Centro de Masa - unizar.es
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Centro de Masa
Sólido Rígido
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Centro de Masa
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El centro de masa de un sistema de partículas es un punto en el cual
parecería estar concentrada toda la masa del sistema.
En un sistema formado por partículas discretas el centro de masa se calcula
mediante la siguiente fórmula:
M
m
m
m ii
i
ii
CM
==rr
r
m1
m2
mn
mi
r1
r2 ri
rn
rCM
x
y
z
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?==
i
ii
CMm
m rr
m1
m2
mn
mi
r1
r2 ri
rn
rCM
x
y
z
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M
m
m
m ii
i
ii
CM
==rr
r
r1 r2
ri
rn x
y
z
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Centro de masa de un objeto extendido
rCM
x
y
z
ri
Dmi
El centro de masa de un objeto
extendido se calcula mediante la
integral:
= dmM
CM rr1
El centro de masa de cualquier objeto
simétrico se ubica sobre el eje de
simetría y sobre cualquier plano de
simetría.
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Movimiento de un sistema de partículas
Si se deriva respecto al tiempo el centro de masa de un sistema de partícula se
obtiene la velocidad del centro de masa:
M
m
dt
dm
Mdt
d
ii
CM
ii
CMCM
=
==
vv
rrv
1
El momento total del sistema es:
=== totiiiCM mM ppvv
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La aceleración del centro de masa es:
=== iii
iCM
CM mMdt
dm
Mdt
da
vva
11
De la segunada ley de Newton:
== iiiCM mM Faa
dt
dM tot
CMext
paF ==
Tomando en cuenta la 3era. Ley de Newton:
El centro de masa se mueve como una partícula imaginaria de masa M
bajo la influencia de la fuerza externa resultante sobre el sistema.
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𝑖=1
𝑁
𝐹𝑖 = 𝐹𝑅 =𝑚1𝑎1 +𝑚2𝑎2 +𝑚3𝑎3 +⋯ = 𝑀𝑎?
𝑖=1
𝑁
𝑚𝑖𝑎𝑖 = 𝑀 Ԧ𝑎𝐶𝑀
xmxiiCM M
=1
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𝑚𝑖𝑥𝑖 = 𝑀𝑥𝐶𝑀
xmxiiCM M
=1
O bien
Entonces
𝑚𝑖
𝑑𝑥𝑖𝑑𝑡
=𝑚𝑖v𝑖 = 𝑀𝑑𝑥𝐶𝑀𝑑𝑡
= 𝑀v𝐶𝑀
𝑚𝑖
𝑑v𝑖𝑑𝑡
=𝑚𝑖a𝑖 = 𝑀𝑑v𝐶𝑀𝑑𝑡
= 𝑀a𝐶𝑀
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• Cuando una fuerza actúa sobre un sistema de partículas, este se comporta de forma que el centro de
masas se mueve como si toda la masa del sistema de partículas estuviese concentrada en él
Un objeto lanzado puede moverse de
manera compleja, pero su centro de masas
describe una parábola
M
vmv
dt
rdm
M
1
dt
rd
M
rmr i
gigi
gi
ii
→→
→→→→
==
=
M
ama
dt
vdm
M
1
dt
vd ig
ig ii
→→
→→
==
aMFamFF Gext
ii
ext
ii i→→→
===→→
• Para un sistema de partículas m1, m2, ..., mi , cada una de ellas
estaría sometida a fuerzas ejercidas por las demás, por lo que
se denominan fuerzas internas y fuerzas del exterior del
sistema Fext
i
→F int
i
→
amFFF iext
i
int
ii i→→→→
=+=Por la 2ª ley de Newton
Por el principio de acción y reacción 0F inti=
→
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x
y
z m1
m2
m3
m4
G
• El centro de masas es un punto G que se comporta como una partícula material, en la que se concentra
toda la masa del sistema, tal que su vector de posición cumple que: rg→
M
rmrrmrM i
gigi
i
→→→→
== ( M = mi )
M
xmx ii
g
=
M
ymy ii
g
=
M
zmz ii
g
=
En los sistemas continuos y homogéneos, el centro
de masas coincide con el centro de simetría del
sistema
r1
→
rg
→
r4
→
r2
→
r3
→
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=
i
i
i
ii
CMm
rm
r
m1
m2
m3m4
m5
m6
y
xr1
r4
r6
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𝑅𝐶𝑀 =σ𝑖=1𝑁 𝑚𝑖𝑥𝑖σ𝑖=1𝑁 𝑚𝑖
𝑅𝐶𝑀 =1
𝑀𝑇
𝑖=1
𝑁
𝑚𝑖𝑥𝑖
𝐫𝐶𝑀 =1
𝑀න𝐫𝑑𝑚
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1 Centro de masas Definición:
=
i
i
i
i
i
m
rm
r
CM
===
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
m
zm
zm
ym
ym
xm
x CMCMCM
Coord. cartesianas:
Objetos continuos:
===
dm
zdmz
dm
ydmy
dm
xdmx CMCMCM
Objetos discretos:
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CM
ext
R MaF =)(
CM
Si la FR que actúa sobre el
sistema es igual 0,
entonces el Centro de Masa
del Sistema se mueve con
v= cte, o está en reposo
00
sistema
( )M
rm
m
rm
tr i
ii
i
i
i
ii
CM
==
cteVCM = ctePsist =0=ext
RFhttps://phet.colorado.edu/sims/collision-lab/collision-lab_en.html
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Ejemplo. Se tienen 3 masas iguales en los
vértices de un triángulo rectángulo. Calcular el vector
C.M.
