Centro de Investigacion Cient´ıﬁca y de Educaci´ on´ Superior de … · 2016-12-05 · que se...

Centro de Investigacion Cientıfica y de EducacionSuperior de Ensenada, Baja California

MR

Maestrıa en Ciencias

en Optica con orientacion en Optica Fısica

Calculo numerico de patrones de radiacion de nano-antenas

opticas

Tesis

para cubrir parcialmente los requisitos necesarios para obtener el grado de

Maestro en Ciencias

Presenta:

Edgar Jovanni Robles Raygoza

Ensenada, Baja California, Mexico

2016

Tesis defendida por

Edgar Jovanni Robles Raygoza

y aprobada por el siguiente Comite

Dr. Vıctor Ruiz CortesDirector del Comite

Dr. Eugenio Rafael Mendez Mendez

Dr. Vıctor Manuel Coello Cardenas

Dr. Israel Rocha Mendoza

Dr. Jose Luis Medina Monroy

Dr. Pedro Negrete Regagnon

Coordinador del Programa de Posgrado en Optica

Dra. Rufina Hernandez MartınezDirector de Estudios de Posgrado

Edgar Jovanni Robles Raygoza © 2016Queda prohibida la reproduccion parcial o total de esta obra sin el permiso formal y explıcito del autor

ii

Resumen de la tesis que presenta Edgar Jovanni Robles Raygoza como requisito parcialpara la obtencion del grado de Maestro en Ciencias en Optica con orientacion en OpticaFısica.

Calculo numerico de patrones de radiacion de nano-antenas opticas

Resumen aprobado por:

Dr. Vıctor Ruiz CortesDirector de tesis

El esparcimiento de luz es una cualidad propia de materiales con diversas geometrıas,ya sean dielectricos o metalicos. Utilizando la cualidad anterior y considerando la teorıade radiofrecuencia para la construccion de una antena Yagi-Uda, el objetivo de este traba-jo de investigacion es el estudio del esparcimiento de un conjunto de partıculas metalicas(nanolaminas) para que su patron de radiacion presente caracterısticas partıculares. Esdecir, realizar disenos con nanopartıculas metalicas que irradien con la mayor gananciaposible y que el lobulo principal del patron de radiacion sea altamente directivo. El es-parcimiento de ondas electromagneticas motivo la construccion de muchos dispositivosque se utilizan en la actualidad y son de gran interes para un estudio detallado comoson las antenas. Una de las antenas utilizadas en radiofrecuencia es la antena Yagi-Uda.Esta antena tiene multiples aplicaciones y a pesar de tener una estructura sencilla pre-senta caracterısticas especıficas en su patron de radiacion como es una alta gananciay direccionalidad del lobulo principal. Como primer apartado de resultados, se hace unestudio numerico sobre partıculas metalicas (oro y plata) aısladas con diferentes geo-metrıas, esto para entender el comportamiento de esparcimiento de ondas con dos tiposde iluminacion: frente de onda plano y una fuente puntual. Posterior a esto, se realizo unestudio numerico con pares de partıculas de diferentes geometrıas para estudiar susresonancias, consecuente a esto, se muestran los resultados de dos disenos de nanoan-tenas utilizando una longitud de onda de λ = 532nm. Y por ultimo se muestran las com-paraciones de cuatro metodos de diseno de nanoantenas iluminadas a una longitud deonda de λ = 633nm utilizando el formalismo de ecuaciones integrales. Con estos resul-tados es viable llevar los disenos propuestos a la practica ya que las dimensiones de lasnanoantenas mostradas se pueden fabricar utilizando tecnicas fotolitograficas.

Palabras Clave: Nanoantenas, Patron de radiacion, Esparcimiento, plasmon.

iii

Abstract of the thesis presented by Edgar Jovanni Robles Raygoza as a partial require-ment to obtain the Master of Science degree in Master in Science in Optics with orientationin Optical Physics.

Numerical computing of optical radiation patterns nanoantennas

Abstract approved by:

Dr. Vıctor Ruiz CortesThesis Advisor

The scattering of light is a characteristic of materials with different geometries, whetherdielectric or metallic. Using the above quality and considering the radiofrequency theoryfor the construction of a Yagi-Uda antenna, the objective of this research is the study ofthe scattering of a set of metal particles (nanolamines) so that its pattern of radiationpresents particular characteristics. That is, designs with metal nanoparticles that radiatewith the highest possible gain and that the main lobule of the radiation pattern is highlydirective. The scattering of electromagnetic waves is the reason for the construction ofmany devices that are used today and are of great interest for a detailed study as arethe antennas. One of the antennas used in radio frequency is the Yagi-Uda antenna. Thisantenna has multiple applications and despite having a simple structure presents specificcharacteristics in its radiation pattern as is a high gain and directionality of the main lobe.In the first section of results, a numerical study on metal particles (gold and silver) insu-lated with different geometries is done to understand the wave propagation behavior withtwo types of illumination: a plane front wave and a point source. Subsequently, a numericalstudy was performed with dimers of different geometries to study their resonances, conse-quently, the results of two nanoantennas designs using a wavelength of λ = 532nm. Andlastly, we show the comparisons of four nanoantene design illuminated at a wavelength ofλ = 633nm using the formalism of integral equations. With these results, it is feasible totake the proposed designs to the practice since the dimensions of the nanoantenas showncan be made using e-beam lithography.

Keywords: Nanoantennas, Radiation pattern, Scattering

iv

Dedicatoria

A mis padres

Luz Marıa y Juan Salvador

A mis hermanos

Erick y Eduardo

Y la gran familia que el destino me ha

dado

v

Agradecimientos

A mis padres y hermanos, por su apoyo incondicional y ser una motivacion para

alcanzar grandes logros.

Al Dr. Vıctor Ruiz Cortes, por su gran apoyo y paciencia que me han llevado a elaborar

el trabajo de tesis.

A los miembros de mi comite de tesis, por su apoyo, sugerencias y colaboracion es

este trabajo.

Al Dr. Eugenio R. Mendez, miembro del comite, por su paciencia, consejos y reco-

mendaciones que aporto para realizar esta tesis. A todos los investigadores, estudiantes

y tecnicos del departamento de optica, que gracias a su calidad humana, aportaron gran-

des ensenanzas de vida.

A mis amigos que estuvieron apoyandome durante mis estudios y en otras actividades

personales.

Al Centro de Investigacion Cientıfica y de Educacion Superior de Ensenada, en espe-

cial a todo el departamento de optica que me ha brindado un gran apoyo con mi trabajo

de tesis.

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologıa (CONACyT) por brindarme el apoyo

economico para realizar mis estudios de maestrıa.

vi

Tabla de contenidoPagina

Resumen en espanol ii

Resumen en ingles iii

Dedicatoria iv

Agradecimientos v

Lista de figuras viii

Lista de tablas xiv

1. Introduccion 11.1. Nanoantenas y la plasmonica: Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Objetivos del trabajo de tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2. Objetivos partıculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Estructura de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Antenas y sus parametros 102.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.1. Resena historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2. Tipos de antenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1. Antenas de alambre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.2. Antenas de apertura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.3. Antenas con reflectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.4. Arreglos de antenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3. Parametros de las antenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.1. Patron de radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.2. Lobulos del patron de radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.3. Direccionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.4. Ganancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.5. Relacion frente-atras (Front-to-back-ratio) . . . . . . . . . . . . 172.3.6. Eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.7. Ancho de banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4. La antena Yagi-Uda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.1. Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.2. Arreglo lineal de elementos de alambre: Antena Yagi-Uda . . . 20

2.5. Propiedades opticas de los metales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5.1. Plasmones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3. Formulacion teorica 273.1. Modelaje de la geometrıa de la superficie esparcidora . . . . . . . . . 273.2. Ondas electromagneticas con polarizacion s . . . . . . . . . . . . . . . 283.3. Campo esparcido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4. Ondas electromagneticas con polarizacion p . . . . . . . . . . . . . . . 363.5. El campo lejano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.6. El campo incidente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.6.1. Frente de onda plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

vii

3.6.2. Fuente puntal bidimensional (frente de onda cilındrico) . . . . . 433.7. Potencia del haz incidente y del campo esparcido . . . . . . . . . . . . 453.8. Seccion eficaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4. Resultados numericos 514.1. Nanopartıculas aisladas con ondas s y p . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.1.1. Esparcimiento por cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.1.1.1. Cilindros iluminados con un frente de onda plano . . . . . 514.1.1.2. Cilindros iluminados con un frente de onda cilındrico . . . 55

4.1.2. Esparcimiento por nanolaminas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.1.2.1. Nanolaminas iluminadas con un frente de onda plano . . . 564.1.2.2. Nanolaminas iluminadas con un frente de onda cilındrico . 58

4.2. Conjunto de nanopartıculas interactuando . . . . . . . . . . . . . . . . 604.2.1. Cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.2.2. Nanoantena dipolo - nanolaminas . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3. Nanoantena tipo Yagi-Uda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.3.1. Construccion de una nanoantena con nanolaminas . . . . . . . 674.3.2. Comparacion de tres estrategias de diseno utilizando el Meto-

do Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5. Conclusiones 103

Literatura citada 106

viii

Lista de figurasFigura Pagina

1. Tipos de antenas (Poole (2001)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Dipolo colocado sobre un sustrato acoplado a una nanoantena Yagı-Uda.(a) Posicion y orientacion del dipolo en la nanoantena. (b) Distribucion delcampo electrico en campo cercano. (c) Patron de radiacion en campo le-jano (Taminiau H et al. (2008b)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. (A) muestra un barrido confocal de luminicencia del punto cuantico (QD)colocado en un area de 60nm, el dipolo de la antena λ

2, y la antena Yagi-

Uda respectivamente. (B). Patron de radiacion (distribucion de intensidaden el plano focal posterior del objetivo) de cada estructura mostrada en(A)(Curto G et al. (2010)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4. Esquema de una nanoantenna conformada de nanovarillas de plata de lon-gitud variable (Miroshnichenko E et al. (2011)). . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5. Tipos de antenas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6. Antena de corneta Ridged (Ridged horn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

7. Antena con reflector parabolico (Global Scan (2015)). . . . . . . . . . . . . 13

8. Fotografıas de algunos tipos de arreglos de antenas (IIma (2001)). . . . . . 14

9. Sistema coordenado para el analisis del patron de radiacion de una antena. 15

10. Tipos de patrones de radiacion para antenas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

11. Caracterısticas principales del patron de radiacion de una antena (Bala-nis A (2005)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

12. Patron de radiacion donde se muestra la direccion conocida como “haciaadelante (front)” y a que direccion se le conoce como “hacia atras (back)”. . 18

13. Esquema de la configuracion de una antena Yagi-Uda. . . . . . . . . . . . . 19

14. (a)Patron de radiacion tridimencional de un dipolo de longitud de λ2. (b)

Planos E y H en el plano polar del patron de radiacion de la antena dipolo. 22

15. Directividad y la razon de la radiacion hacia al frente en comparacion delesparcimiento hacia atras (front to back ratio) en funcion de la distanciadel reflector para una antena Yagi-Uda de 15 elementos, Balanis A (2005)(p.589). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

16. Directividad y la razon de la radiacion hacia al frente en comparacion delesparcimiento hacia atras (front to back ratio) en funcion de la distancia delos directores para una antena Yagi-Uda de 15 elementos, Balanis A (2005)(p.589). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

17. Representacion de la geometrıa esparcidora. . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

18. Representacion del esparcimiento en polarizacion s por una superficie. . . 30

19. Segundo teorema integral de Green: region de integracion. . . . . . . . . . 31

ix

20. Geometrıa del esparcimiento y el segundo teorema integral de Green deuna onda electromagnetica en la superficie esparcidora. . . . . . . . . . . . 32

21. Teorema de Green para una region multiplemente conexa. . . . . . . . . . 35

22. Representacion esquematica del esparcimiento en polarizacion p por unasuperficie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

23. Esquema donde se ilustra la geometrıa para campo en el regimen lejano. . 41

24. Referencia de iluminacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

25. Diagrama esquematico donde se representa el flujo de energıa incidente yespacido mediante una partıcula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

26. Diagrama esquematico de la integracion angular para las geometrıas uti-zadas iluminadas con un frente de onda cilındrico. . . . . . . . . . . . . . . 48

27. Esquema de la geometrıa esparcidora utilizando el formalismo del MetodoIntegral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

28. Seccion eficaz de esparcimiento para una partıcula de oro, con geometrıacircular de radio 20 nm iluminada con un frente de onda plano; el campoelectromagnetio incide desde arriba con amplitud unitaria.(a) Formalismodel Metodo Integral. (b) Formalismo de Mie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

29. Distriucion del campo electrico (|E|2) en el regimen cercano (a) y lejano (b)en polarizacion p para el caso de una nanopartıcula de oro iluminada conun frente de onda plano a la longitud de onda de resonancia λ = 520nm,con forma circular de radio de 20nm. El campo electromagnetico incidedesde arriba (θ = 00) y tiene amplitud unitaria. . . . . . . . . . . . . . . . . 54

30. Seccion eficaz de esparcimiento para una nanopartıcula circular de oro deradio 20nm iluminada con un frente de onda cilındrico con amplitud unitaria. 55

31. (a) Distribucion de campo electrico en el regimen cercano para una nano-partıcula circular de radio 20 nm iluminada con un frente de onda cilındrico.(b) Distribucion angular de intensidad lejos de la nanopartıcula (“campolejano”). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

32. Seccion eficaz de extincion (Qext), esparcimiento (Qscs) y absorcion (Qabs)para una nanolamina de oro con dimensiones (L = 60nm × l = 40nm).La nanopartıcula es iluminada con un frente de onda plano desde arriba(θ = 00) y tiene amplitud unitaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

33. Distribucion de campo electrico en el regimen cercano para una nanolami-na de 40 nm de diametro y 60 nm de largo iluminada con un frente de ondaplano en polarizacion p (a), y en polarizacion s (b). Distribucion angular deintensidad lejos de la nanolamina (“campo lejano”) en polarizacion p (c) y srespectivamente (d). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

34. Seccion eficaz de esparcimiento (Qscs) para una nanolamina de oro condimensiones (L = 60nm × l = 40nm). La nanopartıcula es iluminada conun frente de onda cilındrico (en polarizacion p), tiene amplitud unitaria y seencuentra a 5nm en la direccion z negativa de la nanolamina. . . . . . . . 59

x

35. (a) Distribucion de campo electrico en el regimen cercano para una na-nolamna de 40 nm de diametro y 60 nm de largo iluminada con un frentede onda cilındrico en polarizacion p, (b) polarizacion s. (c,d) Distribucionangular de intensidad lejos de la nanopartıcula (“campo lejano”) en polari-zacion p y s respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

36. (a) Seccion eficaz de esparcimiento para dos cilindros de plata de radior=25 nm variando la distancia de separacion δ e iluminados con un frenteplano desde arriba. (b) Seccion eficaz de esparcimiento para dos cilındroscon una separacion δ = 5nm iluminados desde arriba (curva azul conti-nua), iluminando un solo cilindro (curva negra discontınua). (c) Distribucionde Intensidad del campo electrico en el regimen cercano normalizado alcampo incidente en polarizacion p, en escala logarıtmica (log10 | E |2) ala frecuencia de resonancia (λ = 380nm), (d) fuera de resonancia (λ =450nm), para una distancia entre cilindros de δ = 5nm. La direccion delcampo incidente es desde arriba (θ = 00). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

37. Seccion eficaz de esparcimiento para dos cilindros de plata de radio r =25nm variando la distancia δ entre ellos e iluminados con una fuente pun-tual (a). Seccion eficaz de esparcimiento para dos cilındros con un δ = 5nmiluminados con una fuente puntual (curva azul continua), iluminando unsolo cilindro (curva negra discontınua)(b). Distribucion de Intensidad delcampo electrico en el regimen cercano normalizado al campo incidente enpolarizacion p, en escala logarıtmica (log10 | E |2) a la frecuencia de reso-nancia (λ = 373nm) (c), iluminado fuera de la frecuencia de resonancia(λ = 450nm) para una distancia entre cilindros de δ = 5nm (d). . . . . . . . 64

38. (a) Seccion eficaz de esparcimiento para dos nanolaminas de oro de lon-gitud L=160nm y altura l = 20nm variando la distancia de separacion δ eiluminados con un frente plano desde arriba.(b) Distribucion de Intensidaddel campo electrico en el regimen cercano normalizado al campo incidenteen polarizacion p, en escala logarıtmica (log10 | E |2) a la frecuencia de re-sonancia, para una distancia entre cilindros de δ = 5nm. La direccion delcampo incidente es desde arriba (θ = 00). (c) Seccion eficaz de esparci-miento para dos cilındros con un δ = 5nm iluminados desde arriba (curvaazul continua), iluminando un solo cilindro (curva negra discontınua). . . . . 65

39. (a) Seccion eficaz de esparcimiento para dos nanolaminas de oro de lon-gitud L=160nm y altura l = 20nm variando la distancia de separacion δe iluminados con una fuente cilındrica.(b) Distribucion de Intensidad delcampo electrico en el regimen cercano normalizado al campo incidente enpolarizacion p, en escala logarıtmica (log10 | E |2) a la frecuencia de reso-nancia, para una distancia entre cilindros de δ = 5nm. (c) Seccion eficazde esparcimiento para dos cilındros con un δ = 5nm iluminados con unafuente puntual (curva azul continua), iluminando una sola nanolamina (cur-va negra discontınua). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

40. Esquema de un diseno final de una antena. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

41. Esquema donde se muestra la polarizacion del campo electrico para lageometrıa esparcidora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

xi

42. Mapa conceptual donde se muestran los pasos a seguir para la construc-cion de una nanoantena conformada por nanolaminas. . . . . . . . . . . . 69

43. Relacion Front-to-back ratio para un sistema fuente-nanolamina en funcionde la longitud de la nanobarra (a). Patron de radiacion con longitud Lf =21nm (b). Distribucion de intensidad del campo electrico en campo cercanoen polarizacion p (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

44. Ilustracion donde se mustran los parametros iniciales y el procedimientopara encontrar la longitud optima del primer nanorod (director). . . . . . . . 71

45. Relacion Front-to-back-ratio para un sistema de dos nanopartıculas de oro(“feeder” y 1er director) en funcion del alargamiento del 1er director. El F2B-OPT presenta un maximo de esparcimiento cuando L1 = 30nm (curva azul). 72

46. Patron de radiacion cundo la longitud del primer director es L1 = 30nm . . 73

47. Ilustracion donde se muestran los parametros para optimizar la distanciadel primer director. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

48. Relacion Front-to-back-ratio para un sistema de dos nanopartıculas de oro(“feeder” y 1er director) en funcion de la distancia del 1er director. . . . . . . 75

49. (a) Campo electrico en campo cercano para un sistema de dos nano-partıculas (“feeder” y un director) de oro iluminadas en polarizacion p. (b)Patron de radiacion con longitud L1 = 30nm y la distancia es d1 = 100nm. 76

50. Relacion Front-to-back-ratio para un sistema de tres nanopartıculas de oro(“feeder” y dos directores) en funcion del alargamiento del 2do director (a).Patron de radiacion con L2 = 25nm (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

51. Relacion Front-to-back-ratio para un sistema de tres nanopartıculas de oro(“feeder” y dos directores) en funcion de la distancia del 2do director. . . . . 78

52. (a) Distribucion de intensidad del campo electrico en campo cercano paraun sistema de tres nanopartıculas (“feeder” y dos directores) de oro. (b)Patron de radiacion con longitud del segundo director L2 = 25nm y la dis-tancia optimizada es d2 = 175nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

53. Relacion Front-to-back-ratio para un sistema de cuatro nanopartıculas deoro (“feeder” y tres directores) en funcion del alargamiento del 3er director(a). Patron de radiacion con longitud L3 = 10nm (b). Patron de radiacioncon longitud L3 = 150nm (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

54. Relacion Front-to-back-ratio para un sistema de cuatro nanopartıculas deoro (“feeder” y tres directores) en funcion de la distancia del 3er director. ElF2B-OPT presenta un maximo de esparcimiento cuando el tercer directorse encuentra en una distancia d3 = 345nm (curva azul). . . . . . . . . . . . 81

55. Distribucion de intensidad del campo electrico en campo cercano para unsistema de cuatro partıculas (“feeder y tres directores) (a). Patron de radia-cion con d3 = 345nm (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

56. Diagrama ilustrativo donde se muestran los parametros de los elementosque conforman la nanoantena. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

xii

57. Relacion Front-to-back-ratio para un sistema de cinco nanopartıculas deoro (reflector, “feeder” y tres directores) en funcion del alargamiento delreflector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

58. (a) Campo electrico en el regimen cercano para un sistema de cinco na-nopartıculas (reflector, “feeder” y tres directores) de oro iluminadas con unfrente de onda cilındrico en polarizacion p. (b) Patron de radiacion (campoelectrico) para el mismo sistema mostrado en (a). . . . . . . . . . . . . . . 85

59. Seccion eficaz de esparcimiento para cinco nanolaminas de oro de diame-tro l = 10nm y largo Lf = 21nm , L1 = 30nm, L2 = 25nm, L3 = 140nm yLr = 370nm, iluminados con una fuente cilındrica con polarizacion p. . . . 86

60. (a) Distribucion de intensidad del campo electrico en el regimen cercanopara un sistema de cinco nanopartıculas (reflector, “feeder” y tres directo-res) de oro iluminadas con un frente de onda cilındrico en polarizacion p.(b) Patron de radiacion (campo electrico) para el mismo sistema mostradoen (a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

61. Seccion eficaz de esparcimiento para cinco nanolaminas de oro de diame-tro l = 30nm y largo Lf = 60nm , L1 = 70nm, L2 = 110nm, L3 = 420nm yLr = 290nm, iluminados con una fuente cilındrica con polarizacion p. . . . 89

62. (a) Distribucion de intensidad del campo electrico en el regimen cercanopara un sistema de cinco nanopartıculas (reflector, “feeder” y tres directo-res; con parametros de la tabla 4) de oro iluminadas con un frente de ondacilındrico en polarizacion p. (b) Patron de radiacion (campo electrico) parael mismo sistema mostrado en (a). (c)Campo electrico en el regimen cer-cano con iluminacion en la longitud de onda de resonancia (λ = 573nm);(d) patron de radiacion en la condicion de resonancia. . . . . . . . . . . . . 92

63. Seccion eficaz de esparcimiento para cinco nanolaminas de oro de diame-tro l = 60nm y largo Lf = 280nm , L1 = 480nm, L2 = 370nm, L3 = 660nmy Lr = 930nm, iluminados con una fuente cilındrica con polarizacion p. . . 93

64. (a) Campo electrico en el regimen cercano para un sistema de cinco na-nopartıculas (reflector, “feeder” y tres directores) de oro iluminadas con unfrente de onda cilındrico en polarizacion p. Los parametros de la nanoante-na se obtuvieron con base a las medidas de la antena de radiofrecuenciautilizando una longitud de onda de λ = 633nm. (b) Patron de radiacion(campo electrico) para el mismo sistema mostrado en (a). . . . . . . . . . . 94

65. (a) Campo electrico en el regimen cercano para un sistema de cinco na-nopartıculas (reflector, “feeder” y tres directores) de oro iluminadas con unfrente de onda cilındrico en polarizacion p. Los parametros de la nanoante-na se obtuvieron con base a las medidas de la antena experimental mostra-da en Curto G et al. (2010) utilizando una longitud de onda de λ = 633nm.(b) Patron de radiacion (campo electrico) para el mismo sistema mostradoen (a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

xiii

66. Ilustracion de una nanoantena con una constante dielectrica ε (ω), una lon-gitud L y diametro 2R. El campo electrico oscila en la direccion del ejemayor de la nanoantena y la propagacion de la onda es perpedicular al ejede simetrıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

67. (a) Campo electrico en el regimen cercano para un sistema de cinco na-nopartıculas (reflector, “feeder” y tres directores) de oro iluminadas con unfrente de onda cilındrico en polarizacion p. Los parametros de la nanoante-na se obtuvieron con base a la expresion (86), Novotny (2007); utilizandouna longitud de onda de λ = 633nm. (b) Patron de radiacion (campo electri-co) para el mismo sistema mostrado en (a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

68. (a) Distribucion de intensidad en campo cercano para un sistema de cin-co nanopartıculas (reflector, “feeder” y tres directores) de oro iluminadascon un frente de onda cilındrico en polarizacion p. Los parametros de lananoantena se obtuvieron con el metoo propuesto utilizando una longitudde onda de λ = 633nm. (b) Patron de radiacion (campo electrico) para elmismo sistema mostrado en (a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

69. (a) Distribucion de campo electrico cercano para la misma nanoantena peroiluminada con un frente de onda plano desde abajo, la onda plana tieneamplitud unitaria y la lonfgitud de onda es de λ = 633nm. (b) Patron deradiacion de radiacion de la nanoantena iluminada con una onda planadesde abajo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

xiv

Lista de tablasTabla Pagina

1. Parametros que constituyen una antena Yagi-Uda tıpica de cinco ele-mentos (Balanis A (2005)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. Parametros que constituyen una nanoantena de nanolaminas de orocon radio r = 5nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87



5. Parametros que constituyen una nanoantena de nanolaminas de orocon radio r = 30nm segun la teorıa de radiofrecuencia. . . . . . . . . 94

6. Parametros que constituyen una nanoantena de nanolaminas de orocon radio r = 30nm segun Curto G et al. (2010). . . . . . . . . . . . . 95

7. Parametros que constituyen una nanoantena de nanolaminas de orocon radio r = 30nm segun el reescalamiento de la longitud de onda,Novotny (2007). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

8. Parametros que constituyen una nanoantena de nanolaminas de orocon radio r = 30nm con el metodo propuesto. . . . . . . . . . . . . . 100

9. Parametros que constituyen una nanoantena de nanolaminas de orocon radio r = 30nm con el metodo propuesto. . . . . . . . . . . . . . 102

1

Capıtulo 1. Introduccion

1.1. Nanoantenas y la plasmonica: Introduccion

Desde hace 60 anos existe un gran interes en la fabricacion y caracterizacion de dispo-

sitivos nanometricos para implementarlos en diferentes campos como la optoelectronica,

nanoquımica, entre otras (Cao et al. (2014); De Angelis et al. (2009); Dorfmuller et al.

