Centro de Estudios de Postgrado ostgrado
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Centro de Estudios de Postgrado Centro de Estudios de Postgrado Trabajo Fin de Máster Alumno/a: Aranda Segado, Javier Tutor/a: Miguel Ángel García Muñoz Dpto: Matemáticas Junio, 2021 ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS ECUACIONES EN SEGUNDO DE LA ESO
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Centro de Estudios de Postgrado
Trabajo Fin de Máster
Alumno/a: Aranda Segado, Javier Tutor/a: Miguel Ángel García Muñoz Dpto: Matemáticas
Junio, 2021
ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS ECUACIONES EN
SEGUNDO DE LA ESO
2
3
Índice de contenidos
Índice de contenidos ..................................................................................................... 3
Índice de figuras ............................................................................................................ 5
Índice de tablas ............................................................................................................. 7
Resumen ........................................................................................................................... 9
Abstract ............................................................................................................................. 9
1. Introducción ............................................................................................................ 11
2. Objetivos ................................................................................................................. 13
3. Fundamentación Curricular .................................................................................... 15
3.1. Análisis del currículo ........................................................................................ 15
3.2. Análisis de libros de texto ................................................................................ 19
4. Fundamentación epistemológica ........................................................................... 31
4.1. Introducción ..................................................................................................... 31
4.2. Ecuaciones ........................................................................................................ 32
4.3. Ecuaciones algebraicas. Cálculo de raíces........................................................ 33
4.4. Acotación de las raíces reales de una ecuación algebraica ............................. 43
4.5. Aproximación de las raíces reales de una ecuación ........................................ 48
5. Fundamentación Didáctica ..................................................................................... 63
5.1. Primer artículo.................................................................................................. 64
5.2. Segundo artículo .............................................................................................. 68
5.3. Consideraciones finales .................................................................................... 72
6. Proyección Didáctica ............................................................................................... 73
6.1. Título .................................................................................................................... 73
6.2. Justificación .......................................................................................................... 73
6.3. Contextualización del centro y del aula ............................................................... 77
6.4. Objetivos .............................................................................................................. 78
6.5. Competencias clave ............................................................................................. 82
6.6. Contenidos ........................................................................................................... 83
6.7. Metodología ......................................................................................................... 85
6.8. Actividades y recursos ......................................................................................... 85
6.9. Atención a la diversidad ....................................................................................... 86
6.10. Temporalización ................................................................................................. 87
6.11. Evaluación .......................................................................................................... 91
7. Conclusiones ........................................................................................................... 93
Anexo I – Actividades ...................................................................................................... 97
Anexo I.1 – Actividades de la temporalización ........................................................... 97
Anexo I.2 – Actividades refuerzo .............................................................................. 125
Anexo I.3 – Actividades de ampliación ..................................................................... 133
Anexo II – Pruebas ........................................................................................................ 139
Anexo II.1 – Prueba con GeoGebra ........................................................................... 139
4
Anexo II.2 – Prueba escrita final ............................................................................... 140
Anexo III – Rúbrica ........................................................................................................ 143
Anexo IV – Tabla con los contenidos, los criterios de evaluación, los estándares de
aprendizaje evaluables y las competencias clave ......................................................... 145
Anexo V – Actividad 41 ................................................................................................. 153
Anexo V.1 – Fichas .................................................................................................... 153
Anexo V.2 – Fichas completas .................................................................................. 155
Bibliografía .................................................................................................................... 159
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Índice de figuras
Figura 1: Parte de la definición de la Transposición de términos en el manual de
Santillana, página 92. ...................................................................................................... 24
Figura 2: Definición de la Regla del producto en el manual de SM, página 120. ........... 24
Figura 3: Resolución de ecuaciones sencillas en el manual de Santillana (página 92). .. 25
Figura 4: Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita en el manual de
SM, página 122. .............................................................................................................. 25
Figura 5: Uno de los ejemplos del manual de Santillana (página 94). ............................ 27
Figura 6: Uno de los recursos del manual de SM. En este caso, un ejercicio sobre
gráficas de ecuaciones. ................................................................................................... 28
Figura 7: A la izquierda, el modelo de Orlov (1971), a la derecha, el de Perry et al.
(1995). ............................................................................................................................. 66
Figura 8: Modelo de Figuera-Sampaio et al. (2009). ...................................................... 66
Figura 9: Modelo de Marschall & Andrews (2015). ........................................................ 67
Figura 10: Resolución del primer problema por uno de los alumnos. Se puede observar
que el cálculo de la división fue erróneo pero que el resultado final sí es el correcto. . 70
Figura 11: Resolución de un problema por parte de una alumna: confunde “el doble de
un número” con “el cuadrado de un número” y hace mal la reducción de monomios. 71
Figura 12: Fotograma de DeRose (2014), en el que se observan tres ecuaciones que
relacionan, respectivamente, la traslación, el escalado y la rotación de una imagen
respecto a dos momentos en el tiempo. ........................................................................ 74
Figura 13: Secciones de una cónica (Stewart, 2021). ..................................................... 76
Figura 14: Recreación de la demostración de Euclides del teorema de Pitágoras en
Stewart (2021). ............................................................................................................... 76
Figura 15: Modelado de la vibración de un tambor en Stewart (2021). ........................ 76
Figura 16: Cálculo del flujo de aire que pasa por un coche de Fórmula 1 en Stewart
(2021). ............................................................................................................................. 77
Figura 17: Esquema de unas “tiras de papel” en STEM Learning (2021). ...................... 99
Figura 18: Imagen para colorear en Gutiérrez (2017, p. 27). ....................................... 103
Figura 19: Puzle matemático en Gutiérrez (2017, p. 28). ............................................. 105
Figura 20: “Código secreto” en STEM Learning (2021). ............................................... 106
Figura 21: Ejemplo de suma en STEM Learning (2021). ............................................... 107
6
Figura 22: Ejemplo de pirámide en STEM Learning (2021). ......................................... 111
Figura 23: Resolución de ecuaciones de segundo grado completas en NRICH (2021). 112
Figura 24: Rombo en Alcaide et al. (2016, p. 135). ....................................................... 117
Figura 25: Rectángulo en Alcaide et al. (2016, p. 135). ................................................ 118
Figura 26: Muestra del juego en Aranda (2021). .......................................................... 122
Figura 27: Ilustración en Alcaide et al. (2016, p. 129). ................................................. 123
Figura 28: Cuadrado mágico en NRICH (2021). ............................................................ 125
Figura 29: Ilustración en STEM Learning (2021). .......................................................... 126
Figura 30: Ilustración en CIMT (p. 8). ............................................................................ 127
Figura 31: Tablero en Casado (2017, p. 25). ................................................................. 128
Figura 32: Tablero en CIMT (p. 11). .............................................................................. 129
Figura 33: Tablero en CIMT (p. 12). .............................................................................. 130
Figura 34: Fichas en Gutiérrez (2017, p. 29). ................................................................ 131
Figura 35: Diagrama en NRICH (2017). ......................................................................... 134
Figura 36: Ejemplo en STEM Learning (2021). .............................................................. 137
7
Índice de tablas
Tabla 1: Contenidos sobre ecuaciones en 1º y 2º de la ESO en el R.D. 1105/2014 de 26
de diciembre. .................................................................................................................. 16
Tabla 2: Contenidos sobre ecuaciones en 2º de la ESO en la Orden de 14 de julio de
2016. ............................................................................................................................... 16
Tabla 3: Contenidos sobre ecuaciones en 1º de la ESO en la Orden de 14 de julio de
2016. ............................................................................................................................... 17
Tabla 4: Contenidos sobre ecuaciones en la materia de Matemáticas Orientadas a las
Enseñanzas Aplicadas en 3º de la ESO en el R.D. 1105/2014 de 26 de diciembre. ....... 18
Tabla 5: Contenidos sobre ecuaciones en la materia de Matemáticas Orientadas a las
Enseñanzas Académicas de 3º de la ESO en el R.D. 1105/2014 de 26 de diciembre. .... 19
Tabla 6: Tabla comparativa de las unidades de las editoriales Santillana y SM. ............ 20
Tabla 7: Tabla con el índice de la unidad seleccionada en ambos manuales. ................ 21
Tabla 8: Tabla para comparar los ejercicios de ambos libros. ........................................ 27
8
9
Resumen
El presente documento desarrolla el Trabajo Fin de Máster que da acceso al
título de Máster Universitario en Profesorado de Educación Secundaria Obligatoria y
Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanza de Idiomas (Especialidad:
Matemáticas). Nos centraremos en la enseñanza y el aprendizaje de las Ecuaciones en
el 2º curso de Educación Secundaria Obligatoria (ESO).
A lo largo del trabajo, analizaremos, discutiremos y profundizaremos en muchas
áreas de la labor docente, como la fundamentación didáctica, a través de la revisión de
artículos de investigación docente; la fundamentación curricular, a través del análisis
del currículo y del estudio y comparación de libros de texto; o la proyección didáctica,
elaborando una unidad didáctica. Además, estudiaremos rigurosamente la materia
matemática en cuestión, las ecuaciones, en la fundamentación epistemológica.
Para llevar a cabo lo que acabamos de enumerar, aplicaremos lo aprendido a lo
largo de este máster.
Palabras clave: ecuaciones, educación secundaria obligatoria, didáctica de las
matemáticas
Abstract
This document develops the Master's Thesis that gives access to the title of
Máster Universitario en Profesorado de Educación Secundaria Obligatoria y
Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanza de Idiomas (Especialidad:
Matemáticas). We will focus on the teaching and learning of Equations in the second
year of Secondary Education (ESO).
Throughout the work, we will analyze, discuss and deepen in many areas of
teaching, such as the didactic foundation, through the review of teaching research
articles; the curricular foundation, through the analysis of the curriculum and the study
and comparison of textbooks; or the didactic projection, elaborating a didactic unit. In
addition, we will rigorously study the mathematical subject in question, equations, in
the epistemological foundation.
In order to carry out what we have just listed, we will apply what we have
learned throughout this master's degree.
Key words: equations, secondary education, didactics of mathematics.
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11
1. Introducción
Durante el transcurso del Máster Universitario en Profesorado de Educación
Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanza de Idiomas
(Esp: Matemáticas) hemos estudiado todos los aspectos de la labor docente: hemos
analizado el desarrollo psicológico del alumnado en la asignatura de “Aprendizaje y
desarrollo”, el currículo en “Procesos y contextos educativos”, la inferencia del
entorno en “Sociedad, familia y educación”, la teoría matemática en “Complementos
de formación disciplinar”, la didáctica en “Aprendizaje y enseñanza”; hemos extendido
estos estudios en “Innovación docente e investigación educativa”, donde aprendimos a
analizar científicamente lo que transcurre en el aula, así como a intentar aportar ideas
nuevas en cuanto a la didáctica... En este Trabajo Fin de Máster (TFM) se pretende
poner en práctica esos conocimientos en cuanto a la descripción y análisis de la
enseñanza de las ecuaciones de primer y segundo grado, así como su desarrollo en una
unidad didáctica dirigida a alumnos de segundo de la ESO.
El estudio de las ecuaciones, más allá de que formen parten del currículo de la
asignatura, es importante por numerosos motivos. Las ecuaciones están detrás de
conceptos tan distantes a priori como las redes neuronales, la animación en Pixar
(DeRose, 2014) o la música (ecuación de onda). Además, el manejo de las mismas es
esencial no solo para avanzar en el currículo de matemáticas, sino para muchos otros
ámbitos educativos: en grados como Economía, Psicología o Turismo, en los que las
matemáticas no se suponen fundamentales, el uso de las ecuaciones es constante.
Las ecuaciones se introducen, de manera muy simple, en primero de la ESO, que
es cuando se dan las primeras nociones de álgebra. Antes, durante la primaria, las
ecuaciones no aparecen como tales, aunque sí que se introducen algunos ejercicios de
“adivinar el número” que hace que se cumpla una cierta igualdad, pero de manera
muy tímida y poco rigurosa. En segundo se estudian las ecuaciones de primer grado
con mayor complejidad y se enseña a resolver ecuaciones de segundo grado. Durante
los siguientes años de Educación Secundaria y Bachillerato se sigue avanzando en el
estudio de las ecuaciones, con la resolución de ecuaciones de grado mayor o igual que
tres utilizando Ruffini o las bicuadradas, por ejemplo.
Las partes en las que se estructura el documento son las siguientes:
• Objetivos: se establecen los objetivos que queremos cubrir durante la
realización de este trabajo.
• Fundamentación curricular: se estudia la ubicación de los contenidos
que vamos a tratar en la unidad didáctica respecto a los años contiguos y
realizamos una comparación de libros de texto.
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• Fundamentación epistemológica: se desarrolla un tema de oposición, en
el que se profundiza en el estudio no de la docencia, sino del objeto
matemático en sí que son las ecuaciones.
• Fundamentación didáctica: se analizan varios artículos en los que se
estudian diversas cuestiones relacionadas con el aprendizaje de las
ecuaciones a este nivel.
• Proyección didáctica: se desarrolla la unidad didáctica, en la se incluyen
las pruebas de evaluación, ejercicios de distintas dificultades para cubrir
las necesidades de alumnos que necesitan diversas adaptaciones, una
temporalización de la unidad, se justifica la importancia de la materia en
cuestión, etc.
• Conclusiones: se reflexiona sobre el proceso de elaboración de este
trabajo.
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2. Objetivos
El objetivo general del trabajo es el siguiente:
OG. Poner en práctica los conocimientos adquiridos en el Máster Universitario en
Profesorado de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación
Profesional y Enseñanza de Idiomas (Esp: Matemáticas) mediante el análisis,
descripción, enseñanza y aprendizaje de las ecuaciones de primer y segundo
grado.
Para conseguir dicho objetivo general, lo desglosaremos en los cinco objetivos
que describimos a continuación:
O1. Poner en práctica los conocimientos teóricos adquiridos durante el máster.
O2. Analizar y comparar críticamente dos libros de texto de editoriales diferentes.
Estudiar la idoneidad de la ubicación en el currículo de los contenidos a tratar,
teniendo en cuenta el progreso en el aprendizaje del álgebra desde primaria y
durante la secundaria.
O3. Desarrollar el tema correspondiente del temario de oposiciones con respecto a
los contenidos que hemos seleccionado, con profundidad y el máximo rigor
matemático.
O4. Estudiar varios artículos científicos donde se expongan diferentes vicisitudes
sobre la docencia de las ecuaciones a ese nivel. Examinar los resultados del
análisis de los mismos y extraer conclusiones con el objetivo de mejorar los
procesos de enseñanza y aprendizaje.
O5. Diseñar y desarrollar una unidad didáctica teniendo en cuenta lo que se ha
estudiado en el resto de apartados del trabajo, con el fin de que la misma sea lo
más correcta, completa, rica e interesante posible.
14
15
3. Fundamentación Curricular
Esta sección tiene un doble objetivo: por un lado, analizar el currículo escolar y,
por otro lado, analizar libros de texto; ambos objetivos referidos a la unidad en la que
está enfocada este trabajo, la resolución de ecuaciones en segundo de la ESO.
3.1. Análisis del currículo
En el Real Decreto 1105/2014 del 26 de diciembre se establece el currículo
básico de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato, así que será a ese
documento al que nos referiremos para poder hacer el análisis del currículo vigente.
Este trabajo se centra en la asignatura Matemáticas de 2º de la ESO. El Real
Decreto expone conjuntamente el currículo de Matemáticas de 1º y 2º de la ESO, así
que más tarde deberemos servirnos del Orden de 14 de julio de 2016 para nuestro
trabajo, ya que es en esta orden donde se especifica en qué curso ha de impartirse
cada contenido en nuestra comunidad autónoma.
El Real Decreto 1105/2014 divide los contenidos en 5 bloques, de los cuales sólo
nos competen dos: Bloque 1: Procesos, métodos y actitudes en matemáticas y Bloque
2: Números y Álgebra. Debemos considerar el primero por ser transversal a todos los
demás y el segundo por ser el que abarca los contenidos sobre ecuaciones.
En concreto los contenidos, el criterio de evaluación y los estándares de
aprendizaje evaluables del Bloque 2 vinculados al estudio de las ecuaciones, omitiendo
los sistemas de ecuaciones, son los recogidos en la siguiente tabla:
Contenidos Criterio de evaluación Estándares de aprendizaje
evaluables
Ecuaciones de
primer grado con una
incógnita (métodos
algebraico y gráfico) y de
segundo grado con una
incógnita (método
algebraico). Resolución.
Interpretación de las
soluciones. Ecuaciones sin
solución. Resolución de
problemas.
7. Utilizar el lenguaje
algebraico para simbolizar
y resolver problemas
mediante el
planteamiento de
ecuaciones de primer,
segundo grado y sistemas
de ecuaciones, aplicando
para su resolución
métodos algebraicos o
gráficos y contrastando los
7.1. Comprueba,
dada una ecuación (o un
sistema), si un número (o
números) es (son)
solución de la misma.
7.2. Formula
algebraicamente una
situación de la vida real
mediante ecuaciones de
primer y segundo grado, y
sistemas de ecuaciones
16
resultados obtenidos. lineales con dos
incógnitas, las resuelve e
interpreta el resultado
obtenido.
Tabla 1: Contenidos sobre ecuaciones en 1º y 2º de la ESO en el R.D. 1105/2014 de 26
de diciembre.
Si estudiamos ahora la Orden de 14 de julio de 2016, que es, como ya hemos
dicho antes, la que especifica los contenidos que deben impartirse en cada curso de la
ESO en la Comunidad Autónoma de Andalucía, observamos que enmarca los siguientes
contenidos en 2º de la ESO, con sus respectivos criterios de evaluación con las
competencias asociadas:
Contenidos Criterio de evaluación Estándares de aprendizaje
evaluables
Ecuaciones de
primer grado con una
incógnita (métodos
algebraico y gráfico) y de
segundo grado con una
incógnita (método
algebraico). Resolución.
Interpretación de las
soluciones. Ecuaciones sin
solución. Resolución de
problemas.
7. Utilizar el lenguaje
algebraico para simbolizar
y resolver problemas
mediante el
planteamiento de
ecuaciones de primer,
segundo grado y sistemas
de ecuaciones, aplicando
para su resolución
métodos algebraicos o
gráficos y contrastando los
resultados obtenidos.
CCL: Competencia
en comunicación
lingüística.
CMCT: Competencia
matemática y
competencia básica en
ciencia y tecnología.
CAA: Competencia
de aprender a aprender.
Tabla 2: Contenidos sobre ecuaciones en 2º de la ESO en la Orden de
14 de julio de 2016.
Por otro lado, en esta misma orden podemos observar que los contenidos,
criterios de evaluación y competencias asociadas de 1º de la ESO en referencia a las
ecuaciones son:
17
Contenidos Criterio de evaluación Estándares de aprendizaje
evaluables
Traducción de
expresiones del lenguaje
cotidiano, que
representen situaciones
reales, al algebraico
y viceversa. El
lenguaje algebraico para
generalizar propiedades y
simbolizar relaciones.
Valor numérico de una
expresión
algebraica. Operaciones
con expresiones
algebraicas sencillas.
Ecuaciones de primer
grado con una incógnita
(métodos algebraico y
gráfico). Resolución.
Interpretación de las
soluciones. Ecuaciones sin
solución.
Introducción a la
resolución de problemas.
7. Utilizar el lenguaje
algebraico para simbolizar
y resolver problemas
mediante el
planteamiento de
ecuaciones de
primer grado, aplicando
para su resolución
métodos algebraicos o
gráficos y contrastando los
resultados obtenidos.
CCL: Competencia
en comunicación
lingüística.
CMCT: Competencia
matemática y
competencia básica en
ciencia y tecnología.
CAA: Competencia
de aprender a aprender.
Tabla 3: Contenidos sobre ecuaciones en 1º de la ESO en la Orden de
14 de julio de 2016.
Los contenidos que aparecen en esta última tabla son, efectivamente, suficientes
para afrontar el estudio de los contenidos relacionados con ecuaciones en 2º de la
ESO, aun cuando en primaria no se trabajan ni las ecuaciones ni el lenguaje algebraico.
Para hacer esta misma comprobación respecto al curso inmediatamente
posterior, volvemos a examinar el RD. Este divide la materia de Matemáticas en dos:
Por un lado, tenemos Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Aplicadas, en
las que podemos observar lo siguiente en relación al estudio de las ecuaciones:
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Contenidos Criterio de evaluación Estándares de aprendizaje
evaluables
Ecuaciones de
segundo grado con una
incógnita. Resolución
(método algebraico y
gráfico).
Resolución de
problemas mediante la
utilización de ecuaciones y
sistemas.
4. Resolver
problemas de la vida
cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolución de ecuaciones
de primer y segundo
grado, sistemas lineales de
dos ecuaciones con dos
incógnitas, aplicando
técnicas de manipulación
algebraicas, gráficas o
recursos tecnológicos y
valorando y contrastando
los resultados obtenidos.
4.1. Resuelve
ecuaciones de segundo
grado completas e
incompletas mediante
procedimientos
algebraicos y gráficos
4.3. Formula
algebraicamente una
situación de la vida
cotidiana mediante
ecuaciones de primer y
segundo grado y sistemas
lineales de dos ecuaciones
con dos incógnitas, las
resuelve e interpreta
críticamente el resultado
obtenido.
Tabla 4: Contenidos sobre ecuaciones en la materia de Matemáticas Orientadas a las
Enseñanzas Aplicadas en 3º de la ESO en el R.D. 1105/2014 de 26 de diciembre.
Por otro lado, tenemos las Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas
Académicas, en las que podemos observar lo siguiente:
Contenidos Criterio de evaluación Estándares de aprendizaje
evaluables
Ecuaciones de
segundo grado con una
incógnita. Resolución
(método algebraico y
gráfico).
Resolución de
ecuaciones sencillas de
grado superior a dos.
Resolución de
problemas mediante la
4. Resolver
problemas de la vida
cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolución de ecuaciones
de primer y segundo
grado, ecuaciones
sencillas de grado mayor
que dos y sistemas de dos
ecuaciones lineales con
dos incógnitas, aplicando
4.1. Formula
algebraicamente una
situación de la vida
cotidiana mediante
ecuaciones y sistemas de
ecuaciones, las resuelve e
interpreta críticamente el
resultado obtenido.
19
utilización de ecuaciones y
sistemas de ecuaciones.
técnicas de manipulación
algebraicas, gráficas o
recursos tecnológicos,
valorando y contrastando
los resultados obtenidos.
Tabla 5: Contenidos sobre ecuaciones en la materia de Matemáticas Orientadas a las
Enseñanzas Académicas de 3º de la ESO en el R.D. 1105/2014 de 26 de diciembre.
En ambos casos podemos comprobar que los contenidos que se imparten en 3º
de la ESO son una ampliación de lo que se ha estudiado en 2º de la ESO.
Como hemos podido comprobar, la ubicación en el currículo es idónea: justo
después de las primeras nociones de álgebra que se imparten en 1º de la ESO y justo
antes del estudio más profundo de las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones que se
estudian en los cursos siguientes.
3.2. Análisis de libros de texto
Los libros de texto constituyen una herramienta fundamental en la práctica
totalidad de los centros educativos de secundaria y bachillerato. Por ello es
fundamental, a la hora de investigar la docencia de esta materia, hacer un análisis de
los manuales que se utilizan habitualmente en nuestras aulas.
Para el análisis y comparación de estos manuales, nos serviremos de los
siguientes libros:
• Álvarez, M. D., Hernández, J., Machín, P., Miranda, A. Y., Moreno, M. R.,
Parra, S., Redondo, M., Redondo, R., Sánchez, M. T., Santos, T., Serrano,
E., & Redal, E. J. (2012). Matemáticas 2 ESO. Avanza: Los caminos del
saber. Santillana Educación, S.L.
• Alcaide, F., Nieto, M., & Maestre, N. A. (2016). SD Alumno. Matemáticas.
2 ESO. Savia. Ediciones SM.
El motivo de elegir estos dos manuales es, principalmente, porque tanto SM
como Santillana son dos de las editoriales más conocidas y usadas en la docencia de
Matemáticas en este nivel. Además, la elección fue propiciada por la disponibilidad del
manual de Santillana por parte de mi tutor de prácticas, así como la hegemonía en el
centro donde realicé las prácticas de la editorial SM respecto a nuestra asignatura.
Ambos libros son la versión de los alumnos de dichos manuales.
