CATEDRA_4

Modelamiento y Simulacin

Victor Alvarez Celedon 1

Revisin de teora de probabilidad.

En teora de inventarios las demandas pueden ser determinsticas contra probabilsticas y estacionarias contra no estacionarias.

En teora de colas se utilizarn distribuciones de probabilidad como las llegadas de poisson y los tiempos exponenciales de servicio.

Una de las actividades del modelamiento matemtico es el anlisis de los datos primarios del sistema en estudio.

Media y varianza. El primer paso para representar la naturaleza de los datos es calcular la media y

varianza. La media es una representacin de la tendencia central de los datos. La varianza es una medida de la dispersin o de la variacin aleatoria alrededor

del valor de la media o del grado de incertidumbre. En el sentido que a mayor varianza, ms inclinados estaremos a pensar que la variable es de carcter probabilstico en vez de determinstico.



Existen dos tipos de variables estadsticas: Basadas en la observacin. Ejemplos son el tiempo en una lnea de espera, el

tamao de una orden de inventario y el tiempo entre llegadas.

Basadas en el tiempo (valores en funcin del tiempo). Ejemplos son el tamao de una lnea de espera, ya que debemos el lapso de tiempo dentro del cual se conserva el tamao dado de la lnea.

n

xxmedia

n

ii

== 1;11

)(;var

2

1

2

1

2

2

=

=

==n

xnx

n

xxSianza

n

ii

n

ii

TA

T

txxmedia

n

iii

==

=1; 212

1

2

2)(

;var xT

tx

T

txxSianza

n

iii

n

iii

=

=

==

x1

x2x3 xT

t1 t2 t3 tTT



Variables aleatorias. Una variable aleatoria representa el resultado de un experimento, pudiendo

tomar una serie de valores dentro de un espacio muestral finito o infinito. Los resultados pueden ser o no numricos, para su tratamiento matemtico se asignan valores, los cuales pueden ser discretos o continuos.

Variables aleatorias: discretas. Sea X una v.a. de S (espacio muestral) con un conjunto infinito contable. X(S)={x1 x2 x3 } Sea f(x) funcin de densidad de probabilidad y Fx(X) funcin de densidad

acumulada.

)(

)()()(

)()(

1

2

1

XV

xfxXV

xfxXE

X

iii

iii

==

=

=

=

==

==b

axxfbXaP

afaXP

)()(

)()( f(x)

x



Variables aleatorias: continuas.

a b

==

==

b

a

dxxfbXaP

sombreadaparteladeareabXaPdefinidonoaXP

)()(

)(

)(

1)( =+

dxxf

)(

)()()(

)()(

2

XV

xfxXV

xfxXE

X =

=

=

+

+



Resumen de distribuciones comunes.

Distribucin normal



Ejemplo:Hallar; (z= 1/4)

(z= 1/2)

(z= -3/4)

P (-0,81 Z 1,13)

z? para (z) = 0,4744



Distribucin triangular



Distribucin uniforme

a bx

f(x)



Distribucin weibull

Distribucin Binomial

Pruebas repetidas e independientes de un experimento con dos resultados; llamamos uno de los resultados favorable (o xito) y el otro desfavorable (o fracaso). Sea p la probabilidad favorable asique q=1-p es la probabilidad desfavorable.

Y= probabilidad





Distribucin Poisson Ejemplos;

Numero de llamadas telefnicas por minuto.

Numero de defectos por rea en una plancha metlica.

Ejemplo:Supngase que el 2% de los artculos producidos en una fabrica son defectuosos. Hallar la probabilidad de que haya 3 artculos defectuosos en una muestra de 100 artculos.

n= 100p= 0,02= n*p= 2

x P(x)3 8 0,13533528 6 0,18044704





Distribucin exponencial



Distribucin beta



1.2.6. Consideracin probabilstica en un modelo de inventario simple EOQ, EMQ.

Pr

L

q

1

3*

13*

13

2

2

2)(

CrCq

rCCCTU

qCq

rCqCTU

==

+=

Pr: Punto de reordenamiento

Ejemplo:C1 =Costo diario de mantener el inventario por unidad $0.02C3 = Costo Fijo de $ 100 cada vez que se coloca un pedidor = Tasa de demanda 100 unidades diarias.



[ ] [ ]dastunidadesq 101000* 2 ==Supongamos que el tiempo de fabricacin es 12 das, Cul es el tamao de L, como tiempo de entrega?

12 das

L= 12 10 = 2 das, en general L = Tpo. Entrega n t2* >0, donde n es el entero mas grande sin exceder (Tpo. Entrega)/ t2*.Pr = 2 x 100 = 200 unidadesCmo ser L si el tiempo de fabricacin es 15 das, 23 das, 8 das, 10 das? Y cual ser en cada caso el punto de reordenamiento Pr?