(2007)). El comportamiento de la interaccion de la luz con los metales ha generado un

gran numero de investigaciones a tal grado que a este nuevo campo se le conoce co-

mo plasmonica. Un plasmon es una oscilacion del plasma (gas de electrones libres) de

los niveles externos de un metal y usualmente se generan a frecuencias opticas. La pre-

sencia de plasmones en nanopartıculas metalicas depende del tamano de esta, su forma

geometrica, el tipo de iluminacion, entre otras. Una de las aplicaciones relevantes de plas-

mones en nanopartıculas radica en el uso de estos para ser utilizados como biosensores

debido a su gran sensibilidad de resonancia (Cao et al., 2014).

Una antena es un dispositivo capaz de recibir o radiar ondas electromagneticas. Una

de las antenas de radiofrecuencia que se caracteriza por ser unidireccional es la antena

Yagi-Uda. Esta antena esta disenada tanto para recepcion y emision de ondas electro-

magneticas y puede actuar en diferentes rangos de frecuencias. La direccionalidad que

presenta esta antena se origina por el acoplamiento entre los diferentes elementos que la

conforman, la posicion de estos elementos hace que exista interferencia constructiva en

una direccion y destructiva en la direccion opuesta.

Una antena unidireccional que opere en el rango de la luz visible llenarıa algunas

de las necesidades como el caso de radiofrecuencia; por ejemplo la deteccion de una

molecula fluorecente o disenar nanocircuitos. Un inconveniente que presentan los dispo-

sitivos a escalas similares o por debajo de la longitud de onda del espectro visible es que

los metales se comportan de manera diferente al caso de radiofrecuencia. Las antenas

de radiofrecuencia fueron desarrolladas como una solucion al problema de comunicacio-

nes, mientras que las antenas opticas fueron desarrolladas para el uso en microscopıa

(Taminiau H et al. (2007); De Angelis et al. (2009); Curto G et al. (2010); Dorfmuller et al.

(2007)).

2

Visto desde la perspectiva de la microscopıa optica, las nanoantenas, en cualquiera de

sus variantes, son capaces de realizar funciones similares a una lente o algun dispositivo

optico y sus aplicaciones abarcan la biomedicina ((Liao et al., 2006)), deteccion de una

molecula (Kinkhabwala et al. (2009); Curto G et al. (2010); Taminiau H et al. (2008a)), na-

nosensores (Cao et al. (2014)) y multiples avances en simulaciones numericas (Dregely

et al. (2011); Taminiau H et al. (2008b); Miroshnichenko E et al. (2011); Yang et al. (2014);

Bharadwaj et al. (2009); Muhlschlegel et al. (2005); Novotny (2007)), entre muchas otras.

Las antenas son dispositivos que permiten transformar la energıa electromagnetica

que viaja por un conductor o guıa de onda a una onda electromagnetica que viaja por el

espacio y viceversa, ademas permiten transmitir y recibir ondas electromagneticas a un

ancho de banda especıfico.

Historicamente las antenas se han utilizado para sistemas de comunicacion. Existen

varios parametros que se utilizan para describir el rendimiento de una antena en el regi-

men de radiofrecuencias, entre estos se encuentran las formas de patrones de radiacion,

la ganancia, impedancia y algunos parametros mecanicos (Balanis A, 2005). Existe una

gran variedad de disenos de antenas, entre los mas sencillos se encuentran las antenas

de “alambre”, este tipo de antenas son elementos cilındricos radiantes cuyas dimensiones

son comparadas con la longitud de onda. Estas antenas tienen ganancia relativamente

baja y patrones de radiacion relativamente omnidireccional. Las aplicaciones de las an-

tenas dependen de su forma, otro ejemplo es la antena parabolica la cual se caracteriza

por tener altas ganancias. En la figura 1 se muestran algunos disenos de las antenas

mas comunes. Para aplicaciones donde se requiere una ganancia alta o mayor directivi-

dad del patron de radiacion, es necesario incrementar el tamano de la antena utilizando

un arreglo lineal de elementos radiantes, como es el caso de la antena Yagi-Uda.

Figura 1: Tipos de antenas (Poole (2001)).

3

Un diseno que permite obtener altas ganancias de potencia y direccion de ondas

electromagneticas para antenas de radio frecuencia fue propuesto por el inventor japones

Shintaro Uda, asistente del profesor Hidetsugn Yagi en la Universidad Imperial de Tohoku,

Japon, en 1926 (Yagi, 1928). La propuesta de Shintaro Uda fue utilizar multiples elemen-

tos individuales para formar un arreglo y ası lograr interferencia constructiva de ondas de

radio en una direccion e interferencia destructiva en la direccion opuesta segun menciona

Balanis (Balanis A, 2005)

Las nanociencias se consideran como una inspiracion para aplicar los principios de

ingenierıa a escalas donde los casos convencionales se comportan de manera diferente.

Un ejemplo interesante es el control de la luz utilizando las resonancias del plasma de

electrones de nanopartıculas metalicas. En esta ultima decada se ha propuesto la idea

de aplicar los principios basicos del diseno de antenas de radiofrecuencia a escalas na-

nometricas y utilizar luz como fuente de excitacion (Curto G et al. (2010); Gersen et al.

(2000); De Angelis et al. (2009)). Esta fusion resulta en disenos teoricos-experimentales

para la fabricacion de nanoantenas opticas capaces de dirigir la luz en una direccion

preferencial. En radiofrecuencia, se puede obtener una gran direccion del campo elec-

tromagnetico utilizando una antena Yagi-Uda, la cual consiste en un reflector y varios

elementos conocidos como directores ordenados linealmente alrededor de un elemento

alimentado con corriente. En el regimen optico, estructuras semejantes pueden realizarse

mediante un arreglo lineal de nanopartıculas. Sin embargo, la respuesta electromagneti-

ca a frecuencias opticas en los metales es un tanto diferente para los casos de bajas

frecuencias. Una consecuencia de esta diferencia es la observacion de la presencia de

excitaciones resonantes conocidas como plasmones, dichos efectos se presentan en na-

nopartıculas mucho mas pequenas que la longitud de onda.

Las resonancias plasmonicas pueden ser utilizadas para direccionar la emision de la

luz por una molecula “single molecule detection” (Gersen et al., 2000) , puntos cuanti-

cos “quantum dots” (Curto G et al., 2010) o algun objeto que emita luz. El confinamiento

del campo electromagnetico mediante nanoantenas opticas ofrece oportunidades para la

deteccion de una sola molecula (Taminiau H et al. (2008a); De Angelis et al. (2009)) y

nanoespectroscopıa (Schumacher et al., 2011). Controlar la emision de “sistemas cuanti-

cos”, como las moleculas fluorecentes, atomos o puntos cuanticos, es un tema de interes

4

y por lo tanto de investigacion. La direccion de emision, espectro y “tiempo de vida” depen-

de del campo electromagnetico (medio circundante) y puede ser controlado cambiando

este. El interes de controlar la emision de este tipo de “radiadores” radica en la cantidad

tan pequena de luminosidad que presentan, por lo que es necesario emplear sistemas

nanometricos como las nanoantenas para analizar campos electromagneticos de esta

escala.

En el ano 2007 se realizaron varios trabajos teoricos donde se senalo la posibilidad

de utilizar una nanoantena tipo Yagi-Uda hecha de nano varillas de metal (oro) para dirigir

la luz (Giannini y Sanchez-Gil (2007); Taminiau H et al. (2007); Dorfmuller et al. (2007)),

entre otros. En un trabajo, su estudio tiene como base la electrodinamica entre dos dipo-

los, la interaccion entre los campos y las propiedades del material de cada nanopartıcula

(Hofmann F et al., 2007). El patron de radiacion que se obtiene esta determinado por la

solucion de Hertz para un dipolo electrico. Los resultados que obtienen permiten estimar

los parametros relevantes de la antena para nanovarillas de oro inmersas en un sustrato

(vıdrio). La principal limitacion de realizar nanoantenas opticas hechas de oro radica en

las perdidas por absorcion del material. Los resultados de los patrones de radiacion que

presenta Hofman se obtienen al aplicar las ecuaciones de acoplamiento de un dipolo, ya

mencionadas, y utilizando estos resultados se pueden optimizar los espaciamientos de

los cinco elementos del arreglo de la nanoantena tipo Yagi-Uda. Finalmente se obtuvie-

ron patrones de radiacion para un arreglo de cinco nanovarillas de oro con perdidas de

absorcion, donde tambien se muestra la alta direccionalidad del campo electromagnetico

con la que pueden llegar a emitir estas nanoantenas (Hofmann F et al., 2007).

Tambien se han realizado diversos trabajos numericos para “escalar” estos disposi-

tivos a dimensiones nanometricas. En el ano 2008 se realizo un trabajo numerico para

mostrar que es posible acoplar y direccionar la radiacion de un emisor cuantico mediante

una nanoantena Yagi-Uda (Taminiau H et al., 2008b). La antena que proponen opera a

una longitud de onda de λ = 570nm y consiste en cinco cilındros de aluminio con una

funcion dielectrica (ε(ω) = −38.0 + 10.9i), el radio de todos los cilındros es de 20nm. Con

base a este tamano de radio de los cilindros, se calculo la longitud del dipolo resonante

“feeder”, posterior a esto se ajustaron los tamanos de los demas elementos con base a

este mientras las distancias entre los elementos permanecen constantes.

5

(a) Esquema de la posicion de los elementos de lananoantena.

(b) Campo cercano. (c) Patron de radiacion angular.

Figura 2: Dipolo colocado sobre un sustrato acoplado a una nanoantena Yagı-Uda. (a) Posicion yorientacion del dipolo en la nanoantena. (b) Distribucion del campo electrico en campo cercano. (c)Patron de radiacion en campo lejano (Taminiau H et al. (2008b)).

Lo que logran mostrar es que la radiacion esparcida por una nanoantena tipo Yagi-Uda

presenta una alta direccionalidad del campo electromagnetico tanto para polarizacion

s y polarizacion p en el espacio libre. Como complemento, presentan una simulacion

numerica en campo cercano para la misma configuracion de la antena (Figura 2- b); la

direccionalidad del campo electrico incrementa cuando se coloca la nanoantena en un

sustrato y esta se acopla a la “fuente puntual”.

Los resultados que muestran son de suma importancia debido a que el lobulo principal

aumenta cerca de 20 unidades, un notable incremento respecto a 12 unidades obtenido

para una antena Yagi sin sustrato (en el vacıo) (Figura 2-c)).

Las investigaciones numericas de nanoantenas tambien se ha incrementado el in-

teres en el desarrollo experimental de estos dispositivos. En el ano 2010, se realizo un

trabajo experimental en el cual presentan el acoplamiento entre un emisor de luz puntual

“quantum dot” y una nanoantena Yagi-Uda que opera en una longitud de onda de 800 nm

(Curto G et al., 2010). Para la fabricacion de la nanoantena se llevaron a cabo dos pasos

fotolitograficos. El primer paso es definir las estructuras de la antena sobre un sustrato

de vıdrio, seguido de evaporacion termica se coloca una capa de oro de 30 nm de es-

pesor. El segundo paso es establecer los lımites para la formacion de una monocapa de

autoensamblado de un tipo de acido exclusivamente en las areas expuestas. Una vez fa-

bricado el dispositivo con dimensiones de 145 nm de longitud para el elemento resonante

6

“feeder”, un espaciamiento de 175 nm entre el reflector y el “feeder”, una distancia de

200 nm entre los elementos directores; se coloca el emisor (quantum dot) en un extremo

del elemento resonante y se mide la intensidad que emite el dispositivo mediante un mi-

croscopio confocal con tres tipos de deteccion: para imagenes de luminicencia, deteccion

angular y espectroscopıa.

Para la deteccion angular, es necesario utilizar un objetivo de microscopio de alta aper-

tura numerica (1.46NA). La muestra es excitada con un laser de He-Ne (λ = 633nm) cir-

cularmente polarizado el cual esta enfocado para iluminar la nanoantena. La luminiscen-

cia que resulta de la excitacion del punto cuantico (a una longitud de onda de λ = 800nm)

que a su vez ilumina la antena, es separada con un espejo dicroıco y un filtro pasa altas

para obtener una vision de los cambios en la emision del punto cuantico (QD, por sus

siglas en ingles) al acoplar a la antena. En este trabajo se muestra la imagen confocal

de luminiscencia (figura 3-(a)) y el patron de radiacion (figura 3-(b)) del punto cuantico

de referencia, una nanobarra de longitud λ/2 excitada con un punto cuantico y el de una

nanoantena completa. Los resultados que presentan, muestran que un punto cuantico

en conjunto con una nanoestructura puede tener alta direccionalidad del campo electro-

magnetico (figura 3-(b)) y de esta manera recolectar esa radiacion eficientemente. Como

una optimizacion adicional para los parametros de una nanoantena, incluır mas elemen-

tos directores para aumentar la direccionalidad de la luz emitida por el punto cuantico.

Figura 3: (A) muestra un barrido confocal de luminicencia del punto cuantico (QD) colocado enun area de 60nm, el dipolo de la antena λ

2 , y la antena Yagi-Uda respectivamente. (B). Patron deradiacion (distribucion de intensidad en el plano focal posterior del objetivo) de cada estructuramostrada en (A)(Curto G et al. (2010)).

7

Para optimizar la direccionalidad del patron de radiacion de una nanoantena en un

experimento, primero se utilizan simulaciones numericas para mejorar algunos parame-

tros. En el ano 2011, Andrew E. Miroshnichenko et. al. (Miroshnichenko E et al., 2011)

realizaron un estudio numerico de la emision y deteccion de una nanoantena optica ti-

po Yagi-Uda de banda ancha que consiste en nanobarras de diversas longitudes. En el

regimen de radiofrecuencia, la forma mas simple de la antena Yagi-Uda proporciona una

respuesta de ancho de banda muy estrecho. Su diseno consta de un arreglo de nanoci-

lindros de plata igualmente espaciadas y se encuentran en el vacıo (ver figura 4)

Figura 4: Esquema de una nanoantenna conformada de nanovarillas de plata de longitud variable(Miroshnichenko E et al. (2011)).

Para realizar este trabajo se disenaron los nanocilindros de 50 nm de diametro y un

espaciamiento entre ellos de 30 nm. Primero, se excito la nanoantena con una “fuente

puntual” colocada a 5 nanometros del nanocilindro de alimentacion “feeder” y se midio la

potencia radiada por la nanoantena en la direccion de los elementos directores. Despues

se ilumino el dispositivo desde la parte frontal de la antena con un frente de onda plano de

banda ancha y se midio el campo en la direccion transversal a la direccion de propagacion

de la onda (direccion a lo largo de los directores). El resultado que obtienen cuando la

antena es un emisor es que cada elemento que conforma la antena es excitado a una

frecuencia resonante, donde la excitacion optima para cada elemento sufre un corrimiento

hacia frecuencias altas (“blue-shifted”) conforme los elementos se hacen mas cortos. Este

corrimiento de la longitud de onda puede ser explicado debido al reescalamiento de la

longitud de cada elemento. El ancho de banda en el que opera esta nanoantena es de

8

1.65µm para el elemento n = 1 hasta 1.32µm para el elemento n = 20, cubriendo ası mas

de 300nm de ancho de banda en la que opera, el cual es mucho mas ancho comparado

con las clasicas antenas Yagi-Uda conocidas en radiofrecuencia.

El diseno de nanoantenas radica en poder manipular la radiacion de elementos con

intensidades muy pequenas, por ejemplo, si se tiene una molecula fluorecente que irradie

de manera isotropica, con estos dispositivos se pretende captar y direccionar la mayor

cantidad de radiacion emitida hacia una direccion preferencial (Curto G et al. (2010); Ger-

sen et al. (2000); Taminiau H et al. (2008a); De Angelis et al. (2009)).

Las aplicaciones donde sobresalen estos dispositivos son en medicina para la detec-

cion temprana de enfermedades ((Liao et al., 2006)) y en bioingenierıa para deteccion de

una molecula fluorecente (Bernal Arango et al. (2012); Terukazu et al. (2010)), entre otras

aplicaciones.

La plasmonica y la connstruccion de nanoantenas han generado gran interes para

diversas aplicaciones que han logrado numerosos avances cientıficos para seguir explo-

rando estas areas.

1.2. Objetivos del trabajo de tesis

1.2.1. Objetivo General

El objetivo de este trabajo consiste en el diseno de arreglos de nanopartıculas (na-

noantenas) cuyo patron de radiacion sea altamente directivo y posea alta ganancia. Esto

se realizara mediante un descripcion detallada de los procesos de esparcimiento de on-

das electromagneticas por nanopartıculas y/o arreglo de nanopartıculas metalicas. Una

coleccion de nanopartıculas puede ser manipulada para intensificar las ondas electro-

magneticas esparcidas en una direccion preferencial, al poder lograr esto, se esta ha-

blando de una coleccion de nanopartıculas que puede tener una funcion similar a la de

una antena de radiofrecuencia.

1.2.2. Objetivos particulares

Estudiar el fenomeno de esparcimiento de luz por nanopartıculas metalicas con

geometrıas complejas. Determinar las resonancias de una, o un conjunto de nano-

9

partıculas para observar el efecto de intensificacion y localizacion del campo electri-

co en la superficie de estas.

Estudiar el esparcimiento de luz por arreglos lineales de nanolaminas metalicas.

Determinar los parametros que debe tener un arreglo lineal de nanolaminas para

que su patron de radiacion sea altamente directivo y posea alta ganancia.

Construccion de nanoantenas opticas con nanolaminas. Aplicar los metodos de di-

seno de una antena Yagi-Uda en un arreglo lineal de nanolaminas; comprobar que

los elementos directores logran hacer mas directivo el ancho del haz del lobulo prin-

cipal de un patron de radiacion. Verificar si es posible aumentar la ganancia de un

patron de radiacion agregando un elemento reflector a la nanoantena.

1.3. Estructura de la tesis

El trabajo de tesis se desarrolla en cinco capıtulos. En el capıtulo 1 se presenta el

contenido introductorio sobre algunos trabajos realizados para manipular radiaciones pe-

quenas con nanoestructuras metalicas que presentan funcionamientos similares a una

antena de radiofrecuencia con alta direccionalidad del campo electromagnetico.

En el capıtuo 2 se describen algunos de los parametros y cualidades que presentan

las antenas de radiofrecuencia, estos parametros sirven para calificar si una antena cum-

ple una cierta funcion y proporcionan informacion para la implementacion en antenas de

escala nanometrica.

En el capıtulo 3 se desarrolla el formalismo teorico empleado conocido como Meto-

do Integral, el cual se basa en el Segundo Teorema Integral de Green (Maradudin et al.

(1990); Mendoza Suarez (1996)). Primero se desarrollan las ecuaciones integrales que

describen la propagacion y dispersion de ondas electromagneticas debido a nanopartıcu-

las (en coordenadas parametricas) invariantes en una direccion.

En el capıtulo 4 se muestran los resultados y discuciones obtenidos con el Metodo In-

tegral. Con este formalismo se puede explicar la interaccion de la luz con de nanopartıcu-

las metalicas, obteniendo resultados numericos que describen el esparcimiento de luz en

un arreglo ordenado (en lınea) de nanopartıculas al cual se denomina nanoantena; y por

ultimo, en el capıtulo 5 se presentan las conclusiones del trabajo.

10

Capıtulo 2. Antenas y sus parametros

2.1. Introduccion

Una antena se define como “un dispositivo mecanico (como puede ser un alambre)

capaz de radiar o recibir ondas de radio”. El Instituto de Ingenierıa Electrica y Electronica

(IEEE por sus siglas en ingles) realiza definiciones estandar de terminos para antenas y

esta la define como “un elemento para radiar o recibir ondas electromagneticas” [IEEE Std

145-1983]. Una antena funciona como un transductor en el cual las ondas propagantes a

lo largo de una lınea (conductor) son transformados en ondas radiantes en el espacio y

viceversa.

2.1.1. Resena historica

Los fundamentos teoricos de las antenas radica en los trabajos de electricidad, prin-

cialmente con la observacion de cargas electricas. En 1820, Hans Christian Oersted des-

cubrio que una corriente electrica produce una fuerza magnetica. En 1831, Michael Fara-

day se percata del campo magnetico y su representacion mediante lineas de fuerza. En

1837, James Clerk Maxwell unifica la electricidad y el magnetismo mediante las ecuacio-

nes que describen la teorıa electromagnetica clasica .

De acuerdo con Wolf, E. (Edward, 1988, pag. 4) las primeras antenas fueron cons-

truıdas por Heinrich Rudolf Hertz en 1885, demostrando el primer sistema electromagneti-

co “sin cables”. Hertz fue capaz de producir una onda electromagnetica con una longitud

de onda de cuatro metros mediante una chispa en la abertura de un dıpolo de media onda

que fue detectado como una chispa en una “abertura” de una espiral cercana. Todos ellos

hicieron experimentos que demostraban la existencia de ondas electromagneticas, pero

no fue hasta 1896 cuando Guglielmo Marconi construyo una antena para enviar senales

de telegrafos a largas distancias. En 1901 realizo la primera emision trnsatlantica desde

Poldhu, Inglaterra, hasta St. Jhons Newfoundland, Canada (Balanis A, 2005).

Desde el comienzo de Marconi hasta 1940, la tecnologıa de antenas fue centrada

primordialmente en alambres radiantes que operaban en frecuencias por arriba de UHF

“ultra high frequency” (de 300 MHz a 3 GHz). No fue hasta la segunda guerra mundial

que la tecnologıa moderna de las antenas fue lanzada y otros nuevos elementos (como

11

guıas de onda, cornetas, reflectores, etc.) fueron introducidos por primera vez. Un factor

que contribuye a esta nueva era es la invension de fuentes que irradian en microondas

que operan en 1GHz y superiores (Balanis A, 2005).

Mientras que la segunda guerra mundial puso en marcha una era en las antenas,

los avances logrados en computacion y la tencnologıa durante la decada de los sesenta

hasta la decada de los noventa han tenido un gran impacto. En este periodo de 1960

a 1990 tuvieron un mayor impacto en la arquitectura y tecnologıa en el desarrollo de

las antenas modernas. Los metodos numericos se implementaron en 1960 y permitieron

abordar configuraciones complejas de antenas para ser analizados con mucha precision

(Maxwell C (1904); Kraus J (1985)).

2.2. Tipos de antenas

Existen diversos tipos de antenas con caracterısticas particulares, la forma en que

distribuyen el campo electromagnetico depende especialmente de la forma de la antena.

