CD_U2_EA_jdwb

5/12/2018 CD_U2_EA_jdwb - slidepdf.com

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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRALCALCULO DIFERENCIAL E INTEGRALUNIDAD 2UNIDAD 2

INGENIERÍA EN DESARROLLO DEINGENIERÍA EN DESARROLLO DESOFTWARESOFTWAREEVIDENCIA DE APRENDIZAJE

ALUMNO: JOSE DANIEL WONG BE



PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD2PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD2

Los conceptos de límite y continuidad son labase para iniciar el estudio de la derivada; dehecho, la derivada es un límite.

En esta unidad, iniciaremos con la definicióne interpretación intuitiva de límite y nosapoyaremos en la gráfica para mostrar lo quesucede con el límite de una función.La definición de límite nos ayudará acomprender el concepto de continuidad yeste nos permitirá identificar qué situacionesde la vida cotidiana se pueden representarpor medio de una función continua.

ALUMNO: JOSE DANIEL WONG BE



Definición de limiteDefinición de limiteEn matemática, el límite es un concepto que describe latendencia de una sucesión o una función, a medida que losparámetros de esa sucesión o función se acercan adeterminado valor. En cálculo (especialmente en análisisreal y matemático) este concepto se utiliza para definir los

conceptos fundamentales de convergencia, continuidad,derivación, integración, entre otros.El concepto se puede generalizar a otros espaciostopológicos, como pueden ser las redes topológicas; de lamisma manera, es definido y utilizado en otras ramas de lamatemática, como puede ser la teoría de categorías.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de formaabreviada mediante lim como en lim(an) = a o serepresenta mediante la flecha () como en an a.http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico

ALUMNO: JOSE DANIEL WONGBE



CÁLCULO DE LÍMITES POR CÁLCULO DE LÍMITES POR MEDIO DE LOS MÉTODOSMEDIO DE LOS MÉTODOS

GRÁFICO Y NUMÉRICOGRÁFICO Y NUMÉRICO




INTRODUCCIÓN A LOS LÍMITESDibujar la Gráfica de la función f dada por:

Con x <> 1 dibujar la gráfica con la tablade valores.

Con x = 1 no lo podemos hacer. Para conseguir una idea del comportamiento de

la gráfica se usará valores de xx que se aproximena 11 por la izquierda y por la derecha.

1,1

1)(

3

{

! x

x

x x f




x se aproxima a 1 por laizquierda

x se aproxima a 1 por laderecha

x 0.75 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.1 1.25

f(x) 2.31 2.71 2.99 2.97 ? 3.003 3.03 3.31 3.81

f(x) se aproxima a 3 f(x) se aproxima a 3




3)(1

!p

x f lím x




Si f(x) se acerca arbitrariamente a unnúmero L, cuando x se aproxima a c por laizquierda y por la derecha entonces:

c x

L x f p

!)(lim




Ejemplo: Estimación numérica de unlímite. Evaluar la función

en varios puntos cercanos a x = 0 y usarel resultado para estimar el límite.

11)( ! x x x f




x se aproxima a 0 por laizquierda

x se aproxima a 0 por laderecha

x -0.01 -0.001 -0.0001 0 0.0001 0.001 0.01

f(x) 1.9949 1.9950 1.9995 ? 2.00005 2.0005 2.00499

f(x) se aproxima a 2 f(x) se aproxima a 2




El límite de f(x) cuando x seaproxima a 2 es 0

f no esdefinida

en x = 011)( ! x x x f

2)(lim0

!p

x f x




LÍMITES QUE NO EXISTENEjemplo: Comportamiento diferente por la derecha ypor la izquierda. Demostrar que el límite no existe:

x

x!

p0x

lim

Solución

0,1 "! x x

x0,1 ! x

x x




Independientemente de cuanto seaproxime x a 0, existirán valores tantopositivos como negativos que darán

f(x) = 1 y f(x)=-1

)0,( H )0,(H

Los valoresnegativos de x

dan comoresultado |x|/x =

-1.

Los valorespositivos de x dan

como resultado|x|/x = 1.

