Ciclo de talleres divulgativos “Matemáticas en acción … · •Los “recortes” en el...
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Ciclo de talleres divulgativos “Matemáticas en acción 2009”
Departamento de Matemáticas, Estadística y ComputaciónAula de la Ciencia
Universidad de Cantabria
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Milagros Canga Villegas
. Profesora de Dibujo Técnico, Sistemas de Representación y DAO
Departamento de Ingeniería Geográfica y Técnicas de Expresión Gráfica
Escuela de Caminos, Canales y Puertos Universidad de Cantabria
Coordinadora de Dibujo Técnico para las pruebas de Selectividad
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Resumen: La solución gráfica puede ser, sobre todo en el ámbito de la ingeniería,
una forma útil y rápida de resolver un problema geométrico. En este taller vamos a plantear problemas geométricos sencillos, o no tan sencillos, y vamos estudiar distintas herramientas para resolverlos.
La geometría se puede estudiar desde muchos puntos de vista y todos ellos son importantes en la formación del técnico ó científico que deberá aprender a decidir cuál es el más adecuado para resolver un problema concreto.
Soluciones gráficasa problemas matemáticos
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Algunas Reflexiones Previas•Los alumno que llegan a la Universidad tienen deficiencias en geometría.
•¿Se da poca importancia en primaria y secundaria al estudio de la geometría clásica y sobre todo desde un punto de vista gráfico?
•A los alumnos les cuesta mucho plantear problemas y “ver” la solución
•Están acostumbrados a las “recetas”, necesitan soluciones con “protocolo”. Creen que todo lo resuelve una calculadora o un ordenador que la tecnología es la “solución”, no la “herramienta”, ….
•Los alumnos que no cursan los Dibujo Técnico en bachillerato tienen poca “cultura geométrica gráfica”
•¿En las asignaturas de matemáticas se “descuida” esta competencia?
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Algunas Reflexiones Previas
•Los nuevos retos derivados de la implantación del EEES nos llevan a buscar soluciones de aprendizaje. Debemos “enseñar a aprender”.
•La participación activa del estudiante en su formación es fundamental.
•Los “recortes” en el estudio del Dibujo Técnico y de los Sistemas de Representación clásicos en los nuevos planes de estudio de las ingenierías, pueden solventarse con el conocimiento del DAO, pero nos llevan la necesidad de conocer mejor la esencia de la geometría.
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Algunas Reflexiones Previas• Las soluciones gráficas hacen que los problemas entren por los
ojos. • Ayudan a “visualizar” el problema y su solución.• Los alumnos necesitan desarrollar su capacidad de visualización• El estudio de la geometría ayuda a aprender a pensar y a resolver
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¿De qué va este Taller?
Objetivo:Resolver problemas geométricos. Alguno de los cuales son los que habitualmente se encuentran los ingenieros.
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Intención:Ante todo, que este taller les resulte entretenido, y, si puede ser, útil
¿De qué va este Taller?
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Después de una repercusión mundial, la Academia nombró un ganador
y puso en su página Web la solución oficial.
David Brockley
El ganador
Un famoso problema de la selectividad china
http://www.rsc.org/AboutUs/News/PressReleases/2007/CompWinner.asp
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Solución oficialUn famoso problema de la selectividad china
http://www.rsc.org/images/Mathematicssolution_tcm18-86553.pdf
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Formas de plantear y solucionar un problema geométrico
22 BA
CpBypAxd
+
++=
Solución Matemática
Distancia de un punto P (xp,yp) a una recta Ax+By+C=0
Entornos de trabajo
Problema: Distancia de un punto a una recta
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Solución Gráfica
Problema: Distancia de un punto a una recta
Formas de plantear y solucionar un problema geométrico
Entornos de trabajo
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Solución Gráfica: DAO
Problema: Distancia de un punto a una recta
Formas de plantear y solucionar un problema geométrico
Entornos de trabajo
algoritmos matemáticos
Solución Matemáticadistinta
Geometría computacional
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Materiales
Herramientas
Las normales en Dibujo Técnico
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Materiales
Las que tenemos disponibles hoy para el taller
Lápiz, “regla” cuerda, papel, tiza.