Los tipos mas comunes de antenas se pueden ordenar en bloques como se muestra a

continuacion.

2.2.1. Antenas de alambre

La antenas de “alambre” son ampliamente conocidas teorica y experimentalmente.

Estos alambres soportan corrientes que dan origen a campos radiados, existen muchas

formas en que se pueden encontrar este tipo de antenas como los dipolos, espirales,

monopolos y helice (ver figura 5).

12

(a) Dipolo de media onda (b) Antena de alambre

(c) Antena de espira (d) Yagi-Uda

Figura 5: Tipos de antenas.

2.2.2. Antenas de apertura

Este tipo de antenas son muy utiles en aplicaciones de aeronaves ya que pueden ser

colocadas facilmente en el “cuerpo” de la nave. Este tipo de antenas se caracteriza por

utilizar superficies o aperturas para dirigir la radiacion electromagnetica formando angulos

solidos. Una forma bastante comun de este tipo de antenas se muestra en la figura 6.

Figura 6: Antena de corneta Ridged (Ridged horn).

13

2.2.3. Antenas con reflectores

Con este tipo de antenas se puede obtener una ganancia muy alta en comparacion

de una antena simple, como puede ser una antena de un solo alambre o una antena

de espira. Debido a la necesidad de enviar radiaciones a largas distancias, se han crea-

do diversas configuraciones de antenas que cumplan con este requerimiento. Un diseno

comun de antenas reflectoras es el reflector parabolico, como se muestra en la figura

7. Antenas de este tipo se han construıdo con diametros de hasta 300 m, debido a es-

tas dimensiones deben mantener una ganancia alta ya que necesitan transmitir o recibir

senales a distancias de cientos de kilometros.

Figura 7: Antena con reflector parabolico (Global Scan (2015)).

2.2.4. Arreglos de antenas

En muchas aplicaciones se requieren ciertas caracterısticas de radiacion que no pue-

den lograrse con un solo elemento; sin embargo, puede ser posible que agregando mas

elementos radiantes en un arreglo geometrico o electrico se traduzca en un patron de ra-

diacion deseado con es el caso de la antena Yagi-Uda. La antena Yagi-Uda es un arreglo

lineal de cilındros que en conjunto permiten irradiar el campo electromagnetico en una

direccion preferecial. Un esquema de este tipo de antenas es como el que se muestra en

la figura 5-(d). Tambien se puede lograr “acomodar” varias antenas de cualquier tipo para

potenciar la transmision o recepcion de ondas electromagneticas como se muestra en la

figura 8.

14

(a) Arreglo lineal de 16 antenas Yagi-Uda

(b) Arreglo de antenas parabolicas

Figura 8: Fotografıas de algunos tipos de arreglos de antenas (IIma (2001)).

15

2.3. Parametros de las antenas

Existen diversos parametros para describir el rendimiento de una antena. tales como:

los patrones de radiacion, ganancia, impedancia y algunos parametros mecanicos.

2.3.1. Patron de radiacion

El patron de radiacion de una antena es una representacion grafica de la distribucion

de radiacion de una antena como funcion de la direccion angular. La representacion pue-

de ser en coordenadas cartesianas, polares (dos y tres-dimensional). El plano azimutal es

aquel que esta en funcion del angulo φ (plano horizontal), mientras que el plano ortogonal

a este, conocido como el plano que contiene al angulo de elevacion es aquel que esta en

funcion del angulo θ como se observa en la figura 9 y la direccion de propagacion es a lo

largo del eje z.

Figura 9: Sistema coordenado para el analisis del patron de radiacion de una antena.

De acuerdo con Balanis, (Balanis A, 2005) (p.27), un patron de radiacion isotropico

se define como “una antena hipoteticamente sin perdidas que irradia la misma canti-

dad de energıa en todas direcciones” (Figura10-a). Un patron de radiacion direccional

es aquel que proviene de una antena que tiene la propiedad de radiar o recibir ondas

electromagneticas de manera efectiva en algunas direcciones mas que en otras (Figu-

ra10-b). Un patron de radiacion omnidireccional se define como uno que tiene un patron

no-direccional en un plano dado, mientras que si presenta un patron de radiacion direc-

cional en un plano ortogonal a este (Figura10-c). La figura 10 muestra la representacion

16

(a) Isotropico. (b) Direccional. (c) Omnidireccional.

Figura 10: Tipos de patrones de radiacion para antenas.

grafica de los patrones de radiacion mencionados.

2.3.2. Lobulos del patron de radiacion

De acuerdo con Balanis (Balanis A, 2005) (p. 30), un lobulo de radiacion se define

como “una porcion del patron de radicion delimitada por una region de intensidad de

radiacion relativamente debil”. Los lobulos se pueden clasificar en dos tipos: lobulos prin-

cipales y lobulos secundarios; dentro de la clasificacion de estos ultimos se encuentran

los lobulos laterales y los lobulos traseros como se ejemplifica en la figura 11.

Figura 11: Caracterısticas principales del patron de radiacion de una antena (Balanis A (2005)).

17

2.3.3. Direccionalidad

La direccionalidad (D) (o ganancia directiva) se define como “la razon de la intensi-

dad en una direccion dada y la radiacion a esa misma distancia que radıa una antena

isotropica” (Balanis A, 2005).

D =4πI(φ, θ)

Prad, (1)

donde I es la intensidad de radiacion y P es la potencia total irradiada. Esta cantidad

esta directamente relacionada con el ancho del haz, pues si un patron de radiacion es

altamente directivo el ancho del haz es mas angosto.

2.3.4. Ganancia

Esta cantidad se encuentra altamente relacionada con la direccionalidad. Es una me-

dida que tiene en cuenta la eficiencia de la antena, ası como sus capacidades directivas.

La ganancia de la antena (en una direccion) se define como “el aumento de potencia

en la direccion maxima de radiacion”. La ganancia (G) se produce debido a la alta con-

centracion de el campo elecromagnetico irradiado por la antena en una zona (Balanis A,

2005).

G =4πI(φ, θ)

Pin(2)

2.3.5. Relacion frente-atras (Front-to-back-ratio)

La relacion frente-atras es una comparacion del esparcimiento hacia adelante (θ = 00)

en funcion del esparcimiento hacia atras (θ = 1800) (“front to back ratio” o F2B) es una

cantidad que describe cuantas veces es mayor el esparcimiento electromagnetico hacia

adelante en funcion del esparcimiento hacia atras como se ilustra en la figura 12-(a). Para

fines practicos esta cantidad la definiremos como “F2B-RF”.

En este trabajo de investigacion se anadira otra manera alterna de analizar la rela-

18

(a) F2B-RF (b) F2B-OPT

Figura 12: Patron de radiacion donde se muestra la direccion conocida como “hacia adelante (front)”y a que direccion se le conoce como “hacia atras (back)”.

cion frente-atras; a esta cantiad le llamaremos “Front-to-back optico” (F2B-OPT). En este

caso sera una cantidad de comparacion de cuanta radiacion se tiene hacia adelante en

un rango de angulos que conforman todo el hemisferio superior del patron de radiacion

(estrellas, Figura 12-(b)) dividida entre la radiacion que se tiene en el hemisferio inferior

del patron e radiacion (triangulos, Figura 12-(b))

2.3.6. Eficiencia

La eficiencia total de una antena se utiliza para tener en cuenta las perdidas en las

terminales de entrada y dentro de la estructura de la antena. Se define como la relacion

entre la potencia radiada y la potencia entregada a la antena, ε = Prad/Pin. Otra forma de

expresar la eficiencia es mediante la relacion entre la ganancia y la directividad (Balanis A,

2005).

ε =G

D(3)

2.3.7. Ancho de banda

El ancho de banda de una antena se define como el rango de frecuencias dentro

del cual el rendimiento de la antena, con respecto a algunas caracterısticas, se ajusta a

19

estandares especıficos. En otras palabras, puede ser considerado como el rango de fre-

cuencias a cada lado de una frecuencia central (usualmente la frecuencia de resonancia

del dıpolo), donde las caracterısticas de la antena (como la ganancia, impedancia, patron

de radiacion, etc) no cambien significativamente de la frecuencia central.

2.4. La antena Yagi-Uda

Esta antena ha sido utilizada frecuentemente debido a su simplicidad. El diseno de

esta antena consiste en un numero de elementos colocados linealmente como lo muestra

la figura 13, uno de ellos es alimentado directamente con corriente mientras que los otros

actuan como radiadores parasitos cuya corriente es inducida por acoplamiento mutuo.

Figura 13: Esquema de la configuracion de una antena Yagi-Uda.

El elemento de alimentacion mas comun para una antena Yagi-Uda es el dıpolo. Es-

te elemento ‘activo’ esta disenado exclusivamente para radiar longitudinalmente, y eso

se logra haciendo que los elementos parasitos se encuentren frente a la onda electro-

magnetica actuando como directores mientras que lo elementos que se encuentran atras

operan como reflectores. La antena se disena para que los directores actuen como un

canal de guiado de las ondas electromagneticas.

2.4.1. Historia

El diseno original de este dispositivo fue publicado en japones en la revista del Insti-

tuto de Ingenierıa Electronica de Japon (IEEJ por sus siglas en ingles) por Shintaro Uda

de la Universidad Imperial de Tohoku en Japon en 1926 (Uda, 1930). Poco tiempo des-

pues, en un artıculo posterior, pero con mas amplia circulacion y lectores, un profesor y

colega de S. Uda, Hidetsugu Yagi, describe el funcionamiento de la misma antena en el

20

idioma ingles, impreso en 1984 en las “memorias” de el Instituto de Ingenierıa Electrica y

Electronica (IEEE por sus siglas en ingles) (Yagi, 1928) .

Despues de la publicacion del artıculo de Yagi en el idioma ingles, esta antena fue

aceptada en Europa y Norteamerica, en donde se hizo la produccion comercial en los

sistemas de radio y television. El uso de esta antena en Japon empezo a utilizarse en la

segunda guerra mundial por Yagi para radares, debido a su simplicidad y alta direcciona-

lidad.

A pesar de que era un invento japones, muchos ingenieros japoneses de radares

desconocıan el diseno de esta antena hasta despues de la guerra de Singapur debido a

la lucha interna entre el ejercito y la marina de guerra. Hoy en dıa las antenas Yagi-Uda

se siguen utilizando para emisiones de senales de television y radiofrecuencia.

2.4.2. Arreglo lineal de elementos de alambre: Antena Yagi-Uda

La antena Yagi-Uda, siendo una de las antenas convencionales mas practicas en su

diseno y costo, es una de las mas utilizadas para transmitir radiaciones de HF (3 −

30MHz), V HF (30 − 300MHz) y UHF (300 − 3000MHz). Esta antena consiste en una

arreglo lineal de “alambres”, como se muestra en la figura 13.

Para lograr transmitir un haz propagante a partir de la antena, los elementos que se

encuentran en la direccion de propagacion del haz deben ser ligeramente mas pequenos

que el elemento alimentado ( elemento resonante, feed o dıpolo). El elemento alimentado

con corriente es resonante cuando su longitud es ligeramente menor que λ2

(usualmen-

te 0.45 − 0.49λ) mientras que la longitud de los “directores” se encuentran alrededor de

0.4 a 0.45λ. La longitud del reflector es ligeramente mas grande que el elemento reso-

nante, ademas la distancia entre el reflector y el resonador es ligeramente menor que

la distancia de los directores al resonador, se ha encontrado que la distancia optima del

reflector al resonador se encuentra del orden de 0.25λ. En la tabla 1 se muestran los

parametros que conforman una antena Yagi-Uda de cinco elementos.

21

El elemento principal que conforma la antena Yagi-Uda es el elemento alimentado con

corriente (comunmente llamado “feeder”), por simplicidad se utilizan dos “alambres” ali-

mentados por una corriente que radian como un dıpolo. En la formulacion teorica de este

elemento se considera que el radio de los alambres es muy pequeno comparado con la

longitud de onda a la que opera (r << λ), tambien se considera que que es alimentada

con corriente. Una de las caracterısticas mas importantes del dıpolo es que si la longitud

del dıpolo incrementa, el haz se hace mas estrecho por lo que la direccionalidad incre-

menta. Pero si la longitud del dıpolo se incrementa mas alla de λ (l > λ) el numero de

lobulos que emite el dıpolo comenzara a incrementarse convirtiendose en un multipolo.

Las longitudes de los demas elementos que conforman la antena Yagi-Uda estan basados

en la primera resonancia del dipolo.

Tabla 1: Parametros que constituyen una antena Yagi-Uda tıpica de cinco elementos (Balanis A(2005)).

Antena Yagi-Uda de cinco elementosRadio de las nanobarras r << λLongitud de los directores 0.4λLongitud del reflector 0.5λLongitud del feeder 0.45λDistancia entre directores 0.4λDistancia del reflector al feeder 0.25λ

La forma de radiacion de un dipolo en el plano de esparcimiento E (SP P, por sus si-

glas en ingles) paralela al eje de la antena y H (SP S) perpendicular al eje de la antena se

muestra en la figura 14. El patron de radiacion pertenece a la categorıa omnidireccional.

La antena dipolo de media onda (l = λ2) es una de las antenas mas utilizados en micro-

ondas y radiofrecuencias, este elemento consiste en un “alambre” conductor de la mitad

de la longitud de onda de la frecuencia de operacion.

Otro elemento no menos importante es el elemento reflector, su funcion es hacer

mınima la radiacion en una direccion y maximizarla en otra. Para este tipo de antenas se

ha encontrado, teorica y experimentalmente, que la distancia del reflector al dipolo debe

ser menor a 0.4λ, si dicha distancia es mayor, la relacion frente-atras de la antena se ve

afectada con un decremento como se muestra en la figura 15. En esta figura se observa

que el maximo del front-to-back es cuando la distncia del reflector al alimentador “feeder”

es de ≈ 0.23λ.

22

(a) Patron de radiacion tridimensional de un dıpolo demedia onda.

(b) Patron de radiacion para los planos E yH.

Figura 14: (a)Patron de radiacion tridimencional de un dipolo de longitud de λ2 . (b) Planos E y H en

el plano polar del patron de radiacion de la antena dipolo.

Como ejemplo, para una antena de 15 elementos: un reflector, un dipolo, y 13 direc-

tores, se vario la distancia del reflector de 0.1 a 0.5λ fijando la distancia del dipolo y los

directores (Balanis A, 2005). Los elementos directores presentan un papel importante en

el funcionamiento de este tipo de antenas. Los directores no necesariamente deben ser

del mismo diametro que el elemento resonante y la separcion de los directores es apro-

ximadamente de 0.3 a 0.4λ y no es necesariamente uniforme para que funcione optima-

mente. El hecho de que los directores posean una longitud menor al elemento resonante

provocan que estos formen un “canal” que funciona como guıa de onda; el origen de esta

Figura 15: Directividad y la razon de la radiacion hacia al frente en comparacion del esparcimientohacia atras (front to back ratio) en funcion de la distancia del reflector para una antena Yagi-Uda de15 elementos, Balanis A (2005) (p.589).

23

guıa de onda es debido a que en los directores, por el hecho de poseer misma longitud,

la corriente inducida en un elemento debido a otro es de igual magnitud y misma fase

progresiva, los cuales reforzaran el campo electromagnetico en direccion de los directo-

res. Para una antena de 15 elementos (ejemplo anterior) se varıa el espaciamiento de los

directores fijando la distancia del reflector y el dipolo obteniendo la grafica de la figura 16.

Figura 16: Directividad y la razon de la radiacion hacia al frente en comparacion del esparcimientohacia atras (front to back ratio) en funcion de la distancia de los directores para una antena Yagi-Udade 15 elementos, Balanis A (2005) (p.589).

El tamano y el espaciamiento de los directores tienen un gran efecto en la ganancia

hacia adelante tal como lo muestra la figura 16. Para este arreglo las variaciones del

“F2B” son mucho mas sensibles como funcion del espaciamiento de los directores. Este

efecto disminuye cuando se trabaja con arreglos de pocos elementos. En esta figura se

puede observar que el espaciamiento entre directores es sensible a distancias menores

a 0.05λ lo que nos dice que esta distancia es muy precisa. Cuando la distancia entre

directores sobrepasa 0.5λ el front-to-back ratio decrece y esto se traduce en que ya no

existe acoplamiento de ondas electromagneticas tan fuertes entres los directores.

La antena Yagi-Uda es un dispositivo sencillo que puede fabricarse en nanoescala.

Los componentes que conforman esta antena se pueden fabricar de diversas maneras

como litografıa (Curto G et al., 2010). La ganancia y direccionalidad que presenta esta

antena hace posible la deteccion de elementos radiantes debiles como moleculas fluo-

recentes (Curto G et al., 2010), captando esa radiacion y direccionarla hacia algun lugar

preferencial. Su eficiencia y sencilles de fabricacion hacen de esta antena un potencial

dispositivo para aplicarlo en microscopıa (Dorfmuller et al., 2007), deteccion de una sola

molecula (Sergei et al., 2006) y eficientes calculos numericos para diferentes aplicaciones

24

(Taminiau H et al., 2008b).

Las nanoantenas presentan dos areas de investigacion actuales: los plasmones loca-

lizados en nanopartıculas (Novotny (2007); Muhlschlegel et al. (2005)) y la nanoantena

en sı para aplicaciones en biofotonica principalmente (Curto G et al. (2010); Liao et al.

(2006)). Las nanoantenas son de gran interes en la actualidad para diversas aplicaciones

y conlleva a la formulacion de otras teorıas para el entendimiento da interaccion de luz

con nanopartıculas metalicas.

2.5. Propiedades opticas de los metales

2.5.1. Plasmones

La respuesta optica de los metales esta directamente relacionada con los electrones

de conduccion, que pueden manifestar oscilaciones colectivas debio a un campo elec-

tromagnetico externo denominadas plasmones. Las bases teoricas de este fenomeno

iniciaron en el ano 1900 con la teorıa de Gustav Mie (Horvath, 2009), sin embargo, algu-

nas manifestaciones de plasmones en nanopartıculas datan de la epoca medieval con la

conocida copa de Lycurgus; pero no fue que se conocio con el nombre de “plasmonica”

hasta que se empezo a formular el electromagnetismo clasico. Las bases de la plasmoni-

ca contemplan basicamente 3 partes: Ecuaciones de Maxwell, materiales con electrones

libres y condiciones de frontera adecuadas. Por mencionar algunos de los casos donde

se manifiestan los plasmones es: resonancias en partıculas metalicas que son mucho

menores a la longitud de onda y confinamiento en regiones (superficies metalicas) donde

las oscilaciones colectivas de los electrones pueden propagarse sobre la superficie del

metal, en ambos casos se manifiesta una intensificacion del campo electromagnetico ma-

yor al campo electromagnetico incidente. La capacidad de transmision de informacion de

la plasmonica hace que esta nueva area de la optica sea prominente ante la electronica,

llevando ası, a multiples investigaciones como en biomedicina (Liao et al. (2006); Hu et al.

(2006)), fuentes de energıa fotovoltaica (Green A (2009); Luque y Mart (2004)), o energıa

fotoquımica (Litch (2005); Fendler H (1985)).

En el modelo de electrones libres, los electrones oscilan bajo la influencia de un campo

electrico y dicho movimiento esta amortiguado por oscilaciones con una frecuencia de

25

oscilacion γ = 1/τ ; donde τ es el tiempo de relajacion del gas (τ ≈ 10−19seg). La ecuacion

de movimiento para el electron del plasma es (Maier A, 2007, p. 11)

mdx2

dt2= −mγdx

dt− eE (t) , (4)

si se asume una dependencia armonica E (t) = E0e−iωt del campo electrico externo, una

solucion partıcular de esta ecuacion tiene la siguiente forma x (t) = x0e−iωt, y se puede

enconcontrar que (Maier A, 2007, p. 11)

x (t) =e/m

ω2 + iωγE0, (5)

donde x (t) es la amplitud con la que se mueve el electron. Entonces para una polarizacion

macroscopica sabemos ~P = −nex, que en forma explıcita esta dado por

~P = −ne e/m

ω2 + iωγ~E. (6)

Entonces si ~D = 4π ~E+ ~P y sustituimos la ecucion (6), con un poco de algebra obtenemos

~D = ~E − 4πne2/m

ω2 + iωγ~E =

(1− n4πe2/m

ω2 + iγω

)~E, (7)

si definimos ω2p = n4πe2

mcomo frecuencia del plasma del gas de elecrones libres, llegamos

a el resultado deseado, la funcion dielectrica del gas de electrones libres que se muestra

a continuacion:

ε (ω) = 1−ω2p

ω2 + iωγ(8)

donde ε(ω) es la respuesta optica del material metalico con dependencia ω. Las oscila-

ciones del plasma (ωp) en un metal son excitaciones colectivas longitudinales de un gas

de electrones de conduccion. En otras palabras, un plasmon es un oscilacion del plasma

cuantizada.

Si γ << ω el amortiguamiento es despreciable, si ademas, ω = ωp entonces la funcion

dielectrica se anula y con esto se dice que la carga tiene un “movimiento” rıgido en el

26

material y es una condicion de existencia de ondas longitudinales. Por otro lado, si ω < ωp

se tiene que Re ε (ω) < 0 es una caracterıstica de los materiales metalicos. Si ω > ωp,

entonces Re ε (ω) > 0 que es caracterıstica de los materiles dielectricos.

27

Capıtulo 3. Formulacion teorica

En este capıtulo se mencionaran las bases teoricas para el calculo del esparciemiento

de ondas electromagneticas debido a superficies con diversas geometrıas y materiales.

El estudio del esparcimiento de ondas electromagneticas sera llevado a cabo mediante el

formalismo conocido como Metodo Integral, el cual esta basado en el segundo teorema

integral de Green (Maradudin et al., 1990).Una vez determinada la geometrıa de la super-

ficie esparcidora y el campo incidente, mediante el segundo teorema integral de Green se

obtiene la solucion general de las ecuaciones de onda dentro y fuera de las geometrıas

que se estudien. Las condiciones de continuidad de los campos en la superficie de la geo-

metrıa (Fuenciones Fuente) nos permiten obtener la solucion partıcular del problema de

esparcimiento. El formalismo se dearrolla para geometrıas invariantes en una direccion,

es decir, bidimensional (2D), que sera fundamental para los calculos numericos.

3.1. Modelaje de la geometrıa de la superficie esparcidora

En esta seccion, es conveniente introducir una descripcion matematica que concuerde

con el sistema fısico, para poder considerar geometrıas complejas estas se describiran

como superficies parametrizadas bidimensionales.

El sistema fısico que se considerara consiste en un medio homogeneo, medio I, vacıo

por ejemplo, con una permitividad dielectrica εI(ω) que rodea un medio II, un metal por

ejemplo, con una permitividad dielectrica compleja εII (ω). El medio que rodea la geo-

metrıa se definira como εI (ω) = εI1 (ω) + iεI2 (ω) en la region r > R(s), mientras que

en la region r < R(s) dentro de la superficie la constante dielectrica se definira como

εII (ω) = εII1 (ω) + iεII2 (ω) como lo muestra la figura 17.

En la figura 17, las superficies son expresadas como funciones parametrizadas donde

es conveniente escoger una longitud de arco s, que describe a la superficie. Las ecuacio-

nes basicas de esparcimiento estaran escritas en terminos del parametro s. El perfil de

la superficie esparcidora puede ser representado mediante un vector R (s), el cual pue-

de escribirse en terminos de dos funciones, η y ς, definido en componentes cartesianas.

Entonces, R (s) se describe por

28

Figura 17: Representacion de la geometrıa esparcidora.

R (x, z) |x=η(s),z=ς(s), (9)

donde η y ς son las coordenadas parametricas en un punto arbitrario en la superficie.

3.2. Ondas electromagneticas con polarizacion s

En esta seccion se analiza el esparcimiento de ondas electromagneticas por una su-

perficie iluminada por un haz con polarizacion s (campo electrico incidente perpendicular

al plano de incidencia), donde el campo electrico incide desde un medio homogeneo so-

bre un material dielectrico y cuyo perfil este definido por la ecuacion r = R en el plano

(x,z) como se observa en la figura 18. Para este caso el campo electrico toma la forma

E(r; t) = (0, Ey(r), 0) e−iωt, (10)

mientras que el campo magnetico es

H(r, t) = (Hx(r), 0, Hz(r)) e−iωt. (11)

En el medio homogeneo εI (ω) (exterior a la superficie), las ondas electromagneticas

29

son soluciones a la ecuacion de onda independientes del tiempo creadas por una fuente

de distribucion ρ(r): (∇2 + εI(ω)k2

0

)EIy(r) = −4πρ(r), (12)

donde EIy(r) es el campo electrico en la parte exterior a la superficie y k0 = 2π

λ= ω

cy

c es la velocidad de la luz en el vacıo. La ecuacion (12) es conocida como la ecuacion

de Helmohltz. En la region con medio homogeneo εII (ω) (interior de la superficie), la

solucion a la ecuacion de onda resulta

(∇2 + εII(ω)k2

0

)EIIy (r) = 0, (13)

donde EIIy (r) es el campo electrico dentro de la superficie esparciora. Las condiciones

de frontera en la superficie del material (continuidad de la componente tangencial del

campo electrico) establecen que el campo electrico en el medio I y en el medio II sobre

la superficie de la geometrıa esparcidora deben ser iguales y esto se expresa como:

EIy(r|ω) |r=R′= EII

y (r|ω) |r=R′ , (14)

donde R′ representa la posicion en la superficie donde se aplican las condiciones de

continuidad del campo electromagnetico en ambos medios; y ademas, las derivadas nor-

males de los campos en la superficie se pueden representar como:

∂

∂n+

EIy(r|ω)|r=R′ =

∂

∂n+

EIIy (r|ω) |r=R′ . (15)

y la derivada normal a la superficie se puede ver explicitamente como

∂

∂n+

= n (r′) · ∇ =

(−ς ′ (s) ∂

∂η′ (s)+ η′ (s)

∂

∂ς ′ (s)

), (16)

Se introducen ahora dos funciones (Funciones de Green), GεI (r|r′) y GεII (r|r′), que

satisfacen la ecuacion de onda , en la region I: con medio εI (ω)

(∇2 + εIk

20

)GεI (r|r′) = −4πδ (r− r′) (17)

30

Figura 18: Representacion del esparcimiento en polarizacion s por una superficie.

y en la region II: con medio εII (ω)

(∇2 + εII(ω)k2

0

)GεII (r|r′) = −4πδ (r− r′) , (18)

donde GεI (r|r′) satisface la condicion de una onda saliente del infinito, mientras que

GεII (r|r′) se desvanece en el infinito. En un tratamiento bidimensional asociado con una

superficie parametrizada, la representacion explicita de estas funciones vienen dadas por

las funciones de Hankel tipo uno y de orden cero (Maradudin et al., 1990):

GεI (r|r′) = iπH10 (nIk0|r− r′|) (19)

GεII (r|r′) = iπH10 (nIIk0|r− r′|) , (20)

donde

nα (ω) = (ε (ω))1/2 = (εα1 (ω) + εα2 (ω))1/2 para α = I, II. (21)

es el ındice de refraccion complejo del medio dielectrico y el subındice α toma el valor

I para el medio exterior a la superficie esparcidora y toma el valor de II para el medio

dentro de esta.

31

Figura 19: Segundo teorema integral de Green: region de integracion.

3.3. Campo esparcido

Para obtener el campo complejo esparcido en un punto de observacion del espacio

puede realizarse con ayuda de la relacion matematica conocida como el Segundo Teore-

ma Integral de Green (Born y Wolf, 1980) (p. 418).

Sean u (r) y v (r) campos escalares arbitrarios definidos en un volumen V que estan

limitados por una superficie Ω, entonces el teorema de Green resulta

∫V

(u∇2v − v∇2u

)dV =

∫Ω

(u∂v

∂n− v ∂u

∂n

)ds, (22)

donde ∂∂n+

denota una diferenciacion a lo largo de la parte exterior de la superficie Ω, (ver

figura 19).

Consideraremos ahora el caso donde el volumen V es la region r > R, (V+) (figura

20). En este caso la superficie Ω consiste en una superficie r = R el cual se denota

por Ωr|R, una superficie cualquiera cilındrica (infinita en la direccion ‘y’) de radio infinito

que se denota como Ωr(+∞). Como la contribucion de la luz esparcida en cada punto

en la superficie Ωr(+∞) se considera casi nula de acuerdo a la condicion de radiacion

de Sommerfeld (Born y Wolf, 1980) (p.377), entonces la integral en esa superficie no se

considera.

Ası, si se hace el siguiente cambio de variable, u = EIy (r) y v = GεI (r|r′), usando las

ecuaciones (12), (17) y sustituyendo en la ecuacion (22) se escribe

32

Figura 20: Geometrıa del esparcimiento y el segundo teorema integral de Green de una onda elec-tromagnetica en la superficie esparcidora.

∫V

[EIy (r′)∇2GεI (r|r′)−GεI (r|r′)∇2EI

y (r′)]dV ′

=

∫ΩR

[EIy (r′)

∂

∂nGεI (r|r′)−GεI (r|r′) ∂

∂nEIy (r′)

]dΩ

′

R

+

∫Ω∞

[EIy (r′)

∂

∂nGεI (r|r′)−GεI (r|r′) ∂

∂nEIy (r′)

]dΩ∞

(23)

donde la ultima integral de la ecuacion (23) no contribuye al campo que se quiere medir

de acuerdo a la condicion de radiacion de Sommerfeld.

Entonces, de la ecuacion (12) se obtiene

∇2EIy (r) = −4πρ(r)− εI (ω) k2

0EIy(r), (24)

de igual forma, de la ecuacion (17) obtenemos

33

∇2GεI (r|r′) = −4πδ (r− r′)− εI(ω)k20GεI (r|r′) , (25)

sustituyendo (24) y (25) en (23) se obtiene finalmente

EIy (r|ω) =EI

y (r|ω)inc

+ 14π

∫Ω

[(∂∂nGεI (r|r′)

)EIy (r′)

−GεI (r|r′)(∂∂nEIy (r′)

)]dΩ

′ |r=R′ ,

(26)

donde

EIy (r|ω)inc =

∫V ′

GεI (r|r′) ρ (r′) dV ′, (27)

es el campo incidente. Siguiendo el razonamiento anterior para el medio II, si hacemos

u = EIIy ((r|ω)) y v = GεII (r|r′) obtendemos

EIIy (r) = − 1

4π

∫Ω

[(∂∂nGεII (r|r′)

)EIIy (r′)

+GεII (r|r′)(∂∂nEIIy (r′)

)]dΩ

′ |r=R′ ,

(28)

y el vector normal n (r′) esta dado por

n (r′) = [−ς ′ (s) + η′ (s)] . (29)

Ahora se definen dos parametros conocidos como “Funciones Fuente” generadas en

la superficie:

E (R) = EIy (r) |r=R (30)

34

F (R) =

(−ς ′ (s) ∂

∂η′ (s)+ η′ (s)

∂

∂ς ′ (s)

)EIy (r) |r=R . (31)

Las ecuaciones (32) y (33) expresan el campo electrico en cualquier punto donde se

quiera medir el campo electromagnetico, es decir, en cualquier medio en terminos de las

funciones fuente E (R) y F (R). Sustituyendo las ecuaciones (16), (30) y (31) en (26) y

(28) se obtiene

EIy (r) = E (r|ω)inc +

+1

4π

∫Ω

n (r) · ∇GεI (r|R′)E (R′) −GεI (r|R′)F (R′) dΩ′,

(32)

EIIy (r) =

− 1

4π

∫Ω

n (r) · ∇GεII (r|R′)E (R′)−GεII (r|R′)F (R′) dΩ′,

(33)

cuyas expresiones forman un par de ecuaciones integrales acopladas que representan el

campo electrico total en un punto fuera de la superficie r > R(s) (εI(ω)), ecuacion (32), y

dentro de la superficie dielectrica r < R(s) (εII(ω)), ecuacion (33).

El campo electrico total que rodea la superficie puede ser escrito como la suma del

campo incidente y del campo esparcido (reflejado), ası, la ecuacion (32) puede escribirse

como

EIy (r) = Ey (r|ω)inc + Ey (r)sc , (34)

donde Ey (r)sc es el campo esparcido y esta dado por

35

Figura 21: Teorema de Green para una region multiplemente conexa.

Ey (r)sc =1

4π

∫Ω

n (r) · ∇GεI (r|R′)E (R′) −GεI (r|R′)F (R)dΩ′, (35)

donde GεI (r|r′) esta descrito por la ecuacion (19). La ecuacion (35) es la expresion que

representa el campo esparcido debido a una superficie o varias en cualquier punto fuera

de estas (r > R(s)).

En las ecuaciones (26) y (28) la integral sobre la superficie Ω es una integral de lınea

la cual puede recorrer la geometrıa esparcidora mediante diversas trayectorias, lo que

darıa la posibilidad de multiples superficies con el mismo medio ε(II). Para comprobar

lo anterior, recurrimos al Teorema de Green en regiones Multiplemente Conexas, en la

figura 21 se muestra graficamente el enunciado de este teorema. Lo que podemos decir

para nuestro problema bajo las condiciones de este teorema es que es posible incluır un

conjunto de superficies esparcidoras debido a que la integral de lınea esta definida para

curvas cerradas y no importa el sentido de recorrido de la integral sobre las supercicies.

La superficie Ωj denota el perfil de la j − esima geometrıa mediante un vector continuo

evaluado en las superficies de las mismas(

Ωj = rj |x=ηj(s),z=ςj(s)=(ηj (s) , ςj (s)

))en el

plano (x, z).

Para una coleccion de superficies esparcidoras las ecuaciones (32) y (33) se convier-

ten en las ecuaciones (36) y (37). Estas ultimas describen el campo electrico en cualquier

36

punto de observacion, tanto fuera como dentro de las superficies esparcidoras.

EIy (r) = E (r|ω)inc +

+1

4π

∑j

∫Ωj

n (r) · ∇GεI (r|Rj

′)E(R′j)−GεI (r|Rj

′)F(R′j)dΩ′j,

(36)

EIIy (r) =

− 1

4π

∑j

∫Ωj

n (r) · ∇GεI (r|Rj′)E (Rj

′)−GεI (r|Rj′)F (Rj

′) dΩ′j,

(37)

3.4. Ondas electromagneticas con polarizacion p

Para esta polarizacion es conveniente estudiar el campo magnetico ya que solo pre-

senta una componente no nula (componente y, ver figura 22), por lo que esta componente

del campo magnetico adopta la forma:

H(r; t) = (0, Hy(r), 0) e−iωt, (38)

mientras que el campo electrico tiene la forma:

E(r, t) = (Ex(r), 0, Ez(r)) e−iωt. (39)

Esta polarizacion resulta un tanto mas interesante ya que es la unica que puede des-

cribir la excitacion de plasmones superficiales, este fenomeno puede intensificar el cam-

po incidente o el campo esparcido debido a nanoparıculas metalicas. Las condiciones de

continuidad para esta polarizacion son ahora:

37

Figura 22: Representacion esquematica del esparcimiento en polarizacion p por una superficie.

H(R) = HIy (r|ω) |r=R′= HII

y (r|ω) |r=R′ (40)

L(R) =∂

∂n+

HIy (r|ω) |r=R′=

εIεII

∂

∂n+

HIIy (r|ω) |r=R′ . (41)

donde en este caso ya se han definido las funciones fuente para el campo magnetico

H y L. Siguiendo un procedimiento similar al caso de la polarizacion s, para el campo

magnetico, se obtienen unas ecuaciones integrales similares (ecs. (36)-(37)) para una

coleccion de superficies esparcidoras, que son:

HIy (r) = H (r|ω)inc +

1

4π

∑j

∫Ωj

[n (r) · ∇GεI (r|Rj

′)]r′=R′H(R′j)−GεI (r|Rj

′)L (Rj) dΩ′j,

(42)

HIIy (r) = − 1

4π

∑j

∫Ωj

[n (r) · ∇GεI (r|Rj

′)−εI(ω)

εII(ω)GεI (r|Rj

′)L (Rj′)

]r′=R′

H (Rj′)

dΩ′j,

(43)

38

Las ecuaciones (42) y (43), al igual que las ecuaciones (32) y (33), conforman un siste-

ma de ecuaciones acopladas integrales, las cuales se resuelven numericamente despues

de haber extraıdo las singularidades de las funciones Hankel H(1)0 y H(1)

1 . En el caso de

polarizacion p son validas las mismas consideraciones que en polarizacion s, es decir,

una vez conocidas las ecuaciones H y L es posible obtener el campo magnetico en cual-

quier punto dentro y fuera de una superficie.

En algunos casos, es necesario estudiar el campo electrico, dado que permite visuali-

zar los procesos de intensificacion superficial del campo electromagnetico en los metales

y ayuda a comprender las resonancias plasmonicas en nanopartıculas. Es posible cal-

cular el campo electrico a partir de la unica componente del campo magnetico mediante

una de las ecuaciones de Maxwell:

∇×H = −iωcεE, (44)

en forma explıcita la ecuacion (44) resulta:

E = − i

εk0

∂

∂zHy(r)x+

i

εk0

∂

∂xHy(r)z (45)

de manera que de las ecuaciones (42) y (43) se pueden obtener expresiones para el

campo electrico a partir de las expresiones del campo magnetico, de la forma

EIx (r) = − i

εk0∂∂zHy (r|ω)inc (46)

− i4πεIk0

∑j

∫∞−∞

[∂GεI (r|Rj

′)∂nj∂z

]r′=R′

Hj (R′) −∂GεI∂z

(r|Rj′)Lj (R)

dΩ′j,

39

EIz (r) = i

εk0∂∂zHy (r|ω)inc (47)

+ i4πεIk0

∑j

∫∞−∞

[∂GεI (r|Rj

′)∂nj∂x

]r′=R′

Hj (R′) −∂GεI∂x

(r|Rj′)Lj (R)

dΩ′j,

Las ecuaciones (46) y (47) describen la componente x y z del campo electrico en cual-

quier punto fuera de la superficie esparcidora, una forma mas explıcita de estas ecuacio-

nes esta dada por las siguientes relaciones:

EIx (r) = Epinc

x

− 1

4√εI

∑j

∞∫−∞

Hj (R′)

[n1k0

[n ·(r −R′j(s)

)]| r −R′j(s) |2

(z − η(s))H(1)2

(n1k0

(r −R′j(s)

))

− ς ′(s)

| r −R′j(s) |H

(1)1

(n1k0

(r −R′j(s)

))]

− (z − η(s))

| r −R′j(s) |H

(1)1

(n1k0

(r −R′j(s)

))Lj (R′)

dΩj′ (48)

40

EIz (r) = Epinc

z

+1

4√εI

∑j

∞∫−∞

Hj (R′)

[n1k0

[n ·(r −R′j(s)

)]| r −R′j(s) |2

(x− ς(s))H(1)2

(n1k0

(r −R′j(s)

))

+η′(s)

| r −R′j(s) |H

(1)1

(n1k0

(r −R′j(s)

))]

− (x− ς(s))| r −R′j(s) |

H(1)1

(n1k0

(r −R′j(s)

))L (R′)

dΩ′j (49)

donde Epincx = − i

εk0∂∂zHy (r|ω)inc y Epinc

z = iεk0

∂∂xHy (r|ω)inc son las componentes del cam-

po electrico incidente. Las ecuaciones (46) y (47) describen el campo electrico total en el

regimen cercano debido a una coleccion de superficies esparcidoras. A partir de la ecua-

cion (43) se puede obtener una expresion para el campo electrico dentro de los elementos

dispersores similares a las ecuaciones (46) y (47).

3.5. El campo lejano

Hasta ahora se tienen las ecuaciones integrales que describen el campo electro-

magnetico en culquier punto, ahora estamos interesados en analizar el campo esparcido

(r > R) por una superficie esparcidora en una region muy lejos de ella, como se muestra

en la figura 23, donde dicha superficie esta en el origen de coordenadas y el punto de

observacion se encuentra muy lejos de estas.

Consideremos | r′| = [(η (s′))2 + (ς (s′))2]1/2 como la distancia del origen del plano

(x, z) a un punto en la superficie, |r| = (x2 + z2)1/2 la distancia del origen a un punto de

observacion y |r− r′| la distancia de un punto en la superficie a un punto de observacion.

Como lo que se quiere observar es el campo en el regimen lejano, es decir, observar a una

distancia mucho mayor que el tamano de la superficie esparcidora, entonces |r−r′| → ∞,

entonces de la figura 23 se puede obtener

41

Figura 23: Esquema donde se ilustra la geometrıa para campo en el regimen lejano.

k|r− r′| = k|r| − ksc · r′, (50)

donde ksc · r′ esta dado por

ksc · r′ = k(x′sinθsc + zcosθsc) (51)

Ahora θsc es el angulo de observacion y la ecuacion (19) se vuelve una expresion que

considera argumentos grandes en la funcion de Hankel y una aproximacion a esta es

(Ruiz Cortes, 1998) (p.50);

lım|r−r′|→+∞

H10 (nk|r− r′|) ≈

(2

πnk|r|

)ei(nk|r−r

′|−π4 ) , (52)

de la misma manera, la derivada de la funcion de Hankel para cuando |r− r′| → ∞

lım|r−r′|→∞

∂

∂nH1

0 (nk|r− r′|) ≈ −ik (r · n)

(2

πnk|r|

)ei(k|r|−

π4 )e−ik(r·r′). (53)

Sustituyendo las ecuaciones (52) y (53) en la ecuacion (32) se obtiene la expresion

para el campo esparcido en el regimen lejano

42

EI (θsc) =i

4

(2

πnk|r|

)1/2

exp[i(k|r| − π

4

)]×∫

Ω

exp [−ik (r · r′)] [−ik (rj · n′)E (R)− F (R)] ds′ (54)

donde

r · n′ = −ς ′(s)sin(θsc) + η′(s)cos(θsc), (55)

~r · r′ = η(s)sin(θsc) + ς(s)cos(θsc). (56)

E(R′) y F (R′) (las funciones fuente) son calculadas del sistema de ecuaciones aco-

pladas (ecuaciones (32) y (33)) y θsc es el angulo de observacion en una region lejana a

la superficie esparcidora.

3.6. El campo incidente

Saber la forma el campo incidente es de vital importancia debido a que las funciones

fuente estan en funcion de este, y el campo esparcido depende de las funciones fuente.

En esta seccion se analizaran dos tipos de iluminacion: un frente de onda plano y la de un

frente de onda cilındrico (fuente puntual bidimensional) con distintas polarizaciones como

lo muestra la figura 24.

3.6.1. Frente de onda plano

En todo el planteamiento de esparcimiento que se ha tratado en este capıtulo no se

ha especificado la forma de la amplitud del haz incidente. En este caso se considerara un

frente de onda plano, la derivacion de la expresion para el campo incidente de estas

caracterısticas lo desarrolla explıcitamente (Ruiz Cortes, 1998) (p. 52) y en polarizacion s

esta dado por,

EIy (r)inc u eik0(xsinθinc−zcosθinc), (57)

43

(a) Polarizacion s. (b) Polarizacion p.

Figura 24: Referencia de iluminacion

donde EIy (r)inc tiene la forma de un frente de onda plano y la ecuacion (57) satisface la

ecuacion de onda.

Para polarizacion p, la componente transversal tiene la forma:

HIy (r)inc u eik0(xsinθinc−zcosθinc), (58)

que mediante la relacion 38 se obtienen las componentes paralelas al plano de incidencia

como se muestra en la figura 24-(b), obteniendo:

EIx(r)inc = (− i

εIk0

)∂HI

y (r)inc

∂z= −cosθinc√

εIeik0(xsinθinc−zcosθinc), (59)

EIz (r)inc = (

i

εIk0

)∂HI

y (r)inc

∂x= −sinθinc√

εIeik0(xsinθinc−zcosθinc), (60)

donde k0 = ω/c y εI es la constante dielectica del medio donde se encuentra el campo

incidente.

3.6.2. Fuente puntal bidimensional (frente de onda cilındrico)

Debido a que el sistema geometrico en el cual se trabaja es bidimensional (invariante

en una direccion) no es posibe considerar una fuente puntual, sino que se considera un

cilındro infinito radiante situado en una posicion (x0, z0). De acuerdo con (Born y Wolf,

44

1980, p. 659) una fuente de este tipo, en polarizacion s tiene la forma:

EIy (r)inc =

√π

2eiπ4 H

(1)0 [nIk0((x− x0)2 + (z − z0)2)1/2], (61)

donde H(1)0 es la funcion de Hankel de primera clase y de orden cero. Para polarizacion p,

el campo incidente tiene una componente en la direccion y como lo muestra la ecuacion

(62)

HIy (r)inc =

√π

2eiπ4 H

(1)0 [nIk0((x− x0)2 + (z − z0)2)1/2], (62)

Similarmente como se hizo el procedimiento en el caso del frente de onda plano, para

calcular las componentes paralelas al plano de incidencia, aplicamos la ecuacion 38 en

el campo incidente en polarizacion p, obteniendo:

EIx(r)inc = (− i

εIk0

)∂HI

y (r)inc

∂z(63)

= i

√π

εI2eiπ4 H

(1)1 [nIk0((x− x0)2 + (z − z0)2)1/2]

z − z0

((x− x0)2 + (z − z0)2)1/2

y

EIz (r)inc = (

i

εIk0

)∂HI

y (r)inc

∂x(64)

= −i√

π

εI2eiπ4 H

(1)1 [nIk0((x− x0)2 + (z − z0)2)1/2]

x− x0

((x− x0)2 + (z − z0)2)1/2,

donde k0 = ω/c, εI es la constante dielectica del medio donde se encuentra el campo

incidente y H(1)1 es la funcion de Hankel de primer orden y clase uno.

45

Figura 25: Diagrama esquematico donde se representa el flujo de energıa incidente y espacido me-diante una partıcula.

3.7. Potencia del haz incidente y del campo esparcido

Cuando un flujo de energıa (ondas electromagneticas) incide sobre una superficie,

esta esparce en varias direcciones y dependiendo de las propiedades del material que

sea la partıcula absorbera un porcentaje de esa radiacion incidente. En los experimentos

la cantidad de radiacion (irradiancia) que esparce un objeto se capta con un detector que

mide un promedio temporal de la radiacion que llega a este. De la misma manera, si se

desea hacer un comparativo entre las cantidades “reales” que esparce un objeto en una

simulacion numerica, se debe se debe promediar la energıa que irradia a la partıcula

y es esparcida en un intervalo angular dθ, para relizar esto, los calculos se haran con el

promedio temporal del vector de Poynting; y similarmente, obtener la densidad del flujo de

energıa que incide sobre una superficie. Entonces, se necesita calcular el flujo de energıa

incidente y el flujo de energıa esparcido como lo muestra la figura 25.

La magnitud del promedio temporal del flujo de energıa incidente sobre una superficie

Σ, esta dado por (Born y Wolf, 1980, p. 9)

P =

∣∣∣∣∣∣∫Σ

S · ndsΣ

∣∣∣∣∣∣ (65)

donde n es un vector normal hacia afuera de la superficie y S es el promedio temporal del

46

vector de Poynting, el cual esta dado por (Born y Wolf, 1980, p. 88)

S =c

8πRe E×H∗ (66)

se sabe que, para un material no magnetico (Born y Wolf, 1980, p. 560)

H(x, z) =c

iωO× E(x, z) (67)

Entonces, utilizando (67) en (66) se puede obtener una expresion para el promedio

del vector de Poynting para una onda electromagnetica con polarizacion s

S =c2

8πRei

ω

(EIy (r)inc

∂

∂xEIy(r)∗incx+ EI

y (r)inc∂

∂zEIy(r)∗incz

)(68)

Considerando el campo incidente como un frente de onda plano de la forma mostrada

en la ecuacion (57) y sustituyendo en la ecuacion (68) se obtiene el flujo de energıa

promedio que incide en nuestro sistema, se considera que incide sobre una superficie

(z = 0), por lo que el vector normal en esa superficie es n = η′(s) z.

Utilizando (65) y (68) resulta

P =

∣∣∣∣∣∣∫Σ

c2

8πωRe i (ikcosθinc) dΣ

∣∣∣∣∣∣

P =

∣∣∣∣∣∣∣−c2

8πωkcosθinc

Lx/2∫−Lx/2

Ly/2∫−Ly/2

dxdy

∣∣∣∣∣∣∣(69)

La integral sobre la variabe y, resuta Ly, y la integral sobre la variable x, resulta Lx, las

cuales son las longitudes en la direccion y y x respectivamente. Despues de un poco de

manipulacion algebraica, se obtiene la expresion para el promedio del flujo total incidente

en la superficie z = 0

47

Pinc =c

8πnIcosθincLxLy (70)

Siguiendo el analisis anterior, se procede a encontrar la potencia incidente para una

fuente cilındrica (Ecuacion (61)). Partiendo de la ecuacion (68) se obtiene

S =c2

8πRei

ω

[π

2H

(1)0 (kεd)

∂

∂x

(H

(1)0 (kεd)

)x+

π

2H

(1)0 (kεd)

∂

∂z

(H

(1)0 (kεd)

)z

], (71)

donde kε = nIk0 =√εI (ω)ω

cy d =

√(x− x0)2 + (z − z0)2. Para calcular el vector de

Poynting de este tipo de iluminacion es necesario recurrir a la expresion asisntotica de la

funcion de Hankel (Abramowitz y Stegun, 1972) (p. 364). Debido a la geometrıa del pro-

blema, es necesario proponer un vector normal en coordenadas polares como se muestra

a continuacion

n =x

r0

x+z

r0

z. (72)

Sustituyendo las ecuaciones (71) y (72) en la ecuacion (65) y realizando un poco de

algebra se llega a una expresion para la potencia incidente de la siguiente foma

Pinc =

θ∫−θ

Ly/2∫−Ly/2

c2

8πωdydθ, (73)

donde la integral en y es independiente de la integral angular (θ). Debido a que se ilumina

con un frente de onda cilındrico, la integracion se realiza solo en donde es iluminada la

partıcula como lo ilustra la figura 26 , por lo que la integracion total de la potencia para

una fuente cilındrica es

48

Figura 26: Diagrama esquematico de la integracion angular para las geometrıas utizadas iluminadascon un frente de onda cilındrico.

Pinc =cLy4πk0

atan

(Lx2z

), para unnanorod (74)

Pinc =cLy4πk0

atan(rz

), para un cırculo (75)

Para calcular el el flujo de energıa que atraviesa la superficie Σr ( figura 25), donde

esta superficie figura ser la posicion donde estarıa un detector en un modelo experimental,

se seguira un procedimiento similar al del calculo de la potencia incidente.

Como se menciono anteriormente, el vector de Poynting promedio para el campo es-

parcido esta dado por

S =c2

8πRei

ω

(EIy (r)sc

∂

∂xEIy(r)∗scx+ EI

y (r)sc∂

∂zEIy(r)∗scz

)(76)

De la figura 25, se puede observar que un vector perpendicular a la superficie imagi-

49

naria donde cruza la potencia esparcida Σr (x2 + z2 = r20) en direccion hacia afuera de la

superficie es

n =x

r0

x+z

r0

z. (77)

Entonces utilizando las ecuaciones (54), (68) y (77) en (65) se obtiene una expresion

para el promedio temporal total que atraviesa a traves de la superficie Σr

Psc =

2π∫0

Ly/2∫−Ly/2

c

8π

1

8πk0

| rs (θsc) |2 dydθsc, (78)

donde

rs (θsc) =

∞∫−∞

exp[−ik0(ηj(s)sin(θsc) + ςj(s)cos(θsc))

]×

[−ik0

(−ς ′j(s)sin(θsc) + η′j(s)cos(θsc)

)E (R))− F (R)

]ds′ (79)

La integral sobre la variable y resulta Ly, el cual es la longitud de la superficie en la

direccion y. Entonces de la ecuacion (78) se obtiene

Psc (θsc) =( c

8π

) Ly8πk0

| rs (θsc) |2, (80)

donde rsc (θsc) esta dada por la ecuacion (79).

3.8. Seccion eficaz

Cuando se tiene una o mas superficies esparcidoras entre un haz de luz y un detector,

este ultimo detecta cierta irradiancia I, si de alguna manera se retiran las partıculas el

detector registrara una irradiancia Io(I0 > I).

Con este razonamiento podemos decir que la prescencia de partıculas resulta en una

extincion o perdida de energıa proveniente del haz de luz; entonces si el medio donde las

partıculas no es absorbente, se puede decir que esa extincion es una representacion de

50

absorcion y esparcimiento debido a las partıculas.

La extincion depende de la composicion quımica de las partıculas, su tamano, su for-

ma geometrica, el medio que la rodea, el numero de partıculas y el estado de polarizacion

del haz incidente. Se sabe que la extincion esta dada por (Bohren, 1983) (p. 70)

Cext = Cabs + Csca (81)

Cext =4π

k20

Re[Ψ (θ, φ)(θ=180o)

](82)

cualquiera que sea la funcion Ψ (θ, φ), tiene dimensiones de superficie y Cext representa

la parte real de la amplitud de esparcimiento en la direccion del haz incidente.

Como se menciono antes, cuando un haz incide sobre una coleccion de partıculas,

estas esparcen una cantidad de la radiacion incidente. Una manera sistematica y viable

de “colectar” dicha radiacion es trasladando un detector de manera angular. Por describir

un caso teorico, la intensidad (lejos del objeto) del campo esparcido es proporcional a la

intensidad incidente, es decir

I =I0

k20

Ψ (θ, φ) , (83)

Cext =1

k20

∫4π

| Ψ (θ, φ) |2 dΩ. (84)

Ψ (θ, φ) es una funcion adimensional que solo tiene dependencia angular. La cantidad|Ψ(θ,φ)|2

k20suele llamarse el diferencial de “esparcimiento de la seccion eficaz”. La funcion Ψ

es una funcion de onda que en principio puede obtener la forma para el campo electrico

en polarizacion s o en polarizacion p (expresiones 26 y 48) respectivamente, obteniendo

ası, expresiones que nos permiten obtener las secciones transversales de esparcimiento,

absorcion y extincion para el formalismo de ecuaciones integrales que se mostro en esta

seccion.

51

Capıtulo 4. Resultados numericos

En el presente capıtulo estudiaremos la interaccion de la luz con nanopartıculas metali-

cas mediante el formalismo del Metodo Integral con base en el segundo teorema Integral

de Green desarrollado en el capıtulo anterior. Se estudiara la interaccion de la luz con na-

nopartıculas en el campo cercano y lejano haciendo enfasis en este ultimo. Las partıculas

estaran inmersas en un medio dielectrico, por ejemplo, vacıo o agua. En partıcular estu-

diaremos los campos lejanos y las secciones eficaces de esparcimiento en diferentes

polarizaciones del campo incidente. El campo electromagnetico incidente sera de dos ti-

pos: un frente de onda plano y una fuente cilındrica, tanto como para partıculas aısladas

como para partıculas interactuantes. La idea del presente trabajo es lograr que la inter-

accion de una o mas partıculas en conjunto con un campo electromagnetico incidente

logren dirigir la mayorıa de la radiacion hacia una direccion preferencial, tal como lo hace

una antena de radiofrecuancia.

4.1. Nanopartıculas aisladas con ondas s y p

El estudio se dividira en 2 secciones, en esta primera parte se estudiara la interaccion

de la luz con partıculas aısladas de diversas geometrıas. Posteriormente se estudiara la

interaccion de la luz con nanopartıculas interactuantes.

4.1.1. Esparcimiento por cilindros

Como se ha establecido, para el calculo del campo esparcido el modelo considera

superficies invariantes en una direccion (eje y), por lo que inicialmente consideraremos

partıculas cilındricas, donde su “profundidad” es infinita.

4.1.1.1. Cilindros iluminados con un frente de onda plano

Las partıculas cilındricas con base circular es el primer caso que estudiaremos de-

bido a que su geometrıa transversal es un cırculo y las resonancias en el campo cer-

cano son similares con las de una esfera. Este tipo de nanopartıculas circulares estan

caracterizadas opticamente a profundidad con base a los estudios teoricos en esferas

y cilindros infinitos realizados por Gustav Mie (Horvath, 2009),(Bohren, 1983, pag.194).

Las partıculas circulares presentan caracterısticas peculiares que son interesantes para

52

Figura 27: Esquema de la geometrıa esparcidora utilizando el formalismo del Metodo Integral.

evaluar con este metodo debido a su simetrıa radial. En la figura 27 se muestra un esque-

ma representativo de la geometrıa de esparcimiento con el Metodo Integral (geometrıas

bidimensionales). Este metodo calcula el esparcimiento de ondas electromagneticas de

la seccion transversal del cilindro infinito, que en este caso serıa un cırculo. Por otro lado,

el formalismo de Mie puede calcular de manera analıtica el esparcimiento de ondas elec-

tromagneticas de la seccion eficaz de esparcimiento de cilındros infinitos con tamanos de

diametros muy por debajo de la longitud de onda del visible.

Con el fın de comparar el formalismo del Metodo Integral con la teorıa de Mie, en la

figura 28 se muestra la seccion eficaz de esparcimiento (Qscs) en polarizacion s y p para

una nanopartıcula de oro, con forma circular de radio de 20 nm realizada con el forma-

lismo del Metodo Integral (a); la figura (b) se muestra la seccion eficaz de esparcimiento

para una nanopartıcula cilındrica de oro de radio 20 nm obtenida con el formalismo de Mie

para cilindros infinitos. La partıcula se encuentran en el vacıo, se iluminaron a incidencia

normal (incide desde arriba, θinc = 00) con un frente de onda plano con polarizacion p y

la amplitud de la onda incidente es unitaria. Podemos observar que el comportamiento

de la seccion eficaz es similar en ambos casos, si bien las magnitudes de la eficiencia de

esparcimiento no son iguales; la seccıon eficaz de esparcimiento (Qscs) en ambos casos

presentan resonancias a una longitud de onda de λ = 520nm.

53

300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 8000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Longitud de onda [nm]

Efic

ienc

ia

Qp

scs

Qsscs

(a) Formalismo de Metodo Integral.

300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 8000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Efic

ienc

ia

Qp

scs

Qsscs

(b) Formalismo de Mie.

Figura 28: Seccion eficaz de esparcimiento para una partıcula de oro, con geometrıa circular deradio 20 nm iluminada con un frente de onda plano; el campo electromagnetio incide desde arribacon amplitud unitaria.(a) Formalismo del Metodo Integral. (b) Formalismo de Mie.

54

Como se menciono anteriormente, se sabe que una resonancia de plasmon se puede

describir como la resonancia de oscilacion colectiva de electrones de conduccion en un

metal excitada por una onda electromagnetica incidente. En la figura 29-(a) se muestra

la distribucion de intensidad del campo electrico fuera de la nanopartıcula iluminada con

un frente de onda plano a inciencia normal (θinc = 00) y con amplitud unitaria. El campo

electrico dentro de la nanopartıcula no se calculo ya que estamos interesados en el cam-

po esparcido por la partıcula y no lo que sucede dentro de ella. Por la simetrıa que que

presenta, la nanoparıcula esparce como un “dipolo” (Radziuk y Moehwald, 2015; Riviera

et al., 2012), lo anterior se observa con el patron de esparcimiento en el campo lejano

como se muestra en la figura 29-(b).

x [nm]

z [n

m]

−100 −50 0 50 100−60

−40

−20

0

20

40

60

0

1

2

3

4

(a) Campo cercano (b) Campo lejano

Figura 29: Distriucion del campo electrico (|E|2) en el regimen cercano (a) y lejano (b) en polarizacionp para el caso de una nanopartıcula de oro iluminada con un frente de onda plano a la longitud deonda de resonancia λ = 520nm, con forma circular de radio de 20nm. El campo electromagneticoincide desde arriba (θ = 00) y tiene amplitud unitaria.

55

4.1.1.2. Cilindros iluminados con un frente de onda cilındrico

Debido a que estamos interesados en el comportamiento de nanopartıculas metalicas

iluminadas con un frente de onda cilındrico (expresiones (63) y (64)), en la figura 30 se

muestra la seccion eficaz de esparcimiento (Qscs) en polarizacion s y p para una nano-

partıcula de oro, con forma circular de radio de 20 nm realizada con el formalismo del

Metodo Integral. La fuente esta colocada a una distancia de 5nm de la nanopartıcula y

la amplitud de la onda electromagnetica es unitaria. La seccion eficaz de esparcimiento

(Qscs) presenta una resonancia en λ = 520nm similar al caso cuando se ilumina con un

frente de onda plano.

300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 8000

0.5

1

1.5

2

2.5


Efic

ienc

ia

Qp

scs

Qsscs

Figura 30: Seccion eficaz de esparcimiento para una nanopartıcula circular de oro de radio 20nmiluminada con un frente de onda cilındrico con amplitud unitaria.

Ahora, vamos a estudiar el campo cercano a la frecuencia de resonancia (λ = 520nm)

con este tipo de iluminacion (frente de onda cilındrico). El estudio del campo cercano en

una nanopartıcula es de gran ayuda para entender que modos se estan excitando.

En la figura 31-(a) se observa la distribucion de intensidad del campo electrico en

el regimen cercano para una nanopartıcula circular de oro de radio de 20 nm iluminada

con un frente de onda cilındrico en polarizacion p. La fuente se encuentra a 5 nm de-

bajo de la partıcula y la amplitud es unitaria. Se puede observar que la distribucion de

intensidad cambia de lo observado cuando se ilumina con un frente de onda plano (ver

56

x [nm]

z [n

m]

−100 −50 0 50 100−60

−40

−20

0

20

40

60

1

2

3

4

(a) Campo cercano

2 4 6 8 10

30

210

60

240

90270

120

300

150

330

180

0

Áng

ulo

de e

spar

cim

ient

o [g

rado

s]

|Ssca

|2

(b) Campo lejano

Figura 31: (a) Distribucion de campo electrico en el regimen cercano para una nanopartıcula circularde radio 20 nm iluminada con un frente de onda cilındrico. (b) Distribucion angular de intensidadlejos de la nanopartıcula (“campo lejano”).

figura 29-(a)). La figura 31-(b) muestra el campo electrico angular lejos de la partıcula.

El comportamiento de radiacion en el campo lejano (forma dipolar) es caracterıstico de

las partıculas nanometricas por el hecho de ser mucho menores a la longitud de onda

con la que se ilumina. Esta acumulacion de cargas crean un campo electrico opuesto a

la direccion de propagacion de la luz.

4.1.2. Esparcimiento por nanolaminas

Al igual que el esparcimiento por cilindros con base circular, el calculo del campo

esparcido lo realizaremos con nanolaminas invariantes en una direccion (eje y).

4.1.2.1. Nanolaminas iluminadas con un frente de onda plano

La geometrıa que se estudiara a continuacion en forma bidimensional presenta intere-

santes respuestas opticas que son de gran interes por su amplia cobertura en aplicacio-

nes (Xiaohua et al., 2001; Cao et al., 2014; Maksymov S et al., 2012). En esta seccion se

presentan algunos calculos numericos realizados con el formalismo del Metodo Integral

con el fın de caracterizar la respuesta optica tıpica de una nanolamina.

En la figura 32 se muestra la seccion eficaz de esparcimiento (Qscs) en polarizacion s

y p para una nanolamina de oro (L = 60nm × l = 40nm). La partıcula se encuentra en

vacıo y se ilumino con un frente de onda plano a incidencia normal (θ = 00) con amplitud

unitaria.

57

300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 8000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2


Efic

ienc

ia

Qp

scs

Qsscs

Figura 32: Seccion eficaz de extincion (Qext), esparcimiento (Qscs) y absorcion (Qabs) para una na-nolamina de oro con dimensiones (L = 60nm × l = 40nm). La nanopartıcula es iluminada con unfrente de onda plano desde arriba (θ = 00) y tiene amplitud unitaria.

La seccion eficaz de esparcimiento (Qscs) presenta una resonancia a una longitud

de onda λ = 524nm en polarizacion p la cual utilizaremos para observar la distribucion

de campo electrico en el regimen cercano y lejano. En la figura 33-(a) se muestra la

distribucion de intensidad del campo electrico en el regimen cercano en la longitud de

onda de resonancia (λ = 524nm) en polarizacion p muy similar a los resultados que se

muestran en (Grubisic et al., 2012). Para completar el estudio se muestra la distribucion

de campo electrico a la misma frecuencia de resonancia pero en polarizacion s (Figura

33-(b)). La distribucion de campo electrico lejos de la partıcula en polarizacion p muestra

un lobulo notable en la direccion θ = 1800 y un lobulo menor en direccion θ =0 (Figura 33

-(c).Por otro lado, para polarizacion s, el patron de radiacion tiende a ser mas isotropico

(Figura 33- d).

58

x [nm]

z [n

m]

−100 −50 0 50 100−60

−40

−20

0

20

40

60

0

1

2

3

4

(a)

x [nm]

z [n

m]

−100 −50 0 50 100−60

−40

−20

0

20

40

60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(b)

1 2 3 4

30

210

60

240

90270

120

300

150

330

180

0

Áng

ulo

de e

spar

cim

ient

o [g

rado

s]

|Ssca

|2

(c)

2 4 6 8 10

30

210

60

240

90270

120

300

150

330

180

0

Sca

tterin

g an

gle

[deg

rees

]

|Ssca

|2

(d)

Figura 33: Distribucion de campo electrico en el regimen cercano para una nanolamina de 40 nmde diametro y 60 nm de largo iluminada con un frente de onda plano en polarizacion p (a), y enpolarizacion s (b). Distribucion angular de intensidad lejos de la nanolamina (“campo lejano”) enpolarizacion p (c) y s respectivamente (d).

4.1.2.2. Nanolaminas iluminadas con un frente de onda cilındrico

Si bien el estudio de nanolaminas metalicas es muy conocido, la mayorıa de los traba-

jos numericos mencionan iluminacion con un frente de onda plano (Grubisic et al., 2012;

Giannini y Sanchez-Gil, 2007; Cao et al., 2014), en pocos casos, los trabajos con na-

nolaminas hacen mencion a iluminaciones con puntos cuanticos (Curto G et al., 2010)

o dipolos (Taminiau H et al., 2008b; Miroshnichenko E et al., 2011). En este trabajo se

propone hacer un estudio numerico con un tipo de iluminacion en especial: una fuen-

te cilındrica (fuente puntual bidimensional), donde la geometrıa para este caso es una

nanolamina con seccion transversal rectangular con los extremos redondeados.

59

En la figura 34 se muestra la seccion transversal de esparcimiento (Qscs) en polariza-

cion s y p para una nanolamina de oro con dimensiones (L = 60nm × l = 40nm). La

nanopartıcula se ilumina con un fuente cilındrica con aplitud unitaria y se encuentra a 5

nm en la direccion z negativa de la nanopartıcula. Como se menciono antes, el parametro

de interes es la seccion transversal de esparcimiento (Qscs) la cual presenta una resonan-

cia notoria a una longitud de onda de λ = 529nm.

300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 8000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9


Efic

ienc

ia

Qp

scs

Qsscs

Figura 34: Seccion eficaz de esparcimiento (Qscs) para una nanolamina de oro con dimensiones (L =60nm × l = 40nm). La nanopartıcula es iluminada con un frente de onda cilındrico (en polarizacionp), tiene amplitud unitaria y se encuentra a 5nm en la direccion z negativa de la nanolamina.

Para comprender un poco mas acerca del comportamiento de esta geometrıa cuando

se ilumina con un frente de onda cilındrico, en la figura 35-(a) se muestra el modulo

del campo electrico en el regimen cercano a la longitud de onda de resonancia (λ =

528nm) en polarizacion p. Pora completar el estudio se muestra la distribucion de campo

electrico en el regimen cercano en polarizacion s (Figura 35)- (b), se puede apreciar un

comportamiento muy diferente destacando que no existen intensificaciones del campo

electrico en la superficie de la nanopartıcula. La distribucion de campo electrico lejos de

la partıcula se muestra en la figura 35- (c) para polarizacion p y se puede observar que

el patron de radiacion presenta un lobulo principal en la direccion θ = 0180 y un lobulo de

menor intensidad en la direccion θ = 1800; mientras que para polarizacion s (ver figura 35-

(d)) el patron de radiacion es muy cercano a un comportamiento isotropico.

60

x [nm]

z [n

m]

−100 −50 0 50 100−60

−40

−20

0

20

40

60

0

1

2

3

4

5

(a)

x [nm]

z [n

m]

−100 −50 0 50 100−60

−40

−20

0

20

40

60

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

(b)

5 10 15 20 25

30

210

60

240

90270

120

300

150

330

180

0

Áng

ulo

de e

spar

cim

ient

o [g

rado

s]

|Ssca

|2

(c)

5 10 15 20

30

210

60

240

90270

120

300

150

330

180

0

Sca

tterin

g an

gle

[deg

rees

]

|Ssca

|2

(d)

Figura 35: (a) Distribucion de campo electrico en el regimen cercano para una nanolamna de 40nm de diametro y 60 nm de largo iluminada con un frente de onda cilındrico en polarizacion p, (b)polarizacion s. (c,d) Distribucion angular de intensidad lejos de la nanopartıcula (“campo lejano”)en polarizacion p y s respectivamente.

4.2. Conjunto de nanopartıculas interactuando

En esta seccion estudiaremos conjuntos de partıculas interactuantes bajo el formalis-

mo de ecuaciones Integrales mencionadas en el Capıtulo 3 para estudiar el esparcimiento

de luz, que en muchos casos exhiben resonancias plasmonicas.

4.2.1. Cilindros

Para comprobar los calculos numericos que se realizan en este trabajo de investiga-

cion, en la figura 36 se muestra el estudio de resonancias plasmonicas por dos cilindros

(cuya profundidad en la direccion y es infinita) de plata con radio 25nm y una distancia

entre ellos que varıa de δ = 0nm hasta δ = 50nm. El objetivo de este estudio es para

61

observar el comportamiento de esparcimiento cuando se tiene una coleccion de nano-

partıculas. Para dicho estudio se considero una onda plana con polarizacion p que incide

desde arriba (θ = 00). En la figura 36-(a) se muestra la seccion eficaz de esparcimiento

para dicho sistema, en el eje horizontal se muestra la longitud de onda del haz incidente

que varıa de λ = 300nm hasta λ = 500nm y en el eje vertical la separacion δ entre las

partıculas. A una separacion entre partıculas de 50 nm se puede observar que existe un

maximo de esparcimiento a una longitud de onda de 345 nm y a medida que la separa-

cion entre las partıculas decrece, el maximo se desplaza hacia el rojo, el cual, presenta

un maximo a una longitud de onda de λ = 380nm cuando la separacion entre partıculas

es δ = 5nm. A partir de distancias menores de 10 nm entre partıculas se puede observar

un segundo maximo la cual coincide con la resonancia de un cilindro aislado.

Ahora para observar un caso especial, fijamos la distancia de separacion entre las

partıculas cuando δ = 5nm. En la figura 36-(b) se muestra la seccion transversal de

esparcimiento donde se observan 2 resonancias cuando se ilumina el dımero, una a

λ = 345nm y otra mas intensa a λ = 380nm. Cuando la distancia entre los cilindros

es pequena, es posible observar un fuerte acoplamiento que es producida por dos reso-

nancias separadas. Estos resultados coinciden tal como muestra en su trabajo (Giannini

y Sanchez-Gil, 2007).

La resonancia mas intensa (λ = 380nm con δ = 5nm) presenta un corrimiento hacia

al rojo en comparacion del modo de un cilindro aıslado (Giannini y Sanchez-Gil, 2007)

tal como se observa en la figura 36-(b). En la figura 36-(c) se muestra la distribucion de

intensidad en el campo cercano en escala logarıtmica para el caso cuando se ilumina

el dımero en la longitud de onda de resonancia (λ = 380nm). La imagen muestra una

localizacion del campo intensificado es en un area pequena entre los cilindros, mientras

que los cilindros presentan menor cantidad de intensidad en su superficie. En la figura

36-(d) se muestra la disribucion de intensidad en el campo cercano en escala logarıtmi-

ca para el caso cuando se ilumina el dımero fuera de la longitud de onda de resonancia

(λ = 450nm). En esta ocacion, se observa un fuerte acoplamiento plasmonico entre los

cilindros pero en menor magnitud que el caso de resonancia, tambien se puede obser-

var que los cilindros esparcen mayor cantidad de luz en las direcciones transversales al

eje de propagacion del haz incidente. Por otro lado, cuando se ilumina a la longitud de

62

Figura 36: (a) Seccion eficaz de esparcimiento para dos cilindros de plata de radio r=25 nm variandola distancia de separacion δ e iluminados con un frente plano desde arriba. (b) Seccion eficaz deesparcimiento para dos cilındros con una separacion δ = 5nm iluminados desde arriba (curva azulcontinua), iluminando un solo cilindro (curva negra discontınua). (c) Distribucion de Intensidad delcampo electrico en el regimen cercano normalizado al campo incidente en polarizacion p, en escalalogarıtmica

(log10 | E |2

)a la frecuencia de resonancia (λ = 380nm), (d) fuera de resonancia (λ =

450nm), para una distancia entre cilindros de δ = 5nm. La direccion del campo incidente es desdearriba

(θ = 00

).

onda de resonancia, el area donde se encuentra la intensificacion del campo electrico es

muy pequena y con una magnitud relativamente alta, caso contrario cuando se ilumina el

dımero fuera de la longitud de onda de resonancia, en esta ultima situacion el area donde

se concentra la intensidad del campo electrico es un poco mayor y de menor magnitud

(ver Figuras 36 (c,d)).

