CATEDRA_7

Modelamiento y Simulacin

Victor Alvarez Celedon 1

2.4. Proceso de nacimiento y muerte.

La mayor parte de los modelos de colas establece de que las entradas ( Clientes que llegan ) y las salidas ( Clientes que salen ), del Sistema de Colas ocurren de acuerdo al proceso de Nacimiento y Muerte.

Nacimiento: Se refiere a la llegada de un nuevo cliente al Sistema de Colas.Muerte: Se refiere a la salida de un cliente servido.N (t): Denota el estado del sistema en el instante t 0.

En trminos generales se dice que los nacimientos y las muertes individuales ocurren de Manera Aleatoria , en donde sus tasas medias de ocurrencia dependen nicamente del estado actual del Sistema.

HIPOTESIS 1:Dado N(t)=n, La distribucin actual de Pbb. del tiempo restante , hasta el siguiente nacimiento es EXPONENCIAL con parmetro (n) (n=0,1,2,.....).



HIPOTESIS 2:

Dado N(t)=n, La distribucin actual de Pbb. Del tiempo restante , hasta la siguiente muerte es EXPONENCIAL con parmetro (n) (n=0,1,2,....).

HIPOTESIS 3:Slo puede ocurrir un Nacimiento o una Muerte en un instante.

2.4.1. DIAGRAMA DE TASAS PARA EL PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE.

(DIAGRAMA GENERAL )

0 1 2 n-1 n n+1

0 1 2 n-2 n-1 n n+1

1 2 3 n-1 n n+1 n+2

Estado:

Consideremos cualquier estado particular del sistema n (n=0,1,2,....). Supngase que se estuviera empezando a contar el nmero de veces en que el proceso entra a este estado y el nmero de veces en que sale de l.

Como los dos tipos de incidentes deben alternarse, estos dos contadores deben ser iguales o diferir tan slo en 1.

Esta diferencia posible de 1, al final, causara una diferencia despreciable en el clculo de Tasas Promedio, a las que han ocurrido estos dos tipos de incidentes.

Por lo tanto, en el largo plazo, estas dos tasas Deben ser iguales.

Principio Clave : Tasa de Entrada = Tasa de Salida nEsta ecuacin se denomina: Ecuacin de Balance para el estado n.

La tasa (de entrada, de salida) es una tasa media y se entiende como el Nmero esperado de ocurrencias por una unidad de tiempo. La ecuacin de balance para el estado n, expresa entonces que: la tasa media a la que los incidentes de entradaocurren, debe ser igual a la tasa media a la cual ocurren los incidentes de salida.

1 0t t



La metodologa indica que se deben construir las ecuaciones de balance para todos los estados, en trminos de las probabilidades Pn desconocidas, entonces, se podr resolver el sistema de ecuaciones para determinar esas Pbbs.n=0.El proceso entra a este estado nicamente desde el estado 1. Por tanto, la Pbb. de estado estacionario, de encontrarse en el estado 1 (P1) , representa la proporcin (%) de veces que le sera posible al proceso entrar al estado 0.Por otro lado, dado que el proceso se encuentra en el estado 1, la tasa media de entrar al estado 0 es 1.En otras palabras, por cada unidad acumulada de tiempo que el proceso pase en el estado 1, el nmero esperado de veces en que saldra del estado 1 para entrar al estado 0 es 1. Desde cualquier otro estado esta tasa media es cero.Por lo tanto, la Tasa media global a la cual el proceso sale de su estado actual Para entrar al estado 0. (La tasa media de ocurrencias de los incidentes de entrada) es:

Por medio del mismo razonamiento, La tasa media de ocurrencia de los incidentes de salida debe ser: 0Po.Ec. Bal. Estado n=0 es:

( ) 1 1 1 1 10 1P P P+

1 1 0 0P P=Modelamiento y Simulacin


ESTADO TASA DE ENTRADA. = TASA DE SALIDA.

0 1 2 . . . n-1 n . . .ESTADO 0 :

1 :

2 : . . . n-1:

n .: . .

1 1 0 0P P=( ) 0 0 2 2 1 1 1P P P+ = +( ) 1 1 3 3 2 2 2P P P+ = +

1 0 1 0P P=

( ) P P P+ = +2 2 1 1 1n n n n n n n ( ) 1 1 1 1P P Pn n n n n n n+ = + + +

3

23

21

P P= + ( )3

2 2 1 123

22 1 03 2 1

0 P P P P = =

1 2 1n n n n nP ( )1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 0 0

1

P P P P Pn

nn n n n n

nn

n n= + = = . . .

. . .

( )11 1

1 11

1

P P P P Pn

nn

nn

n n n nnn

nn= + = =+ + + +

n nn n n

P +

1 2 1 01 1 2 1

0

. . .. . .

2 2 2 2 1( )

2

11 1 1 0 0

11

1 00

1P P P P P P= + = =





Sea : n

n nn n

C =1 2 1 0

1 2 1

. . .. . .

P n =C n * P 0

; para n=1,2,....

; n=0 1,2,....

=

=

=

+==

+

=+

=

1

01

0

100

0

1

111

1

1

nn

n

nn

nn

CPCP

PCP

PComo:



W : Nmero esperado de elementos en el sistema.

L : Nmero esperado de elementos en la cola .

W n Pn

n==

0

( )L n s Pnn s

= =

Valor Esperado del tiempo en el sistema :

Valor Esperado del tiempo en la cola :

LW : Es la tasa promedio de llegadas a largo plazo, puesto que , es la tasa media

de llegadas mientras el sistema se encuentra en el estado n (n=0,1,2,...) y Pn Es la proporcin ( % ) de veces en que el sistema se encuentra en ese estado:

NOTAS :

x

X

==

n nn

P0

1

= + nN NX XX0

11

= nX0

11

1

;

2.4.2. un servidor ( ).MM1 / / ,....3,2,1;,....2,1,0; ==== nn nn

Tasa De Llegada y Tasa De Servicio Constante.

0 1 2 n-1 n n+1

n

Sea como

P

nCn =

=

Pnn=

;

.

= , , .....1 2

n =; , , ..1 2

P C P nn n= ; ..= , , ..1 20

0

Como PCn

n

n

n=

+=

+=

=

1

1

1

1

10

1 1 0

( )

P

P P

Encontramos que: W

Y que

Como:

n n

0

0

11

1

1

1 1

1

=

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