Herramientas
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“Abstractas”
Problema geométrico
Lugares Geométricos
TransformacionesGeométricas
Herramientas
Proporcionalidad
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Metodología
1. Hacer un Croquis con todos los elementos del problema2. Completar el Croquis con el problema resuelto. Ver la solución3. Estudiar las relaciones entre las figuras geométricas. Observar la
geometría4. Buscar la manera de llegar a la solución utilizando las
herramientas abstractas conocidas.5. Elegimos la mejor herramienta material, en función de la eficacia
de las respuesta, a veces la mejor es la que tenemos a mano6. Resolvemos.
NO HAY RECETAS HAY QUE PENSAR
HAY QUE SABER JUSTIFICAR LA RESPUESTA
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Lugares Geométricos
• ¿Qué es un lugar Geométrico?
“Cuando una figura contiene todos los puntos que cumplen una determinada propiedad y recíprocamente sólo contiene puntos que la cumplen, se dice que es el lugar geométrico de dichos puntos” ...
Puig Adam, Curso de Geometría métrica. Fundamentos
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Taller (I)
¿QUÉ PODEMOS HACER CON LAS HERRAMIENTAS QUE TENEMOS?
1. Mediatriz de un segmento 2. Perpendicular a una recta por un punto dado3. Triángulo equilátero 4. Bisectriz de un ángulo5. Paralela a una recta por un punto dado6. Perpendicular a una recta por un punto de ella. Cuadrado7. Hexágono regular8. Rectángulo áureo
http://docentes.educacion.navarra.es/~msadaall/geogebra/reglaycompas.htm
http://www.geogebra.org/cms/
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http://docentes.educacion.navarra.es/~msadaall/geogebra/figuras/ryc_01mediatriz.htm
1. Mediatriz de un segmento
Taller (I)
GeoGebra es un software libre y de plataformas múltiples que se abre a la educación para interactuar dinámicamente con la matemática. Ha recibido numerosas menciones en Europa y USA dedicadas a los programas educativos
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2. Perpendicular a una recta por un punto dado
Taller (I)
http://docentes.educacion.navarra.es/~msadaall/geogebra/figuras/ryc_04perpendicular.htm
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3. Triángulo Equilátero
Taller (I)
http://docentes.educacion.navarra.es/~msadaall/geogebra/figuras/ryc_03triequilatero.htm
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4. Bisectriz de un ángulo
Taller (I)
http://docentes.educacion.navarra.es/~msadaall/geogebra/figuras/ryc_02bisectriz.htm
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5. Paralela a una recta por un punto dado
Taller (I)
http://docentes.educacion.navarra.es/~msadaall/geogebra/figuras/ryc_06paralela.htm
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6. Perpendicular a una recta por un punto de ella Cuadrado
Taller (I)
http://docentes.educacion.navarra.es/~msadaall/geogebra/figuras/ryc_05cuadrado.htm
http://docentes.educacion.navarra.es/~msadaall/geogebra/figuras/ryc_05cuadrado2.htm
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http://docentes.educacion.navarra.es/~msadaall/geogebra/figuras/ryc_07hexagono.htm
7. Hexágono regular
Taller (I)
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http://docentes.educacion.navarra.es/~msadaall/geogebra/figuras/ryc_07hexagono.htm
8. Rectángulo áureo
Taller (I)
Los griegos lo consideraban de particular belleza y lo utilizaron asiduamente en su arquitectura. A la mayoría de las personas les parece más agradable a la vista un rectángulo con esas proporciones entre sus lados
http://rt000z8y.eresmas.net/El%20numero%20de%20oro.htm
ABABBG Φ=+=
=+=Φ
251
..618034,12
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Dados dos puntos, trazar por ellos dos paralelas de que disten una magnitud m
Algunos problemas sencillos
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Dividir un triángulo en tres partes equivalentes (igual área), utilizando rectas que concurran en un vértice.
Algunos problemas sencillos
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Dividir un triángulo en tres partes equivalente (igual área), utilizando rectas que saliendo de los vértices concurran en un punto interior
Algunos problemas sencillos
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Tres circunferencias tangentes con centros en los vértices de un triángulo dado
Y no tan sencillos
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Los problemas de tangencia los resuelve muy fácilmente una aplicación DAO
Problemas de trazado
Y no tan sencillos
ESA ES LA MEJOR HERREMIENTA
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LA ELIPSE
Hay muchas más formas de definirla:
Otros lugares GeométricosLas cónicas
http://es.wikipedia.org/wiki/Elipse
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En la figura 5 se han representado dos circunferencias de radios 8.5 y3 cm respectivamente, cuyos centros se encuentran a 3.5 cm de distancia. Se pide:1. Definir de manera justificada cuál es el lugar geométrico de los centros
de las circunferencias que son tangentes a las dos dadas. Se incluirá una breve explicación en la parte posterior de la hoja en la que se resuelva el ejercicio.
2. Caracterizar los puntos notables de este lugar geométrico.3. Dibujar el lugar geométrico descrito.
Un problema de la Olimpiada de Dibujo Técnico 2009
OTRA FORMA DE DEFINIR LA ELIPSE
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Un problema de la Olimpiada de Dibujo Técnico 2009
OTRA FORMA DE DEFINIR LA ELIPSE
¿Qué pasa si C2 está fuera de C1?
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Transformaciones Geométricas
Problema
Solución Transformada
Problema conocido SoluciónTransformación Transformación
Inversa
Proceso de resolución de problemas mediante transformaciones geométricas
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Transformaciones Geométricas Planas
Clasificación según las propiedades que se conservanLo que las hace útiles
http://www.angelfire.com/ma4/g_transform/
Isométricas: Conservan la forma: dimensiones y ángulos. “Movimientos”
Traslación Giro
Simetría centralSimetría axial
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Problema 1: El río, las dos casas y el puente
Se quiere construir un camino entre dos casas separadas por un río. Sabiendo que el puente debe cruzar el río perpendicularmente.¿Dónde se debe colocar para que la longitud del camino sea la menor posible?
Traslación
Transformaciones Geométricas Planas
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Problema 2: Examen de selectividad Junio 2009
Dados dos puntos A y D del plano separados 90 mm,Se pide:Dibujar una poligonal ABCD compuesta por tres tramos, cada uno de
ellos de longitud 40 mm, de forma que el tramo central sea paralelo a una dirección que forma 30º con el segmento AD.
Notas:1. Se dibujarán todas las soluciones posibles.2. Se justificará brevemente el procedimiento empleado.
Traslación
Transformaciones Geométricas Planas
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Transformaciones Geométricas Planas
Giro
¿Siempre tiene solución el problema?
Problema:Obtener el lado de un triangulo equilátero que tenga cada uno de sus
vértices en tres circunferencias concéntricas dadas.
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Problema: OLIMPIADA DIBUJO TÉCNICO 2007.
El rectángulo de la figura representa una mesa de billar americano a escala 1/30.
La última bola (bola 8) se encuentra justo en el centro del tablero. El jugador al que le toca tirar quiere lucirse, él sabrá porqué, y decide que va a hacerlo a tres bandas, esto es, la bola tocará tres bandas antes de colarse en uno cualquiera de los cuatro agujeros de las esquinas, y además lo hará con el recorrido más largo posible.
Se pide:- Dibujar la trayectoria que describe la bola y calcular la longitud en
metros de la misma.
Transformaciones Geométricas Planas
Simetría Axial
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Transformaciones Geométricas PlanasTransformaciones Geométricas Planas
Simetría Axial
Longitud: 5.02 m
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Transformaciones Geométricas PlanasTransformaciones Geométricas Planas
Simetría Axial
Longitud 6.35 m
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Clasificación según las propiedades que se conservanLo que las hace útiles
Homotecia
http://www.angelfire.com/ma4/g_transform/
Transformaciones Geométricas Planas
Isomórficas: Conservan los ángulos y las proporciones.
Se dice que dos puntos B y B' son homotéticos respecto a un centro de homotecia O y con una razón de homotecia k, cuando O, B y B’ están alineados y se cumple que: OB' /OB = k.
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Problema de ingeniería 2D
La ampliación de la red de saneamiento de una gran ciudad ha obligado al Servicio Municipal de Aguas a la construcción de una galería de hormigón de sección semicircular (φ1 m) en cuyo interior se alojarán las nuevas tuberías. El estudio inicial impone al ingeniero proyectista las siguientes restricciones:
• En el interior de la galería se han de disponer dos tuberías del mayor diámetro posible.
• La sección de la mayor ha de ser el doble que la de la menor.• Por condiciones de diseño las tuberías han de quedar apoyadas en el
piso de la galería (ver croquis adjunto)Se pide:
Obtener gráficamente los diámetros de las tuberías.
