CENIDET · 2014. 3. 10. · SISTEMA NACIGNAL DE INSTITUTOS TECNOLOGICOS Centro Nacional de...

CEIT DGlT SEP

CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACI~N Y DESARROLLO TECNOLÓGICO

cenidet

“DETECCI~N TEÓRICA DE GRIETAS EN VIGAS CON VIBRACI~N TRANSVERSAL”

T E S I S - P A R A O B T E N E R E L G R A D O DE: M A E S T R O E N C I E N C I A S

Q U E P R E S E N T A : ING. JAIME VÁZQUEZ COLíN

E N I N G E N I E R í A M E C Á N I C A

ASESOR: DR. DARIUCZ SZWEDOWICZ WASIK

CUERNAVACA, MOR. ENERO 1998.

SISTEMA NACIGNAL DE INSTITUTOS TECNOLOGICOS

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico ACADEMIA DE LA MAESTIÚA EN CIENCIAS EN INGENIERÍA MECÁNICA

Cuemavaca, Mor., a 28 de enero de 1998.

Dr. Juan Manuel Ricaño Castillo Director del CENIDET P r e s e n t e

Att’ n: Dr. Octavio R. Salazar San Andrés Jefe del Departamento de 1ng.Mecánica

Por este conducto, hacemos de su conocimiento que, después de haber sometido a revisión el trabajo de tesis titulado:

‘(DETECCIÓN TEÓRICA DE GRIETAS EN VIGAS CON VIBRACIÓN TRANSVERSAL”

Desarrollado por el Ing. Jaime Vázquez Colin y habiendo cumplido con todas las correcciones que se le indicaron, estamos de acuerdo en que se le conceda la autorización de impresión de la tesis y la fecha de examen de grado.

Sin otro particular, quedamos de usted.

A t e n t a m e n t e Comisión Revisora

M.C.

C..E P. ~- .:>k. >&’:- & ~ . ~ - ? C ~ N A C ~ O N A L D E I N V E

Dr. Dariusz Szwedowicz Wat4&lFEcCi6NAm y OESARROUO TECWO

I I 4 I Interior Internado Palmira SIN C.P. 62490 cenidef / Apartado Postal 5-164, C.P. 62050, Cuernavaca Mor., Mexico Tels. (52 73) 12-76-13 y(52-73) 14-06-37, Fax. (52 73) 12-24-34,

E-Mail: [email protected]

SISTEMA NACIONAL DE INSTITUTOS TECNOLOGICOS

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Cuernavaca, Mor., a 02 de febrero de 1998.

Ing. Jaime Vázquez Colín Candidato al Grado de Maestro en Ciencias en Ingeniería Mecánica P R E S E N T E

Después de haber sometido a revisión su trabajo de tesis titulado:

“DETECCI~N TEÓRICA DE GRIETAS EN VIGAS CON VIBRACION TRANSVERSAL”

Y habiendo cumplido con todas las indicaciones que el jurado revisor de tesis hizo, se le comunica que se le concede la autorimción para que se proceda a la impresión de la misma como requisito para la obtención del grado.

Sin otro particular, quedo de usted

A t e n t a m e n t e

Dr. Octavio Salazar San Andrés Jefe del Departamento de Ing. Mecánica Sección Diseño

C.C.P. Servicios Escolares Expediente

cenidet 4 Interior Internado Palmira SIN C.P. 62490 Apartado Postal 5-164, C.P. 62050, Cuernavaca Mor., México

Tels. (52 73) 12-76-13 y (52-73) 14-06-37, Fax. (52 73) 12-21-34, E-Mail: [email protected]

I iú persona más importante d2 mi d a , mi esposagáa

I

i I 1

I i

J mis padres Damián y flargizrita, por su cariño y valores incuúdos

A mis hermanos j’aavier, DanieCy mi so6rinoJtieCporsu amistaáy sentido j-raternal I

I

A ~ ~ m c I M I E m o s . - 1 1

Alcreador por permitirme eqktiry finarme dé sus 6en&kiones. I

I 1 I I

I i I i I 1

JCDK Dariusz Szwedowicz Wm’k asesor de esta tesis, por apoyarme y Grindame su vabso tiempo ygran eqeriencia.

A Ios revirores, DI. Octuvio Salazar San Pndres, M.C. Jorge ColFn Ocampo, M.C. Claudia Cortés car& por sus recomendaciones y s u g e r e n h en la mejora dé este tra6ajo.

I \

A mi nueva f ami l i , N a t i d a 4 @miro, A6i, Maye y cersón.

A Feíipe y su Familia por su amistad:

J C Centro Wacional de Investigación y Desawoh Tecnoúígico ((EMEgpor su apoyo en Gz)onnación dé investigadores.

I I

fl I;I Secretaná de Educación h6lzca @.Eq y a l Consejo Wacional dé Ciencia y TecnoIogia (coNJI&I) por e l apoyo económico otorgado

I durante elPrograma de Maestrh I

TABLA DE CONTENIDO

... LISTA DE TABLAS .................................................................................................. u

LISTA DE FIGURAS .............. : ................................................................................. iv

Capítulo í Introducción j

!

NOTACióN ............................. I ................................................................................ xvi

1.2 Alcance ............................................................................................................ I . 1 1.3 Descripción del problema I .................................................................................. 1

1.4 Estado del arte I I I .

I

I 1.1 Objetivo ............................................................................................................. I 1

.................................................................................................. 2

Capítulo 2 Modelo matemático de una viga en voladizo 2.1 Modelo matemático de una yga sin grietas obtenido con la ecuación de

Euler- Bernoulli. ................. !.. ............................................................................ 7

2.2 Modelo matemático de una Viga sin grietas obtenido con la ecuación de Timoshenko ! ..................................................................................................... 13

2.3 Modelo matemático de una1 viga con una grieta en su sección transversal

obtenido con la ecuacibn de Euler- Bernoulli ................................................... 18 1 2.4 Modelo matemático de una,viga con una grieta en su sección transversal

obtenido con la ecuación de kmoshenko ......................................................... 46 1

Capitulo 3 Anzilisis teórico de vi& modeladas en ALGOR I 3.1 Elementos finitos usados en el modelo ............................................................. 74

3.2 Modelado en Algor de una Viga en voladizo sin grietas ................................... 77

3.3 Modelado en Algor de da viga en voladizo con una grieta en su

I

sección transversal I 79

seccion transversal ................. ! .......................................................................... 105

.......................................................................................... 3.4 Modelado en Algor de la viga del CENIDET con una grieta lateral en su

.,

I

Capítulo 4 Análisis de resultados 4.1 Comparación de resultados encontrados con los modelos matemáticos

., y la modelacion en Algor ............................................................................ 110

4.2 Análisis de los modos de vibración y frecuencias naturales en la detección

de grietas ............................................................................................................ 112

4.3 Análisis de los modos de vibración de la viga del CENIDET con una grieta

lateral localizada en su sección transversal. ................................................... 143

4.4 Conclusiones .................................................................................................... 145

4.5 Sugerencias para trabajos futuros ..................................................................... 156

APÉNDICE A: Sistema de ecuaciones de las vigas de Euler y Timoshenko con

una grieta en su sección transversal ................................................... 147

APÉNDICE B: Algoritmos y Programas en Fortran y Mathcad para la solución de las

ecuaciones características de las vigas agrietadas. .............................. 156

Bibliografía

LISTA DE TABLAS

Descripción pg. TABLA

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.1

2.8

2.9

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

4.1

Características ñsicas y geométncas de las vigas de los casos 1,2 y la viga del Cenidet. Primeras 4 flecuencias naturales encontradas con el método de Euler - Bernoulli para los casos 1,2 y la viga del Cenidet (sin grietas). Frecuencias naturales obtenidas con la ecuación de Timoshenko para las vigas de los casos 1,2 y la viga del Cenidet (sin grietas). Frecuencias naturales encontradas con el método de Euler - Bernoulli para la viga del caso 1 (Ver fig. 2.1). Frecuencias naturales encontradas con el método de Euler - Bernoulli para la viga del caso 2 (Ver fig. 2.2). Frecuencias naturales encontradas con el método de Euler - Bemouiii para la viga del Cenidet (Ver fig. 2.3). Frecuencias naturales encontradas con el método de Timoshenko para la viga del caso 1 (Ver fig. 2.1). Frecuencias naturales encontradas con el método de Timoshenko para la viga del caso 2 (Ver fig. 2.2) Frecuencias naturales encontradas con el método de Timoshenko para la viga del Cenidet (Ver fig. 2.3) Frecuencias naturales encontradas con Algor para las vigas de los casos 1,2 y la viga del Cenidet (sin grietas). Frecuencias naturales encontradas con Algor para la viga del caso 1 con 4 diferentes posiciones y 3 diferentes relaciones de profundidad de la grieta. Frecuencias naturales encontradas con Algor para la viga del caso 2 con 4 diferentes posiciones y 3 diferentes relaciones de profundidad de la grieta. Frecuencias naturales encontradas con Algor para la viga del Cenidet con 3 diferentes posiciones y 2 diferentes relaciones de profundidad de la grieta. Frecuencias naturales encontradas para la viga del Cenidet con 2 diferentes posiciones y 2 relaciones de profundidad lateral de la grieta. Frecuencias naturales de las vigas de los casos 1 , 2 y la viga del Cenidet (sin grietas) encontradas con las ecuaciones de Euler - Bernoulli, Timoshenko y la modelación en Algor.

10

1 1

15 . 21

30

39

48

51

66

7 1

80

89

98

105

112

iii

LISTA DE FIGURAS Fig.

2.1 2.2 2.3 2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

2.10

2.11

2.12

2.13

2.14

2.15

2.16

2.17

2.18

2.19

2.20

Descripción

Esquema de una viga en voladizo (Caso 1). Esquema de una viga en voladizo (Caso 2). Esquema de una viga en voladizo (Viga del Cenidet). Primeros cuatro modos de vibración de una viga en voladizo sin grietas (Caso 1) obtenidos con la ecuación de Euier-Bernoulli. Primeros cuatro modos de vibración de una viga en voladizo sin grietas (Caso 2) obtenidos con la ecuación de Euler-Bernoulli. Primeros cuatro modos de vibración de una viga en voladizo sin grietas (Cenidet) obtenidos con la ecuación de Euler-Bernoulli. Primeros cuatro modos de vibración de una viga en voladizo sin grietas (Caso 1) obtenidos con la ecuación de Timoshenko. Primeros cuatro modos de vibración de una viga en voladizo sin grietas (Caso 2) obtenidos con la ecuación de Timoshenko. Primeros cuatro modos de vibración de una viga en voladizo sin grietas (Cenidet) obtenidos con la ecuación de Timoshenko. Viga con una grieta de profundidad uniforme en su sección transversal.

Modos de vibración encontrados con la ecuación de Euler-Bernoulli

Primer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 10 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Segundo modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 10 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Tercer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 10 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Cuarto modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 10 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Primer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a

80 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Segundo modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 80 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Tercer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 80 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Cuarto modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 80 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Primer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 140 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Segundo modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 140 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

pg.

10 10 10 11

12

12

16

16

17

18

21

22

22

23

23

24

24

25

25

26

iv

Fig. Descripción

2.21 Tercer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 140 26 con respecto al punt0 de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

2.22 cuarto modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 140 27 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

2.23 Primer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 200 27 con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

2.24 Segundo modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 28 200 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

2.25 Tercer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 200 28 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

2.26 Cuarto modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 200 29 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

2.27 Primer modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 20 30 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.


2.29 Tercer modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 20 3 1 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.


2.3 1 Primer modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 180 32 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.




2.35 Primer modo de vibración de la viga del caso 2 Con una grieta localizada a 300 34 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

2.36 Segundo modo de vibración de la viga del caso 2 con una f i e b localizada a 35 300 3 relaciones de con respecto ai punto de empotramiento y profundidad.



2.39 Primer modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 500 36 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

Fig. Descripción pg.

2.40

2.41

2.42

2.43

2.44

2.45

2.46

2.47

2.48

2.49

2.50

2.5 1

2.52

2.53

2.54

Segundo modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 500 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Tercer modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 500 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Cuarto modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 500 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Primer modo de vibración de la viga del CENIDET con una grieta localizada a 175 3 relaciones de profundidad. Segundo modo de vibración de la viga del CENIDET con una grieta localizada a 175 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Tercer modo de vibración de la viga del CENIDET con una grieta localizada a 175 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Cuarto modo de vibración de la viga del CENIDET con una grieta localizada a 175 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Primer modo de vibración de la viga del CENIDET con una grieta localizada a 350 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Segundo modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 350 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Tercer modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 350 nun con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Cuarto modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 350 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Primer modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 525 3 relaciones de profundidad. Segundo modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 525 mm con respecto ai punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Tercer modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 525 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Cuarto modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 525 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

mm con respecto al punto de empotramiento y


37

37

38

39

40

40

41

41

42

42

43

43

44

44

45

vi

Modos de vibración encontrados con la ecuación de Timoshenko

Fig.

2.55

2.56

2.57

' . 2.58

2.59

2.60

2.61

2.62

2.63

2.64

2.65

2.66

2.67

2.68

2.69

2.70

2.71

2.72

2.73

2.74

Descripción pg.

Primer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 10 48 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Segundo modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 10 49 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Tercer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 10 49 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Cuarto modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 10 50 mm con respecto ai punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Primer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 80 50 mm con respecto ai punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Segundo modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 80 51 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Tercer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 80 51 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Cuarto modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 80 52 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Primer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 140 52 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Segundo modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 53 140 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Tercer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 140 53 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Cuarto modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 140 54 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Primer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 200 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Segundo modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a y 3 relaciones de profundidad 200 mm con respecto al punto de empotramiento. Tercer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 200 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Cuarto modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 200 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Primer modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 20 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de Profundidad. Segundo modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 20 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Tercer modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 20 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Cuarto modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 20 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

54

55

55

56

57

58

58

59

Descripción

Primer modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 180 con respect0 d punt0 de empotramiento y 3 relaciones de profundidad,

Segundo modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 180 mm con respecto 3 relaciones de profundidad. Tercer modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 180 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Cuarto modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 180 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Primer modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 300 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad, Segundo modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 300 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Tercer modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 300 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad, Cuarto modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 300 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Primer modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 500 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad, Segundo modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 500 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Tercer modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 500 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Cuarto modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 500 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Primer modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 175 3 relaciones de profundidad. Segundo modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 175 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Tercer modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 175 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Cuarto modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 175 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Primer modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 350 3 relaciones de profundidad.

punto de empotramiento y



Fig.

2.75

2.76

2.77

2.78

2.79

2.80

2.81

2.82

2.83

2.84

2.85

2.86

2.87

2.88

2.89

2.90

2.91

pg.

59

60

60

61

61

62

62

63

63

64

64

65

66

67

67

68

68

viii

Fig. Descripción

2.92 Segundo modo de vibración de la viga del Cenidet con Una grieta localizada a 69 350 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

2.93 Tercer modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 350 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de

69

profundidad. 2.94 Cuarto modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 70

350 mm con respecto al punto de empotramiento Y 3 relaciones de profundidad.

2.95 Primer modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 70 525 3 relaciones de profundidad.

2.96 Segundo modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 71 525 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

2.97 Tercer modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 71 525 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

2.98 Cuarto modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 72 525 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.


3.1 Vigas en voladizo modelada con 5 elementos tipo viga. 74 3.2 Elementos tipo placa con 4 y 3 nodos. 74 3.3 - Elemento tipo brick con 8 nodos. 75 3.4 Elemento tetraédrico con 10 nodos. 75 3.5 Cuatro diferentes mallados de una viga en voladizo con elementos tipo 76

placa (a), brick (b) y una combinación de elementos brick y tetraédricos (c y 4 . Vista amplificada en la zona de grieta de la viga. 3.6 77

Modos de vibración encontrados con Algor

3.7 Primeros cuatro modos de vibración de una viga en voladizo sin grietas (Caso 78 1) obtenidos con Algor.

3.8 Primeros cuatro modos de vibración de una viga en voladizo sin grietas (Caso 78 2) obtenidos con Algor.

3.9 Primeros cuatro modos de vibración de una viga en voladizo sin grietas v i g a 79 del Cenidet) obtenidos con Algor.

3.1 O Primer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 10 80 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

I

I I

ix

Fig Descripción pg.

3.11

3.12

3.13

3.14

3.15

3.16

3.17

3.18

3.19

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3.21

3.22

3.23

3.24

3.25

3.26

3.27

3.28

3.29

Segundo modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 10 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Tercer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a IO mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Cuarto modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a IO mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Primer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 80 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Segundo modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 80 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Tercer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 80 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Cuarto modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 80 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Primer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 140 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Segundo modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 140 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Tercer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 140 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Cuarto modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 140 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Primer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 200

mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Segundo modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 200 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Tercer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 200 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Cuarto modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 200 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Primer modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 20 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Segundo modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 20 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Tercer modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 20 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Cuarto modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 20 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

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X


3.30

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3.39

3.40

3.41

3.42

3.43

3.44

3.45

3.46

Primer modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 180 91 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Segundo modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 92 180 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Tercer modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 180 92 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Cuarto modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 180 93 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Primer modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 300 93

mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Segundo modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 94 300 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Tercer modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 300 94 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Cuarto modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 300 95 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Primer modo de vibración de !a viga del caso 2 con una grieta localizada a 500 95 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Segundo modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 96 500 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Tercer modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 500 96 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Cuarto modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 500 97

mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad. Primer modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 98 175 profundidad. Segundo modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 99 175 mm con respecto al punto de empotramiento y 2 relaciones de profundidad. Tercer modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 99 175 mm con respecto al punto de empotramiento y 2 relaciones de profundidad. Cuarto modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 100 175 mm con respecto al punto de empotramiento y profundidad. Primer modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 100 350 profundidad.

mm con respecto al punto de empotramiento y 2 relaciones de

2 relaciones de


xi


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3.60

Segundo modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 101 350 mm con respecto al punto de empotramiento y 2 relaciones de profundidad. Tercer modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 101 350 mm con respecto ai punto de empotramiento y 2 relaciones de profundidad. Cuarto modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 102 350 mm con respecto ai punto de empotramiento y profundidad. Primer modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a IO2 525 profundidad. Segundo modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 103 525 mm con respecto al punto de empotramiento y 2 relaciones de profundidad. Tercer modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 103 525 mm con respecto al punto de empotramiento y 2 relaciones de profundidad. Cuarto modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 104 525 mm con respecto al punto de empotramiento y profundidad. Esquema de la viga del CENIDET con una grieta lateral localizada en su 105 sección transversal. Primer modo de vibración de la viga del CENIDET con una grieta 106 lateral localizada a 175 mm con respecto al punto de empotramiento y 2 relaciones diferentes de profundidad. Segundo modo de vibración de la viga del CENIDET con una grieta 106 lateral localizada a 175 mm con respecto al punto de empotramiento y 2 relaciones diferentes de profundidad. Tercer modo de vibración de la viga del CENIDET con una grieta 107 lateral localizada a 175 mm con respecto al punto de empotramiento y 2 relaciones diferentes de profundidad. Cuarto modo de vibración de la viga del CENIDET con una grieta 107 lateral localizada a 175 mm con respecto al punto de empotramiento y 2 relaciones diferentes de profundidad, Primer modo de vibración de la viga del CENIDET con una grieta 108 latera localizada a 525 mm con respecto al punto de empotramiento y 2 diferentes relaciones de profundidad. Segundo modo de vibración de la viga del CENIDET con unagrieta 108 latera localizada a 525 mm con respecto al punto de empotramiento y 2 diferentes relaciones de profundidad.

2 relaciones de


2 relaciones de


3.61 Tercer modo de vibración de la viga del CENIDET con una grieta 109 latera localizada a 525 mm con respecto al punto de empotramiento y 2 diferentes relaciones de profundidad.

latera localizada a 525 mm con respecto al punto de empotramiento y 2 diferentes relaciones de profundidad.

3.62 Cuarto modo de vibración de la viga del CENIDET con una grieta 109

Comparación entre los modos encontrados con los modelos matemáticos y Algor

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

4.10

4.1 1

Modos de vibración de la viga del caso 1 (sin grietas) obtenidos con los 110 modelos matemáticos y modelación en Algor. Modos de vibración de la viga del caso 2 (sin grietas) obtenidos con los 111 modelos matemáticos y modelación en Algor. Modos de vibración de la viga del Cenidet (sin grietas) obtenidos con los 111 modelos matemáticos y modelación en Algor. Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y 113 modelación en Algor (b) de una viga con una grieta localizada a 10 mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de 0.1 (Caso 1). Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y 114 modelación en Algor (b) de una viga con una grieta localizada a 10 mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de 0.3 (Caso 1). Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y 115 modelación en Algor (b) de una viga con una grieta localizada a 10 mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de 0.5 (Caso 1). Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y Algor (b) 116 de una viga con una grieta localizada a 80 mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de 0.1 (Caso 1). Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y Algor (b) 117 de una viga con una grieta localizada a 80 mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de 0.3 (Caso 1). Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y Algor (b) 118 de una viga con una grieta localizada a 80 mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de 0.5 (Caso 1). Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y Algor (b) 119 de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 140 mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de O. 1. Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y Algor (b) 120 de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 140 mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de 0.3.

... XI11

Fig. Descripción Pg.

4.12 Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y Algor (b) 121 para la viga del caso 1 con una grieta localizada a 140 mrn del punto de empotramiento y una relación de profundidad de 0.5 .

4.13 Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y Algor (b) 122 de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 200 mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de O. I .

4.14 Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y Algor (b) 123 de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 200 mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de 0.3 .

4.15 Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y Algor (b) 124 de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 200 mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de 0.5 .

4.16 Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y Algor (b) 125 de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 20 mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de 0.1.

4.17 Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y Algor (b) 126 de la viga del caso 2 con una grieta localizadaa 20 mmdel punto de empotramiento y una relación de profundidad de 0.3.





4.22 Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y Algor (b) 131 de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 300 mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de O. 1.



4.24 Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y Algor (b) 133 de la viga delcaso2con una grieta localizadaa300mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de 0.5.

4.25 Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y Algor (b) de la viga del caso 2 con una grieta iocalizadaa 500mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de O. 1.

4.26 Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y Algor @) de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 500 mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de 0.3.

4.27 Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y Algor (b) de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 500 mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de 0.5.

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4.3 1

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4.37

Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y Algor (b) 137 de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 175 mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de 0.3. Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y Algor (b) 138 de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 175 mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de 0.5. Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y Algor (b) 139 de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 350 mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de 0.3. Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y Algor (b) 140 de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 350 mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de 0.5. Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y Algor (b) 141 de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 525 mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de 0.3. Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y Algor (b) 142 de la viga del Cenidet con una grieta empotramiento y una relación de profundidad de 0.5. Modos de vibración obtenidos con Algor de la viga del Cenidet con una 143 grieta localizada a 175 mm del punto de empotramiento y una relación lateral de profundidad de 0.25. Modos de vibración obtenidos con Algor de la viga del Cenidet con una 144 grieta localizada a 175 mm del punto de empotramiento y una relación lateral de profundidad de 0.5. Modos de vibración obtenidos con Algor de la viga del Cenidet con 144 una grieta localizada a 525 mm del punto de empotramiento y una relación lateral de profundidad de 0.25. Modos de vibración obtenidos con Algor de la viga del Cenidet con 145 una grieta localizada a 525 mm del punto de. empotramiento y una relación lateral de profundidad de 0.5.

localizada a 525 mm del punto de

xv

NOTACI~N

[MTI P

Sección transversal de la viga (m’). Profundidad de la grieta (m). Matriz de constantes del sistema de ecuaciones encontradas con la ecuación de Euler-Bernoulli. Matriz de constantes del sistema de ecuaciones encontradas con la ecuación de Timoshenko. Módulo de elasticidad (N/m’). Módulo de cortante (N/m2). Altura de la sección transversal de la viga (m). Momento de inercia (m4). Coeficiente de cortante de Timoshenko. Función que depende de la profundidad de la grieta (N.m). Longitud de la viga (m). Posición de la @eta (m). Masa por unidad de longitud (kg/m). Momento flector. Matriz del sistema de ecuaciones encontradas con la Ec. de Euler-Bernoulli. Matriz del sistema de ecuaciones encontradas con la Ec. de Timoshenko Posición adimensionai de la grieta (P=L,/L). Restricción de rotación con respecto a los ejes x,y,z. Restricción de desplazamiento en las direcciones x,y,z. Fuerza cortante. Sistema coordenado fijo. Desplazamiento de la viga en el tiempo. Densidad del material (kg/m3). Raíz de la ecuación característica (Obtenida con el método de Euler-Bernoulli). Raíz de la ecuación característica (Obtenida con el método de Timoshenko). Función característica que d e s c n i la deflexión del modo n-esimo.

$’ 4’’ 4”’ <pi]

4“Wi 4”Wi o, Frecuencia natural (radseg).

Derivadas de la función característica con respecto al tiempo. Deflexión del modo en forma normalizada. Deflexión del modo para O 5 x 2 LG Deflexión del modo para LG 2 x I L.

xvi

Capítulo 1

Introducción

1.1 Objetivo general

El objetivo principal de este trabajo es encontrar parámetros que sean indicativos de la existencia de grietas en vigas con vibraciones transversales. Lo anterior se logra mediante una comparación entre los resultados de una viga sin grieta y una viga con una grieta de profundidad uniforme localizada en la sección transversal de la viga. Los parámetros que serán utilizados como punto de comparación son las frecuencias naturales y modos de vibración.

1.2 Alcance

Para lograr el objetivo planteado, se realizará el modelado matemático de una viga en voladizo con y sin fractura en su sección transversal, sujeta a vibración libre.

La grieta se supone que ocurre en el primer modo de fractura y que permanece abierta durante la vibración.

El modelo se analizará en forma numérica, mediante la aplicación de las ecuaciones de Euler, Timoshenko y el método del elemento finito utilizando un software comercial (ALGOR) existente en el departamento de ingeniería mecánica del CENIDET.

La razón del análisis de las vigas con los métodos de Euler y Timoshenko es para comparar los efectos de inercia de rotación y de deformación de cortaqte en vigas de diferente longitud y sección transversal. La modelación en Algor permitirá validar los resultados encontrados con los modelos matemáticos.

En lo que respecta al análisis en la detección de grietas, se efectuará una comparación entre los parámetros modales (frecuencia natural y modos de vibración) de las vigas con y sin fractura, para poder predecir en forma aproximada la existencia, localización y magnitud de las grietas.

Por otra parte, se pretende que este estudio teórico sea una base para un trabajo experimental a fin de poder verificar los resultados encontrados.

1.3 Descripción del problema

Los problemas de vibración y vida útil son importantes en el proceso de diseño de maquinas, elementos o sistemas mecánicos. Uno de los problemas frecuentemente encontrados en el área de vibraciones mecánicas, es la influencia de las grietas que existen o se iniciaron durante el tiempo de trabajo de los elementos mecánicos.

Capitulo 1

El origen de las grietas es por diferentes causas. Pueden ser por fatiga, debido a que se aplica un esfuerzo alternativo mayor que el limite de resistencia a la fatiga del material, también pueden originarse por efectos mecánicos, como en el caso de los álabes de turbinas en los aviones. En estas máquinas las grietas son causadas por arena o pequeñas piedras succionadas del medio circundante durante la operación del equipo. Otro grupo involucra grietas internas en el material, ellas son creadas como un resultado de un deficiente proceso de manufactura..

Si las grietas no son detectadas a tiempo, estas pueden crecer hasta ocasionar la fractura. Por esta razón, el detectar una grieta o predecir su crecimiento se vuelve un tema de gran importancia.Existen diferentes métodos mediante los cuales se pueden detectar grietas y otro tipo de imperfecciones en los materiales, algunos de los cuales son, por ejemplo, ultrasonido, electromagnetismo, inspección con líquidos penetrantes, prueba con corrientes parásitas, etc.(Askeland,l995). Sin embargo estos métodos son dificiles de aplicar en condiciones de operación de los elementos.

Para tratar de resolver el problema de la detección de grietas, se han desarrollado diferentes trabajos dedicados al análisis del comportamiento dinámico de vigas agrietadas. Algunos de estos trabajos que proporcionan un panorama del estado del arte y la importancia del problema se mencionan a continuación.

1.4 Estado del arte

Ostachowicz y Krawczuk (1990) analizaron el modelo de una viga con una grieta en su sección transversal mediante el método del elemento finito. La fuerza de vibración en la viga fue inducida en forma senoidal y los efectos de la localización y tamaño de las grietas sobre el comportamiento dinámico de la viga fueron estudiados. En este trabajo se obtuvo una ecuación de movimiento, la cual fue resuelta en forma numérica mediante el empleo de un programa computacional. El programa determinó la relación entre la profundidad y localización de la grieta, así como las amplitudes de la vibración. Finalmente, concluyeron que es posible identificar la localización de una grieta. Esta localización es determinada por medio de la medición de la deflexión de la viga. Cuando la localización de una grieta es conocida, la medición de las amplitudes de la vibración en la viga, provee información acerca de la magnitud de la grieta.

Shen y Pierre (1990) estudiaron el efecto de dos grietas simétricas en la sección transversal de una viga. Las grietas fueron supuestas abiertas. Primeramente analizaron las frecuencias naturales y modos de vibración mediante la aplicación de los trabajos de Christides y Barr quienes derivaron la ecuación de movimiento flexionante de una viga de Euler-Bernoulli con dos grietas simétricas abiertas en su sección transversal. Ésto se realizó mediante la solución del problema de valor en la frontera por un procedimiento de Galerkin. Se encontró que la convergencia del procedimiento era muy lenta para este tipo de problemas, por lo que se estudio una técnica para incrementar la velocidad de convergencia. Finalmente, se presento una aproximación del elemento finito en la que se predicen los cambios en las frecuencias y en los modos debido a las grietas. Los resultados para las tres frecuencias naturales y formas modales fueron mostrados y comparados con los trabajos experimentales de Christides y Barr. En general, como las

2

Capitulo 1

grietas no ocurren en pares simétricos, es necesario el tratamiento de la dinámica de vigas con una grieta.

Quian, Gu y Jiag (1990) propusieron un modelo del elemento fuiito de una viga agrietada. Este modelo es aplicado a una viga en voladizo con una grieta en uno de sus bordes y las frecuencias se obtivieron para diferentes longitudes y posición de las grietas. Los resultados obtenidos, muestran un buen comportamiento con los datos experimentales. Para considerar el efecto de cierre de las grietas, los parámetros modales fueron identificados por medio de una comparación entre los resultados del desplazamiento en el dominio del tiempo de una viga sin grietas, una viga con una grieta que abre y cierra y una viga con una grieta que permanece abierta. Los resultados computaciones mostraron que la diferencia en la respuesta al desplazamiento entre la viga sin grietas y la viga agrietada debido al efecto de cierre de la grieta es minima. La frecuencia es significativamente afectada por el valor medio de la fuerza de excitación.

El método es propuesto para determinar la posición de la grieta. Este método se basa sobre la relación entre la grieta y la pareja de eigenvalores y eigenvectores de la viga.

Rizos, Aspragathos y Dimarogonas (1990) midieron la vibración de una viga en voladizo con una grieta en su sección transversal. Los resultados analíticos fueron usados para relacionar los modos de vibración con la posición y profundidad de la grieta. La grieta fue supuesta abierta y de profundidad uniforme. Los resultados numéricos y experimentales se compararon para cinco posiciones de la grieta y cuatro diferentes profundidades. El método puede ser usado para identificar ias grietas en estructuras, por medio de la medición de sus características modales.

Ostachowicz y Krawczuk (1991) presentaron un método (experimental y numérico) para el análisis del efecto de dos grietas sobre las frecuencias naturales en una viga en voladizo. Se consideran dos tipos de grietas, en ambos lados de la viga y en un solo lado, además se asume que las grietas ocurren en el primer modo de fractura. Los resultados indicaron una relación entre la posición, la magnitud de la grieta y la primera frecuencia de una viga en voladizo. Ellos concluyeron lo siguiente: a) La posición de una grieta en relación a la otra, afecta significativamente el cambio en la

b) En el caso de dos grietas de diferente profundidad, la grieta más profunda tiene un mayor

c) Las grietas simétricas, afectan la frecuencia de vibración en menor escala que las grietas

frecuencia natural.

efecto sobre la frecuencia natural.

de un solo lado, con la misma profundidad y posición.

Shen y Taylor (1991) presentaron un modelo para determinar la localización y tamaño de las grietas en una viga simplemente apoyada. Este procedimiento está basado sobre la minimización del “Mean-Square” o del “Min-Max”, medidos de la diferencia entre los datos medidos (Frecuencia natural y forma modal) y las correspondientes predicciones obtenidas del modelo computacional. El “Mean-Square” consiste en minimizar la diferencia media cuadratica entre los datos de prueba y las predicciones analíticas. Mediante el

3

Capitulo 1

análisis de esta minimización se pueden establecer criterios referentes a la existencia y características de las grietas, por otro lado, el “Min-Max” consiste en minimizar los valores mas grandes entre el set de mediciones de la diferencia entre los datos de prueba y los correspondientes valores obtenidos del modelo matemático.

En la mayoría de los trabajos presentados por diferentes investigadores, se estudia el comportamiento de vigas agrietadas dadas las propiedades de posición y tamaño de las grietas. En el trabajo presentado por Shen y Taylor se estudia la determinación de tales propiedades, dado un comportamiento conocido del sistema (frecuencias naturales, formas modales, etc.), es decir, el proceso inverso. El método fue probado mediante daños simulados en forma de grietas simétricas en una viga de Bernoulli-Euler simplemente apoyada. Solamente se expuso la información de los tres primeros modos de vibración, y dado que el segundo modo de una viga simplemente apoyada no es sensible a grietas en la mitad de la viga, sólo el primer y tercer modo son usados para analizar el daño de la viga.

Shen y Chu (1992) derivaron una ecuación de movimiento y las condiciones de frontera de la vibración de una viga simplemente apoyada que contiene una grieta en su sección transversal. El objeto de este estudio, fue investigar el efecto de las grietas sobre el comportamiento dinámico de las estructuras y examinar la posibilidad de la detección de grietas en base a los cambios en el comportamiento del tiempo y dominio de la frecuencia. En su estudio integraron un parámetro de contacto y dentro de las expresiones de esfuerzo, deformación y desplazamiento encontradas por Shen y Pierre. Asimismo, Shen y Pierre usaron una ecuación de Cristides y Barr de movimiento de una viga de Bernoulli-Euler con grietas simétricas. Shen y Pierre encontraron que la solución de Cristides y Barr no convergía totalmente, por lo que propusieron una expansión modificada de Galerkin para mejorar la convergencia. Posteriormente modificaron la teoría de Cristides y Barr a una viga con una sola grieta. En este trabajo, se considera el contacto en la grieta causado por el efecto de apertura y cierre de la misma; sin embargo, el efecto del amortiguamiento no es considerado. Los resultados de este estudio, han mostrado la factibilidad de usar los componentes del espectro de la vibración, para obtener información referente a la detección de grietas y sus propiedades.

Narkis (1994) presentó el estudio del comportamiento dinamico de una viga agrietada simplemente apoyada. El análisis de este método aproximado resulta en una ecuación algebraica, la cual relaciona las frecuencias naturales de la viga y las características de la grieta. Estas expresiones son entonces aplicadas para estudiar el problema inverso, es decir, identificar la localización de la grieta a partir de la medición de sus frecuencias naturales. Se encontró que la única información requerida para la identificación precisa de las grietas, es la variación de las primeras dos frecuencias naturales, a causa de la grieta. No se requiere ninguna otra información como es la geometría de la viga, material, forma o profundidad de la grieta. El método propuesto es confirmado por comparar los resultados obtenidos con los resultados de un método numérico del elemento finito. En este trabajo, se supone que la viga no tiene amortiguamiento interno por considerar que su efecto sobre las frecuencias naturales es despreciable.

4

Capihilo 1

Krawcnik (1 994) realizó un análisis dinámico y estático de una viga en voladizo de material compuesto (Fibra de grafito - Poliamida) con una grieta situada en la parte media de la viga. Se encontró que la grieta causó un incremento en'la deflexión estática y una reducción en su primera frecuencia natural. Estos cambios son una función, no solo de la profundidad de la grieta ( como en el caso de materiales isotropicos) sino también de la fracción de volumen y del ángulo de la posición de la fibra. La intensidad de los cambios se incrementó de acuerdo con el aumento de la profundidad de la grieta. Para un ángulo de la fibra mayor de 45', la deflexión estática y la primera frecuencia natural, tienen un valor similar al caso de una viga no agrietada. Los cálculos son numéricos e ilustran la variación en la deformación estática y las frecuencias naturales. El método es versátil y puede ser usado para el análisis estático y dinámico de vigas compuestas o isotrópicas.

Lee y Ng (1994) determinaron mediante el método de Rayleigh- Ritz las frecuencias naturales y los modos de vibración de una viga simplemente apoyada con grietas en su sección transversal. La grieta fue modelada por un resorte lineal y un resorte torsional con una rigidez equivalente a la ocasionada por la discontinuidad. El análisis se realizó sobre una viga con una y dos grietas siempre abiertas en su sección transversal; esto dio como resultado dos funciones para la deflexión transversal de la viga, una para la parte izquierda y otra para la parte derecha de la viga con respecto a la posición de la grieta. Finalmente, concluyeron que la existencia de una grieta en la parte media de la viga, no afecta el segundo modo y cuando la grieta se encuentra localizada en una tercera parte de la longitud de la viga, el tercer modo permanece sin cambios. También se observó que cuando la viga tiene dos grietas en su sección transversal, las frecuencias naturales son menores que cuando la viga tiene una sola grieta.

Abraham y Brandom (1995) presentaron un método, en el cual la infraestructura de los modos normales, predice las propiedades de vibración de una viga en voladizo con una grieta parcialmente abierta en su sección transversal. Los dos segmentos de la viga en voladizo, separados por la grieta. se relacionan por las matrices ,de conexión que representan las fuerzas de iteración. Las matrices de conexión son expandidas en una serie de Fourier obteniéndose de esta manera un problema clásico de eigenvalores.

Algunos otros trabajos relacionados pueden encontrarse en la bibliografía (Gounaris y Dimarogonas (1988), Leissa y Sonalla (199i), Hsu y Tsai (1992), YShen (1993), Mura y Nakasone (1990), Nelson y Sheppard (1 999, Saotone (1993), Radon (1 993)).

Los trabajos presentados anteriormente muestran que la existencia de una grieta en la sección transversal de una viga induce cambios de rigidez. La magnitud de estos cambios no tan solo dependen de la profundidad de la grieta sino también de su posición en la viga. Por lo tanto, a causa del cambio de rigidez de la viga, su comportamiento dinámico también cambia, por lo que la variación de las frecuencias naturales y modos de vibración pueden ser empleados para localizar y determinar el tamaño de las grietas.

5

Capitulo 1

Los trabajos realizados por Rizos (1990) y Ostachowicz (1991) son los que más se relacionan con el trabajo que aquí se presenta. La diferencia con estos trabajos consiste principalmente en la consideración del efecto de inercia de rotación y de deformación de cortante cuando las vigas son relativamente cortas, es decir cuando su longitud es menor de 500mm.

Por otra parte, en el trabajo de Ostachowicz se analizó únicamente el ángulo y la amplitud de la deflexión en la punta de la viga cuando esta vibrando, esto con la finalidad de poder predecir la existencia y localización de las grietas.

En este trabajo se analiza la deflexión a lo largo de la viga mediante el conocimiento de los modos de vibración, así como también las frecuencias naturales las cuales pueden proporcionar información referente a la existencia y magnitud de la grietas. Además de esto, también se presenta el análisis de los modos de vibración y frecuencias naturales de una viga en voladizo modelada en Algor con una grieta lateral localizada en su sección transversal.

Los resultados encontrados muestran que los efectos de inercia de rotación y de deformación de cortante proporcionan cambios significativos en las frecuencias naturales y modos de vibración cuando la longitud de las vigas es menor de 500 mm, sin embargo cuando su longitud es mayor el efecto de inercia de rotación y de deformación de cortante no influye en forma considerable.

Por lo tanto la consideración del efecto de inercia de rotación y de deformación de cortante debe de tomarse en cuenta en el análisis de las frecuencias naturales y modos de vibración cuando la longitud de las vigas es relativamente corta.

6

Capítulo 2

Modelo matemático de una viga en voladizo

2.1 Modelo matemático de una viga sin grietas obtenido con la ecuación de Euler - Bernoulli

La ecuación diferencial de vibraciones laterales de vigas uniformes de Euler - Bernoulli se puede expresar en la forma siguiente (Thomson, 1981).

$Y $Y E I - + m - y = o ¿k4 a

Para determinar los modos normales de vibración, se propone una solución de la forma:

y ( x , t ) = q5"(x)éon' (2.2)

Sustituyendo la expresión (2.2) en la ecuación (2.1) se obtiene la siguiente ecuación,

2 4 PAW, , donde, p,, =-

EI_ La ec(2.3) es la ecuación diferencial para el desplazamiento de una viga uniforme

sin grietas. Para encontrar la solución de esta ecuación se puede emplear un procedimiento similar al anterior mediante la proposición de la siguiente solución,

@,,(XI = esx (2.4)

Sustituyendo la ecuación (2.4) en la ecuación (2.3) se obtienen la siguiente expresión, p4 =s4

Por lo tanto,

Capítulo 2

Sustituyendo los valores de "s" en la solución propuesta y sustituyendo la función exponencial por las funciones trigonométricas seno y coseno,

e*=coshb f s e n h b

en@=cos@ _+ i senb

se obtiene finalmente la ecuación de desplazamiento de la viga,

b,,(x)= Acoshb + Bsenhb + Ccosb + D s e n b

Esta ecuación también se puede escribir de la forma siguiente,

4"(x)= AcoshÁR f BsenhRR + CcosÁR +- DsenÁR

Donde h = PL R= x/L

Para una viga en voladizo se tienen las siguientes condiciones de frontera,

(2.5)

En X=O (Punto de empotramiento)

@=O

En X=L (Extremo libre)

M=O 3

v=o =

Sustituyendo las condiciones de frontera en la ecuación general, se obtienen las siguientes igualdades

($)R=O=A+C=O - A=-C (2.6)

($')R&(ASeIlhÁR + BcoshÁR - CsenÁR + DcosÁR)=O

por lo tanto (3(B+D)=O entonces B= -D (2.7)

($")R=l= P'(AC0ShÁ + BsenhR - CCOSÁ - DsenÁ) =O

A(coshÁ + cosR) + B(senhñ + senÁ)= O (2.8)

8

Capítulo 2

($'")R=I = p3(AsenM + BcosM. + Csenh - Dcosil) =O

A(senM - s e d ) f B(cosh;l+ cosa) = O

de las ecuaciones (2.8) y (2.9) se tiene,

coshA + COSA - senhA +sen2 senhil - sen1 cosh A. + COSA. -

En fo rm simpiiñcada, coshRcosA + 1 = O

(2.9)

(2.10)

Los primeros cuatro valores que satisfacen la ecuación (2.10) son los siguientes:

(A.)~= 1.876 (ill2= 4.694 (a),= 7.8549 (a)4= 11

Sustituyendo estos valores en la ecuación (2.11) se pueden obtener las primeras cuatro frecuencias naturales de una viga en voladizo sin grietas,

EI (2.11)

donde i = 1,2,3,4

De igual forma la sustitución de A, B, C, D y los valores de (A)¡ en la ecuación (2.5) dan ¡os modos de vibración de la viga para sus distintas configuraciones.

Como es conocido, las amplitudes de una forma modal son valores relativos, los cuales pueden ser normalizados. UM forma de normalización para un sistema con N-grados de libertad es dado por la ecuación siguiente (Spyrakos, 1995),

(2.12)

Donde: i= 1,2, ... N j= 1,2, ... N

9

Capitulo 2

PARAMETRO CASO 1 CASO 2 L 0.3 m 0.7 m I, 1.3333333E-8 m” 1.3333333E-8 m4 E 2.06E+11 NlmL 2.06E+11 Nlm‘ 6 7850 Kg/m’ 7850 Kglm’ A 4.OE-4 mL 4.OE-4 mL

1

El análisis se efectuó en tres diferentes vigas, la primera (caso I ) es igual a la empleada en el trabajo de Rizos (1990) , mientras que la segunda (caso 2) es similar a la viga del caso 1, con la diferencia de que su longitud es mayor; la ultima viga (caso 3) corresponde a una viga existente en el Departamento de Ingeniería Mecánica del Cenidet.

El propósito por el que se decidió analizar la viga del caso 1 fue para comparar las frecuencias naturales presentadas en el trabajo de Rizos con las de los modelos encontradas en este trabajo. Por otra parte el análisis comparativo de los parámetros modales encontrados mediante el empleo de las ecuaciones de Euler, Timoshenko y la modelación en Algor para las vigas de los casos 1 y 2, servirán para establecer diferencias en lo que se refiere al efecto de inercia de rotación y deformación de cortante cuando la longitud de la viga es menor de 500 mm y cuando es mayor de 500 mm.

Finalmente se analizará la viga del CENIDET, a fin de tener una base de resultados numéricos para un trabajo experimental posterior.

Las figuras 2.1,2.2 y 2.3 muestran las características geométricas de las vigas que serán analizadas.

VIGA CENIDET 0.7 m

4.361 16E-10 mi 2.1E+ll NIm‘

7860 Kg/m’ 2.3792E-4 mL

X Fig. 2.1 Esquema de una viga en voladizo (Caso I )

7cc I - ; + ? “ -- 7 I & : zc -

Fig.2.2 Esquema de una viga en voladizo (Caso 2)

50.7 --, --

Fig. 2.3 Esquema de una viga en voladizo (Viga del Cenidet)

IO

e

Capítulo 2

FRECUENCIA 1 2 3 4

Las kecuencias naturales, así como los modos de vibración obtenidos con la ecuación de Euler-Bernoulli para lac vigas de los casos 1 ,2 y del CENIDET se muestran a, continuación. +

CASO 1 CASO 2 CENIDET 184.1 Hz 33.8 Hz 8.00 Hz

1152.3 Hz 211.6Hz 50.17 Hz 3227.01 Hz 592.7 Hz 140.5 Hz 6328.5 Hz 1162.3 Hz 275.5 Hz

Sustituyendo los valores de (h)i y las constantes en la ecuación (2.5), se obtienen los cuatro primeros modos de vibración en forma normalizada para sus distintas configuraciones.

MODOS OBTENIDOS CON LA ECUACION DE EULER-BERNOULLI

MODO 2 MODO 3 ......

- LONOITUO DElAVlGAlm)

Fig.2.4 Primeros cuatro modos de vibración de una viga en voladizo sin grietas (Caso 1) obtenidos con la ecuación de Euler-Bernoulli.

Capitulo 2

MODOS OBTENIDOS CON U ECUACi6N DE EULER.BERNOULL1

! . . . . . .MOW 3 1 I-. -. MOW^!

-150- I LONGITUD DE U VIGA ImJ

Fig.2.5 Primeros cuatro modos de vibración de una viga en voladizo sin grietas (Caso 2) obtenidos con la ecuación de Euler-Bernoulli.

MODOS OBTENIDOS CON LA ECUACION DE EULER-BERNOULLI

2.w

1.50

l . w Z 4 a 9 Y c

< 0.50

2 0.W

4.50 P

0 p:

-1.w

-4.50

-2.03 LONGITUD DE u\ VIGA (m)

,-MOW1 ; - - - M O W 2 ! I . . .... MOW31

Fig.2.6 Primeros cuatro modos de vibración de una viga en voladizo sin grietas (Cenidet) obtenidos con la ecuación de Euler-Bernoulli.

12

Capitulo 2

2.2 Modelo matemático de una viga sin grietas obtenido con la ecuación de Timoshenko

Un estudio más completo en el análisis del comportamiento de las frecuencias naturales y modos de vibración en vigas se puede obtener mediante el empleo de la ecuación de Timoshenko, la cual toma en cuenta tanto la inercia de rotación como la deformación de cortante; la ecuación es como sigue (Thomson 1981, Timoshenko 1990).

(2.13)

Para vibración libre la carga p(x,t) es igual a cero, por lo que la ecuación (2.13) se reduce a la siguiente ecuación

(2.14)

Para secciones rectangulares y circulares, los valores de K son 5/6 y 9/10

Como ya se indicó en la sección anterior, la solución de una ecuación diferencial respectivamente (Rao 1984, Spyrakos 1995).

puede encontrarse mediante la proposición de una solución que en este caso es igual a la Ec(2.2).

Sustituyendo esta ecuación en la ecuación (2.14) se obtiene la siguiente ecuación diferencial,

(2.15)

En forma similar al caso anterior, si se supone una solución como la Ec.(2.4) para la solución de la ecuación (2.15),

y se consideran las siguientes igualdades 4 = es'

entonces la ecuación (2.15) se reduce a una ecuación cuadrática de la forma siguiente,

13

Capitulo 2

p8 = o + ( 1 + + - ~ 4 +- E l 2 A KAG KGA'

Si además sustituimos las siguientes igualdades E I ~ w=- I E l

A KAG KGA' Z=-+-

La ecuación se reduce a la siguiente expresión, l2 + zp4a-p4 + wp8 = o (2.16)

Aplicando la fórmula general en la solución de ecuaciones de segundo grado, se obtiene la solución de la ecuación en la forma siguiente,

-zp4 f Jz2p8 + 4p4 - 4wp8 2 4 . 2 =

Sustituyendo este resultado en la ecuación (2.4) se obtiene la siguiente ecuación exponencial,

Sustituyendo las funciones exponenciales por las funciones trigonométricas seno y coseno, la ecuación de desplazamiento de la viga queda en la forma siguiente:

4 = Acoshfix + B s e n h f i x + Ccosf ix + DsenJ/Z,x (2.17)

Las condiciones de frontera son las mismas que las descritas en la sección anterior para una viga en voladizo sin grietas y son las siguientes,

En X=O (Punto de empotramiento) -=o d4 4 = 0 ak

En X=L (Extremo libre)

_- - O d2#J dx2

M=O

d34 v=o 3 - =o ak' '

Sustituyendo las condiciones de frontera en la ecuación (2.17) se obtienen las siguientes igualdades.

(+)x=o= A + C = O 3 A=-C (2.18)

(~$')~=o= B f i + D K = O D = - B V K (2.19) v%

14

Capítulo 2

FRECUENCIA CASO 1 CASO 2 1 183.9 Hz 33.7 Hz 2 1141.2 Hz 211.3 Hz 3 3124.5 Hz 588.9 Hz 4 5918.8 Hz 1146.2 Hz

( ~ > ' ~ L = A A , C O S ~ & L + BA.,SenhKL-CA,Cos&L- DA,Sen&L=O

($"')FL=AAl&Senh&L + BA,&Cosh&L + CA,&Sen&L -DA &Cos&L = O

CEMDET 8.0 Hz

50.17 Hz 140.4 Hz 275.1 Hz

De las ecuaciones (2.20) y (2.21) se obtiene la siguiente relación

(2.20)

(2.21)

(2.22)

La ecuación anterior (2.22) puede simplificarse en la siguiente ecuación característica, cuyas raíces permiten obtener las fiecuencias naturales y los modos de viiación de una viga en voladizo sin grietas.

(2.23) El procedimiento de normalización es el mismo al de la sección antenor y se

empleará en todos los capítulos posteriores, incluyendo la modelación en ALGOR A continuación se presentan los resultados de las fiecuencias naturales y modos de

vibración encontrados con la ecuación de Timoshenko.

TABLA 2.3 Frecuencias naturales obtenidas con la ecuación de Timoshenko para las vigas de los casos 1 ,2 y la viga del Cenidet (sin grietas).

Capitulo 2

MODOS OBTENIDOS CON LA ECUACION DE TIMOSHENKO

i

1 --- i -2 50 L.

LONGITUD DE L4 VIGA (m)

Fig.2.7 Primeros cuatro modos de vibración de una viga en voladizo sin grietas (Caso I ) obtenidos con la ecuación de Timoshenko.

MODOS OBTENIDOS CON LA ECUACi6N DE TIMOSHENKO

I I

i -1 M , i

LONUTUDDE l A W G A (m)

Fig.2.8 Primeros cuatro modos de vibración de una viga en voladizo sin grietas (Caso 2) obtenidos con la ecuación de Timoshenko.

16

Capítulo 2

MODOS OBTENIDOS CON L4 ECUACiON DE TIMOSHENKO

2.w

.2.w L ........... . : iONGIlUD M iAVIGA (m)

Fig.2.9 Primeros cuatro modos de vibración de una viga en voladizo sin grietas (Cenidet) obtenidos con la ecuación de Tirnoshenko.

Los resultados obtenidos con las ecuaciones de Euler-Bernoulli y Timoshenko muestran que las variaciones en los parárnetros modales en la viga del caso 1 son muy significativos mientras que la variación de estos parámetros para la viga del caso 2 y del Cenidet son muy pequeños. Esto quiere decir que cuando la viga es corta (caso I ) los efectos causados por la inercia de rotación y de deformación de cortante son significativos mientras que cuando la viga es relativamente larga (caso 2 y del Cenidet) estos efectos no son considerables.

17

Capítulo 2

/

5 B- r - r a I

ii

'7

SECCION A - A SICCION 3 - a r 3

9 2 A A

--I W A T

Fig.2.10 Viga con una grieta de profundidad uniforme en su sección transversal

Si se considera una viga con una grieta en su sección transversal, entonces se tendrá una ecuación por cada segmento de la viga (izquierdo y derecho con respecto a la posición de la grieta) que se puede expresar en la forma siguiente (Rizos,l990).

qi,,(x),= A , coshRR + A , senhM + A3 cosAR f A , senRR #"(x)~= B, coshLR + B, senhM + B3 cosRR f B, senAR

Para O I X I L G Para L,IX I L (2.24)

Donde 1 = PL R= x/L

La sustitución de las condiciones de borde en el punto de empotramiento, posición de la grieta y el extremo libre, conducen a una ecuación característica cuya solución proporciona las frecuencias naturales y los modos de vibración de una viga en voladizo con una grieta en su sección transversal. Las condiciones de borde para la viga son las siguientes:

En X=O (Punto de empotramiento)

Capítulo 2

En X=L (Extremo libre) d 2

d’

M=O 2 2 4 2 ( 4 = 0 I

v=o * ,,@,(L)=O

Las condiciones de continuidad en la posición de la grieta son,

Donde P =LG I L (posición adimensional de la grieta) Rizos et al. (1990) presentó una ecuación de compatibilidad que relaciona a los dos segmentos de la viga en la forma siguiente,

(2.25)

EI Donde: K - - 5.346hI(a I h)

I(&)= 1.8624(a/h)2 - 3.95(&)3 + 16.375(a~%)~ - 37.226(&)’ + 76.81(&)6 - 126.9(&)’ + 172(a/h)’ - 143.97(ah)9 + 66.56(aIh)’O

De la primera condición en X=O , R=O se tiene

para ‘$I(P)R=O =O A3+Al = O (2.26)

Para 4’I(p)R=0 =O A, +A, = O (2.27)

De las igualdades obtenidas (2.26) y (2.27) se puede reescribir la ecuación (2.24) de la siguiente forma,

+,,(x),= A , (cosh/ZR - cos/lR) + A , (senhAR - senAR) &x)~= B, cosh/ZR + B2 senhAR + B, cos/ZR + B, senM

Para O S X C X , Para XG I X S L (2.28)

Para la segunda condición en X=L, R=l se tiene que

Para =O B,Coshh + B2Senhh- B3Cosh -B4Senh = O (2.29)

Para +2”’(p)R=I=0 B,Senhh+ B2Coshh + B3Senh -B,Cosh = O (2.30)

Para la condición en X=XG, R=P, por lo tanto

Para 41 (P) = 42(P) I R=P

19

Capítulo 2

A, (CoshhP-CoshP) + A2 (SenhhP - SenhP ) - B,Coshl.P- BzSenhhP - B3CoshP -B4SenhP = O (2.3 1)

Para Cb,”@) = +2”(P) I R=p A, (CoshhP + CoshP) + A 2 (SenhhP +SenhP) - BICoshhP - B,SenhhP + B,CoshP +B4SedP = O (2.32)

Para I$,”’@) = Cb2”’(p) I R=p A, (SenhhP - SenhP) + A2 (CoshhP +CoshP) - B,SenhhP- B2CoshhP-B3 SenhP + B4CoshP = O (2.33)

Con la sustitución de la ecuación (2.28) en la ecuación de compatibilidad (2.25) se obtiene,

A, (SenhhP + SedP+C1*h*F1(P))+A2 (CoshhP -CoshP+Cl*h*F2(P))- B,SenhhP- B2CoshhP+B3 SenhP - B4CoshP = O (2.34)

EI de donde: C1= ~

K,. L Fl(P)= CoshhP +CoshP F2(P)= SenhhP + SenhP

Las ecuaciones anteriores se pueden escribir en la siguiente forma matricial

y el determinante de [ME] se puede escribir como se indica a continuación

CoshhP-CoshP SenhhP-SenhP -CoshhP -SenhhP -CoshP -SenhP

CoshhP+CoshP SenhhP+SenhP -CoshhP -SenhhP CoshP SenAP

SenhhP-SenAP CoshhP+CoshP -SenhhP -CoshhP -SenhP CoshP

SenhhP+SenhP CoshhP-CoshP -SenhhP -CoshhP SenhP -CoshP +C 1 * h*F 1 (P)

- -

+ C 1 *h*F2(P) O O Coshh Senhh -Cosh -Sen1

O O Senhh Coshh Sen?. -Cos1

(2.35)

La solución de este determinante proporciona la ecuación característica cuyas raíces permiten encontrar las frecuencias naturales y los modos de vibración de una viga en voladizo con una grieta en su sección transversal.

Para más detalle véanse los apéndices A y B donde se presenta la solución del determinante y algunos ejemplos de cómo encontrar las raíces de la ecuación característica.

20

Capítulo 2

Las íkecuencias naturales y modos de vibración encontrados con la ecuación de Euler - Bernoulli para la viga del caso 1 con 4 posiciones y 3 diferentes relaciones de profundidad de la grieta se muestran en la tabla 2.4 y en las figuras 2.1 1-2.26 respectivamente.

En esta tabla (2.4) tambien se presentan las primeras 2 hcuencias naturales encontradas por Rizos* (1990) en forma experimental para una localización adimensionai de la grieta de 0.46 y una relación de profunddad de 0.5.

TABLA 2.4 Frecuencias nat&ales encontradas con el método de Euier - Bernoulli para la viga del" caso 1 (Ver fig. 2.1)

I POSíCI6N I RELACIÓN DE I FRECUENCMS (Hz) I

Las figuras 2.11-2.26 muestran el comportamiento de los primeros cuatro modos de vibración de la viga con una grieta en su sección transversal localizada a 10, 80, 140 y 200 mm con respecto al punto de empotramiento para tres diferentes relaciones de profundidad.

YOW I mm.*DOcOH EL V h o w OE EULERBmOULU

~ ..... . ~

Fig.2.11 Primer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 10 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

i .!

21

Capítulo 2

MOOO 2 OBTENIDO CON EL MÉTODO DE EULER.BERNOULL1

I -2.50 1 ~~ ~ ... ... ,., ,,,,..,.,,..... ... ! LONGITUD DE L4 MOA lml

Fig.2.12 Segundo modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 10 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad

MOOO 3 OBTENIDO CON EL MÉTOOO DE EULER.BERNOULLI

Fig.2.13 Tercer modo de vibración de laviga del caso 1 con una grieta localizada a 10 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

22

Capítulo 2

MODO 4 OBTENIDO CON EL MÉTDDO DE EULER-BERNOULU

LONGITUD DE UVlGA(m1

Fig.2.14 Cuarto modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 10 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

MODO I OBTENIDO CON EL MÉTODO DE EULER-BERNOULLI

2'50 I 2.w

o 0 s

0.w 0.02 0.05 0.07 0.10 0.12 0.14 0.17 0.19 on 0.24 0.28 0.m


23

Capihilo 2

MODO 2 O8TENlDO CON EL MÉTODO DE EULER-BERNOULLI

T

O 5 0

2 om a 0 z e -050.- 2

s E

ij -30.. y> Y

-1.50 n

1.m .-

e -050.- 2

s E

ij -3.0.. y> Y

-1.50 .~ n

...... R=O,3 -. - . Ri0.5

LONMND LELAMGA ImJ

Fig.2.16 Segundo modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 80 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

. . . . . . RiO.3 -. - . RiO.5

LONGITUD OE LI\ VlOA lml

Fig.2.17 Tercer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 80 mm con respecto ai punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

24

Capitulo 2

MODO 4 OBTENIDO CON EL M ~ O D O DE EULER-BERNOULLI

i


MOW I OBTENIDO CON EL MÉTOM) DE EULER-BERNOULLI

2.00

4

0.50

O00 O02 005 0.07 0.10 O12 O 1 1 O.>, 0.lO 022 0.24 0.2s 0.29

, , o O0 O00 v O02 005 007 O 1 0 O12 O 1 1 0 > 7 010 022 O24 02s O 2 9

Fig.2.19 Primer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 140 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad

2s

Capítulo 2

M O W 2 OSTENIW CON EL MÉTODO DE EULER-BERNOULLI

2.w

-2.54 ' LONGITUD DE LA yIG4 (m)

Fig.2.20 Segundo modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 140 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad

MODO 3 OBTENIDO CON EL MÉTODO DE EULERIERNOULLI

LONGITUDDE LAVIGAi(m)

Fig.2.21 Tercer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 140 nun con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad

26

Capítulo 2

M O W 1 OETENIDO CON EL MÉTOW DE EULER-EERNOULLI

- . -. RiO.5 . . . . . . RiO.3

-2.00 1

-2.50 .I____ .i LONGITUD DE u\ WGA (m)

Fig.2.22 Cuarto modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 140 mm con respecto Al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad

MODO I OBTENIDO CON EL METODO DE EULER-BERNOULLI

LONOITUDDEIAVlGAImJ

Fig.2.23 Primer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 200 mm con respecto ai punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad

2 1

I

Capitulo 2

MODO 2 OBTENIDO CON EL M e r 0 0 0 DE EULER-BERNOULLI


MODO 3 OBTENIDO CON EL MÉTODO DE EULER-BERNOULLI

1 2.50 ~ .-__._.___

LONGITUD DE U VIGA (m)

Fig.2.25 Tercer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 200 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

28

Capítulo 2


LONGITUOOELAVIGA(ml

Fig.2.26 Cuarto modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 200 mm con respecto ai punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

Los resultados obtenidos para la viga del caso 1 muestran variaciones considerables en las frecuencias naturales y modos de vibración cuando las relaciones de profundidad son de 0.3 ó 0.5, mientras que la vhación de los modos es muy pequeña cuando la relación de profundidad es de 0.1. Sin embargo mediante el conocimiento de la variación de las frecuencias naturales se puede predecir al menos la existencia de una grieta.

Además de las variaciones de los modos y frecuencias naturales, también se puede observar en las gráficas que cuando algún modo pasa cerca de la zona de la grieta, este sufre menos variación con respecto al modo de una viga sin grietas que los modos restantes, esto mismo ocurre con las frecuencias naturales.

Por otra parte, también puede señalarse que el modo 1 sufre menos cambios entre mas lejos este la grieta del punto de empotramiento, además de que no es muy fácil localizar la grieta únicamente con este modo.

29

Capítulo 2

Las frecuencias naturales y modos de vibración encontrados con la ecuación de Euler - Bernoulli para la viga del caso 2 con 4 posiciones y 3 diferentes relaciones de profundidad de la grieta se muestran en la tabla 2.5 y en las figuras 2.27-2.42 respectivamente.

TABLA 2.5 Frecuencias naturales encontradas con el método de Euler - Bernoulli para la viga del caso 2 (Verfig. 2.2).

Las figuras 2.27-2.42 muestran el comportamiento de los primeros cuatro modos de vibración de la viga del caso 2 con una grieta en su sección transversal localizada a 20, 180, 300 y 500 mm con respecto al punto de empotramiento para tres diferentes relaciones de profundidad.

~ t O Q T B m a m i i E L I * T o m L € a i L m ~ W


30

'I

Capitulo 2

MODO 2 OBTENIDO CON EL MdTOüO DE EULER-BERNOULLI

l.w ........

.1.w ..


MODO 3 OBTENIDO CON EL MCTOOO DE EULER-BERNOULLI

....... ........

...... R>0.3 - . - .R=0.5 ,



S

31

Capitulo 2

MOM) 4 OBTENIDO CON EL M h O D O DE EULER.BERNOULL1

1.50

I LONGIN0 OElAWGA (ml



LONGITUD DE lA WGü (m)

Fig.2.3 1 Primer modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 180 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

32

Capitulo 2

MODO 2 OBTENIDO CON EL METODO DE EULER-BERNOULLI

-1.a

-1.5

/ , . ~ .

O34 039 045 O 5 0 O O 8 2 O87

\ \

\ LONGITUD DEM VIGA (m)

- - - R i O . 1 ...... R i 0 . 3


MODO 3 OBTENIDO CON EL METOW DE EULER-BERNOULLI

1.50 I

1.w

I -tm 1 LONGITUD DE LA VIGA lm)


33

Capitulo 2

MODO'^ OBTENIW CON EL MCTOW DE EULER.BERNOULLI

..... 7 1.50

I I

1.. .... R.03 ~

I

.1.50 i .............................. ~ ............. ........................ J LONGITUD DE LA VIGA (mJ


MODO I OBTENIDO CON LA ECUACION DE EULER-BERNOULLI

...... R-0.3 - R i o 5

LONGITUD DE Id VIGA (m)


34

Capítulo 2

MODO z OETENIDO CON EL METOW DE EWER-BERNOULLI


MODO J OBTENIDO CDN EL METODO DE EULER-BERNOULLI

1.50 .r ~

i'm 3

--__- . LONGITUD DE u\ WGA (m)

Fig237 Tercer modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 300 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

Capitulo 2

MOM) 4 OBTENIDO CON EL MÉTOW DE EULER-BERNOULLI

-1.50 1 LONGITUDDEUWGAIrn)

~

Fig.2.38 Cuarto modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 300 mm con respecto a¡ punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

140

120

2 3

080 z E!

!! 060 $ 040

o 20

ow

MODO 1 OBTENIDO CON EL MÉTOOO DE EULER.EERNOULL1

LONGITUD DE U VIGA (ml


36

Capitulo 2

MODO I OBTENIDO CON EL METODO DE EULER-BERNOULLI

- - - R i 0.1 ...... R i 0 . 3

-1 50 L LONGINDDEUYlGAImJ


MODO 3 OQTENIDO CON EL METO00 DE EULERdERNOULLI

................................... ~~ .......................................................................................



37

Capitulo 2

MODO b OBTENIDO CON EL MÉTODO DE EULER-BERNOULLI

1

LONOITUDDELI\MGA(m)


Los resultados obtenidos para la viga del caso 2 son semejantes a los encontrados para la viga del caso I . Las variaciones en los modos son menos marcadas que en el caso 1, principalmente cuando las relaciones de profundidad son de 0.1 y 0.3. El modo 1 es el que menos información proporciona con respecto a la localización de la grieta, principalmente cuando la grieta está lejos del punto de empotramiento de la viga.

Capíiuio 2

Las fiecuencias naturales y modos de viiración encontrados con la ecuación de Euler - Bernoulli para la viga del Cenidet con 3 posiciones y 3 díferentes relaciones de profundidad de la grieta se muestran en la tabla 2.6 y en las figuras 2.43-2.54 respectivamente.

TABLA 2.6 Frecuencias naturales encontradas con el método de Euler - Bernoulli para la viga del Cenidet (verfig. 2.3)

POSICI~N I RELACIÓN DE I FRECUENCIAS íHz) I

Las gráficas 2.43-2.54 muestran el comportamiento de los primeros cuatro modos de vibración de la viga del Cenidet: con una grieta en su sección transversal localizada a 175, 350 Y 525 mm con respecto al punto de empotramiento de la viga para tres diferentes relaciones de profundidad.

MOW 1 OBlE4IDO CON LA ECUAClbN DE NLERBERNWLU

Fig.2.43 Primer modo de vibración de la viga del CENiDET con una grieta localizada a 175 mm con respecto ai punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

39

Capítulo 2

MODO 2 OBTENIDO CON LA ECUACi6N DE EULER-BERNÓULLI

LDNGINDDELAWW(m1

Fig.2.44 Segundo modo de vibración de la viga del CENIDET con una grieta localizada a 175 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

MODO 3 OBTENIDO CON LA ECUACIÓN DE EULER-BERNOULLI

-.

LONGITUDOEIAWWlmI

Fig.2.45 Tercer modo de vibración de la viga del CENIDET con una grieta localizada a 175 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

40

Capítulo 2

om

ow

MOOO 4 OBTENIDO CON EL MhODO DE EULER-BERNOULLI

/' I /' --

1.50

-1.50 ..

I I

LONGlTUD DE LAVlGAlmI

Fig.2.46 Cuarto modo de vibración de la viga del CENIDET con una grieta localizada a 175 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

MOOO I OBTENlW CON EL MeTOW DE EULER-BERNOULLI

41

Capítulo 2

MODO z OBTENIDO CON EL M~TODO DE EULER-BERNOULLI

LONGIND DE lA VIGA (m)

Fig.2.48 Segundo modo de vibración de la viga del CENIDET con una grieta localizada a 350 nun con respecto ai punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

MODO 3 OBTENIDO CON EL MÉTODO DE EULER.BERNOULL1

1.50 ,

\ \.

LONGITUDDEW.VIW\(~I


42

Capítulo 2

MODO 4 OBTENIDO CON EL MhODO DE EULER-BERNOULLI

-1 50 .. -1501

-2 m l-_- . - -~______~ ~. LONGITUD DE U MOA (mJ


MODO I OBTEN~OO CON EL METODO DE EULER-BERNOULLI

LDNGIND DE LA MGA (m)

Fig.2.51 Primer modo de vibración de la viga del CENIDET con una grieta localizada a 525 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

Capitulo 2


- - -R=O. l ...... RZ0.3

LONGITUD DE LA VIGA Iml


MODO 3 OBTENIDO CON EL MÉTODO DE EULER

LONGITUDDEtAVIGA(m)


44

Capítulo 2


1.50

- - - R i 0 . l

-2 w 1 I LONGITUD DE LA VIGA (m)


En las figuras 2.43-2.54 se puede ver que los modos no son afectados significativamente aún cuando la profundidad de la grieta ocupa la mitad de la sección transversal de la viga. Esto indica que el análisis de los parhetros modales en la detección de grietas para vigas delgadas con longitudes relativamente grandes es prácticamente imposible de realizar.

45

Capítulo 2

2.4Modelo matemático de una viga con una grieta en su sección transversal obtenido con la ecuación de Timoshenko

El procedimiento para el anáiisis de vigas agrietadas por el método de Timoshenko es igual que el empleado en la sección anterior para el método de Euler, con la diferencia de que en lugar de emplear la ecuación general obtenida en la sección 2.1 se empleara la ecuación general obtenida en la sección 2.2 que incluye el efecto de inercia de rotación y de deformación de cortante.

Por lo tanto, se considerará una ecuación por cada segmento de la viga con respecto al punto de la grieN las cuales son válidas para cada intervalo de ‘X’ como se indica a continuación,

@,$ ( x ) , = A c o s h K x + A , s e n h K x + A, c o s z x + A , s e n Z x Para 0 I x l X ,

@,, ( x ) ~ = E, cosh &X + B , s e n h K x + E, c o s z x + B,sen&x Para & _<x I L (2.36)

Las condiciones de borde para la viga de Timoshenko son igual a las empleadas en la sección anterior para la viga de Euler, por lo tanto al aplicar estas condiciones en la ecuación (2.36) se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones,

De la primera condición en X=O se tiene

Para $l(p)x=o =O A3 + A, = O (2.37)

Para $’i(p)x=o =O A*& + Ad& = O (2.38)

Sustituyendo las ecuaciones (2.37) y (2.38) en la ecuación (2.36) se obtiene la siguiente ecuación con 6 constantes

sen &x) Para O I X S X ,

(2.39) Para X , S X I L

&(x)I= A , (cosh f i x - cos z x ) + A2 (senh A, x f i J - - K @,,(x)* = E , cosh A x + B,senh&x + E, COSAX + B , s e n A x

Para la segunda condición en X=L se tiene

Para =O R1 h, Cosh &L + B2hl Senh A L - B3h2 Cos &L -B4h2 Sen &L = O (2.40)

Para $2”’(p)x=L=0 €3, h, f i S e n h K L + Bz h, f i C o s h K L + B3 h2

-B4 h2 C o s K L = O

S e n K L

(2.41) 46

Capitulo 2

Para la condición en X=LG se tiene,

Para 41 (PI = 42(P) I X=LG

Finalmente sustituyendo la ecuación (2.39) en la ecuación de compatibilidad (2.25) se obtiene la siguiente expresión,

A, ( Cos &L(; +C2*F4(P))- B, & Senh A L , ; - Bz & Cosh KL, + B3 & Sen &L, -B4 C o s K L , = O (2.45)

Senh &LG + & Sen &L, +C2*F3(P))+A2 (& Cosh &LG - f i

EI de donde: C2 = - K ,

F3(P)= h, Cosh A L f ; ’+ h2 Cos KLf; F4(P)= h, Senh &L.,; + &,/x Sen &Lu

El sistema de ecuaciones (2.38) - (2.43) se puede representar en forma matricial de la forma siguiente,

[MI-IIC?.) = (01

La solución del determinante de la matriz [M,] proporciona una ecuación característica que permite obtener las frecuencias naturales y modos de vibración de una viga agrietada. Para mayor detalle en la solución del determinante véase el apéndice A.

41

Capitulo 2

Las fiecuencias naturales y modos de vibración encontrados con la ecuación de Timoshenko para la viga del caso 1 con 4 posiciones y 3 diferentes relaciones de profundidad de la grieta se muestran en la tabla 2.7 y' en las figuras 2.55-2.70 respectivamente Los resultados encontrados experimentalmente por Rizos* (1 990) para una localización adimensional de la grieta de 0.46 y una relación de profundidad de 0.5 se muestran en la tabla 2.7.

TABLA 2.7 Frecuencias naturales encontradas con el método de Timoshenko para la viga del caso 1 (Ver fig. 2.1)

ADIMENSIONAL


~ ~ ~ O O T I ~ F O I R M ~ O ~ O Í ~ Y O I N ~ N K O

D l l 0,. o,, 6,. 011 I,. a,, o * L-I>mmu~II,-I


48

Capihilo 2

MODO 2 OBTENIDO CON EL MÉTOW DE TIMOSHENKO

..... . R i O 3


MODO 3 OBTENIDO CON EL MÉTODO DE TIMOCHENKO

...... RiO.3 - . - . R i O . S ,

-1.50 I - ............ .. LONGITUD DE u\ VIGA lm)

Fig.2.57 Tercer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 10 mm con respecto ai punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

49

Capítulo 2


2.w

-2.w

-2.50 LONGITUD DE LA VI- (m)


MODO 1 OBTENIDO CON EL METODO DE TIMOSHENKO

I

2w

3 1.50

z

LONGITUD DE LA n a irni


50

Capítulo 2

MODO 2 OBTENIDO CON EL MÉrOOO M TIMOSHENKO

<; ~, , , . , . , ~ - . \ , , , . . I 0.m 0.05 . O . W 0.10 0.12 0.1. o.

-2.50 LONGIND DE Lei WGA (m)


MODO 3 OBTENIDO CON EL MÉTOW DE TIMOCHENKO

/-""i . . . . . .R=0.3 - . - . Rrn0.5

LONGWD DE Lei WGA (m)


51

Capitulo 2

MODO 4 OBTENIDO CON EL MÉTODO DE TlMOSHENKO

2.w


MODO I OBTENIDO CON EL Mho00 DE TlMOSHENKO

/

LONGITUD DELA WGAIm)

Fig.2.63 Primer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 140 mm con respecto ai punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

52

Capliulo 2

MODO z OBTENIDO CON EL M~TODO DE TIMOSHENKO

LONGINDDEIAVIG4Iml


MODO 3 OBTENIDO CON EL MÉTODO DE TIMDSHENKO

LONGITUD DE Id VlGA Iml


53

Capitulo 2

M O W 4 OBTENIDO CON EL MÉTOW DE TlMOSHENKO

LONWTUD DE IA VlW lml


MODO 1 OBTENIDO CON EL M h O W DE TlMOSHENKO

2.m

5 1.50..

z! ...... R.O.,

0.50 -

0.m o.m 0.05 0.07 0.10 0.12 0.14 0.17 0.18 022 0.24 0.28 0,28 LONGITUD DE U VIO\ (ml


54

Capitulo 2

MODO 2 OBTENIDO CON EL MhODO DE TIMOSHEKO

LONGINDDEU WGA(m)

Fig.2.68 Segundo modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 200 rnrn con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

MODO 1 OBTENIDO CON EL MÉTODO DE TIMOSHENKO

2.50

2.00

LüNGI iüüüEUWGA (ml

Fig.2.69 Tercer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 200 rnrn con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

5 5

Capitulo 2


2.00

I LONGITUD DE LA VIGA (m)


Los resultados obtenidos para la viga del caso 1 con el método de Timoshenko muestran variaciones tanto en las formas modales como en las frecuencias naturales con respecto a la viga analizada con el método de Euler-Bernoulli. Esto demuestra que cuando una viga es de longitud relativamente corta, los efectos de inercia de rotación y de deformación de cortante deben de ser tomados en consideración.

Por otra parte, la variación de los modos es prácticamente la misma que la descrita cuando se analizo la viga con el método de Euler-Bernoulli.

56

Capitulo 2

Las frecuencias naturales y modos de vibración encontrados con la ecuación de Timoshenko para la viga del caso 2 con 4 posiciones y 3 diferentes relaciones de profundidad de la grieta se muestran en la tabla 2.8 y. en las figuras 2.71-2.86 respectivamente

TABLA 2.8 Frecuencias naturales encontradas con el método de Timoshenko para la viga del caso 2 (Ver fig. 2.2).

PROFUNDIDAD (ah)


MOOD I DBTENmDC.NELMhoDDOETIMm"ENXO


57

Capítulo 2

0.50

a.w

MODO 2 OBTENIDO CON EL MBTOW DE TIMOCHENKO

..

0.w 0.08 a.11 0.17 02 a28 o.= 0.39 a . 6 0.50 0.82 0.87

-250

-1.w

-1.50 LONGINDDEIAMGAlm)



LONGIND DE LA MGd lm)


5 8

Capltuio 2

MODO 4 OBTENIDO CON EL MÉTOW DE TlMOSHENKO

1 5 0 I

LONGITUD DE U YIGA (m)


MODO 1 OBTENIDO CON EL METODO DE TIMOSHENKO

OW 0113 011 O 1 7 022 O28 024 039 O45 O S O 0 % O52 O87

LONGITUD DE LA VIGA (m)


59

Capitulo 2

i W

oso

a 3 $ ow.


..

- 1 a

-1.X LONGITUDDE LAWGA(ml


1.50

1w


~

LDNGITUDDEUVIGAlml


60

Capítulo 2

M O W 4 OBTENIW CON EL MÉTOW DE TIMOSHENKO

LONGITUDDE UVlGA(m1


MODO I OBTENIDO CON EL MÉTDOO OE TIMOSHENKO

1.m

a 0.80

ow

$ Y 0.10

0.20

0.M 0.W 0.W 0.11 0.17 O22 028 024 0.33 0.45 OW 0.56 0.62 0.87



61

Capítulo 2

MODO 2 OBTENIDO CON EL MÉTOW DE TlMOSHENKO

1.w ..

o

-l.w ..

LONGITUD OE u\ VlGA (m)


MODO 3 OBTENIDO CON EL MÉTOOO DE TlMOSHENKO

1.50

l .w

s 2 s e

0.50

z Y

j O 7 <D w o

-0 50

.i.W LONGITUD OE LA nm (mi

Fig.2.8 1 Tercer modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 300 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

62

Capltulo 2


LONGIND DE Id VIGA (m)


MODO 1 OBTENIDO CON EL MÉTDDO DE TIMOSHENKO

/'" ow ----

OW OCü O 1 1 017 022 O28 034 0x9 045 O 5 0 O56 O82 O B I LDNUND DE LI\ MOA (m)


63

Capitulo 2


I LDNGITUDDEV\nGA(m)





64

Capitulo 2

MODO 4 OBTENIDO CON EL McTODO DE TIMOSHENKO

____

~

( M I I

-9 i ., 50 i ~ i

LONGIWD DE Lpi VIGA Iml


Los resultados obtenidos para la viga del caso 2 con el método de Timoshenko no muestran variaciones significativas de los parámetros modales con respecto a los encontrados en la viga analizada con el método de Euler-Bernoulli.

Esto quiere decir que cuando una viga tiene una longitud considerable los efectos causados por la inercia de rotación y de deformación de cortante no son muy significativos por io que los resultados obtenidos por cualquiera de los dos métodos son muy similares.

65

Capítulo 2

Las Eecuencias naturales y modos de v i i i ó n encontrados con la ecuación de Timoshenko para la viga del CENiDET con 3 posiciones y 3 diferentes relaciones de profundidad de la grieta se muestran en la tabla 2.9 y en las figuras 2.87-2.98 respectivamente.

TABLA 2.9 Frecuencias naturales encontradas con el método de Tmoshenko uara

Las figuras 2.87-2.98 ilustran el comportamiento de los primeros cuatro modos de vibración de la viga del CENDET con una grieta en su sección transversal localizada a 175, 350 Y 525 mm con respecto al punto de empotramiento para tres diferentes relaciones de profundidad.

MOW 1 OBTENIW CON EL MgTOW DE llMOSlENKO

......

Fig.2.87 Primer modo de vibración de la viga del CENiDET con una grieta localizada a 175 mm con respecto ai punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

66

Capítulo 2

MODO 2 OBTENIW CON EL MÉrOW DE TIMOSHENKO

-l.w ..

-1.50 ..

....... Ri0.3

-2.m I LONGITUDDEIAWGAlm)


MODO 3 OBTENIDO CON EL MÉTOOO DE TIMOSHENKO

LONGINDDEUWGAImJ

E ...... R i a 3 -. -. RiO.5


67

Capítulo 2

x 040

o 20

O.W.

MODO 4 OBTENIDO CON EL M~TODO DE TIMOSHENKO

I

I

/ .. /

/ / _.

/ .-- . . . . . . . . --

LONOINDDELAWGA(mJ


M O W 1 OBTENIDO CON EL MÉTOW DE TIMOSHENKO

Fig.2.91 Primer modo de vibración de la viga del CENIDET con una grieta localizada a 350 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

68

Capítulo 2


LONGITUDOELI\VlGA(ml

Fig.2.92 Segundo modo de vibración de la viga del CENIDET con una grieta localizada a 350 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad


2.00 .................. ... .... . .. . . . . .. ..... . . .. . .. . .... .... ...... ....... .

I i

. .., i

- 1 50 i~ .,... ~ .. . .. ,?_.. . . . LONGlTUD DE u\ VIGA ,m,

Fig293 Tercer modo de vibración de la viga del CENIDET con una grieta localizada a 350 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

69

Capítulo 2

MODO 4 OBTENIDO CON EL MeTODO DE TIMOSHENKO

LONGITUD DE L4 VIGA (mJ


MODO I OBTENIDO CON EL METODD DE TIMOSHENKO

ow oca o11 017 022 028 OY o39 o45 oso ow OB2 O B I LONGITUD DELAVlGA(m1

Fig.2.95 Primer modo de vibración de la viga del CENIDET con una grieta localizada a 525 mni con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

70

. - .. .

Capítulo 2

MODO 2 OBTENIDO CON EL M É T D W DE TIMOSHENKO

LONGITUD DE U W G A (ml



LONGITUD OE U WGA (m)


71

Capítulo 2


LONGITUD DE LA YlGA lm)


Los parámetros modales encontrados para la viga del Cenidet reafirman el comportamiento de los resultados encontrados para la viga del caso 2. Es decir, cuando una viga tiene una longitud considerablemente grande con respecto a las otras dimensiones, los efectos causados por la inercia de rotación y de deformación de cortante no son muy significativos por lo que los resultados obtenidos por los métodos de Euler-Bernoulli y Tinioshenko son prácticamente iguales.

En el capitulo siguiente se analizarán las mismas vigas de los casos 1,2 y del Cenidet con la modelación en Algor, esto es con la finalidad de validar los resultados obtenidos con los métodos de Euler-Bernoulli y Timoshenko.

Finalmente en el capitulo 4 se realizará una comparación entre los modos obtenidos con los modelos matemáticos y la modelación en Algor.

Capítulo 3

Análisis teórico de vigas modeladas en Algor

El uso de los métodos clásicos como lo son las ecuaciones de Euler y Timoshenko es quizás la mejor forma de analizar vigas. Estos métodos consideran las vigas como sistemas continuos en el que su comportamiento está gobernado por ecuaciones diferenciales parciales u ordinarias. Sin embargo cuando existen diferentes condiciones de frontera (en secciones con discontinuidades por ejemplo), el análisis se vuelve mas complicado y su solución es más laboriosa.

Una mejor alternativa en la solución de sistemas complicados, es el empleo del método del elemento finito, el cual consiste en dividir la estructura en pequeños elementos llamados’elementos finitos. El comportamiento de estos elementos y la totalidad de la estructura es obtenido por la formulación de un sistema de ecuaciones algebraicas que pueden ser resueltos por algún programa computacional.

Los avances en la ingeniería de Software y Hardware hacen más fácil y eficiente el uso del método del elemento finito en la solución de sistemas complejos en PC.

En esta sección se presenta el uso de la modelación en ALGOR como una altemativa viable en el análisis de vigas en voladizo con una grieta en su sección transversal y vibración libre. El propósito es doble, el primero consiste en validar los resultados obtenidos en el capitulo 2 y el segundo es mostrar las ventajas en cuanto a rapidez y facilidad en el análisis de vigas agrietadas.

Generalmente el procedimiento de solución en análisis modal para vigas con vibración libre consiste de los siguientes pasos.

1 .- Discretizar o modelar la estructura. 2.- Definir las condiciones de frontera. 3.- Definir las propiedades del material. 4.- Formulación de las ecuaciones de movimiento. 5.- Solución del sistema de ecuaciones. 6.- Cálculo de las frecuencias naturales y modos de vibración en forma normalizada.

$1

Los pasos 1, 2 y 3 son efectuados por el usuario mientras que los restantes son desarrollados automáticamente por ALGOR.

El método del elemento finito no provee una solución “exacta” como es el caso de los métodos numéricos presentados en el capítulo 2, sin embargo con una modelación apropiada la solución puede obtenerse con relativa precisión.

Capítulo 3

3.1 Elementos finitos usados en el modelo

Los elementos que pueden ser usados en la modelación'con Algor son los siguientes (Spyrakos 1995, Linear Stress manual 1992):

Tipo de Elemento 1 .- Armadura (Truss) 2.- Viga (Beam) 3.-Elementos de esfuerzo plano (3-D) 4.-Solidos elasticos (2-D) 5.- Bloque (Brick) 6.- Placa 7.- Elementos de frontera 8.- Hexaédricos 9.- Tetraédricos 10.- Elemento tipo tubo

Las figuras 3.1-3.4 se muestran algunos de los elementos que pueden ser usados para la modelación de vigas con y sin grietas en su sección transversal:

a) Elementos tipo viga. Los elementos tipo viga tienen 6 grados de libertad por nodo, 3 desplazamientos (Rxyz)

y 3 rotaciones (Txyz) con respecto al sistema coordenado (XYZ) como se muestra en la siguiente figura,

Fig. 3.1 Viga en voladizo modelada con 5 elementos tipo viga

b) Elementos tipo Placa. La forma de estos elementos es rectangular o triangular y poseen 5 grados de libertad

por nodo, 3 desplazamientos y 2 rotaciones. En estos elementos no se permite rotación en el eje perpendicular a la superficie de la placa, la figura siguiente ilustra esta descripción.

Fig. 3.2 Elementos tipo placa con 4 y 3 nodos

74

Capitulo 3

c) Elementos sólidos tridimensionales.

pueden tener desplazamientos a lo largo de los ejes XYZ. Son elemento de 6 y 8 nodos con 3 grados de libertad por nodo, es decir únicamente

Fig. 3.3 Elemento tipo brick con 8 nodos

d) Elementos Tetraédricos Los elemento tetraédricos pueden tener 4 y 10 nodos y solamente tienen 3 grados de

libertad por nodo. AI igual que los elementos sólidos, son formulados en el espacio tridimensional y sus nodos solo pueden tener desplazamientos en la dirección XYZ como se muestra en la figura siguiente.

Fig. 3.4 Elemento tetraédrico con 10 nodos

Algunos de los mallados analizados para la modelación de las vigas en ALGOR se ilustran en la fig. 3.5. El mallado de la Fig. 3.5a corresponde a un viga mallada con elementos tipo placa con 3 grados de libertad por nodo, es decir traslación en las direcciones X,Y (Tz) y rotación con respecto al eje Z (Rxy). La Fig. 3.5b muestra el mallado de la viga con elementos tipo brick con dos grados de libertad por nodo, traslación en la dirección Y y traslación en dirección Z.

Finalmente las figuras 3 . 5 ~ y 3.5d ilustran el mallado de una viga con una combinación de elementos tipo brick y tetraédricos con dos grados de libertad por nodo respectivamente (Tx,Rxyz). La diferencia entre estos dos modelos consiste en el tipo de mallado en la vecindad de la grieta.

Capitulo 3

FRECUENCIA 1 2

Una vista amplificada que muestra mas claramente el mallado con elemento tetraédricos en la zona de la grieta se muestra en la siguiente figura.

CASO 1 CASO 2 CENIDET 189 Hz 35 Hz 8.3 Hz

1 I57 Hz 218 Hz 52.5 Hz

Fig. 3.6 Vista amplificada en la zona de grieta de la viga

En las siguientes secciones (3.2-3.4) se presentan los resultados de los parámetros modales encontrados con la modelación en Algor para una viga con y sin grietas en su sección transversal.

3

3.2 Modelado en Algor de una viga en voladizo sin grietas

-3143 Hz 605 Hz I47 Hz

Los parámetros físicos y geométricos para las vigas de los casos 1 y 2, así como para la viga del Cenidet son iguales a los mencionados en el capítulo anterior. Las primeras 4 frecuencias naturales encontradas con Algor para las vigas en estudio (sin grietas) se muestran en la tabla 3.1

4 5936 Hz 1176 Hz 287 Hz

77

Capítulo 3

En las figuras 3.7-3.9: se presentan las gráficas de los modos obtenidos con Algor para la viga del caso 1.

MODOS OBTENIDOS CON ALGOR

~ ~~

-2 50 .. .. ............ .................... . ...... LONGITUD DE LA WGA (m)

Fig. 3.7 Primeros cuatro modos de vibración de una viga en voladizo sin grietas (Caso 1) obtenidos con Algor.


150 ......... ............................... ........................ ...................

. . . , , : \

~ , : % ,

\

'. 5 . \

~I \ \ . /. .......

,/ '.

%~ ' i , / . .

i 1 ~ \'.

.., \

-l.w ~

I

, ~

. ? S O L ............................................................................. ......................... ............ LONGITUODE LAYIGA(mJ

__- -MODO 1 - - - MOD02 ...... M O W 3 - . - . M O W 4

~ ,

Fig. 3.8 Primeros cuatro modos de vibración de una viga en voladizo sin grietas (Caso 2) obtenidos con Algor.

78

~

Capítulo 3

MODOS OüTENlDOS CON ALGOR

2.m

!-MODO1

’.. .. . .MOD03 ,-.-.MODO 4

I-- - MOM)?

LONGlTUDDEUVIGA(m)

Fig. 3.9 Primeros cuatro modos de vibración de una viga en voladizo sin grietas (Viga del Cenidet) obtenidos con Algor

Los resultados de las frecuancias naturales y modos de vibración encontrados con Algor, son aproximados a los resultados encontrados con la ecuación de Timoshenko. Sin embargo los resultados obtenidos con los métodos de Timoshenko y la modelación en Algor tienen variaciones considerables con respecto a los encontrados con Euler cuando la viga es corta (caso 1), demostrándose de esta manera que cuando la longitud de la viga es relativamente corta se deben tomar en cuenta tanto los efectos de inercia de rotación corno los efectos de deformación de cortante.

3.3 Modelado en Algor de una viga en voladizo con una grieta en su sección transversal

El procedimiento de mallado de una viga con grietas es prácticamente el mismo que el realizado para una viga sin grietas. Los programas de generación automática de mallados (Supersurf y Automesh) hacen más fácil la modelación de vigas con cualquiera de los elementos descritos en la sección anterior. En este caso el mallado se realizó con elementos sólidos del tipo brick y tetraédricos. Los valores de los desplazamiento normalizados en los nodos de los elementos finitos, así como los de las frecuencias naturales son depositados en un archivo de datos. Este archivo de datos puede ser accesado con cualquier editor de textos Ó por algún paquete comercial como lo es Excel o MatLab que permiten graficar los resultados encontrados.

Las tablas 3.2, 3.3 y 3.4 así como las figuras 3.10-3.53 muestran respectivamente las frecuencias naturales y los modos de vibración encontrados para las vigas agrietadas de los casos 1.2 y la viga del Cenidet modeladas con Algor.

79

Capitulo 3

Los resultados encontrados experimentalmente por Rizos* (1990) para una localización adimensional de la grieta de 0.46 y una relación de profundidad de 0.5 se muestran en la tabla 3.2.

TABLA3.2 Frecuencias naturales encontradas con Algor para la viga del caso 1 con 4 diferentes posiciones y 3 diferentes relaciones de profundidad

de la grieta


Capítulo 3

Fig.3.1

MODO 2 OBTENIDO CON ALGOR

-2 50 1.- i LONGITUD DE LA VIGA (m)

1 Segundo modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 10 mrn con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

MOO0 3 OBTENIDO CON ALGOR

i - ___ LONGIND M LA VIGA (m)

Fig.3.12 Tercer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 10 rnm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

81

Capítulo 3


LONGITUD DE l A V I W ImJ

Fig.3.13 Cuarto modo de vibración de una la viga del caso 1 una grieta localizada a 10 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

2.50

2.W

O 5 0

ow

MODO I OBTENIDO CON ALGOR

Fig.3.14 Primer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 80 mni con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

Capítulo 3

MODO 2 OBTENIW CON ALGOR


MODO 3 O8TENlDO CON ALGOR

2.M

1.50

: 2 z 2 ' 0.50 z i! : 2 VI

-0.50

-1.00

-1.50

LONGlTUD DE LA VIGA (m)

Fig.;. 16 Tercer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 80 mm con respecto al punto.de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

http://punto.de

Capitulo 3


___ I I

LONGITUD OELAVlGAIml



2 5 0 ..,.. . ,. ..... ................. . . . . . . . ~~ . , . . . . . . . . . . . . .....................

i 2W!

Fig. 3.18 Primer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 140 nim con respecto al punto de enipotramiento y 3 relaciones de profundidad .

84

Capitulo 3


2 w ----_______. ~ ~ !

LONGITUD DE LA WGA (m)

Fig. 3.19 Segundo modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 140 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.


2.59 ~ ~ ~~

2.w ~

j . . . . . . RZO J - . -. R i O S 1 ; . .

LONGITUDDELAMGAlmI

Fig. 3.20 Tercer modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 140 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

Capítulo 3


i

LONGITUD DE l3 VIGA (mJ

Fig. 3.21 Cuarto modo de vibración de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 140 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.



86

Capítulo 3


LONGITUD DEUVlGA(m)



LONGlTUO DE L A W 3 (ml


87

Capitulo 3


2.w

LONGITUD DE U VIGA (ml


En las figuras 3.10-3.25 pueden observarse cambios significativos en la variación de los modos de vibración cuando la relación de profundidad de la grieta es de 0.3 ó 0.5, esta variación en las formas modales permite predecir la existencia de una grieta y dar una posición aproximada de su localización. Sin embargo, cuando la relación de profundidad es de 0.1 la variación de los modos es tan pequeña que es prácticamente imposible predecir su existencia y dar una posición aproximada de la grieta.

Un análisis en la variación de las frecuencias naturales puede ayudar en la determinación de la existencia y magnitud de las grietas aún cuando su relación de profundidad sea de O. I .

88

Capítulo 3

Las frecuencias naturales encontradas mediante el empleo del paquete Algor para la viga del caso 2 se muestran en la tabla siguiente.

TABLA3.3 Frecuencias naturales encontradas con Algor para la viga del caso 2 con 4 diferentes posiciones y 3 diferentes relaciones de profundidad de la grieta.

Las figuras 3.26-3.41 muestran el comportamiento de los primeros cuatro modos de vibración de la viga con una grieta en su sección transversal localizada a 20, 180, 300 y 500 nim con respecto al punto de empotramiento para tres diferentes relaciones de profundidad.


3.40 ~ i

i 1.20 !

I ,/ . .


89

Capitulo 3


-1.50 - I 1 .............................................................................................................................................................. LONGlNDDEIAWGA(mJ



i . 5 , ~ .............. i i j i

I

.im L . LONGllUDOE tAWGA(ml


90

Capitulo 3


~ ~~ ~ ._.____. __

-1.50 1 ..... ~ ~~

LONGITUDDEIAVIGAilm)




91

Capitulo 3


1.w.

0.50

-1 w

LDNGINO OE U MGA (m]



-- S G R I E I A

. . . . . . RiO.3 - .- .R=O 5 . .

LONGllUDDEUWGAIrn)

Fig.3.32 Tercer modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 180 mni con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

92

~~

Capitulo 3


l a r _ _ _ _ _

- 1 50

LONGITUD DE u\ W04\ (m)



Fig.3.34 Primer modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 300 mm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad

Capitulo 3


LONGITUDDE LAVlGAlm)



I50 ~ ........... ............ ~~ ~ ..,,.... .......... ~ ~ ~ . . . , ~ ...... ~ ~ ~~

~

LONGITUDDE LAVIGA lml

Fig.3.36 Tercer modo de vibración de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 300 inm con respecto al punto de empotramiento y 3 relaciones de profundidad.

94

Capítulo 3


1 5 0 ,

. . . . . R a 3 -. -. RzP.5

LONGlNDDELAWGA(mJ -1.50


MODO 1 OBTENIDO CONALGOR


95

... ~- .. .~

Capitulo 3


LONGI?UDDEIAYIGA(m)



, -SGRIETA. - R=O i

I. ..... R-0.3 R Z 0 5

LONGITUD DE LA VlGA lml


96

~. ~~ .... . ~ . . .

Capitulo 3


__._ i

LONGITUD DE LA VIGA (ml


En las gráficas anteriores (Fig. 3.26-3.41) se puede observar que la variación de los modos no es tan pronunciada como en el caso de las gráficas obtenidas en el caso 1 (fig. 3.10-3.25). Las variaciones de los modos es muy pequeña cuando la relación de profundidad de las grietas es de 0.3, y cuando la relación de profundidad es de 0.1 la variación de los modos es prácticamente imperceptible.

En la tabla 3.3 se pueden observar cambios muy pequeños de las frecuencias fundamentales de una viga agrietada con respecto a las de una viga sin grietas; sin embargo, cuando las frecuencias son más grandes los cambios son más significativos.

Otro aspecto importante que puede ayudar en la localización de las grietas es que cuando la cresta o el valle de algún modo pasa sobre la localización de la grieta, este sufre cambios muy pronunciados en esa zona.

91

Capítulo 3

Las frecuencias naturales y modos de vibración encontrados mediante el empleo del paquete Algor para la viga del CENIDET se muestran en la tabla 3.4 y figuras 3.42-3.62 respectivamente.

TABLA3.4Frecuencias naturales encontradas con Algor para la viga del CENIDET con 3 diferentes posiciones y 2 diferentes relaciones de profundidad de la grieta.

PROFUNDIDAD (ah)

Las figuras 3.42-3.62 muestran el comportamiento de los primeros cuatro modos de vibración de la viga del CENIDET con una grieta en su sección transversal localizada a 175, 350, y 525 mm con respecto al punto de empotramiento para dos diferentes relaciones de profundidad.


Fig.3.42 Primer modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 175 mm con respecto al punto de empotramiento y 2 relaciones de profundidad

98

Capítulo 3


1.50 T..~....... ...,....... - ........ -

LONGITUO DE U VIGA lm)

Fig.3.43 Segundo modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 175 mm con respecto al punto de empotramiento y 2 relaciones de profundidad


-150 i LONGITUDDE U\VIGA(mJ

Fig.3.44 Tercer modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 175 mm con respecto al punto de empotramiento y 2 relaciones

de profundidad

99

Capitulo 3

MODO 1 O8TENlDO CON ALGOR

1.Y)

. . . . . . Ri0.5

LONGlND DE U VIGA (m)

Fig.3.45 Cuarto modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 175 mm con respecto al punto de empotramiento y 2 relaciones de profundidad.

MOO0 1 OBTENIDO CON ALGOR

180 ______ - I

1.50 1

Fig.3.46 Primer modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 350 mm con respecto al punto de empotramiento y 2 relaciones de profundidad.

I O0


1.50 r~

Fig.3.47 Segundo modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 350 mm con respecto ai punto de empotramiento y 2 relaciones de profundidad.


LONGlTUDOELAMGAIm)

Fig.3.48 Tercer modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 350 mm con respecto al punto de empotramiento y 2 relaciones de profundidad.

101

.

Capítulo 3


1.50

-''Mi \

-2.w 1 ~

LONGITUD DE u\ MOA (m)

-%GRIETA

. . . . . .R;O 5

una grieta Fig.3.49 Cuarto modo de vibración de la viga del Cenidet con - localizada a 350 mm con respecto al punto de empotramiento y 2 relaciones de profundidad.


180 -....... ~~ ....-... ~

1

Fig.3.50 Primer modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 525 mm con respecto al punto de empotramiento y 2 relaciones

de profundidad.

I02

.-

Capitulo 3


1 5 0 __ ~ ~ '

T

Fig.3.51 Segundo modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 525 mm con respecto al punto de empotramiento y 2 relaciones de profundidad.

. . MODO 3 OBTENIDO CON ALGOR

2w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................... I

i i

1 . 9 ~

. . . . . . .

q o o o o o o o o o o o u i i YI -0%; n i

i .1w I

! ~ .,sa> ..... ..... ..... __ . . . LONGITUDDELI\MGA(m)

Fig.3.52 Tercer modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 525 mm con respecto al punto de empotramiento y 2 relaciones de profundidad.

Capítulo 3


1.52 I

LONGITUD DE Lb VIGA (m)

Fig.3.53 Cuarto modo de vibración de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 525 mm con respecto al punto de empotramiento y 2 relaciones de profundidad.

Los resultados de las frecuencias naturales y modos de vibración encontrados con Algor para la viga del Cenidet muestran que es prácticamente imposible detectar la magnitud y localización de las grietas. Sin embargo las pequeñas variaciones de las frecuencias naturales mostradas en la tabla 3.4 puede ayudar en la predicción de la presencia de grietas en la viga.

Finalmente, a partir de una comparación entre los resultados de las frecuencias naturales y modos de vibración encontrados con las ecuaciones de Euler, Timoshenko y la modelación en Algor se puede concluir que cuando la longitud de las vigas es relativamente corta los efectos de inercia de rotación y de deformación de cortante deben ser tomados en cuenta; por otra parte, cuando las vigas son delgadas y de longitud considerable como en el caso de la viga del Cenidet la detección de la profundidad y localización de las grietas es prácticamente imposible de realizar.

Para tratar de complementar el estudio de vigas agrietadas en su sección transversal, en la siguiente sección se presenta una análisis de la viga del Cenidet con una grieta “lateral” ubicada en su sección transversal. Puesto que el análisis matemático requiere algunas otras consideraciones adicionales a los modelos matemáticos empleados anteriormente, el análisis se efectuará mediante la modelación en Algor con los mismos tipos de mallados descritos en la sección 3.1 de este capítulo.

I

I04

capítulo 3

3.4 Modelado en Algor de ia viga del CENIDET con una grieta latera en su sección transversal.

La fig. 3.54 muestra un esquema de la viga del CENIDET con una grieta lateral localizada en su sección transversal. A diferencia de las vigas con grietas estudiadas en la sección anterior, aquí se supone que la grieta ocupa todo el espesor (h) de la viga, sin embargo solo ocupa una parte de la sección transversal (b).

Y

Fig.3.54 Esquema de la viga,del CENiDET con una grieta lateral localizada en SU sección transversal.

Las frecuencias naturales encontradas para la viga del CENIDET con y sin grietas laterales se muestran en la tabla siguiente.

TABLA 3.5 Frecuencias naturales encontradas para la viga del CENIDET con 2 diferentes posiciones y 2 relaciones de profundidad lateral de la grieta.

105

Capitulo 3

La comparación entre los modos de vibración encontrados para la viga sin grietas y con grietas localizadas a 175 y 525 mm con respecto al punto de empotramiento para 2 diferentes relaciones laterales de profundidad se muestran en las figuras 3.55-3.62.

MOOD 1 OBTENlDO CON ALGOR

Fig.3.55 Primer modo de vibración de la viga del CENIDET con una grieta lateral localizada a 175 mm con respecto al punto de empotramiento y 2 relaciones diferentes de profundidad.


- - ........... ~ ~~ ~~ 1

Fig.3.56 Segundo modo de vibración de la viga del CENIDET con una grieta lateral localizada a 175 mm con respecto al punto de empotramiento y 2 relaciones diferentes de profundidad.

I06

Capitulo 3


................................. .- .............................. 1

-1.50 1 .......................................................... ~

LONGITUD DE !A VIGA lml

Fig.3.57 Tercer modo de vibración de la viga del CENIDET con una grieta lateral localizada a 175 rnm con respecto al punto de empotramiento y 2 relaciones diferentes de profundidad.


...... 1.50 ..................................................................... ...... .- .......... ~~

-2.m L ~ . ~ - .. ........... LONGITUD DE V\YlOA(m)

Fig.3.58 Cuarto modo de vibración de la viga del CENIDET con una grieta lateral localizada a 175 mm con respecto al punto de empotramiento y 2 relaciones diferentes de profundidad.

107

Capitulo 3

MOW 1 OBTENIDO CON ALGOR

Fig.3.59 Primer modo de vibración de la viga del CENIDET con una grieta latera localizada a 525 mm con respecto al punto de empotramiento y 2 diferentes relaciones de profundidad.


....... RiO.5 \ : L---

..... ........................... ....................... LONGITUD DE LA VIGA (m)

Fig.3.60 Segundo modo de vibración de la viga del CENIDET con una grieta latera locaiizada a 525 mm con respecto al punto de empotramiento y 2 diferentes relaciones de profundidad.

I08

Capitulo 3

MODO3 OBTBYIDOCON ALGOR

....................... .................................................................................................. ,~ I LONOITUD OLU"taA,rnl

Fig.3.61 Tercer modo de vibración de la viga del CENIDET con una grieta latera localizada a 525 mm con respecto al punto de empotramiento y 2 diferentes relaciones de profundidad.


i - 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L O H I T U D D E U U O I (rn,

Fig.3.62 Cuarto modo de vibración de la viga del CENIDET con una grieta latera localizada a 525 mm con respecto al punto de empotramiento y 2 diferentes relaciones de profundidad.

Los resultados de los modos de vibración y frecuencias naturales presentados en la tabla 3.5 y las figuras 3.55-3.62 respectivamente. muestran que a pesar de que las grietas tienen profundidades considerables, la variación de los modos y frecuencias naturales no muestran cambios muy relevantes. Por lo tanto, el análisis en la detección de grietas mediante el empleo de los parámetros modales en vigas delgadas con longitudes largas como en el caso de la viga del Cenidet, no pueden ser utilizados para predecir con precisión la localización o magnitud de las grietas.

I! I09

Capítulo 4 Análisis de resultados

En este capítulo se presenta una comparación entre las frecuencias naturales y modos de vibración encontrados con las ecuaciones de Euler - Bernoulli, Timoshenko y la modelación en Algor para las vigas de los casos 1,2 y la viga del Cenidet.

Por otra parte, dado que los resultados encontrados con la ecuación de Timoshenko son más reales para la viga del caso 1 y además son prácticamente iguales a los de Euler - Bernoulli para la viga del caso 2 y del CENIDET, entonces solamente se analizarán los modos de vibración de vigas agrietadas encontrados con el empleo de la ecuación de Timoshenko y la modelación en Algor.

El análisis de los modos en la detección de grietas se realizará por separado, es decir, se consideran los resultados obtenidos por los métodos de Timoshenko y la modelación en Algor en forma independiente con la finalidad de tener mayor claridad en la determinación de la posición y profundidad de las grietas.

4.1 Comparación de los resultados encontrados con los modelos matemáticos y la modelación en Algor.

Las figuras 4.1-4.3 ilustran la variación de los 4 primeros modos de vibración de las vigas de los casos 1, 2 y del Cenidet obtenidos con las ecuaciones de Euler - Bernoulli, Timoshenko y la modelación en Algor.

MODOS OBTENIDOS CON LOS METOCQS DE EULER. TIMOSHENKO Y ALGOR

2.5Q

I

Fig. 4.1 Modos de vibración de la viga del caso 1 (sin grietas) obtenidos con los modelos matemáticos y la modelación en Algor.

I I IO

Capitulo 4

MODOS OBTENIDOS CON LOS MÉTODOS DE EULER, TIMOSHENKO Y ALGOR

-EULER 1 - EULER 2

............. EULER 4

I TIMOSH 1 -- . - .TIMOSH2.

..... .TIMOSH 41 -.--ALGOR1 1

ALGOR2 !

/-.-.ALGOR4 i

..... .TIMOSH 3 :

LONGITUD DE LAVIGA (m)

Fig. 4.2 Modos de vibración de la viga del caso 2 (sin grietas) obtenidos con los modelos matemáticos y modelación en Algor

MODOS OBTENIDOS CON EULER. TIMOSHENKO Y ALGOR

-

-2.w 1 ........... ~ .... ~ ........................................ ~~~

' LONGlTUDDELPiVIGA(m)

Fig. 4.3 Modos de vibración de la viga del Cenidet (sin grietas) obtenidos c matemáticos y modelación en Algor.

-EULER 1 -EULER2

EULER 3 -EULER4 . - TIMOSH 1 . - TIMOSH 2 ._ TIMOSH 3 . - TIMOSH 4 . ..ALGOR 1 .-.ALGOR2 ... ALGOR3 ... ALGOR 4 -

los model ' S

I l l

Capítulo 4

Los resultados indicados en las gráficas 4.1-4.3 muestran pequeñas variaciones entre los dos primeros modos de vibración de la viga del caso 1. Sin embargo cuando los modos son mas altos con fkecuencias naturales mayores de 3000 Hz los cambios en los modos se vuelven más significativos.

Las diferencias entre los modos de Euler -Bernoulli y Timoshenko se pueden atribuir a las consideraciones realizadas por dichos métodos en la deducción de sus respectivas ecuaciones matemáticas como se mencionó en el capítulo 2.

En lo que respecta a los resultados obtenidos con Algor, su solución es aproximada a la encontrada con los modelos matemáticos y su precisión depende entre otros factores de la forma en que es discretizado el modelo y de los elementos h i to s usados.

Sin embargo, para las vigas del caso (2) y del CENIDET las diferencias entre los modos de vibración son mas diñciles de apreciar. Esto concuerda bien con el trabajo realizado anteriormente por Szwedowicz (1997), en el que se indica que cuando la longitud de las vigas es mayor de 500 mm, los efectos de inercia de rotación y de deformación de cortante dejan de ser muy, significativos, por lo que las ffecuencias naturales y consecuentemente, los modos de vibración, son aproximadamente iguales.

En la tabla siguiente se muestra la diferencia entre las ffecuencias naturales encontradas para los tres diferentes casos de las vigas estudiadas.

TABLA 4.1 Frecuencias naturales de las vigas de los casos 1,2 y la viga del Cenidet (sin grietas) encontradas con las ecuaciones de Euler - Bernoulli,

4.2Análisis de los modos de vibración y frecuencias naturales en la detección de grietas

En las gráficas siguientes se muestra el efecto que causan la posición y profundidad de las grietas en los modos de vibración.

I12

Capitulo 4

MODOS OBTENIWS CON LA ECUAC16N DE TIMOSHENKO

1

210 . - ................. I ,

... .......... i ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . ; L O N G " " D 0 E U L " l ~ l r n l

b) Fig. 4.4 Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y

modelación en Algor (b) de una viga con una grieta localizada a 10 mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de O. 1 (Caso 1).

En las gráficas anteriores se puede observar un ligero cambio en los modos de vibración, por lo que la determinación de la posición y profundidad de la grieta es prácticamente imposible de determinar; sin embargo, estas pequeñas variaciones son indicativas de que existe una grieta pequeña y su confirmación puede verificarse mediante alguno de los métodos conocidos (ultrasonido, liquidos penetrantes, etc.).

Capitulo 4

MODOS OBTENIDOS CON LA ECUACl6N DE TIMOSHENKO

- 1

I d.w i

~ MODOS OBTENIDOS CON ALGOR

I 2 50 . .. I 1

I-MOD01

-MODO 2 .... . . R i O 3 -MODO 3 ....... RiO 3

,-MOW4 ;. .... . R i O 3 i-

1.. .... R i O 3

-2.M i .......... .................................................... ., ...,......... ........................ LONGITUD DE LA VIO& (mj


modelación en Algor (b) de una viga con una grieta localizada a 10 mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de 0.3 (Caso I )

Las gráficas anteriores muestran con claridad la variación de los modos con respecto a los de una viga sin grietas. Mediante un análisis de la variación de los modos se puede ver que la grieta se encuentra en una'zona cercana al punto de empotramiento de la viga con lo que se puede predecir una aproximación de la posición de la grieta.

114

Capítulo 4

MODOS OBTENIDOS CON lAECUAC16N DE TlMOSHENKO

LDNClTUO OElAYIDA,rn)

a) MODOS OBTENIDOS CON ALGOR


modelación en Algor (b) de una viga con una grieta localizada a I O mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de 0.5 (Caso I ) .

En estas gráficas la variación de los modos es considerable por lo que la existencia de una grieta es indudable. Con el modo 1 no se puede ver muy claramente la posición de la grieta. sin embargo con la ayuda de los modos restantes. principalmente los modos 2 y 3 la posición de la grieta puede predecirse con relativa precisión.

Capitulo 4

MODOS OBTENIDOS CON LA ECUACldN DE TIMOSHENKO

2.54 ...................................................................................................................................... ! ...................

-2.50 1 .. ......................... ........... LONGITUD DE UI WGA (mJ


I 2.w

I 2.w

-2.w I

i-MOWI: ! - - - RiO 1

MODO 2 ...... RiO.4

'-MOW3 ...... R i 0 . l

...... Ri0. l ,-MOW4

___ _

- 2 % I .......................................................................... LONGITUD DEtAVIGPilrnl

...

b) I

Fig. 4.7 Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y Algor (b) de una viga con una grieta localizada a 80 mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de 0.1 (Caso 1).

En forma similar a los resultados obtenidos en la gráfica 4.4, los modos no por lo tanto estimar su posición y muestran con claridad la posición de la grieta,

profundidad es prácticamente imposible de encontrar.

I I 6

Capítulo 4

MODOS OBTENIDOS CON LA ECUAC16N DE TIMOSHENKO

...................... I

-MOW3 ...... Ri0.3 -MODO 4 ) I ...... RiO.3 ,


I 2 . x ........... ...

l -MOW3' ...... Ri0.3 - M O W 4 ' ...... .RZ0.3 ___

................................................................................ LONGITUDDE U\MGA(m)

I b) Fig. 4.8 Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y Algor (b)

de una viga con una grieta localizada a 80 mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de 0.3 (Caso 1).

I

En estas gráficas 4.8a y 4.8b los modos 2 y 3 muestran claramente la existencia y una posición aproximada de la grieta.

117

Capitulo 4


I ---- -- __

-2.50 i ~ . _ _ _ 1 1



1 _.__ -_ 2 50

i

- R i O 5 -MOD02 - R i 0 5 -MODO 3

-MODO 4 , I-. -. R i O 5

, _ _ _ ~ ,-MODO 1 ..... .Re05 - M O W 2 ...... R i O 5 - M O W 3 ...... .Reo 5 :-MOW4 ...... R=O.S

~~ ~.

1 ...... ~

.2.M i 1 .~ ............................................................................. ~ LONGITUD DE LA VIGAIrn)

b) Fig. 4.9 Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y Algor (b)

de una viga con una grieta localizada a 80 mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de 0.5 (Caso 1).

En las gráficas 4.9a y 4.9b se puede ver que la grieta se encuentra a una posición aproximada de 80 mm con respecto al punto de empotramiento y que su profundidad es considerable.

I18

Capitulo 4

MODOS OBTENIDOS CON LA ECUACION DE TIMOSHENKO


!-MOD02 1.. . . . . R ~ 0 . l ;-MOD03. 1.. . . . . R i 0 . I /-MOD04 1.. . . . .R=O 1

b) Fig. 4.1 O Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y Algor (b)

de la viga del caso i con una grieta localizada a 140 mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de O. 1 .

Un examen detallado de los modos muestran que existe una pequeña grieta en la viga. sin embargo estimar su posición y profundidad es prácticamente imposible de definir.

1 I9

L(O01V NO3 SOOIN3LEO SOüOR

(e

w'z

E Z

OYN3HSOHII130 N019Vll33 Vl NO3 SOülN31EO SOOOyl

Capítulo 4

MODOS OBTENIOOS CON LA ECUACibN DE TIMOSHENKO

__ __

. ~~ ........ -2m I ~~ * . _ ~ _ ~

LüNGlTUDOE iAVIG&{ml


para la viga del caso 1 con una grieta localizada a 140 mm del punto de empotramiento y una i relación de profundidad de 0.5 .

I

Las gráficas de la fig. 4.12 muestran más claramente la variación de los modos que en las gráficas de las figuras. 4.1 1 y fig. 4.12, esto es porque la profundidad de la grieta practicada en la sección transversal de la viga es mayor.

Los modos 2 y 4 dan una idea más clara que el resto de los modos con respecto a la localización aproximada de la grieta.

I 121

Capítulo 4


2 50 I

-2 w I-- 1 LONGITUD DE LA VIGA ImJ

a) j MODOS OBTENIDOS CON ALGOR

2.w

1.50

8 1.w

!I I O.w

2 O M

5

2 ., M

Q O z

6 8 a a 2 8 x .z :s 0 o o o o o 0 o o ,o D

a

o

i -Oso

-l.w

.2 M

2.w

1.50

8 1.w

!I I O.w

2 O M

5

2 ., M

Q O z

6 8 a a 2 8 x .z :s 0 o o o o o 0 o o ,o D

a

o

i -Oso

-l.w

.2 M

-MODO2' ..... .Riü. l - M O W 3 ' ...... R i 0 . l

I -MOW 4 . 1.. ... . R i O 1

~

i

LONGITUD DE LI\ n<u irni


de la viga del caso i con una grieta localizada a 200 nun del punto de empotramiento y una relación de profundidad de 0.1.

I Las gráficas de la fig. 4.13 no son muy claras respecto a la variación de los modos por lo que un apoyo en la variación de las frecuencias naturales puede ayudar a predecir al menos la existencia de una grieta.

.: I

122

Capítulo 4

M O W S OBTENIDOS CON U ECUACi6N DE TlMOSHENKO

....... ~~~ ___

...... )":I -YODO<

......

-250 I .................... 1 ............................ I -_ l LONGITUD DELAVIGA,rnl

a) MODOS OBTENIOOS CON ALGOR

... --- 2.50 ............................ I

I- MODO I 1 ...... R.O.,

I-Mow2. ~ 1 E,",', , .......R.O., , - MOO0 4 ..... .R.O 1

. . . . . . . ~ _ -2.50 . . . . . LONOtTUD DE U V l G I (rn,


de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 200 mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de 0.3 . I

En las gráficas se puede! observar que el modo 4 no muestra cambios significativos. sin embargo los modos 2 y 3 muestran cambios más pronunciados principalmente en la zona de la localización de la grieta. La razón por la que los cambios en el modo 4 son prácticamente imperceptibles es porque este modo pasa cerca de la posición de la grieta, esto también se puede ver en las pequeñas variaciones de la frecuencias naturales con respecto a una viga sin grietas en la tabla 3 .2 .

! I23

Capitulo 4

MODOS OBTENIDOS CON LA ECUACibN DETIMOSHENKO

I 1



I

-MOO0 2 ! - . - . Rso.5 -MODO 3 ; - .- .R=0.5 , -MODO 4

1-.--R=0.5 ~

- ~

LONGIND DE u\ VIGA (m)

1 b) Fig. 4.15 Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y Algor (b)

de la viga del caso 1 con una grieta localizada a 200 mm del punto de empotramiento y una, relación de profundidad de 0.5 .

I El modo 1 no muestra muchos cambios respecto al de una viga sin grietas, sin

embargo los modos 2 y 3 varían en forma considerable principalmente en la zona de la grieta. I

124

Capítulo 4


I I

1 50

1W

B 8 oso

9 B p ow

3

z !!

' OM : % o

-1 w

-1 50

~ LONGITUD DE LAVIGA (m)

i MODOS OBTENIDOS CON ALGOR

......................... , * ..... ................. ...

'-MOW 1 - - - R 4 . 1 -MOD021 ...... Ri0.I - M O W 3

-MODO 4 .

I . . ... .REO 1

!... . . .RZO 1

LONGITUD DELAMGA(m)


de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 20mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de 0.1,

En las gráficas de la fig. 4.16 se puede observar que a pesar de que la grieta se encuentra cerca del punto de empotramiento de la viga los modos de vibración no muestran muchos cambios respecto a los modos de una viga sin grietas.

I25

Capitulo 4

MODOS OBTENIDOS CON LA ECUACIÓN DE TIMOSHENKO

1.50,


- M O W 3 ! .._... RsO.3 ' -MODO41 ...... RiO.3 1

- M O W 1 . ... . .&O3 -MODO2 . . . . . . R 4 3 -MOW3 . . . . . .R.03

MODO 4 I - R = o ~

LONGINOOElAVIGA(m)

b) Fig. 4.17 Modos de vibración 'obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y Algor (b)

de la viga del caso2con una grieta localizadaa 20 mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de 0.3.

En estas gráficas (fig.4.17) los cambios son más significativos que en las gráficas anteriores (fig. 4.16), por lo que puede confirmarse la existencia de una grieta y su posición puede estimarse con cierta precisión.

I26

Capítulo 4

MODOS OBTENIDOS CON LA ECUACI~N DE TIMOSHENKO !

- 1 50 L i LONGITUD DELI\ VIGA (m)

LONGITUD DE Id YIGA (ml

I b) Fig. 4.18 Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y Algor (b)

de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 20 mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de 0.5.

I La variación en los modos es muy clara. incluso en el modo 1, por lo que se puede

estimar que la profundidad de la grieta es considerable y que su posición está cerca del punto de empotramiento de la viga.

I 127

Capítulo 4

MODOS OBTENIDOS CON LA ECUAClbN DE TIMOSHENKO

4 MODOS OBTENIDOS CON ALGOR

...... R=O 1 .-MOW3 , . . . . . . R=O I 1 -MODO 4 '. . . . . RS0.t .. . . ..

LONGITUD OE La VIGA (mj

b) Fig. 4.19 Modos de vibración Obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y Algor (b)

de la viga del caso 2 'con una grieta localizada a 180 mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de O. 1.

Los resultados de la variación de los modos en la fig. 4.19 son semejantes a los obtenidos en la fig. 4.16 pori lo que se puede decir que la detección de grietas es prácticamente imposible cuando: éstas tienen relaciones de profundidad del orden de O. 1.

I28

Capítulo 4

MODOS OBTENIDOS CON LA ECUACi6N DE TIMOSHENKO 1

...... R 4 . 3 - M O W 2

MODO3 1 ...... Ri0.3 /-MOW4 ,.. .. . . R = O , I

......

-1.50 1 ............................................................................................................................................................ LONGITUD DE LA MOA (m)


! II

,.Ea ............................................... ~ .. I I

,-MOW 1

'-MODO2 ...... R = 0 1 - M O W 1

~ ...... R=03 ,-MOD04 ...... R i 0 3 I._. ___

! ...... R i O 1

i i - 1 y i ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ - ~ : i LONGITUDDE LAYIGAIm) !



En estas gráficas (fig. 4.20) el modo 3 es el que mas información proporciona respecto a la posición y profundidad de la grieta.

I: I29

Capitulo 4


.................. ..... 1

-l.w ! .__. ....................... LONGITUD DE LA VIGA (m)


-MODTI- I-. -. R i O 3 l-MODO2 :. ..... RiO.5 !-MODO3 ...... R i O 3

.-MODO1 ,..... R i O 5

LONGITUD DE LA VIG.4 (ml



Los modos 1 y 2 no muestran cambios muy significativos, sin embargo los inodos 3 y 4 ~ principalmente el 3 muestran con claridad una posición aproximada de la grieta.

Capitulo 4

MODOS OQTENIDOS CON LA ECUACibN DE TIMOSHENKO

1 %

-1 M I-- LONGITUDDEIAVIGA (m)


i-MODO1 ' _ _ - R i O 1 :-MODO 2 ,. ..... R i O 1 - M O W 3 ..... RZO 1

.-MODO 4

....... RiO.1 - - ...

I -1.50 L ............... . . --J

LONGITUD DE u\ VIGA ImJ


de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 300 mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de O. 1.

Los resultados mostrados en las gráficas de la fig. 4.22 confirman lo anteriormente dicho. referente a la dificultad en la predicción de la posición y existencia de grietas cuando la relación de profundidad de estas es del orden de O. 1.

1 3 1

Capítulo 4

MOWS OBTENIDOS CON U ECUACIÓN DE TIMOSHENKO

1-MOD01

,-MODO 2 ...... RZ0.3

/-MODO 3

~. .... .RZ03

...


a) MODOS 08TENlDOS CON ALGOR

__ .................. !.so i

-1 M I .. __-___ ~~ ...... 2 LONclT"0 DE LA VIGA (m,


de la viga del caso 2 con una'grieta localizada a 300 mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de 0.3.

En estas gráficas se puede observar que los modos que más aportan información referente a la existencia y localización de una grieta son los modos 2 y 4. Esto es porque el modo 3 pasa cerca de la zona 'de la grieta y el modo 1 se encuentra a una frecuencia relativamente baja.

I32

Capítulo 4

MODOS OBTENIDOS CON LA ECUACldN DE TlMOSHENKO

i 50

- M O W 2

- M O W 3 - _ _ . R=O 5 M O W 4

R i O 5

/-R.O~

. I 1 50 . ~~ ~.....,... i LONGITüDOELI\YIGA (m)

a) MODOS O0TENlDOS CON ALGOR

I 50 ~~ ~~~~

LONGITUDDE LA"IGA(rn1

b) Fig. 4.24 Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y Algor ( b)


En estas gráficas se puede ver que las variaciones en los modos 1 y 3 son mas marcadas que en el caso anterior, sin embargo los modos 2 y 4 muestran mayores cambios y consecuentemente proporcionan mayor información de la posición y profundidad de las grietas.

I33

Capítulo 4


1.50 1

.... . ...... .................................................... ~~



-MODO 1 ..... ..R=0.1

M O W 2 ..... . . R i O 1 -MOO03 ..... R i O I -MODO4 .... . . R i O 1 .

LONGITUD DE LA VIGA lml


de la viga del caso 7 con una grieta localizada a 500 mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de 0.1,

Los cambios mostrados en las gráficas de la fig. 4.25 son muy difíciles de apreciar por lo que estimar la posición y magnitud de la grieta es prácticamente imposible.

Capítulo 4

MODOS OBTENIDOS CON U ECUICtdN DE TiMOSHENKO

R0.3

-0.3

......

......

e 0 . 3

-1.50 1 ~~~~ . . . .~ LONGRID DE LA WQA (m)


L W N D DE IA WGA (ml

b) Fig. 4.26 Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Tmoshenko (a) y Algor (b)

de la viga del caso 2 con una grieta localizada a 500mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de 0.3.

A pesar de que la grieta tiene una profundidad considerable, los cambios en los modos no son muy marcados, los modos 3 y 4 son los que aportan mayor información referente a la posición y profundidad de las grietas.

135

Capitulo 4

MODOS OBTENIDOS CON LA ECUAClbN DE TIMOSHENKO

1.50r .. ~ ........... _

.... E ............................................................. - ~

LONGITUD DE u\ VIGA (m)


.. 150 ..................... . .- ~~~~

!

- M O W 1 RiO 5

- M O W 2 ...... RiO.5 - M O W 3 ...... R;05 -MOW 4 ...... Rz0.5

~

LONGITUD DE u\ VIGA (m)



En las gráficas de las figuras 4.27 se puede ver! que cuando la profundidad de la grieta es considerable los modos de vibración muestran mayores variaciones y la posición de la grieta puede ser estimada con mayor precisión.

136

Capitulo 4

MOEOS OBTENIDOS CON U ECUACIoN DE TIMOSHENKO

-2,oo 1 . .......... LONGITUDOELaVIGAilnl,


2 O0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

-2.00 L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LONGITUOOE LAVIGAilrn,

b) Fig. 4.28 Modos de vibración obtenidos con la ecuación de Timoshenko (a) y Algor b)

de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 175 mm del punto de empotramiento y una relación de profundidad de 0.3.

En las gráficas se puede observar que los modos no proporcionan una información clara como para predecir con alguna seguridad la posición de la grieta. a pesar de que la relación de profundidad de la grieta es de 0.3.

l Z 7

Capitulo 4

MODOS OBTENIDOS CON u\ ECUAC16N DE TIMOSHENKO

~

LONGITUD DELAVlGA(m)


'-MOD31 ...... RZ0.5

,-MOW2 . . . . . .RZO 5

;-MOW3

LONGITUD DEL/\ VIGA ImJ



En estas gráficas (fig. 4.29) los modos de vibración proporcionan mayor información referente a la posición de la grieta que en el caso anterioro sin embargo una posición aproximada de la grieta no puede verse con claridad.

13s

Capitulo 4

MODOS OñTENlDOS CON LA ECUACl6N DE TIMOSHENKO

..................... 2w - ...................................... : I

l-MOW2 ...... Ri0.3 -MODO3 ..... .R=O.3 - M O W 4 ' L ...... Ri0.3


.~ -MODO 1 ..... .RiO 3 - M O W 2 ....... R i O 3 - M O W 3 ..... .R=O 9 -MODO 4 ..... .R=03 . . ~~

-2.m . . . . . . . . . . . . ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LONGlTUDDElAWGAlm)


de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 350 mm del punto de enipotramiento y una relacióii de profundidad de 0.3.

Los cambios mostrados en los modos de vibración de la fig. 4.30 son muy pequeños. Esto demuestra que la posición de la grieta no altera considerablemente los modos de Vibración cuando la viga es delgada y su longitud relativamente larga.

I39

Capitulo 4

MODOS OBTENIDOS CON U ECUACIÓN DE TIMOSHENKO

1 ~

~ -2.00 -___ ~~~ i

LONGITUD DE LA VIGA (mJ


-MODO 1 . .. . . . R i O 5

'-MOW2

,-MODO * ..... R i 0 5

-2.m !. ... . ............. ....... ....... ....................... ... .... .... , . LONGITUDOEU\VIW(m)


de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 350mm del puntode empotramiento y una relación de profundidad de 0.5.

Como la grieta se encuentra a 350 mm con respecto ai punto de empotramientoo el modo 3 prácticamente no es alterado, ya que pasa cerca del punto donde se encuentra la grieta. sin embargo los modos 2 y 4 proporcionan mayor información referente a la localización de la grieta.

I40

Capítulo 4

MODOS OBTENIDOS CON LA ECUACldN OE TIMOSHENKO

\-MODO I i

-MODO 2;

-MODO 31

1.. .... Ri0.3

...... RiO.3 ,

a) MODOS 08TENlDOS CON ALGOR

ZW I

!-MODO1

- M O O 0 2 ...... Ri0.3 -MODO I ...... RsO,

.-MOW4

....... R i O 3

....... R=03

- 2 . w ................................................................................................... I LONEITUOOEL4VIGA~ml



En las gráficas de la fig. 4.32 se observa que el modo 4 es el que mas variación tienen con respecto al modo de una viga sin grietas, mientras que la información proporcionada por los modos restantes prácticamente es nula.

141

Capítulo 4

MODOS OBTENIDOS CON LA ECUACldN DE TIMOSHENKD


. .......................................................................... ............................. -1

2.w ,'

I-MOD01

!-MOM2 ,. ..... RiQ.5 ;-MOW3 1.. ... .RiQ.S ,-MODO1 ..... .R=OS

I.. ... RiQ.5

-~

.2.m I ..... .......... ........................................................................................... i LONGITUD DE LA MGA lml



Las diferencias entre los modos de la figura 4.32 y la fig. 4.33 no son muy notorias por lo que quizás un análisis en las frecuencias naturales pudiera ayudar en la determinación de cual grieta es mas profunda respecto a la otra.

142

Capliulo 4

En conclusión se puede decir, que la variación de las frecuencias naturales y modos de vibración en vigas delgadas con longitud relativamente largas son muy pobres como para poder predecir la localización y magnitud de las grietas.

4.3 Análisis de los modos de vibración de la viga del CENIDET con una grieta lateral localizada en su sección transversal.

Las figuras 4.34 y 4.35 muestran los modos de vibración de la viga del CENIDET con una grieta localizada a 175 y 525 mm respectivamente y 2 diferentes relaciones de profundidad lateral de la grieta.

MODOS OñTENlDOS CON ALGOR

I -2m ~ ~ _ _ ~ ~ ~ ___...___ LONGITUD DE Li\ WGA (m]

Fig. 4.34 Modos de vibración obtenidos con Algor de la viga del Cenidet con una grieta localizada a 175 mm del punto de empotramiento y una relación lateral de profundidad de 0.25.

I43

Capitulo 4

1-53 ..

-l.x .. y -2.03 I

LONGITUD DE LA MGA (m)


I -203 1- -~ LONGITUDDEIAVIGAlmI


144

Capítulo 4


- - - M O W 2 1

-. - . MOD04

--- RL-0.5 ..... .RL=O.S - . - .RL=O5 ~

...... MOO0 31

R L 4 5 ,

.2.w 1.. ............................. .- ............................................................................... .~ . ~ ---- .... i LONGITUD DE LA VlG.4 ImJ


Los resultados de los modos de vibración encontrados en la viga del Cenidet (figuras 4.34 - 4.37) para dos diferentes posiciones de la grieta (350 y 525 mm) y 2 diferentes relaciones de profundidad (0.3 y 0.5) mostraron pocas variaciones con respecto a los modos de vibración de una viga sin grietas. Por lo tanto, predecir la localización y magnitud de las grietas cuando las vigas son delgadas y de longitud considerable es prácticamente imposible, aún cuando la grieta ocupe la mitad de la sección transversal de la viga.

4.4 Conclusiones

Los resultados encontrados con los método de Euler - Bernoulli, Timoshenko y Algor muestran que cuando las vigas son relativamente largas los efectos de inercia de rotación y de deformación de cortante no son muy significativos por lo que las frecuencias naturales y modos de vibración son prácticamente idénticos para cualquiera de los métodos estudiados.

Por otra parte la variación en las frecuencias naturales y modos de vibración proporcionan información referente a la existencia, localización y magnitud de las grietas. Sin embargo cuando las grietas son poco profundas ( a k 0 . l ) o las vigas son delgadas como lo fue el caso de la viga del CENIDET los modos no proporcionan mucha información referente a la localización y magnitud de las grietas. No obstante, mediante los pequeños cambios en los modos de vibración y las frecuencias naturales se pueden predecir la existencia de grietas.

145

Capltuio 4

También se encontró que cuando los modos pasan cerca de la localización de las grietas estos no son afectados en forma considerable, mientras que los restantes sufren cambios significativos. Esto también puede ayudar en la localización de las grietas y en la decisión de la colocación de los sensores de medición a fin de tener los mejores resultados posibles.

El caso contrario al descrito en el párrafo anterior se presenta cuando las crestas o los valles de los modos pasan en dirección de la localización de las grietas. Es decir, en esta región los modos sufren cambios mas pronunciados que en el resto de la viga, principalmente cuando las relaciones de profundidad de la grieta son del orden de 0.3 y 0.5.

En lo que respecta al análisis de la viga del Cenidet con una grieta lateral, se encontró que los cambios en los parámetros modales fueron muy pequeños con respecto a los de una viga sin grietas por lo que la detección de la localización de las grietas es prácticamente imposible, aún cuando las grietas ocupen la mitad de la sección transversal de la viga.

Finalmente se puede decir que el conocimiento de las frecuencias naturales y los modos de vibración de los elementos dañados, es útil para determinar en forma aproximada la localización y tamaño de las grietas. Por ejemplo, sistemas de monitoreo de vibración, pueden diagnosticar la pérdida de rigidez de un miembro estructural por detectar cambios en sus frecuencias naturales y formas modales. La posición del daño podría ser indicado sin necesidad de desmantelar la estructura y lo que es mas importante, tal monitoreo de vibración podría realizarse con el equipo en operación . Por lo tanto, la medición de la vibración y el análisis del monitoreo de las estructuras es una técnica viable en la detección de grietas.

4.4 Sugerencias para trabajos futuros

Se propone como un trabajo futuro que además de los modos de vibración transversal analizados en este trabajo , se analicen las frecuencias naturales y los modos de vibración longitudinales en vigas, esto con la finalidad de tener una mayor cantidad de parárnetros mediante los cuales se pueda identificar la magnitud y localización de las grietas.

El efecto de la fricción en la zona de la grieta debido a la apertura y cierre de la misma durante la vibración de la viga, podría ser otro parárnetro indicativo de la existencia, localización y magnitud de la grieta.

Por otra parte, también se sugiere que se estudie en forma numérica y experimental el proceso inverso, es decir que a partir del conocimiento de las frecuencias naturales y modos de vibración se encuentre la localización y magnitud de la grietas.

Un análisis matemático y experimental de una viga con una grieta lateral para diferentes secciones transversales de la viga complementaría lo presentado en la sección 4.3 del capitulo 4 y verificaría los resultados encontrados.

Finalmente, un estudio de los modos de vibración y frecuencias naturales en vigas de materiales compuestos con grietas en su sección transversal sería quiz& de mayor interés principalmente para las aplicaciones industriales.

I46

APENDICE A

SISTEMA DE ECUACIONES OBTENIDO CON EL MÉTODO DE EULER-BERNOULLI Y TIMOSHENKO

147

Apendice A

SISTEMA DE ECUACIONES OBTENIDO CON EL MÉTODO DE EULER-BERNOULLI.

En la sección 2.3 se encontró el siguiente sistema de ecuaciones

B,Coshh + B2Senhh- B3Cosh -B,Senh = O

B,Senhh+ B2Coshh + B3Senh -B4Cosh = O

A, (CoshhP-CoshP) +A, (SenhhP - SenhP ) - B,CoshhP- BzSenhhP - B3CoshP -B,SenhP = O

A, (CoshhP + CoshP) +A2 (SenhhP +SenhP) - B,CoshhP - B2SenhhP + B3CoshP +BaSenhP = O

A, (SenhhP - SenhP) + A2 (CoshhP +CoshP) - B,SenhhP- B2CoshhP-B3 SenhP + B4CoshP = O

A, (SenhhP + SenhP+Cl *h*F1(P))+A2 (CoshhP -CoshP+Cl*h*F2(P))- B,SenhhP- B,CoshhP+B3 SenhP - B4CoshP = O

Mediante un cambio de variable en todos los términos del sistema se pueden escribir las siguientes igualdades

E13= Coshh E14= Senhh E15= Cosh E l 6= Senh

E23= Senhh E24= Coshh E25= Senh E26= Cosh

E3 I = CoshhP-CoshP E32= SenhhP - SenhP E33= CoshhP E34= SenhhP E35= CoshP E36= SenhP

E41= CoshhP + CoshP E42= SenhhP +SenhP E43= CoshhP E44= SenhhP E45= CoshP E46= SenhP

E51= SenhhP - SenhP E52= CoshhP +CoshP E53= SenhhP E54= CoshhP E55= SenhP E56= CoshP

E61= SenhhP + SenhP+Cl*h*Fl(P) E62= CoshhP -CoshP+CI *h*F2(P) E63= SenhhP E64= CoshhP E65= SenhP E66= CoshP

148

Apendice A

‘O’ O O O O O

- -

También se puede representar como,

El determinante de la matriz [ME] es,

En la página siguiente se muestra la solución del determinante,

I49

Apendice A

SOLUCIÓN DEL DETERMINANTE

-E52"E13"E44'E25'E36*E61 +E52*E13'E34'E41'E26'E65-E4~*E33'E51'E64'E25*E16-E52*E13*E- 44*E26'E35'E61 -E52'E1 3'E34*E41*E25*E66+E52*E23*E64'E15'E36*E41 -E42*E33'E51 *El 4*E25'- E66-E32'E51*E63*U4*E16*E45+E32*ESI 'E63'E24*E15*E46+E42'E63'E24'E15'E36*E51 +E31 *E- 52'E43'E14'E26'E65-E31 *E52'E43'E24*E16'E65-€32*E51 *E23'E44'E16*E65-E52'E23*E14*E46'- E35*E61 -E42'EWE14*E25'E36*E61 +E32*E51 *E23*E14'E45'E66+E52*E43*E34*E61*E2SE16-E3-

*E25*E36*E41 -E31*E52*E43'EI 4'E25*E66+E32*E51'E43*E64'E25*E16+E32'E51 *E43*E14*E25*E- TE51 *E23'E64'E15*E46+E32'E51*E43'E24'E1 5*E66+E32'E5l'E23*E14'E46*E65+E52*El 3'E64-

66+E32*E51 'E43'E24*E16'E65+E52*El3'E64'E26'E35'E41-E3l*E52*E43*E2PEl 5*E66+E3l0E5- 2*E63*E44*E25"€1 6+E5ZeE43*E24*E1 5*E36*E61 +E52'E23'E34'E61 *El 6"E45-E52*E13'E24'€45'- E3VE61 +E52"E1 YE24*E35'E41*E66-E32*E51 'El 3'E24'E45'E66-E32'E51 'El 3*E4PE2YE66+E3- 2'E51'E23*E64*E16'E45-E52'E13*E34*E61 "E25*E46-E52*E13+E34'E61'E26*E45+E52*E23*El4*- E45'E36'E61 -E52'E23'E64'E16'E35*E41-E52*E23'E34'E61*El5'E46-E31 *E52'E63*E14*€26*E45- +E32'E51 *E43"E64*EX9E1 5-E32'E518E1 3'E24'E46*E65+E31 'E52'E63'E44'E26*E15-E31'€52*E- 23'E64"E16'E45+E31 'E52'E13*E24*E45*E66+E31 'EWE1 3'E24'E46*E65-E31 'E52'E43*E64*E26- *El 5-E31 *E52*E43'E64'E25*EI 6-E52*E23'E44"EI 5*E36*E61 -E52*E33'E6ItE44*E26*El 5-E52'E2- 3'E34*E41 'El 6"E65-E52"E23'E34*E41 *El 5"E66+E52*E23*E44*E16*E35*E61-E52'E23*E14*E36'- E41'E65-E42'E33*E51 *E24'E16'E65-E52'E33*E6l*E44*E2SEl6+E52*E43'El4*E25~E36*E61 +E5- Z*E43*E14*€26'E3SE61 +E31'E52'E63'E24*E16*E45+E52'E13'E24*E36"E41'E65-E42'E1 YE34"- E61 'E26*E55-E52'E43'E24*El6*E35*E61 +E32'E41 *El YE54*EZSE66-E32'E41 *E63*E14*EZSE5- 6+E31'E42'E63'E24*E15'E56-E32*E41 'E53'E64'E26*E15-E32"E41*E63"E24*El YE56+E32'E41t- E23'E54*E15*E66-E32*E41 *El 3*E54*E26*E65-E32'E4l*E23'El4'E56'E65+E32'E41'E23*E54'E1- 6'E65+E32'E41 'E63*E54*E26'E15+E3~E41*E6~E54*E25*E16+E32'E41'E63*E14'E26'E55+E32- 'E41'E23'E64*E16'E55+E3~~E41*E23'E14*E55'E66+E3l*E62'E23'E44'El5"E56+E31 "E52'E23'- E44'El SE66-E32'E41'E13*E64'E26'E55-E31 'E52'E23'E14'E46'E65+E31 *E62*E53'E14'E26*E4- 5-E31'E62'E53'E24'E16'E45-E31 'E62'E23'E14*E46'E55-E31 *E62'€23'E54*EI 5*E46+E31 *E62*- E23'E44'E16'E55+E32'E4l'El3'E64*E2~E56+E32'E4l*E53'El4*E26'E65-E32*E4l*El3*E24'E- 5~E66+E31'E52'E23*E44'E16*E65+E62*E53'E24'E15*E36'E41 +E62*E33*E51 *E44*E25*EI 6-E6- 2'E33'E51*E24"EI 5'E46-E32'E61 'E43'El 4'EXtE55+E32'E41 'E23'E64'E15*E56+E31'E52*E23'- E64*ElSE46+E32*E41 *El 3'E24'E56'E65+E31'E42'E2~El4'E56*E65-E31 *E42*E23*E1 pE55.E- 66-E52'EZYEI 4'E35'E41 *E66+E31 'E52*E13'E44'E25'E66+E42'E23'E14'E35'E51*E66-E42*E53- 'E24*E15'E36"E61 +E31 'E52'El 3'E64'E25"€46-E31 "E52'E13'E44'E26'E65+E42'E33*E61*E54*E- 25'E16+E42*E33'E61*E54'E26'E15-E42'E33'E61 *E24'E 16'E55-E42"E33'E61 *El 4'E25*E56-E42'- E33'E51 *E64'E26'E15+E42*E63'E34'E51 'E26*E15+E42'E63'E34'E51 *E25'E16-E42'E33'E61 'E- 24'E15*E56+E42*E33'E61 *El 4'E26"E55+E31'E42'E63'E1 4'E25'E56+E42'E63'E14'E26'E3SE5- 1-E31 'E42'E63'E14"E26'E55-E31 'E42'E63'E54'E26'E15-E32'E41 'E53'E24'E16'E65-E42'E63'E- 24'E16'E35'E51 +E42'E63'E14'E25'E36"E51 -E31 *E4TE63'E54'E25*E16+E31 'E42'E53'E24'E16- 'E65+E32'E51 *E63"E14'E25'E46+E52'E33'E41'E24'E16'E65-E42*E53'E34'E61*E26*E15+E62'- E53'E14'E26*E35*€41 -E32'E41 'E53'E14*E25'E66-E32'E51'E63'E44'E2SE16-E42*E13'E24"E56- 'E35*E61-E42'E13'E24'E3~E5l~E65+E42'E23~E34~E6l~El6~E55+E62~E53*E34'E4l*E26'El5-E- 31 *E62'E53'E44'E26'E15+E62*E53*El 4'E25'E36'E41 +E31 'E62'E53'E14'E25'E46-E3l*E52'E23- *El 4'E45'E66+E31'E62'E23'E54*E16*E45-E62'E53'E24'E16'E35'E41 -E31 *E62"E23'E14'E45"E- 56-E62'E33'E41 'E54*E26*E15+E42'E23'E14'E56'E3SE61 +E62'E53'E34"E41'E25"El6-E32'E41- 'E53*E64'E25'EI 6-E32"E41 'E63'E24*EI 6'E55+E31 'E52'E13'E64*E26"E45-E32'E41*E53'E24'E- l5'E66-E31'E42'E23'E54*El6*E65-E3l'E62'El3'E54'E25'E46-E31'E62'E13'E44*E26'E55+E31'- E6~E13'E44'E25'E56-E31'E62'E4~E14'E25'E56-E31 "E62'E43*E24'E16'E55-E31 'E62'E43'E24- 'El SE56+E62'E1 3'E44"E26"E35'E51 +E31'E62"E43'E54'EZSE16+E31'E62'E43'E14*E26'E55--

24'E15'E36'E51-E42'E23'ES4'E1SE3~E51+E42'E23'E64'E16*E35~E51-E31*E42'E23*~64~El6'- E55+E42'E23'E34'E61 *El SE56+E31 'E62'E13'E24'E46'E55+E31'E62'E43'E54'E26'E15-E62'E-

E31 'E62'EI 3*E54'E26'E45+E31 'E42'E13'E24*E55"E66+E62'E43'E24'E1 6*E3SE51 -EWE435

150

Apendice A

13"E54*E26*E3SE41 -E62'E13'€34*E41 *E25*E56-E62"E13*E54*E25'E36*E41 +E62"E13'E34*E41*- E26*E55+E62*E13'E34"E51*E26^E45+E62*El3'E34*E51*E25'E46-E31*E42*E23'E64'El5'E56+E- 42*E23'E34'E51 *El 6*E65+E62*E13*E24*E4SE36'€51 -E62*E23*E34"E51 *El 6*€45+E42*E23*E34-

E41-E42*E23"E54*E16*E35*E61 +E62*E13*E24*E36*E41*E55-E62*E13'E24*E46'E35*E51 -E62"E2- 3'E14'E36"E41'E55-E62'E23*E54*E15'E36*E41-E62*E23'E34'E41 'El 6"E55+E62'E23*E44*E15'- E3WE51 -E62"E23'E34'E41'E15"E56-E42*E13'E24*E55*E36'E61 -E31 'E42'€13*E54*E25*E66+E6- 2'E23'E34'E51'E15*E46-E32'E61 *E53'E24"E15*E46+E32'E61'E53'E44'E25*E16+E32'E51 'E63'- E l 4'E26*E45+E42'E13"E34'E61 'E25*€56+E31 'E42'E53'€24*EI 5*E66-€62'E43'E14'E26'E35*E- 51-E62'E43"E14'E25'E36*E51 -E32'E61 *E53*El4"E26*E45+E32'E61*€53*E44'E26'El 5-E32'E61*- E53'E14*E25'E46+E42'E23'E54'El 5'E36'E61-E32'E61 "El 3'E24'E4SE56+E32*E61'E53'E24'E-

'E61'E23'E44'E16'E55-E32'€61 *E23*E54'EI 6'E45-E62"E43*E34'E51 *E25*E16-E62*E43'E34'E5-

*E51 *El 5*E66+E62'E1 3'€44*E25*E36'E51 +E62'E13*E24*E35*E41'E56+E62'E23*E54'E16*E35~-

16*E45+€32*E61 'E23'EI 4'E46*E55+E32"E61 +E23*E14*€45*E56-E31 *E42'E23*E54'E15*E66-E32-

I*E26"E15+E62*E23*E14*E46"E35'E51 -E62*E23*E14*E35'E41'E56-E62'E23*E45*~36"€51-- E62'E23*E44'E16'E35'E51-E32*E61 *E23*E44*E15*E56+E32*E61'E43'El 4'E25*E56+E32'E6ItE-

E55+E32'E61 'E43*E24"E1 SiE56+E32*E61 *El 3*E44*E26"E55+E32"E61 'El 3*E54'E26'E45+€32*- E61 *El 3*E54*E25'E46+E42'E23*E14'E36'E51'E65+E42'E23*El4'E55*E36*E61 +E62*€33*E51'E- 24'E16'E45-E31 'E42'E13'E64*E25'E56-E62'E33'E51~E14'E25'E46-E31 "E42*E13'E24*E56*E65+- E62'E33'E51'E44'E26'El5-E62'E33'E51 'El 4'E26*E45-€32'E61 "E43*E54'E2SE16-E32"E61 T43- *E54'E26*E15+E31'E42*EI 3*E54*E26'E65+E52'E33*E41*E24'El5*E66-E42~El3*E34'E5l *E26'E- 65+EQ'EI 3'E54'E25*€36*€61 -E32'E51 'E63*E44'E2FEI 5-€32'E51'€43'EI 4'E26'E65-E42'E13'- E64*E25'E36"E51-E62*E33'E41*E54*E25*E16-E42*El3'E64*E26*E35*E51+E62'E33*E41 *E24*E1- 6*E55-E6~E33'E41'E14*E26'E55+E3l+E42'E13'E64'E26'E55+E62*E33*E41'E2~El5~E56+E62'- E33"E41'E14'E25*E56-E4~E53*E34"E?S'El6-E4Z'E33*E5l 'E24'E15*E66+E31*E42'E63*E2- 4'E 16'E55-E52-E63'E74'E25"E4 I +€52'E63'E24*E16'E35*E41 +E52'E33'E61 'El 4'E26'E45-- E52'E63'E34'E41'E26'El5-E52'E63'E34*E41 'E25'EI 6+E52'E33*E61 'El PEZSE46-E52'E33'E6- 1'E24'E16'E45-E42'E53'E14'E26'E35'E61+E52'E33'E61+E24'E15*E46-E52'E63'E14*E26'E35'- E41 -E52'E6YE24'EI 5'E36'E41 +E42'E 13'E54'E26"E35'E61 -E42*E13'E24'E3SE51 'E66+E42'E5- 3'E24'E16'E35'E61-E32'E51 *E23'E44'E15*E66-E32*E51 *El 3*€64*E26*E45-E32*€51 *El 3*E64"E- 25'E46+€32'E51 'El 3'E44'E26'E65-E3 I * E62'E53'€44'E25'EI 6+E52'E33'E41 'E64'E25'E16-E52- 'E33'E41 'E14'E26'E65+E52*E33*E4l*E64"E26'E15+E52'E33'E41'E14'E25'E66+E52'E43*E3~- E61 'E26'El 5+E42'E13'E34*E51 'E25'E66+E42'E33'E51 'El 4*E26'E65-E3l'E52'E63'E24*El SE - 46+E3 I 'E62'EI 3'E24'E45'E56-€3 1 'E42'E53'EI 4'E26'E65+E31 'E62'€53'E24'EI 5'E46+E31'E4- Z'E53'E I4*E25'E66-E31'E52*E63'E 14'E25'E46+E31'E4Z'E53'E64'E26'E15+E3l*E4~E53~E64~- E25'E16+E52'EI 3'E24'E46'E35'E61

43*E24'E16"E55+E32'E61*E23*E54'E15*E46-E32*E6l*El3'E44*E25'E56-E32'E61'El3'E24*E46*-

Apendice A

SISTEMA DE ECUACIONES OBTENIDO CON EL MÉTODO DE TIMOSHENKO

Las ecuaciones obtenidas en la sección 2.4 son las siguientes, B, hl Cosh KL + B2hl Senh KL - B3h2 Cos &L -B4h2 Sen &L = O

B, h, K Senh f i L + B2 A, A Cosh A L + Bj 12 & Sen&L

-B4h2 & C o s A L = O

A, (Cosh A L , - Cos A L , ) + A2 (Senh f i L , - ~ Sen A L , )

- B, Cosh A L , - B2 Senh f i L , - B3 Cos A L , -B4 Sen A L , = O

A , (1, CoshfiL, + h2 C o s G L , ) + A , (XI Senhf iL, + , / K , / x S e n & L G )

- BI hl Cosh A L G - B2hl Senh A L , + 8 3 x 2 Cos A L , +B4h2 Sen A L G

J;zl &

= O

A, (K Senli AL, + A Sen A L , +CZ*F3(P))+AI (& Cosh KL, -a Cos&L(; +C2*F4(P))- BI K Senli &LCj - B2 K Cosh A L t i + B3

B4 f i Cos A L ( , = O

Sen A L , -

De igual forma como en el caso anterior' un cambio de variable puede ayudar en el manejo y operación de funciones, por lo tanto las siguientes igualdades pueden ser establecidas.

I52

Apendice A

T52=h, f i Cosh A L G +h, f i Cos &LG T53=h1 f i Senh f i L G T56=h2 & C o s K L , T 6 1 = f i Senh A L , + f i Sen&LG+C2*F3(P) T62= f i Cosh A L G - f i Cos &LG +C2*F4(P)

T63= f i Senh A L G T66=& Cos&L,

T54=hl f i Cosh K L , T55=h2 & Sen &LG

T64= f i Cosh A L G T65= & Sen &LG

La representación del sistema en forma matricial es la siguiente

ó de otra forma.

Por lo tanto el determinante de la matriz [M,] es'

y su solución es la siguiente,

Apendice A

COLUCION DEL DETERMINANTE

T42*T23'T14'T55*T36'T61 +T31 'T42'T53'T14'T2ST66-T42'T53*T14'T25'T36'T61 -T31 'T42*T53*T14'T- 26*T65-T42*T53'T14*T26"T35'T61 +T31 *T42*T53*T64'T2ST16+T31 "T42*T53'T64'T26*T15-T42'T53'T- 3CT6 liT2S*T16-T42'T53'T34'T61 *T26*T15-T42*T33'T5 1 *T24'T15'T66-T42'T33'T51 *T24'T16*T65-T4- 2'T33'T51 *T14*T25'T66+T42'T33'T51 'T14*T26'T65-T42'T33'T51 *T64*T25*T16-T42*T33"T51 *T64'T26-

3'T14'T25*T56-T42'T63'T24'T16'T35'T51 +T42"T23'T34*T51 *T16*T65-T31 *T42"T23"T64*T1 6*T55+T3- 1'T42*Tl3*T24'T55"T66-T42*T13*T24*T55*T36*T61 -T42'T1 3*T24*T35'T5ltT66-T3l *T42'T13"T24'T56- *T65-T42*T13*T24'T56*T35*T6 1 -T42'T13'T24'T36*T51 'T65-T31 *T42*T13*T54*T25*T66-T31 'T4PT63'T- 14'T26*T55+T42*T63'T14*T26*T35*T51 -T31 'T42"T63*T54'T25'Tl 6-T31 *T42'T63*T54*T26'T15+T42*T- 63"T34'T5 1 *T25'T16+T42'T63'T34'T51 'T26'T15-T42'T33'T6 1 *T24'T15*T56-T42+133"T61 *T24'T16'T5- 5-T42'T33'T61 'T14*T25'T56+T42'T33'T61 *T14*T26'T55+T42'T33'T61 'T54*T25*T16+T42'T33*T61 'T5- 4*T26*T15+T32'T41 *T23'T14'T55*T66-T32*T41'T23'T14"T56"T65-T31'T42'T23'T54*T16'T65-T42'T23- 'T54*T16'T35*T61 +T42'T23'T34'T5 1 *T15*T66+T42*T23'T14'T36'T51 'T65-T31 *T4TT23*T54*Tl ST66-

'T15+T31 'T4TT63'T24'Tl ST56+T42'T63'T24'T15*T36'T51 +T31 'T42*T63*T24*T1 WT55+T31 'T47T6-

+T42'T23*T54'TI 5*T36*T61 +T42*T23*T14'T35*T51 "T66+T31 'T42'T23*T14*T56*T65+T42'T23*T14'T5-

1 'T53'T2@Tl ST66-T32'T41 "T53"T24*T16*T65-T32'T41 "T53'T14*T25*T66+T32'T41 'T53*T14'T26*T65- -T32'T41 *T53*T64'T25*T16-T32'T41 'T53'T64'T26*T15-T32*T41 *T63*T24*T15*T56-T32'T41 "T63*T24*T- 16*T55-T3TT41 'T63'Tl VT25'T56+T32*T41 *T63*T14'T2o'T55+T32'T41 'T63*T54*T25'T16+T32*T41 "T- 63'T54'T26'T15+T42*T23'T34*T6 1 'T15*T56+T42'T23'T34'T61 'T16'T55-T42*T13'T34'T5 1 'T26*T65-T- 31 *T42*T13"T64'T25'T56-T42'T13'T64'T25'T36'T51 +T31 'T42'T13*T64*T26*T55+T31 'T42'Tl YT54'T- 26'T65+T42'T13'T54'T26'T35'T61 +T32'T41 'T23'T54*Tl S'T66cT3YT41 'T23'T54'T16'T65+T32'T41*- T23'T64'T15'T56+T32*T41 'T23'T64'T16'T55-T32'T41 'T13'T24'T55'T66+T32*T41 *TI 3'T24'T56*T65+- T32'T41 'T13'T54'T25'T66-T32'T41 *T1 3'T54'T26'T65+T32'T41 'Tl3"T64'T25*T56-T32'T41 *T13'T64'T- 26'T55+T42'T 1 3'T54*T25'T36*T6 1 +T42'T13'T34'T5 1 'T25'T66-T42'T13*T64*T26-T3ST5 1 -T42'T53*T- 24'T15'T36*T61 +T31'T42'T53'T24'T16'T65+T42'T53'T24'T16T35*T6l-T3l 'T42'T23'T64'TI 5*T56-T- 42 'T23'T64'T15*T36"T51 +T42*T23*T64'T16'T35'T51-131 'T42'T23'T14*T55'T66+T42'T63'T14'T25'T- 36'T51 -T31 'T52*T23'T14'T45'T66+T52*T23'T14'T45'T36'T6 1 -T52'T23'TI 4'T35'T41 'T66-T31 'T52'T2- 3'T14'T46'T65-T52'T23'T14'T46'T35'T61 -T52'T23'T14'T36'T41 +T65+T31 "T52'T23'T44*T15'T66-T52- *T23'T44'T1 5'T36'T61 +T31 'T52'T23'T44'T16'T65+T52'T23'T44'T16'T35*T61 -T52'123'T34'T41 'T15- 'T66-T52'T23'T34'T41 *T16'T65+T3 1 'T52'T23*T64'T15'T46+T52'T23'T64'T15*T36'T4 1 -T31 'T5TT23- 'Tfi4'T16'T45-T52'T23*T64*Tl6*T35'T41 -T52'T23'T34'T61'T15'T46+T52'T23'T34'T6l~Tl6'T45+T31- 'T52'T13'T24'T45'T66-T52'T13'T24'T45'T36'T61 +T52'T13'T24'T35'T41 *T66+T31 'T52'T13'T24'T46- 'T65+T52'T13"T24'T46'T35'T61 +T52*T13'T24'T36'T41 'T65+T31 'T52"T13*T44"T25'T66-T5Z'T13*T44- 'T25'T36'T61 -T31'T52'T13'T44'T26*T65-T52'T13'T44'T26'T35'T61 -T52'T13'T34'T41 'T25*T66+T52'- T13'T34'T41'T26'T65+T31 'T52'T13'T64'T25'T46+T52'T13'T64'T25*T36'T41 +T31 *T52'T13'T64'T26- 'T45+T52'T1 YT64'126*T35*T41 -T52'T13'T34'T61 'T25'T46-T52'T13'T34'T61'T26'T45-T3l*T52"T43'- T24'Tl 5'T66+T52'T43'T24'T15'T36'T61 -T31 'T52"T43'T24~T16'T65-T52'T43'T24'Tl6'T35'T61 -T31 'T- 52'T43'T14*T25'T66+T52*T43'T14*T:5'T36+T61 +T3 1 'T5TT43'TI 4'T26*T65+T52*T43*T14'T26'T35'- T6 1 -T3 1 'T52'T43'T64'T25'T16-T3 1 'T52'T43'T64'T26'T15+T52'T43'T34'T6 1 'T25'T16+T52'T43'T34'- T61 'T26'T15+T52'T33'T41 'T24'T15*T66+T52'T33'T41 'T24'Tl E'T65+T52'T33'T41'T14'T25'T66-T52'- T33'T41 'T14'T26'T65+T52"T33'T41 *T64'T25*T16+T52'T33'T41 'T64"T26'T15-T31 'T52"T63+T24'TI 5*- T46-T52'T63'T24'T15'T36'T41 +T31 'T52'T63'T24'T16'T45+T52*T63'T24'T16*T35'T41 -T31 *T52'T63'- T14'T25'T46-T52'T63'T14'T25'T36'T41-T31 'T52*T63'T14'T26'T45-T52'T63'T14*T26'T35*T41 +T31 'T- 52*T63'T44'T25'Tl 6+T31'T52'T63'T44'T26*T15-T52'TC?~T34'T41 'T25'T16-T52'T63'T34*T41'T26*Tl- 5+T52'T33*T61 'T24'Tl ST46-T52'T33'T61 'T24'T16'T45+T52'T33'T61 'T14'T25*T46+T52'T33*T61 'T1 - 4'T26'T45-T52'T33'T61 'T44'T25'T16-T52'T33'T61 'T44'TX*T15+T32*T51 'T23'T14'T45'T66+T32'T5- 1 'T23'T14'T46'T65-T32'T5 1 'T2YT44'Tl ST66-T32'T5 l'T23*144'T16'T65-T32'T51 'T23'T64'T15'T46- +T32'T5! 'T23'T64'T16'T45-T32*T5l*Tl3'T24'T45~TC6 T32'T51 'Tl3*T24'T46'T65-T32'T5l*Tl3'T44'-