Veamos la distribución de temas en ambos libros:
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Santillana SM
1. Números enteros 1. Divisibilidad. Números enteros
2. Fracciones 2. Fracciones y decimales
3. Números decimales 3. Potencias y raíces
4. Sistema sexagesimal 4. Proporcionalidad
5. Expresiones algebraicas 5. Expresiones algebraicas
6. Ecuaciones de primer y segundo grado
6. Ecuaciones
7. Sistemas de ecuaciones 7. Sistemas de ecuaciones
8. Proporcionalidad numérica 8. Funciones
9. Proporcionalidad geométrica 9. Medidas. Teorema de Pitágoras
10. Figuras planas. Áreas 10. Semejanza
11. Cuerpos geométricos 11. Cuerpos geométricos
12. Volumen de cuerpos geométricos 12. Estadística
13. Funciones 13. Probabilidad
14. Estadística
Tabla 6: Tabla comparativa de las unidades de las editoriales Santillana y SM.
La disposición del currículo a lo largo del curso varía un poco entre ambas
editoriales, con alguna diferencia en el orden de algunos contenidos, como la
proporcionalidad o las funciones, pero el grueso de ambos esquemas sigue el mismo
orden: primero el bloque de números y álgebra, después el de geometría y por último
el de estadística. El bloque de funciones sí varía: En el manual de Santillana se sitúa
entre el de geometría y el de estadística, y en el de SM entre el de números y álgebra y
el de geometría.
En la tabla, de color naranja, están señalados los dos temas que nos competen
en nuestro estudio, a saber: en el ejemplar de Santillana, el tema 6, “Ecuaciones de
primer y segundo grado”, y en el de SM, también el tema 6, “Ecuaciones”.
Ambos se enmarcan en el bloque de álgebra y números, el primero de ambos
libros. Del mismo modo, vemos que los dos se sitúan justo después de la unidad
dedicada a “Expresiones algebraicas”. Una elección con sentido dado que conocer los
rudimentos de las expresiones algebraicas será esencial para el buen entendimiento de
los contenidos de esta unidad.
21
También observamos que en las dos editoriales dicho tema se encuentra justo
antes del tema dedicado a “Sistemas de ecuaciones”; otra elección razonable teniendo
en cuenta que el estudio de los sistemas de ecuaciones es la continuación lógica de los
contenidos de esta unidad.
Ahora estudiaremos los contenidos de los temas 6 de Santillana y SM,
comparándolos meticulosamente:
Santillana SM
1 Elementos de una ecuación 1
Igualdades: identidades y ecuaciones
1.1 Soluciones de una ecuación
2 Transposición de términos 2
Ecuaciones equivalentes
2.1 Reglas de la suma y del
producto
3
Resolución de ecuaciones de primer grado
3
Ecuaciones de primer grado
3.1 Resolución de ecuaciones
sencillas
3.2 Resolución de ecuaciones con
paréntesis 3.1
Resolución de ecuaciones de primer grado con una
incógnita
4 Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado
4 Problemas con ecuaciones de
primer grado
5 Ecuaciones de segundo grado 5
Ecuaciones de segundo grado
5.1 Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas
5.2 Resolución de ecuaciones de
segundo grado completas
6 Resolución de ecuaciones de
segundo grado 6
Problemas con ecuaciones de segundo grado
Tabla 7: Tabla con el índice de la unidad seleccionada en ambos manuales.
22
Con solo repasar rápidamente el índice de cada tema podemos observar las
diferencias que ahora estudiaremos y que serán notorias.
Introducción del tema
La forma de introducir el tema es bastante distinta. En el libro de Santillana se
propone un pequeño párrafo en el que se habla de manera muy general de la vida de
Enrique IV, engarzándolo al final con una referencia a los mensajes cifrados que los
españoles se mandaban para comunicarse entre ellos. En el de SM se introduce el
tema con un extracto de (Guedj, 2009), un libro de divulgación matemática. En el texto
se diserta sobre qué es una incógnita, comparando las ecuaciones con una
investigación policial en la que hay que servirse de determinadas pistas para descubrir
la identidad del asesino.
Aunque introducir la unidad con un pasaje histórico creo que podría motivar al
alumnado en el estudio de la materia, este texto concreto de Santillana creo que es
demasiado genérico y solo reseña la componente matemática al final del mismo,
relacionándola con el resto del texto de una manera muy poco cohesiva y nada
rigurosa. Se parece a los típicos problemas que se resuelven con una ecuación en el
que intervienen datos en principio reales y factibles, pero que en el fondo no se
sostienen como problema de la vida real. No creo que el alumnado se pueda sentir
interpelado a partir de esta introducción.
Sin embargo, el extracto de la editorial SM creo que es mucho más certero y
motivante. Por un lado, mantiene el rigor matemático y, por otro lado, introduce lo
que se va a impartir a lo largo del tema de una manera lúdica y curiosa.
Preliminares a las ecuaciones
Ambos manuales, antes de tratar la resolución de ecuaciones, dedican un
apartado a definir y/o recordar conceptos relacionados con estas:
En el de Santillana, después de la introducción, la primera página está dedicada a
recordar qué es un monomio, el grado de los mismos, cuándo eran semejantes y la
suma y resta de estos. Cabe destacar que este repaso es sobre el tema
inmediatamente anterior, “Expresiones algebraicas”. Los dos primeros apartados del
tema están dedicados, respectivamente, a los elementos de las ecuaciones y a la
transposición de términos. En el primero se define miembro, término, incógnitas,
grado, solución y resolver una ecuación, además de recordar qué es una ecuación, un
polinomio, el término independiente y cómo se calcula la potencia de un número y de
un polinomio. En el segundo apartado da una concisa explicación sobre cómo “pasar”
términos de un miembro a otro, convirtiéndolo en la forma “inversa” de la que tenía.
23
En libro de texto de la editorial SM entramos directamente en el tema con el
apartado “1. Igualdades: identidades y ecuaciones”, en el que definen: igualdad
algebraica, identidad, ecuación, incógnitas, soluciones y grado. En el siguiente
apartado, “2. Ecuaciones equivalentes”, se definen las ecuaciones equivalentes y se
explican las reglas de la suma y del producto.
Ambos manuales utilizan estos prolegómenos a la unidad para explicar los
términos más importantes relacionados con las ecuaciones y, además, cómo operar
con los términos de ambos miembros de la ecuación, con el fin de simplificarlos. La
diferencia más importante a destacar es la forma en la que se explica esto último:
mientras que Santillana lo hace con la trasposición de términos, SM opta por la regla
de la suma y del producto. Ambas formas son completamente válidas, pero creo que
en el manual de Santillana se explica muy someramente lo que es la trasposición de
términos. Si no se explica detalladamente en qué consiste y por qué funciona,
podemos hacer que el alumnado cometa errores importantes.
Por ejemplo, en el libro de Santillana se puede leer “Si estaba multiplicando,
pasa dividiendo; y si estaba dividiendo, pasa multiplicando”, pero en ningún momento
se matiza que eso solo es cierto cuando se está multiplicando o dividiendo a uno de los
términos al completo. Un error que podría cometer un alumno tras leer esta
explicación es el siguiente:
Además, en ningún momento se explica por qué esta regla funciona, lo que
puede devenir en que el alumno relacione los rudimentos de las matemáticas como
“algo mágico”, como algo que es así porque sí, sin ningún otro motivo, que es algo de
lo que deberíamos intentar alejarnos en todo momento.
24
Figura 1: Parte de la definición de la Transposición de términos en el manual de
Santillana, página 92.
El libro de SM, por otra parte, se enseña la regla de la suma y del producto, que
hace ver de forma muy intuitiva que la ecuación resultante es equivalente a la primera.
De hecho, lo señala en la definición: “Regla de la suma. Si en una ecuación se suma o
se resta el mismo número o la misma expresión algebraica en los dos miembros de la
ecuación, se obtiene una ecuación equivalente”. Aunque es una forma de resolver
ecuaciones más tediosa y alejada del procedimiento habitual de resolución, considero
que un punto intermedio entre los dos sería lo ideal.
Figura 2: Definición de la Regla del producto en el manual de SM, página 120.
En cuanto a los otros contenidos de estos preliminares, son muy parecidos y
ambos cumplen bien con la función de repaso general previo. Además, habría que
destacar el repaso que hace de las potencias el libro de Santillana. No obstante, como
característica negativa hay que resaltar que durante el repaso hace uso de los
polinomios y de definiciones sobre estos que no se van a usar durante la unidad y que
pueden causar confusión en el alumno.
25
Ecuaciones de primer grado
Ambos manuales dividen el estudio de las ecuaciones de primer grado en dos
secciones similares: en el caso de Santillana “3. Resolución de ecuaciones de primer
grado” y “4. Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado”, y en el caso de
SM “3. Ecuaciones de primer grado” y “4. Problemas con ecuaciones de primer grado”.
En el libro de Santillana, divide la primera sección en dos subsecciones,
estudiando de manera separada la resolución de ecuaciones con o sin paréntesis. Las
ecuaciones que se resuelven son muy sencillas. No hay que eliminar denominadores
en ningún caso. En la segunda sección se explica cómo resolver problemas listando una
serie de pasos que conducen a dicha resolución (de forma algorítmica).
Figura 3: Resolución de ecuaciones sencillas en el manual de Santillana (página 92).
En el libro de SM se resuelven las ecuaciones de primer grado de manera
general, incluyendo en la misma explicación a las ecuaciones con o sin paréntesis y con
o sin denominadores. Las ecuaciones que se estudian son un poco más complejas que
en el caso de Santillana. La sección de problemas es similar.
Figura 4: Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita
en el manual de SM, página 122.
La división de la primera sección en Santillana me parece innecesaria, como bien
demuestra la explicación única y general de la otra editorial. Creo que
compartimentando tanto el conocimiento matemático se ponen trabas a la verdadera
destreza en la materia. El alumno debe saber cómo resolver una ecuación, teniendo en
cuenta que, si aparecen elementos más complejos como los paréntesis o los
denominadores, debe actuar en algún punto de manera diferente, pero con la
conciencia de que se trata de un procedimiento muy similar al que tendría que utilizar
26
en la ausencia de estos factores. Por otro lado, creo que en el manual de Santillana
deberían haber incorporado las ecuaciones de primer grado con denominadores. Me
parece un avance lógico teniendo en cuenta que ya se introdujeron las ecuaciones de
primer grado el curso anterior. La segunda sección es similar en los dos manuales,
aunque la incorporación de tablas a la hora de traducir al lenguaje algebraico en el
libro de la editorial SM puede ayudar a los alumnos al empezar a manejar los datos del
problema.
Ecuaciones de segundo grado
En el libro de la editorial Santillana se observa una sola sección en la que
únicamente indica la fórmula para la resolución de ecuaciones de segundo grado. Ni
divide entre completas e incompletas ni añade problemas que precisen ecuaciones de
segundo grado para su resolución, como sí se hace en el manual de SM. En este, se
divide el estudio de las ecuaciones de segundo grado en dos secciones similares a las
que anteriormente utilizó para las de primer grado: una para la resolución de
ecuaciones en sí y otra para la resolución de problemas. En la primera divide a su vez la
resolución en resolución de incompletas y completas.
En esta sección la resolución vuelve a estar mejor expuesta, en mi opinión, en el
libro de la editorial SM. Pienso que la división entre completas e incompletas aporta
riqueza matemática. Explicando cómo resolverlas de este modo ya avanzas parte del
procedimiento general que tendrán que utilizar en cursos posteriores cuando tengan
que resolver ecuaciones de mayor grado, a saber: sacar factor común y despejar
directamente cuando sea posible. La dificultad de las ecuaciones de segundo grado
vuelve a ser dispar. Mientras que en el libro de Santillana se limitan a ecuaciones con
coeficientes enteros, en el de SM aparecen también ecuaciones con paréntesis y
denominadores.
Ejemplos y ejercicios
El número de ejercicios de cada manual queda clasificado en la siguiente tabla:
27
Intr. Dificultad
baja Dificultad
media Dificultad
alta Tipo PISA
Autoeva- luación
Total
Santillana 6 35 21 0 0 8 70
8.58% 50% 30% 0% 0% 11.42% 100%
SM 6 44 42 7 2 7 108
5.56% 40.74% 38.89% 6.48% 1.85% 6.48% 100%
Tabla 8: Tabla para comparar los ejercicios de ambos libros.
La primera columna, “Intr.”, recoge los ejercicios correspondientes al texto con el
que se empezaba el tema. En ambos libros son parecidos: hay tres ejercicios de
evaluación inicial y tres basados en el texto que antes he mencionado.
La clasificación de los ejercicios según la dificultad la he realizado siguiendo el
criterio y la señalización del propio libro, tomándome como única libertad la de
calificar como ejercicios de dificultad baja los que acompañaban al desarrollo de los
contenidos, al final de la página, en el manual de la editorial Santillana.
Por otro lado, en el libro de Santillana hay 16 ejemplos frente a los 28 de la
editorial SM.
Se puede observar la superioridad del manual de la editorial SM respecto a su
homólogo de Santillana en prácticamente todas las categorías. Bien es cierto que, en
términos de porcentaje, el libro de la editorial Santillana se centra más en ejercicios de
dificultad baja, que representan casi el 50% del total frente al 40.74% de la editorial
SM; pero, sin embargo, no contiene ningún ejercicio de dificultad alta ni de tipo PISA.
El libro de la editorial SM, como se puede comprobar, no solo tiene muchos más
ejercicios, sino que son más variados que los de Santillana. Además de la mayor
cantidad de ejemplos, una herramienta esencial para entender las matemáticas.
Figura 5: Uno de los ejemplos del manual de Santillana (página 94).
28
A esto habría que añadir los recursos interactivos del manual de SM: cuatro
ejercicios de práctica, cinco ejercicios con Geogebra, uno de resumen de la unidad
(que es similar al del libro, pero te lo permiten descargar en PDF, para poder usarlo de
manera separada) y otra Autoevaluación. A lo largo de la unidad se suceden distintas
notas que te recuerdan la existencia de los mismos y señalan la web a la que hay que
dirigirse para acceder a ellos. En el libro de la editorial Santillana no aparece ninguna
referencia a recursos interactivos.
Figura 6: Uno de los recursos del manual de SM. En este caso, un ejercicio sobre
gráficas de ecuaciones.
En cuanto a la disposición de los ejercicios, es más o menos la misma en ambos
libros: unos cuantos ejercicios en la misma página en la que se explica cada concepto y
una serie de páginas repletas de ejercicios al final del tema. Lo único que cambia es la
ubicación de la Autoevaluación (prueba con varios ejercicios que vienen resueltos al
final del libro): mientras que SM la ubica en la última página de la unidad, Santillana la
coloca entre la explicación de los contenidos y las páginas en las que solo hay
ejercicios. Es un detalle menor, pero por motivos pedagógicos creo que es mejor la
disposición de SM. Esos ejercicios deberían entenderse como una herramienta para
calibrar cuál es tu grado de destreza en el tema una vez finalizado el mismo. Si se sitúa
justo después de los contenidos puede entenderse que deberían realizarse antes de
continuar practicando.
29
Consideraciones generales y conclusiones
En vista del análisis anterior podemos concluir que, mientras que el manual de
SM cumple por completo con los contenidos que señala la legislación (aunque el
método gráfico para la resolución de ecuaciones de primer grado solo esté presente en
un recurso online, y no en el propio libro), en el de Santillana hay ausencias notables:
no aparece en ningún momento el método gráfico para la resolución de ecuaciones de
primer grado y hay una ausencia total de problemas que impliquen ecuaciones de
segundo grado. Esto último me parece un error gravísimo y que la editorial debería
subsanar en futuras ediciones.
También debo destacar la ausencia absoluta de gráficas que representen las
ecuaciones en el plano en ambos manuales. La representación gráfica creo que tiene
un papel fundamental a la hora de comprender, por ejemplo, por qué algunas
ecuaciones tienen una, dos o ninguna solución.
Por otro lado, no puedo dejar de señalar la cantidad de erratas que se observan
en el manual de Santillana: el epígrafe empieza en el punto 2 en vez de en el 1, la
numeración en los ejercicios se repite o se salta sin ningún tipo de criterio (hay varios
ejercicios 4 y 10, y del ejercicio 32 pasamos al ejercicio 42 en la página siguiente) y,
además, en los primeros ejercicios del tema se aplica un sistema de colores que
cumplen, imagino, algún tipo de función que no he podido desentrañar.
Dicho todo esto, opino que el manual de SM es superior en todos los sentidos al
de Santillana en esta unidad. Creo que constituye una muy buena guía para afrontar el
estudio de las ecuaciones. El manual de Santillana también puede servir de base para
afrontar la docencia de esta unidad, pero requiere toda una serie de añadidos y
correcciones para completar los contenidos que marca la legislación.
30
31
4. Fundamentación epistemológica
A lo largo de esta sección elaboraremos un tema del temario de oposiciones, en
concreto:
Tema 14: Ecuaciones. Resolución de ecuaciones. Aproximación numérica de raíces
En la primera sección, daremos una breve introducción histórica al tema; en la
segunda, daremos las primeras definiciones; en la tercera, estudiaremos la resolución
analítica de ecuaciones algebraicas de grado igual o menor que cuatro y de algunas
ecuaciones algebraicas y trascendentales muy particulares; en la cuarta, estudiaremos
cómo acotar las soluciones de una ecuación algebraica en un intervalo, que es el paso
previo de la última sección, en la que introduciremos los métodos numéricos con el
objetivo de aproximar las soluciones cuando no sea posible hacerlo de manera
analítica.
4.1. Introducción
Según Navarro et al. (2002), en el antiguo Egipto ya aparecían los primeros
problemas algebraicos que se resolvían mediante ecuaciones. De hecho, en el papiro
de Rhind aparecen problemas en el que las variables no son cosas concretas (pan o
cerveza) sino incógnitas abstractas. A esta se la llamaba “ahá” o montón. El problema
24 del papiro pide calcular el valor del montón si el montón y un séptimo de este
suman 19. La búsqueda de la solución que se da dista mucho de las técnicas modernas
para resolverlo. Ellos utilizaban un procedimiento que hoy se conoce como regula falsi:
se supone un valor al montón, se hacen los cálculos y mediante la medida del error y el
uso de proporcionalidad, se va aproximando la respuesta correcta.
En Babilonia se avanzó mucho en el estudio del álgebra respecto a Egipto. Hay
documentos que demuestran que sabían resolver ecuaciones de segundo grado y que
ya usaban técnicas como la trasposición de términos o la eliminación de fracciones
multiplicando ambos miembros de la ecuación. Aún no usaban letras para representar
las incógnitas, así que las llamaban por su nombre (área, longitud, tiempo…).
Ya en el siglo IX, la obra del matemático árabe Al-Juarismi contiene los métodos
generales para la solución de problemas de primer y segundo grado con coeficientes
enteros. El término álgebra procede del título de dicha obra. De hecho, a nadie se le
debe escapar el parecido entre su nombre y la palabra algoritmo.
Más tarde, en 1545, Cardano publica Ars Magna, en los que explica la resolución
de ecuaciones de grado tres y cuatro, aunque fue Niccolo Tartaglia el primero que
obtuvo la resolución de la cúbica y Ludovico Ferrari la de la cuartica, utilizando el
método de Tartaglia en algunos puntos (Saurí & Moreno, 2006, p. 2).
32
Finalmente, en el siglo XIX, Abel publica Sobre la resolución algebraica de las
ecuaciones, donde demuestra que no existe ninguna fórmula general para las
ecuaciones de grado mayor que cuatro a partir de los coeficientes de estas.
Este es un pequeño resumen de la historia de las ecuaciones y su resolución, el
fascinante mundo en el que nos vamos a introducir en el desarrollo de este apartado.
Primero veremos de forma general qué es una ecuación, qué significan sus raíces y
cómo las hallaremos. Luego, como veremos que no todas las raíces se pueden hallar de
manera analítica y exacta, revisaremos formas de aproximar numéricamente dichas
soluciones.
4.2. Ecuaciones
En el álgebra se estudian dos tipos de igualdades: identidades y ecuaciones.
Definición: Una identidad es una igualdad que se cumple para todos los valores
de las letras que figuran en ella (Martín et al., 2000, p. 2).
Por ejemplo, la siguiente igualdad es una identidad:
Definición: Una ecuación es una igualdad que solo se satisface para algunos
valores de la o las variables, a las que llamaremos incógnitas. Dichos valores los
llamaremos raíces y al problema de hallarlos resolver la ecuación (Martín et al.,
2000, p. 2).
Por ejemplo, la siguiente igualdad es una ecuación:
En este caso la raíz sería .
En su forma general, la ecuación puede ser escrita como sigue:
En el caso de la igualdad sería
Según el tipo de ecuación el conjunto de raíces de la misma será infinito, finito y
vacío. Dos ecuaciones se dice que son equivalentes si el conjunto de raíces coincide.
Hay varias formas de clasificar las ecuaciones (Martín et al., 2000, p. 2):
• Según el número de incógnitas.
• Según el número de soluciones.
33
• Según la naturaleza de la expresión que figura en la función.
Dentro de esta última clasificación, tenemos (Martín et al., 2000, p. 3):
• Ecuaciones algebraicas
o Racionales
▪ Enteras ( )
▪ Fraccionarias ( )
o Irracionales ( )
• Ecuaciones trascendentes ( )
A lo largo de este tema nos centraremos en las ecuaciones algebraicas, que se
definen en el siguiente apartado, en cuanto a cálculo de raíces de forma analítica. Las
ecuaciones trascendentes son todas aquellas que no son algebraicas (Tsipkin, 1985, p.
170) o, lo que es lo mismo, las que contienen al menos una función trascendente
(Navarro et al., 2002, p. 250); por ejemplo, ó .
Estas las trataremos en un caso particular en la resolución de ecuaciones
analíticamente y de forma más amplia en la aproximación numérica de raíces.
4.3. Ecuaciones algebraicas. Cálculo de raíces
Definición (Tsipkin, 1985, p. 150): Una ecuación se dice que es algebraica con
una incógnita si se reduce a la forma:
donde A los términos, , del polinomio se les
llama coeficientes de la ecuación y se consideran dados. A se le llama
incógnita. A lo llamaremos grado de la ecuación.
El siguiente concepto nos ayudará a trabajar con mayor claridad en los siguientes
apartados:
Definición: Sea la siguiente ecuación algebraica:
Llamaremos polinomio asociado a dicha ecuación y notaremos por al
siguiente polinomio:
Llamaremos grado, coeficientes e incógnita del polinomio al grado, coeficientes
e incógnita de la ecuación asociada.
34
Es obvio que las raíces o cero del polinomio asociado, que coinciden con las del
polinomio asociado, son los puntos en los que la gráfica de la función polinómica corta
el eje de abscisas.
Un resultado importantísimo para el desarrollo del tema será el Teorema
Fundamental del Álgebra, en el que se basa la existencia de raíces de la ecuación
algebraica (Tsipkin, 1985, p. 136):
Teorema (Fundamental del álgebra): Cualquier polinomio de grado con
coeficientes complejos tiene exactamente raíces en el cuerpo de los números
complejos, si cada raíz múltiple se cuenta tal número de veces.
Esto implica, a su vez, el siguiente corolario (Tsipkin, 1985, p. 136):
Corolario: Cualquier ecuación algebraica de grado con coeficientes reales
tiene, a lo sumo, raíces en el cuerpo de los números reales.
Demostración:
Inmediata teniendo en cuenta que .
Tenemos ahora el siguiente corolario inmediato (Tsipkin, 1985, p. 136):
Corolario: Si el grado de una ecuación con coeficientes reales es impar, tiene al
menos una raíz real.
Demostración:
En el caso de una ecuación con coeficientes reales, si un complejo es
solución, su conjugado también es solución. Luego, como las raíces de
los complejos se presentan solo de dos en dos, debe haber alguna raíz real.
Una de las formas de clasificar las ecuaciones algebraicas es según su grado.
Resolvamos ahora por métodos algebraicos las ecuaciones de grado 1, 2, 3 y 4:
Ecuación de primer grado o lineal
Siempre se puede escribir de la forma
con , . La única solución de la ecuación es, trivialmente, .
35
Ecuación de segundo grado o cuadrática (Martín et al., 2000, p. 3)
Las ecuaciones de segundo grado son de la forma:
Con . Multiplicamos ambos lados de la expresión por y sumamos y restamos :
En el último paso hemos usado la igualdad notable
Despejando en la última igualdad, tenemos la siguiente expresión de la
solución:
Ecuación de tercer grado
Estas fórmulas que vamos a obtener son muy complicadas de manejar y, en
general, poco útiles e inusuales, pero es interesante saber que existen y los
rudimentos de su obtención.