L 101000

**

2

==tq

LPR



Una forma sencilla de no ignorar totalmente, la consideracin de una demanda probabilstica es la siguiente:Se considera una funcin densidad de probabilidades para el nivel de demanda en el tiempo de entrega L.Supongamos la funcin densidad de la demanda durante el tiempo de entrega. Adems supongamos que la probabilidad de no tener artculos en almacn durante L no debe exceder de .Entonces, el tamao del amortiguamiento, o stock de seguridad B, se determina a partir de: , donde , representa el consumo durante L.{ } + LrBxP Lr

)(xf

Continuando con el ejemplo:Suponga que la demanda diaria sigue una distribucin normal

B = ?, considere = 0,05Demanda en el Tiempo de entrega

)14.14,200( == LLNLr )10,100( == Nd



14.14

102102

2

2

===

==

LL

L

L

V

VV

VV

Como:

200100*2 ===

L

L n

Segn taha.

{ }

+

LL

LL

Ll

BxP

BxPRecordemos la relacin bsica: )14.14,200( == LLN

)1,0( == zzN

LAmortiguacin

Punto de reordenamiento

Q* + B

B+Lr

B



0 =L

B

=

L

LLL

LL

B

BBxP

1

1

=0,051-=0,9595,0=

L

B

1,64485363 De tabla se obtiene 1,64

Para que sea mayor a 0,95 entonces;

L

B

2,2314,14*64,1

*64,1

64,1

BBB

B

L

L



1.3 Modelos probabilsticos. Modelos de Inventario donde la demanda es aleatoria ( Tambin llamada

Estocstica), a pesar de esto, con una distribucin de probabilidades conocida.

La demanda en un periodo es independiente de la demanda en otro periodo

1.3.1 Modelo de un solo periodo Tiene aplicaciones como : La industria de la moda. Artculos perecederos corta vida. Artculos que se obsoletizan.

)( : Distribucin de Pbbs conocida de la demanda [ ]= DemandaPbbh(z) y p(z) : Funciones de Costo de Mantenimiento y Costo Penal,

cuando el inventario disponible (Inventario efectivo) es z.C(q*) : Funcin de Costo de Reorden o Produccin, cuando la

cantidad ordenada o producida es q* .: Costo mantencin por producto en el periodo.: Costo penal por producto en el periodo.

hp



1.3.1.1 Consumo instantneo, sin costo fijo y entrega inmediataSe supone que la demanda se satisface al comienzo del periodo y su consumo

es instantneo.Si Y es el inventario antes de satisfacer la demanda aleatoria el costo de

mantenimiento ser :



Ntese que la entrega es inmediata :y : Cantidad en inventario despus de ordenar o producir.x : Cantidad en inventario antes de tomar una decisin

( evidentemente decisin = Y - X ).

Intentemos construir el Costo Total Esperado E{ C(Y) }

Si la distribucin () fuese discreta.

Y X ,

{ }444444 8444444 76 )(

0

)()()()()()(

yL

y

y

ypyhxycyCE ++=

{ } =

++=y

y

ypyhxycyCE )()()()()()(0



CASO CONTINUOSea

L(y) = Valor esperado del costo de mantenimiento y del costo penal.

E{C(y)} = C(y-x) + L(y), donde :

Modelo Final :

Un resultado conocido es que si L(y) es estrictamente convexo, la poltica ptima es:

+=y

y

ypyhyL )()()()()(0{ }

*......)()()(

yConocerxy

aSyLxycyCMinE

+=

X < Y*

NADA

PRODUCIR ORDENAR

Y* - XSi

No

No se considera la restriccin, para encontrar el optimo.



Busquemos Y*

y*, se obtiene de :

Supuesto: h(i) = hi ; p(i) = pi

{ } { } 0)(;0)( 22

=

y

yCEy

yCE

{ }dy

yLcy

yCE )()( += ?)( =

yyL

+=

+=

y

tecons

y

tecons

yy

y

y

pyphhyyL

ypyhyL

)()()()()(

)()()()()(

tantan

00

0

4847648476

= yy

phyyL )()()(

0



pphyyL

phyyL

y

yy

+=

=

0

00

)()()(

))(1()()(

[ ] =y

yPbb )(Recordar que;

{ }

][)()()(

0)()()(;

0

0

yPphcp

pphcy

yCEdonde

y

y

==+

=++=

y

)()(

phcp

+

)(

Esto es para el caso continuo



En el caso discreto, por observacin se puede decir que :

[ ] [ ]11 ** ++ yPbbph cpyPbb

1.0

0.5

0

p - Ch + p

1 2 Y*-1 Y* Y*+1 Y*+ 4

p - Ch + p

F Pbb



Ejemplo 1.3.1.1-aConsidere el modelo de un periodo con h= $ 0.5 , p = $ 4.5 y c = $ 0.5. la funcin de densidad de la demanda est dada como;

>=100

10010/1)(

DD

Df

[ ]yPbb

[ ]

8*

10*

101)(*

8.05.05.45.05.4

*

0

*

0

=

===

=+=+

=

yentonces

yyPbb

yphcpq

yy

1.0

q=0.8



EJERCICIO:Un distribuidor de peridico compra peridicos a $0,36 y los vende a $0,50. El costo por faltantes es $0,50 por peridico (ya que el distribuidor los compra al menudeo para satisfacer estos faltantes). El costo de mantener inventario es $0,002 por peridico que queda al final del da. La demanda de peridicos tiene una distribucin uniforme entre 200 y 300. encuentre el numero optimo de peridicos que debe comprar el distribuidor.

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