Homotecia
Transformaciones Geométricas Planas
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Planteamiento analítico del problema
βγβγβγαβγα
βββ
γγγ
coscos)cos(cos)(18050
1cos50
25021cos
250222
250502
5050
2
2
−=+−=→+−=
−−=→
−==→=
−−=→
−==→=
−=→=+
−=→=+
sensenR
RR
RxRsenxsenR
RR
RR
yRsenysenR
RyRy
RxRx
Según el teorema del coseno
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
−−
−−−
−
−−−−−+−=+
−−−−+−=+
22222
222
501
25021
502502250502250502
cos250502250502
RR
RR
RR
RRRRRRRR
RRRRRR α
R
R 2
XY
Transformaciones Geométricas PlanasTransformaciones Geométricas Planas
68
Ø33.57Ø47.47
cotas en cm.100.00
Planteamiento gráfico del problema
Transformaciones Geométricas Planas
Homotecia
R1R2
100
R1R2
T
T
R2
R1
R1R2
R1R2
122 RR =
R2 cualquier valor
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Clasificación según las propiedades que se conservanLo que las hace útiles
http://ocw.upm.es/expresion-grafica-en-la-ingenieria/geometria-metrica-mediante-construcciones-dinamicashttp://debin.etsin.upm.es/~geometria/OCW_06.html
La inversión
Transformaciones Geométricas Planas
Anamórficas: Transformación conforme. Cambian la forma.
Conservan el valor absoluto de los ángulos.Se dice que dos puntos P y P' son inversos respecto a un centro de inversión O y una razón de inversión k, cuando O, B y B’ están alineados si se cumple que: OP' • OP = k.
71http://debin.etsin.upm.es/~geometria/OCW_06.html
La inversión es una transformación geométrica muy interesante que nos ayuda a resolver problemas que no se había resuelto hasta que Jacob Steiner lo hizo en 1830:
•Engranajes (Problemas de Apolonio)•Inverso de nº complejo
La inversión
Transformaciones Geométricas Planas
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R1R2
T
T
Planteamiento gráfico
Homotecia
Inversión
Transformaciones Geométricas Planas
T
T
O
CIR.AUT
T
T
90°
O
CIR.AUT
R1R2
100
Ø33.57Ø47.47
cotas en cm.100.00
R2
R1
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R1R2
T
T
Ø33.57Ø47.47
cotas en cm.100.00
Planteamiento gráfico del problema
Transformaciones Geométricas Planas
R2
R1
T
TO
CIR.AUT
T
TO
CIR.AUT
R1R2
100
Homotecia
Inversión
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Problema: Tubería 3d
Tres tramos de una tubería 200 mm de diámetro se disponen de la siguiente forma:
• El primer tramo, de 50 cm, pertenece a una tubería cuyo eje se sitúa en una recta que pasa por los puntos A y B
• El segundo tramo es perpendicular al primero• El tercer tramo, de 50 cm, es perpendicular al segundo y su eje se
encuentra sobre la recta definida por los puntos C y D.
A (20, 45, 120) B (-50, 30, 40) C (0, 120,10) D (75, 90, 55)
Cotas en cm.
Problema de ingeniería 3D
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Problema de ingeniería 3DProblema geométrico implícito:
Mínima distancia entre dos recta o perpendicular común
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Un planteamiento analítico
Problema de ingeniería 3DProblema de ingeniería 3DMínima distancia entre dos recta o perpendicular común
Autor:Máximo Anzola, José Caruncho, G. Pérez-Canales.
Título: Problemas de álgebra
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La Geometría exige “ver” el problema resuelto para poder encontrar el mejor camino que lleve a la solución.
Los intentos “a ciegas” están condenados al fracaso
La expresión gráfica nos puede ayudar a “ver” la solución, dede un simple croquis hasta la representación gráfica más sofisticada
Espero haber generado alguna inquietud y despertado la curiosidad por la geometría gráfica
Conclusiones
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Geometría constituye no sólo una ciencia, sino una forma de pensar e incluso una escuela de vida. La resolución de cualquier problema exige un análisis de las diferentes opciones y la elección de la mejor solución. Esto se debiera aplicar en todas las circunstancias de la vida
La Academia de Platón, según Rafael Sanzio (Museos Vaticanos)
“Nadie entre aquí sin saber Geometría”
Conclusiones
En el frontispicio de la Academia fundada por Platón estaba inscrito el famoso lema:
Por algo sería.