FUNCIÓN Nx y: son términos de la sucesión

SUCESIÓNa1 ; a2 ; a3; a4; a5; a6; …an

–3 ; –1 ; 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; ...

an=2n-5

Ley de recurrenciaTérmino generalTérmino n-ésimo

PROGRESIONES

RAZÓN CONSTANTE

ARITMÉTICAS GEOMÉTRICAS

6; 8;10;12;… r=2

6; 3; 0, -3; -6;… r=-3

5; 10;20;40;… r=2

;...272

;92

;32

;2;6 r=1/2

a1 ; a2 ; a3; a4; …an

;...107

;85

;63

;41

3)12(12

n

nan

x -2 -1 0 1 2 3 4 …

y -9 -7 -5 -3 -1 1 3 …

y=2x-5

rnaa nn )1(

naa

S nn

21

1. nnn raa

1. 1

rara

S nn

ra

S

11

SUCESIONES

Gráfica de una sucesión

Usted trabaja en un supermercadoy le piden que ponga las chinas en forma de una piramide cuadrada condiez capas.

1. Escribe la regla que determina el número de chinas en cada capa.

2. Haga un dibujo que represente la sucesión.

EJEMPLO

Introducción a las Sucesiones

El diagrama de abajo muestra las primeras tres capas

de la pirámide.Sea an el número de chinas en la capa n.

n 1 2 3

an 1 = 1 2 4 = 2 2 9 = 3

2

Podemos observar que an = n

2

Solución

Introducción a las Sucesiones

Uso de Fórmulas de Sumatorias

¿Cuántas chinas habrá en una piramide cuadrada de diez capas de altura?

EJEMPLO

Introducción a las Sucesiones

Usa las Fórmula de Sumas

Sabemos del ejemplo anterior que el enésimo término de la sucesión es an = n

2, donde n = 1, 2, 3, . . . , 10.

10

n= 1n

2 = 12+ 22 + + 102 . . .

10(11)(21)=

6

= 385

Habrán 385 chinas en la piramide.

=6

10(10 + 1)(2 • 10 + 1)

EJEMPLO

Solución

Introducción a las Sucesiones

Ejemplo: Encontrar el término enésimo de {an} ={0, ¾, 1, 15/16 , ¾ , 35/64 ,…}

• Hay dos términos iguales en distinta posición, las fracciones pueden estar simplificadas, hay que hallar las equivalentes.

• a3 = 1, también puede estar simplificada.

• a1 = 0 debe ser cero el numerador pero no el denominador el numerador tiene la forma np–1 con p N.

– Para n–1 los numeradores serían: 0, 1, 2, 3,… NO coinciden.

– Para n2–1 los numeradores serían: 0, 3, 8, 15, 24, 35,… no se cumple para el 3º y 5º términos, que pueden están simplificados.

• Si para n = 3, a3 = 8 la fracción equivalente debería ser 8/8 = 1. Razonando de manera parecida para n = 5 surge a5 = 24/32 = 3/4

• Con estas fracciones, el denominador parece ser 2n.

• Y así: an =n

2

2

1n

Introducción a las Sucesiones

PROGRESIÓN

CLASES DE PROGRESIONES:

a) Progresión Aritmética:

• Es aquella progresión donde los términos siguientes se obtienen sumando un misma número real al término anterior.

b) Progresión Geométrica:

• Es aquella progresión donde los términos siguientes se obtienen multiplicando una misma cantidad real al término anterior.

Es una sucesión, donde los términos siguientes se obtienen sumando o multiplicando, un número real llamado razón, a un término anterior.