6"T35'T6 1 +T42'T13'T34'T61 'T25'T56-T42*TI 3'T34'T6 1 *T26'T55+T31 'T42*T53'T24*TlST66-T32*T4-

I54

Apendice A

T25"T66+T32'T51 *TI 3*T44"T26*T65-T32*T51 *TI 3'T64'T25*T46-T32*T51 *T13"T64*T26'T45+T32*T51'- T43*T24'T15'T66+T32'T51 *T43*T24'TI 6*T65+T32'T51 'T43'T14'T25'T66-T32'T5 1 *T43*T14"T2WT65+- T32'T51 *T43*T64'T25'T16+T32*T51 *T43'T64'T26'T15+T32"T51 *T63'T24*T15*T46-T32*T51 *T63'T24'- T1 6*T45+T32'T5liT63'Tl 4*T25'T46+T32*T51 'T63'T14*T26*T45-T32'T51 *T63'T44*T25'T16-T32'T51'- T63'T44*T26*T15-T31 'T62*T13'T54'T26'T45-T62*Tl 3*T54'T26*T35'T41 -T31 *T62*T43'T24'Tl ST56-T-

1 6'T55-T6ZeT43'T1 4*T25*T36*T51 +T31 'T62'T43'T14'T26'T55-T62'T43*T14'T26*T35'T51 +T31 'T62'T-

62'T33'T41 *TI 4*T25*T56-T62*T33'T41 "TI 4'T26*T55-T62'T33*T41 'T54'T25*T16+T31 "T62*T53*T14'T2- 5'T46-T31 'T62'T43*T24*TI VT55+T62*T43*T24*TI 6'T35'T51 +T62"T13'T34*T51 'T26*T45+T62*T13*T3-

31 *T62*T23*T14*T46*T55-T62*T43*T34"T51 *T26*T15+T62'T33'T41 *T24*T1 ST56+T62*T33*T41 'T24*T-

43'T54*T25'T16+T31 *T62'T43'T54"T26'T15-T31 'T62*T43*TI 4*TX*T56-T62*T43*T34*T51 "T25*T16+T-

4'T51 *T25'T46-T62'T43'T24*T15*T36*T51 +T62"T13*T24'T35*T41 *T56+T62*T13*T24*T36*T41 'T55+T6- 2'T23'T34'T51 'T15*T46-T6TT23*T34'T51 'T16*T45+T62'T23'T54"T16*T35*T41 -T62'T23'T54'Tl 5'T36- 'T41 +T31 *T62*T23*T54'T16*T45-T31 'T62*T23*T54'T15'T46+T31 'T62'T13*T24"T45*T56-T31 *T62*T13- *T54'T25'T46-T62*Tl YT54"TZST36*T41 -T62'T33'T51'T14'T26'T45+T31 'T62"T23*T44'TI 6*T55-T62*- T23*T34'T41 'T16'T55+T31 *T62'T23*T44'T15*T56+T62'T23'T44'T15'T36'T51-T3l*T62*T53*T24'Tl6'- T45-T62"T33*T51 *T14*T25*T46+T62*T33"T5 1 'T24'TI 6*T45+T62'T53'T34*T41 *T25*T16+T62*TWT34*- T41 'T26'T15-T62'T33*T51 *T24'T15*T46-T62*T53'T24'T16*T3ST41 +T62'T53'T14'T25*T36*T41 +T62*- T53*T14*T26*T35'T4 1 +T62'T53'T24*T15*T3WT4 1 +T3l 'T6PT53'T24'TI 5'T46-T62*T33*T41 *T54'T26'- T15+T31 *T62*T53'T14*T26'T45-T31 "T62'T53"T44*T25*T16-T31 'T62'T53'T44'T26'TI 5+T31 'T62'TI 3"- T24'T46*T55-T62*T13*T24'T46*T35*T5 1 -T31 'T62'T23*T14*T45*T56-T62*T13'T34'T4 1 'T25*T56+T62*T- 1 3'T34'T41 'T26*T55-T31 *T62'T13'T44'TZWT55+T62*Tl YT44'T26*T35*T51 +T62'T13'T24'T45'T36*T- 51 -T62'T23'T34'T41 *T1 ST56-T62'T23"T44'T16"T35*T51 -T62*T23'TlPT36'T4l'T55+T62'T23*Tl4*T4- 6*T3ST51 -T62'T23*T14*T35"T41 'T56+T62'T33'T51 +T44*T2ST16+T62*T33*T51 'T44*T26*T15-T62*T2- 3'T14'T45*T36'T51 +T31 "T62*T13*T44'T25*T56+T62*Tl 3'T44*T25"T36'T51 +T32*T61 'TI YT54*T26*T-

54"T25'T16-T32*T61 'T43"T54+T26*T15+T32*T61'T43+T14'T2ST56-T32*T61 'T53'T14'T25'T46+T32*T- 61 'T43"T24'T16+T55-T32'T61 'T23*T54'T16'T45+T32'T61 'T23*T54'T15'T46-T32'T61 'T13'T24"T45*T5- 6+T32'T61 'T13'T54'T25'T46-T32'T61 *T23'T44'T1 6*T55-T32"T61'T23*T44'Tl5*T56+T32'T61 'T53'T2- 4*T16'T45-T32'T61 *T53+T24*T15'T46-T32'T61 'T53'T14'T26'T45+T32'T61 'T5YT44'T25'TI 6+T32'T6- 1 *T53'T44'T26*T15-T32*T61 *T13'T24*T46'T55+T32*T6l*T23*Tl4'T45*T56+T32~T6l*Tl3'T44*T26*T5- 5-T32'T61 *T I 3'T44'T25'T56

45+T32'T61'T43'T24'TI 5*T56tT32'T61 *T23*T14'T46'T55-T32"T61 'T43*T14*T26'T55-T32*T61 *T43*T-

APENDICE B

PROGRAMAS EN FORTRAN Y MATHCAD PARA ENCONTRAR LAS FRECUENCIAS NATURALES Y MODOS DE VIBRACIÓN DE LA VIGA DE EULER Y TIMOSHENKO CON UNA GRIETA EN SU SECCIÓN TRANSVERSAL

I56

Apendice B

El diagrama de flujo de la fig. B.1 muestra el procedimiento empleado para encontrar las raíces de las ecuaciones características encontradas con los métodos de Euler y Timoshenko. En el primer paso el programa lee los datos físicos y geornétricos de la viga como son: Momento de inercia (Iz), modulo de Young (E), longitud de la viga (L), constante de Timoshenko (K) y Altura de la sección transversal de la viga (h) , Además de estos datos también lee las características geométricas de la grieta, es decir posición (L,) y profundidad de la grieta (P).

Después de leer los datos de la viga, el programa permite introducir un rango da valores para 1 ó BT dependiendo si las raíces que se pretenden encontrar son para la ecuación característica encontrada con las ecuaciones de Euler o Timoshenko respectivamente. Una vez que el rango de valores ha sido proporcionado, el programa sustituye los datos iniciales y el rango de valores en la ecuación característica y muestra el comportamiento de la curva en el rengo de valores establecido.

El comportamiento gráfico de la curva es de gran importancia ya que de esta manera es muy fácil observar una posición aproximada donde la función característica es cero.

Finalmente el programa permite introducir un valor aproximado a la raíz. En base a este valor aproximado el programa emplea el método de la secante (Interno en Mathcad) y proporciona finalmente la raíz de la ecuación característica cercana al valor propuesto. Si el numero propuesto no esta muy cercano a la raíz, entonces la raíz no converge y es necesario introducir un valor más cercano a la raíz.

Una vez encontradas las raíces de las ecuaciones características, estas son proporcionadas como datos en un programa elaborado en Fortran 77 a fin de obtener las frecuencias naturales de una viga con grietas y los modos de vibración en forma normalizada

Las funciones principales del programa son descritas en el diagrama de flujo de la fig. B.2. Como primer paso el programa lee las características fisicas y geométricas de la viga como son: Longitud de la viga (L), momento de inercia (Iz), modulo de Young (E), constante de Timoshenko (K) , densidad del material (p), sección transversal de la viga (A) .y altura de la sección transversal de la viga (h), posteriormente lee las Características de la grieta (Posición y profundidad) así como los valores de las raíces encontradas en Mathcad ( h y BT). Después de leer los datos, se obtienen las 4 primeras frecuencias naturales de una viga en cantiliver analizada con los método de Euler y Timoshenko.

Por otra parte, los valores de las constantes descritas en el apéndice A son encontradas con el método de Gauss y una vez obtenidos los valores de las constantes se procede a encontrar los modos de vibración los cuales son normalizados con el método de masas. Finalmente los resultados son almacenados en un archivo, estos resultados pueden ser usados posteriormente por algún paquete que permita la graficación de dichos resultados (Excel ó Matlab por ejemplo). Si se desea se pueden continuar con la obtención de frecuencias naturales y modos de vibración mediante la introducción de los valores de otras raíces encontradas en Mathcad, de lo contrario el programa termina.

I57

Apendice B

MUESTRA LA GRÁFICA

DIAGRAMAS DE FLUJO

TITULO: EULERK 6 TIMOSHK

LEE DATOS

LEE RANGO DE VALORES + 1

MUESTRA LA GRÁFICA

I c PIDE h 6 BT APROX.

A LA RAiZ

+ TERMINA PROGRAMA

Fig. B.1 Diagrama de flujo del programa en Mathcad para encontrar las raices de la ecuación caracteristica de una viga con una grieta en su sección transversal análizada con los métodos de Euler y Timochenko.

158

Apendice B

TITULO: PROGRAMA EULTIM

I

r--- LEE DATOS DE LA VIGA

LEE DATOS DE LA GRIETA + LEE RAlCES ENCONTRADAS

ENCUENTRA o.

ENCUENTRA CONSTANTES

ENCUENTRA MODOS DE VIBRACIÓN

NORMALIZA LOS MODOS u 47 GUARDA RESULTADOS

c I TERMINA PROGRAMA

Fig. B.2 Diagrama de flujo del programa en Fortran para encontrar las frecuencias naturales y modos de vibración de una viga en cantiliver con una grieta en su sección transversal análizada con los métodos de Euier y Timoshenko.

I59

Apendice B

PROGRAMAS EN MATHCAD

Las raíces de la ecuación característica pueden ser obtenidas por algún método numérico, en este trabajo las raíces se obtuvieron mediante el empleo del paquete MATHCAD el cual requiere la proposición de un número aproximado a la raíz. Este número es muy fácil de conocer ya que el comportamiento de la curva puede visualizarse gráficamente como se ilustra en los ejemplos siguientes..

Ejemplo del programa en Mathcad para encontrar las raices de la ecuación caracteristica de la viga de Euier con una grieta en su sección transversal

L,=o.I~ a=o.oi I=1.33333333* 10.' h 4 . 0 2 E=2.06*10" L=0.3

b= a/h P=L&

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

* Donde: L, = Posición de la grieta (m) h =Altura de la sección transversal de la viga (m) * * a = Profundidad de la grieta (m) E = Modulo de Young (N/m2) 1

* I =Momento de inercia (m') L = Longitud de la viga (m) 'I

* * * * * t * * * * * t t t * * * * * * * * * * * ~ * * * * ~ * * * * * * * * * * * * * ~ * * * * * * * * * * * * * * * * * * $ b * $ * * b * * * * b * * * * * * * * * * * ~ * * ~ * * * * * *

b = Relación adimensiónal de la profundidad de la grieta P = Posición adimensiónal de la posición de la grieta.

F(R,)= 1.8624R ' 3 . 9 5 R , ' + 1 6 . 3 7 5 ~ ' - 3 7 . 2 2 6 R G J + 7 6 . 8 1 b6- 1 2 6 . 9 b ' + 1 7 2 b t - - 143.97&9+66.56R,'0

h=1,1.1..2

El 3(h)= Coshh E14(h)= Sinhh E23(h)= Sinhi. E24(h)= Coshh E3 i(A)= CoshhP-CoshP E34(1.)= SinhhP E35(>.)= C0si.P E41(X)= CoshhP + CoshP E44(A)= SinhLP E45().)= CosAP E5l(i.)= SinhhP - SinLP E54(¡.)= CoshhP ES().)= Sin1.P E61(i.)= SinhhP + Sinj.P+CI*h*( CoshXP +CoshP) E630.)= SinhiP E64(h)= CoshhP

E32(h)= SinhhP - SinAP

E42(h)= SinhhP +SinhP

E52(h)= C0shi.P +CoshP

EIS(h)= Cosh E16(h)= Sinh E25(A)= Sink E26(h)= COSA E33(h)= CoshhP E36(h)= SinhP E43(h)= CoshhP E46(h)= SinhP E53(h)= Sinhj.P E56(h)= CoshP E62(h)= CoshLP -CoshP+Cl*h*( SinhhP + SinhP)

E65(h)= SinhP E66().)= CoshP

Y1 (L)= -E52(h)'E13(,.pE44(~.)'E25(W'E36().)'E61 (h)+E52(h)*EI 3(h)Ê34(i.)Ê41 (h)Ê26(h)Ê65(h) Y2(¡.)= -E42(h)*E33(h)*E5 I(h)*E64(h)*E25(h)*E16(h)-E52(h)*E13(h)'E44(~.)*E26(h)*E35(h)*E61(h) Y3().)= -E52(h)'E I3(h)'E34(h)*E4 I (h)'E25(h)*E66(h)+E52(h)'E23(h)* E64(h)'El 5(h)*E36(h)* E4 I ( I ) Y40.)= -E42(h)*E33(1)*E5i(h)'E14(h)*E25(h)*E66(h)-E32(h)*E5 i(h)*E63(~.)*E24(i)*Ei6(h)*E45(h) Y50.)= E32(h)*E5 l(h)*E63(h)*E24(h)*El5(h)'E46(h)+E42(h)*E63(h).E24(~)*El 5(h)*E36(h)*E5 i(h) Y6(1)= E3 I(h)*E52(~.)*E43(h)*E14(j.)*E26(~.)*E65(~.)-E3 i(k)*E52(h)*E43(h)*E24(i.)*El6(h)*E65(j.) Y7(h)= -E32(h)*E5 l(~.)*E23(h)*E44(l.)*E16(h)*E65(h)-E52(h)*E23(h)*E14(h)*E46(h)*E35(h)*E6I(h) Y8(h)= -E42(h)*E53(h)*Ei4(h)*E25(h)*E36(I)'E61(h)+E32(A)*E5 i(h)*E23(h)*Ei4(h)*E45(~)*E66(h) Y9(h)= E52(h)*E43(h)*E34(h)*E6l(~.)*E25(~.)*El6(~.).E32(h)*ES l(h)*E23(j.)*E64(h)*El5(h)*E46(>.) Y IO().)= E32(h)*E5 l(h)*E43(h)*E24(h)*E i5(h)*E66(h)+E32(h)*E51o.E23(~)*El4(h)*E46(h)*E65(h) Y I I O.)= E52(h)*E I3(h)* E64(1.)*€25(h)* E36(h)* E4 I (i.)-E3 1 (h)*E52(h)* E43(h)* El 4(i.)* E25(>.)* E660.) Y IZO.)= €320.)' E5 I (h)*E43(h)*E64(i.)* E25(i)*E I 6(L)+E32(h)*E5 I(h)'E43(h)*E I4(h)*E25(h)*E66(h) Y I30.)= E32(h)'E5 l(h)*E43(h)iE24(A)*El6(h)*E65(h)+E52(h)'El3(h)*E64(h)*E26(h)*E35(h)*E4l(h) Y l4(;.)= -E3i(h)*E52(h)*E43(h)*E24(L)'E15(h)*E66(h)+E3l(~.)*E52(h)*E63(~.)*E44(~.)*E25(h)*El6(h) Y 1 5(i.)= E52(i)* E43(h)*E24().)*E 150.). E36(j.)'E6 I (i.)+E52(A)* E23(h)* E34(h)* E61 (h)*E I6(h)* E45(h)

I60

Apendice B

Y 16(A)= -E52(h)'E13(h)*E24(h)*E45(h)'E36(h)*E61(h)+E52(h)*EI3(h)*E24(h)*E35(ñ)*E41(h)*E66(h) Y 17(h)= -E32(h)'E5l(h)*E13(h)*E24(h)*E45(h)'E66(h)-E32(h)*E5 l(h)*El3(h)*E44(h)*E25(h)*E66(h) Y 18(h)= E32(~)'E51(h)'E23(h)'E64(h)*E16(h)'E45(h)-E52(h)*E13(h)'E34(h)*E61(h)*E25(h)*E46(h) Y 19(h)= -E52(h)*E13(~.)*E34(h)'E61(h)*E26(~.)*E45(h~E52(h)*E23(~)*El4(h)*~5(~~)*E36(h)*E6l(h) Y20(h)= -E52(h~*E23(h)*E64(h)*El6(~)*E35(h)*E4l(h)-E52(h)~E23(~)*E34(h)*E6l(h)*El5(h)*E46(h) Y21(h)= -E31(h)'E52(h)*E63(h)'E14(h)*E26(h)*E45(h)+E32(h)*E5I(h)*E43(h)*E64(h)*E26(h)*E15(h) Y22(h)= -E32(h)*E5l(h)*E13(h)*E24(~.)*E46(h)*E65(h)+E31(h)*E52(h)*E63(h)*E44(h)*E26(h)*E15(h) Y23(h)= -E31(h)*ES2(h)'E23(h)'E64(h)*E16(h)*E45(h)+E31(h)'ES2(h)*E13(h)*E24(h)*E45(h)*E66(h) Y24(h)= E3 l(h)*E52(h)*E13().)*E24(h)'E46(h)*E65(h)-E31(h)*E52(h)*E43(h)*E64(h)*E26(h)*E15(h) Y2S(h)= -E3 l(h)*E52(~.)'E43(h)*E64(h)*E25(h)*E16(h)-E52(h)*E23(h)*E44(h)*El5(h)*E36(h)*E61(h) Y26(h)= -E52(h)'E33(h)*E61(h)'E44(h)*E26(h)*E15(h)-E52(h)*E23(h)*E34(h)*E41(h)*E16(A)*E65(h) Y27(h)= -E52(h)*E23(h)*E34(h)'E41(h)'El5(h)'E66(h)+E52(h)*E23(h)*E44(h)*E16(h)*E35(h)*E61(h) Y28(i.)= -E52(h)*E23(h)*EI4(h)*E36(h)*E41(h)'E65(h)-E42(h)*E33(~)*E5l(h)*E24(h)*E16(h)*E65(h) Y29(h)= -E52(h)*E33(h)*E6l(h)*E44(h)*E25(h)'E16(h)+E52(h)'E43(h)*EI4(h)*E25(h)*E36(h)*E61(h) Y 30(A)= E52(h)'E43(h)*EI 4(h)*E26(h)* E35(h)* E61 (h)+E3 I(h)*E52(h)* E63(h)'E24(h)*E I6(h)*E45(h) Y31(h)= E52(h)'El3(h)*E24(h)*E36(h)*E41(h)'E65(h)-E42(h)*E13(h)*E34(h)*E61(h)*E26(h)*E55(h) Y32(h)= -E52(h)*E43(h)*E24(h)*El6(~)*E35(h)*E61(h)+E32(h)*E4l(h)*El3(h)*E54(h)*E25(h)*E66(h) Y33(h)= -E32(h)'E41(h)*E63(h)*EI4(h)*E25(h)*E56(h)+E3I(h)'E42(h)*E63(h)*E24*E15*E56 Y34(h)= -E32(h)*E41(h)*E53(h)*E64(h)*E26(h)*E15(h)-E32(h)'E41(h)*E63(h)*E24(h)*E15(h)*E56+(h) Y35(h)= E32(h)*E4 l(h)*E23(h)*E54(h)*E15(h)*E66(h)-E32(h)*E41(h)*EI3().)*E54(h)*E26(~)*E65(h) Y36(h)= -E32(h)'E41(h)*E23(h)*E14(h)'E56(h)*E65(h)+E32(h)*E41(h)*E23(h)*E54(h)*E16(h)*E65(h) Y37(h)= E32(h)'E4 I (h)*E63(h)*E54(h)*E26(h)*El 5(h)+E32(h)*E4l(h)'E63(h)*E54(~)*E25(h)*El6(h) Y38(i.)= E32(h)*E4I(h)*E63(h)*E14(h)*E26(~.)*ES5(~.)+E32(h)*E41(h)'E23(h)*E64(h)*E16(h)*E55(h) Y39(i.)= E32(h)*E4i(h)*E23(h)*E14(h)*E55(ib)*E66(h)+E3 I(h)*E62(h)*E23(h)*E44(h)*ElS(h)*E56(;1) Y40(h)= E3 l(h)*E52(A)*E23(h)*E44(h)* El 5().)*E66(A)-E32().)*E4l(h)*El3(h)*E64(h)*E26(h)*E55(k) Y41().)= -E3 i()b)*E52(h)*E23(h)*Ei4(h)*E46(h)*E6S(h)+E3 l(h)*E62(h)*E53(h)'E14(h)*E26(h)*E45(i.) Y42(h)= -E3 l(k)'E62(h)*E53(h)*E24(h)*E16(h)'E45(i.)-E3 i(h)*E62(h)*E23(h)*Ei4(h)*E46(h)*E55(h) Y43().)= -E3 i(h)*E62(h)*E23(h)'E54(~.)*El5(h)*E46(h)+E3 i(h)'E62(h)*E23(h)'E44(h)*El6(~)*E55(h) Y44().)= E32(i.)*E4I(h)*E13(h)~E64(h)*E25(h)*E56(i.)+E3Z(i.)*E41(h)*E53(h)*E14(h)*E26(h)*E65(h) Y45(h)= -E32(h)'E41(h)*EI 3(h)*E24(A)*E55(h)*E66(h)+E3 i(h)*E52(h)*E23(h)*E44(h)*El6(~)*E65(A) Y46(i.)= E62(h)*E53().)*E24(h)*El5(h)*E36(i.)*E4 I(;.)+E62(h)*E33(h)*ESl(h)*E44(h)*E25(h)*El6(h) Y47(h)= -E62(h)'E33(A)*E5i(h)*E24(~)*El 5(.)*E46(h)-E32(h)'E6I(h)*E43(h)*E14(h)*E26(h)'E55().) Y48(h)= E32(h)*E4 l(h)'E23(h)*E64(1)*El5(A)*E56(L)+E3 i(h)'E52(h)*E23(h)*E64(h)*El5(h)*E46(h) Y49(i.)= E32(h)*E4 I(h)*El3(h)*E24(h)*E56(~.)*E65(i.)+E3 l(h)*E42(h)*E23(h)*E14(h)*E56(h)'E65(h) Y Síiíi.'t= -E3 1 ík\* E42íA\*E23ík~*E140~~* ESSíh\* E66íAI-E52íh\* E23íh\* E14íh\*E35íh\* E41íh\*E660.\

~, , , , . YS2&= -E42(h)*ES3(h)*E24(h)*EI5(i.)*E36(h)*E6¡().)+E3l(~.)*ESZ(h)*EI3(h)*E64(h)*E25(h)*E46(h) Y530.)= -E3 l(h)*E52().)*E13(h)*E44(;.)*E26(A)*E65(~.)+E42(h)*E33(h)*E61(h)*E54(h)*E25(h)*E16(A) Y54(i.)= E42(h)*E33(A)*E61(i.)*E54(~)*E26(h)*El5(;.)-E42(h)*E33(h)*E6l(h)*E24(h)*El6(h)*E55(h) Y55(i.)= -E42(i.)*E33(i.)*E6l(h)'E14(i.)*E25(h)*E56(i.)-E42(h)*E33(~)*E51(~.)*E64(h)*E26(h)*EI 50.) Y56(h)= E42(h)*E63(h)*E34(h)*E5l(h)*EZ6(~)*El5(i.)+E42(h)*E63(h)*E34(h)*E5 l(h)*E25(h)*E16(h) Y570.1- -E42(h)'E33(h)*E61(~)'E24(i)'E15o.E56(~)+E42(i.)*E33(~.)*E6l(h)*El4(h)*E26(h)*E55(h) Y58(A)= E3 l(h)*E42(h)*E63(h)*E14(h)*E25(i.)*E56(i.)+E42(h)*E63(h)*E14(h)*E26(h)*E35(h)*E5 I(;.)

Y60(1.)= -E32(i.~*E4l().)*E53(~.)*E24(~.)*El6(i.)*E65(~.)-E42(~.)*E63(~.~*E24(h)'El6(~)*E35(h)*E5l(~.) Y61(i.)= E42(h)*E63(~.)*E14(h)*E25(h)*E36(i~)*E51(i.)-E3 l(h)*E42(h)*E63(h)*ES4(h)*E2S(h)*E16(h) Y620.)= E3 I (h)*E42(i.)*E53(h)*E24(h)*El6(i.)*E65(h)+E32(h)*E5 i(h)*E63(h)*Ei4(h)*E25(h)*E46(i.) Y63(i.)= E52(h)*E33(h)*E4I(h)*E24(A)*E16(i.)'E65(h)-E42(h)*E53(h)*E34(h)*E61(h)*E26(h)*E15(h) Y640.)= E62(h)*E53(h)'E14(h)*E26(i.)*E35(h)*E4I(~.)-E32(h)*E4I(h)*E53(h)*E14(h)*E25(A)*E66(h) Y650.)= -E32O.)*E5 I(i.)*E63(h)*E44(i.)*E25(h)*El6(i.)~E42(h)) Y660.)= -E42(X)*EI 3(;.)*E24(i.)*E36().)*E5 I (1)'E65(i.)+E42(h)*E23(i.)*E34(h)*E6l(h)*El6(h)*E55(i.) Y670.)= E62(h)*E53(A)*E34(A)*E4l(h)*E26(h).E 15(0E3 l(h)*E62(h)*E53(h)*E44(h)*E26(h)*El5(h) Y680.)= E62(i)*E53(~~)*Ei4(h)*E25(i.)*E36(L).E4l(i.j+E3 i(i.)*E62(i)*E53(i.)*E14(h).E25(h)*E46(i.) Y69(;.)= -E3 i(iJ'E52(iL)*E23(~~)'Ei4(;.)*E45(i.)*E66(;.)+E3 i(h)*E62(i.)*E23(h)*E54(h)*El6(h)*E45(~.) Y 70(A)= -E62(h)*E53(i.)* E24(h)*E 16().)*E35(1)*E4 1 ().)-E3 I(h)*E62(h)*E23(>.)*E I4(h)*E45(h)*E56(h) Y7 I (I)= -E62(;-)*E33(i.)*E4 I (h)*E54(i.)* E26(i.)*E I S(;.)+E42(;.)* E23(i.)*E I4(h)*E56(h)*E35(h)*E6 l(i.) Y72(.)= E62(h)*E53(A)*E34(1)*E4 l(h)*E25(~.)'E16(h)-E32(h)*E41(h)*E53(h)'E64(h)*E25(h)*E16(h)

Y590.)= -E3 l(h)*E42(h)'E63(A)*E14(h)*E26(h)'E55(1)-E3 I(h)*E42(h)*E63(h)'E54(h)*E26(A)*E I5(h)

161

Apendice B

Y76(h)= E3 l(h)*E62(h)*El3(h)*E44(~)*E25(h)*E56(h),)-E31(h)*E62(h)*E43(h)*E14(h)*E25(h)*E56(h) Y77(h)= -E31(h)*E62(h)*E43(h)*E24(h)'E16(h)*E55(h)-E31(h)*E62(h)*E43(h)*E24(h)*E15(h)*E56(h) Y78(h)= E62(h)'E13(h)*E44(h)*E26(h)'E35(h)*E5l(h)+E3l(h)*E62(h)*E43(h)*,E54(h)*E25(h)*E16(h) Y79(h)= E31(h)*E62(h)*E43(h)*E14(h)*E26(~.)'E55(h)-E31(h)*E62(h)*E13(h)*ES4(h)*E26(h)*E45(h) Y80(h)= E3 l(h)'E42(h)*E13(h)*E24(h)'E55(h)'E66(h)+E62(h)*E43(h)*E24(h)*E16(h)'E35(h)*E51(h) Y81(h)= -E62(h)*E43(h)*E24(h)*E15(h)*E36(h)*E51(h)-E42(h)*E23(h)*E64(h)'E15(h)*E36(h)*E5I(h) Y82(h)= E42(h)*E23(h)*E64(h)*E16(h)*E35(h)*E5 l(h)-E3l(h)*E42(;1)*E23(h)'E64(h).E16(h)*E55(h) Y83(h)= E42(h)*E23(h)*E34(h)*E61(h)*El5(h)'E56(h)+E31(h)*E62(h)*E13(h)*E24(h)*E46(h)*E55(h) Y84(h)= E3l(h)*E62(h)*E43(h)*E54(h)rE26().)'E15(h)-E62(h)*El3(h)*E54(h)'E26(h)'E35(h)*E41(h) Y85(h)= -E62(h)'E13(h)*E34(h)*E41(h)*E25(h)'ES6(h)-E62(h)'E13(h)*E54(h)*E25(h)*E36(h)'E41(h) Y86(h)= E62(h)'El3(h)*E34(h)*E4l(h)*EZ6(h)* E55().)+E62(h)*Ei3(h)*E34(h)*E5 l(h)*E26(h)'E45(h) Y87(h)= E62(h)*El3(h)*E34(h)*E5l (h)*E25(h)*E46(h)-E3 i(h)'E42(h)*E23(h)'E64(h)*El 5(h)'E56(h) Y88(h)= E42(h)*E23(h)*E34(h)*E5l (h)*El6(h)*E65(h)+E62(h)*El3(h)*E24(h)*E45(h)*E36(h)*E5 i(h) Y89(h)= -E62(h)*E23(h)*E34(h)*E51(~~)'E16(h)'E45(h)+E42(h)*E23(h)*E34(h)'ESI(h)*EIS(h)*E66(h) Y90(h)= E62(h)'EI 3(h)*E44(h)*EZ5(h)*E36(h)*ES I (h)+E62(h)*Ei3(h)*E24(h)*E35(h)*E41(h)'E Y91(h)= E62(h)*E23(h)'E54(h)*E16(h)*E35(h)'E41(A)-E42(h)*E23(h)*E54(h)*EI6(h)'E35(h)*E61(h) Y92(h)= E62(h)*EI 3(i)*E24(h)*E36(h)*E4 1 (h)*E55(h)-E62(h)*E I3(h)*E24(h)'E46(h)*E3S(h)*ES l (h) Y93().)= -E62(h)'E23(h)*EI4(h)*E36(h)*E41(h)*E55(h)-E62(h)*E23(h)*E54(h)*E15(h)*E36(h)*E41(h) Y94(h)= -E62(h)*E23(h)*E34(h)*E41(h)*E16(h)'E55(h)+E62(h)*E23(h)*E44(h)*E15(h)+E36(h)*ESI(h) Y95(h)= -E62(h)*E23(h)*E34(h)+E4I(h)*E15(h)*E56(h)-E42(h)*E13(h)*E24(h)*E55(h)'E36(h)'E61(h) Y96(h)= -E3 l(h)*E42(h)'E13(h)*E54(h)*E25(h)'E66(h)+E62(h)*E23(h)*E34(h)*E51(h)'E15(h)'E46(h) Y97(h)= -E3Z(h)*E6l(h)*E53(h)*E24(h)*El5(h)*E46(h)+E3Z(h)*E6l(h)*E53(h)*E44(h)*E25(h)*El6(~~) Y98().)= E32(h)*E5l(h)*E63(h)*E14(h)*E26(h)*E45(~)+E4Z(h)*El3(h)*E34(h)*E61(h)'E25(h)*ES6(h) Y99(h)= E3 l(h)*E42(h)*E53(h)*E24(h)~E15(1,)*E66(~.)-E62(h)*E43(h)*E14(h)'E26(h)'E35(h)*E51(h)

~, . , Y lO2(j.)= E42(h)*E23().~E54(hj*El5(~.)*E36~h~E6i~~.)-E32~h)*E6l(h~*El3~h~*E24(h)*E45(h)~E56~h) Y 1O3OL)= E32(h)'E61(h)*E53(~)+E24(h)+El6(~)*E45(h)+E32(h)*E6l(h)*E23(h)*El4(h)*E46(h)*E55(h) Y 104(1)= E32(h)*E61 (h)*E23(h)*E14(h)* E45(h)*E56(h)-E3 i(A)*E42(h)*E23(h)*E54(~)*Ei 5(h)*E66(h) Y 105(h)= -E32(h)*E61(h)*E23(h)*E44(h)*E16(h)*E55(A)-E32(h)*E61(h)*E23(h)*E54(h)*E16(h)*E45(h) Y 106(h)= -E62(h)*E43(h)'E34().)*E5 l(h)*E25(h)*E16(h)-E62(h)*E43(h)*E34().)*E51(h)*E26(h)*E15(A) Y l07(h)= E62(h)*E23(h)*E14(h)*E46(h)*E35(h)*E5I(h)-E62(h)*E23(h)*E14(h)*E35(h)*E4l(h)*E56(h) Y 108(h)= -E62(A)*E23(h)*E14(h)*E45(h)*E36(h)'E5I(h)-E62(h)*E23(h)*E44(h)*E16(h)*E35(h)*E5 I(h) Y 109(h)= -E32(h)*E61(h)*E23(~.)*E44(h)*El5(h)'E56(h)+E32(h)*E61(h)*E43(h)*E14(~)*E25(h)*E56(A) Y I IO@.)= E32(h)*E6i(h)*E43(h)*E24(h)*E16(h)*E55(h)+E32(h)*E6l(h)*E23(h)*E54(h)*El5(h)*E46(h) Y I I I(>.)= -E32(~.)*E61(~~)*E13(h)*E44(~.)*E25(~.)'E56(h)-E32(h)*E61(h)*E13(h)*E24(h)'E46(h)'E5S(h) Y 1 l2(h)= E32(h)*E61(h)*E43(h)*E24(h)*EI5(h)*E56(h)+E32(h)*E6I(h)*E13(h)*E44(h)*E26(h)*E5S(h) Y 1 I3(i.)= E32(h)*E6i(h)*Ei3(h)*E54(h)lE26(~)*E45().)+E32(h)*E6l(~.)*El3(h)*E54(~.)*E25(~.)*E46(h) Y 114().)= E42(h)*E23(h)*E14(h)*E36(h)'E5 i(h)*E65(h)+E42(h)*E23(~)*El4(h)*E55(h)*E36(h)*E6l(h) Y I IS(>.)= E62(h)'E33(h)*E5 l(h)*E24(h)*E16().)*E45(j.)-E3 l(h)*E42().)*E13(h)*E64(h)*E25(h)*E56().) Y I 16(.)= -E62(h)*E33(h)'E5 I (h)*El4().)*E25(h)'E46(h)-E31(h)*E42(h)*E13(h)*E24(h)'E56(h)*E65(),) Y I I7(h)= E62(h)*E33(A)*E51(h)*E44(h)*E26(h)*E15(h)-E62(h)*E33(h)*E5 i(h)*Ei4(h)*E26(h)*E4S(h)

Y IZO(>.)= -E42(h)*Eij(h)'E34().)*E5 ¡(h)*E26(~)*E65(h)+E4Z(h)tEl3(h)*E54(h)'E25(h)'E36(h)*E6¡(~) Y I2l(h)= -E32(h)*E51(h)*E63(h)*E44(h)*E26(h)*E15(h)-E32(h)*E51().)*E43(h)*E14(h)'E26(h)*E65(h) Y i22().)= -E42(h)'El3(~.)*E64(h)*E25(h)*E36(~.)*E51(i.)-E62(h)'E33(~.)*E4I().)*E54(h)*E25(~.)*E16(1.) Y l23().)= -E42(h)*Ei3(h)*E64(h)'E26(~)*E35(h)*E51(h)+E62(h)*E33(h)*E4l(h)*E24(h)*El6(h)*E55(~)

I Y 124(h)= -E62(~.)*E33(h)*E4i(h)*El4(~)*E26(h)*E55(h)+E3l(h)*E42(h)*El3(h)*E64(~.)*E26(~.)*E55(~.~ Y l25(h)= E62(h)*E33(h)*E41(h)*E24(h)*EI5(h)'E56(i.)+E62(h)*E33(h)*E41(h)*E14(h)*E25(h)*E56(~.) Y 126(1.)= -E42(i.)*E53(h)*E34(h)*E6I().)*E25(h)*E16(h)-E42(h)*E33(h)*ESI(h)*E24(h)*E15(h)*E66(~.) Yl27(1.)= E3l(~.)'E42(~.)*E63(h)*E24(h)*E16(h)*E55().)-ES2(h)*E63().)*E14(h)*E25(h)'E36(h)*E4I(~) Y l28().)= E52(h)*E63(i)rE24(h)rE16(h)*E35(h)*E4l(h)+E52(h)*E33(h)*E6l(h)*El4(h)'E26(h)*E45(~.)

