Ch04- 1

4: UTILIDAD4: UTILIDAD

Ch04- 2

UTILIDAD COMO MEDIDA DEL BIENESTAR: LA ANTIGUA MANERA DE PENSAR

En tiempos antiguos, la utilidad fue pensada como una medida numérica del bienestar de las personas.

Dada esta idea, era natural pensar que los consumidores tomaban sus decisiones en dirección a maximizar su utilidad, es decir tratar de ser ellos mismos tan felices como pueda ser posible.

El problema es que los economistas clásicos no describieron nunca cómo se podría medir la utilidad.

¿Cuál es el significado de decir que una unidad adicional de caramelos nos brinda el doble de utilidad que una unidad adicional de zanahoria?

¿El concepto de utilidad tiene un significado intrínseco más allá de sostener que la gente maximiza la utilidad?

Ch04- 3

UTILIDAD COMO UNA FORMA DE DESCRIBIR LAS PREFERENCIAS DEL CONSUMIDOR: LA NUEVA MANERA DE PENSAR

Los economistas han abandonado ahora el antiguo punto de vista sobre la utilidad como la medida de bienestar.

En cambio la teoría del comportamiento del consumidor ha sido reformulada en términos de las preferencias del consumidor.

La utilidad, entonces, es vista sólo como una forma de describir las preferencias.

Toda la preocupación alrededor de la utilidad para la elección del consumidor se orienta a si una canasta tiene más utilidad que otra -- ¿cuánto? No tiene importancia.

Ch04- 4

ES DECIR, AHORA PENSAMOS LAS COSAS DE OTRA MANERA

En la antiguedad las preferencias fueron definidas en términos de utilidad.

Cuando decimos que la canasta (x1, x2) ha sido preferida a la canasta (y1, y2), esto realmente quiere decir que la canasta X tiene una utilidad mayor que la canasta Y.

Ahora la utilidad, simplemente es un medio para describir las preferencias.

Es decir, cuando decimos que la canasta X tiene una utilidad mayor que la canasta Y, realmente queremos decir que la canasta (x1, x2) es preferida a la canasta (y1, y2).

Ch04- 5

Las preferencias son lo fundamental.

La utilidad es vista como algo ficticio que contribuye con el propósito de describir lo que es fundamental: the preferences.: the preferences.: the preferences.

Ch04- 6

LA FUNCIÓN DE UTILIDAD

Es la manera mediante la que asignamos un número a cada canasta de consumo posible de tal manera que a las canastas más preferidas se le asigna números mayores.

(x1, x2) :>: (y1, y2) si y sólo si u(x1, x2) > u(y1, y2)

La única propiedad importante en este caso es cómo la función

de utilidad ordenaordena las canastas de bienes.

La magnitud de la función de utilidad es importante sólo porque ordena las diferentes canastas de bienes.

La magnitud de diferencia en la utilidad entre dos canastas de consumo no tiene ninguna importancia.

Ch04- 7

UTILIDAD ORDINAL

Debido al énfasis puesto en ordenar las canastas de bienes, este

tipo de utilidad es conocido como utilidad ordinal.

U1 U2 U3

A 3 17 -1

B 2 10 -2

C 1 0.002 -3

A es preferida a B y B es preferida a C.

Ch04- 8

U1 U2 U3

A 3 17 -1

B 2 10 -2

C 1 0.002 -3

A es preferido a B y B es preferido a C.

Como lo que importa es el ordenamientoordenamiento de las canastas de consumo, no tiene que existir una sola forma para asignar utilidad a las canastas.

Si podemos encontrar una forma para asignar números a las canastas de bienes, entonces podemos encontrar infinitas formas de hacerlo.

Basta con multiplicar la utilidad por cualquier número positivo.

Ch04- 9

TRANSFORMACIÓN MONOTÓNICA

sI u(x1, x2) representa una manera de asignar números a las canastas (x1, x2), entonces multiplicando u(x1, x2) por cualquier número positivo será otra forma tan buena como la anterior.

Cualquier transformación monotónica de u(x1, x2) es tan buena para asignar utilidades como u(x1, x2) .

Una transformación monotónicatransformación monotónica es la forma cómo transformamos un conjunto de números en otro que preserva el orden de estos números.

1, 2, 3, 4 3, 6, 9, 12

* 3

1, 4, 9, 16

** 2

Ch04- 10

GEOMÉTRICAMENTE HABLANDO

x2

x1

Geométricamente, la función de utilidad es la forma en que denominamos las curvas de indiferencia, de tal manera que las CI más altas tengan números mayores.

12

3

En otras palabras, una transformación monotónica redenomina las curvas de indiferencia, representando las mismas preferencias. 100

200300

Ch04- 11

CARDINAL

Existen algunas teorías que subrayan el significado de la magnitud de la

utilidad. Se conocen como teorías de la utilidad cardinal.

En una teoría de utilidad cardinal, se considera importante la magnitud de diferencia de utilidad entre dos canastas.

Pero ¿qué sucede si a una persona le gusta una canasta el doble que a otra?

¿Estará dispuesta a pagar el doble por ella?

Bueno, preferimos mantener el entorno de la utilidad ordinal.!

Ch04- 12

CONSTRUYENDO UNA FUNCIÓN DE UTILIDAD

Not all kinds of preferences can be represented by a utility No todas las preferencias pueden ser representadas por una función.

Supongamos alguien con preferencias no transitivas:

A :>: B :>: C :>: A Entonces la función de utilidad debe ser de tal manera que:

u(A) > u(B) > u(C) > u(A)

Dado un conjunto de preferencias ¿podemos encontrar una función de utilidad que ordena las canastas de acuerdo con las preferencias?

Esto es matemáticamente imposible!

Ch04- 13

CURVAS DE INDIFERENCIA A PARTIR DE FUNCIONES DE UTILIDAD

Si tenemos una función de utilidad, u(x1, x2), entonces es relativamente fácil graficar las curvas de indiferencia. Do you know how to do it?

Basta con graficar las combinaciones de (x1, x2) tales que u(x1, x2) sea igual a una constante.

Por ejemplo, encontremos veinte combinaciones de (x1, x2) que satisfagan u(x1, x2) = 10. Entonces empleamos estas 20 combinaciones para graficar la curva de indiferencia.

Por cada valor diferente de la constante, tendremos una curva de indiferencia diferente.

Ch04- 14

Supongamos que: u(x1, x2) = x1 x2

Sabemos que la curva de indiferencia típica es del tipo k = x1 x2 donde K es alguna constante.

Resolviendo parar x2 como función de x1 tenemos que la curva de indiferencia tiene la siguiente fórmula:

xk

x21

Si k = 1, e identificamos muchos pares de (x1, x2) que satisfagan la fórmula, entonces tendremos la primera curva de indiferencia.

Seguimos el mismo procedimiento para k = 2, 3, 4, …….

Ch04- 15

xk

x21

u x x x x k( , )1 2 1 2

x2

x1

k =1

k = 2

k = 3

Ch04- 16

Recordemos nuestra función de utilidad: u x x x x( , )1 2 1 2

Ahora supongamos esta otra función:

22

2121 ),( xxxxv

¿cómo son estas curvas de indiferencia?

Hagamos unos pequeños cambios algebraicos:

v x x x x x x u x x( , ) ( ) ( , )1 2 12

22

1 22

1 22

En consecuencia la función de utilidad v(x1, x2) es el cuadrado de la función de utilidad u(x1, x2).

v(x1, x2) es una transformación monotónica de u(x1, x2).

Ch04- 17

x2

x1

k =1

k = 2

k = 3

v x x x x( , )1 2 12

22

Una transformación monotónica es solo la redenominación de las mismas curvas de indiferencia

k =1

k = 4

k = 9

u x x x x( , )1 2 1 2

Ch04- 18

AHORA VEREMOS UNOS EJEMPLOS DE CÓMO ENCONTRAR

UNA FUNCIÓN DE UTILIDAD DADAS LAS CI

HEMOS APRENDIDO A GRAFICAR CI

DADA LA FUNCIÓN DE UTILIDAD

Ch04- 19

SUSTITUTOS PERFECTOS

En consecuencia resulta natural medir la utilidad mediante el total de lápices:

u(x1, x2) = x1 + x2

Por ciero, no es la única forma en que lo podemos hacer.

Por ejemplo, también podemos hacerlo empleando el cuadrado de la suma de los lápices:

v(x1, x2) = (x1 + x2)2 = x12 + 2x1x2 + x2

2

¿Recuerdan este ejemplo? Todo lo que le interesa al consumidor es el número total de lápices.

x2

x1

Ch04- 20

¿qué sucede si el consumidor quiere sustituir el bien 1 por el bien 2 a una tasa diferente de 1 a 1?