PROGRESIONES Y SERIES ARITMÉTICAS

Progresión Aritmética

Una progresión aritmética es una sucesión de números llamados términos, en la que cualquier término es el resultado de sumar al anterior una cantidad constante (positiva o negativa), llamada diferencia común y se calcula como:

Un término n menos el que le antecede

1 nn aad

Progresión Aritmética

• Para calcular el enésimo término de cualquier progresión aritmética utilizamos:

• Donde: • an = último término• n = número de términos• a1 = primer término• d = la diferencia común

dnaan )1(1

Progresión Aritmética

Ejemplo: 4, 8, 12, 16, 20, 24

El primer termino es (a1) es 4. La diferencia común (d) es 4, pues 8 – 4 = 4, 12 – 4 = 4. El número de términos (n) es 6. Primer termino: a1 = 4

Segundo termino: a1 + d = 4 + 4 = 8

Tercer termino: a1 + 2d = 4 + 2(4) = 12

Cuarto termino: a1 + 3d = 4 + 3(4) = 16

Quinto termino: a1 + 4d = 4 + 4(4) = 20

Sexto termino: a1 + 5d = 4 + 5(4) = 24

Progresión Aritmética

• Además la suma de los n primeros términos de este tipo de sucesiones se puede calcular como:

 

                      

• Donde: • S = es la suma de los n términos• an = último término• n = número de términos• a1 = primer término• d = la diferencia común

2

) ( a1 nS

+ an

¡¡¡A PRACTICAR!!!AHORA TE DESAFIAMOS A RESOLVER LOS

SIGUIENTES EJERCICIOS

Completar:

Progresión Primer Término

a1

Diferencia común d

Valor del 8° término

an

Clasificación de la

progresión

12, 18, 24, 30, 36

-3, -3/2, 0, 3/2, 3, 9/2 ….

2, 6, 10, 14, 18, 22

½, 1, 1 ½, 2 ....

Si el tercer término de una progresión aritmética es –50 y la diferencia es 6, ¿cuáles son los diez primeros términos de la progresión? Escribe el término general.

___ , ___ , –50 , ___ , ___ , ___ , ___ , ___ , ___ , ___ , …

Hay que ir sumando 6 para obtener los términos siguientes

–50 + 6 = –44

–44

–44 + 6 = –38

–38

–38 + 6 = –32

–32

–32 + 6 = –26

–26

–26 + 6 = –20

–20

–20 + 6 = –14

–14

–14 + 6 = –8

–8

Hay que ir restando 6 para obtener los términos anteriores–50 – 6 = –56

–56

–56 – 6 = –62

–62

Término general: an = a1 + (n–1)dan = –62 + (n–1)6an = –62 + 6n – 6an = –68 + 6n

Sabiendo que el cuarto término de una progresión aritmética es 15 y que el décimo es 36, obtén los diez primeros números que forman la progresión. ¿Cuál es el término general de esta progresión?

___ , ___ , ___ , 15 , ___ , ___ , ___ , ___ , ___ , 36 , …

Hay que calcular la diferencia:Como se conocen a4 y a10 podemos escribir a10 = a4 + (10 – 4)d

36 = 15 + (10 – 4)d36 = 15 + 6d36 – 15 = 6d21 = 6d21/6 = d3´5 = d

A partir del número 15 vamos sumando 3´5 y completando la progresión.

18´5 22 25´5 29 32´5

Los primeros términos se obtienen a partir del 15 restando 3´5.

11´584´5

Término general: an = a1 + (n–1)dan = 4´5 + (n–1)3´5an = 4´5 + 3´5n – 3´5an = 1 + 3´5n

En una progresión aritmética el cuarto término es 11 y el noveno 31. Calcula la suma de los 150 primeros términos de la progresión. a4 = 11

a9 = 31

a9 = a4 + (9 – 4)d

31 = 11 + 5d31 – 11 = 5d20 = 5d20/5 = d 4 = d

Primero se calcula d:

a4 = a1 + (4 – 1)d

11 = a1 + 3·411 = a1 + 1211 – 12 = a1

-1 = a1

Ahora se calcula a1:

a150 = a1 + (150 – 1)d

a150 = –1 + 149·4a150 = –1 + 596a150 = 595

Ahora se calcula a150:

Ya se puede calcular la suma: S150 = ––––––––––––(a1 + a150)·150

2= ––––––––––––

(–1 + 595)·150

2

S150 = –––––––594·150

2= ––––––

89100

2= 44550

¿Cuántos números se han sumado de una progresión aritmética si el resultado ha sido 855, el primero era 8 y el último 30?