d
h
a
y
x
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d
h
a
y
x
y’
x’
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y
x
rCM
z rM
rdmCM = 1
para una distribución continua de masa:
Dmi
r
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y
x
m
m
x
-x
y
-y 𝑥𝐶𝑀 =𝑚𝑥 +𝑚(−𝑥)
2𝑚= 0
=
i
i
i
i
i
m
xm
xCM
=
i
i
i
i
i
m
ym
yCM
𝑦𝐶𝑀 =𝑚𝑦 +𝑚(−𝑦)
2𝑚= 0
𝑥𝐶𝑀 = 0
𝑦𝐶𝑀 = 0
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j2i5,1r1
→→→+=
• Se toman los tres cuadriláteros marcados, se calcula su centro de simetría mediante el corte de sus
diagonales y se concentra en dichos puntos la masa de cada placa, que se expresa en función de la
densidad superficial de masa
j5,0i5,3r2
→→→+=
j5,3i5,3r3
→→→+=
𝑅𝐶𝑀 =1
𝑀𝑇
𝑖=1
3
𝑚𝑖 Ԧ𝑟𝑖 =
=𝑚1 1,5 Ƽ𝑖+2 Ƽ𝑗 +𝑚2 3,5 Ƽ𝑖+0,5 Ƽ𝑗 +𝑚3 3,5 Ƽ𝑖+3,5 Ƽ𝑗
𝑚1+𝑚2+𝑚3
No tengo m1, m2 ni m3…….
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La densidad es lo que me permite
transformar las masas en ‘posiciones’
𝜆 =𝑀
𝐿=𝑑𝑚
𝑑𝑥
𝜎 =𝑀
𝐴=𝑑𝑚
𝑑𝐴
𝛿 =𝑀
𝑉=𝑑𝑚
𝑑𝑉
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m1 = S1 = 12 j2i5,1r1
→→→+=
m2 = S2 =
m3 = S3 =
j5,0i5,3r2
→→→+=
j5,3i5,3r3
→→→+=
𝑅𝐶𝑀 =𝑚1 1,5 Ƽ𝑖+2 Ƽ𝑗 +𝑚2 3,5 Ƽ𝑖+0,5 Ƽ𝑗 +𝑚3 3,5 Ƽ𝑖+3,5 Ƽ𝑗
𝑚1+𝑚2+𝑚3
𝑅𝐶𝑀 =12𝜎 1,5 Ƽ𝑖+2 Ƽ𝑗 +𝜎 3,5 Ƽ𝑖+0,5 Ƽ𝑗 +𝜎 3,5 Ƽ𝑖+3,5 Ƽ𝑗
14𝜎
𝑅𝐶𝑀 =25𝜎 Ƽ𝑖 + 28 𝜎 Ƽ𝑗
14𝜎=
25 Ƽ𝑖 + 28 Ƽ𝑗
14
𝑅𝐶𝑀 = 1,8 Ƽ𝑖 + 2 Ƽ𝑗
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m1 = S1 = 12 j2i5,1r1
→→→+=
m2 = S2 =
m3 = S3 =
j5,0i5,3r2
→→→+=
j5,3i5,3r3
→→→+=
𝑅𝐶𝑀 =𝑚1 1,5 Ƽ𝑖+2 Ƽ𝑗 +𝑚2 3,5 Ƽ𝑖+0,5 Ƽ𝑗 +𝑚3 3,5 Ƽ𝑖+3,5 Ƽ𝑗
𝑚1+𝑚2+𝑚3
𝑅𝐶𝑀 =12𝜎 1,5 Ƽ𝑖+2 Ƽ𝑗 +𝜎 3,5 Ƽ𝑖+0,5 Ƽ𝑗 +𝜎 3,5 Ƽ𝑖+3,5 Ƽ𝑗
14𝜎
𝑅𝐶𝑀 =25𝜎 Ƽ𝑖 + 28 𝜎 Ƽ𝑗
14𝜎=
25 Ƽ𝑖 + 28 Ƽ𝑗
14
𝑅𝐶𝑀 = 1,8 Ƽ𝑖 + 2 Ƽ𝑗
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Objetos continuos:
===
dm
zdmz
dm
ydmy
dm
xdmx CMCMCM
y
x
y’
x’
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Objetos continuos:
===
dm
zdmz
dm
ydmy
dm
xdmx CMCMCM
y
x𝜆 =
𝑀
𝐿=𝑑𝑚
𝑑𝑥
𝑀 = 𝜆𝐿
𝑑𝑚 = 𝜆𝑑𝑙
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𝑥CM =𝑑𝑚 𝑥
𝑑𝑚𝑦CM =
𝑑𝑚 𝑦
𝑑𝑚
y
x
𝑑𝑚 = 𝜆𝑑𝑙
𝑑𝑙 = 𝑑𝑠 = 𝑅 𝑑𝜃𝑠 = 𝑅 𝜃
𝑅
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𝑥CM =𝑑𝑚 𝑥
𝑑𝑚𝑦CM =
𝑑𝑚 𝑦
𝑑𝑚
y
x
𝑑𝑚 = 𝜆𝑑𝑙
𝑑𝑙 = 𝑑𝑠 = 𝑅 𝑑𝜃𝑠 = 𝑅 𝜃
𝑅
![Page 31: Centro de Masa - unizar.es](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022080210/62e7c45d9a3e385a25161099/html5/thumbnails/31.jpg)
𝑥CM =𝑑𝑚 𝑥
𝑑𝑚𝑦CM =
𝑑𝑚 𝑦
𝑑𝑚
y
x
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/problemas/solido/cm/cm.html
![Page 32: Centro de Masa - unizar.es](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022080210/62e7c45d9a3e385a25161099/html5/thumbnails/32.jpg)