Antes de empezar, enunciemos el siguiente teorema:
Teorema (Factorización): Si es la raíz del polinomio , de grado , se tiene
que se divide entre el polinomio lineal , es decir, que podemos
representar a de la siguiente forma:
con un polinomio de grado .
A cada lo llamaremos binomio solución respecto de (Tipskin, 1985, p.
133-134).
Escribiremos las ecuaciones de tercer grado, sin pérdida de generalidad, como:
Con . Si la ecuación no fuese mónica (el coeficiente del monomio de mayor grado es
1), bastaría con dividir la ecuación al completo por el coeficiente del monomio de
mayor grado.
36
Antes de encontrar las raíces de esta ecuación, enunciemos y demostremos el
siguiente teorema (Ecuaciones. Resolución de ecuaciones. Aproximación numérica de
raíces, 2005, p. 7-8):
Teorema (Fórmulas de Cardano-Vieta): Dada una ecuación algebraica
con cuyas raíces son , si cada raíz
múltiple se cuenta tal número de veces, se verifica:
Demostración:
Tenemos que la ecuación factoriza como el producto de los binomios
correspondientes a cada raíz, luego:
con .
Si desarrollamos el segundo miembro, tenemos:
Comparando ahora los coeficientes, obtenemos las igualdades del enunciado.
Volvemos ya a la búsqueda de raíces de la ecuación de tercer grado (Navarro et
al., 2002, p. 253-254). Lo primero que haremos será realizar el cambio
37
Sea y por lo que la ecuación queda
Realicemos ahora el cambio de variable
desarrollando obtenemos:
Como variando los valores de y , cualquiera que sea la suma , siempre
es posible fijar , tomemos , lo que implica que . Entonces:
Usando ahora las fórmulas de Cardano-Vieta, vemos que y son raíces de la
ecuación:
Como es una ecuación de segundo grado, podemos calcular sus raíces y, por
tanto:
Tenemos entonces que:
38
Por otro lado, recordemos que , luego:
Ya solo queda recordar que y
Solo quedaría sustituir los valores. Las tres soluciones de la ecuación vienen dadas por
la expresión:
que se resuelve con ayuda de análisis complejo.
Ecuaciones de cuarto grado (Navarro et al., 2002, p. 254-255)
La forma general, sin pérdida de generalidad, será:
Con . Para ecuaciones no mónicas, igual que hemos razonado anteriormente,
dividiremos la ecuación al completo entre el coeficiente del monomio de mayor grado.
Para obtener las raíces de dicha ecuación seguiremos el siguiente procedimiento:
39
Sumamos ahora a los dos miembros:
Si volvemos a sumar a ambos miembros , obtendremos
En el segundo miembro tenemos un trinomio de segundo grado. Elijamos tal
que este trinomio sea el cuadrado de un binomio de primer grado. Para que esto
ocurra, se debe cumplir:
Luego
de donde
Se verifica, por tanto, que el discriminante de la ecuación de segundo grado debe
dar cero, o sea, que
Luego debemos elegir de la forma
para que la primera parte de la ecuación sea un cuadrado perfecto.
Operando en la igualdad anterior, tenemos que:
que es una ecuación de tercer grado, que antes hemos visto cómo resolverla.
Ecuaciones de grado mayor que cuatro
Los métodos de solución de las ecuaciones cuadráticas y lineales se conocían
desde la época egipcia, pero no fue hasta el siglo XVI que se descubrieron los métodos
de solución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado. Desde entonces se sucedieron
las tentativas para hallar fórmulas que expresaran las raíces de cualquier ecuación de
40
quinto grado a través de sus coeficientes. A principios del siglo XIX, Abel demostró que
tales fórmulas no existen (Martín et al., 2000, p. 2).
Conocer la naturaleza de las raíces antes de intentar encontrarlas es interesante:
una ecuación con coeficientes reales puede tener raíces reales y complejas, y las
reales, a su vez, pueden ser naturales o racionales.
Tenemos entonces que, ante la inexistencia de las fórmulas para la obtención de
raíces de cualquier ecuación de quinto o mayor grado, cabe preguntarse si existe algún
resultado que nos pudiera ayudar a resolver ecuaciones de grado mayor a cuatro.
Antes de explorar esa materia, es importante señalar un caso particular de las
ecuaciones con raíces enteras: las que tienen como solución a . En este caso la
reducción a una ecuación de grado menor es muy sencilla porque, por el teorema de
factorización que hemos enunciado anteriormente, tenemos que el polinomio de
grado , si se encuentra en esa situación, cumplirá lo siguiente:
con la multiplicidad de la raíz y un polinomio de grado .
El teorema más importante en cuanto a solución de ecuaciones con raíces
racionales es el siguiente (Ecuaciones. Resolución de ecuaciones. Aproximación
numérica de raíces, 2005, p. 8):
Teorema (de Gauss): Sea una ecuación algebraica
con coeficientes enteros. Sea es una raíz fraccionaria irreducible,
entonces divide al primer coeficiente de la ecuación, , y divide al término
independiente,
Demostración:
Sustituimos la raíz en la ecuación anterior:
de donde se deduce las dos igualdades siguientes:
Esto implica que, como y son números enteros, entonces:
41
y
son enteros y, al ser y primos entre sí, por ser una fracción irreducible,
tenemos que divide a y que divide a
De este teorema, se obtiene el siguiente corolario inmediato:
Corolario: Sea una ecuación algebraica
con coeficientes enteros. Entonces:
o Las raíces enteras se encuentran entre los divisores del término
independiente.
o Si , la ecuación no tiene raíces fraccionarias.
Demostración:
Para la primera afirmación, supongamos que es una raíz de la
ecuación. Tenemos entonces, por el Teorema de Gauss que acabamos de
demostrar, que divide a , que se da siempre, y que divide a , que es lo
que queríamos demostrar.
Para la segunda afirmación, supongamos que es solución de la
ecuación. Esto implica que . Luego, por el Teorema de Gauss, ha de
darse que divide a , pero como esto se da si y solo si , lo
que sería una contradicción.
Este resultado nos proporciona una forma fácil y rápida de calcular todos los
candidatos a raíz racional de la ecuación. Esto podría ser de utilidad cuando
intentamos resolver ecuaciones de grado mayor que cuatro: si estas tienen raíces
racionales, debe estar entre las candidatas. Bastaría con sustituirlas para comprobar
cuáles son raíz. Una vez hecho esto y dado el resultado siguiente, el problema de
encontrar las raíces de la ecuación se reduciría a encontrar las raíces de una ecuación
de menor grado, tras reducir el grado de la primera dividiéndola por el binomio
correspondiente.
Ese proceso de dividir por el binomio correspondiente, en el caso de raíces
enteras o fraccionarias, se puede hacer de manera inmediata por el método de Ruffini,
que nos proporciona un algoritmo muy rápido y sencillo.
42
Casos particulares de ecuaciones con grado mayor que cuatro y ecuaciones
trascendentales
Hay un par de casos particulares de ecuaciones de grado mayor que cuatro que
merece la pena resaltar:
o Ecuaciones binómicas: ) (Tsipkin, 1985, p. 154)
Lo primero que hacemos es la siguiente sustitución:
La resolución de la ecuación se reduce ahora a calcular las raíces de
Estudiemos dicha ecuación por partes:
• , con impar
Tiene una raíz real
En el conjunto de los números complejos, esta ecuación tiene
raíces (de las cuales una es real y son complejas):
• , con par
Tiene dos raíces reales
En el conjunto de los números complejos, esta ecuación tiene
raíces:
• , con impar
Tiene una raíz real
En el conjunto de los números complejos, esta ecuación tiene
raíces:
• , con par
No tiene raíces reales.
43
En el conjunto de los números complejos, esta ecuación tiene
raíces:
Ya solo quedaría deshacer el cambio de variable y tendríamos las raíces
correspondientes de la ecuación primigenia.
o Ecuaciones del tipo: (Tsipkin, 1985,
p. 156)
Estas ecuaciones se reducen a hacer la sustitución , resolver la
ecuación cuadrática asociada y revertir posteriormente
la sustitución como hemos visto en el apartado anterior. Para el caso ,
se dice que la ecuación es bicuadrada.
o Ecuaciones que pueden reducirse a la forma:
Las soluciones de las ecuaciones de este tipo son exactamente las mismas
que las de la ecuación
Así que, pese a que la ecuación es trascendente, podríamos afrontar la
búsqueda de soluciones con la ecuación algebraica anterior y los métodos
que ya hemos estudiado.
4.4. Acotación de las raíces reales de una ecuación algebraica
A veces es necesario usar algún método que nos acote las raíces y, de esta
forma, simplificar el problema de encontrar las soluciones de una ecuación. Las raíces
enteras y fraccionarias se suponen obtenidas, pero ahora necesitamos ayudarnos en la
acotación para encontrar las irracionales.
Definición: Diremos que las raíces de una ecuación están acotadas si, siendo
con las raíces de la ecuación, se tiene que existen
tales que
A la llamaremos cota inferior y a cota superior (Martín et al., 2000, p. 4).
44
Encontrar un intervalo en el que se concentren todas las raíces de una ecuación
nos vendrá bien cuando intentemos encontrarlas a partir de métodos numéricos, por
ejemplo. Hay varios resultados a este respecto:
4.4.1. Método de Laguerre.
Teorema (Martín et al., 2000, p. 5): Si es un polinomio de grado con
coeficientes reales, y sea la ecuación
Si para se tiene que, al dividir entre , obtenemos que el
resto y los coeficientes del polinomio cociente pertenecen también a
(alguno distinto de cero), entonces es cota superior.
Demostración:
Si realizamos dicha división, obtenemos:
Ahora, como 0, para , tenemos que, para todo ,
se tiene que:
Luego para todo . Luego, ningún número mayor que es raíz
y, por tanto, es cota superior de las raíces de la ecuación.
4.4.2. Método de Newton para la acotación
Teorema (Martín et al., 2000, p. 6): Sea es un polinomio de grado con
coeficientes reales, y sea la ecuación
Si es tal que para , donde representa la
derivada -ésima del polinomio (con ), se tiene que es una cota
superior de las raíces de la ecuación.
Demostración:
Por Taylor, vemos que podemos reescribir el polinomio de la siguiente forma:
45
Ahora se tiene que, si , y, por hipótesis,
, luego . Entonces es cota superior de las raíces.
Nótese que del enunciado del teorema se infiere que el coeficiente del monomio
de mayor grado del polinomio debe ser positivo, ya que debe ser positivo. Es
fácil ver que usando este mismo procedimiento con , y se
obtendrán, respectivamente, una cota inferior de las raíces, una cota inferior de las
positivas y una superior de las negativas (Ecuaciones. Resolución de ecuaciones.
Aproximación numérica de raíces, s.f., p. 19).
Ejemplo: Tomemos la ecuación:
Considerando el polinomio, vemos que:
Para y , comprobamos que ya cumple el requisito, pero para no,
luego no podemos afirmar que sea cota superior. Sí lo cumplirá tanto , como
y , luego hemos obtenido que es cota superior. Consideremos ahora :
Tenemos ahora que sigue sirviendo para y pero no para . Para
la segunda derivada sí es positiva, pero no lo es para la primera. Para la primera derivada sí es positiva, pero no lo es el polinomio original, . Finalmente, comprobamos que para se cumple en todas, luego es una cota inferior.
Consideremos ahora :
46
Y, siguiendo el mismo proceso que antes, llegamos a la conclusión de que para
se cumple, luego es una cota inferior de las raíces positivas, lo que
nos indicaría que no existen raíces positivas, dado que deben estar en el intervalo
[1,1]= , pero, como es fácil comprobar, no es solución de la ecuación.
Siguiendo el mismo procedimiento con , obtenemos:
Y vemos que se cumple el requisito para , luego es cota superior
de las raíces negativas de la ecuación.
En resumen, obtenemos que las raíces de la ecuación son todas negativas y que
están en el intervalo . Usando, por ejemplo, WolframAlpha, comprobamos
que las únicas raíces reales de la ecuación son y .
Observamos claramente que hay cotas mucho mejores; podríamos haber afinado
mucho más.
El siguiente paso es determinar cuántas raíces reales hay en los intervalos
obtenidos en el método anterior, para luego proceder a calcularlas, si es que las hay,
con ayuda de los métodos numéricos.
4.4.3. Regla de los signos de Harriot-Descartes
Teorema (Ecuaciones. Resolución de ecuaciones. Aproximación numérica de
raíces, s.f., p. 23): Sea es un polinomio de grado con coeficientes reales,
y sea la ecuación
47
La ecuación no puede tener más raíces positivas que el número de cambios de
signos en la expresión de , y no puede tener más raíces negativas que el número
de cambios de signo que haya en Además, el número de raíces en cada caso
debe ser congruente módulo dos con el número de cambios de signo respectivos.
Ejemplo (D’Andrea, 2006, p. 8): Del teorema se deduce que
con , tiene a lo sumo una raíz positiva y, además, una, tres o ninguna
negativa:
• Raíces positivas: para todo se tiene que hay un único
cambio de signo, luego la función tiene, a lo sumo, una raíz positiva.
• Raíces negativas: para todo se tiene que
, luego la función tiene una, tres o
ninguna raíz negativa (no puede tener dos raíces dado que no sería
congruente módulo dos con tres).
4.4.4. Teorema de Budan-Fourier.
Es una generalización de la regla de Harriot-Descartes, que implica los signos del
polinomio y sus derivadas para estudiar la cantidad de raíces reales entre un intervalo
. Budan lo demostró en 1822 y Fourier en 1831, independientemente (Martín et
al., 2000, p. 7). Tenemos que definir antes un par de conceptos:
Definición (Martín et al., 2000, p. 7): Dada una sucesión finita de números
reales, , llamaremos número de variaciones de signo de la
sucesión y lo denotaremos por a la cantidad de cambios en el
signo de la secuencia.
Definición (Martín et al., 2000, p. 7): Sea un polinomio de grado con
coeficientes reales y . Definimos
o sea, es la variación de signos del valor y sus derivadas en
Teorema (de Budan-Fourier) (Martín et al., 2000, p. 8): Sea es un
polinomio de grado con coeficientes reales, y sean dos números
48
reales que no son raíz del polinomio. Entonces el número de raíces reales de
contando la multiplicidad es menor o igual a , y es
congruente módulo dos a ese número.
Ejemplo: Sea . Se tiene que:
Si evaluamos ahora para
, obtenemos que:
❖ Para
❖ Para
❖ Para
❖ Para
Luego, , . Y, por tanto, obtenemos que
hay exactamente una solución en y , y que en hay una o tres
soluciones.
4.5. Aproximación de las raíces reales de una ecuación
Como habíamos comentado previamente, en este apartado consideraremos en
igualdad de condiciones a las ecuaciones algebraicas y las trascendentes. A lo largo de
esta sección, nos basaremos fundamentalmente en Parés (2016).
4.5.1. Método de dicotomía
Supongamos que queremos resolver la ecuación
y que sabemos que es continua y tiene una única raíz, , en el intervalo .
Supongamos además que
49
es decir, que los valores de la función en y en tienen distinto signo (que, por
el Teorema de Bolzano, es una condición suficiente, aunque no necesaria, para que
tenga un cero en dicho intervalo).
El algoritmo es el siguiente:
• Sean y .
• Para , calculamos
o Si , entonces y se detiene el algoritmo.
o Si , definimos:
o En otro caso, definimos:
• Volvemos al paso anterior.
Veamos los siguientes resultados relativos a este método:
Teorema: Si es la sucesión generada por el método de dicotomía para
resolver una ecuación
que cumple que y es la única solución de en el intervalo
, entonces
Demostración:
Por construcción del algoritmo, genera una sucesión de segmentos
tales que
o ;
o ;
o .
A partir de la segunda propiedad, tenemos que, en particular:
Comprobemos por inducción que :
50
Por otro lado, como para todo , y es el punto medio de esos
intervalos, tenemos que la distancia entre y debe ser menor que la mitad
del intervalo, es decir,
Si usamos ahora la propiedad que acabamos de demostrar, tenemos que
Esto implica que
o lo que es lo mismo:
Que es lo que queríamos demostrar.
Obsérvese que, si el algoritmo es finito, o sea, si existe tal que , la
demostración sería igualmente válida, con , para .
Acabamos de demostrar que el algoritmo o bien nos permite encontrar la
solución en un número finito de iteraciones, o bien nos proporciona una sucesión que
converge hacia la solución.
Estudiemos este otro resultado:
Teorema: Sea Si es la sucesión generada por el método de
dicotomía para resolver una ecuación
que cumple que es la única solución de en el intervalo
, y se cumple que
entonces .
Demostración:
51
Si tomamos tal que
y usamos la propiedad probada en la demostración anterior,
tenemos, trivialmente, que
Despejemos ahora de la inecuación que nos propone el teorema, y
comprobemos que, efectivamente, dicho cumple la primera inecuación de
esta demostración:
El primer teorema nos ha demostrado que es un método seguro y el segundo nos
da una cota de error que nos dice cuántas iteraciones son necesarias para asegurar
una precisión dada. Sin embargo, este método no siempre se puede aplicar ya que la
función debe tener un cambio de signo en un intervalo en el que esté la raíz, y esto es
algo que no siempre sucede (por ejemplo, la función tiene una única raíz,
pero es positiva para todo ) y, por otro lado, este método es muy lento en
comparación con otros métodos que veremos posteriormente.
Ejemplo: Aproximar la solución de en el intervalo con un error
menor a :
Sea .
Primero, tenemos que .
Como queremos que la solución tenga un error menor a , el número de
iteraciones deberá cumplir:
52
Luego, para , tendremos una aproximación de la solución de la ecuación
en dicho intervalo con un error menor a . Apliquemos el algoritmo:
❖ y
❖ y
❖ y
❖ y
❖ y
Podríamos seguir, pero hemos alcanzado el error que nos precisaban. Luego, la
aproximación de la solución sería 0’65625.
4.5.2. Método de Regula-falsi o de la falsa posición
La lentitud relativa del método anterior se explica por el hecho de que utiliza
muy poca información sobre la función de la que estamos buscando las raíces: en cada
iteración lo único que utilizamos es el signo de los valores de la función en los
extremos del intervalo. Si estamos en las condiciones de usar el método anterior y,
además de la información en los extremos que acabamos de describir sabemos que
53
entonces es más probable que la raíz esté más cerca de que de . Si el signo
estuviera al contrario, sacaríamos la misma conclusión pero intercambiando las letras.
Esa es la motivación del método que vamos a estudiar.
El único cambio es en el cálculo de : antes tomábamos como el punto medio
del intervalo . Ahora intentaremos ser más precisos tomando como el punto
de corte con el eje de la recta que pasa por los puntos y , que es
la siguiente:
Si queremos tomar como el corte con el eje , se debe verificar:
Despejando:
El algoritmo sería el siguiente:
• Sean y .
• Para , calculamos
o Si , entonces y se detiene el algoritmo.
o Si , definimos:
o En otro caso, definimos:
• Volvemos al paso anterior.
54
Tenemos que, igual que antes, , luego . Pero en
este método, a diferencia del anterior, no es posible encontrar una fórmula fácil para
la longitud del intervalo. Por tanto, si queremos una solución con un error menor a ,
no se puede saber a priori el número de iteraciones que se precisan, aunque en cada
iteración se podría comprobar si se verifica
y, en caso afirmativo, detener el método.
De todas formas, test de parada hay muchísimos: podríamos parar cuando la
diferencia entre una aproximación y la siguiente es menor que un cierto parámetro, o
cuando esté lo suficientemente cerca de cero.
Cabe destacar que, si la función es una recta que corta el eje x una sola vez, el
método nos devuelve la solución exacta con una iteración. Aunque parece lógico que
el método es más rápido cuanto la función más se asemeje a una recta, si, por
ejemplo, cerca de uno de los valores extremos del intervalo la función decrece mucho
más rápido que en el entorno del otro extremo, puede ocurrir que el primer método
sea más rápido.
Ejemplo: Aproximar la solución de en el intervalo
Sea
Primero, tenemos que .
Apliquemos el algoritmo:
❖ y
❖ y
55
❖ y
❖ y
❖ y
Podríamos seguir, pero en la cuarta iteración tenemos que:
que son dos factores muy favorables como para concluir que es una muy buena
aproximación, a pesar de que el posible error que tenemos es aún muy alto.
4.5.3. Método de la secante
El método de la secante es casi idéntico al de regula falsi, salvo por el detalle de
que no se tiene en cuenta el signo de la función para estimar el siguiente punto. Esto
mejora la rapidez en la convergencia, sin embargo, hace que esta sea más incierta.
El algoritmo sería el siguiente, tomando como única condición que tenga
una única raíz en :
• Sean .
56
• Para , calculamos
o Si o no pertenece al dominio de se
detiene el algoritmo.
o En otro caso, se calcula
o Si , entonces y se detiene el algoritmo.
• Volvemos al paso anterior.
Respecto a este método, se puede demostrar que si la función es derivable y la
raíz que se busca es simple, es decir
entonces, tomando y suficientemente próximos a , el método genera una
sucesión que converge hacia .
4.5.4. Método de Newton o de la tangente
El método de Newton parte de una idea geométrica muy parecida a la de la
secante, pero en vez de utilizar las rectas secantes a la gráfica para aproximarla, se
usan rectas tangentes. Para poder usar la recta tangente, la gráfica debe ser derivable
y con derivada distinta de cero en los sucesivos puntos.
Supongamos una función con una única raíz en el intervalo . El
algoritmo sería el siguiente:
• Sean .
• Para , calculamos
o Si no es derivable en , o no pertenece al
dominio de se detiene el algoritmo.
o En otro caso, se calcula
o Si , entonces y se detiene el algoritmo.
• Volvemos al paso anterior.
57
El siguiente teorema, que impone tres condiciones más a la función y una a (la
semilla), nos asegura que la sucesión que nos proporciona el método está bien
definida y que converge a la raíz de la función:
Teorema: Sea Supongamos que:
1.
2. para todo
3. para todo .
Entonces, dado tal que , la sucesión dada
por:
está bien definida y converge hacia la única raíz de en .
Demostración:
De la primera hipótesis obtenemos que existe una raíz entre y . De la
segunda condición, que implica que es estrictamente monótona, obtenemos
que la raíz es única.
Veamos más detalladamente esto último: como en todo el intervalo,
implica que, o bien
y la función es estrictamente creciente, o bien
y la función es estrictamente decreciente.
Razonando igual para la segunda derivada, tenemos que o bien
y la función es estrictamente convexa, o bien
y la función es estrictamente cóncava.
Vamos a hacer la demostración para funciones estrictamente crecientes y
convexas. La prueba es similar en el resto de casos.
58
Suponemos entonces que:
y .
Tomamos tal que , lo que implica en este caso que
. Como es estrictamente creciente, equivale a decir que tomamos
en el intervalo .
Vamos a probar por inducción:
lo que implica en particular que para todo . Por otro lado,
la división entre no atañe problemas dado que nunca se anula por
hipótesis. Estas afirmaciones demostrarían que la sucesión está bien definida.
Para , la desigualdad es trivialmente cierta. Supongámosla para y
estudiemos :
Ahora tenemos que , por ser y creciente. Además,
. Por tanto,
o, equivalentemente
Pero, por hipótesis , luego
Por otro lado:
Por otro lado, usando el Teorema de Taylor se obtiene que existe tal
que:
Si sustituimos en la anterior igualdad, obtenemos:
59
Por hipótesis tenemos que todas las derivadas primeras y segundas en el
intervalo son positivas. Por tanto:
es decir
lo que prueba la segunda desigualdad y completa la demostración.
Hemos demostrado que la sucesión está bien definida, pero también
hemos demostrado en el transcurso que es decreciente ( y que está
acotada ( es cota inferior y superior). Por tanto, es convergente.
Si es su límite, tomando límites en la definición deducimos:
igualdad que sólo se dará si . Como tiene una única raíz ,
necesariamente . Luego acabamos de demostrar que la sucesión
converge hacia .
Sirviéndonos de los cálculos de la demostración anterior, podemos probar con
facilidad el siguiente resultado, que nos da dos cotas de la sucesión:
Teorema: Sea Supongamos que:
1.
2. para todo
3. para todo .
Entonces, dado tal que , y siendo la sucesión
definida por:
tenemos que:
I.
60
II.
con , , .