Sn = –––––––––(a1 + an)·n

2

855 = –––––––––(8 + 30)·n

2

855 = ––––38·n

2

––––– = n1710

38

45 = n

Sn = 855

a1 = 8

an = 30

855·2 = 38·n

1710 = 38·n

PROGRESIONES Y SERIES GEOMÉTRICAS

22

Progresión Geométrica

• Es una sucesión de números llamados términos, de tal forma que cada uno de ellos, después del primero, se obtiene multiplicando el termino anterior por una cantidad constante (entero o fracción, positivo o negativo)  llamada razón común.

1

n

na

ar

23

Progresión Geométrica

• 6/3, 12/3, 24/3….

• La razón común es r = 2 dado que:

• 6/3 * 2 = 12/3• 12/3 * 2 = 24/3

• Los elementos de una progresión geométrica son:

• a1 = primer término• r = la razón común• an = último término o enésimo termino• n = número de términos

24

Progresión Geométrica

• Para calcular el enésimo término tenemos:

• Donde :• a1 = primer término• r = la razón común• an = último término o enésimo termino• n = número de términos

11.

nn raa

25

Progresión Geométrica

• La suma de los n primeros términos se podría calcular como:

• Cuando r = 1

r - a1 anS

r 1

¡¡¡A PRACTICAR!!!AHORA TE DESAFIAMOS A RESOLVER LOS

SIGUIENTES EJERCICIOS

Escribe los seis primeros términos de una progresión geométrica sabiendo que la razón es 2 y que el tercer término es 12. ¿Cuál es el término general?

___ , ___ , 12 , ___ , ___ , ___ , …

Hay que ir multiplicando por 2 para obtener los términos siguientes

12 · 2 = 24

24

24 · 2 = 48

48

48 · 2 = 96

96

Hay que ir dividiendo por 2 para obtener los términos anteriores12 : 2 = 6

6

6 : 2 = 3

3

Término general: an = a1 · rn–1

an = 3 · 2n–1

an = 3 · –––2n

21

an = –– · 2n3

2

an = 1´5 · 2n

Sabiendo que el segundo término de una progresión geométrica es 36864 y que el quinto es 15552, encuentra los nueve primeros términos de la progresión. ¿Cuál es el término general?

_____ , 36864 , _____ , _____ , 15552 , _____ , _____ , _____ , ______ , …

Hay que calcular la razón:Como se conocen a2 y a5 podemos escribir a5 = a2 · r

5 – 2

15552 = 36864 · r3

––––– = r315552

36864

0´421875 = r3

3 0´421875 = r

0´75 = rA partir del número 36864 vamos multiplicando por 0´75 y completando la progresión.

27648 20736 11664 8748 6561

El primer término se obtienen a partir del 36864 dividiendo por 0´75.

49152 4920´75

Término general: an = a1 · rn – 1

an = 49152 · 0´75n – 1

an = 49152 · –––––0´75n

0´751

an = ––––– · 0´75n49152

0´75

an = 65536 · 0´75n

Averigua cuánto suman los veinticinco primeros términos de una progresión geométrica sabiendo que el primer término es 5 y que el cuarto es 40.

a1 = 5

a4 = 40 a4 = a1 · r4 – 1

40 = 5 · r3

Primero se calcula r:

–– = r340

5

8 = r3

3 8 = r

2 = r

Ahora se calcula a25:

a25 = a1 · r25 – 1

a25 = 5 · 224

a25 = 5 · 16777216

a25 = 83886080

Ya se puede calcular la suma: S25 = –––––––––a25 · r – a1

r – 1= ––––––––––––––

83886080 · 2 – 5

2 – 1

S25 = –––––––––––––167772160 – 5

1= 167772155

Suma todos los términos de una progresión geométrica sabiendo que el primer término es 21 y que el tercer término es 3´36.

a1 = 21

a3 = 3´36 a3 = a1 · r3 – 1

3´36 = 21 · r2

Primero se calcula r:

–––– = r23´36

21

0´16 = r2

0´16 = r

0´4 = r

Ahora se calcula la suma:

S∞ = –––– a1

1 – r

S∞ = –––––– 21

1 – 0´4= ––––

21

0´6= 35

LOS NÚMEROS POLIGONALESLA SUCESIONES DE FIBONACCI