Centro de masas
Objetos continuos:
Objetos discretos:Ej.
Ej.
Objetos continuos:Ej.
Objetos continuos:Ej.
2 m
4 m
3 m
(11,9)
(10,-3)
(-8,2)3 g
5 g
4 g
![Page 33: Centro de Masa - unizar.es](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022080210/62e7c45d9a3e385a25161099/html5/thumbnails/33.jpg)
Simetria
Determinar el centro de masa del sistema mostrado, si se sabe que las masas para cada
elemento son m1 = 4 kg, m2 = 8 kg, m3 = 3 kg, y m4 = 5 kg.
𝑥𝑐𝑚 =𝑚1𝑥1 +𝑚2𝑥2 +𝑚3𝑥3 +𝑚4𝑥4
𝑚𝑇= 28,5 𝑐𝑚
𝑦𝑐𝑚 =𝑚1𝑦1 +𝑚2𝑦2 +𝑚3𝑦3 +𝑚4𝑦4
𝑚𝑇= 46 𝑐𝑚
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Se unen dos varillas uniformes y homogéneas AB de 40 kg de masa y otra varilla BC
semicircular de 60 kg de masa. Determinar la abscisa del centro de masa del conjunto.
Simetria
y
x
A B C10cm
20cm
y
x
A B C10cm
10cm
30cm
x1 x2
y
x10cm
30cm
x1x2 𝑥𝑐𝑚 =
40𝑘𝑔 𝑥1 + 60𝑘𝑔 𝑥2100 𝑘𝑔
= 22 𝑐𝑚
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Homework
RCM ?
Tip: Haciendo 4a = 8,8 m, encontramos que a = 2,2 m.
En la figura se muestra un sistema formado por tres alambres del mismo material y de igual
sección Determinar la ordenada del CG
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La estructura mostrada se encuentra en equilibrio. Calcular el valor de la masa mA, si mA=
15 kg. Además AD = 10 cm, DB = 35 cm, CD = 20 cm, y θ = 37°
Homework
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Simetrias
y
xPlaca (P)
2RR-
Placa Compuesta (C)
y
xDisco (S) =
y
x
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𝜎 =𝑀1
4𝜋𝑅2
𝜎 =𝑀
𝐴
M1
-m2
𝜎 =−𝑚2
𝜋𝑅2
MT = M1-m2
𝑥𝑐𝑚 =𝑀1𝑥1 −𝑚2𝑥2
𝑚𝑇=
𝑦𝑐𝑚 =𝑀10 + 𝑚20
𝑚𝑇= 0
=4𝜋𝑅2𝜎 𝑥1 − 𝜋𝑅2𝜎 𝑥2
4𝜋𝑅2𝜎 − 𝜋𝑅2𝜎=
− 𝑥23
=+𝑅
3=
𝑥𝐶𝑀2 = −𝑅𝑥𝐶𝑀1 = 0
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Consider the triangular region R with vertices (0,0),(0,3),(3,0) and with density function
𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦. Find the center of mass.
https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Book%3A_Calculus_(OpenStax)/15%3A_Multiple_Integration/15.6%3A_Calculating_Centers_of_Mass_and_Moments_of_Inertia
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Consider the triangular region R with vertices (0,0),(0,3),(3,0) and with density function
𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦. Find the center of mass.
https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Book%3A_Calculus_(OpenStax)/15%3A_Multiple_Integration/15.6%3A_Calculating_Centers_of_Mass_and_Moments_of_Inertia
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FIN
Coming next: