales.
Sucesiones y Series
27
=+
+
∞→
+
)!12(2
)!32(2 1
limn
n
nn
n
=+
+∞→ n
n
tn n
n
2)!.32(
)!12.(2.2lim
( ) =+++
+∞→ !12).22).(32(
)!12.(2lim
nnn
ntn
−⇒<=++∞→
..10)!22).(32(
.2lim eConvergentSerie
nntn