Y I 3 I (I.)= -E42( ;.)* E53(h)* E I4 ( i )* E26( i.)* E35( h)* E6 ¡( ).)+E52(h)* E33(h)* E61 (h)* E24(i.)* E 1 5(h)* E46( j.) Y l32(h)= -ESZ(h)*E63(h)*E14(h)*E26(~.)*E35(h)'E4I(h)-E52(h)*E63(h)*E24(h)*EI 5(h)*E36().)*E41().) Y 133(h)= E42(h)'E13(h)'E54(h)*E26(h)*E35(h)*E6I().)-E42(h)*E13(h)*E24(~.)*E35(h)*E5i(h)'E66(1.) Y 134(X)= E42(~.)'E53(h)*E24(h)*E16().)'E35(h)'E6l(~.)-E32(h)*E5 i(h)*E23(~.)*E44(h)*El5(~)*E66(h) Y l35(A)= -E320.)*ES I ( . ) * E 13(h)*E64(h)*E26(h)*E4S().)-E32(h)'E5 i(h)*Ei3(h)*E64(~.)*E25(h)*E46(1)

I62

Apendice B

Y 136(h)= E32(h)*E5i(h)*El3(h)'E44(~)*E26(~)*E6S(h)-E3l(h)*E62(h)*E53(h)*E44(h)*E25(h)*El6(h) Y 137(h)= E52(h)*E33(h)*E4 I (A)'E64(h)*E25(h)*E16(h),)-E52(h)*E33(h)*E41(h)'E14(h)*E26(h)*E65(h) Y 138(h)= E52(h)*E33(h)*E4l(h)*E64(h)*E26(h)*El5(h)+E5Z(h)*E33(h)*E4l(h)*El4(h)*E25(h)*E66(h) Y139(h)= E52(h)*E43(h)*E34(h)*E61(h)*E26(h)*E15(h)+E42(h)*E13(h)*E34(hj'E51(h)*E25(h)*E66(h) Y I40(h)= E42(h)*E33(h)*EsI (h)'EI 4(h)*E26(h)*E65(h)-E3 1 (h)*E52(h)*E63(h)'E24(h)*El 5(h)*E46(h) Y 14l(h)= E3 I (h)*E62(h)*EI 3(h)*E24(h)*E45(h)*E56(h)-E3 i(h)'E42(h)*E53(h)*E14(h)'E26(h)*E65(h) Y I42(h)= E3 1 (h)*E62(h)*E53(h)*E24(h)*E I5(h)*E46(h)+E3 i(h)*E42(h)*E53(h)*EI 4(h)*E25(?.)*E66(;1) Y l43(h)= -E3 i(h)*E52(h)*E63(h)*Ei 4(h)*E25(h)8E46(h)+E3 i(h)'E42(h)*E53(h)*€64(h)*E26(h)*EI S(h) Y144(h)= E31(h)*E42(h)*E53(h)'E64(h)*E25(h)'EI6(h)+E52(h)*E13(h)*E24(h)*E46(h)'E35(h)*E61(A)

FI(h)=Y i().)+Y2(h)+Y3(h)+Y4(h)+Y5(h)+Y6(h)+Y7(h)+YS(h)+Y9(h)+Y IO@) F2(h)=Y 1 I(h)+Y12(h)rY l3(h)+Y I4(h)+Y IS(h)+Y 16(h)+Y l7(h)+Y 18(h)+Y 19(h)+YZO(h) F3(h)=Y21 (h)+Y22(h)rY23().)+Y24(h)+Y25(h)+Y26(h~Y27(h)+Y28().)+Y29(h)+Y3O(h) F4(h)=Y3 i(h)+Y32(h)+Y33(h)+Y34(h)+Y35(h)+Y36(h)+Y37(h)+Y38(h)+Y39(h)+Y40(h) F5(h)=Y4 I ( h ) + Y 4 2 ( h ) + Y 4 3 ( h ) + U 4 4 ( h ) + Y 4 5 ( h ) + Y 4 6 ( h ) c y ) F6().)=Y5 I (h)+Y52(h)rY53(h)+Y54(h)+Y5S(h)+Y56(h)+Y57(h)+YS8(h)+Y59(h)+Y6O(h) F7(h)=Y61 (h)+Y62(h)rY63(h)+Y64(h)+Y6S(h)+Y66(h)+Y67(h)+Y68(h)+Y69(h)+Y7O(h) F8(h)=Y 7 I (h)+Y72(h)*Y73(h)+Y74(A)+Y75(h)+Y76(h)+Y 77(h)+Y 78(h)+Y79(h)+Y80(h) F9( h)=Y 8 I ().)+Y 82( h)*Y 83(h)+Y 84().)+Y 85(h)+Y 86(h)+Y 87(h)+Y 88(h)+Y 89(h)+Y90( A) F 1 O(h)=Y 9 I (h)+Y 92( &)+Y 93( h)+Y94( h)+Y95( h)+Y 96(h)+Y 97( h)+Y 98(A)+Y99(h)+Y I OO(h) FI i(h)=Y IOl(h)+Y 102(h)+Y l03(h)+Y I04(h)+Y l05(h)+Y l06(h)+Y l07(h)+Y l08(h)+Y IO9(h)+Y 1 IO(h) F12(h)=Y I I I(h)+Y IlZ(h)+Yl I3(h)+YI 14(h)+YI 15(h)+YI l6(h)+Y I17(h)+YI l8(h)+Y I l9(h)+Y 120(h) FI 3(h)=Y I2 I @)+Y I22(h)+Y I23(h)+Y 124(A)+Y 125(h)+Y l26(h)+Y 127(h)+Y I28(h)+Y 129(h)+Y I30(h) F14().)=Y 131(h)+Y 132(h)+Y 133(h)+Y l34(A)+Y l35(h)+Y l36(h)+Y 137(h)+Y 138(h)+Y139().)+Y 140(h) FI 5(h)=Y 14 I ().)+Y 142().)+Y I43().)+Y I44(h)

Y().)=F l(h]+F2(),)+F3()~)+F4().)+FS(h)+F6(~.)+F7(h)+F8(h)+F9(~)+F IO().)+F I I(h)+F 12().)+F 13(h)+F 14(F.) +FIS(h)

h : l . root(Y().),h) = 1.83

I63

Apendice B

Programa en Mathcad para encontrar las rakes de la ecuación caracteristica de la viga de Timoshenko con una grieta en su sección transversal

LC=O.M a= 0.01 1=1.33333333*10* h4.02 E=2.06*10" G=8.2404*10'0 L=0.3

A= 4' I O 4 K=5/6 &= ani

F(P+ 1.8624 %'-3.95 & I + 16.375 b4- 3 7 . 2 2 6 b 5 + 76.81 b6- 126.9 b7 + 1 7 2 b - 143.97&9+66.56&10

El 5346hF(R,) K, =

BT=2,2.1..3

I64

Apendice B

Y l(BT)=T42(BT)*T23(BT)*T14(BT)*T55(BT)'T36(BT)*T6I(BT)+T3 1 (BT)*T42(BT)*T53(BT)*Tl4(BT) *T25(BT)*T66(BT)

Y2(BT)=-T42(BT)'T53(BT)*Tl4(BT)*T25(BT)*T36(BT)*T61(BT) -T3 l(BT)*T42(BT)*T53(BT)*T14(BT)*T26(BT)*T65(BT)

Y3(BT)=-T42(BT)*T53(BT)*TI 4(BT)*T26(BT)*T35(BT)*T6I(BT) +T3 i(BT)*T42(BT)*T53(BT)*T64(BT)*T25(BT)'TI6(BT)

Y4(BT)=T3 i(BT)*T42(BT)'T53(BT)*T64(BT)*T26(BT)*Tl5(BT) -T42(BT)*T53(BT)*T34(BT)*T6 1 (BT)*T25(BT)'TI 6(BT)

Y 5(BT)=-T42(BT)*T53(BT)*T34(BT)*T6I(BT)*T26(BT)*TI5(BT) -T42(BT)*T33(BT)*T5 1 (BT)*T24(BT)*Ti5(BT)*T66(BT)

Y6(BT)=-T42(BT)'T33(BT)*T51 (BT)*T24(BT)*T16(BT)*T65(BT) -T42(BT)'T33(BT)*T5 l(BT)*T14(BT)*T25(BT)*T66(BT)

Y7(BT)=T42(BT)*T33(BT)*T5 I(BT)*TI 4(BT)*T26(BT)*T65(BT) -T42(BT)*T33(BT)*T5 1 (BT)*T64(BT)*T25(BT)*T16(BT)

Ys(BT)=-T42(BT)*T33(BT)'TS l(BT)*T64(BT)*T26(BT)*Ti5(BT) +T3 i(BT)*T42(BT)*T63(BT)*T24(BT)*T I5(BT)*T56(BT)

Y9(BT)=T42(BT)'T63(BT)*T24(BT)*T15(BT)*T36(BT)*T51(BT) +T3 I (BT)*T42(BT)*T63(BT)*T24(BT)*T 16(BT)*T55(BT)

Y 1 O(BT)=T3 i(BT)*T42(BT)*T63(BT)*T14(BT)*T25(BT)*T56(BT) -T42(BT)*T63(BT)'T24(BT)*TI6(BT)*T35(BT)*T5 I(BT)

Y I I (BT)=T42(BT)*T23(BT)*T34(BT)*T5 I(BT)*TI 6(BT)*T65(BT) -T3 l(BT)*T42(BT)*T23(BT)*T64(BT)'TI 6(BT)*T55(BT)

Y I2(BT)=T3 I (BT)*T42(BT)*TI 3(BT)*T24(BT)'T55(BT)*T66(BT) -T42(BT)'TI 3(BT)*T24(BT)*T55(BT)'T36(BT)*T61 (BT)

Y I3(BT)=-T42(BT)'TI 3(BT)*T24(BT)*T35(BT)*T5 1 (BT)*T66(BT) -T3 1 (BT)'T42(BT)*T I3(BT)*T24(BT)'T56(BT)*T65(BT)

Y l4(BT)=-T42(BT)*T13(BT)*T24(BT)*T56(BT)*T35(BT)*T6I(BT) -T42(BT)*T I3(BT)*T24(BT)*T36(BT)*T5 1 (BT)'T65(BT)

Y I5(BT)=-T3 I (BT)'T42(BT)*T 13(BT)*T54(BT)*TZS(BT)*T66(BT) -T3 i(BT)*T42(BT)'T63(BT)*TI4(BT)'T26(BT)*T55(BT)

Y I6(BT)=T42(BT)*T63(BT)*Tl4(BT)*T26(BT)'T35(BT)*T5 I (BT) -T3 i(BT)'T42(BT)*T63(BT)*T54(BT)*T25(BT)*TI6(BT)

Y I7(BT)=-T3 1 (BT)*T42(BT)'T63(BT)*T54(BT)*T26(BT)*Tl5(BT) +T42(BT)*T63(BT)*T34(BT)'T5 1 (BT)*T25(BT)*TI 6(BT)

Y iX(BT)=T42(BT)'T63(BT)*T34(BT)*T5 i(BT)'T26(BT)*TI5(BT) -T42(BT)'T33(BT)*T61(BT)*T24(BT)*T15(BT)'T56(BT)

Y I9(BT)=-T42(BT)*T33(BT)*T61 (BT)*T24(BT)*T i6(BT)*T55(BT) -T42(Bl)*T33(BT)*T61(BT)*Tl4(BT)*T25(BT)*T56(BT)

Y2O(BT)=l42(BT)'T33(BT)*T6 I (BT)*Ti 4(BT)'T26(BT)*T55(BT) +T42(BT)*T33(BT)*T6 I (BT)*T54(BT)'T25(BT)*Tl6(BT)

Y2l(BT)=T42(BT)*T33(BT)*T61(BT)*T54(BT)*T26(BT)*TI5(BT) +T32(BT)'T4 I (BT)*T23(BT)*TI 4(BT)'T55(BT)*T66(BT)

YZZ(BT)=-T32(BT)*T41 (BT)*T23(BT)*Ti4(BT)*T56(BT)*T65(BT) -T3 I(BT)'T42(BT)*T23(BT)*T54(BT)*TI6(BT)*T65(BT)

Y23(BT)=-T42(BT)*T23(BT)*T54(BT)*T I6(BT)'T35(BT)'T61 (BT) +T42(BT)*T23(BT)*T34(BT)+TS I(BT)'T15(BT)*T66(BT)

Y24(BT)=T42(BT)*T23(BT)*TI4(BT)*T36(BT)*T5 I(BT)*T65(BT) -T3 i(BT)*T42(BT)*T23(BT)*T54(BT)*TI5(BT)*T66(BT)

Y25(BT)=T42(BT)*T23(BT)*T54(BT)*Tl5(BT)*T36(BT)*T6i(BT) +T42(BT)*T23(BT)*Ti4(BT)*T35(Br)*T5 I(BT)'T66(BT)

Y26(BT)=T3 i(BT)*T42(BT)*T23(BT)*T14(BT)'T56(BT)'T65(BT) +T42(BT)'T23(BT)*Tl4(BT)*T56(BT)*T35(BT)*T6l(BT)

Y27(BT)=T42(BT)*T I3(BT)*T34(BT)*T61 (BT)'T25(BT)'T56(BT) -T42(BT)'TI 3(BT)*T34(BT)*T6 1 (BT)*T26(BT)*TSS(BT)

Y2X(BT)=T3 i(BT)*T42(Br)*T53(BT)*~24(BT)*Tl5(BT)'T66(BT) -T32(BT)*TJI(BT)'T53(BT)*T24(BT)*TI 5(BT)'T66(BT)

I65

Apendice B

Y29(BT)=T32(BT)*T41(BT)*T53(BT)*T24(BT)*T16(BT)*T65(BT)

Y30(BT)=T32(BT)*T4 I (BT)*T53(BT)*Ti4(BT)*T26(BT)*T65(BT) -T32(BT)*T41(BT)*T53(BT)*T64(BT)*TZ(BT)*Tl6(BT)

Y3 1 (BT)=-T32(BT)*T41(BT)*T53(BT)*T64(BT)*T26(BT)*Tl5(BT) -T32(BT)*T41(BT)*T63(BT)'T24(BT)*TI 5(BT)*T56(BT)

Y32(BT)=-T32(BT)*T4 1 (BT)*T63(BT)'T24(BT)*Tl6(BT)*TSS(BT) -T32(BT)*T4 I(BT)'T63(BT)*TI 4(BT)'T25(BT)*T56(BT)

Y33(BT)=T32(BT)'T41(BT)*T63(BT)*Tl4(BT)*T26(BT)*T55(BT) +T32(BT)*T4 1 (BT)*T63(BT)'T54(BT)*T25(BT)*TI 6(BT)

Y34(BT)=T32(BT)*T41 (BT)*T63(BT)*T54(BT)*T26(BT)*Tl5(BT) +T42(BT)*T23(BT)*T34(BT)*T6I(BT)'TI 5(BT)*T56(BT)

Y35(BT)=T42(BT)*T23(BT)*T34(BT)*T6 1 (BT)*TI 6(BT)*T55(BT) -T42(BT)'TI 3(BT)*T34(BT)*T5 1 (BT)'T26(BT)*T65(BT)

Y36(BT)=-T3 I (BT)*T42(BT)*TI 3(BT)*T64(BT)*T25(BT)*T56(BT) -T42(BT)*TI 3(BT)*T64(BT)*T25(BT)*T36(BT)*T5 1 (BT)

Y37(BT)=T3 I(BT)'T42(BT)*T 13(BT)'T64(BT)*T26(BT)*T55(BT) +T3 1 (BT)*T42(BT)*TI 3(BT)*T54(BT)'T26(BT)*T65(BT)

Y38(BT)=T42(BT)*Ti3(BT)*T54(BT)*T26(BT)*T35(BT)*T6l (BT) +T32(BT)*T41(BT)*T23(BT)'T54(BT)*T15(BT)*T66(BT)

Y39(BT)=T32(BT)'T41 (BT)*T23(BT)'T54(BT)*Tl6(BT)'T65(BT) +T32(BT)*T41(BT)*T23(BT)'T64(BT)*TI 5(BT)'T56(BT)

Y40(BT)=T32(BT)*T41 (BT)*T23(BT)*T64(BT)*TI6(BT)*T%(BT) -T32(BT)*T41 (BT)*TI 3(BT)'T24(BT)'T55(BT)*T66(BT)

Y4 I(BT)=T32(BT)*T4 I (BT)*T 13(BT)*T24(BT)*T56(BT)*T65(BT) +T32(BT)*T41(BT)'TI 3(BT)'T54(BT)'T25(BT)*T66(BT)

Y42íBT)=-T32íBT)*T4 I fBT)*TI 3íBT)'T54fBT~*T26fBT)*T65fBT\

-T32(BT)*T4 I (BT)*T53(BT)*Tl4(BT)*T25(BT)*T66(BT)

~, ~~ I ~ \- , \- , +T32íBT)*T4 iíBT)*Ti 3íBT)*T64íBT)'T25íBT)*T56íBT)

. I

Y43(BT)=-T32(BT);T4 I (BT)*T 13(BT);T64(BT);T26(BT);T55(BT) +T42(BT)'TI 3(BT)*T54(BT)*TB(BT)*T36(BT)*T6 I(BT)

Y44(BT)=T42(BT)*T13(BT)*T34(BT)'T5 1 (BT)*T25(BT)*T66(BT) -T42(BT)*T13(BT)'T64(BT)*T26(BT)*T35(BT)*T5 I(BT)

Y45(BT)=-T42(BT)*T53(BT)*T24(BT)*Tl5(BT)*T36(BT)*T6 I(BT) +T3 l(BT)'T42(BT)*T53(BT)*T24(BT)*Tl6(BT)*T65(BT)

Y46(BT)=T42(BT)*T53(BT)*T24(BT)*T 16(BT)*T35(BT)*T6 I(BT) -T3 I (BT)*T42(BT)*T23(BT)*T64(BT).TI 5(BT)'T56(BT)

Y47(BT)=-T42(BT)*T23(BT)*T64(BT)*TI 5(BT)*T36(BT)*TsI(BT) +T42(BT)*T23(BT)*T64(BT)*T I6(BT)*T35(BT)*T5 1 (BT)

Y 48(BT)=-T3 I (BT)*T42(BT)*T23(BT)*T I4(BT)*T55(BT)*T66(BT) +T42(BT)*T63(BT)'TI4(BT)'T25(BT)*T36(BT)*T5 i(BT)

Y49(BT)=-T3 I(BT)*T52(BT)*T23(BT)*T14(BT)*T45(BT)*T66(BT) +T52(BT)'T23( BT)'T I4(BT)*T45(BT)*T36(BT)*T6 I (BT)

Y5O(BT)=-T52(BT)*T23(BT)*Tl4(BT)*T35(BT)*T41 (BT)*T66(BT) -T3 l(BT)*T52(BT)*T23(BT)'TI4(BT)*T46(BT)'T65(BT)

Y5 I (BT)=-T52(BT)*T23(BT)*T I4(BT)*T46(BT)*T35(BT)*T6I (BT) -T52(BT)*T23(BT)'T14(BT)*T36(BT)*T41(BT)'T65(BT)

Y52(BT)=T3 l(BT)*T52(BT)*T23(BT)*T44(BT)*T15(BT)*T66(BT) -T52(Br)*T23(BT)*T44(BT)'T I5(BT)*T36(BT)'T6 1 (BT)

Y53(BT)=T3 l(BT)*T52(BT)*T23(BT)*T44(BT)'T16(BT)*T65(BT) +T52(BT)*T23(BT)*T44(BT)*Tl 6(BT)*T35(BT)*T61(BT)

Y54(BT)=-T52(BT)*T23(BT)*T34(BT)*T41(BT)*TI5(BT)*T66(BT) -T52(BT)*T23(BT)*T34(BT)*T4 1 (BT)*TI 6(BT)*T65(BT)

Y55(BT)=T3 I(BT)*T52(BT)'T23(BT)*T64(BT)*TI5(BT)*T46(BT) +T52(BT)*T23(BT)*T64(BT)*TI 5(BT)*T36(BT)*T41(BT)

Y56(BT)=-T3 I (BT)*T52(BT)*T23(BT)*T64(BT)'TI 6(BT)*T45(BT) -T52(BT)*T23(BT)*T64(BT)*Tl6(BT)*T35(BT)*T4l(BT)

Y57(BT)=-T52(BT)*T23(BT)*T34(BT)*T6l (BT)'TI 5(BT)*T46(BT) +T52(BT)*T23(BT)*T34(BT)*T6 1 (BT)*T I6(BT)*T45(BT)

Y58(BT)=T3 i(BT)*T52(BT)*Ti3(BT)*T24(BT)*T45(BT)*T66(BT) -T52(BT)*Tl3(BT)*T24(BT)*T45(BT)'T36(BT)*T61(BT)

I66

Apendice B

Y59(BT)=T52(BT)*Ti3(BT)*T24(BT)*T35(BT)*T4l (BT)*T66(BT)

Y60(BT)=T52(BT)*T13(BT)*T24(BT)*T46(BT)*T35(BT)*T6I(BT) +T52(BT)'Ti3(BT)*T24(BT)'T36(BT)*T41 (BT)*T65(BT)

Y61(BT)=T3 I(BT)*T52(BT)*TI3(BT)*T44(BT)*T25(BT)*T66(BT) -T52(BT)'T13(BT)'T44(BT)'T25(BT)*T36(BT)'T6I(BT)

Y62(BT)=-T3 I(BT)*TS2(BT)'TI 3(BT)*T44(BT)*T26(BT)'T65(BT) -T52(BT)'T13(BT)*T44(BT)'T26(BT)*T35(BT)*T6I(BT)

Y63(BT)=-T52(BT)*T13(BT)*T34(BT)*T4 1 (BT)*T25(BT)*T66(BT) +T52(BT)*TI 3(BT)'T34(BT)*T41 (BT)*T26(BT)*T6S(BT)

Y64(BT)=T3 I(BT)*T52(BT)*TI 3(BT)*T64(BT)*T25(BT)*T46(BT) +T52(BT)*TI 3(BT)*T64(BT)*T25(BT)*T36(BT)*T4I(BT)

Y65(BT)=T3 I(BT)*T52(BT)*TI 3(BT)*T64(BT)*T26(BT)'T45(BT) +T52(BT)'T13(BT)*T64(BT)*T26(BT)'T35(BT)*T4I(BT)

Y66(BT)=-TS2(BT)*TI 3(BT)*T34(BT)'T61(BT)*T25(BT)*T46(BT) -T52(BT)*TI 3(BT)*T34(BT)*T6 1 (BT)'T26(BT)*T45(BT)

Y67(BT)=-T3 l(BT)*T52(BT)*T43(BT)*T24(BT)'T15(BT)*T66(BT) +T52(BT)*T43(BT)*T24(BT)*Tl 5(BT)*T36(BT)*T61(BT)

Y68(BT)=-T3 i(BT)*T52(BT)*T43(BT)'T24(BT)*Tl6(BT)*T65(BT) -T52(BT)*T43(BT)*T24(BT)*Tl6(BT)*T3S(BT)*T61(BT)

Y69(BT)=-T3 1 (BT)*T52(BT)*T43(BT)*Tl4(BT)*T25(BT)*T66(BT) +T52(BT)*T43(BT)*TI 4(BT)*T25(BT)*T36(BT)*T6I(BT)

Y70(BT)=T3 i(BT)*T52(BT)*T43(BT)*Tl4(BT)*T26(BT)*T65(BT) +T52(BT)*T43(BT)*TI 4(BT)*T26(BT)*T35(BT)*T6 I(BT)

Y7 1 (BT)=-T3 I (BT)*T52(BT)*T43(BT)*T64(BT)*T25(BT)*Tl6(BT) -T3 l(BT)*T52(BT)*T43(BT)*T64(BT)*T26(BT)*Tl5(BT)

Y72(BT)=T52(BT)*T43(BT)*T34(BT)*T61(BT)*T25(BT)*T16(BT) +T52(BT)*T43(BT)*T34(BT)'T6 I (BT)*T26(BT)*TI 5(BT)

Y73(BT)=T52(BT)*T33(BT)*T4I(BT)*T24(BT)*TI 5(BT)*T66(BT) +T52(BT)*T33(BT)*T4 I (BT)*T24(BT)*T I6(BT)*T65(BT)

Y74(BT)=T52(BT)*T33(BT)*T4l(BT)*Tl4(BT)*T25(BT)*T66(BT) -TSZ(BT)*T33(BT)'T4 1 (BT)'TI4(BT)*T26(BT)*T65(BT)

Y75(BT)=T52(BT)*T33(BT)*T4 l(BT)*T64(BT)*T25(BT)'TI6(BT) +T52(BT)*T33(BT)*T4 I (BT)'T64(BT)*T26(BT)*Tl5(BT)

Y76(BT)=-T3 I (BT)*T52(BT)*T63(BT)*T24(BT)*Tl5(BT)*T46(BT) -T52(BT)*T63(BT)'T24(BT)*Tl5(BT)*T36(BT)*T4I(BT)

Y77(BT)=T3 I (BT)*T52(BT)*T63(BT)tT24(BT)*T I6(BT)*T45(BT) +T52(BT)'T63(BT)*T24(BT)*T 16(BT)'T35(BT)*T4 I (BT)

Y78(BT)=-T3 l(BT)*T52(BT)*T63(BT)'T14(BT)*T25(BT)'T46(BT) -T52(BT)*T63(BT)*TI4(BT)*T25(BT)'T36(BT)*T41(BT)

Y79(BT)=-T3 l(BT)*T52(BT)*T63(BT)'T14(BT)*T26(BT)'T45(BT) -T52(BT)*T63(BT)*T i4(BT)*T26(BT)*T35(BT)*T4 1 (BT)

Y80(BT)=T3 l(BT)'T52(BT)*T63(BT)'T44(BT)'T25(BT)*T16(BT) +T3 I (BT)*T52(BT)*T63(BT)*T44(BT)*T26(BT)*T I 5(BT)

Y8 I (BT)=-TS2( BT)*T63(BT)*T34( BT)'T4 1 (BT)*T25( BT)*T I6(BT) -T52(BT)*T63(BT)*T34(BT)'T41(BT)*T26(BT)'T15(BT)

Y82(BT)=T52(BT)*T33(BT)*T61(BT)'T24(BT)*T15(BT)*T46(BT) -T52(Bi)*T33(BT)*T6 I(BT)'TU(BT)*T I6(BT)*T45(BT)

Y 83(BT)=T52(BT)*T33(BT)*T6 I (BT)*T 14(BT)*T25( BT)*T46(BT) +T52(BT)*T33(BT)'T61 (BT)'TI 4(BT)'T26(BT)*T45(BT)

Y84(BT)=-T52(BT)*T33(BT)*T6I(BT)'T44(BT)*T2S(BT)*T16(BT)- T52(BT)*T33(BT)*T61(BT)'T44(BT)'T26(BT)'TI 5(BT) Y 8S(BT)=T32(BT)*T5 1 (BT)*T23(BT)*TI 4(BT)*T45(BT)*T66(BT)

'+T32(BT)*TS I (BT)*T23(BT)'T14(BT)*T46(BT)*T65(BT) Y86(BT)=-T32(BT)*T5 I (BT)*T23(BT)*T44(BT)*Tl5(BT)'T66(BT)

-T32(BT)*TS I (BT)*T23(BT)*T44( BT)*TI 6( BT)*T65(BT) Y 87(BT)=-T32(BT)*TS I (BT)*T23(BT)*T64( BT)*T 15( BT)*T46(BT)

+T32(BT)*T5 1 (BT)*T23(BT)'T64(BT)*T I6(BT)'T45(BT) Y88(BT)=-T32(BT)*TS i(BT)*Ti3(BT)*T24(BT)*T45(BT)*T66(BT)

-T32(BT)*T5 I(BT)*TI 3(BT)*T24(BT)*T46(BT)*T65(BT)

+T3 l(BT)*T52(BT)*Ti3(BT)*T24(BT)'T46(BT)*T65(BT)

167

Apendice B

Y89(BT)=T32(BT)*T5 l(BT)*Tl3(BT)*T44(BT)*T25(BT)'T66(BT) +T32(BT)*T5 I(BT)*TI 3(BT)*T44(BT)*T26(BT)*T65(BT)

Y90(BT)=T32(BT)*T51(BT)*TI3(BT)*T64(BT)*T25(BT)*T46(BT) -T32(BT)*T5 I (BT)*TI3(BT)*T64(BT)*T26(BT)*T45(BT)

Y91(BT)=T32(BT)*T5 l(BT)*T43(BT)*T24(BT)*Tl 5(BT)*T66(BT) +T32(BT)'T5 l(BT)*T43(BT)*T24(BT)*Tl6(BT)*T65(BT)

Y92(BT)=T32(BT)*T5 1 (BT)*T43(BT)*TI 4(BT)*T25(BT)*T66(BT) -T32(BT)'T5 1 (BT)*T43(BT)*T14(BT)'T26(BT)*T65(BT)

Y93(BT)=T32(BT)*T5 l(BT)*T43(BT)*T64(BT)*T25(BT)*T16(BT) +T32(BT)*T5 I (BT)*T43(BT)*T64(BT)*T26(BT)*T15(BT)

Y94(BT)=T32(BT)*T5 l(BT)*T63(BT)*T24(BT)*Tl5(BT)*T46(BT) -T32(BT)*T5 l(BT)*T63(BT)*T24(BT)*T16(BT)*T45(BT)

Y95(BT)=T32(BT)*T5 I(BT)*T63(BT)*TI 4(BT)*T25(BT)*T46(BT) +T32(BT)*T5 l(BT)*T63(BT)*T14(BT)'T26(BT)*T45(BT)

Y96(BT)=T32(BT)*T51 (BT)*T63(BT)*T44(BT)*T25(BT)'T16(BT) -T32(BT)*T5 i(BT)*T63(BT)'T44(BT)*T26(BT)*Tl5(BT)

Y97(BT)=-T3 l(BT)'T62(BT)*T13(BT)*T54(BT)*T26(BT)*T45(BT) -T62(BT)*TI 3(BT)*T54(BT)*T26(BT)*T35(BT)*T41(BT)

Y98(BT)=-T3 l(BT)*T62(BT)*T43(BT)'T24(BT)*TlS(BT)*T56(BT) -T3 l(BT)*T62(BT)*T23(BT)*Tl4(BT)*T46(BT)*T55(BT)

Yss(BT)=-T62(BT)*T43(BT)*T34(BT)*T5 I(BT)*T26(BT)*TI 5(BT) +T62(BT)'T33(BT)'T4 I(BT)*T24(BT)*TI 5(BT)*T56(BT)

Y 1 OO(BT)=T62(BT)*T33(BT)*T4I (BT)*T24(BT)*TI 6(BT)*T55(BT) -T62(BT)*T43(BT)*TI4(BT)*T25(BT)*T36(BT)'TS 1 (BT)

Y 101(BT)=T31(BT)*T62(BT)*T43(BT)*Tl4(BT)*T26(BT)*T55(BT) -T62(BT)*T43(BT)*T14(BT)*T26(BT)*T35(BT)*T5 I(BT)

Y 102(BT)=T3 I (BT)*T62(BT)*T43(BT)*T54(BT)*T25(BT)*Tl6(BT) +T3 i(BT)*T62(BT)*T43(BT)'T54(BT)*T26(BT)*Tl5(BT)

Y I03(BT)=-T3 i(BT)*T62(BT)*T43(BT)'T14(BT)*T25(BT)*T56(BT) -T62(BT)*T43(BT)*T34(BT)*T5 I(BT)*T25(BT)*T 16(BT)

Y 104(BT)=T62(BT)*T33(BT)*T4 I(BT)*TI 4(BT)*T25(BT)'T56(BT) -T62(BT)*T33(BT)*T4 1 (BT)'TI4(BT)*T26(BT)*T55(BT)

Y I 05(BT)=-T62(BT)+T33(BT)*T4 1 (BT)*T54(BT)*T25(BT)'TI 6(BT) +T3 1 (BT)*T62(BT)*T53(BT)*Tl4(BT)*T25(BT)*T46(BT)

Y 106(BT)=-T3 I (BT)*T62(BT)*T43(BT)rT24(BT)*Tl 6(BT)*T55(BT) +T62(BT)*T43(BT)*T24(BT)*Tl6(BT)*T35(BT)*T5 I(BT)

Y I07(BT)=T62(BT)*T13(BT)*T34(BT)*T5 1 (BT)*T26(BT)*T45(BT) +T62(BT)*Ti3(BT)*T34(BT)*T5 I(BT)*T25(BT)*T46(BT)

Y I08(BT)=-T62(BT)*T43(BT)'T24(BT)*TI 5(BT)'T36(BT)'T5 1 (BT) +T62(BT)*TI3(BT)*T24(BT)*T35(BT)*T4 I (BT)*T56(BT)

Y i09(BT)=T62(BT)'T13(BT)*T24(BT)*T36(BT)*T4I(BT)*T55(BT) +T62(BT)'T23(BT)*T34(BT)*T5 i(BT)*TlS(BT)*T46(BT)

Y I iO(BT)=T62(BT)*T23(BT)*T34(BT)*T5 i(BT)*Ti6(BT)*T45(BT) +T62(BT)'T23(BT)*T54(BT)*Tl6(BT)'T35(BT)*T4 I (BT)

Y I I I (BT)=-T62(BT)*T23(BT)*T54(BT)*Tl5(BT)*T36(BT)*T4 1 (BT) +T3 i(BT)*T62(BT)*T23(BT)*TS4(BT)*Tl6(BT)*T45(BT)

Y 1 I2(BT)=T3 i(BT)*T62(BT)*T23(BT)*T54(BT)*Tl5(BT)*T46(BT) +T3 I(BT)'Tó2(BT)'TI 3(BT)*T24(BT)*T45(BT)*T56(BT)

Y I 13(BT)=T3 i(BT)*T62(BT)'TI3(BT)*T54(BT)*T25(BT)*T46(BT) -T62(BT)*TI3(BT)'T54(BT)*T25(BT)*T36(BT)*T41(BT)

Y I 14(BT)=-T62(BT)*T33(BT)*TS 1 (BT)'T I4(BT)*T26(BT)*T45(BT) +T3 i(BT)*T62(BT)*T23(BT)'T44(BT)'TI6(BT)'T55(BT)

Y I I5(BT)=-T62(BT)*T23(BT)*T34(BT)*T41(BT)'TI6(BT)*T55(BT) +T3 I (BT)*T62(BT)'T23(BT)*T44(BT)'T I 5(BT)*T56(BT)

Y I i6(BT)=T62(BT)*T23(BT)*T44(BT)*Tl5(BT)'T36(BT)*T5l(BT) -T3 i(BT)*T62(BT)*T53(BT)*T24(BT)*T16(BT)'T45(BT)

Y I 17(BT)=-T62(BT)*T33(BT)*TS 1 (BT)*TI4(BT)*T2S(BT)*T46(BT) +T62(BT)*T33(BT)*T5 l(BT)*T24(BT)*Tl6(BT)*T45(BT)

Y I i8(BT)=T62(BT)*T53(BT)*T34(BT)'T4I(BT)*T25(BT)*T16(BT) +T62(BT)*T53(BT)*T34(BT)*T4I(BT)*T26(BT)*TI 5(BT)

168

Apendice B

Y 1 19(BT)=-T62(BT)*T33(BT)rTS I(BT)*T24(BT)*TI 5(BT)*T46@T) -T62(BT)*T53(BT)*T24(BT)*Tl6(BT)*T35(BT)*T41(BT)

Y 120(BT)=T62(BT)'T53(BT)*Tl4(BT)*T25(BT)*T36(BT)*T4l (BT) +T62(BT)*T53(BT)*T14(BT)*T26(BT)*T35(BT)*T41(BT)

Y 12l(BT)=T62(BT)*T53(BT)*T24(BT)*Tl5(BT)*T36(BT)*T41(BT) +T3 l(BT)*T62(BT)*T53(BT)'T24(BT)*Tl 5(BT)'T46(BT)

Y l22(BT)-T62(BT)*T33(BT)*T41(BT)*T54(BT)*~6(BT)*Tl5(BT) +T3 l(BT)*T62(BT)'T53(BT)*TI 4(BT)'T26(BT)*T45(BT)

Y 123(BT)=-T3 i(BT)*T62(BT)*T53(BT)*T44(BT)*T25(BT)*TI6(BT) -T3 I (BT)*T62(BT)*T53(BT)*T44(BT)*T26(BT)*Tl5(BT)

Y 124(BT)=T3 I (BT)'TóZ(BT)*TI 3(BT)*T24(BT)'T46(BT)*TS(BT) -T62(BT)*Ti3(BT)'T24(BT)*T46(BT)*T35(BT)*T5 I(BT)

Y 125(BT)=-T3 l(BT)*T62(BT)'T23(BT)*Tl4(BT)*T45(BT)*T56(BT) -T62(BT)'TI 3(BT)*T34(BT)*T4 1 (BT)*T25(BT)*T56(BT)

Y I26(BT)=T62(BT)*TI 3(BT)*T34(BT)*T41(BT)*T26(BT)*T55(BT) -T3 l(BT)*T62(BT)*Tl3(BT)*T44(BT)'T26(BT)*T55(BT)

Y I27(BT)=T62(BT)*T13(BT)*T44(BT)*T26(BT)*T35(BT)*T5 I(BT) +T62(BT)*Ti3(BT)*T24(BT)*T45(BT)*T36(BT)*T5 I (BT)

Y 128(BT)=-T62(BT)'T23(BT)*T34(BT)*T41 (BT)*T15(BT)*T56(BT) -T62(BT)*T23(BT)*T44(BT)*TI6(BT)*T35(BT)'T5 I(BT)

Y I29(BT)=-T62(BT)*T23(BT)*T14(BT)*T36(BT)*T4 1 (BT)*T55(BT) +T62(BT)*T23(BT)*TI4(BT)*T46(BT)*T35(BT)*TS I(BT)

Y 130(BT)=-T62(BT)*T23(BT)*Tl4(BT)*T35(BT)*T4 I(BT)*T56(BT) +T62(BT)*T33(BT)*T5 1 (BT)*T44(BT)*T25(BT)*Tl6(BT)

Y I3 1 (BT)=T62(BT)*T33(BT)'T5 1 (BT)*T44(BT)*T26(BT)rT15(BT) -T62(BT)*T23(BT)*TI 4(BT)*T45(BT)*T36(BT)*T5 I(BT)

Y 132(BT)=T3 l(BT)*T62(BT)*Ti3(BT)*T44(BT)*T25(BT)*T56(BT) +T62(BT)*TI 3(BT)*T44(BT)*T25(BT)*T36(BT')*TSI(BT)

Y I33(BT)=T32(BT)'T6 I (BT)*TI 3(BT)*T54( BT)*T26(BT)*T45(BT) +T32(BT)'T6 I (BT)*T43(BT)*T24(BT)*T I5(BT)*T56(BT)

Y I34(BT)=T32(BT)*T61(BT)*T23(BT)*TI4(BT)*T46(BT)*T55(BT) -T32(BT)'T6 1 (BT)*T43(BT)*T 14(BT)'T26(BT)*T55(BT)

Y I35(BT)=-T32(BT)'T61(BT)*T43(BT)*T54(BT)*T25(BT)*T16(BT) -T32(BT)*T6 I (BT)*T43(BT)*T54(BT)*T26(BT)*T I5(BT)

Y l36(BT)=T32(BT)*T6I(BT)*T43(BT)*TI4(BT)*T25(BT)*T56(BT) -T32(BT)*T6 I(BT)*T53(BT)*TI 4(BT)*T25(BT)*T46(BT)

Y I37(BT)=T32(BT)'T61 (BT)*T43(BT)*T24(BT)'TI 6(BT)'T55(BT) -T32(BT)'T6 I (BT)*T23(BT)*T54(BT)*T I6(BT)*T45(BT)

Y 138(BT)=T32(BT)*T61(BT)*T23(BT)*T54(BT)*Tl5(BT)*T46(BT) -T32(BT)'T6 1 (BT)*Ti3(BT)*T24(BT)*T45(BT)*T56

Y I39(BT)=T32(BT)'T61 (BT)*TI 3(BT)*T54(BT)*T25(BT)*T46(BT) -T32(BT)*T6 I (BT)*T23(BT)*T44(BT)*T I6(BT)*T55(BT)

Y i4O(BT)=-T32(BT)*T6i(BT)*T23(BT)*T44(BT)*Tl 5(BT)*T56 +T32(BT)'T6 i(BT)*T53(BT)*T24(BT)*T 16(BT)'T45(BT)

Y 14 I (BT)=-T32(BT)'T6 I (BT)'T53(BT)*T24( BT)*Ti 5(BT)*T46(BT) -T32(BT)*T6 I(BT)'T53(BT)*TI 4(DT)*T26(BT)*T45(BT)

Y I42(BT)=T32(BT)*T6I(BT)*T53(BT)'T44(BT)*T25(BT)*TI6(BT) +T32(BT)*T6i(BT)rT53(BT)'T44(BT)*T26(BT)*Tl 5(BT)

Y I43(BT)=-T32(BT)'T6 I (BT)*TI 3(BT)*T24( BT)*T46(BT)'T55(BT) +T32(BT)'T6 1 (BT)*T23(BT)*Ti4(BT)'r45(BT)*T56(BT)

Y I44( BT)=T32(BT)*T6 I (BT)'TI 3(BT)*T44( BT)*T26(BT)*T55( BT) -T32(BT)*T6 I(BT)*T I3(BT)*T44(l3T)*T25<BT)*T56(BT)

FI(BT)=Y i(BT)+Y2(BT)+Y3(BT)+Y4(BT)+YS(BT)+Y6(BT)+Y7(BT)+YS(BT)+Y9(BT)+Y IO(BT) F2(BT)=Y I I(BT)+Y iZ(BT)+YI3(BT)+YI4(BT)+Y IS(BT)+Y I6(BT)+Y I7(BT)+Y IB(BT)+Y 19(BT)+Y20(BT) F3(BT)=Y2 1 (BT)+Y22(BT)+Y23(BT)+Y24(BT)+Y25(BT)+Y26(BT)+Y27(BT)+Y2S(BT)+Y29(BT)+Y3O[BT) F4(BT)=Y3 i(BT)+Y32(BT)+Y33(BT)+Y34(BT)+Y35(BT)+Y36(BT)+Y37(BT)+Y3S(BT)+Y39(BT)+Y4O(BT) F5(BT)=Y4 i(BT)+Y42(BT)+Y43(BT)+Y44(BT)+Y45(BT)+Y46(BT)+Y47(BT)+Y4S(BT)+Y49(BT)+Y5O(BT) F6( BT)=Y5 I (BT)+YSZ(BT)+Y 53(BT)+Y 54(BT)+Y55(BT)+Y 56(BT)+Y 57(BT)+Y 58(BT)+Y 59(BT)+Y60(BT) F7(UT)=Y61 (BT)+Y62(BT)+Y63(BT)+Y64(BT)+Y65(BT)+Y66(BT)+Y67(BT)+Y68(BT)+Y69(BT)+Y7O(BT)

I69

Apendice B

FB(BT)=Y 7 1 (BT)+Y 72(BT)+Y 73(BT)+Y 74(BT)+Y 75(BT)+Y 76(BT)+Y 77(BT)+Y 78(BT)+Y79(BT)+Y 80(BT) F9(BT)=YBl(BT)+Y 82(BT)+Y83(BT)+Y 84(BT)+YSS(BT)+YSS(BT)+Y 87(BT)+Y88(BT)+Y 89(BT)+Y90(BT) F I O(BT)=Y9 I (BT)+Y92(BT)+Y93(BT)+Y94(BT)+Y95(BT)+Y96(BT)+Y97(BT)+Y98(BT)+Y99(BT)+Y 1 OO(BT) FII(BT)=Y iOi(BT)+Y102(BT)+Y103(BT)+YI04(BT)+Y 105(BT)+Y106(BT)+Y I07(BT)+YI08(BT)+Y109(BT)

FIZ(BT)=YIII(BT)+YII2(BT)+Y113(BT)+YII4(BT)+YIIS(BT)+YI Ió(BT)+YI l7(BT)+YlI8(BT)+Yll9(BT)

F13(BT)=Y 12 I (BT)+Y I22(BT)tY 123(BT)+Y l24(BT)+Y 125(BT)+Y 126(BT)+Y 127(BT)+Y I28(BT)+Y I29(BT)

F14(BT)=Y I3l(BT)+Y 132(BT)+Y 133(BT)+Y 134(BT)+Y 135(BT)+Y 136(BT)+Y 137(BT)+Y 138(BT)+Y 139(BT)

FIS(BT)=Y 141(BT)+Y142(BT)+Y 143(BT)+Y144(BT)

Y(BT)=FI(BT)+FZ(BT)+F3(BT)+F4(BT)+FS(BT)+F6(BT)+F7(BT)+F8(BT)+F9(BT)+FIO(BT)+F I I(BT)+FIZ(BT)

+YIlO(BT)

+Y 120(BT)

+Y 13O(BT)

+Y 140(BT)

+FI 3(BT)+F14(BT)+FI 5(BT)

6 6 . I 6.2 6.3 -2-10

BT

BT = root(Y(BT),BT) =6.101

I70

Apendice B

PROGRAMA EN FORTRAN

PROGRAM EULTIM

C C C C C C C C C C C

REAL X( iO,5O),QT,SUM,RP,RL,FLlN,PG,H, W( IO),PX REAL LA( iO),LC,KT,CE,V(I0,30,30),LV,MI,BETA( IO) REAL VI,AX,C2,h4N( 10,I OO),G,Z,MA,Y( IO, IOO),SUME REAL BETAT( IO),GT,KET,ZE,WEC,L I E(IO),L2E( 1 O),WT( I O).VT(10.30,30) REAL MNT( iO,iOO),SUMET,YT(IO,IOO),XT(IO,5O),SUMT,QTT INTEGERN,M,K,KP,I,J,NN,IP,L,NE CHARACTER'8 NOMB CHARACTER' I CONTINUA DATA CONTINUA ¡Y/ DO WHILE ((CONTINUA .EQ. 5') .OR. (CONTINUA .EQ. Is')) WRITE (*,lO)'ESCRIBEELNOMBRE DEL ARCHIVODEDATOS ... ' READ(*,*)NOMB OPEN(UNIT=I ,FILE=NOMB,STATUS='LlNKNOWN') ****l***,***t***********~*****b****~~****~************~~*********************

* DATOS CONSTANTES DE LA VIGA *

* LV= Longitud de la viga * MI= Momento de inercia *

* KET= Constante de Timoshenko * D= Densidad del Material *

* t

* E= Modulo de Young * *

* A= Seccion transversal de la viga li

* * .............................................................................

. H= Altura de la seccion transversal de la viga

LV=0.7 MI=l.333333E-8 E=2.06EI I GT=8.2404EIO KET=0.83333333 D=7850 A=4E-4 H=0.02 WRITE(*,lO)' CUAL ES LA PROFUNDIDAD DE LA GRIETA [m]..a ' READ (*,*) PG WRITE(*,lO)' CUAL ES LA POSICION DE LA GRIETA [ml..Lc ' READ (*,*) LC WRITE(*.IO)' EN CUANTOS ELEMENTOS SE DIVIDIRA LA VIGA ... ? ' READ (*,*)NE WRITE(*,*)' CUALES SON LOS VALORES DE LAMDA PARA EULER DO J=l,4

WRITE(*,*) 'LAMDA(',J,')=' READ (*.*) LA(J) BETA(I)=LA(J)/LV

ENDDO WRITE(*,*)' CUALES SON LOS VALORES DE BETA PARA TIMOSHENKO DO J=l,4

WRITE(*.*) 'BETA(',J,')=' READ (*.*) BETAT(J)

ENDDO RP=PG/H RL=LC/LV FUN=I .8624+RP*'~-3.95*R1''*3+16,375*RP**4-37.226*RP'*5+76.81*

> RP* '6- 126.9. RP**7+ I72*RP**8- 143.97' RP**9+66.56*RP1* I O KT=(ErMl)/(5.346*H'FUN) CE=(E*MI)/(KT'LV) ZE=(MI/A)+((E*MI)/(KET'A'GT))

171

Apendice B

WEC=(E'MI*'2)/(KET*GT*A**2) WRITE(*,*) ' FRECUENCIAS EULER TIMOSHENKO' DO I=1,4 L I E(I)=(-ZE*BETAT(I)**4+SQRT(ZEL*2*BETAT(I)**8+4*BETAT

L2E(I)=(ZE*BETAT(I)**4+SQRT(ZE**2*BETAT(I)**8+4*BETAT

W(I)=SQRT((E*Ml*BETA(I)**4)/(D*A))/(Z*3. 1416) WT(I)=SQRT((E*MI*BETAT(I)**4)/(D*A))/(2*3.1416) WRITE(',*)I~=',W(i),"z',l~=',WT(I)~Hz'

> (l)**4-4*WEC'BETAT(I)**8))/2

> (l)**4-4'WEC'BETAT( I)* * 8))/2

ENDDO WRITE(*,*) WRITE (*,*)'PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR

DO 1=1,4 READ (*,*)

V(l,l,l)=SINH(LA(I)*RL)-SIN(LA(l)*RL) V(l,l ,Z)=COSH(LA(I)*RL) V(i, I ,3)=-SINH(LA(I)*RL) V(i, I .4)=-COS(LA(I)*RL) V(I, I ,5)=-SIN(LA(I)*RL) V(l, 1,6)=COS(LA(I)*RL)-COSH(LA(I)*RL) V(1,2, i)=Sn*rH(LA(l)*RL)+SIN(LA(I)*RL) V(I,2,2)=-COSH(LA(l)*RL) V(l,2,3)=-SI"(LA(l)* RL) V(l,2,4)=COS(LA(l)*RL) V(l,2,5)=SlN(LA(l)*RL) V(l,2,6)=-COSH(LA(l)*RL)-COS(LA(I)*RL) V(1.3.l)=COSH(LA(l)*RL)+COS(LA(I)'RL) V(1,3,2)=-SINH(LA(I)*RL) V(1,3,3)=-COSH(LA(I)*RL) V(i,3.4)=-SIN(LA(i)*RL)

. . , , V(1,4, I)=COSH(LA(I)'RL)-COS(LA(I)*RL)+CE*LA(I)*(SINH(LA(I)' RL)+SIN(LA(I)*RL))

V(i.4,2)=-SiNH(LA(i)*RL) V(1.4,3)=-COSH(LA(I)*RL) V(1,4,4)=SIN(LA(I)* RL) V(1,4,5)=-COS(LA(I)'RL) V(i.4,6)=-SlNH(LA(l)* RL)-SIN(LA(I)*RL)-CE*LA(I)*(COSH(LA(I)* RL)+COS(LA(I)* RL))

V( l.S.Z)=COSH(LA(l))+Si"( LA( I ) ) V(I,S,3)=SINH(LA(I))+COSH(LA(I)) V(l.S.4)=SlN(LA(I))-COS(LA(I)) V(l,S.S)=-SlN(LA(1))-COS(LA(1)) V(I,S.ó)=O VT(I. I, i)=SINH(SQRT(LIE(I))'LC)- (SQRT(LIE(I))/SQRT(LZE(I)))* SIN(SQRT(L2E(I))*LC) VT(I, I .2)=-COSH(SQRT(LI E(I))*LC) VT(I, I .3)=-SINH(SQRT(L I E(I))* LC) VT(I, I .4)=-COS(SQRT( L2E( I))'LC) VT(I, 1 .S)=-SiN(SQRT(LZE(i))* LC) VT(I,I,6)=-COSH(SQRT(LI E(I))*LC)+COS(SQRT(L2E(I))*LC) VT( 1.2. I)=L I E(I)'SINH(SQRT(L I E( I))'LC)+SQRT(L I E(I))* SQRT(LZE(I))'SIN(SQRT(L2E(I))'LC) VT(1.2,2)=-LI E(I)'COSH(SQRT(L I E(I))*LC) VT(1.2.3)=-LI E(I)'SINH(SQRT(LIE(l))*LC) VT(i.2.4)=L2E(l)'COS(SQRT(L2E(I))*LC) VT(1.2.5)=LZE(I)'SIN(SQRT(L2E(l))*LC)

v(i,s.i)=o

Apendice B

VT(I,2,6)=-L I E(I)*COSH(SQRT(L IE(I))*LC)-LZE(I)*

VT(1,3, I)=LI E(I)*SQRT(L I E(I))*COSH(SQRT(LI E(I))*LC)+LZE(I)* > COS(SQRT(LZE(1))'LC)

> SQRT(LIE(I)j'COS(SQRT(LZE(I))*LC) VTí1.3.2i=-LI EíIPSORTíI. I EíIi~*SINHISORTíI. I EíIii*LCi

~~ I, ~~, VT(1~3,3j=-LIE~lj*S~RT~LlE~Ijj*COSH(~QRT(LIE(I))*LC) VT(I,3,4)=-LZE(I)* SQRT(LZE(I))'SIN(SQRT(LZE(I))*LC) VT(1,3,5)=LZE(I)*SQRT(L2E(I))*COS(SQRT(LZE(I))*LC) VT(1,3,6)=-LI E(I)*SQRT(LI E(I))*SMH(SQRT(LIE(I))*LC)+LZE(I)*

VT(1,4, I)=SQRT(LI E(I))*COSH(SQRT(LI E(I))*LC)-SQRT(LIE(I))*COS > SQRT(LZE(I))*SM(SQRT(L2E(I))*LC)

> (SQRT(LZE(i))*LC)+((E*MI)/KT)*(LIE(I)'SMH(SQRT(LIE(I))*LC)+ > SQRT(L 1 E( I))* SQRT(LZE(1))' SIN(SQRT(LZE(1))' LC)) VT(1,4,2)=-SQRT(L I E(I))'SMH(SQRT(LIE(I))*LC) VT(I,4,3)=-SQRT(L I E(I))*COSH(SQRT(LIE(I))*LC) VT(l,4,4)=SQRT(LZE(I))* SIN(SQRT(LZE(1))'LC) VT(I,4,5)=-SQRT(L2E(i))*COS(SQRT(L2E(I))* LC) VT(I,4,6)=SQRT(L I E(I))* SINH(SQRT(LIE(I))*LC)-SQRT(LZE(I))*SM

> (SQRT(LZE(I))*LC)-((E*MI)/KT)'(LIE(I)*COSH(SQRT(LIE(I))*LC)+ > LZE(I)*COS(SQRT(LZE(I))*LC))

C C C

VT(1,5,1)=0 VT(l,5,2)=LlE(I)*COSH(SQRT(LIE(I))*LV)+L IE(I)*SQRT(LIE(I))*

VT(1,5,3)=LIE(I)*SINH(SQRT(LIE(I))*LV)+LI E(i)*SQRT(LiE(i))*

VT(l.5,4)=L2E(l)*SQRT(LZE(I))*SlN(SQRT(L2E(l))*LV)-LZE(l)*

VT(L5,5)=-LZE(l)*SIN(SQRT(L2E(I))*LV)-LZE(l)* SQRT(L2E(I))*

VT(1.5.6)=0

> SR\IH(SQRT(LIE(I))*LV)

> COSH(SQRT(LIE(I))*LV)

> COS(SQRT(LZE(1))'LV)

> COS(SQRT(L2E(I))*LV)

ENDDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

* CALCULO DE LAS CONSTANTES PARA EULER Y TIMOSHENKO * *t***t*****.*t****t**~***~*******~*****************.*************b~~*~

N-5 M=N+ I L=N-I DOZ=I.L DO K=I.L KP=K+l DO I=KP.N QT=V(Z.I.K)N(Z,K.K) QTT=VT(Z.i,K)NT(Z.K,K) DO J=KP.M V(Z.1.J) = V(Z.I,J)-QT'V(Z.K.J) VT(Z.I.J)= VT(Z.1.J)-QTT*VT(Z.K.J) ENDDO

ENDDO DO I=KP.N

V(Z.I.K)=O VT(Z.I.K)=O

ENDDO ENDDO X(Z,N) = V(Z.N,M)N(Z.N.N) XT(Z.N)=VT(Z.N.M)NT(Z,N.N) DONN=I.L

SUM=O SUMT=O I=N-NN IP=l+l

I73

Apendice B

DO i=lF',N SUM=SUM + V(Z,l,l)*X(Z,J) SUMT=SUMT + VT(Z,I,l)*XT(Z,J)

ENDDO X(Z,I) = (V(Z,l,M)-SUM)N(Z,I,l) XT(Z,i)=(VT(Z,I ,M)-SU~)~T(Z,I ,I)

ENDDO ENDDO

C DO J=l,4 C C DO I=I,N C WRITE (*,*) X(J,I) C ENDDO C WRITE(*,*) C C READ(*,*) C ENDDO c *.tt****t*t*********ttt.tt.tttttt.tttt.t**************~*~**~~*******

c *t.****I*.****.*l.******b****:b*:~*b**********~********:************

WRITE(*,*) 'LAS CONSTANTES PARA LAMDA',I,'SON

WRITE(*,*) 'PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR'

c * CALCULO DE LOS MODOS DE VIBRACI~N *

AX=LV/NE MA=D*AX'A WRITE(*,*) 'LOS MODOS DE VIBRACION SON LOS SIGUIENTES DO 1=1,4

WRITE (*,*) 'PARA EL MODO,I,'SE TIENE' WRITE (*,*) 'POSICION X EULER TIMOSHENKO C=O DO PX=O,LV,AX

c = c + I IF (PX.LE.LC) THEN Y(I,C)=COSH(BETA(I)*PX)-COS(BETA(I)*PX)+X(I, I)*(SI"(BETA

> (I)' PX)-SIN( BETA( 1)'PX)) YT(I,C)=COSH(SQRT(L I E(I))*PX)-COS(SQRT(LZE(I))'PX)+XT(I, I )

> *(SI"(SQRT(LIE(I))*PX)-(SQRT(LIE(I))/SQRT(LZE(I)))* > SiN(SQRT(LZE(1))'PX))

ELSE Y(I,C)=X(1,2)*COSH(BETA(I)*PX)+X(1,3)*SMH(BETA(I)*PX)+

> X(1.4)*COS(BETA(I)'PX)+X(I.5)*SM(BETA(I)*PX) YT(i,C)=XT(i,Z)*COSH(SQRT(LI E(I))*PX)+XT(1,3)*

> SINH(SQRT(LIE(I))*PX)+XT(1,4)*COS(SQRT(LZE(I))*PX)+XT(I,5) > 'SIN(SQRT(LZE(1))'PX)

C C C

ENDIF WRITE(*.*) PX.Y(I,C),YT(I,C)

ENDDO WRITE (O,*) 'PULSE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR READ(*,*)

*.**...t. t * . . . t * t t l l ~ ~ * * ~ ~ ~ ~ * ~ * * * ~ ~ ~ ~ * * * ~ * * ~ * ~ * * ~ * * * . ~ * ~ * * b * * * * ~ * * * * ENDDO

* CALCULO DE LOS MODOS DE VIBRACION EN FORMA NORMALIZADA . t l * . . . * * t * * * * * * * . * * * * ~ ~ ~ * . * * * * ~ * * ~ * ~ * * * ~ ~ * * ~ ~ * * ~ * * ~ . * * * * ~ b b * * ~ * * * ~ *

DO K=1,4 SUME=O SUMET=O DO F= I ,NE+ I

IF (F.EQ.NE+l) THEN SUME=SUME+(MN2)'(Y(K,F))'*Z SUMET=SUMET+(MAC!)*(YT(K,F))**Z

SUME=SUME+MA*(Y(K.F))"2 SUMET=SUMET+MA'(YT(K.F))**Z

ELSE

I74

Apendice B

C

ENDIF ENDDO DO G=I,NE+I MN(K,G)=Y(K,G)/(SQRT(SUME)) MNT(K,C)=YT(K,C)/(SQRT(SUMET))

ENDDO ENDDO WRITE(*,') ' LOS MODOS NORMALIZADOS SON LOS SIGUIENTES READ(*,*) DO2=1,4

WRITE(*,*) 'PARA EL MODO,Z,'SE TIENE'

WRITE(',*)' POSICION X EULER Y(X) TIMOSHENKO WRITE(I,*)' POSICION X EULER Y(X) TIMOSHENKO c2=0 DO VI=O,LV,AX

WRITE(1,') 'PARA EL MODO,Z,'SE TIENE

c2=c2+1 WRITE( 1 .*) VI ,MN(Z,CZ),MNT(Z,CZ) WRITE(*,*) Vi ,MN(Z,CZ),MNT(Z,CZ)

ENDDO WRITE(*,*) 'PULSE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR READ(*,*)

ENDDO WRITE(*,*) WRITE (*,20) READ (*,30) CONTINUA

ENDDO 20 FORMAT DESEA REALIZAR OTRA CORRIDA (SM) ..?',$) 30 FORMAT(A1) IO FORMAT(A,\)

CLOSE(¡) STOP END

I75

Bibliografía General

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