El comportamiento de las resonancias de un sistema de dos cilindros de plata (cuya

profundida en la direccion y es infinita), de radio 25nm y una distancia entre ellos que

varıa de δ = 0nm hasta δ = 50nm cuando se ilumina con un frente de onda cilındrico con

polarizacion p se estudiara a continuacion. La fuente puntual (frente de onda cilınrico)

se coloco a 5nm por debajo y en el eje de simetrıa del dımero como muestra la figura

63

37-(b). En la figura 37-(a) se muestra la seccion eficaz de esparcimiento (Qscs) de dicho

sistema, en el eje horizontal se muestra la longitud de onda del haz incidente que varıa de

λ = 300nm hasta λ = 500nm y en el eje vertical la separacion δ entre las partıculas. La

figura muestra que a una separacion entre partıculas de 50 nm se presenta un maximo de

esparcimiento a una longitud de onda de λ = 347nm, tambien, a medida que la distancia

entre las partıculas decrece, el maximo de esparcimiento se desplaza hacia el rojo, el

cual presenta un maximo a una longitud de onda de λ = 373nm cuando la distancia entre

partıculas es δ = 5nm.

Ahora, para observar un caso en partıcular de este sistema, fijamos la separacion

entre las partıculas para cuando δ = 5nm. En la figura 37-(b) se muestra la seccion

transversal de esparcimiento para el dımero mostrando dos resonancias a: λ = 347nm y

otra mas pronunciada a λ = 373nm (lınea contınua azul), mientras que cuando se ilumina

un solo cilindro presenta una sola resonancia a λ = 345nm, similar al caso de iluminacion

con un frente de onda plano (lınea punteada negra).

Cuando estas se separan considerablemente la seccion eficaz de esparcimiento tien-

de a ser como el de un cilindro (ver figura 37-(a)), esto debido a que cuando los cilindros

estan muy lejos uno del otro la interaccion del campo electromagnetica de una partıcula

sobre la otra va decreciendo considerablemente. En la figura 37-(c) se muestra la distri-

bucion de intensidad de campo electrico en el regimen cercano, en escala logarıtmica) a

la longitud de onda de resonancia (λ = 373nm), la cual revela una fuerte intensificacion

y localizacion del campo electromagnetico entre los cilindros. Por otro lado, cuando se

ilumina el dımero fuera de la longitud de onda de resonancia (λ = 450nm) se observa

que la intensificacion del campo electrico entre las partıculas es menor y en una region

muy pequena (figura 37-(d)).

4.2.2. Nanoantena dipolo - nanolaminas

Al igual que la seccion anterior, el objetivo de este estudio es para conocer el com-

portamiento de esparcimiento para una coleccion de partıculas, ya que posteriormente

se estudiara un sistema de mas de dos partıculas. La interaccion entre nanopartıculas

metalicas depende en gran parte de la forma geometrica de estas, por lo que en esta sec-

cion estudiaremos las resonancias plasmonicas para un dımero formado por nanolaminas

64

Figura 37: Seccion eficaz de esparcimiento para dos cilindros de plata de radio r = 25nm variandola distancia δ entre ellos e iluminados con una fuente puntual (a). Seccion eficaz de esparcimientopara dos cilındros con un δ = 5nm iluminados con una fuente puntual (curva azul continua), ilumi-nando un solo cilindro (curva negra discontınua)(b). Distribucion de Intensidad del campo electri-co en el regimen cercano normalizado al campo incidente en polarizacion p, en escala logarıtmica(log10 | E |2

)a la frecuencia de resonancia (λ = 373nm) (c), iluminado fuera de la frecuencia de reso-

nancia (λ = 450nm) para una distancia entre cilindros de δ = 5nm (d).

de oro de largo L = 80nm y ancho l = 20nm con una distancia entre ellas de δ. Para esto,

se considero una onda plana con polarizacion p que incide desde arriba (incidencia nor-

mal θ = 00). Las resonancias de los electrones de las nanolaminas es destacable cuando

la distancia entre estas disminuye. En la figura 38-(a) se muestra un mapa de colores de

la seccion eficaz de esparcimiento en funcion del espaciamiento δ entre las partıculas y

la longitud de onda. En la figura se observa que el maximo de esparcimiento es cuando

la distancia entre las nanolaminas es de δ = 5nm a una longitud de onda de λ = 520nm.

Cuando la distancia entre las nanolaminas decrece, la localizacion del campo electrico

es un una pequena region y la intensidad es mucho mayor al campo electromagnetico

incidente.

Como caso partıcular, fijamos la distancia entre las nanolaminas para cuando δ =

5nm. En la figura 38-(b) se muestra la distribucion de intensidad en el campo cercano para

el dımero conformado por dos nanolaminas de 20 nm× 80 nm. En este caso la intensidad

de campo electrico es mas intenso en la region que se encuentra entre las nanopartıculas.

65

Figura 38: (a) Seccion eficaz de esparcimiento para dos nanolaminas de oro de longitud L=160nm yaltura l = 20nm variando la distancia de separacion δ e iluminados con un frente plano desde arri-ba.(b) Distribucion de Intensidad del campo electrico en el regimen cercano normalizado al campoincidente en polarizacion p, en escala logarıtmica

(log10 | E |2

)a la frecuencia de resonancia, para

una distancia entre cilindros de δ = 5nm. La direccion del campo incidente es desde arriba(θ = 00

).

(c) Seccion eficaz de esparcimiento para dos cilındros con un δ = 5nm iluminados desde arriba(curva azul continua), iluminando un solo cilindro (curva negra discontınua).

En la figura 38-(c) se muestra la seccion transversal de esparcimiento (Qscs) para dos

nanolaminas de oro (lınea azul contınua) que presenta una resonancia en λ = 520nm,

mientras que, cuando se ilumina una sola nanolamina presenta una resonancia en λ =

518.

Ahora, extenderemos el estudio de estas nanopartıculas cambiando el tipo de ilumi-

nacion incidente a un frente de onda cilındrico (fuente puntual bidimensional). En la figura

39-(a) se muestra un mapa de colores e la seccion eficaz de esparcimiento en funcion

de espaciamiento δ y la longitud de onda. Este mapa de colores hace evidente que a la

intensidad de la seccion eficaz de esparcimiento es mayor cuando la separacion de las

partıculas es pequena (δ ≈ 5nm). Tambien es notorio que a espacimientos mayores a

50 nm la seccion eficaz de esparcimiento no hay interaccion de los plasmones localiza-

dos individuales de cada nanopartıcula. En la figura 39-(b) se muestra la distribucion de

intensidad en escala logarıtmica para el campo cercano a la longitud de onda de resonan-

cia del dımero (λ = 520nm), donde se puede observar una alta concentracion de campo

electrico por debajo de las nanopartıculas. En la figura 39-(c) se muestra la seccion eficaz

de esparcimiento para un dımero con partıculas de oro con dimensiones 20×80 nm2 y un

66

Figura 39: (a) Seccion eficaz de esparcimiento para dos nanolaminas de oro de longitud L=160nmy altura l = 20nm variando la distancia de separacion δ e iluminados con una fuente cilındrica.(b)Distribucion de Intensidad del campo electrico en el regimen cercano normalizado al campo inci-dente en polarizacion p, en escala logarıtmica

(log10 | E |2

)a la frecuencia de resonancia, para una

distancia entre cilindros de δ = 5nm. (c) Seccion eficaz de esparcimiento para dos cilındros con unδ = 5nm iluminados con una fuente puntual (curva azul continua), iluminando una sola nanolamina(curva negra discontınua).

espacimiento entre ellas de δ = 5nm cuya curva presenta una resonancia en λ = 520nm

(lınea azul contınua), por otra parte, cuando se ilumina una sola lamina de las mismas

dimensiones, esta presenta una resonancia en λ = 521nm (curva negra punteada).

4.3. Nanoantena tipo Yagi-Uda

En esta seccion vamos a estudiar el esparcimiento de luz por pentameros de na-

nolaminas con seccion transversal en forma de rectangulo con los extremos redondea-

dos conocidas como nanoantenas debido a la “forma” y similitud de irradiar o esparcir

ondas electromagneticas como la version de radiofrecuencia. Ademas de intensificar la

emision o el acoplamiento de luz por modos plasmonicos (Curto G et al., 2010), el objetivo

sera construir una antena con base al funcionamiento de la antena Yagi-Uda conocida en

radiofrecuencia, donde sus elementos tendran dimensiones nanometricas y la excitacion

sera a una frecuencia del espectro visible a una longitud de onda de λ = 532 .

Para la construccion de nanoantenas con el formalismo del Metodo Integral es nece-

sario tener en cuenta la polarizacion y la geometrıa de la superficie esparcidora. En esta

seccion se pretende disenar antenas de cinco elementos con dimensiones nanometricas

67

como se muestra en la figura 40.

5 𝑛𝑚

x

z

𝐿𝑓

𝑑1

Primer director

𝐿1

𝑙

𝐿2Segundo director

𝐿3

𝑑2

𝑑3

Tercerdirector

𝐿𝑟

Reflector

𝑑𝑟

Fuente puntual

Figura 40: Esquema de un diseno final de una antena.

Como primera parte se pretende contruır un elemento alimentador que llamaremos

“feeder”. En la figura 41 se muestra un esquema, en el aparece una fuente puntual y una

nanolamina a una distancia d. Si consideramos que el vector de onda ~k viaja en direccion

perpendicular al eje mayor de la nanolamina y el campo electrico oscila en direccion

paralela al eje mayor de la misma, entonces la geometrıa que estaremos considerando

es una nanolamina alargada en el plano x− z y consecuentemente, polarizacion p.

4.3.1. Construccion de una nanoantena con nanolaminas

En esta seccion se mostrara el proceso empleado para la construccion de nanoante-

nas conformadas por nanolaminas iluminadas con una fuente puntual en polarizacion p

con una longitud de onda de λ = 532nm. En la figura 42 se ejemplifica, con un mapa con-

ceptual, los pasos a seguir para la construccion de este tipo de nanoantenas. El primer

paso es construır el elemento radiante “feeder” (ver figura 41) . Para disenar este elemen-

to, que esta formado por una nanolamina y la fuente puntual, se coloca la nanolamina en

el origen del sistema coordenado con un diametro constante de l = 10nm y una fuente

puntual a d = 5nm debajo del eje mayor del nanorod en la direccion z negativa. Posterior

a esto, se alarga la nanolamina hasta una longitud L = λ para analizar cual es la longitud

a la que este sistema presenta mayor esparcimiento hacia adelante (θ = 00).

68

𝐿𝑓

𝑧

𝑥

𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 − 𝑝

𝑘

𝐸𝑙

𝑑

Figura 41: Esquema donde se muestra la polarizacion del campo electrico para la geometrıa espar-cidora.

Entre mas cerca este la fuente de la partıcula, mayor sera la potencia esparcida (ver

figura 43-(a)); sin embargo, si la fuente se aleja de esta, la potencia se vera afectada

considerablemente, por lo cual, la fuente se coloca a una distancia de 5 nm de la na-

nolamina. Esta distancia se considerara ası por la razon de la potencia de esparcimiento

y por algunos trabajos que consideran que es una distancia optima para colocar la fuente

(Taminiau H et al., 2008b; Curto G et al., 2010). Para saber cual es la longitud optima la

nanolamina, es decir, cual es la longitud optima para que se logre el mayor esparcimiento

hacia adelante (θ = 00), se mantiene el diametro l y la distancia de la fuente constantes.

En la figura 43-(a) se muestra el F2B-OPT “Front-to-back-ratio optico” para el sistema

fuente-nanolamina donde esta ultima se incrementa de una longitud de 0 nm hasta λ.

El F2B-OPT presenta un maximo de esparcimiento cuando la longitud de la nanolamina

es L ∼ 21nm (curva azul). En la figura 43 (b) se muestran el patron de radiacion para

cuando la longitud del rod es de L ∼ 21nm, en esta figura se observa que el patron de

radiacion tiende a irradiar hacia la direccion θ = 00. Para los fines que se desean, el patron

de radiacion de la figura 43-(b) es de mayor interes debido a la forma que presenta, es

decir, el patron de radiacion presenta caracterısticas mas directivas y el ancho angular

del lobulo comienza a ser estrecho.

El F2B-OPT es una cantidad adimensional que nos dice cuanto mas esparce hacia

adelante en comparacion del esparcimiento hacia atras. En principio es posible empe-

zar a contruır una nanoantena con una nanolamina de cualquier longitud con patrones

69

Figura 42: Mapa conceptual donde se muestran los pasos a seguir para la construccion de unananoantena conformada por nanolaminas.

70

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Longitud de la partícula [nm]

Fro

nt−

to−

back

−ra

tio

F2B

OPT

(a) Front-to-back-ratio

0.5 1

30

210

60

240

90270

120

300

150

330

180

0

Lf=21nm

Áng

ulo

de e

spar

cim

ient

o [g

rado

s]

<∂R/∂θ>

(b) Campo lejano

(c) Campo cercano

Figura 43: Relacion Front-to-back ratio para un sistema fuente-nanolamina en funcion de la longitudde la nanobarra (a). Patron de radiacion con longitud Lf = 21nm (b). Distribucion de intensidad delcampo electrico en campo cercano en polarizacion p (c).

71

de radiacion como se muestran en la figura 43(b), pero por la naturaleza del patron de

radiacion de cada nanolamina es conveniente comenzar con el feeder de Lf = 21nm.

En la figura 43-(c) se muestra la distribucion de intensidad en el regimen cercano para

una nanolamina de oro ilumminada con una fuente puntual. La longitud de la nanolamina

que actua como “feeder” es de Lf = 21nm y sera el feeder de la nanoantena que se

desarrollara a lo largo de esta seccion.

Una vez obtenidas las dimensiones del alimentador “feeder”, el siguiente elemento

a optimizar es el primer director. En este caso se tienen dos variables a encontrar: la

posicion (d1) y el largo de la nanolamina (L1) debido a que todos los diametros de los

elementos de esta nanoantena seran de 10 nm. Tener de principio dos variables como

la posicion y la longitud del elemento es complicado, se empezara colocando el primer

director a una distancia d1 = 140nm para ası encontrar la longitud optima del primer

director.

En la figura 44 se muestran los parametros que se desean optimizar para el primer

director: L1 y d1. El “feeder” compuesto por la fuente puntual y una nanolamina (l = 10nm

y L = 21nm) y el primer director a una distancia d1 = 140nm del “feeder” (ver figura 44).

Las nanopartıculas estan iluminadas con una fuente puntual con amplitud unitaria a una

longitud de onda λ = 532nm.

5 𝑛𝑚

𝑙 x

zPrimer director

variable

𝑙

𝐿𝑓

𝐿1

𝑑1

Figura 44: Ilustracion donde se mustran los parametros iniciales y el procedimiento para encontrarla longitud optima del primer nanorod (director).

72

En la figura 45 se muestra el F2B-OPT (curva azul), el cual presenta un maximo de

esparcimiento en la direccion θ = 00 cuando la longitud del primer director es de L1 =

30nm. Con base a la teorıa de construccion de antenas de radiofrecuencia, la directividad

y la ganancia crecen conforme se agregan mas directores; por lo que en esta etapa solo

nos concentraremos en obtener la mayor ganancia con estos dos elementos, mientras

que la directividad la optimizaremos mas adelante. Por lo mencionado anteriormente la

longitud del primer director sera de L1 = 30nm.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


Fro

nt−

to−

back

−ra

tio

F2B

OPT

Figura 45: Relacion Front-to-back-ratio para un sistema de dos nanopartıculas de oro (“feeder” y 1er

director) en funcion del alargamiento del 1er director. El F2B-OPT presenta un maximo de esparci-miento cuando L1 = 30nm (curva azul).

En la figura 46 se muestra el patron de radiacion cuando la antena esta conformada

por dos elementos cuyos parametros son: Lf = 21nm, L1 = 30nm y d1 = 140nm. El

patron de radiacion muestra poca directividad y un lobulo trasero con magnitud pequena.

Una ventaja que se presenta hasta ahora, es que la mayorıa de la radiacion se encuentra

orientada en la direccion deseada.

73

0.5 1 1.5

30

210

60

240

90270

120

300

150

330

180

0

L1=30nm

Áng

ulo

de e

spar

cim

ient

o [g

rado

s]

<∂R/∂θ>

Figura 46: Patron de radiacion cundo la longitud del primer director es L1 = 30nm

Teniendo la longitud del primer director, ahora se desea encontrar la posicion optima

de este. Como se menciono anteriormente, el F2B-OPT es solo un parametro que se

utiliza para seleccionar correctamente la longitud y la distancia entre las nanopartıculas.

Observando los patrones de radiacion en estos maximos, el mejor patron de radiacion

que se puede obtener de este sistema de dos partıculas se muestra en la figura 46. Con

un sistema de dos partıculas con el que se esta trabajando es muy difıcil obtener lo que

se desea de un patron de radiacion, una de ellas es que sea altamente directivo por lo

cual, se necesitan mas elementos para lograr este efecto.

Como la posicion del primer director fue “provisional”, la cual era d1 = 140nm, ahora

se debe optimizar esa distancia. En la figura 47 se muestra un diagrama que muestra

el procedimiento para optimizar la distancia del primer director (d1). Con las longitudes

de los dos primeros elementos encontrados, ahora se desplaza el primer director de una

distancia de entre 0 < d1 < λ a partir del elemento “feeder”. Con esto se busca adecuar

mejor la distancia del primer director y ası obtener la mayor potencia esparcida hacia la

direccion θ = 00.

En la figura 48 se muestra el F2B-OPT para el sistema mencionado: “feeder” y un

director, el cual presenta un maximo de esparcimiento cuando el director se encuentra a

una distancia d1 ∼ 100nm (curva azul). Cuando se agrega una nanolamina y se alarga su

longitud, la curva de F2B-OPT solo presentan un maximo muy pronunciado, este maximo

representa la longitud de la nanolamina a la cual el sistema de partıculas esparce mas

74

5 𝑛𝑚

𝑙 x

z

𝐿𝑓

Primer director

𝐿1 = 30 𝑛𝑚

𝑙

variable𝑑1

Figura 47: Ilustracion donde se muestran los parametros para optimizar la distancia del primer di-rector.

hacia una direccion, en este caso en la direccion θ = 00 (ver figura 46). Por otro lado

cuando se optimiza la distancia, la curva del F2B-OPT presenta un maximo principal y

algunos maximos secundarios (ver figura 48). Estas oscilaciones revelan la existencia de

interaccion de campo electrico entre los campos generados por las nanolaminas, tambien,

el comportamiento oscilatorio presenta un decaimiento en la potencia conforme el director

se aleja del “feeder” lo que se puede intuir como un decaimiento de la intensidad como 1/d

debido a la naturaleza de la fuente que su frente de onda es un frente de onda cilındrico.

En este caso el maximo principal que presenta la relacion Front-to-back-ratio es apro-

ximadamente 11 veces mayor hacia adelante que hacia atras, que graficamente, puede

observarse en la figura 49-(b).

75

50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

2

4

6

8

10

12

14

16

Distancia entre partículas [nm]

Fro

nt−

to−

back

−ra

tio

F2B

OPT

Figura 48: Relacion Front-to-back-ratio para un sistema de dos nanopartıculas de oro (“feeder” y 1er

director) en funcion de la distancia del 1er director.

En la figura 49-(a) se muestra la distribucion de intensiad del campo electrico fuera de

las nanopartıculas en polarizacion p. El campo incidente (fuente cilındrica) se encuentra

a una distancia d=5 nm simetrico al eje mayor por debajo de la nanolamina “feeder” y

es de amplitud unitaria. La segunda nanopartıcula con coordenadas (x=0 nm,z=100 nm)

presenta un acoplamiento del campo electrico debido al “feeder” pero con menor intensi-

dad de campo electrico. En la figura 49-(b) se muestra el campo electrico en el regimen

lejano (patron de radiacion) para este sistema de dos partıculas (“feeder” y un director).

El patron de radiacion ya no presenta ningun lobulo trasero debido a que la distancia del

director fue optimizada en comparacion del patron de radiacion de la figura 46.

76

(a) Campo cercano

0.5 1 1.5

30

210

60

240

90270

120

300

150

330

180

0

d1=100nm

Áng

ulo

de e

spar

cim

ient

o [g

rado

s]

<∂R/∂θ>

(b) Campo lejano

Figura 49: (a) Campo electrico en campo cercano para un sistema de dos nanopartıculas (“feeder”y un director) de oro iluminadas en polarizacion p. (b) Patron de radiacion con longitud L1 = 30nm yla distancia es d1 = 100nm.

Continuando con la construccion de la nanoantena, ahora se dispone a encontrar

la longitud del segundo director. Para esto seguiremos un procedimiento similar al que

empleamos para encontrar los parametros del primer director. El segundo director se

coloca a una distancia d2 = 140nm del primer director y se varıa su longitud de 20 nm a

una longitud de onda.

En la figura 50-(a) se muestra el front-to-back ratio para un sistema de un “feeder” y

dos directores (tres partıculas) donde se varıa la longitud del segundo director. El maximo

de esparcimiento para este caso es cuando L2 = 25nm como muestra el F2B-OPT. Con

este parametro y observando el campo lejano se puede concluır que la longitud optima

del segundo director es de L2 = 25nm y su patron de radiacion se puede observar en la

figura 50-(b).

La figura 50-(b) muestra un patron de radiacion orientado hacia la direccion θ = 00

pero con un ancho angular muy amplio. Utilizando la informacion que se obtiene del F2B-

OPT y observando los patrones de radiacion se puede decir que el segundo director debe

tener una longitud de L2 = 25nm para obtener la mayor energıa en la direccion θ = 00.

77

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

5

10

15

20

25

30


Fro

nt−

to−

back

−ra

tio

F2B

OPT

(a)

0.5 1 1.5 2

30

210

60

240

90270

120

300

150

330

180

0

L2=25nm

Áng

ulo

de e

spar

cim

ient

o [g

rado

s]

<∂R/∂θ>

(b)

Figura 50: Relacion Front-to-back-ratio para un sistema de tres nanopartıculas de oro (“feeder” ydos directores) en funcion del alargamiento del 2do director (a). Patron de radiacion con L2 = 25nm(b).

78

Una vez obtenida la longitud del segundo director, ahora se debe optimizar la distancia

que hay entre el primer director y el segundo director. En la figura 51 se muestra el F2B-

OPT para un sistema de un “feeder” y 2 directores (tres nanopartıculas) en funcion del

desplazamiento del segundo director. La distancia optima a la que se debe posicionar la

nanopartıcula es d2 = 175nm, esta informacion la revela el F2B-OPT (ver figura 51 curva

azul).

50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

5

10

15

20

25


Fron

t−to

−bac

k−ra

tio

F2B

OPT

Figura 51: Relacion Front-to-back-ratio para un sistema de tres nanopartıculas de oro (“feeder” ydos directores) en funcion de la distancia del 2do director.

En la figura 52-(a) se muestra la distribucion de intensidad del campo electrico fuera

de las nanopartıculas en polarizacion p. La fuente tiene una posicion con coordenadas

(x = 0, z = −5) y de amplitud unitaria. La fuente ilumina al nanorod que se encuentra

en el centro coordenado, las otras dos nanopartıculas (directores) con posiciones director

1 (x = 0, z = 100nm) y director 2 (x = 0, z = 275nm) presentan fuertes localizaciones

del campo elecrico en la superficie debido a la excitacion de plasmones localizados. El

patron de radiacion para este sistema se muestra en la figura 52-(b), el cual es un patron

de radiacion con una orientacion hacia arriba (θ = 00) y presenta un ancho angular del

lobulo de θ = 1100.