Demostración:
Demostración de I:
En la demostración del teorema anterior, del que partimos de las mismas
hipótesis, obtuvimos la siguiente igualdad:
Tomamos valor absoluto a ambos lados de la igualdad y, trivialmente:
Demostración de II:
Demostraremos esta desigualdad por inducción. Para :
Para el último paso solo hay que tener en cuenta que , luego la
distancia entre estos dos puntos debe ser menor que la distancia total del
intervalo.
Supongamos ahora la cota cierta para y vamos a probarla para .
Partiremos de la desigualdad que hemos demostrado en el primer apartado:
como queríamos probar.
Ejemplo: Aproximar la solución de en el intervalo con un error
menor a
Sea
61
Por un lado, tenemos que:
para todo
para todo .
Entonces, por el primer teorema que hemos demostrado, si tomamos
tal que , la sucesión dada por el método de Newton está bien
definida y converge hacia la única raíz de en .
Tomamos , que cumple la condición.
Por otro lado, tenemos que
con
Luego,
Como nos piden que debe darse que
Luego con tres iteraciones ya alcanzaríamos la precisión que nos piden.
Hagamos el método:
❖
❖
62
❖
Por tanto, la aproximación que nos pedían es 0.64119.
63
5. Fundamentación Didáctica
En esta sección intentaremos, mediante el estudio de diferentes artículos
relacionados con nuestra temática, ahondar en Didáctica de las Matemáticas. En
nuestro caso particular, nos centraremos en algunas investigaciones sobre la
enseñanza y el aprendizaje de las ecuaciones lineales. Hemos seleccionado cuatro
artículos: Otten et al. (2019), Arroyo (2014), Caglayan & Olive (2010) y Ronda (2009).
Por motivos de espacio, solo analizaremos en profundidad los artículos Otten et al.
(2019) y Arroyo (2014). El motivo de elegir estos y no los otros dos es, por un lado,
porque Otten et al. (2019) es el más general, valorando más cursos a la vez, y porque
Arroyo (2014) se centra en un grupo muy concreto, pero de manera muy profunda. Los
otros dos artículos, que no dejaremos de recomendar y que reseñaremos un poco más
adelante, pueden servir de ampliación de lo que se estudia en los dos primeros.
Antes de comenzar el análisis de estos artículos, resaltamos que, cuando
hablamos en los artículos de 7º, 8º y 9º curso, en España serían el equivalente a 1º, 2º
y 3º de la ESO.
En el primero (Otten et al., 2019) se realiza una revisión sistemática de la
literatura respecto al uso del modelo de la balanza para enseñar ecuaciones lineales. El
interés en este artículo radica en que trata el uso de una herramienta a lo largo de
varios cursos; entre ellos, 2º de la ESO, que es el curso en el que recae el aprendizaje
de la mayor parte del contenido de este trabajo. Esta perspectiva tan amplia permite
hacernos una idea sobre cómo se usa esta herramienta en cursos anteriores y puede
ser de utilidad en la docencia de las ecuaciones, dado que en este nivel los estudiantes
no tienen casi ninguna experiencia anterior con el álgebra, por lo que introducirlas con
un concepto que sí han manejado puede ser resultar satisfactorio.
El segundo artículo (Arroyo, 2014) estudia las dificultades de alumnos de octavo
de un colegio de Heredia, Costa Rica, durante la enseñanza de problemas que implican
el uso de ecuaciones lineales. El interés en este trabajo radica en que pone el foco
directamente sobre el curso en el que se centra este trabajo y en una parte de los
contenidos que estamos tratando a lo largo de este Trabajo Fin de Máster. Conocer los
problemas de algunos alumnos a este respecto y cómo afrontarlos es parte
fundamental del buen hacer didáctico y, a pesar de haberse realizado a un número
pequeño de alumnos, se logran apreciar grandes diferencias.
El tercer trabajo es Eighth grade students’ representations of linear equations
based on a cups and tiles model (Caglayan & Olive, 2010) y en él que se estudia el uso
por parte de alumnos de 8º grado del modelado de ecuaciones de primer grado
mediante círculos y cuadrados. Dichas figuras, además, se representan de diferente
64
color según se refieran a valores positivos o negativos. Este estudio puede ser un
complemento interesante de Otten et al. (2019). Se podría, por ejemplo, comparar la
efectividad de ambos modelos.
El cuarto es Growth points in students’ developing understanding of function in
equation form (Ronda, 2009), en el que se analiza el aprendizaje de las ecuaciones por
parte de alumnos de 8º, 9º y 10º grado. El marco teórico consiste en puntos de
crecimiento (growth points) que los alumnos van alcanzando durante el estudio de la
materia, con el objetivo de crear un camino hacia la generalización y abstracción.
Conocer dichos puntos o hitos del aprendizaje de ecuaciones puede ser importante
para mejorar el rendimiento de los alumnos con dificultades, como los que señala
Arroyo (2014).
5.1. Primer artículo
Este primer artículo que vamos a tratar, The balance model for teaching linear
equations: a systematic literatura review (Otten et al., 2019), es una extensa revisión
de literatura sobre el modelo de la balanza, muy utilizado para introducir los conceptos
relacionados con las ecuaciones. El artículo expone que muchos alumnos en vez de
percibir el signo igual como una relación entre ambas partes, lo entienden como un
símbolo que te hace “hacer algo” o “calcular la solución” sin entender muy bien el
porqué.
Tal y como indica el artículo, el modelado es una de las maneras en las que se
puede favorecer el aprendizaje de algunos conceptos, induciendo formas de pensar en
conceptos abstractos (Warren & Cooper, 2009). En el objeto concreto de nuestro
estudio, el modelo de la balanza, por su diseño y forma, sirve para modelar la situación
en la que dos expresiones tienen el mismo valor.
El objetivo de este trabajo de investigación trata de responder a la siguiente
pregunta: ¿qué rol juega el modelo de la balanza en los estudios sobre la enseñanza de
la resolución de ecuaciones lineales? Para ello, analizan por qué, qué tipos y cuándo se
utilizan, y qué resultados se relacionan con dicho uso.
A lo largo del artículo se examinan 34 artículos de 22 revistas diferentes. La
investigación no pone ningún límite geográfico ni temporal a la hora de escoger los
artículos, y abarcan desde preescolar hasta noveno grado (correspondiente a 3º de la
ESO). Del curso en el que se centra este trabajo, 8º grado, contamos con nueve de
estos artículos; convirtiéndose así en el curso tratado en más artículos diferentes de
esta compilación. Los siguientes cursos escolares más tratados serían 6º y 7º grado,
que están involucrados en siete artículos cada uno.
65
¿Por qué se utiliza el modelo?
En 26 de los artículos estudiados en esta investigación se dan razones para usar
el modelo de la balanza. Estas se clasifican en tres grandes grupos:
• La razón que aparece en más artículos es la relacionada con el concepto de
igualdad, siendo 15 los trabajos que la consideraba. En varios se afirma que
el modelo es adecuado para demostrar la idea de igualdad o equilibrio y
para mejorar el entendimiento del símbolo “=” como representación de la
igualdad entre los dos miembros. También se describe el modelo
frecuentemente como adecuado para explicar la estrategia de “hacer lo
mismo” en los dos lados de la ecuación, así como la cancelación; además de
ser útil para mantener en cada paso la relación numérica entre ambos
miembros mientras realizamos operaciones para transformarlos.
• El segundo grupo a tratar es el de las razones relacionadas con las
experiencias físicas, que está presente en 11 artículos. Muchos de los
trabajos involucrados hacían referencia a experiencias previas con el
concepto de equilibrio, algunos argumentando que mantener el equilibrio es
algo básico en nuestra biología, mientras que otros hacían referencia a
experiencias concretas, como la relación con el comportamiento de un
balancín. Algunos señalan la importancia que tiene el movimiento para
desarrollar modelos matemáticos mientras otros argumentaban que utilizar
modelos manipulables tiene la función de encontrar sentido a lo que se
hace. No obstante, algunos aconsejan cautela, ya que no todos los alumnos
conectan inmediatamente la manipulación en el modelo con los conceptos
matemáticos abstractos, teniendo en cuenta que el modelo representa un
paso intermedio entre ambos. Respecto a esto, Fyfe et al. (2015)
recomienda una secuencia didáctica en la que lo concreto se vaya diluyendo.
• La tercera clase de razones son las relacionadas con el aprendizaje a través
de modelos y representaciones, que aparece reflejado en 8 artículos. En este
grupo las razones son siempre generales, refiriéndose a los estudios sobre
este respecto de manera abstracta, sin concretar.
Cabe destacar que en ocho artículos se mencionan diferentes limitaciones del
modelo, como la dificultad para representar ecuaciones con números negativos o
sustracciones.
¿Qué tipos de modelo se utilizan?
Clasificaremos los modelos en tres grupos:
• Modelos físicos: son aquellos con los que se puede interactuar en clase. 14
artículos se refieren a ellos. Dentro de estos, el más usual es el de una
66
balanza normal, con dos platillos y el fulcro entre estos. También aparecen
otros más complejos con el objetivo de representar números negativos en
Orlov (1971), en el que se utiliza una balanza conectada a dos balanzas, o
como el de Perry et al. (1995), en el que es la distancia al centro de la
balanza la que representa el peso (Figura 7).
Figura 7: A la izquierda, el modelo de Orlov (1971), a la derecha,
el de Perry et al. (1995).
• Modelos virtuales: aparecen en tres artículos. Los modelos en este caso
cumplen una función similar a los de tipo físico, aunque el entorno virtual
aumenta las posibilidades, como en Figuera-Sampaio et al. (2009), en el
que aparece la ecuación correspondiente al estado de la balanza en cada
momento (Figura 8).
Figura 8: Modelo de Figuera-Sampaio et al. (2009).
• Modelos dibujados: aparecen en 26 artículos. Algunos de ellos cuentan con
un dibujo muy realista mientras que otros son mucho más esquemáticos,
siendo algunos muy abstractos. Algunos de estos últimos incluyen
directamente en el esquema el signo “=”. Entre los modelos dibujados
encontramos otros recursos que no aparecen en los otros: dos tipos de
colores diferentes para el signo de los números, descomposición en los
miembros para inducir más fácilmente las operaciones
( , en Linchevski & Herscovic (1996)),
representación de los cambios con flechas (Figura 9), etc. Este último
67
modelo se usa, mayoritariamente, en los artículos que trabajan con
alumnos de educación secundaria.
Figura 9: Modelo de Marschall & Andrews (2015).
¿Cuándo se utiliza?
El artículo analiza cuándo se utiliza el modelo de la balanza respecto a tres
parámetros:
• Respecto al curso y la duración: observamos que entre prescolar y 6º grado
se utiliza para realizar un primer encuentro con el álgebra, mientras que
con los estudiantes de educación secundaria se utiliza como herramienta
para resolver ecuaciones o ilustrar la regla de la suma (Alcaide et al., 2016,
p.120)1. En cuanto a la duración, varía mucho: algunos artículos abarcan
una única actividad mientras otros integraban el modelo durante varios
cursos.
• Respecto del tipo de problemas con ecuaciones: podemos distinguir desde
un uso asistencial para resolver problemas simples de adición (8=__+13,
Leavy et al. (2013)) en los cursos más bajos, hasta su uso para introducir el
método de la sustitución para resolver sistemas de ecuaciones.
• Finalmente, respecto al tipo de instrucción: también es muy variable:
desde instrucción directa en clase (Warren & Cooper, 2009) hasta hojas
instructivas respecto al modelo (Ngu, Chung & Yeung, 2015), pasando por
el trabajo en pareja (Figueira-Sampaio el al., 2009).
Por último, comentar que en este trabajo de investigación se resalta que, en más
de la mitad de los artículos estudiados y que involucran a alumnos de secundaria, el
modelo de la balanza se utiliza con ecuaciones con valores negativos y sustracciones.
¿Qué resultados se obtienen?
No todos los artículos estudiados, solo 19, evalúan los resultados del uso de este
modelo. Menos de un tercio de los estudios involucrados utilizó pre, post-test y grupo
1 En el artículo se refieren a esta regla como el método de la balanza (balance method).
68
de control. Esto, unido al hecho de que los artículos son muy diferentes entre sí, hacen
complicado obtener conclusiones sobre los resultados, aunque sí es posible identificar
ciertas tendencias: mientras que en alumnos sin experiencia previa en álgebra
(preescolar y primaria) los resultados suelen ser positivos, en alumnos con experiencia
previa (secundaria) los resultados suelen ser negativos.
Una razón podría ser que estos estudios incluyen ecuaciones más difíciles y, por
tanto, más complicadas de modelar con la balanza. Otra podría ser que el método de
resolución que se induce de manera natural a partir del método de la balanza, es el de
la Regla de la suma y del producto, frente al más usual, que es el de transponer los
términos. Respecto a esto, en el estudio se señala que, pese a que la transposición de
términos se induce directamente de la Regla de la suma y del producto, en muy pocos
artículos se hace referencia a la transposición cuando se usa el modelo de la balanza.
Conclusiones
Los autores concluyen que, pese a la variedad de los artículos, se pueden
vislumbrar algunas tendencias generales. Por ejemplo, en preescolar y primaria se
utilizan mayoritariamente los modelos físicos y virtuales, las razones para su uso
suelen estar relacionadas con la igualdad o la experiencia física y los efectos suelen ser
positivos. En los primeros cursos de secundaria, se utilizan sobre todo modelos
dibujados, suelen ser menos explícitos en las razones para utilizarlo y los efectos
suelen ser muy discretos o negativos.
De todas formas, estas tendencias deben tomarse con precaución porque, como
señalan los autores, la muestra es relativamente pequeña, no se han incluido libros de
texto ni se ha comparado con otros modelos.
5.2. Segundo artículo
Este segundo artículo, Dificultades en el aprendizaje de problemas que se
modelan con ecuaciones lineales: El caso de estudiantes de octavo nivel de un colegio
de Heredia (Arroyo, 2014), se trata de una investigación sobre las dificultades que
encuentran los estudiantes de octavo curso durante el aprendizaje de problemas
algebraicos modelados a través de ecuaciones lineales con una incógnita.
Marco teórico
Antes de abordar la problemática, se clasifican distintos temas que delimitan el
aprendizaje de las matemáticas:
• Dificultades en el aprendizaje de la matemática: sigue fundamentalmente
los estudios de Socas (1997) que divide dichas dificultades en cinco
categorías: complejidad de los objetos matemáticos, procesos de
69
pensamiento matemático, procesos de enseñanza, procesos de cognición
de los estudiantes y dificultades asociadas a la actitud afectiva y emocional.
• Efectos de las dificultades en el aprendizaje de la matemática: toma el
estudio de García (1998) que los clasifica por áreas, resaltando la atención
selectiva, la impulsividad y la inconsistencia.
• Errores en el aprendizaje de la matemática: para este apartado volvemos a
tomar los estudios de Socas (1997), que los clasifica en tres vertientes
según su origen: los que provienen de obstáculos, los que surgen por la
ausencia de sentido y los que aparecen por las actitudes afectivas y
emocionales.
• Resolución de problemas algebraicos en la enseñanza de la matemática:
recoge las consideraciones del Ministerio de Educación Pública (2002) y de
Villalobos (2008), que consideran la resolución de problemas como
oportunidades para aplicar los conocimientos matemáticos a situaciones
reales, pudiendo ser una fuente de motivación para el estudiante mientras
se ensalzan los procesos de pensamiento y análisis.
Metodología
La investigación se lleva a cabo dentro del paradigma naturalista (McMillan y
Schumacher, 2008) con el método de estudio de caso grupal (Bogdan y Biklen, 2003).
Otras consideraciones reseñables al respecto son:
• Población y muestra: se escogieron a los seis estudiantes con la menor
puntuación de entre los alumnos de un grupo de octavo de una institución
educativa privada con apoyo del estado.
• Técnicas de recolección de datos: se usaron técnicas diferentes, como el
estudio de documentos (como cuestionarios), la observación (para explorar
el contexto de los alumnos con dificultades, por ejemplo) y la entrevista
(tanto a los alumnos como a la profesora del grupo).
• Captura y análisis de los datos: en las que se usa la comparación constante
y la triangulación.
Análisis de los resultados
Se identifican y analizan los problemas respecto a las siguientes seis temáticas:
• Factores afectivos que interfieren en el aprendizaje de la resolución de
problemas algebraicos
En el cuestionario previo al comienzo del tema se constató que, en líneas
generales, todos los alumnos sentían miedo o aburrimiento respecto a la
70
resolución de problemas. Esto contrasta con el sentimiento de realización y
felicidad cuando consiguen hacer un ejercicio que se desprende del mismo
cuestionario.
En clase se perciben ciertos bloqueos y una predisposición pesimista. “A mí
siempre me han costado las matemáticas” o “me han dicho que esto es
muy difícil” fueron algunos de los comentarios que se escucharon. Algunos
alumnos se pusieron nerviosos a la hora de empezar a resolver los
problemas y se vieron incapaces de afrontarlos al principio.
• Abordaje descontextualizado de la resolución de problemas algebraicos
Aunque el estudio de ecuaciones lineales se presta a la resolución de
problemas contextualizados, el libro de texto y las fichas de trabajo
proporciona problemas muy abstractos en cuanto a las preocupaciones e
intereses de los alumnos. Esto provoca la sensación generalizada de que
todas estas matemáticas que se están aprendiendo no sirven para el
futuro.
Sin embargo, incluir algunos problemas que los alumnos percibían cercanos
se reveló no solo como una medida motivadora, sino como una
herramienta de auto-verificación de los resultados muy efectiva.
En el primero de los problemas, cuya respuesta era el PIN de un móvil, los
alumnos se mostraron muy animados en su resolución. Además, varios
alumnos que habían resuelto mal el ejercicio enmendaron su error debido
a que el número resultante no tenía cuatro cifras, y entendieron así que se
habían equivocado (Figura 10).
Figura 10: Resolución del primer problema por uno de los alumnos. Se
puede observar que el cálculo de la división fue erróneo pero que el
resultado final sí es el correcto.
71
La respuesta al segundo de los ejercicios era la edad del profesor, que
coincidía con la edad real. Uno de los alumnos menos participativos intentó
varias veces el ejercicio solo por ese factor.
• Escasa interrelación entre conceptos matemáticos y contenidos previos
Se pone de manifiesto la poca interrelación de algunos estudiantes con los
contenidos matemáticos que, se supone, ya deben haber aprendido:
algunos no dominan la terminología matemática (no comprenden los
conceptos de aumentar y disminuir), otros muestran dificultades para
traducir frases al lenguaje algebraico y otros muestran problemas con
operaciones básicas (sumar, restar, multiplicar y dividir) (Figura 11).
Figura 11: Resolución de un problema por parte de una alumna: confunde
“el doble de un número” con “el cuadrado de un número” y hace mal la
reducción de monomios.
• Inseguridad de los estudiantes al resolver ejercicios atípicos
Los estudiantes que resolvieron correctamente los ejercicios a veces decían
frases del tipo “no creo que esté bien” o “creo que está mal”. Además,
mostraban desagrado e inseguridad frente a los problemas más atípicos.
En el caso particular de un problema en el que había un dato que no era
necesario para su resolución, se observaron muchos titubeos y errores.
Esto es un signo de la descontextualización del estudio de las matemáticas:
en la vida real se encontrarán constantemente problemas donde una parte
de la información es innecesaria.
• El error y mediación pedagógica como parte del aprendizaje
La docente utiliza los errores que cometen en clase para resolver dudas
entre los estudiantes, aunque algunos de ellos tienden a la dispersión en
esos momentos.
72
• Aprendizaje y diversidad
Aun tratándose de un grupo de alumnos tan reducido, las diferencias entre
ellos fueron notables: algunos se distraían más en clase, pero trabajaban
mucho en casa, otros muy decididos, pero poco reflexivos, otros eran muy
inseguros…
Conclusiones
Algunos de los factores más influyentes han sido los problemas
descontextualizados, el poco dominio de los conocimientos previos, la dispersión
cuando no entienden algo, la deficiencia con ciertos términos algebraicos y la mala
predisposición.
Algunas propuestas didácticas que fueron efectivas para contrarrestar estos
factores fueron contextualizar los problemas, dinamizar la clase, analizar los
problemas, repasar los contenidos previos, considerar varios ritmos de aprendizaje y
utilizar el error.
5.3. Consideraciones finales
Tras el análisis de ambos artículos, respecto a la confección de la unidad
didáctica, tomaremos las siguientes decisiones:
• Introduciremos el método de la balanza para explicar la resolución de
ecuaciones lineales, pero usándola solo como manera de inducir la
transposición de términos. Aunque, como se ve en Otten et al. (2019), los
artículos que trabajan con alumnos de educación secundaria tenían
resultados generalmente negativos, en ninguno se usaba dicho modelo
para inducir la transposición de términos. Creemos que usado de esta
manera el resultado puede ser positivo.
• Tomaremos en consideración las propuestas didácticas que se exponen en
las conclusiones de Arroyo (2014), poniendo especial empeño en la
contextualización de los problemas, que se reveló como una de las
medidas más efectivas para captar la atención del alumnado.
73
6. Proyección Didáctica
6.1. Título
El título de la unidad didáctica que vamos a confeccionar es “Ecuaciones”. Dado
que es la única unidad en 2º de la ESO que se centra en el estudio de la resolución de
ecuaciones y de problemas para cuya resolución sean necesarias las mismas, este
título tan escueto abarca de manera general todos los contenidos y, a la vez, se
diferencia del resto de unidades.
6.2. Justificación
A lo largo de este subapartado se defenderá la necesidad de elaborar y enseñar
la presente unidad didáctica.
Justificación curricular
Como ya hemos visto en la Fundamentación Curricular, los contenidos que
vamos a tratar forman parte de los contenidos que se deben estudiar en la asignatura
de Matemáticas. Se puede comprobar todo el conjunto de contenidos en el Real
Decreto 1105/14 de 26 de diciembre y, más concretamente, en la Orden de 14 de julio
de 2016. Vamos a recordar brevemente las unidades respecto al estudio de ecuaciones
que nos señala esta última referencia:
“Ecuaciones de primer grado con una incógnita (métodos algebraico y gráfico) y
de segundo grado con una incógnita (método algebraico). Resolución. Interpretación
de las soluciones. Ecuaciones sin solución. Resolución de problemas.”
Y, asociados a estos contenidos, observamos el siguiente criterio de evaluación:
7. Utilizar el lenguaje algebraico para simbolizar y resolver problemas mediante
el planteamiento de ecuaciones de primer, segundo grado y sistemas de ecuaciones,
aplicando para su resolución métodos algebraicos o gráficos y contrastando los
resultados obtenidos.
Además, en el Real Decreto 1105/14, tenemos los siguientes estándares de
aprendizaje evaluables asociados a los criterios de evaluación:
7.1. Comprueba, dada una ecuación (o un sistema), si un número (o números) es
(son) solución de la misma.
7.2. Formula algebraicamente una situación de la vida real mediante ecuaciones
de primer y segundo grado, y sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, las
resuelve e interpreta el resultado obtenido.
74
Punto de vista social y/o profesional
Una ecuación, en su formulación más simplista, no es más que la relación entre
diferentes incógnitas; y la resolución de las mismas no es más que averiguar cosas
sobre esas incógnitas partiendo de esa relación. Este concepto es muy potente:
significa que podemos alcanzar el valor numérico de algo (de una incógnita) sabiendo
solo algunas características de su comportamiento.
Y como no hay dos elementos en el mundo que no se estén relacionando entre
sí, de alguna manera podemos decir que las ecuaciones nos explican el mundo: el
teorema de Pitágoras nos explica cuánto deben medir los lados de un rectángulo, la ley
de gravedad de Newton nos relaciona la fuerza con la que se atraen dos cuerpos, sus
masas y la distancia entre estos y la teoría de la relatividad tiene como máximo
exponente una ecuación que relaciona la masa con la energía de un cuerpo.
La búsqueda y resolución de ecuaciones está detrás de conceptos tan diversos
como las redes neuronales, el sonido de una guitarra (ecuación de onda) o la
animación en el estudio Pixar (DeRose, 2014).
Figura 12: Fotograma de DeRose (2014), en el que se observan tres ecuaciones que
relacionan, respectivamente, la traslación, el escalado y la rotación de una imagen
respecto a dos momentos en el tiempo.