Límite noLímite no

existeexiste




20x

1lim

x!

p

LÍMITES QUE NO EXISTENEjemplo: Comportamiento no acotado. Analizar la existencia del límite:

Solución: Si jugamos con valores nospodemos dar cuenta que si x se aproxima a 0,f(x) crece notablemente:

1001)(1010

2"!

x x f x

10000001

)(

1000

10

2"!

x

x f x ALUMNO: JOSE DANIEL WONGBE



f(x) no se aproxima a ningúnnúmero real L cuando se aproximaa 0, por tanto se concluye que el

límite no existe.




x sen

1lim

0x!

p

LÍMITES QUE NO EXISTENEjemplo: Comportamiento oscilante. Analizar la existencia del límite:

x 2/ 2/3 2/5 2/7 2/9 2/11

Sen (1/x) 1 -1 1 -1 1 -1

Por tanto el límite no existe




Conclusiones:

1. f(x) se aproxima a números diferente porla derecha de c que por la izquierda.

2. f(x) aumenta o disminuye sin límite amedida que x se aproxima a c.

3. f(x) oscila entre dos valores fijos a

medida que x se aproxima a c.




DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITESea f una función definida en un intervaloabierto que contiene a c y L un número

real:

Significa que para todo >0 existe uno

>0 tal que si:

c x

L x f p

!)(lim

IH L x f entoncesc x )(,0ALUMNO: JOSE DANIEL WONGBE



CÁLCULO ANALÍTICOCÁLCULO ANALÍTICODEDE

LÍMITESLÍMITES




PROPIEDADES DE UN LÍMITETeoremaTeorema 11..11:: Límites Básicos: sin b y cson números reales y n un entero

positivo.bb

c x!

p

lim c xc x

!p

lim

nn

c xc x !

p

lim




Ejemplo: EvaluaciónEvaluación dede LímitesLímites BásicosBásicos::

33lim2

!p x

4lim4

!p x

x

42lim 22

2!!

p x

x




TeoremaTeorema11

..22::P

ropiedades de los Límites:sin b y c son números reales y n un enteropositivo, f y g funciones con los límitessiguientes:

1. Múltiplo Escalar:

2. Suma o Diferencia

3. Producto:

L x f c x !p )(lim K x g c x !p )(lim

? A b L x f bc x

!p

)(lim

? A K L x g x f c x

s!sp

)()(lim

? A L K x g x f c x

!

p

)()(lim ALUMNO: JOSE DANIEL WONGBE



4. Cociente:

5. Potencias:

0,)(

)(lim {!¼

½

»¬-

«p

K que siempre K

L

x g

x f

c x

? A nn

c x

L x f !

p

)(lim




Ejemplo: LímiteLímite dede unun PolinomioPolinomio

3lim4lim)34(2

2

2

2

2 ppp

! x x x

x xlím

19

316

3)2(4

3lim)lim(4

2

2

2

2

!

!

!

!pp x x

x




TeoremaTeorema 11..33::Límites de las funcionespolinómicas y racionales: si p es unafunción polinómica y c un número real:

Si r es una función racional dada por r(x) =

p(x)/q(x) y c un número real tal que q(c)0tenemos

)()(lim c p x pc x!

p

)(

)()()(lim

cq

c pcr xr

c x!!

p ALUMNO: JOSE DANIEL WONGBE



Ejemplo: LímiteLímite dede unauna FunciónFunción racionalracional

Como el denominador no es 0 cuando x=1

1

22

1

p x

x xlím x

2

2

411

2112

1

!

!

p x

lím




T

eorema 1.4:T

eorema 1.4:Límite de una Funciónradical

Si n es un entero positivo:

Para toda c si n es impar

c > si n es par

nnc x

c x !plim




T

eorema 1.5T

eorema 1.5 Límite de una FunciónCompuestaSi f y g son funciones tales que:

y

Entonces:

L x g c x

!p

)(lim )()(lim L f x f L x

!p

)())(lim())((lim L f x g f x g f c xc x !! pp




Teorema 1.6.Teorema 1.6. Límites de funciones

trigonométricasSea c un número real:

c sen x senc x

!p

)(lim c xc x

cos)cos(lim !p

c xc x

tan)tan(lim !p

c xc x

cot)cot(lim !p

c xc x

sec)sec(lim !p

c xc x

csc)csc(lim !p




Ejemplos

00tan)tan(lim0

!!p

x x

4!44!!4p4p4p

)cos(coslimlim)cos(lim x x x x x x x

00)(limlim 22

0

2

0!!!

pp x sen x sen

x x




CONTINUIDAD DECONTINUIDAD DE

LÍMITES LATERALES OLÍMITES LATERALES OUNILATERALESUNILATERALES




Definición de ContinuidadContinuidad en un Punto: una funciónf es continua en c si se satisfacen:

)()(lim

)(lim

)(

c f x f

existe x f

definidaestac f

c x

c x

!p

p




Continuidad en un Intervalo Abierto: sies continua en cada punto del Intervalo.