79

(a) Campo cercano (b) Campo lejano

Figura 52: (a) Distribucion de intensidad del campo electrico en campo cercano para un sistemade tres nanopartıculas (“feeder” y dos directores) de oro. (b) Patron de radiacion con longitud delsegundo director L2 = 25nm y la distancia optimizada es d2 = 175nm.

Para no ser repetitivo en el procedimiento de la contruccion de nanoantenas, ahora

se dispone a exponer solo los resultados significativos. Para un sistema de un “feeder” y

tres directores (cuatro partıculas), se obtuvo el F2B-OPT en funcion del alargamiento del

tercer director (Figura 53-(a)) y se encontro que la longitud del tercer director debe ser

L3 = 150nm.

En la figura 53-(a) se observa que el maximo de esparcimiento del F2B-OPT en la

direccion de los directores (θ = 00) es cuando el tercer director presenta una longitud L3 ∼

10nm. La distancia inicial a la que se coloca el tercer director es d3 = 145nm respecto

al segundo director. En la figura 53-(b) se muestra el patron de radiacion correspondiente

al maximo de la curva azul de la figura 53-(a) que corresponde a una longitud del tercer

director L3 = 10nm, mientras que en la figura 53-(c) se muestra el patron de radiacion

cuando el tercer director presenta una longitud L3 = 150nm. Cabe reiterar que el F2B-

OPT es solo una cantidad que ayuda a determinar la mejor opcion para la longitud de los

elementos y su posicion, pero por otro lado, tambien se cuenta con otros factores como

80

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

5

10

15

20

25


Fron

t−to

−bac

k−ra

tio

F2B

OPT

(a)

0.5 1 1.5 2

30

210

60

240

90270

120

300

150

330

180

0

L3=10 nm

Áng

ulo

de e

spar

cim

ient

o [g

rado

s]

<∂R/∂θ>

(b) L3 = 10nm

2.5 5

30

210

60

240

90270

120

300

150

330

180

0

L3=150 nm

Áng

ulo

de e

spar

cim

ient

o [g

rado

s]

<∂R/∂θ>

(c) L3 = 150nm

Figura 53: Relacion Front-to-back-ratio para un sistema de cuatro nanopartıculas de oro (“feeder”y tres directores) en funcion del alargamiento del 3er director (a). Patron de radiacion con longitudL3 = 10nm (b). Patron de radiacion con longitud L3 = 150nm (c).

81

el patron de radiacion y el ancho angular del lobulo principal lo que permite decidir lo

anterior. Este es un caso donde el F2B-OPT muestra que un maximo de esparcimiento

no garantiza que el patron de radiacion sea directivo o presente la mayor ganancia en

una direccion. Por lo anterior, concluımos que la longitud del tercer director debe ser

L3 = 150nm debido a que este patron de radiacion es lo que se desea para el proposito

de este trabajo.

Ahora, para optimizar el patron de radiacion que se tiene hasta ahora (ver figura 53-

(c)), se debe reposicionar la distancia del tercer director; para esto se varıa la posicion de

este ultimo director de una distancia d3 = 10nm a partir del segundo director hasta una

distancia de una longitud de onda. En la figura 54 se muestra el F2B-OPT para un sistema

de un “feeder” y tres directores, la grafica esta en funcion de la distancia del tercer director

a partir del segundo director. El comportamiento que tiene el esparcimiento al variar la

distancia del tercer director es oscilatorio, similar al de los casos anteriores cuando se

varıa la distancia de una partıcula respecto a las demas. Para este caso, se encuentra

que la distancia optima del tercer director es de d3 = 345nm a partir del segundo director

y no la distancia d3 = 140nm en la que se propuso inicialmente.

50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5


Fron

t−to

−bac

k−ra

tio

F2B

OPT

Figura 54: Relacion Front-to-back-ratio para un sistema de cuatro nanopartıculas de oro (“feeder”y tres directores) en funcion de la distancia del 3er director. El F2B-OPT presenta un maximo deesparcimiento cuando el tercer director se encuentra en una distancia d3 = 345nm (curva azul).

82

En la figura 55-(a) se muestra La distribucion de intensidad del campo electrico en

campo cercano para un sistema de un “feeder” y tres directores. Los elementos son de

oro y todos presentan un diametro de l = 10nm. En la figura 55-(b) se muestra el patron

de radiacion, este presenta caracterısticas peculiares como: directividad y ganancias ma-

yores al sistema de tres partıculas.

(a) (b)

Figura 55: Distribucion de intensidad del campo electrico en campo cercano para un sistema decuatro partıculas (“feeder y tres directores) (a). Patron de radiacion con d3 = 345nm (b).

El diseno hasta ahora cuenta con 4 elementos como se menciono anteriormente, la

nanoantena se constituye por un elemento “feeder” y tres directores, donde la longitud

del “feeder” es Lf = 21nm, la longitud del primer director es L1 = 30nm, la longitud del

segundo director es L2 = 25nm y la longitud del tercer director es L3 = 150nm. Las

caracterısticas del patron de radiacion son: el maximo del lobulo principal cuenta con

aproximadamante 2.78 unidades (ver figura 55-(b)) y el ancho angular del lobulo princi-

pal es de θ = 400. Segun la teorıa de antenas de radiofrecuencia, es posible aumentar

la ganancia de una antena colocando un elemento reflector. En la figura 56 se muestra

una ilustracion de las posiciones de los elementos y las “etiquetas” de los elementos que

contiene la nanoantena. A partir de aquı, las nanoantenas que se mostraran mas adelan-

te tendran la misma estructura y la fuente puntual siempre estara a la misma distancia

del elemento “feeder”. En esta ultima etapa se ha colocado un elemento reflector a una

distancia dr = 250nm por “debajo” de la fuente puntual, esto con el objetivo de verificar si

83

5 𝑛𝑚

x

z

𝐿𝑓 = 21𝑛𝑚

𝑑1 = 100 𝑛𝑚

Primer director𝐿1 = 30 𝑛𝑚

𝑙 𝐿2 = 25 𝑛𝑚Segundo director

𝐿3 = 150 𝑛𝑚

𝑑2 = 175 𝑛𝑚

𝑑3 = 345 𝑛𝑚

Tercerdirector

𝐿𝑟 = 370 𝑛𝑚 Reflector

𝑑𝑟 = 250 𝑛𝑚Fuente puntual

Figura 56: Diagrama ilustrativo donde se muestran los parametros de los elementos que conformanla nanoantena.

es posible aumentar la ganancia que se tiene de la nanoantena sin elemento reflector.

En la figura 57 se muestra el front-to-back para un sistema de un reflector, el “feeder”

y tres directores (cinco partıculas). La curva muestra el esparcimiento en ciertas direccio-

nes en funcion del alargamiento del reflector. El F2B-OPT presenta un maximo cuando

Lr = 10nm y una pequena cresta cuando Lr = 370nm (curva azul). La forma de las

curvas depende de la definicion del front-to-back ratio que se expuso en la Seccion 2.3.5.

Observando los patrones de radiacion para cuando se “alarga” el reflector (Lr) se

observo que la longitud del reflector optima para obtener un patron de radiacion directivo

y con alta ganancia es a Lr = 370nm, que corresponde a la pequena cresta del F2B-OPT,

ver figura 57 curva azul).

En la figura 58-(a) se muestra la distribucion de intensidad del campo electrico en

campo cercano para un sistema de un reflector, un “feeder” y tres directores (cinco nano-

partıculas) de oro iluminadas con una fuente puntual como se muestra esquematicamente

en la figura 56. Las partıculas se encuentran en vacıo y son iluminadas con polarizacion

p. En la figura se puede observar una fuerte concentracion de campo electrico en el tercer

director. La manera de construccion de esta nanoantena es de forma que todo el cam-

po electromagnetico se guıe en la direccion θ = 00, siendo el tercer director el que se

84

50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

1

2

3

4

5

6


Fron

t−to

−bac

k−ra

tio

F2B

OPT

Figura 57: Relacion Front-to-back-ratio para un sistema de cinco nanopartıculas de oro (reflector,“feeder” y tres directores) en funcion del alargamiento del reflector.

encarga de aumentar la radiacion en dicha direccion.

En la figura 58-(b) se muestra el patron de radiacion correspondiente al sistema de

cinco partıculas ya mencionado (reflector, “feeder” y 3 directores). El patron de radiacion

presenta un lobulo principal de aproximadamente 8 unidades y es altamente directivo con

un ancho de haz de θ = 260 en comparacion del sistema de cuatro partıculas (sistema sin

reflector, Figura 55). Para este sistema es notable que un elemento reflector es de gran

ayuda para lograr mayor ganancia en la direccion de los elementos directores y tambien

contribuye a reducir el ancho del lobulo principal, es decir, el patron de radiacion se hace

mas directivo.

Como se sabe, la funcion dielectrica muestra un comportamiento muy diferente en el

caso de optica con el de radiofrecuencia. En el caso optico el metal presenta una cons-

tante dielectrica ε(ω) = ε1(ω) + iε2(ω), donde ε1(ω) es negativa a la frecuencia ω de la luz

incidente, y ε2(ω) > 0, es decir, con una constante dielectrica de esta manera existe re-

flexion y absorcion en el metal. Cuando ε1(ω) tiende a menos infinito, el medio dielectrico

es un conductor perfecto como es el caso de interaccion de metales con ondas de ra-

diofrecuencia. Aun con estas variantes en la constante dielectrica para el caso de optica

y radiofrecuencia, los elementos directores y el elemento reflector presentan las mismas

caracterısticas en ambos casos, los directores “dirigen” las ondas electromagneticas y el

reflector aumenta la ganancia en la direccion de los reflectores.

85

x [nm]

z [n

m]

−500 0 500−800

−600

−400

−200

0

200

400

600

800

0

0.5

1

1.5

2

2.5

(a) Campo cercano

2 4 6 8 10

30

210

60

240

90270

120

300

150

330

180

0

Áng

ulo

de e

spar

cim

ient

o [g

rado

s]

<∂R/∂θ>

(b) Campo lejano

Figura 58: (a) Campo electrico en el regimen cercano para un sistema de cinco nanopartıculas (re-flector, “feeder” y tres directores) de oro iluminadas con un frente de onda cilındrico en polarizacionp. (b) Patron de radiacion (campo electrico) para el mismo sistema mostrado en (a).

Como parte de la caracterizacion optica de la nanoantena, en la figura 59 se muestra

la seccion eficaz de esparcimiento para el sistema de 5 nanoaprtıculas de la figura 58-(a).

Las curva de seccion eficaz de esparcimiento del “feeder” corresponde a la nanolamina

de oro de longitud L1=21 nm de largo, la fuente cilındrica se encuentra a 5 nm debajo

del “feeder” con coordenadas (x = 0nm, z = −5nm). La curva “feeder + 1 director” co-

rresponde al “feeder” y el primer director con longitud L1=30 nm, la curva ““feeder” + 2

directores” corresponde al “feeder”, el primer director y el segundo director, este ultimo

con una longitud de L2=25 nm; la curva ““feeder” + 3 directores” corresponde al “feeder”,

primer, segundo y tercer director, donde este ultimo tiene una longitud L3=150 nm. Por

ultimo, la curva “Reflector, “feeder” y 3 directores” corresponde a la seccion eficaz de

esparcimiento de los 5 elementos: “feeder”, los tres directores y el reflector, donde el re-

flector tiene una longitud de Lr = 370nm. La resonancia para el “feeder” es λ = 519nm

y para la nanoantena completa (5 nanorods) la resonancia es λ = 521nm. La resonancia

no se desplaza debido a que siempre se buscaba el maximo de esparcimiento con la

longitud de onda incidente de λ = 532nm, sin embargo, se logra observar que conforme

se van agregando elementos en el sistema de nanopartıculas la curva de esparcimiento

se va ensanchando, esto corresponde a que los elementos que conforman la nanoantena

no son del mismo largo y por lo tanto la seccion eficaz se amplıa. La seccion eficaz de

esparcimiento es un equivalente al ancho de banda de una antena de radiofrecuencia

86

Figura 59: Seccion eficaz de esparcimiento para cinco nanolaminas de oro de diametro l = 10nm ylargo Lf = 21nm , L1 = 30nm, L2 = 25nm, L3 = 140nm y Lr = 370nm, iluminados con una fuentecilındrica con polarizacion p.

ya que nos ofrece informacion sobre las longitudes de onda en las cuales los elementos

esparcen en mayor cantidad.

Las caracterısticas de la nanoantena se muestran en la tabla 2. Como puede obser-

varse, las longitudes de los elementos directores no son iguales, a diferencia de la antena

Yagi-Uda de radiofrecuencia (Balanis A, 2005, p. 578). El elemento “feeder” tiene una

longitud muy por debajo de λ/2 y el reflector sobrepasa la longitud que se menciona en

radiofrecuencia. Estos cambios en longitudes se debe mucho a la longitud de onda con

la que se diseno y a la presencia de plasmones localizados en las nanopartıculas. La

longitud de la nanopartıcula contribuye a que el campo electrico se propague mas en

una direccion que en otra como lo muestra la distribucion de campo cercano (ver Figura

58-(a)).

87

Tabla 2: Parametros que constituyen una nanoantena de nanolaminas de oro con radio r = 5nm.

Nanoantena #1Diametro de las nanolaminas 10 nmLongitud del “feeder” Lf= 21 nmDistancia del reflector dr=250 nmLongitud del reflector Lr= 370 nmDistancia del 1er director d1=100 nmLongitud del 1er director L1= 30 nmDistancia del 2do director d2=175 nmLongitud del 2do director L2= 25 nmDistancia del 3er director d3=345 nmLongitud del 3er director L3=150 nmAncho anguar del lobulo principal 260

Potencia maxima (θ = 00) 8

Ahora se estudiara una nanoantena conformada por nanolaminas de oro y diametro

l = 30nm iluminadas con una longitud de onda λ = 532nm. El metodo de contruccion

de la nanoantena es similar al caso anterior, se utilizo el F2B-OPT, el ancho del haz y

los patrones de radiacion generados conforme se agregaban partıculas al sistema. Para

no ser repetitivo en la explicacion de la contruccion de la nanoantena solo se mostrara el

diseno final de la nanoantena. En la tabla 3 se muestran los parametros de la nanoantena

que se muestra en la figura 60. En la figura 60 se muestra el estudio de las resonan-

cias plasmonicas de cinco nanolaminas de oro de diametro l = 30nm. El estudio se

realizo considerando una fuente puntual con polarizacion p y amplitud unitaria colocada a

5 nm debajo del eje mayor del “feeder” (nanorod con posicion (x = 0,z = 0).


Nanoantena #2Diametro de las nanolaminas 30 nmLongitud del “feeder” Lf= 60 nmDistancia del reflector dr=260 nmLongitud del reflector Lr= 290 nmDistancia del 1er director d1= 110 nmLongitud del 1er director L1= 70 nmDistancia del 2do director d2= 170 nmLongitud del 2do director L2= 110 nmDistancia del 3er director d3= 240 nmLongitud del 3er director L3= 420 nmAncho anguar del lobulo principal 260


88

x [nm]

z [n

m]

−500 0 500−800

−600

−400

−200

0

200

400

600

800

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

(a) Campo cercano

10 20 30

30

210

60

240

90270

120

300

150

330

180

0

Áng

ulo

de e

spar

cim

ient

o [g

rado

s]

<∂R/∂θ>

(b) Campo lejano

Figura 60: (a) Distribucion de intensidad del campo electrico en el regimen cercano para un sistemade cinco nanopartıculas (reflector, “feeder” y tres directores) de oro iluminadas con un frente deonda cilındrico en polarizacion p. (b) Patron de radiacion (campo electrico) para el mismo sistemamostrado en (a).

La distribucion de intensidad del campo electrico fuera de las nanopartıculas en el regi-

men cercano se muestra en la figura 60-(a). Las oscilaciones colectivas de los electrones

en la superficie de las nanopartıculas crean un reforzamiento del campo electromagnetico

en el tercer director (ver figura 60-(a)). En este caso, el ancho angular del lobulo principal

en el campo lejano (figura 60-(b)) se ve afectado debido al largo del tercer director, es

decir, la longitud del tercer director influye en que tan angosto puede llegar a ser el lobulo

principal. En la figura 60-(b) se puede observar el patron de radiacion de la nanoantena

mostrada en 60-(a), la cual presenta un ancho del lobulo principal de θ = 260 y un maximo

de 28 unidades en el campo lejano aproximadamente. Si comparamos la nanoantena #1

(figura 58) con la que se esta analizando ahora, los valores del campo lejano incrementan

en casi 20 unidades, esto se puede atribuir al ancho de las nanolaminas, es decir, al ser

nanolaminas mas “anchas” pueden acoplar de mejor manera los plasmones y reforzar el

campo electromagnetico en una direccion deseada.

En la figura 61 se muestra la seccion eficaz de esparcimiento para el “feeder”, este

elemento se conforma por la fuente cilındrica y una nanolamina de L1 = 60nm; la cur-

va “feeder + 1 director” corresponde al “feeder” y el primer director, la curva “feeder + 2

directores” corresponde al “feeder” y dos directores, la curva “feeder + 3 directores” co-

89


rresponde al “feeder” y 3 directores; y por ultimo la curva “Reflector, feeder y 3 directores”

corresponde al “feeder”, tres directores y el reflector. La curva que contiene a todos los

elementos presenta una resonancia en λ = 555nm. En esta figura se puede observar

que conforme se agregan mas elementos al sistema, la curva se ve “ensanchada” debido

a que los elementos no presentan la misma longitud; como el caso anterior, esto hace

referencia al ancho de banda de la nanoantena.

Para complementar el estudio de este tipo de nanoantenas, se presentara un diseno

de nanoantena con elementos de oro y diametro l = 60nm y se diseno con una longitud

de onda λ = 532nm. El metodo de construccion es similar a los casos pasados. En la

tabla 4 se muestran los parametros encontrados de la nanoantena que se estudiara a

continuacion. Las distancias mostradas son de elemento a elemento y todos los elemen-

tos presentan el mismo radio.

Para la obtencion de estos parametros se recurrio al metodo de contruccion similar a

de las nanoantenas anteriores. Primero se encuentra la longitud del elemento “feeder”,

posterior a esto se coloca el primer director a una distancia alrededor de λ/4 y se varıa

su longitud para encontrar cual es la longitud optima; una vez encontrada su longitud se

varıa la distancia al “feeder” para optimizarla. Despues de encontrar la longitud del primer

director y su longitud se agrega otro elemento y se sigue el procedimiento anterior hasta

90


Nanoantena #3Diametro de las nanolaminas 60 nmLongitud del “feeder” Lf= 280 nmDistancia del reflector dr=250 nmLongitud del reflector Lr= 930 nmDistancia del 1er director d1= 130 nmLongitud del 1er director L1= 480 nmDistancia del 2do director d2= 170 nmLongitud del 2do director L2= 370 nmDistancia del 3er director d3= 110 nmLongitud del 3er director L3= 660 nmAncho anguar del lobulo principal 190


tener los cinco elementos que conforman la nanoantena.

En la figura 62-(a) se muestra la distribucion de intensidad de campo electrico en el

regimen cercano para para una nanoantena conformada por cinco nanorods de oro, los

parametros de esta se muestran en la tabla 4. La longitud de onda de diseno de la na-

noantena es de λ = 532nm y se ilumina con un frente de onda cilındrico con amplitud

unitaria. En la figura 62-(b) se muestra el patron de radiacion correspondiente a la na-

noantena mostrada en la figura (a). El valor maximo que llega a tener el lobulo principal

del patron de radiacion es de ∼ 83 unidades y presenta un ancho angular de θ = 190. En

la figura 62-(c) se muestra la distribucion de intensidad de campo electrico en el regimen

cercano para la misma nanoantena mencionada pero iluminada a la longitud de onda de

resonancia (λ = 573), para este caso es destacable el aumento de los valores del campo

electrico en comparacion de la iluminacion fuera de la resonancia. En la figura 62-(d) se

muestra el patron de radiacion en la condicion de resonancia, el valor maximo del lobulo

principal del patron de radiacion alcanza valores de ∼ 132 unidades aproximadamente

y presenta un ancho del lobulo principal de θ = 210. Para este caso es sobresaliente el

valor maximo del lobulo principal en la condicion de resonancia, esto se ve reflejado en

en campo elecrico cercano; fuera de la condicion de resonancia (figura (a)) hay una alta

concetracion de campo electrico en el segundo director, esta concentracion de campo

disminuye la intensida en el trecer director y se ve reflejado en el campo lejano, por otro

lado, en la condicion de resonancia (figura (c)) existe una menor concentracion de inten-

sidad en el segundo director mientras que solo el tercer director es el que se encarga de

91

concentrar el campo electrico y direccionarlo.

En la figura 63 se ha estudiado la seccion eficaz de esparcimiento de cinco nano-

partıculas de oro con las dimensiones mostradas en la tabla 4. La iluminacion es una

fuente cilındrica con amplitud unitaria y las nanopartıculas se encuentran en vacıo. La sec-

cion eficaz de esparcimiento para el “feeder” presenta solo una resonancia a λ ∼ 521nm.

La curva que corresponde al “feeder” y el primer director presenta una resonancia en

λ = 539nm, la curva que corresponde al “feeder” y dos directores presenta una sola re-

sonancia en λ = 555nm, la curva que corresponde al “feeder” y 3 directores presenta

una sola resonancia en λ = 577, nm; y por ultimo la curva que corresponde al reflector, el

“feeder” y los 3 directores presenta una resonancia en λ = 573nm.

En las curvas de seccion eficaz de esparcimiento se puede observar que todas las

curvas solo presentan una sola resonancia, tambien, es notorio que conforme se agre-

gan elementos a la nanoantena la curva se seccion eficaz se ensancha. Otro aspecto

importante a destacar es que esta nanoantena en partıcular sufre un ligero corrimiento al

rojo, es decir, el “feeder” presenta una resonancia en λ = 521 nm mientras que los cinco

elementos juntos presentan una resonancia en λ = 573 nm. Ademas, las curvas presen-

tan un incremento notable en los valores de la seccion eficaz de esparcimiento conforme

se aumentan elementos a la nanoantena.

92

x [nm]

z [n

m]

−500 0 500−800

−600

−400

−200

0

200

400

600

800

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

(a) Campo cercano

20 40 60 80 100

30

210

60

240

90270

120

300

150

330

180

0

Áng

ulo

de e

spar

cim

ient

o [g

rado

s]

<∂R/∂θ>

(b) Campo lejano

x [nm]

z [n

m]

−500 0 500−800

−600

−400

−200

0

200

400

600

800

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

(c) Campo cercano en resonancia

50 100 150

30

210

60

240

90270

120

300

150

330

180

0

Áng

ulo

de e

spar

cim

ient

o [g

rado

s]

<∂R/∂θ>

(d) Campo lejano en resonancia

Figura 62: (a) Distribucion de intensidad del campo electrico en el regimen cercano para un siste-ma de cinco nanopartıculas (reflector, “feeder” y tres directores; con parametros de la tabla 4) deoro iluminadas con un frente de onda cilındrico en polarizacion p. (b) Patron de radiacion (campoelectrico) para el mismo sistema mostrado en (a). (c)Campo electrico en el regimen cercano con ilu-minacion en la longitud de onda de resonancia (λ = 573nm); (d) patron de radiacion en la condicionde resonancia.

93


4.3.2. Comparacion de tres estrategias de diseno utilizando el Metodo Integral

Como complemento a este trabajo de investigacion ahora se mostraran algunos di-

senos de nanoantenas que otros autores han desarrollado, para esto, se utilizara el Meto-

do Integral ya mencionado en el capıtulo 3. El primer diseno hace referencia a la antena

Yagi-Uda de radiofrecuencia, la nanoantena se ilumina con una fuente cilındrica similar a

los casos de las antenas pasadas con una longitud de onda de λ = 633nm. En la tabla

5 se muestran los parametros de la nanoantena, las distancias de elemento a elemen-

to y los diametros de todos los elementos son iguales. En la figura 64-(a) se muestra la

distribucion de intensidad fuera de las nanopartıculas en el regimen cercano para una

nanoantena disenada segun los parametros de radiofrecuencia.

