Facultad de Ingeniera y Tecnologa. Plan Comn de Ingeniera Sede Concepcin.

Pauta Prueba solemne N1 Curso lgebra I

Docentes: Patricia Aste-Nicole Carrasco-Patricia DAmico-Jorge Garfias-Carolina Nuez Pregunta 1(10 puntos): Demuestre, justificando sus pasos, la siguiente igualdad:

( )A B B A Vamos a probar por reduccin al absurdo

Si ( ) ( )x A B B A x A B x B A def de interseccin 2 puntos

x A x B x B x A def de diferencia 2 puntos

x A x A x B x B Contradiccin 3 puntos

Por lo tanto ( ) ( )x A B B A A B B A 3 puntos Pregunta 2(20 puntos) Consideremos U ( conjunto de los reales) y sea los conjuntos:

: 1 ; , 2 ; :5 0 0A x U x B C x U x Sea la funcin proposicional ( )p x tal que su conjunto de validez es 2, Determine, justificando, el valor de verdad de cada una de las proposiciones siguientes:

. i) : ( )x A p x es falsa porque , 1 1, 2,A ; es decir existen elementos de A

que no estn en el conjunto validez de ( )p x ejemplo 3 , pero 3 2,A

ii) : ( )x B p x es falsa porque ningn elemento de B pertenece a 2, .

iii) ! : ( )x C p x es verdadera porque 0 es el nico 0 0 2,C

iv) : ( ) : ( ) x A p x x B p x es falsa porque antecedente es verdadero y consecuente es Falso Observemos que

: 1 , 1 1, ; , 2 ; :5 0 0 , 5 0A x U x B C x U x

4 puntos identificacin de cada conjunto 2 puntos por cada valor de verdad y 2 puntos por la justificacin en cada una

Pregunta 3(20 puntos): Un rey somete a un prisionero a la siguiente prueba: lo enfrenta a dos puertas, de las que el prisionero debe elegir una, y entrar en la habitacin correspondiente. Se informa al prisionero que en cada una de las habitaciones puede haber un tigre o una dama. Como es natural, el prisionero debe elegir la puerta que le lleva a la dama (entre otras cosas, para no ser devorado por el tigre). Para ayudarle, en cada puerta hay un letrero: Puerta 1: en esta habitacin hay una dama y en la otra un tigre. Puerta 2: en una de estas habitaciones hay una dama y en una de estas habitaciones hay un tigre. Sabiendo que uno de los carteles dice la verdad y el otro no, demostrar que la dama est en la segunda puerta. Solucin

Se tienen las siguientes afirmaciones:

P: Puerta 1 hay una dama

Q: Puerta 2 hay un tigre

R: Puerta 1 hay un tigre

S: Puerta 2 hay una dama

Segn nuestro problema se tiene lo siguiente:

R P

S Q

Definir las proposiciones (5 pts.)

En smbolos lgicos tenemos los siguientes mensajes en las puertas

Puerta 1: P Q

Puerta 2: ( ) ( )P Q P Q

Escribir en smbolos lgicos los mensajes de las puertas (5 pts.)

Si suponemos que la puerta 1 dice la verdad, se tiene que la Puerta 2 miente, es decir

( ) ( )P Q P Q es Falso o bien ( ) ( )P Q P Q es Verdadero, es decir

( ) ( ) ( ) ( )P Q P Q P Q P Q

( )P Q P Q

P Q P P Q Q

( ) ( ) ( )P P Q P Q P Q Q

Realizarlo por contradiccin (5 pts.) o utilizacin correcta de algn mtodo para resolver.

Una de estas opciones debe ser la correcta! Analizando lo que dice cada Disyuncin se tiene:

P P Puerta 1 no hay una dama y Puerta 1 hay una dama Contradiccin!

( )Q P Puerta 2 hay una dama y Puerta 1 hay una dama.Contradiccin!

( )Q P Puerta 2 hay un tigre y Puerta 1 hay un tigre.Contradiccin!

( )Q Q Puerta 2 hay un tigre y Puerta 2 no hay un tigre..Contradiccin!

Luego se tiene que suponiendo el cartel de la puerta 1 verdadero, llegamos a una contradiccin, por lo que se concluye que el cartel de la puerta 1 es falso. Por lo tanto ( )P Q es verdadero.

Es decir: ( )P Q es verdadero.

Para que sea verdadero basta que P sea verdadera o bien Q sea verdadera.

A qu conclusin llegamos?

Si P es verdadera entonces es verdadera, luego tras la puerta 1 hay un tigre, y por lo tanto tras la puerta 2 hay una dama.

Si Q es verdadera, entonces es verdad, por lo que tras la puerta 2 hay una dama y por lo tanto tras

la puerta 1 hay un tigre.

Luego en ambos casos: la dama se encuentra tras la Puerta 2

La conclusin (5 pts.)

Pregunta 4(10 puntos):

Saber que: p p q r s p es falso, es suficiente para saber el valor de verdad de: p q r s p Justifique su respuesta. Solucin: Si es suficiente pues:

: V :1) 2)

: F :

p p Fp p q r s p Falsa

p q r s p p q r s p V

5 puntos

Caso 1) nos lleva a que :p q r s p V (basta que una sea verdadera y lo es : Vp ) 3 puntos

Caso 2) nos lleva a que no se puede dar nunca porque :p q r s p F cuando :p F por lo tanto la proposicin inicial seria verdadera. Contradice la hiptesis. 2 puntos