Una función continua en la recta de losnúmeros reales enteros (-,) escontinua en todas partes.




Ejemplos: Analizar la continuidad de cadafunción.

x x f

1)( !

Aplicando el Teorema de lasfunciones polinómicas se concluye

que f es continua en todos losnúmeros reales excepto x = 0, porque 1/0 = indefinido





x x f

1

)(!

Aplicando el Teorema de lasfunciones polinómicas seconcluye que f es continua entodos los números reales

excepto x = 0, por que 1/0 =indefinido





x sen y !

Aplicando el Teorema defuncionestrigonométricas se

concluye que f escontinua en todosu dominio (-,)




Ejemplo límite Lateral

04lim 2

2

!

p

x x

E ncontrar E ncontrarel el límitelímitedede cuandocuandoxxseseaproximaaproxima aa--22porporlaladerechaderecha

24)( x x f !




Teorema 1.10Teorema 1.10 Existencia de un límite

L x f y L x f c xc x

!! pp

)(lim)(lim

Si f esuna funciónycyLsonnúmeros reales,el límitedef(x)cuandoxseaproximaacesLsiysólosí:




Definición de Continuidad en unIntervalo cerrado

)()(lim)()(lim b f x f ya f x f b xa x

!! pp

Una función f es continua en un intervalo cerrado[a,b]siescontinuaenel Intervaloabierto(a,b)n

La función f es continuapor la derechaenay continuapor la izquierdaenb




Ejemplo Continuidad en un Intervalocerrado

AnalizarAnalizarlalacontinuidadcontinuidaddede

Seconcluyequefescontinuaen[-1,1]

21)( x x f !

)1(01lim 2

1!!

p

f x x

)1(01lim 2

1 f x

x!!

p

Continua por laderecha

Continua por laizquierda




Teorema 1.11Teorema 1.11 Propiedades de la

ContinuidadSibesunnúmerorealyfygsoncontinuasenx=c,entonceslassiguientestambiénsoncontinuasenc:

Múltiploescalar:bf

SumaoDiferencia:f±g

Producto:fg

Cociente: f,sig(c)0g




LÍMITES INFINITOSLÍMITES INFINITOS




Definición de Límites InfinitosSea f una función definida en todo número real de unintervalo abiertoquecontieneac(salvoposiblemente,enelpropioc).Laexpresión

c x

x f p

g!)(lim

c x x f p

g!)(lim




Determinación de límites infinitos aDeterminación de límites infinitos apartir de una Gráficapartir de una Gráfica

g!

p 1

1lim1 x x

g!

p

1

1lim

1 x x




Determinación de límites infinitos a partirDeterminación de límites infinitos a partirde una Gráficade una Gráfica

g!p

21 )1(

1lim

x x




Determinación de límites infinitos aDeterminación de límites infinitos a

partir de una Gráficapartir de una Gráfica

g!

p2

1 )1(

1lim

x x




Teorema 1.15 Propiedades de los

Límites InfinitosSeancyLnúmerosreales,yfygfuncionestalesque:

SumaoDiferencia:

Producto:

g!p

)(lim x f c x

L x g c x

!p

)(lim

? A g!sp

)()(lim x g x f c x

? A

? A

? A 0,)()(lim

,)()(lim

)()(lim

g!

"g!

g!

p

p

p

L x g x f

o L x g x f

x g x f

c x

c x

c x




Cociente:

0)(

)(lim !p x f

x g

c x




Ejemplo: Cálculo de Límites

CalcularCalcular loslossiguientessiguienteslímiteslímites

g!¹

º

¸©

ª

¨@

g!

!

¹ º

¸©ª

¨

p

p

p

p

20

20

0

20

11lim

1

lim

11lim

11lim

x

x

x

x

x

x

x




BIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍA

y CÁLCULO OCTAVA EDICIÓN: LARSONHOSTLER EDWARDS.

CAPÍTULO 1 LÍMITES Y SUSPROPIEDADES


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