En la figura se puede observar que la magnitud del campo es mayor en el tercer

director. Es apreciable observar que la presencia de resonancias plasmonicas influye en

gran medida al reforzamiento del campo electromagnetico en una direccion, esto se ve

reflejado en el campo electrico en el regimen cercano (Figura 64-(a)). En la figura 64-(b)

se observa el patron de radiacion, el cual muestra un valor maximo del lobulo principal de

∼ 123 unidades y un ancho angular el lobulo principal de θ = 300.

94

Tabla 5: Parametros que constituyen una nanoantena de nanolaminas de oro con radio r = 30nmsegun la teorıa de radiofrecuencia.

Nanoantena #4Radio de las nanolaminas 30 nmLongitud del “feeder” 0.45λ Lf= 285 nmDistancia del reflector 0.25λ dr=160 nmLongitud del reflector 0.5λ Lr= 316 nmDistancia del 1er director 0.4λ d1= 253 nmLongitud del 1er director 0.4λ L1= 253 nmDistancia del 2do director 0.4λ d2= 253 nmLongitud del 2do director 0.4λ L2= 253 nmDistancia del 3er director 0.4λ d3= 253 nmLongitud del 3er director 0.4λ L3= 253 nmAncho anguar del lobulo principal 300


Como primera aproximacion, para esta longitud de onda el reescalamiento directo de

los valores de radiofrecuencia al caso optico parece prometer buenos resutados, debido

a que el patron de radiacion es altamente directivo y no presenta muchas perdidas en

lobulos secundarios.

x [nm]

z [n

m]

−500 0 500−800

−600

−400

−200

0

200

400

600

800

0

1

2

3

4

5

6

7

(a) Campo cercano

50 100 150

30

210

60

240

90270

120

300

150

330

180

0

Áng

ulo

de e

spar

cim

ient

o [g

rado

s]

<∂R/∂θ>

(b) Campo lejano

Figura 64: (a) Campo electrico en el regimen cercano para un sistema de cinco nanopartıculas (re-flector, “feeder” y tres directores) de oro iluminadas con un frente de onda cilındrico en polarizacionp. Los parametros de la nanoantena se obtuvieron con base a las medidas de la antena de radio-frecuencia utilizando una longitud de onda de λ = 633nm. (b) Patron de radiacion (campo electrico)para el mismo sistema mostrado en (a).

95

En un segundo diseno, los parametros de los elementos de la antena se obtuvieron

de un trabajo teorico-experimental (Curto G et al., 2010). En la tabla 6 se muestran los

parametros de la nanoantena, al igual que los otros casos, las nanopartıculas son de

oro y se iluminan con una fuente cilındrica a una longitud de onda de λ = 633nm. Las

distancias que aparecen en la tabla son de elemento a elemento y los diametros de todas

las partıculas son iguales. Este diseno se hizo con base a la antena tipo Yagi-Uda de

radiofrecuencia y se ilumino con ondas en polarizacion p para estudiar las resonancias

plasmonicas.

Tabla 6: Parametros que constituyen una nanoantena de nanolaminas de oro con radio r = 30nmsegun Curto G et al. (2010).

Nanoantena #5Radio de las nanolaminas 30 nmLongitud del “feeder” Lf= 152 nmDistancia del reflector dr= 175 nmLongitud del reflector Lr= 182 nmDistancia del 1er director d1= 200 nmLongitud del 1er director L1= 130 nmDistancia del 2do director d2= 200 nmLongitud del 2do director L2= 130 nmDistancia del 3er director d3= 200 nmLongitud del 3er director L3= 130 nmAncho anguar del lobulo principal 310

Potencia maxima (θ = 00) 66.70

En la figura 65-(a) se muestra la distribucion de campo electrico fuera de las nano-

partıculas en el regimen cercano. En la figura de campo cercano podemos observar la

presencia de plasmones localizados en el segundo y tercer director, en este ultimo se

aprecia mas la intensificacion del campo electrico en el eje mayor de la nanoaprtıcula. La

longitud total de la nanoantena es de ∼ 670nm. La magnitud del campo electromagnetico

es mayor en el tercer director formando una forma tipo dipolo; a diferencia de la nanoan-

tena del primer diseno mostrado en esta seccion (Figura 64-(a)), esta concentra la mayor

parte del campo electrico en la superficie superior del tercer director. Estas direfencias de

presencia de intensificacion de campo electrico se ven reflejadas en el campo electrico

lejano. En la figura 65-(b) se muestra el patron de radiacion, el cual presenta un valor

maximo del lobulo principal de ∼ 66 unidades y un ancho angular el lobulo principal de

θ = 310.

96

x [nm]

z [n

m]

−500 0 500−800

−600

−400

−200

0

200

400

600

800

1

2

3

4

5

6

7

8

9

(a) Campo cercano

20 40 60 80

30

210

60

240

90270

120

300

150

330

180

0

Áng

ulo

de e

spar

cim

ient

o [g

rado

s]

<∂R/∂θ>

(b) Campo lejano

Figura 65: (a) Campo electrico en el regimen cercano para un sistema de cinco nanopartıculas (re-flector, “feeder” y tres directores) de oro iluminadas con un frente de onda cilındrico en polarizacionp. Los parametros de la nanoantena se obtuvieron con base a las medidas de la antena experimen-tal mostrada en Curto G et al. (2010) utilizando una longitud de onda de λ = 633nm. (b) Patron deradiacion (campo electrico) para el mismo sistema mostrado en (a).

Uno de los formalismos con gran impacto se conoce como escalamiento de la longitud

de onda (Novotny, 2007). En el caso de la interaccion de ondas de radiofrecuencia o

microondas con metales, estos ultimos se comportan como conductores perfectos con

una permitividad infinita y la densidad de corriente circula por la superficie del metal.

En optica, el hecho de que la permitividad sea finita en el espectro visible y cercano

infrarrojo permiten que exista una penetracion en el material del orden de nanometros.

Esta caracterıstica combinada con la presencia resonancias plasmonicas determinan la

respuesta propia de las estructuras nanometricas metalicas.

Figura 66: Ilustracion de una nanoantena con una constante dielectrica ε (ω), una longitud L y diame-tro 2R. El campo electrico oscila en la direccion del eje mayor de la nanoantena y la propagacion dela onda es perpedicular al eje de simetrıa.

Para uniformizar el tratamiento clasico de antenas con el caso optico, Novotny, (No-

97

votny, 2007) propone reemplazar la longitud de onda incidente λ0 por una longitud de

onda menor llamada longitud de onda efectiva λeff , esta es posible calcular mediante la

siguiente relacion

λeff = n1 + n2

(λ0

λp

), (85)

donde λp es la longitud de onda del plasma y n1, n2 son constantes que dependen de

las propiedades del material. Para la deduccion de este formalismo, el autor propone una

nanolamina metalica con constante dielectrica ε (ω), longitud L y radio R<<L (ver figura

66).

Para la condicion de resonancia de un elemento resonante de media longitud de onda,

L=λeff2

=(n1

2+ n2

2

(λrλp

))2R, donde la longitud de onda de resonancia λr puede expresar-

se en terminos de el parametro relacion de aspecto, AR por sus siglas en ingles y definido

como AR = L2R

. De esta manera podemos encontrar la longitud de onda de resonancia

del elemento metalico por la expresion

λr = (2AR− n1)λpn2. (86)

En este caso, las antenas que se han mostrado tienen un radio constante de r=30 nm

y se iluminan con una fuente puntual con una longitud de onda de λ = 633nm. Con la

expresion (86) se puede calcular que longitud debe tener la nanolamina con una longitud

de onda de resonancia de λ = 633nm. Si el metal es oro, se tiene que λp = 168nm, n1 =

−16.15 y n2 = 4.64, con esto se encuentra que la longitud del elemento resonante debe

ser L=λeff2

= 154nm y por consiguiente una longitud de onda efectiva de λeff = 308nm.

Aplicando la teorıa de radiofrecuencia pero con esta nueva longitud de onda efectiva se

obtienen los parametros de diseno para la nanoantena que se muestran en la tabla 7.

98

Tabla 7: Parametros que constituyen una nanoantena de nanolaminas de oro con radio r = 30nmsegun el reescalamiento de la longitud de onda, Novotny (2007).

Nanoantena #6Radio de las nanolaminas 30 nmLongitud del “feeder” Lf= 0.5λeff=154 nmDistancia del reflector dr=0.25λeff=77 nmLongitud del reflector Lr=0.525λeff=162 nmDistancia del 1er director d1=0.4λeff=123 nmLongitud del 1er director L1=0.475λeff=146 nmDistancia del 2do director d2=0.4λeff=123 nmLongitud del 2do director L2= 0.475λeff=146 nmDistancia del 3er director d3= 0.4λeff=123 nmLongitud del 3er director L3= 0.475λeff=146 nmAncho anguar del lobulo principal 360

Potencia maxima (θ = 00) 74.56

Con base a los parametros de la tabla 7, en la figura 67-(a) se muestra la distribucion

de campo electrico fuera de las nanopartıculas en el regimen cercano. La iluminacion es

una fuente cilındrica con amplitud unitaria y con una longitud de onda de λ = 633nm.

La distancia entre el reflector y el “feeder” provocan que exista una fuerte localizacion

del campo electrico entre estos elementos, lo que ocaciona que se “opaque” el campo

electrico en el tercer director. En la figura 67-(b) se muestra el patron de radiacion para

esta nanoantena, el cual presenta un valor maximo del lobulo principal de ∼ 74 unidades

y un acho angular del lobulo principal de θ = 360.

Este formalismo del reescalamiento de la longitud de onda senala que, para que fun-

cione un reescalamiento “directo” de las magnitues que se utilizan en radiofrecuencia al

caso optico, entonces se debe reescalar la longitud de onda incidente mediante la expre-

sion (85). Sin embargo, el formalismo solo toma encuenta la parte real de la constante

dielectrica del metal, es decir la absorcion del material no se considera. No obstante,

es una buena aproximacion para la unificacion del formalismo de radiofrecuencia con el

formalismo que se maneja en optica.

99

x [nm]

z [n

m]

−500 0 500−800

−600

−400

−200

0

200

400

600

800

0

2

4

6

8

10

12

(a) Campo cercano

20 40 60 80

30

210

60

240

90270

120

300

150

330

180

0

Áng

ulo

de e

spar

cim

ient

o [g

rado

s]

<∂R/∂θ>

(b) Campo lejano

Figura 67: (a) Campo electrico en el regimen cercano para un sistema de cinco nanopartıculas (re-flector, “feeder” y tres directores) de oro iluminadas con un frente de onda cilındrico en polarizacionp. Los parametros de la nanoantena se obtuvieron con base a la expresion (86), Novotny (2007); uti-lizando una longitud de onda de λ = 633nm. (b) Patron de radiacion (campo electrico) para el mismosistema mostrado en (a).

Como ultimo caso, se mostrara una nanoantena disenada con el procedimiento su-

gerido en el apartado 4.3.1. Las nanopartıculas son de oro, se encuentran en vacıo y

se iluminaron con una fuente cilındrica con una longitud de onda de λ = 633nm. Todas

las nanopartıculas presentan un radio r = 30nm y el complemento de los parametros se

encuentran descritos en la tabla 8.

Los datos que presenta la tabla anterior se encontraron se manera similar a las na-

noantenas mostradas en el apartado 4.3.1. Se utilizaron los parametros de front-to-back-

ratio, el ancho del lobulo principal y los patrones de radiacion para determinar la longitud

de cada partıcula como para encontrar su posicion optima. Con base a los parametros

de la tabla 8, en la figura 68-(a) se muestra la distribucion de campo electrico en el regi-

men cercano para un sistema de cinco partıculas (reflector, “feeder” y 3 directores). La

iluminacion es con una fuente puntual con amplıtud unitaria a una longitud de onda de

λ = 633nm. En la figura 68-(a) se observa que la mayor intensidad de campo electrico se

concentra en el segundo y tercer director. Cuando se ilumina con una fuente de este tipo,

el acoplamiento se proporciona en la superficie superior de las nanolaminas, tambien, es

destacable que la concentracion de campo electrico se va intensificando en dichas super-

100

Tabla 8: Parametros que constituyen una nanoantena de nanolaminas de oro con radio r = 30nmcon el metodo propuesto.

Nanoantena #7Radio de las nanolaminas 30 nmLongitud del “feeder” Lf= 220 nmDistancia del reflector dr= 300 nmLongitud del reflector Lr= 1110 nmDistancia del 1er director d1= 155 nmLongitud del 1er director L1= 540 nmDistancia del 2do director d2= 345 nmLongitud del 2do director L2= 670 nmDistancia del 3er director d3= 535 nmLongitud del 3er director L3= 800 nmAncho anguar del lobulo principal 210

Ganancia (θ = 00) 152

ficies hasta llegar al tercer director. El tipo de iluminacion cilındrica se utiliza por el hecho

de “simular” una partıcula fluorecente con intenciones de llevarlo a los experimentos, este

tipo de iluminacion ofrece una alta direccionalidad del campo electrico irradiado en con-

junto con este diseno de nanoantenas, tambien proporciona incrementar la potencia de

la fuente incidente como se puede observar en el campo lejano. En la figura 68-(b) se

muestra el patron de radiacion para esta nanoantena, la cual muestra un valor maximo

del lobulo principal de ∼ 152 unidades y un ancho angular de lobulo principal de θ = 210.

Para comparar los efectos de iluminacion con una fuente direrente. En la figura 69-(a)

se muestra la distribucion de campo electrico cercano para la antena mencionada pero

iluminada con un frente de onda plano. La onda plana tiene amplitud unitaria y la nanoan-

tena es iluminada desde abajo (θ = 1800). Para este caso se puede observar que hay

zonas entre las nanolaminas donde hay altas concentraciones de intensidad. El segundo

elemento (de abajo hacia arriba, “feeder”) presenta resonancias plasmonicas localizadas

en los extremos de esta, entre el primer y segundo director tambien hay radiacion que no

se propaga hacia la direccion del tercer director. Entre el segundo y tercer director existe

la mayor cantidad de campo electrico que no se propaga sino que se desaprovecha en

una resonancia entre los nanorods. En la supercicie del tercer director se puede observar

una alta concentracion de campo electrico (en direccion θ = 00) pero no es comparable

con los casos pasados. Las perdidas de intensidad en el campo cercano entre las na-

nolaminas se ven reflejadas en el campo lejano (Figura 69-(b)) donde el valor maximo del

101

x [nm]

z [n

m]

−500 0 500−800

−600

−400

−200

0

200

400

600

800

0

1

2

3

4

5

6

7

8

(a) Campo cercano

50 100 150 200

30

210

60

240

90270

120

300

150

330

180

0

Áng

ulo

de e

spar

cim

ient

o [g

rado

s]

<∂R/∂θ>

(b) Campo lejano

Figura 68: (a) Distribucion de intensidad en campo cercano para un sistema de cinco nanopartıculas(reflector, “feeder” y tres directores) de oro iluminadas con un frente de onda cilındrico en polari-zacion p. Los parametros de la nanoantena se obtuvieron con el metoo propuesto utilizando unalongitud de onda de λ = 633nm. (b) Patron de radiacion (campo electrico) para el mismo sistemamostrado en (a).

lobulo principal alcanza valores maximos de ∼ 8.5 unidades y un ancho angular del lobulo

principal de θ = 90. Si bien lo que se busca con el diseno de nanoantenas es la mayor

ganancia posible y un ancho del lobulo principal estrecho (pequeno), este ultimo diseno

no proporciona las caracterısticas suficientes para obtener un patron de radiacion optimo

como el que se ilumina con un frente de onda cilındrico.

Para complementar esta seccion, en la tabla 9 se muestra la comparacion explıcita

de algunos de los parametros de las nanoantenas mostradas en este apartado. En este

trabajo de investigacion nos enfocamos en desarrollar nanoantenas que pudieran supe-

rar el estandar de los parametros mas importantes de las antenas en algunos trabajos

realizados por algunos autores (Curto G et al. (2010); Novotny (2007)), como los son la

ganancia y el ancho angular del lobulo principal.

Para recapitular, las nanoantenas realizadas en este apartado son de oro y los diame-

tros de los elementos son de l = 60nm; todas las nanoantenas estan iluminadas con

una fuente puntual con amplitud unitaria a una longitud de onda de λ = 633nm y estan

en vacıo. Como podemos observar en la tabla 9, el ancho angular del lobulo principal se

mejoro en al menos 10 grados en comparacion de las otras nanoantenas.

102

x [nm]

z [n

m]

−500 0 500−800

−600

−400

−200

0

200

400

600

800

0.5

1

1.5

2

(a) Campo cercanoi luminado con una onda plana

2 4 6 8

30

210

60

240

90270

120

300

150

330

180

0

Áng

ulo

de e

spar

cim

ient

o [g

rado

s]

<∂R/∂θ>

(b) Campo lejano iluminado con una onda plana

Figura 69: (a) Distribucion de campo electrico cercano para la misma nanoantena pero iluminadacon un frente de onda plano desde abajo, la onda plana tiene amplitud unitaria y la lonfgitud deonda es de λ = 633nm. (b) Patron de radiacion de radiacion de la nanoantena iluminada con unaonda plana desde abajo.

Tabla 9: Parametros que constituyen una nanoantena de nanolaminas de oro con radio r = 30nmcon el metodo propuesto.

Comparacion de parametros de las nanoantenasAncho angular del lobulo principal Ganancia (θ = 00)

Radiofrecuencia 300 123Curto 310 66.70Novotny 360 74.56Metodo propuesto 210 152

Otro parametro importante es la ganancia, este parametro se logro mejorar por encima

del 50 % con respecto a las otras nanoantenas.

103

Capıtulo 5. Conclusiones

Para finalizar, se recapitulara resumiendo de forma selectiva los resultados sobresa-

lientes de este trabajo de investigacion.

En primer lugar, hay que destacar que se aplico un metodo para la resolucion del

problema de esparcimiento de ondas electromagneticas con base a un formalismo rigu-

roso de ecuaciones integrales derivadas de las ecuaciones de Maxwell. Este formalismo

se realizo utilizando coordenadas parametricas el cual nos permite manejar geometrıas

complejas. Con esta formulacion es posible obtener el campo electromagnetico esparcido

debido a diversas geometrıas en el regimen cercano y lejano, las secciones eficaces de

esparcimiento para nanopartıculas metalicas lo que permite estudiar el comportamiento

de las resonancias plasmonicas.

Referente a las secciones eficaces de esparcimiento, para partıculas metalicas se ha

observado que estas dependen de la forma de las nanopartıculas. Las partıculas con

geometrıas simetricas presentan un espectro sencillo (como cırculos o esferas), sin em-

bargo, si la geometrıa es compleja el espectro puede ser complejo al presentar mas de

una resonancia. Las resonancias plasmonicas estan fuertemente ligadas a intensificacio-

nes del campo electromagnetico en el regimen cercano. En el caso de un dımero formado

por dos partıculas metalicas, estas resonancias sufren un corrimiento al rojo cuando la

distancia entre las nanopartıculas decrece.

En el primer apartado de resultados se estudiaron nanopartıculas metalicas circulares

y nanobarras aisladas en el vacıo. Posteriormente se estudiaron dımeros y por ultimo,

conjuntos de cinco partıculas que se comportan como nanoantenas. La caracterizacion

de todos estos elementos se llevo a cabo en polarizacion p, para el caso de nanobarras

cilındricas, la caracterizacion optica se llevo a cabo a lo largo del eje mayor para estu-

diar las resonancias plasmonicas. Para el caso de dımeros, cuando la distancia entre

las nanopartıculas es muy pequeno, del orden de unos cuantos nanometros se puede

observar que existe una alta intensificacion de campo entre las partıculas, dicho de otro

modo, los dımeros pueden generar altos valores del campo electromagnetico en zonas

muy pequenas.

104

Se ha mostrado que un conjunto de nanopartıculas con forma circular puede direccio-

nar la radiacion de una fuente puntual (fuente puntual 2d). La posicion y el radio de las

nanopartıculas es de mucha importancia para que ocurra este comportamiento, al igual

que la polarizacion de la onda incidente. Por otro lado, se ha mostrado tambien que un

conjunto de nanopartıculas en forma de nanobarras puede funcionar como una nanoan-

tena, similar al caso de la antena de radiofrecuencia conocida como Yagi-Uda, donde la

funcion principal es direccionar la radiacion con altas ganancias y un ancho del lobulo

principal estrecho. En el caso de este tipo de nanoantenas, el funcionamiento tiene dife-

rencias que el caso de radiofrecuencia debido a la presencia de resonancias plasmonicas

en los elementos que conforman la nanoantena. La polarizacion de la onda incidente es

importante en este caso, pues los efectos plasmonicos solo se presentan en polariza-

cion p (campo electrico paralelo a la superficie difusora). Con esto, se demuestra que las

nanopartıculas metalicas pueden modificar la radiacion de emision de fuentes “externas”

posicionadas cerca de estas.

Se ha desarrollado un procedimiento para construır nanoantenas opticas con elemen-

tos alargados de oro con base a las antenas de radiofrecuencia. Las nanoantenas di-

senadas tienen como proposito principal que tengan una alta direccionalidad del campo

electromagnetico y con la mayor ganancia posible, por esto el diseno fue motivado por la

antena de radiofrecuencia llamada Yagi-Uda. En estos disenos se logro obtener una al-

ta direccionalidad del campo electromagnetico en el regimen lejano. Se logro corroborar

que un elemento reflector puede aumentar la ganancia en la direccion de los directores al

igual que el caso de radiofrecuencia. Por otro lado, la longitud de los directores se debe

considerar a dos factores: la longitud de onda de diseno y la precencia de resonancias

plasmonicas.

El diseno del tipo de nanoantenas propuesto depende de basicamente cuatro elemen-

tos de oro: el radio de las nanopartıculas, la polarizacion de la onda incidente, la longitud

de onda y el tipo de iluminacion. Se ha demostrado que el procedimiento propuesto tiene

una alta efectividad sobre otros formalismos propuestos por varios autores Curto G et al.

(2010); Novotny (2007); Taminiau H et al. (2008b). El metodo de diseno de nanoantenas

propuesto proporciona una alta direccion del campo electromagnetico y un ancho angular

considerablemente mejor al de los otros formalismos realizados en este trabajo de tesis.

105

Se ha mostrado que el elemento alimentador “feeder” es una composicion de una

nanobarra cilındrica metalica y la fuente cilındrica, donde la posicion de esta ultima y

la orientacion de la nanopartıcula hace posible cambiar la direccion del campo electro-

magnetico. Por esto, la fuente cilındrica, (o en las aplicaciones con moleculas fluorecen-

tes) esta debe estar a solo unos cuantos nanometros de la nanopartıcula que funcio-

nara como feeder.

Respecto a las antenas de nanobarras, se ha mostrado que los elementos “directo-

res” funcionan como propagadores del campo incidente, sin embargo, el funcionamiento

de estos elementos difiere al caso de radiofrecuencia como se menciono anteriormente.

La induccion de la radiacion se da de elemento a elemento y la longitud del ultimo ele-

mento (tercer director) es el que proporciona la mayor direccionalidad a toda la radiacion

proveniente del campo incidente. Por otro lado, el ancho de los elementos es un factor

importante para el acoplamiento plasmonico, entre mas anchos sean estos elementos

pueden “soportar” con mayor magnitud las oscilaciones de los electrones de los metales,

dando lugar a interacciones plasmonicas mas intensas, y esto se ve reflejado en el patron

de radiacion (campo lejano) de las nanoantenas mostradas.

Se ha mostrado que la funcion de los elementos directores refuerzan la direccion del

campo electrico en direccion de estos, pero no de la manera que se comportan los ele-

mentos metalicos de radiofrecuencia, sin embargo, estos elementos estan involucrados

en el reforzamiento del campo electrico lejano mediante resonancias plasmonicas en las

nanopartıculas. Dependiendo de la longitud de onda con la que se ilumine y el diame-

tro de estos elementos, es en el tercer director donde recae la ganancia maxima y el

“estrecho” del lobulo principal.

Se ha mostrado que este tipo de nanoestructuras metalicas pueden modificar el patron

radiacion de una fuente de “prueba” (fuente cilındrica) cuando esta posicionada cerca de

estas. Principalmente, se ha visto que la posicion de la fuente cilındrica aporta direccion

del campo electromagnetico en conjunto con estas estructuras obteniendo altas intensifi-

caciones en los elementos de las nanoaestructuras.

106

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