Digamos que el consumidor quiere dos lápices rojos para compensar el sacrificio de uno azul.

x2

x1

AZUL

ROJO

Esto significa que un lápiz azullápiz azul es el dobledoble de valioso para el consumidor que un lápiz rojo.

Entonces la función de utilidad toma la forma u(x1, x2) = 22x1 + 1x2

Ch04- 21Zapatos izquierdos

Zapatos derechos

1

1

2

2

COMPLEMENTOS PERFECTOS

El consumidor solo toma en cuenta el número de pares de zapatos que tiene.

En consecuencia es lógico escoger el número de pares como la función de utilidad.

Pero el número de pares completos de zapatos que el consumidor tiene es el mínimo número de zapatos derechos o izquierdos que tiene.

Entonces la función de utilidad para complementos perfectos adopta la forma : u(x1, x2) = mín{x1, x2}

Ch04- 22

Decimos que la función de utilidad para complementos perfectos adopta la forma: u(x1, x2) = min{x1, x2}

Si tenemos 10 pares: (x1, x2) = (10, 10).

La utilidad es 10. Es decir mín{10, 10} = 10

Ahora, si tuvieramos un zapato derecho adicional: (x1, x2) = (11, 10)

¿Cuál es ahora la utilidad?mín{11, 10} = 10

Zapatos izquierdos

Zapatos derechos

1

1

2

2

Ch04- 23

Recordemos que cualquier transformación monotónica trabaja igual

v(x1, x2) = 100 min{x1, x2}

¿Qué sucede en el caso que el consumidor consume los bienes en proporciones diferentes a 1 a 1?

u(x1, x2) = mín{x1, x2}

4 aceitunas por copa de pisco

Ch04- 24 x1 es el número de copas de pisco sour.

x2 es el número de aceitunas.

u(x1, x2) = min{x1, 4x2} ???

!No! El número correcto es: min{x1, 0.25x2} [ ó su transformación monotónica: mín{4x1, x2} ]

Si x1 = 1 y x2 = 4:

u(x1, x2) = mín{1, 0.25*4} = 1

Si x1 = 1 y x2 = 3: u(x1, x2) = mín{1, 0.25*3} = 0.75

Si x1 = 0.5 y x2 = 4:

u(x1, x2) = mín{0.5, 0.25*4} = 0.50

Ch04- 25

UTILIDAD MARGINAL

Un consumidor está consumiendo una cierta cantidad de canastas (x1, x2). ¿Cómo cambia su utilidad si le damos una unidad adicional del bien 1?

La tasa de cambio se conoce como la utilidad marginalla utilidad marginal respecto al bien 1.

11 xU

UMgU

210

11

xU

UMg2 manzanas más = 5= 5

Manteniendo constante x2!!!

Ch04- 26

1

21211

11

),(),(x

xxuxxxuxU

UMg

La función de utilidad y, en consecuencia, la función de utilidad marginal, no están determinadas de manera única.

Cualquier transformación monotónica de la función de utilidad nos deja con una función igualmente válida.

Así, si multiplicamos la utilidad por 2 la utilidad marginal es multiplicada por 2.

Así la utilidad marginal no depende de su solo comportamiento. Depende de la función de utilidad que empleamos para describir el comportamiento del consumidor.

¿cuál es la utilidad de la utilidad marginal?

Ch04- 27

UTILIDAD MARGINAL Y TMgS

La utilidad marginal se puede emplear para estimar la tasa marginal de sustitución que definimos en el capítulo 3.

Recordemos que la TMgS mide la pendiente de la curva de indiferencia en un punto, y se puede interpretar como la tasa a la cual el consumidor está dispuesto a sutituir el bien 2 por una unidad adicional del bien 1.

pequeñabienes

CImismalasobre

CIladependiente

xx

TMgS

1

2

Ch04- 28

Consideremos un cambio en el consumo de cada uno de los bienes de tal manera que la utilidad permanezca constante: u(x1, x2) = constante

( , ), x x1 2

02211 UxUMgxUMg

2

1

1

2

UMgUMg

xx

TMgS

Así las utilidades marginales se pueden emplear para estimar la tasa marginal de sustitución.