En definitiva, conocer los rudimentos de las ecuaciones es esencial porque el
mundo está hecho de ecuaciones. Como se explica en la introducción de Stewart
(2021):
“Aprendiendo a dar valor a las ecuaciones, y a leer las historias, podemos
descubrir trazos vitales del mundo a nuestro alrededor. En principio, puede haber
otras formas de lograr el mismo resultado. Muchas personas prefieren palabras a los
75
símbolos; idioma que también nos da poder sobre nuestro entorno, pero el veredicto
de la ciencia y la tecnología, es que las palabras son demasiado imprecisas y
demasiado limitadas, para proporcionar una vía eficaz para los aspectos más
profundos de la realidad.
Están demasiado coloreadas por supuestos a nivel humano. Las palabras por sí
solas no pueden proporcionar los conocimientos esenciales.”
Justificación interna
Las ecuaciones son una de las herramientas básicas de las matemáticas y, como
tal, su manejo es imprescindible para poder afrontar los estudios venideros. No solo es
esencial dentro del estudio del álgebra (los contenidos de sistemas de ecuaciones o la
resolución de ecuaciones de grado mayor que dos en cursos posteriores son una
muestra de ello), sino que será fundamental también, más adelante, en todos los
demás bloques: en geometría será útil para trabajar, por ejemplo, con el teorema de
Pitágoras o el teorema de Tales; en el estudio de las funciones será necesario para
encontrar funciones con determinadas características (por ejemplo, para analizar la
existencia y la búsqueda posterior, si existiera, de la una única función lineal que
cumpla , ; los contenidos de ecuaciones, entre otros, serán
indispensables en el estudio de este tipo de contenidos) entre otras aplicaciones; y en
el ámbito de la estadística y la probabilidad será muy importante (por ejemplo, para
usar el Teorema de Bayes).
En estudios superiores, esta necesidad se intensifica: en todas las ramas
científicas, tecnológicas, ingenieras e, incluso, en el ámbito de las ciencias sociales
(desde Ciencias Ambientales, Psicología o Economía hasta el propio grado en
Matemáticas), el uso de las ecuaciones será fundamental en muchas asignaturas dado
su carácter básico. La destreza en el manejo de las ecuaciones, por tanto, será
imprescindible.
Justificación estética
Como ya hemos dicho antes, las ecuaciones explican el mundo y, por tanto,
están detrás de algunas de las relaciones más bellas de la naturaleza.
Por ejemplo, la ley de gravitación universal, que ya hemos nombrado antes,
relaciona las secciones de una cónica con el movimiento de los planetas; entre ellos, el
de la Tierra (Stewart, 2021).
76
Figura 13: Secciones de una cónica (Stewart, 2021).
Otro ejemplo sería la demostración de Euclides del teorema de Pitágoras, en el
que la relación entre las ecuaciones de segundo grado y el área de un cuadrado hacen
posible una de las demostraciones más sencillas y bonitas de la historia de las
matemáticas (Stewart, 2021), que puede verse en la Imagen 3.
Figura 14: Recreación de la demostración de Euclides del
teorema de Pitágoras en Stewart (2021).
También podríamos reseñar el carácter estético del uso de la ecuación de onda
para modelar la vibración de un tambor (Stewart, 2021), como se puede observar en la
Imagen 4.
Figura 15: Modelado de la vibración de un tambor en Stewart (2021).
77
O, por último, el uso de la ecuación de Navier-Stokes sobre el movimiento de
fluidos para calcular el movimiento del aire a través de un coche de Fórmula 1
(Stewart, 2021), esquematizado en la Imagen 5.
Figura 16: Cálculo del flujo de aire que pasa por un coche de
Fórmula 1 en Stewart (2021).
6.3. Contextualización del centro y del aula
El centro que describiremos será mi centro de prácticas, el C.D.P. Gibraljaire.
Toda la información al respecto se obtuvo de C.D.P. Gibraljaire (2020).
El Colegio Gibraljaire se encuentra en la barriada de Miraflores de los Ángeles, en
Málaga, desde 1972. Se trata de un centro concertado que funciona en régimen de
cooperativa. Ofertan desde primer curso de Educación Primaria hasta cuarto curso de
Secundaria. Cuentan con 18 unidades en Educación Primaria y 15 en Secundaria.
El centro se sitúa en una barriada con características socioeconómicas muy
pobres: la mayoría de vecinos son trabajadores con muy baja cualificación y muchos de
ellos regentan pequeños negocios con carácter familiar que actualmente están en
regresión por la competencia con las grandes superficies. Además, se sitúa muy cerca
de otras barriadas con las mismas o peores características: La Virreina, La Palma-
Palmilla… Entre estos están algunos de los barrios con peores condiciones de Málaga
(en La Palma-Palmilla la tasa de paro es de alrededor del 80%). En resumen, el nivel
económico y cultural de las familias de los alumnos suele ser medio-bajo y el
porcentaje de familias monoparentales ronda el 25%.
Otra de las características del alumnado es el porcentaje de extranjeros, que se
sitúa en torno al 20%. La mayoría de ellos de origen norteafricano, aunque también
tienen presencia los de origen sudamericano y Europa oriental.
78
En general, podríamos decir que, aunque la relación entre familia y centro es
buena, el interés y la preocupación por el estudio de los alumnos y las familias no es, a
veces, el ideal. Además, la falta de recursos económicos es, a veces, impedimento para
llevar a cabo ciertas actividades (todos los alumnos cuentan con ordenador en casa,
pero no todos tienen internet).
En cuanto a instalaciones, el centro se divide en tres módulos, siendo en uno de
ellos, el Módulo B, donde sitúan los estudios de la ESO. En dicho módulo podemos
encontrar clases amplias, con una mesa propia e individual para cada alumno y con un
cañón proyector por aula.
El curso en particular al que adaptaremos esta unidad didáctica es una de las
cuatro clases de segundo de la ESO del centro. Esta clase se compone de 24 alumnos,
ninguno de los cuales muestra ninguna característica física o psicológica no acorde al
modelo propio de su edad. Todos ellos, en principio, están suficientemente
capacitados para seguir el ritmo de la clase, aunque algunos sean más voluntariosos
que otros.
Por último, reseñar que, aunque el centro lleva a cabo diferentes proyectos muy
interesantes y enriquecedores, ninguno de ellos tiene relación directa con las
matemáticas.
6.4. Objetivos
6.4.1. Objetivos generales de etapa
Los objetivos generales de etapa en la Educación Secundaria Obligatoria son los
que se deben trabajar a lo largo de dicho período para que los alumnos, al final del
mismo, los hayan adquirido. Dichos objetivos, que ahora pasamos a enumerar, se
encuentran en el Real Decreto 1105/2014 de 26 de diciembre, en el artículo 11
(sección 1, p. 176-177):
E1. Asumir responsablemente sus deberes, conocer y ejercer sus derechos en el
respeto a los demás, practicar la tolerancia, la cooperación y la solidaridad
entre las personas y grupos, ejercitarse en el diálogo afianzando los derechos
humanos y la igualdad de trato y de oportunidades entre mujeres y hombres,
como valores comunes de una sociedad plural y prepararse para el ejercicio de
la ciudadanía democrática.
E2. Desarrollar y consolidar hábitos de disciplina, estudio y trabajo individual y en
equipo como condición necesaria para una realización eficaz de las tareas del
aprendizaje y como medio de desarrollo personal.
E3. Valorar y respetar la diferencia de sexos y la igualdad de derechos y
oportunidades entre ellos. Rechazar la discriminación de las personas por razón
de sexo o por cualquier otra condición o circunstancia personal o social.
79
Rechazar los estereotipos que supongan discriminación entre hombres y
mujeres, así como cualquier manifestación de violencia contra la mujer.
E4. Fortalecer sus capacidades afectivas en todos los ámbitos de la personalidad y
en sus relaciones con los demás, así como rechazar la violencia, los prejuicios
de cualquier tipo, los comportamientos sexistas y resolver pacíficamente los
conflictos.
E5. Desarrollar destrezas básicas en la utilización de las fuentes de información
para, con sentido crítico, adquirir nuevos conocimientos. Adquirir una
preparación básica en el campo de las tecnologías, especialmente las de la
información y la comunicación.
E6. Concebir el conocimiento científico como un saber integrado, que se estructura
en distintas disciplinas, así como conocer y aplicar los métodos para identificar
los problemas en los diversos campos del conocimiento y de la experiencia.
E7. Desarrollar el espíritu emprendedor y la confianza en sí mismo, la participación,
el sentido crítico, la iniciativa personal y la capacidad para aprender a aprender,
planificar, tomar decisiones y asumir responsabilidades.
E8. Comprender y expresar con corrección, oralmente y por escrito, en la lengua
castellana y, si la hubiere, en la lengua cooficial de la Comunidad Autónoma,
textos y mensajes complejos, e iniciarse en el conocimiento, la lectura y el
estudio de la literatura.
E9. Comprender y expresarse en una o más lenguas extranjeras de manera
apropiada.
E10. Conocer, valorar y respetar los aspectos básicos de la cultura y la historia
propias y de los demás, así como el patrimonio artístico y cultural.
E11. Conocer y aceptar el funcionamiento del propio cuerpo y el de los otros,
respetar las diferencias, afianzar los hábitos de cuidado y salud corporales e
incorporar la educación física y la práctica del deporte para favorecer el
desarrollo personal y social. Conocer y valorar la dimensión humana de la
sexualidad en toda su diversidad. Valorar críticamente los hábitos sociales
relacionados con la salud, el consumo, el cuidado de los seres vivos y el medio
ambiente, contribuyendo a su conservación y mejora.
E12. Apreciar la creación artística y comprender el lenguaje de las distintas
manifestaciones artísticas, utilizando diversos medios de expresión y
representación.
6.4.2. Objetivos del área de matemáticas
Siguiendo ahora la Orden de 14 de julio de 2016 (p. 204), observamos que la
asignatura de Matemáticas en 1º y 2º de la ESO en Andalucía contribuirá a desarrollar
en los alumnos y alumnas las capacidades que les permitan:
80
A1. Mejorar la capacidad de pensamiento reflexivo y crítico e incorporar al lenguaje
y modos de argumentación, la racionalidad y las formas de expresión y
razonamiento matemático, tanto en los procesos matemáticos, científicos y
tecnológicos como en los distintos ámbitos de la actividad humana.
A2. Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en términos
matemáticos, elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y
analizar los resultados utilizando los recursos más apropiados.
A3. Cuantificar aquellos aspectos de la realidad que permitan interpretarla mejor;
utilizar técnicas de recogida de la información y procedimientos de medida,
realizar el análisis de los datos mediante el uso de distintas clases de números y
la selección de los cálculos apropiados a cada situación.
A4. Identificar los elementos matemáticos (datos estadísticos, geométricos,
gráficos, cálculos, etc.) presentes en los medios de comunicación, Internet,
publicidad u otras fuentes de información, analizar críticamente las funciones
que desempeñan estos elementos matemáticos y valorar su aportación para
una mejor comprensión de los mensajes.
A5. Identificar las formas y relaciones espaciales que encontramos en nuestro
entorno; analizar las propiedades y relaciones geométricas implicadas y ser
sensible a la belleza que generan, al tiempo que estimulan la creatividad y la
imaginación.
A6. Utilizar de forma adecuada las distintas herramientas tecnológicas (calculadora,
ordenador, dispositivo móvil, pizarra digital interactiva, etc.), tanto para realizar
cálculos como para buscar, tratar y representar información de índole diversa y
también como ayuda en el aprendizaje.
A7. Actuar ante los problemas que surgen en la vida cotidiana de acuerdo con
métodos científicos y propios de la actividad matemática, tales como la
exploración sistemática de alternativas, la precisión en el lenguaje, la
flexibilidad para modificar el punto de vista o la perseverancia en la búsqueda
de soluciones.
A8. Elaborar estrategias personales para el análisis de situaciones concretas y la
identificación y resolución de problemas, utilizando distintos recursos e
instrumentos y valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en
función del análisis de los resultados y de su carácter exacto o aproximado.
A9. Manifestar una actitud positiva ante la resolución de problemas y mostrar
confianza en su propia capacidad para enfrentarse a ellos con éxito,
adquiriendo un nivel de autoestima adecuado que le permita disfrutar de los
aspectos creativos, manipulativos, estéticos, prácticos y utilitarios de las
matemáticas.
81
A10. Integrar los conocimientos matemáticos en el conjunto de saberes que se van
adquiriendo desde las distintas áreas de modo que puedan emplearse de forma
creativa, analítica y crítica.
A11. Valorar las matemáticas como parte integrante de la cultura andaluza, tanto
desde un punto de vista histórico como desde la perspectiva de su papel en la
sociedad actual. Aplicar las competencias matemáticas adquiridas para analizar
y valorar fenómenos sociales como la diversidad cultural, el cuidado de los
seres vivos y el medio ambiente, la salud, el consumo, el reconocimiento de la
contribución de ambos sexos al desarrollo de nuestra sociedad y al
conocimiento matemático acumulado por la humanidad, la aportación al
crecimiento económico desde principios y modelos de desarrollo sostenible y
utilidad social o convivencia pacífica.
6.4.3. Objetivos concretos de la unidad
Proponemos los siguientes objetivos. Estos son relativos directamente a la
unidad didáctica que vamos a desarrollar.
U1. Asimilar los conceptos de ecuación, incógnita, solución, miembro y
ecuación equivalente.
U2. Trabajar adecuadamente con las ecuaciones, mediante la asimilación de las
operaciones que transforman a las ecuaciones en otras equivalentes.
U3. Conocer y ejercitar la secuencia de pasos que te lleva a la resolución de
ecuaciones de primer grado.
U4. Distinguir entre ecuaciones de segundo grado completas e incompletas de
ambos tipos. Conocer y ejercitar la secuencia de pasos que te lleva a la
resolución de las mismas.
U5. Comprender cómo se resuelve gráficamente una ecuación.
U6. Conocer y comprender la existencia de ecuaciones sin solución, con una
solución, con varias soluciones o con soluciones infinitas. Identificarlas
tanto algebraica como gráficamente.
U7. Analizar adecuadamente el enunciado de los problemas y saber traducir los
datos que nos ofrecen al lenguaje algebraico para proceder a la resolución.
U8. Promover el uso de herramientas TIC para un mejor entendimiento de las
matemáticas.
U9. Adoptar una actitud crítica frente al ejercicio de las matemáticas.
U10. Valorar la utilidad en la vida real de las ecuaciones y la resolución de las
mismas. Comprender los problemas que nos solucionan.
82
6.5. Competencias clave
Las competencias del currículo, según el artículo 2.2 del Real Decreto 1105/2014
(sección 1, p. 172), son las siguientes:
a) Comunicación lingüística.
b) Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología.
c) Competencia digital.
d) Aprender a aprender.
e) Competencias sociales y cívicas.
f) Sentido de iniciativa y espíritu emprendedor.
g) Conciencia y expresiones culturales.
Dichas competencias, según el decreto, son “capacidades para aplicar de forma
integrada los contenidos propios de cada enseñanza y etapa educativa, con el fin de
lograr la realización adecuada de actividades y la resolución eficaz de problemas
complejos”. También señala que, para una adquisición eficaz de las mismas y su
integración efectiva en el currículo, deben diseñarse actividades de aprendizaje
integradas para permitir al alumnado avanzar en varias competencias al mismo
tiempo.
Asimismo, se dispone que las competencias que deben ser potenciadas con
mayor interés son Comunicación lingüística y Competencia matemática y
competencias básicas en ciencia y tecnología.
Durante el desarrollo de esta Unidad Didáctica se pretende desarrollar y
fortalecer estas competencias como se indica a continuación:
a) Comunicación lingüística: Durante el desarrollo de la unidad se propondrán
varios problemas que los alumnos deberán afrontar por grupos. Tendrán que
comunicarse, razonar, consensuar, escuchar y persuadir.
b) Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología: El
alumnado, mediante ejercicios de aplicación directa, asimilará los conceptos y
los pondrá en práctica, para una mejor comprensión de su manejo. Como
complemento a esta práctica, trabajarán problemas contextualizados para que
relacionen los contenidos con el ámbito cotidiano.
c) Competencia digital: Se realizarán varios ejercicios y una prueba en la que se
verá involucrada la herramienta GeoGebra. Además, deberán buscar
información sobre una curiosidad matemática que, muy probablemente, se
llevará a cabo a través de internet.
d) Aprender a aprender: Los alumnos, a través de los del trabajo en grupo y la
habilidad de autocorregirse, aumentará su confianza a la hora de afrontar la
resolución de problemas matemáticos.
83
e) Competencias sociales y cívicas: El trabajo en grupo inducirá al empleo y mejora
de los modales, el saber escuchar y la confrontación de opiniones diferentes
desde el constructivismo y el respeto.
f) Sentido de iniciativa y espíritu emprendedor: Los problemas están pensados
para que el alumno vaya adquiriendo independencia para poder afrontarlos de
manera autónoma, apoyándose en su creatividad y capacidad de innovación.
g) Conciencia y expresiones culturales: La habilidad con los ejercicios y la
contextualización de los problemas crearán en el alumno una sensación de
belleza y utilidad práctica de la materia.
6.6. Contenidos
Según el Real Decreto 1105/2014 (sección 1, p. 172), los contenidos se definen
como “conjunto de conocimientos, habilidades, destrezas y actitudes que contribuyen
al logro de los objetivos de cada enseñanza y etapa educativa y a la adquisición de
competencias. Los contenidos se ordenan en asignaturas, que se clasifican en materias
y ámbitos, en función de las etapas educativas o los programas en que participe el
alumnado.”
Dichos contenidos vienen especificados en ese mismo decreto y en la Orden de
14 de julio de 2016 de la Junta de Andalucía, en el Bloque 2: Números y Álgebra, como
ya hemos visto en la Fundamentación Curricular. La presente unidad didáctica,
basándonos en la normativa vigente, debe tener los siguientes contenidos:
1. Elementos de una ecuación: Definición de ecuación, incógnita, solución,
miembro, ecuación equivalente, ecuación sin solución y ecuación con infinitas
soluciones.
2. Operaciones en una ecuación: Operaciones que mantienen la equivalencia.
3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita:
3.1. Resolución por el método algebraico: Estrategia para su
resolución. Identificar ecuaciones sin solución.
3.2. Resolución por el método gráfico: Concepto de gráfica de una
ecuación. Representar gráficamente una ecuación. Concepto de
solución en una gráfica. Identificar ecuaciones sin solución.
4. Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado: Estrategia para su
resolución. Transcribir el enunciado al lenguaje algebraico.
5. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita:
5.1. Resolución de ecuaciones incompletas: Estrategia para su
resolución. Identificar ecuaciones sin solución.
84
5.2. Resolución de ecuaciones completas: Fórmula para la resolución
de ecuaciones de segundo grado completas. Asimilar el uso de la misma.
Identificar ecuaciones sin solución.
6. Resolución de problemas con ecuaciones de segundo grado: Estrategia para su
resolución. Transcribir el enunciado al lenguaje algebraico.
Contenidos transversales
Por otro lado, el Real Decreto 1105/2014 desarrolla en el Bloque 1 contenidos
que deben desarrollarse de forma simultánea al resto de contenidos, por su carácter
básico e imprescindible en el quehacer matemático (RD 1105/2014, p. 408). De estos
contenidos, trataremos en la presente unidad los siguientes:
T1. Planificación del proceso de resolución de problemas: Asimilar estrategias para
resolver los problemas.
T2. Estrategias y procedimientos puestos en práctica: uso del lenguaje apropiado
(gráfico, numérico, algebraico, etc.), reformulación del problema, resolver
subproblemas, recuento exhaustivo, empezar por casos particulares sencillos,
buscar regularidades y leyes, etc.: Usar el lenguaje algebraico para modelar los
problemas. Cuantificar el problema, para resolverlo por partes.
T3. Reflexión sobre los resultados: revisión de las operaciones utilizadas, asignación
de unidades a los resultados, comprobación e interpretación de las soluciones
en el contexto de la situación, búsqueda de otras formas de resolución, etc.:
Analizar la coherencia de los resultados. Comprobar las soluciones. Buscar otras
formas de resolución.
T4. Planteamiento de investigaciones matemáticas escolares en contextos
numéricos, geométricos, funcionales, estadísticos y probabilísticos: Investigar
sobre un concepto o curiosidad matemática de índole histórica.
T5. Práctica de los procesos de matematización y modelización, en contextos de la
realidad y en contextos matemáticos: Modelar, en forma de problema con
ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita, actividades de la vida
cotidiana.
T6. Confianza en las propias capacidades para desarrollar actitudes adecuadas y
afrontar las dificultades propias del trabajo científico: Reflexionar y tomar
decisiones respecto a los problemas.
T7. Utilización de medios tecnológicos en el proceso de aprendizaje para:
T7.1. la elaboración y creación de representaciones gráficas de datos
numéricos, funcionales o estadísticos: Buscar en la web
información histórica. Representar con GeoGebra (Hohenwarter
et al., 2018) las ecuaciones.
85
T7.2. facilitar la comprensión de propiedades geométricas o funcionales
y la realización de cálculos de tipo numérico, algebraico o
estadístico: Resolver ecuaciones con ayuda de GeoGebra.
6.7. Metodología
Con el objetivo de favorecer la asimilación de conceptos, además de intentar que
el aprendizaje se desarrolle de la manera más amena posible para el alumnado, a lo
largo de la presente unidad didáctica utilizaremos diferentes metodologías (Luque,
2021):
- Transmisiva: Este tipo de metodología se usará, sobre todo, a la hora de
introducir conceptos. El profesor explicará en la pizarra y los alumnos, con un
papel bastante pasivo, tomarán notas e intervendrán cuando necesiten alguna
aclaración. Es complicado manejar el entusiasmo del alumnado cuando se usa
esta metodología, pero es imprescindible su uso para dar a conocer de manera
clara la teoría.
- Activa: Esta metodología incentiva la autonomía y la reflexión crítica en los
alumnos. Se intentará maximizar su uso a lo largo de la unidad didáctica, para
que los estudiantes tengan el papel central en el desarrollo de conocimiento.
Se usará muchas veces como complemento de la metodología transmisiva; por
ejemplo, para intentar inducir los algoritmos y operaciones para resolver
ecuaciones. Esta metodología, además, será esencial en los ejercicios que se
mandan como tarea, para que los alumnos tengan mayor predisposición para la
realización de estos fuera del horario escolar.
- Motivadora: A través de juegos, problemas con una fuerte contextualización y
actividades más lúdicas, se pretende que los alumnos participen con mayor
talante y entusiasmo en clase.
- Interactiva y colaborativa: Los alumnos trabajarán en tareas y actividades por
grupos, con el fin de hacerse conscientes del punto de vista de sus compañeros
y de, a partir de ahí, generar conocimiento a través de la discusión científica y
el intercambio de pareceres.
6.8. Actividades y recursos
En el Anexo I.1 podemos encontrar todas las actividades que se referenciarán
más tarde en la temporalización. Asimismo, en los Anexos I.2 e I.3 podemos encontrar
las actividades de refuerzo y ampliación, respectivamente, que se referenciarán en el
apartado 6.9.
86
Cuando a lo largo del tema se conmina al profesor a poner ejemplos sobre el
contenido que está dando, se entiende que creará alguno sobre la marcha o usará
alguno de los ejemplos del manual. Si se precisaran más ejemplos, en internet pueden
encontrarse muchos como, por ejemplo, Aula Abierta de Matemáticas (2018).
Pasamos a describir ahora los recursos materiales que dispondremos y de los
que haremos uso:
• Pizarra.
• Proyector.
• Ordenador/Tablet.
• Aula de informática (para la prueba de GeoGebra).
• Tijeras.
• Cuadernos y lápices.
• Libro de texto (Alcaide et al., 2016).
• Impresora (para determinadas actividades).
6.9. Atención a la diversidad
En el Real Decreto 1105/2014 (p. 175) se puede leer lo siguiente: “Para que el
alumnado con necesidad específica de apoyo educativo […] pueda alcanzar el máximo
desarrollo de sus capacidades personales y los objetivos y competencias de cada
etapa, se establecerán las medidas curriculares y organizativas oportunas que
aseguren su adecuado progreso.”
Aunque esta unidad didáctica no se aplica a una clase concreta, se exponen
algunas actividades y estrategias a tener en cuenta para poder ayudar a los alumnos
con un rendimiento académico por debajo o por encima de lo esperado. Estas serán,
por tanto, muy genéricas y el profesor, llegado el momento, deberá adaptarlas
convenientemente.
Antes de nada, habría que hacer énfasis en la atención del profesor: éste debe
preocuparse por la comprensión de los contenidos y por las dificultades que el
alumnado pueda tener. En una misma clase hay tantas velocidades de aprendizaje
como niños hay. Esto a veces es complicado, pero la diversidad es una parte intrínseca
de la naturaleza humana.
Para los alumnos con un rendimiento académico por debajo del esperado, en el
Anexo I.2 se encontrará una relación de actividades que deberían ayudarles a
conseguir los objetivos. Para los alumnos con un rendimiento académico por encima
de la media, en el Anexo I.3 se encontrará una serie de ejercicios que estimularán
convenientemente sus capacidades e inquietudes.
87
Se deberá actuar con mucho cuidado a la hora de proponer actividades de
refuerzo o ampliación: el alumno repetidor, el que tiene asignaturas pendientes o el
que tiene algún trastorno del comportamiento precisan, cada uno, tipos de ejercicios
personalizados.
Debe tenerse también en cuenta la diversidad a la hora de dividir la clase para
los ejercicios grupales: el profesor debe repartir a los alumnos de manera
heterogénea, con el objetivo de que el rendimiento medio sea el mejor posible y para
que no se discrimine o desprecie la colaboración con ningún alumno.
6.10. Temporalización
Para esta unidad, ubicada en el bloque de Álgebra, entendemos que la extensión
de 10 sesiones es adecuada y realista con el transcurso del curso. Según la Orden 14 de
julio de 2016 (p. 351) las horas lectivas semanales de la asignatura es de 4, así que la
unidad abarcaría unas dos semanas y media del curso.
Sesión 1: Introducción
• Empezaremos la clase introduciendo la unidad con la Actividad 1 (lectura).
Después, debatiremos sobre la misma y el concepto de incógnita. (15
minutos)
• Explicación de los contenidos: el profesor define los conceptos de ecuación,
incógnita, solución y miembros de una ecuación. Después, explica los
conceptos de ecuación equivalente y ecuaciones sin solución, induciéndolos
a través de ejemplos. Se utiliza el modelo de la balanza. (25 minutos)
• Se introduce ahora la representación gráfica de cada miembro de una
ecuación. Deducimos, a partir de ahí, cómo resolver una ecuación mediante
gráficas. Esta parte la desarrollaremos mediante la Actividad 2 (GeoGebra).
(15 minutos)
• Se explica a los alumnos cómo acceder a GeoGebra. Para los que no tienen
acceso a internet, se les explica que pueden instalar la aplicación sin
necesidad de tenerlo y que, si fuera necesario, el profesor les pasaría en la
siguiente sesión, mediante un pen drive o un dispositivo similar, el archivo
para su instalación.
Se avisa de que, aparte del examen escrito de la asignatura, se realizará una
prueba corta respecto al uso de GeoGebra. (5 min)
• Tarea: Para el día siguiente, las Actividades 3, 4 y 5. La Actividad 6 se
corregirá en la Sesión 3, para que no suponga un problema para los alumnos
88
que no tengan internet.
Sesión 2: Trasposición
• Se ponen en común los resultados de las Actividades 3, 4 y 5. Respecto a la
primera: ¿Hubiera sido mejor usar otra letra? ¿Cómo se representa la
incógnita en otros lugares? Por ejemplo: “?”, “X” (marca del tesoro en un
mapa) … (10 minutos)
• Recordamos el modelo de la balanza, e inducimos la Regla de la suma a
través de este. Después, inducimos la trasposición de términos en cuanto a la
suma/resta. Se ponen algunos ejemplos. (15 minutos)
• Se realiza en clase la Actividad 7, por parejas. Se corrige sobre la marcha. (10
minutos)
• Volvemos al modelo de la balanza: partimos del mismo para inducir la Regla
de la multiplicación. Después, inducimos la trasposición de términos en
cuanto a la multiplicación/división. Se ponen algunos ejemplos. (15 minutos)
• Se realiza en clase la Actividad 8, por parejas. Se corrige sobre la marcha. (10
minutos)
• Tarea: Para el día siguiente, las Actividades 9, 10 y 11. Se recuerda que,
también para el día siguiente, hay que hacer la Actividad 6.
Sesión 3: Resolución de ecuaciones de primer grado
• Se ponen en común los resultados de las Actividades 9, 10, 11 y 6. (20
minutos)
• Ahora, explicamos la secuencia de procesos para resolver una ecuación de
primer grado (Alcaide et al., 2016, p. 122):
1º. Se opera para suprimir los paréntesis.
2º. Se opera para eliminar los denominadores.
3º. Se simplifican los términos que se puedan.
4º. Se aplica la trasposición de términos para dejar la incógnita sola en
uno de los miembros de la ecuación.
Se ponen varios ejemplos. (10 minutos)
89
• Se realiza en clase la Actividad 12, por parejas. Se corrige sobre la marcha y
se resuelven dudas. (10 minutos)
• Se divide la clase en grupos de cuatro para que realicen la Actividad 13. (20
minutos)
• Tarea: Para el día siguiente, las Actividades 14 y 15.
Sesión 4: Problemas con ecuaciones de primer grado
• Se ponen en común los resultados de las Actividades 14 y 15. (20 minutos)
• Se introducen los problemas y las etapas de su resolución con ayuda de la
Actividad 16. Se utilizarán tablas para esquematizar los datos del problema,
de manera muy parecida a Alcaide et al. (2016, p. 124). (15 minutos)
• Se realizan en clase las Actividades 17, 18 y 19. Se corrigen sobre la marcha y
se resuelven dudas. (25 minutos)
• Tarea: Para el día siguiente, las Actividades 20, 21, 22 y 23.
Sesión 5: Ecuaciones de segundo grado (I)
• Se ponen en común los resultados de las Actividades 20, 21, 22 y 23. (15
minutos)
• Se introducen las ecuaciones de segundo grado. Se distingue entre completa
e incompleta. Se explica cómo resolverlas separadamente (tres formas
diferentes), de una manera muy parecida a Alcaide et al. (2016, p. 126-128).
Se deduce colectivamente la fórmula para la resolución de las ecuaciones de
segundo grado completas con ayuda de la Actividad 24. Se ponen ejemplos.
(30 minutos)
• Se realiza en clase la Actividad 25. Se corrige sobre la marcha y se resuelven
dudas. (15 minutos)
• Tarea: Para el día siguiente, la Actividad 26.
90
Sesión 6: Ecuaciones de segundo grado (II)
• Se ponen en común los resultados de la Actividad 26. (10 minutos)
• Se realiza en clase la Actividad 27. Se corrige sobre la marcha y se resuelven
dudas. (15 minutos)
• Se introducen los problemas con ecuaciones de segundo grado. Se explica
cómo afrontarlos de manera algorítmica; muy parecido a como se explicaron
los problemas con ecuaciones de primer grado. Se ponen ejemplos. (20
minutos)
• Se realiza en clase la Actividad 28. Se corrige sobre la marcha y se resuelven
dudas. (15 minutos)
• Tarea: Para el día siguiente, las Actividades 29, 30 y 31.
Sesión 7: Ecuaciones de segundo grado (III)
• Se ponen en común los resultados de las Actividades 29, 30 y 31. (15
minutos)
• Se realizan en clase las Actividades 32, 33, 34, 35 y 36. No se forman grupos,
pero se incentiva que dialoguen entre ellos. Se corrigen sobre la marcha y se
resuelven dudas. (45 minutos)
• Tarea: Para el día siguiente, las Actividades 37, 38, 39 y 40. La Actividad 40 es
especialmente importante, dado que versa sobre el ejercicio con GeoGebra
del que tendrán que examinarse al principio de la Sesión 9.
Sesión 8: Repaso (I)
• Se ponen en común los resultados de las Actividades 37, 38, 39 y 40. (20
minutos)
• Se repasa la unidad con la Actividad 41. (40 minutos)
• Tarea: Para el día siguiente, las Actividades 42, 43 y 44.
91
Sesión 9: Repaso (II)
• Empezamos la clase en el Aula de Informática del centro, que debemos haber
reservado con anterioridad. Se realiza la Prueba de GeoGebra. (10 minutos)
• Se ponen en común los resultados de las Actividades 42, 43 y 44. (15
minutos)
• Se divide la clase en grupos de 4 o 5 y se realiza la Actividad 45. Se
desarrollará todo lo que de tiempo, pero podría acortarse (quitando fichas u
omitiendo la tarea final de crear las fichas propias). Esta actividad no es
obligatoria. Si algunos quieren repasar algún otro ejercicio o preguntar
dudas, pueden hacerlo. Se corrige sobre la marcha. (35 minutos)
• Tarea: No es obligatorio, pero se recomienda realizar la Autoevaluación del
tema, que se proporciona con las respectivas soluciones.
Sesión 10: Prueba de la asignatura
• Se realiza la Prueba escrita de la unidad. (1 hora)
6.11. Evaluación
La evaluación, según se establece en el Real Decreto 1105/2014, de 26 de
diciembre, se debe realizar conforme a los criterios de evaluación y estándares de
aprendizaje, que son los determinantes del grado de adquisición de las competencias y
objetivos. Cada actividad que hemos recogido en el apartado 6.8 tiene asociada sus
respectivos criterios de evaluación (y estos, a su vez, sus respectivos estándares de
aprendizaje); escogidos respecto a los contenidos que se tratan en dichas actividades.
Por otro lado, las competencias clave que se trabajan en cada criterio vienen recogidas
en la Orden de 14 de julio de 2016. La media aritmética de las calificaciones en los
estándares de aprendizaje será la calificación del correspondiente criterio. La
calificación en cada criterio será, a su vez, la que regirá la calificación en cada
competencia.
La evaluación de la presente unidad didáctica se distribuirá como sigue: la actitud
y el estado de la libreta al final de la unidad supondrá el 15% de la evaluación; el
trabajo continuado durante el desarrollo de la unidad, el 30%; la prueba con
ordenador sobre la resolución gráfica de ecuaciones, el 5%, y la prueba final escrita
92
será el 50% restante. Además, habrá que sumar, conforme a lo que se describió, en la
descripción de la tarea, los resultados de la Actividad 41. Las pruebas están disponibles
en el Anexo II.
La evaluación de las actividades (cuya media aritmética dará lugar a la evaluación
del trabajo continuado durante el desarrollo de la unidad) se hará conforme a los
estándares de aprendizaje asociados a estas mismas.
La evaluación de la actitud y el estado de la libreta al final de la unidad se hará
conforme a la rúbrica que se puede apreciar en el Anexo III, que hemos confeccionado
a partir de Orientación Andújar (2019).
La relación entre contenidos, criterios de evaluación, estándares de aprendizaje
evaluables y competencias clave se especifica en la tabla que se puede observar en el
Anexo IV.
93
7. Conclusiones
Antes de empezar a desarrollar este TFM nos habíamos marcado una serie de
objetivos:
O1. Poner en práctica los conocimientos teóricos adquiridos en el máster.
Durante el desarrollo del trabajo hemos hecho uso de los conocimientos que
hemos adquirido en la titulación: en la fundamentación epistemológica, hemos
utilizado parte de lo estudiado en la asignatura “Complementos de formación
disciplinar”; en la fundamentación curricular, el análisis legislativo que hicimos en la
materia “Procesos y contextos educativos”, y en la unidad y la fundamentación
didáctica, lo aprendido en todas en general, con especial hincapié en las asignaturas
“Sociedad, familia y educación”, “Aprendizaje y enseñanza” e “Innovación docente e
investigación educativa”.
O2. Analizar y comparar críticamente dos libros de texto de editoriales diferentes. Estudiar la idoneidad de la ubicación en el currículo de los contenidos a tratar, teniendo en cuenta el progreso en el aprendizaje del álgebra desde primaria y durante la secundaria.
Este objetivo se ha cumplido satisfactoriamente en la sección 4. Hemos analizado
minuciosamente los libros de texto Álvarez at al. (2012) y Alcaide et al. (2016). Esta
labor es esencial porque los manuales de las asignaturas suelen ser la guía principal de
la labor docente de muchos profesores y una ayuda muy importante en general. El
resultado fue bastante dispar: el libro de SM (Alcaide et al., 2016) se reveló mucho más
completo, dinámico y variado que el de Santillana (Álvarez et al., 2012). Esta
disparidad, por otro lado, hizo del análisis un ejercicio interesante. También hemos
estudiado el currículo para llegar a la conclusión de que los contenidos, efectivamente,
se sitúan en un curso idóneo en el sentido didáctico.
O3. Desarrollar el tema correspondiente del temario de oposiciones con respecto a
los contenidos que hemos seleccionado, con profundidad y el máximo rigor
matemático.
Siguiendo la Orden de 9 de septiembre de 1993 y dado que los contenidos que
nos disponíamos a desarrollar en la unidad didáctica eran los de ecuaciones, hemos
desarrollado el tema Ecuaciones. Resolución de ecuaciones. Aproximación numérica
de raíces en la sección 3. Durante dicho desarrollo, hemos indagado en el saber
matemático respecto a esta materia, exponiendo varios métodos para la resolución de
dichas ecuaciones. Asimismo, hemos estudiado también la aproximación numérica de
las soluciones de una ecuación, con ayuda de los métodos numéricos. Todo ello lo
94
hemos realizado con la rigurosidad y simbología propia de los documentos científicos
del ámbito matemático.
O4. Estudiar varios artículos científicos donde se expongan diferentes vicisitudes
sobre la docencia de las ecuaciones a ese nivel. Examinar los resultados del
análisis de los mismos y extraer conclusiones con el objetivo de mejorar los
procesos de enseñanza y aprendizaje.
En la sección 5 hemos seleccionado cuatro artículos científicos que nos han
hecho recapacitar sobre la docencia de las ecuaciones al nivel de segundo de la ESO.
Dos de ellos han sido analizados con profundidad, mientras que los otros dos solo
hemos podido reseñarlos por motivos de tiempo y extensión. De este estudio hemos
sacado conclusiones que han mejorado la unidad didáctica que hemos desarrollado en
la sección 6 como, por ejemplo, el uso del método de la balanza combinado con la
trasposición de términos o la inclusión de problemas contextualizados en la batería de
actividades.
O5. Diseñar y desarrollar una unidad didáctica teniendo en cuenta lo que se ha
estudiado en el resto de apartados del trabajo, con el fin de que la misma sea lo
más correcta, completa, rica e interesante posible.
En la sección 6 hemos desarrollado la unidad didáctica Ecuaciones, enfocada en
la docencia de segundo de la ESO. Hemos intentado que la impartición de la misma
fuera lo más variada posible, compilando actividades y recursos de diferentes fuentes:
entre la batería de actividades podemos encontrar actividades de desarrollo para
afianzar conceptos, juegos y dinámicas grupales, actividades enfocadas a la
investigación o actividades que implican el uso de herramientas TIC. Hemos puesto en
práctica, además, lo que hemos aprendido en la sección 5, dándole al método de la
balanza un papel importante pero un tanto diferente al habitual e introduciendo
diferentes mecánicas y problemas contextualizados para que los alumnos se
mantengan motivados y con buena predisposición para con la materia.
OG. Poner en práctica los conocimientos adquiridos en el Máster Universitario en
Profesorado de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación
Profesional y Enseñanza de Idiomas (Esp: Matemáticas) mediante el análisis,
descripción, enseñanza y aprendizaje de las ecuaciones de primer y segundo
grado.
El objetivo general de este TFM, visto ya el desarrollo de los otros objetivos a lo
largo del trabajo, queda suficientemente justificado.
Las ecuaciones, materia matemática en la que nos hemos enfocado, son
fundamentales en el desarrollo personal, laboral y académico de los estudiantes. Como
95
tal, este trabajo no pretende haber abarcado todos los aspectos de las mismas en lo
tocante a la docencia y el aprendizaje, sino hacer un acercamiento con rigurosidad y
profundidad en un contexto muy específico.
El trabajo podría seguir desarrollándose de muchas maneras: se podrían estudiar
las ecuaciones algebraicas con coeficientes complejos o las ecuaciones trascendentales
con mayor profundidad, se podrían analizar más hondamente los dos artículos que,
por tiempo y espacio, no se desarrollaron o se podrían enfocar algunas sesiones de la
unidad didáctica con metodologías que no se han usado en el diseño de la misma,
como la clase invertida. Estos son solo algunos ejemplos de cómo se podría continuar
el estudio de lo que se ha desarrollado en este trabajo y que podrían constituir una
investigación complementaria al mismo muy interesante y enriquecedora.
Para terminar, me gustaría volver a señalar la importancia de la motivación en
clase: el dominio de las matemáticas es esencial en cualquier tramo de la vida,
independientemente de tu profesión, así que no nos podemos permitir a alumnos
desmotivados en clase. Hay que captar su atención e involucrarlos en una de las
asignaturas más importantes y bonitas de todo el abanico que ofrece la educación
secundaria.
96
97
Anexo I – Actividades Anexo I.1 – Actividades de la temporalización
Actividad 1
Objetivos: E8, E12, A1, U1, U6
Contenidos: 1
Comp. clave: CCL
—¿Por qué decimos que x es la incógnita?
—Porque x es justamente lo que no conocemos y lo que buscamos… […] Cuando
busco la identidad de algo, tengo que empezar por darle un nombre. […]
Por tanto, voy a atribuirle un nombre temporal, x, que da a todos los números la
posibilidad de ser la incógnita que busco, de esta manera no cierro el campo de mis
búsquedas.
Este nombre temporal me permite trabajar, hacer cálculos, para avanzar en la
identificación de la incógnita.
Le atribuyo este nombre momentáneamente y, hasta que consiga identificarla, la
incógnita se llamará x. Cuando haya identificado lo que busco, abandonará su
nombre prestado para adquirir su verdadera identidad, que habré descubierto.
En una novela policíaca, para hablar de la incógnita, se dice “el culpable”, “el
asesino”, “el sospechoso”, a veces incluso, “el señor x” o “la señora x”. La
investigación termina cuando se ha “identificado” a la persona buscada, al culpable,
al asesino.
De forma más general, hay una gran similitud entre la resolución de un problema
matemático y la de una investigación policial, o la de una investigación científica; se
dispone de indicios, de informaciones, de pistas, algunas falsas, de momentos
estimulantes cuando se tiene la impresión de avanzar, o deprimentes en el caso
contrario, y se intenta encontrar un marco coherente en el que todo se esclarezca,
en el que, finalmente, se comprenda lo que ocurre, o lo que ha ocurrido, y se
puedan aportar pruebas.
(Guedj, 2009)
Actividad 2
Objetivos: E5, E7, A1, A4, A6, U5, U8, U9
98
Contenidos: 1, 3.2, T7
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA,
Estándares: 7.1, T11.1, T11.2, T11.3, T12.3
Uso de GeoGebra (Hohenwarter et al., 2018), en concreto, del recurso online Gráfica
de una ecuación, de Alcaide et al. (2016).
Si no estuviera disponible, se podría hacer directamente desde la calculadora de
GeoGebra, simplemente añadiendo un miembro cada vez y luego señalando la
intersección.
(Elaboración propia)
Actividad 3
Objetivos: E5, A1, A4, A6, U1, U5, U6, U8
Contenidos: 1, T4, T7.1
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, SIEP, CD
Estándares: T5.1, T12.1, T12.3
Debes responder a la siguiente pregunta:
¿Por qué se utiliza la letra normalmente para nombrar las incógnitas?
Para hacerlo, puedes buscar la respuesta en internet. Es posible que encuentres más
de una.
(Elaboración propia)
Actividad 4
Objetivos: E2, A5, U1
Contenidos: 1, T3
Comp. clave: CCL, CMCT, SIEP, CAA
Estándares: 7.1, 7.2, T3.1, T4.1
99
Mira estas tiras de papel y para cada par de tiras, responde qué tipo de relación
matemática podrías escribir.
Figura 17: Esquema de unas “tiras de papel” en STEM Learning (2021).
Ahora, sustituye los números por letras para ver si te has equivocado o has hecho
bien.
(STEM Learning, 2021)2
Actividad 5
Objetivos: E2, U1, U6
Contenidos: 1
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA
Estándares: 7.1
Comprueba, en cada caso, que el valor de propuesto es solución de la ecuación:
a) , para
b) , para
c) , para
2 https://www.stem.org.uk/resources/elibrary/resource/29312/algebra-study-units (Unit 4)
100
d) , para
(Alcaide et al., 2016, p. 119)
Actividad 6
Objetivos: E5, A1, A4, A6, U1, U5, U6, U8
Contenidos: 1, T7
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CD
Estándares: 7.1, T11.1, T11.2, T11.3
Actividad con GeoGebra
Resuelve las siguientes ecuaciones con ayuda de GeoGebra:
a)
b)
c)
d)
Representa las gráficas en un papel junto con la solución de las ecuaciones.
(Elaboración propia)
Actividad 7
Objetivos: E2, U1, U2, U6
Contenidos: 1, 2
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA
Estándares: 7.1
Resuelve las siguientes ecuaciones.
a)
b)
101
c)
d)
e)
f)
(Alcaide et al., 2016, p. 121)
Actividad 8
Objetivos: E2, U1, U2, U6
Contenidos: 1, 2
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA
Estándares: 7.1
Resuelve las siguientes ecuaciones.
a)
b)
c) 6x=11
d)
e)
f)
(Alcaide et al., 2016, p. 121)
Actividad 9
Objetivos: E2, U1, U2, U6
Contenidos: 1, 2
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA
Estándares: 7.1
102
Resuelve las siguientes ecuaciones.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
(Alcaide et al., 2016, p. 121)
Actividad 10
Objetivos: E2, U1, U2, U6
Contenidos: 1, 2
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA
Estándares: 7.1
103
Figura 18: Imagen para colorear en Gutiérrez (2017, p. 27).
(Gutiérrez, 2017, p. 27)
Actividad 11
Objetivos: E2, U1, U2, U6
Contenidos: 1, 2, T3
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA
Estándares: 7.1, T4.1
¿Cuánto vale dado que ?
(NRICH, 2021)3
3 https://nrich.maths.org/6791
104
Actividad 12
Objetivos: E2, U1, U2, U3, U6
Contenidos: 1, 2, 3.1
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA
Estándares: 7.1
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
(Alcaide et al., 2016, p.123)
Actividad 13
Objetivos: E1, E2, E11, U1, U2, U3, U6
Contenidos: 1, 2, 3.1, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
Estándares: 7.1, T8.1, T8.2, T8.4, T9.1
Debes recortar las fichas y volver a armar un rectángulo igual que este, pero en el
que las soluciones de cada lado coincidan.
105
Figura 19: Puzle matemático en Gutiérrez (2017, p. 28).
(Gutiérrez, 2017, p. 28)
Actividad 14
Objetivos: E2, U1, U2, U3, U6
Contenidos: 1, 2, 3.1
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA
Estándares: 7.1
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
(Alcaide et al., 2016, p. 123)
106
Actividad 15
Objetivos: E2, U1, U2, U3, U6
Contenidos: 1, 2, 3.1
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA
Estándares: 7.1
Un amigo ha encontrado en el hueco de un árbol el siguiente mensaje en clave:
15 16 23 9 8 15 27
24 22 27 21 9 17 21
12 17 27 2 15 16 5
20 15 27 27 27 27 27
Os acercáis al árbol y encontráis un papel con las siguientes anotaciones:
Completa el código utilizando las siguientes pistas:
Figura 20: “Código secreto” en STEM Learning (2021).
107
¿Qué dice el mensaje?
(STEM Learning, 2021)4
Actividad 16
Objetivos: E1, E7, E11, A1, A2, A7, A8, A9, U3, U7, U9, U10
Contenidos: 1, 2, 3.1, 4, T1, T2, T5, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
Estándares: 7.1, 7.2, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1, T8.2, T8.3, T9.1
El profesor propondrá a la clase lo siguiente:
“Si me decís un número, soy capaz de sumar ese y los cuatro siguientes de cabeza
antes que vosotros con la calculadora.”
Escribe el siguiente ejemplo en la pizarra y anima a los alumnos a que saquen las
calculadoras.
Figura 21: Ejemplo de suma en STEM Learning (2021).
Después de que hayan probado con varios números, desvelar el “truco” con álgebra
( ).
“Si os diera el número final, ¿podríais adivinar el primero?”
(STEM Learning, 2021)5
4 https://www.stem.org.uk/resources/elibrary/resource/31693/algebra-makes-sense (p. 30) 5 https://www.stem.org.uk/resources/elibrary/resource/26973/performing-number-magic-a9 (p. 5)
108
Actividad 17
Objetivos: E1, E7, E11, A1, A2, A7, A8, A9, U3, U7, U9, U10
Contenidos: 2, 3.1, 4, T1, T2, T5, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
Estándares: 7.1, 7.2, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1, T8.2, T8.3, T9.1
Julio ha ido de compras. En la primera tienda ha gastado las dos terceras partes de
su dinero y en la segunda ha gastado las tres cuartas partes de lo que le quedaba.
Cuando vuelve a casa, solo le quedan 10 euros. ¿Cuánto se ha gastado en total?
¿Cuánto gastó en la tienda?
(Alcaide et al., 2016, p. 125)
Actividad 18
Objetivos: E1, E7, E11, A1, A2, A7, A8, A9, U3, U7, U9, U10
Contenidos: 2, 3.1, 4, T1, T2, T5, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
Estándares: 7.1, 7.2, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1, T8.2, T8.3, T9.1
Un estudiante está inquieto por conocer la edad de su profesor de matemáticas. Este le
indica que nunca dice la edad a nadie, pero que sí le puede dar una pista para que la
logre determinar: Mi hermano —le dice el profesor— tiene el doble de mi edad
aumentado en diez. Hace ocho años su edad era el triple de la mía disminuida en uno.
¿Cuál es la edad del profesor?
(Arroyo, 2014, p. 43)
Actividad 19
Objetivos: E1, E7, E11, A1, A2, A7, A8, A9, U3, U7, U9, U10
Contenidos: 2, 3.1, 4, T1, T2, T5, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
109
Estándares: 7.1, 7.2, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1, T8.2, T8.3, T9.1
Suponga que su amigo dejó la mochila en tu casa; en esta tenía guardado el móvil.
Te llama con un teléfono fijo pidiendo que, por favor, busques una nota que tiene en
el móvil; pero para esto debes insertar el pin y resulta que ni tu amigo se lo sabe de
memoria. Aun así, a modo de seguridad, tu amigo lleva en la mochila una tarjeta con
una información que puede ayudarte a descifrar el pin. La coges y dice:
El cuádruplo del pin, disminuido en mil doscientos, equivale al doble de dicho pin
aumentado en novecientos treinta y dos.
¿Cuál es el pin del celular de tu amigo? ¿Podrás ayudarle?
(Arroyo, 2014, p. 43)
Actividad 20
Objetivos: E2, E7, A1, U9, A2, A7, A8, A9, U7, U10, U3, U2
Contenidos: 2, 3.1, 4, T1, T2, T3, T5, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
Estándares: 7.1, 7.2, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1, T8.2, T8.3, T9.1
Dos compañías telefónicas ofrecen diferentes contratos. La Compañía A cobra
mensualmente 34 euros más 0.05 euros por minuto de llamada. La compañía B
cobra mensualmente 40 euros más 0.04 euros por minuto de llamada.
• Escribe dos ecuaciones lineales (una por compañía) que modelen los
contratos.
• Si la media de tiempo que hablas por teléfono al mes es de 1160 minutos,
¿qué compañía deberías contratar?
• Si la media de tiempo que hablas por teléfono al mes es de 420 minutos,
¿qué compañía deberías contratar?
• ¿Cuántos minutos tienes que hablar para que te cobraran lo mismo en ambas
compañías?
(Lumen Learning, OpenStax, 2021)
110
Actividad 21
Objetivos: E2, A2, A7, A8, A9, U2, U3, U7
Contenidos: 2, 3.1, 4, T1, T2, T5, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
Estándares: 7.1, 7.2, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1, T8.2, T8.3, T9.1
La abuela atrapó un pescado tan grande que tuvo que cortarlo en tres piezas
(cabeza, cuerpo y cola) para pesarlo.
La cola pesó 9kg.
La cabeza pesó lo mismo que la cola más un tercio del cuerpo.
El cuerpo pesó lo mismo que la cabeza y la cola juntas.
¿Cuánto pesa el pescado entero?
(NRICH, 2021)6
Actividad 22
Objetivos: E2, A2, A7, A8, A9, U2, U3, U7
Contenidos: 2, 3.1, 4, T1, T2, T5, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
Estándares: 7.1, 7.2, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1, T8.2, T8.3, T9.1
Elegid un número, escribid los 4 consecutivos a este y haced una pirámide como esta
(cada número de la fila superior es la suma del que está debajo más sus adyacentes).
Este es para el caso en el que se empieza con 5. En la cúspide nos quedaría 63.
6 https://nrich.maths.org/5024
111
Figura 22: Ejemplo de pirámide en STEM Learning (2021).
Encuentra la forma de, sabiendo solo el número que hay en la cúspide, saber qué
número se escogió al principio.
(STEM Learning, 2021)7
Actividad 23
Objetivos: E2, A2, A7, A8, A9, U2, U3, U7
Contenidos: 2, 3.1, 4, T1, T2, T5, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
Estándares: 7.1, 7.2, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1, T8.2, T8.3, T9.1
Los Siete Enanitos nacieron el mismo día, en siete años consecutivos. La edad de los
tres más jóvenes suman 42 años. ¿Cuánto suman la edad de los tres mayores?
(NRICH, 2021)8
Actividad 24
Objetivos: E1, E11, E2, E7, A1, U9, U1, U4
Contenidos: 5.2, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, CEC, SIEP
Estándares: 7.1, T8.1, T8.2, T8.4, T10.1
7 https://www.stem.org.uk/resources/elibrary/resource/26973/performing-number-magic-a9 (p. 9) 8 https://nrich.maths.org/6770
112
Pon en orden para resolver la ecuación.
Figura 23: Resolución de ecuaciones de segundo grado completas en NRICH (2021).
Poner en el proyector para que pueda verlo toda la clase y deducirlo colectivamente.
(NRICH, 2021)9
Actividad 25
Objetivos: E2, U4, U6
Contenidos: 5
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA
Estándares: 7.1
Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones.
a)
9 https://nrich.maths.org/1394
113
b)
c)
d)
e)
f)
(Alcaide et al., 2016, p. 127)
Actividad 26
Objetivos: E2, U4, U6
Contenidos: 5
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA
Estándares: 7.1
Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
(Alcaide et al., 2016, p. 127)
Actividad 27
Objetivos: E2, U4, U6
Contenidos: 2, 5
114
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA
Estándares: 7.1
Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
(Alcaide et al., 2016, p. 127)
Actividad 28
Objetivos: E1, E2, A1, A2, A7, A8, A9, U4, U7
Contenidos: 2, 5, 6, T1, T2, T3, T5, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
Estándares: 7.1, 7.2, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1, T8.2, T8.3, T9.1
Por parejas, coged dos trozos de cuerda o hilo de la misma longitud. Uno de los
miembros de la ecuación de la pareja debe construir un cuadrado, y el otro, un
rectángulo, de forma que cumplan estas condiciones:
• El lado mayor del rectángulo debe ser 5 cm mayor que el lado del cuadrado y
el lado menor debe medir 4 cm.
• La diferencia entre el área del cuadrado y el área del rectángulo debe ser de
25 cm2.
¿Qué longitud de cuerda necesitáis? Comprobad que los cuadriláteros que habéis
construido cumplen las condiciones pedidas.
(Alcaide et al., 2016, p. 134)
115
Actividad 29
Objetivos: E2, A1, A2, A7, A8, A9, U4, U7
Contenidos: 2, 5, 6, T1, T2, T3, T5, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
Estándares: 7.1, 7.2, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1, T8.2, T8.3, T9.1
Un hombre con una gran finca rectangular le ha pedido a Joana y a Margarita, dos
hermanas, que midan las dimensiones de esta. La única información que les da es
que el área de la finca es de 13.750 metros cuadrados. Aparte de eso, lo único que
les ha dado es una gran cinta métrica de 30 metros, pero que es obviamente
insuficiente para medir los lados de la finca.
Joana, en un momento dado, coge la cinta y lleva a su hermana a una esquina.
Ambas andan exactamente a la misma velocidad, así que le dice a Margarita que
empiece a andar por el lado más corto y que, cuando llegue al final, la llame al móvil.
Justo cuando empieza a andar Margarita, Joana empieza a andar por el lado más
largo. Cuando Joana recibe la llamada, se para, pone la cinta en el suelo, y
comprueba que le faltaban quince metros para llegar al final de la finca.
• ¿Qué ha pensado Joana? Escribe una ecuación que modele su planteamiento.
• ¿Cuáles son las dimensiones de la finca?
(Elaboración propia)
Actividad 30
Objetivos: E2, A1, A2, A7, A8, A9, U4, U7
Contenidos: 2, 5, 6, T1, T2, T3, T5, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
Estándares: 7.1, 7.2, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1, T8.2, T8.3, T9.1
La suma de los cuadrados de tres números consecutivos es 194. Calcúlalos de tres
formas distintas:
• Llamando al menor de los tres.
116
• Llamando al mediano.
• Llamando al mayor.
a) ¿Se obtiene la misma solución?
b) ¿Qué ecuación es más fácil de resolver?
(Alcaide et al., 2016, p. 129)
Actividad 31
Objetivos: E2, A1, A2, A7, A8, A9, U4, U7
Contenidos: 2, 5, 6, T1, T2, T3, T5, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
Estándares: 7.1, 7.2, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1, T8.2, T8.3, T9.1
La superficie de una colchoneta de gimnasia es de 84 m2. El largo es el doble del
ancho más 2 m. Calcula las dimensiones de la colchoneta.
(Alcaide et al., 2016, p. 129)
Actividad 32
Objetivos: E2, A1, A2, A7, A8, A9, U4, U7
Contenidos: 2, 5, 6, T1, T2, T3, T5, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
Estándares: 7.1, 7.2, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1, T8.2, T8.3, T9.1
Con una cuerda de 20 m de longitud se ha construido un rectángulo de 21 m2 de
área. Calcula las dimensiones del rectángulo.
(Alcaide et al., 2016, p. 129)
Actividad 33
Objetivos: E2, A1, A2, A7, A8, A9, U4, U7
Contenidos: 2, 5, 6, T1, T2, T3, T5, T6
117
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
Estándares: 7.1, 7.2, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1, T8.2, T8.3, T9.1
Una piscina con forma de ortoedro tiene 100 m3 de capacidad. El largo de la base es
el doble del ancho y la altura mide 2 m. ¿Qué dimensiones tiene la piscina?
(Alcaide et al., 2016, p. 129)
Actividad 34
Objetivos: E2, A1, A2, A7, A8, A9, U4, U7
Contenidos: 2, 5, 6, T1, T2, T3, T5, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
Estándares: 7.1, 7.2, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1, T8.2, T8.3, T9.1
Dentro de un cuadrado se dibuja otro cuadrado cuyo lado mide 7 m menos que el
del cuadrado mayor, de forma que la diferencia entre las áreas de ambos cuadrados
es igual a 231 m2. Calcula la longitud del lado del cuadrado mayor.
(Alcaide et al., 2016, p. 129)
Actividad 35
Objetivos: E2, A1, A2, A7, A8, A9, U4, U7
Contenidos: 2, 5, 6, T1, T2, T3, T5, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
Estándares: 7.1, 7.2, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1, T8.2, T8.3, T9.1
El área del rombo que aparece en la siguiente figura es 130 cm2. Calcula la longitud
de ambas diagonales si la diagonal mayor mide 7 cm más que la menor.
Figura 24: Rombo en Alcaide et al. (2016, p. 135).
118
(Alcaide et al., 2016, p. 135)
Actividad 36
Objetivos: E2, A1, A2, A7, A8, A9, U4, U7
Contenidos: 2, 5, 6, T1, T2, T3, T5, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
Estándares: 7.1, 7.2, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1, T8.2, T8.3, T9.1
Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que su área es de 77 cm2.
Figura 25: Rectángulo en Alcaide et al. (2016, p. 135).
(Alcaide et al., 2016, p. 135)
Actividad 37
Objetivos: E2, U1
Contenidos: 1
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA
Estándares: 7.1
Comprueba, en cada caso, si el valor propuesto es solución de la ecuación:
a)
b)
c)
119
d)
e)
(Alcaide et al., 2016, p. 131)
Actividad 38
Objetivos: E2, U1, U2, U3, U6
Contenidos: 1, 2, 3.1
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA
Estándares: 7.1
Resuelve:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
(Alcaide et al., 2016, p. 132)
Actividad 39
Objetivos: E2, E11, A2, A7, A8, A9, U2, U3, U7, U10
Contenidos: 2, 3.1, 4, T1, T2, T3, T5, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA
Estándares: 7.1
120
Durante todo este verano has estado ayudando a Sebastián, un amigo de tu abuelo
que estaba arreglando su casa. Antes de empezar, te dijo:
“Te voy a dar 50 euros solo por aceptar venir a echarme una mano y te voy a pagar
15 euros la hora. Además, por cada diez horas trabajadas, te voy a dar 5 euros más
aparte y, por cada veinte horas, otros 10 euros más.”
Cuando llega el último día de trabajo, has trabajado un total de 150 horas y
Sebastián te da un sobre en el que hay 2706 euros.
• Escribe una ecuación para modelar el dinero que te debe dar Sebastián.
• ¿Te ha dado el dinero que debía darte?
• Si no es el dinero que debía darte (al pobre Sebastián no se le dan muy bien
las matemáticas): ¿Cuánto era el dinero que se te adeudaba?
• Al principio de verano, tu objetivo era ganar 1650 euros. ¿Con cuántas horas
te habría bastado?
Adaptación de: (CK-12, 2020)
Actividad 40
Objetivos: E5, A1, A4, A6, U1, U5, U6, U8
Contenidos: 1, T7
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CD
Estándares: 7.1, T11.1, T11.2, T11.3
Actividad con GeoGebra
Resuelve las siguientes ecuaciones con ayuda de GeoGebra:
a)
b)
c)
d)
Representa las gráficas en un papel junto con la solución de las ecuaciones.
(Elaboración propia)
121
Actividad 41
Objetivos: E1, E2, A1, A2, A7, A8, A9, U2, U3, U4, U6, U7
Contenidos: 2, 3, 4, 5, 6, T1, T2, T5, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
Estándares: 7.1, 7.2, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1, T8.2, T8.3, T9.1
Con ayuda del proyector, hacemos visible el juego (Aranda, 2021) a toda la clase.
El profesor le va dando a cada cuadrado. Los alumnos deben responder en voz alta
cuando tengan la respuesta. Al primero que responda, se le sumará el número de
centésimas (justo encima) correspondiente en el examen.
122
Figura 26: Muestra del juego en Aranda (2021).
(Elaboración propia)
Actividad 42
Objetivos: E2, U4, U6
Contenidos: 2, 5
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA
Estándares: 7.1
Resuelve:
a)
b)
c)
d)
(Alcaide et al., 2016, p. 133)
123
Actividad 43
Objetivos: E2, A1, A2, A7, A8, A9, U4, U7
Contenidos: 2, 5, 6, T1, T2, T3, T5, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
Estándares: 7.1, 7.2, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1, T8.2, T8.3, T9.1
¿Puedes calcular las edades de los hijos de Arturo?
Figura 27: Ilustración en Alcaide et al. (2016, p. 129).
(Alcaide et al., 2016, p. 129)
Actividad 44
Objetivos: E2, A1, A2, A7, A8, A9, U4, U7
Contenidos: 2, 5, 6, T1, T2, T3, T5, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
Estándares: 7.1, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1, T8.2, T8.3, T9.1
En mi último cumpleaños, un amigo me dijo:
“En quince años, tu edad será el cuadrado de tu edad hace quince años.”
¿Puedes adivinar qué edad tengo?
Esto me dejó pensando…
124
¿Hubo algún momento en mi vida en el que he tenido otros cumpleaños que
cumplieran una regla de ese estilo?
¿Podría haber dicho:
“En 3 años, mi edad será el cuadrado de mi edad hace 3 años”
o
“En 4 años, mi edad será el cuadrado de mi edad hace 4 años”
o
“En 5 años, mi edad será el cuadrado de mi edad hace 5 años”
o…?
¿Podrías generalizar esa regla?
(NRICH, 2021)10
Actividad 45
Objetivos: E1, E2, A1, A2, A7, A8, A9, U2, U3, U4, U6, U7
Contenidos: 2, 3, 4, 5, 6, T1, T2, T5, T6
Comp. clave: CMCT, CCL, CAA, CSC, CEC, SIEP
Estándares: 7.1, T1.1, T2.4, T7.1, T8.1, T8.2, T8.4, T9.1, T10.1
La de Aprendizaje y Enseñanza:
Primera actividad: Reparto de etiquetas (Anexo V.1) por grupos. Los grupos deberán
agrupar dichas etiquetas y completar las que no estén rellenas. La idea es que la
participación del profesor sea mínima. Los alumnos deberán crear distintas
estrategias para relacionar los conceptos. Trabajarán gran parte de los elementos
desarrollados en la unidad. En el Anexo V.2 están las fichas completas (sin espacios
para rellenar) y en el Anexo V.3 se encuentra la resolución de la actividad.
Segunda actividad: Deberán crear una tarea similar a la primera tarea, con dos
ecuaciones.
(Elaboración propia a partir de (STEM, 2021)11)
10 https://nrich.maths.org/631 11 https://www.stem.org.uk/elibrary/resource/26997
125
Anexo I.2 – Actividades refuerzo
Actividad 1
Objetivos: E2, E11, A2, A7, A8, A9, U2, U3, U7, U10
Contenidos: 2, 3.1, 4, T1, T2, T5, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
Estándares: 7.1, 7.2, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1, T8.2, T8.3, T9.1
En este cuadrado mágico, cada fila, columna y diagonal mayor suman lo mismo.
¿Qué número habría que cambiar por ? Al final, escribe una ecuación para
resolverlo.
Figura 28: Cuadrado mágico en NRICH (2021).
(NRICH, 2021)12
Actividad 2
Objetivos: E2, U3, U6
Contenidos: 2, 3.1
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA
Estándares: 7.1
12 https://nrich.maths.org/2207
126
…y ahora, suajili.
El suajili es la lengua que se habla en el este de África.
Averigua cómo se dicen los números en suajili a través de estas pistas:
Figura 29: Ilustración en STEM Learning (2021).
(STEM Learning, 2021)13
Actividad 3
Objetivos: E2, E11, A2, A7, A8, A9, U2, U3, U7, U10
Contenidos: 2, 3.1, 4, T1, T2, T5, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
Estándares: 7.1, 7.2, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1, T8.2, T8.3, T9.1
Estos ángulos suman . Escribe y resuelve una ecuación por cada diagrama.
13 https://www.stem.org.uk/resources/elibrary/resource/32136/equations (Pack one, p. 10)
127
Figura 30: Ilustración en CIMT (p. 8).
(CIMT, p. 8)
Actividad 4
Objetivos: E2, E11, A2, A7, A8, A9, U2, U3, U7, U10
Contenidos: 2, 3.1, 4, T1, T2, T5, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
Estándares: 7.1, 7.2, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1, T8.2, T8.3, T9.1
En este cuadrado, todas las líneas verticales y horizontales suman 260. Averigua los valores de las letras que aparecen x, y, t, entre otras, para conocer el valor numérico de cada casilla. Cuando conozcas todos los números, parte del 1, los siguientes números naturales van apareciendo siguiendo el movimiento del caballo en el juego de ajedrez.
128
Figura 31: Tablero en Casado (2017, p. 25).
(Casado, 2017, p. 25)
Actividad 5
Objetivos: E2, E11, A2, A7, A8, A9, U2, U3, U7, U10
Contenidos: 2, 3.1, 4, T1, T2, T5, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
Estándares: 7.1, 7.2, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1, T8.2, T8.3, T9.1
Santiago tiene dos años más que su hermano. Su hermano tiene 16. Escribe una
ecuación en la que usas para representar la edad de Santiago. Resuélvela.
(CIMT, p. 8)
Actividad 6
Objetivos: E2, E11, A2, A7, A8, A9, U2, U3, U7, U10
129
Contenidos: 2, 3.1, 4, T1, T2, T5, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
Estándares: 7.1, 7.2, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1, T8.2, T8.3, T9.1
Usa la información en el diagrama para hallar el valor de .
Figura 32: Tablero en CIMT (p. 11).
(CIMT, p. 11)
Actividad 7
Objetivos: E2, E11, A2, A7, A8, A9, U2, U3, U7, U10
Contenidos: 2, 3.1, 4, T1, T2, T5, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
Estándares: 7.1, 7.2, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1, T8.2, T8.3, T9.1
Usa la información en el diagrama para hallar el valor de .
130
Figura 33: Tablero en CIMT (p. 12).
(CIMT, p. 12)
Actividad 8
Objetivos: E2, E11, A2, A7, A8, A9, U2, U3, U7, U10
Contenidos: 2, 3.1, 4, T1, T2, T5, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
Estándares: 7.1, 7.2, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1, T8.2, T8.3, T9.1
Ricardo tiene cinco cubos. Cada uno es 2 cm más grande que el anterior. El más
grande mide lo mismo que una torre hecha con los dos cubos más pequeños.
¿Cómo de grande sería una torre con los cinco cubos?
(NRICH, 2021)14
Actividad 9
Objetivos: E1, E2, U3, U6
Contenidos: 2, 3.1, T6
Comp. clave: CMCT, CSC, SIEP, CEC, CCL, CAA
Estándares: 7.1, T8.1
14 https://nrich.maths.org/11712
131
Recorta las fichas y repartírosla entre los compañeros. Se juega igual que el dominó.
Al final, se suman los puntos de las fichas que tienes. Gana el que se queda con
menos puntos.
Figura 34: Fichas en Gutiérrez (2017, p. 29).
(Gutiérrez, 2017, p. 29)
Actividad 10
Objetivos: E2, E11, A2, A7, A8, A9, U2, U3, U7, U10
132
Contenidos: 2, 3.1, 4, T1, T2, T5, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
Estándares: 7.1, 7.2, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1, T8.2, T8.3, T9.1
Julia se ha equivocado multiplicando, y ha multiplicado por 54 en vez de por 45.
Su respuesta está 198 números por encima de la respuesta correcta.
¿Qué número ha multiplicado por 54?
(NRICH, 2021)15
15 https://nrich.maths.org/12792
133
Anexo I.3 – Actividades de ampliación
Actividad 1
Objetivos: E2, E7, E11, A1, A2, A7, A8, A9, U2, U4, U7, U9, U10
Contenidos: 2, 5, 6, T1, T2, T3, T5, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
Estándares: 7.1, 7.2, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T4.1, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1, T8.2, T8.3,
T9.1
Sin utilizar la calculadora ni hacer grandes cuentas, calcula el valor de
(NRICH, 2021)16
Actividad 2
Objetivos: E2, E7, E11, A1, A2, A7, A8, A9, U2, U4, U7, U9, U10
Contenidos: 2, 5, 6, T1, T2, T3, T5, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
Estándares: 7.1, 7.2, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T4.1, T4.2, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1, T8.2,
T8.3, T9.1
Joana ha estado experimentando con pares de números de dos dígitos. Ha estado
observando la diferencia de sus cuadrados.
Joana ha coleccionado algunas respuestas que ha encontrado sorprendentes:
¿Puedes encontrar otros pares que resulten en múltiplos de ? ¿Notas algo
especial en estos números?
16 https://nrich.maths.org/13223
134
Joana también se sorprendió con las siguientes respuestas:
¿Puedes encontrar otros pares de números con los que ocurra lo mismo? ¿Notas
algo especial en estos números?
Joana quería explicar por qué estaba obteniendo estos resultados. Dibujó diagramas
para ayudarse a aclarar ideas. Aquí está el diagrama que utilizó para :
Figura 35: Diagrama en NRICH (2017).
¿Cuál es la conexión entre el diagrama y la operación? ¿Cómo podría calcular el área
de el rectángulo morado de la derecha sin ayuda de la calculadora? ¿Puedes dibujar
otros diagramas, referentes a otras ecuaciones?
¿Cómo pueden ayudar los diagramas a desarrollar un método rápido para evaluar
, para cualesquiera y ?
Ahora deberías estar preparado para hacer las siguientes operaciones sin
calculadora:
Podrías considerar además estas otras cuestiones:
¿Puedes escribir 1000, 2000, 3000, … como la diferencia del cuadrado de dos
números?
¿Puedes escribirlo en más de una forma?
¿Puedes escribir cualquier número repetido como la diferencia de dos cuadrados?
¿Y los números 434343, 123321, 123456, …?
135
¿Es posible escribir cualquier número como la diferencia de dos cuadrados?
(NRICH, 2021)17
Actividad 3
Objetivos: E2, E7, E11, A1, A2, A7, A8, A9, U2, U4, U7, U9, U10
Contenidos: 2, 5, 6, T1, T2, T3, T5, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
Estándares: 7.1, 7.2, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1, T8.2, T8.3, T9.1
Cuando la madre se pesó con el bebé, la báscula marcó 78 kg.
Cuando la enfermera se pesó con el bebé, la báscula marcó 69 kg.
Cuando la enfermera y la madre se pesaron juntas, la báscula marcó 137 kg.
¿Cuánto pesaba el bebé?
(NRICH, 2021)18
Actividad 4
Objetivos: E2, E7, E11, A1, A2, A7, A8, A9, U2, U4, U7, U9, U10
Contenidos: 2, 5, 6, T1, T2, T3, T5, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
Estándares: 7.1, 7.2, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T4.1, T4.2, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1, T8.2,
T8.3, T9.1
Piensa en dos números menores que .
Toma uno de ellos y súmale .
Multiplica por .
Suma de nuevo.
Dobla tu respuesta.
Resta .
17 https://nrich.maths.org/8471 18 https://nrich.maths.org/10098
136
Suma el otro número.
Suma 2.
Dobla de nuevo.
Resta .
Divide entre dos el número y dime la respuesta.
Con la respuesta puedo averiguar ambos números rápidamente. ¿Cómo?
Elige diferentes pares de números y repite el proceso.
¿Averiguas cómo funciona el truco?
(NRICH, 2021)19
Actividad 5
Objetivos: E2, E7, E11, A1, A2, A7, A8, A9, U2, U4, U7, U9, U10
Contenidos: 2, 5, 6, T1, T2, T3, T5, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
Estándares: 7.1, 7.2, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T4.1, T4.2, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1, T8.2,
T8.3, T9.1
Carlos ha hecho las siguientes cuentas:
¿Notas algún patrón?
Si no encuentras el patrón, lee lo que Carlos dijo:
“Si multiplicas dos números que difieren en 2 y luego sumas 1, la respuesta es ¡el
cuadrado del número que está entre ellos!”
¿Puedes explicar qué está pasando?
(NRICH, 2021)20
19 https://nrich.maths.org/thinkoftwonumbers 20 https://nrich.maths.org/11011
137
Actividad 6
Objetivos: E2, E7, E11, A1, A2, A7, A8, A9, U2, U3, U7, U9, U10
Contenidos: 2, 3, 4, T1, T2, T3, T5, T6
Comp. clave: CCL, CMCT, CAA, CSC, SIEP, CEC
Estándares: 7.1, 7.2, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T4.1, T4.2, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1, T8.2,
T8.3, T9.1
Elige dos números. El siguiente se calcula sumando los dos anteriores.
Figura 36: Ejemplo en STEM Learning (2021).
Encuentra la forma de calcular muy rápido el número del final.
(STEM Learning, 2021)21
21 https://www.stem.org.uk/resources/elibrary/resource/26973/performing-number-magic-a9 (p. 8)
138
139
Anexo II – Pruebas Anexo II.1 – Prueba con GeoGebra
Nombre y Apellidos: Nota:
/ 5
Fecha: / /202 ª Evaluación CURSO: 2º ESO
TEMA – ECUACIONES (GeoGebra) MATEMÁTICAS
Debéis resolver las siguientes ecuaciones con ayuda de GeoGebra. Después, representa la gráfica de dichas ecuaciones en el reverso de la hoja, o bien mandadme la captura de lo que habéis hecho a [email protected].
1. (1 punto)
Solución:
2. (1 punto)
Solución:
3.
(1,5 puntos)
Solución:
4.
(1,5 puntos)
Solución:
Estándares de aprendizaje evaluables: 7.1, T11.1, T11.2, T11.3
140
Anexo II.2 – Prueba escrita final
Nombre y Apellidos: Nota:
/ 10
Fecha: / /202 ª Evaluación CURSO: 2º ESO
TEMA – ECUACIONES MATEMÁTICAS
Debéis resolver los siguientes problemas. Leed con atención los enunciados y responded de manera clara y limpia.
1. (1 punto) Comprueba, en cada caso, si el valor propuesto es solución de la
ecuación:
a)
b)
c)
2. (2 puntos) Resuelve:
a)
b)
c)
d)
e)
3. (2 puntos) Resuelve:
a)
b)
c)
d)
e)
4. (2,5 puntos) Después de entrenar, Adán recogió el doble de pelotas que
Ricardo y cinco más que María. Si recogieron 35 pelotas en total, ¿cuántas
recogió Adán?
141
5. (2,5 puntos) En un campo de fútbol, el largo mide 30 m más que el ancho y el
área mide . Con estos datos, averigua las dimensiones que tiene el
campo de fútbol.
Las actividades 1, 2 y 3 del examen son de elaboración propia, la actividad 4 es
de NRICH (2021)22 y la actividad 5 de Álvarez et al. (2012, p. 129).
Los estándares de aprendizaje evaluables son:
• Actividades 1, 2 y 3: 7.1
• Actividades 4 y 5: 7.1, 7.2, T1.1, T2.1, T2.2, T2.4, T6.2, T6.3, T6.4, T8.1,
T8.2, T8.3, T9.1.
22 https://nrich.maths.org/11722
142
143
Anexo III – Rúbrica Porcentaje
Orden Enumera y ordena
cronológicamente los trabajos.
Suele enumerar y la mayoría de ejercicios
están ordenados.
No enumera y algunas actividades
están desordenadas.
Ni enumera ni ordena las
actividades. 10%
Limpieza No hay tachones y
respeta los márgenes.
No se excede con el corrector y respeta el
margen izquierdo.
Hay algún tachón y exceso de corrector. No siempre respeta
los márgenes.
Hay muchos tachones, a veces cuesta leer y no
respeta los márgenes.
10%
Participación en clase
Interviene y aporta ideas de forma
constante.
A menudo interviene y aporta nuevas
ideas.
Es necesario requerir su participación.
Se mantiene al margen y no
interviene pese a solicitar su
participación.
20%
Respeto de turnos Siempre respeta el turno de palabra.
A veces respeta el turno de palabra.
Le cuesta respetar el turno de palabra.
No respeta el turno de palabra 10%
Compañerismo
No impone sus ideas y siempre respeta las opiniones ajenas. Se
muestra colaborativo.
No impone sus ideas y siempre respeta las opiniones ajenas. A menudo se muestra
colaborativo.
A veces impone sus ideas y respeta
siempre las opiniones ajenas. No siempre se muestra colaborativo.
Rara vez respeta las opiniones ajenas. No
se muestra colaborativo.
20%
Comportamiento
Su comportamiento es siempre correcto,
permitiendo el desarrollo de las
clases.
Su comportamiento es siempre correcto, entorpeciendo rara vez el trabajo de sus
compañeros.
Su comportamiento es mejorable. A veces
distrae a sus compañeros y al
docente.
No permite dar clase con normalidad.
Dificulta el trabajo de sus compañeros.
30%
144
145
Anexo IV – Tabla con los contenidos, los criterios de evaluación, los estándares de aprendizaje evaluables y las competencias clave
Contenidos Criterios de evaluación CC Estándares de aprendizaje evaluables
1. Elementos de una ecuación.
2. Operaciones en una ecuación.
3. Ecuaciones de primer grado con una
incógnita:
3.3. Resolución por el método
algebraico.
3.4. Resolución por el método
gráfico.
4. Resolución de problemas con
ecuaciones de primer grado.
5. Ecuaciones de segundo grado con una
incógnita:
5.1. Resolución de ecuaciones
incompletas.
5.2. Resolución de
ecuaciones completas.
7. Utilizar el lenguaje
algebraico para simbolizar y
resolver problemas mediante
el planteamiento de
ecuaciones de primer, segundo
grado y sistemas de
ecuaciones, aplicando para su
resolución métodos
algebraicos o gráficos y
contrastando los resultados
obtenidos.
CCL
CMCT
CAA
7.1. Comprueba, dada una ecuación (o un
sistema), si un número (o números) es (son)
solución de la misma.
7.2. Formula algebraicamente una situación
de la vida real mediante ecuaciones de
primer y segundo grado, y sistemas de
ecuaciones lineales con dos incógnitas, las
resuelve e interpreta el resultado obtenido.
146
6. Resolución de problemas con
ecuaciones de segundo grado.
T.1. Planificación del proceso de resolución de
problemas.
T.1. Expresar verbalmente, de
forma razonada el proceso
seguido en la resolución de un
problema.
CCL
CMCT
T1.1. Expresa verbalmente, de forma
razonada, el proceso seguido en la resolución
de un problema, con el rigor y la precisión
adecuada.
T.2. Estrategias y procedimientos puestos en
práctica: uso del lenguaje apropiado (gráfico,
numérico, algebraico, etc.), reformulación del
problema, resolver subproblemas, recuento
exhaustivo, empezar por casos particulares
sencillos, buscar regularidades y leyes, etc.
T.2. Utilizar procesos de
razonamiento y estrategias de
resolución de problemas,
realizando los cálculos
necesarios y comprobando las
soluciones obtenidas.
CMCT
SIEP
T2.1. Analiza y comprende el enunciado de
los problemas (datos, relaciones entre los
datos, contexto del problema).
T2.2. Valora la información de un enunciado
y la relaciona con el número de soluciones
del problema.
T2.3. Realiza estimaciones y elabora
conjeturas sobre los resultados de los
problemas a resolver, valorando su utilidad y
eficacia.
T2.4. Utiliza estrategias heurísticas y procesos
de razonamiento en la resolución de
problemas, reflexionando sobre el proceso
de resolución de problemas.
147
T.3. Reflexión sobre los resultados: revisión de
las operaciones utilizadas, asignación de
unidades a los resultados, comprobación e
interpretación de las soluciones en el contexto
de la situación, búsqueda de otras formas de
resolución, etc.
T.3. Describir y analizar
situaciones de cambio, para
encontrar patrones,
regularidades y leyes
matemáticas, en contextos
numéricos, geométricos,
funcionales, estadísticos y
probabilísticos, valorando su
utilidad para hacer
predicciones.
CMCT
SIEP
T3.1. Identifica patrones, regularidades y
leyes matemáticas en situaciones de cambio,
en contextos numéricos, geométricos,
funcionales, estadísticos y probabilísticos.
T3.2. Utiliza las leyes matemáticas
encontradas para realizar simulaciones y
predicciones sobre los resultados esperables,
valorando su eficacia e idoneidad.
T.4. Profundizar en problemas
resueltos planteando
pequeñas variaciones en los
datos, otras preguntas, otros
contextos, etc.
CMCT
CAA
T4.1. Profundiza en los problemas una vez
resueltos: revisando el proceso de resolución
y los pasos e ideas importantes, analizando la
coherencia de la solución o buscando otras
formas de resolución.
T4.2. Se plantea nuevos problemas, a partir
de uno resuelto: variando los datos,
proponiendo nuevas preguntas, resolviendo
otros problemas parecidos, planteando casos
particulares o más generales de interés,
estableciendo conexiones entre el problema
y la realidad.
148
T.4. Planteamiento de investigaciones
matemáticas escolares en contextos
numéricos, geométricos, funcionales,
estadísticos y probabilísticos.
T.5. Elaborar y presentar
informes sobre el proceso,
resultados y conclusiones
obtenidas en los procesos de
investigación.
CCL
CMCT
CAA
SIEP
T5.1. Expone y defiende el proceso seguido
además de las conclusiones obtenidas,
utilizando distintos lenguajes: algebraico,
gráfico, geométrico y estadístico-
probabilístico.
T.5. Práctica de los procesos de
matematización y modelización, en contextos
de la realidad y en contextos matemáticos.
T.6. Desarrollar procesos de
matematización en contextos
de la realidad cotidiana
(numéricos, geométricos,
funcionales, estadísticos o
probabilísticos) a partir de la
identificación de problemas en
situaciones problemáticas de
la realidad.
CMCT
CAA
SIEP
T6.1. Identifica situaciones problemáticas de
la realidad, susceptibles de contener
problemas de interés.
T6.2. Establece conexiones entre un
problema del mundo real y el mundo
matemático: identificando el problema o
problemas matemáticos que subyacen en él y
los conocimientos matemáticos necesarios.
T6.3. Usa, elabora o construye modelos
matemáticos sencillos que permitan la
resolución de un problema o problemas
dentro del campo de las matemáticas.
T6.4. Interpreta la solución matemática del
problema en el contexto de la realidad.
T6.5. Realiza simulaciones y predicciones, en
el contexto real, para valorar la adecuación y
149
las limitaciones de los modelos, proponiendo
mejoras que aumenten su eficacia.
T.7. Valorar la modelización
matemática como un recurso
para resolver problemas de la
realidad cotidiana, evaluando
la eficacia y limitaciones de los
modelos utilizados o
construidos.
CMCT
CAA
T7.1. Reflexiona sobre el proceso y obtiene
conclusiones sobre él y sus resultados.
T.6. Confianza en las propias capacidades para
desarrollar actitudes adecuadas y afrontar las
dificultades propias del trabajo científico.
T.8. Desarrollar y cultivar las
actitudes personales
inherentes al quehacer
matemático.
CMCT
CSC
SIEP
CEC
T8.1. Desarrolla actitudes adecuadas para el
trabajo en matemáticas: esfuerzo,
perseverancia, flexibilidad y aceptación de la
crítica razonada.
T8.2. Se plantea la resolución de retos y
problemas con la precisión, esmero e interés
adecuados al nivel educativo y a la dificultad
de la situación.
T8.3. Distingue entre problemas y ejercicios y
adopta la actitud adecuada para cada caso.
T8.4. Desarrolla actitudes de curiosidad e
indagación, junto con hábitos de plantear/se
150
preguntas y buscar respuestas adecuadas,
tanto en el estudio de los conceptos como en
la resolución de problemas.
T.9. Superar bloqueos e
inseguridades ante la
resolución de situaciones
desconocidas.
CAA
SIEP
T9.1. Toma decisiones en los procesos de
resolución de problemas, de investigación y
de matematización o de modelización,
valorando las consecuencias de las mismas y
su conveniencia por su sencillez y utilidad.
T.10. Reflexionar sobre las
decisiones tomadas,
aprendiendo de ello para
situaciones similares futuras.
CAA
CSC
CEC
T10.1. Reflexiona sobre los problemas
resueltos y los procesos desarrollados,
valorando la potencia y sencillez de las ideas
claves, aprendiendo para situaciones futuras
similares.
151
T.7. Utilización de medios tecnológicos en el
proceso de aprendizaje para:
T.7.1. la elaboración y creación de
representaciones gráficas de datos numéricos,
funcionales o estadísticos.
T.7.2. facilitar la comprensión de propiedades
geométricas o funcionales y la realización de
cálculos de tipo numérico, algebraico o
estadístico.
T.11. Emplear las herramientas
tecnológicas adecuadas, de
forma autónoma, realizando
cálculos numéricos,
algebraicos o estadísticos,
haciendo representaciones
gráficas, recreando situaciones
matemáticas mediante
simulaciones o analizando con
sentido crítico situaciones
diversas que ayuden a la
comprensión de conceptos
matemáticos o a la resolución
de problemas.
CMCT
CD
CAA
T11.1. Selecciona herramientas tecnológicas
adecuadas y las utiliza para la realización de
cálculos numéricos, algebraicos o estadísticos
cuando la dificultad de los mismos impide o
no aconseja hacerlos manualmente.
T11.2. Utiliza medios tecnológicos para hacer
representaciones gráficas de funciones con
expresiones algebraicas complejas y extraer
información cualitativa y cuantitativa sobre
ellas.
T11.3. Diseña representaciones gráficas para
explicar el proceso seguido en la solución de
problemas, mediante la utilización de medios
tecnológicos.
T11.4. Recrea entornos y objetos
geométricos con herramientas tecnológicas
interactivas para mostrar, analizar y
comprender propiedades geométricas.
152
T.12. Utilizar las tecnologías de
la información y la
comunicación de modo
habitual en el proceso de
aprendizaje, buscando,
analizando y seleccionando
información relevante en
Internet o en otras fuentes,
elaborando documentos
propios, haciendo
exposiciones y
argumentaciones de los
mismos y compartiendo éstos
en entornos apropiados para
facilitar la interacción.
CMCT
CD
SIEP
T12.1. Elabora documentos digitales propios
(texto, presentación, imagen, video,
sonido…), como resultado del proceso de
búsqueda, análisis y selección de información
relevante, con la herramienta tecnológica
adecuada y los comparte para su discusión o
difusión.
T12.2. Utiliza los recursos creados para
apoyar la exposición oral de los contenidos
trabajados en el aula.
T12.3. Usa adecuadamente los medios
tecnológicos para estructurar y mejorar su
proceso de aprendizaje recogiendo la
información de las actividades, analizando
puntos fuertes y débiles de su proceso
académico y estableciendo pautas de mejora.
153
Anexo V – Actividad 41 Anexo V.1 – Fichas
A1 2 – x = x – 8 A8 5x + 4 = 1 – x
A2 3(x – 5) = 6 A9 4(2x + 1) = x + 4
A3 – 4x + 7 + 6x + 9 = 2(x + 8) A10 4x + 12 = 4x + 15
A4 3x + 9 = 3(x + 4) A11 x2 + 4x = 0
A5 x2 + 3x + 2 = 0 A12 2 x2 + 1 = x2 + 2
A6 x2 + 1 = 0 A13 x2 – 2x + 2 = 0
A7 x2 + 9 = 6x A14 x2 – 3x + 2 = 0
B1 2x + 16 = 2(x + 8) B8 (x – 3) · x + 2 = 0
B2 x + 1 + x = B9 x + 3 = x + 4
B3 x2 + 3x + 4 = 4 – x B10 3x – 15 = 6
B4 8(x + 1) – 4 = 2x + 4 – x B11 x2 + 3(x + 1) = 1
B5 2(x2 + 1) = x2 + 1 B12 2 – 2x + x = 4 + x – 12
B6 x · (x – 6) = – 9 B13 x2 + 3 = 2
B7 3x + 12 +2x – x = 15 + 4x B14 5 x2 – 3x + 4 = 4 x2 – x + 2
C1 x + 3 = C8 3x + 3 + 2x = 1 – x
C2 (x + 1) · (x – 1) = 0 C9 4 x2 + 5 = 3 x2 + 4
C3 – 8x + 7 + 10x + 9 = 3(x + 4) – x + 4 C10 ¼ (2x – 3) 2 – ¼ = 0
C4 2 – x – 1 + x = x – 4 – x C11 3(x – 4) – 3 = 6
C5 (x + 1) · (x + 2) = 0 C12 (x – 3) 2 = 0
C6 2x + 1 = + 1 C13 x + 3 + 2(x + 3) = x + 12 + 2x
C7 x (5x – 3) + 4 = 4x · ( x – 1) + 3x + 2 C14 3x + 5 = 5 – x2 – x
154
D1 x = 7 D8 Ninguna solución
D2 x = – 1, x = D9 x = 3
D3 x = 1, x = – 1 D10 Infinitas soluciones
D4 x = 5 D11
D5 x = 0, x = – 4 D12 x =
D6 Ninguna solución D13 x = –1/2
D7 x = 1, x = D14 Ninguna solución
• Las fichas serán recortadas previamente. Los alumnos recibirán la ficha recortada de la
siguiente manera (ejemplo de una de las piezas):
D1 x = 7
155
Anexo V.2 – Fichas completas
A1 2 – x = x – 8 A8 5x + 4 = 1 – x
A2 3(x – 5) = 6 A9 4(2x + 1) = x + 4
A3 – 4x + 7 + 6x + 9 = 2(x + 8) A10 4x + 12 = 4x + 15
A4 3x + 9 = 3(x + 4) A11 x2 + 4x = 0
A5 x2 + 3x + 2 = 0 A12 2 x2 + 1 = x2 + 2
A6 x2 + 1 = 0 A13 x2 – 2x + 2 = 0
A7 x2 + 9 = 6x A14 x2 – 3x + 2 = 0
B1 2x + 16 = 2(x + 8) B8 (x – 3) · x + 2 = 0
B2 x + 1 + x = B9 x + 3 = x + 4
B3 x2 + 3x + 4 = 4 – x B10 3x – 15 = 6
B4 8(x + 1) – 4 = 2x + 4 – x B11 x2 + 3(x + 1) = 1
B5 2(x2 + 1) = x2 + 1 B12 2 – 2x + x = 4 + x – 12
B6 x · (x – 6) = – 9 B13 x2 + 3 = 2
B7 3x + 12 +2x – x = 15 + 4x B14 5 x2 – 3x + 4 = 4 x2 – x + 2
C1 x + 3 = C8 3x + 3 + 2x = 1 – x
C2 (x + 1) · (x – 1) = 0 C9 4 x2 + 5 = 3 x2 + 4
C3 – 8x + 7 + 10x + 9 = 3(x + 4) – x + 4 C10 ¼ (2x – 3) 2 – ¼ = 0
C4 2 – x – 1 + x = x – 4 – x C11 3(x – 4) – 3 = 6
C5 (x + 1) · (x + 2) = 0 C12 (x – 3) 2 = 0
C6 2x + 1 = + 1 C13 x + 3 + 2(x + 3) = x + 12 + 2x
C7 x (5x – 3) + 4 = 4x · ( x – 1) + 3x + 2 C14 3x + 5 = 5 – x2 – x
D1 x = 7 D8 Ninguna solución
156
D2 x = – 1, x = – 2 D9 x = 3
D3 x = 1, x = – 1 D10 Infinitas soluciones
D4 x = 5 D11 Ninguna solución
D5 x = 0, x = – 4 D12 x = 0
D6 Ninguna solución D13 x = –1/2
D7 x = 1, x = 2 D14 Ninguna solución
157
Anexo V.3 – Solución de la actividad Grupo 1 Grupo 8
A1 + B12 + C4 + D4 + E12 + F1 A8 + B2 + C8 + D13 + E1 + F3
2 – x = x – 8 2 – 2x + x = 4 + x – 12
2 – x – 1 + x = x – 4 – x
x = 5
5x + 4 = 1 – x
x + 1 + x =
3x + 3 + 2x = 1 – x x = –1/2
Grupo 2 Grupo 9
A2 + B10 + C11 + D1 + E2 + F10 A9 + B4 + C6 + D12 + E4 + F8
3(x – 5) = 6 3x – 15 = 6 3(x – 4) – 3 = 6 x = 7
4(2x + 1) = x + 4 8(x + 1) – 4 = 2x + 4 – x
2x + 1 = + 1
x = 0
Grupo 3 Grupo 10
A3 + B1 + C3 + D10 + E8 + F14 A10 + B7 + C1 + D14 + E13 + F5
– 4x + 7 + 6x + 9 = 2(x + 8) 2x + 16 = 2(x + 8) – 8x + 7 + 10x + 9 = 3(x + 4) – x + 4 Infinitas soluciones
4x + 12 = 4x + 15 3x + 12 +2x – x = 15 + 4x
x + 3 =
Ninguna solución
Grupo 4 Grupo 11
A4 + B9 + C13 + D8 + E5 + F4 A11 + B3 + C14 + D5 + E6 + F2
3x + 9 = 3(x + 4) x + 3 = x + 4 x + 3 + 2(x + 3) = x + 12 + 2x Ninguna solución
x2 + 4x = 0 x2 + 3x + 4 = 4 – x 3x + 5 = 5 – x2 – x x = 0, x = – 4
Grupo 5 Grupo 12
A5 + B11 + C5 + D2 + E9 + F13 A12 + B5 + C2 + D3 + E10 + F6
x2 + 3x + 2 = 0 x2 + 3(x + 1) = 1 (x + 1) · (x + 2) = 0 x = – 1, x = – 2
2 x2 + 1 = x2 + 2 2(x2 + 1) = x2 + 1 (x + 1) · (x – 1) = 0 x = 1, x = – 1
Grupo 6 Grupo 13
A6 + B13 + C9 + D11 + E7 + F7 A13 + B14 + C7 + D6 + E3 + F12
x2 + 1 = 0 x2 + 3 = 2 4 x2 + 5 = 3 x2 + 4 Ninguna solución
x2 – 2x + 2 = 0 5 x2 – 3x + 4 = 4 x2 – x + 2 x (5x – 3) + 4 = 4x · ( x – 1) + 3x + 2 Ninguna solución
Grupo 7 Grupo 14
A7 + B6 + C12 + D9 + E14 + F11 A14 + B8 + C10 + D7 + E11 + F9
x2 + 9 = 6x x · (x – 6) = – 9 (x – 3) 2 = 0 x = 3
x2 – 3x + 2 = 0 (x – 3) · x + 2 = 0 ¼ (2x – 3) 2 – ¼ = 0 x = 1, x = 2
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