Variables del movimiento. Velocidad. Aceleración

1 - Las coordenadas cartesianas de un punto material varían con el tiempo según las siguientes relacionesx = 4t - 5 y = t2 - 2t z = 5t - 1. Calcular el vector posición para t = 3 sSol: r (3) = 7 i + 3 j + 14 k m

2 - Las ecuaciones del movimiento de un objeto son:x (t) = 2t2 + 1 y (t) = 3t z (t) = tDeterminar:a) El vector posición en el instante t = 3sb) El vector posición en el instante t = 6sc) La velocidad media entre ambos instantesd) La velocidad inicial y la velocidad en el instante t = 5sSol: a) r (3) = (19 i + 9 j + 3 k) m b) r (6) = (73 i + 18 j + 6 k) m c) vm 18 i + 3 j + k m/sd) v (0) = 3 j + k m/s v (5) = 20 j + 3 j + k m/s

3 - El movimiento de un objeto es rectilíneo uniforme. Su ecuación de movimiento es r = (3 + 2t) i mDeterminar:a) La posición inicialb) La velocidadc) La distancia recorrida transcurridos 5s. Sol: a) r (0) = 3 i m b) v = 2 i m/s c) 10 m

4 - El movimiento de un objeto viene dado por la ecuación r = 3 i + 2 t j + t k ¿se trata de un MRU? Sol: Verdadero

5 - ¿Que es la celeridad?

6 - ¿Es posible que un móvil parta del reposo con movimiento uniforme?

7 - Si la trayectoria de un móvil es una recta, la aceleración es a = tudtdv

¿por que?

8 - Las coordenadas de un punto material están expresadas por r = (t2 - 2t) i - (2t + 5) j + (5t - 2) kHallar las componentes de la velocidad y su modulo a los 2s.Sol: vx = 2 t – 2 m/s vy = - 2 m/s v z = 5 m/s v = 5,74 m/s

9 - Determina la velocidad instantánea que corresponde a cada uno de los siguientes movimientos:a) r = ( 2 – t2) i + t j + kb) r = 10 i + j + kc) r = t3 jSol: a) v = -2 t i + j m/s b) v = 0 m/s c) v = 3 t2 j m/s

10 - La posición de un objeto, medido sobre su trayectoria viene dada por la ecuación s = 10 + 2t - 5t2

Calcula el modulo de la velocidad en el instante t = 5s Sol: v = 48 m/s

11 - Las coordenadas de un punto móvil están expresadas porx = 5t2 - 4t y = 2t2 + 5 z = t3 - 1Hallar el vector velocidad y aceleración, determina sus módulos respectivos a los 5sSol: v = (10 t - 4) i + (4 t ) j + 3 t2 k v = 90,23 m/s a = 10 t i + 4 j + 6 t k a = 31,87 m/s2

12 - Dadas las ecuaciones que definen un movimiento curvilíneox = 2 - t y = t 2 – 3 hallar para t = 2sa) Velocidad y sus componentesb) La aceleraciónc) La ecuación de la trayectoriaSol: a) v (2) = – i + 4 j m/s b) a = 2 j m/s2 c) y = x2 – 4 x + 1

13 - Un cuerpo se mueve sobre un plano. Las componentes de la velocidad vienen dadas por las ecuacionesvx = t 2 - 5 vy = 4a) Determina la aceleración media entre los instantes t = 3 y t = 5sb) Aceleración en cualquier instante y su moduloc) El modulo de la aceleración tangencial y el de la normalSol: a) am = 8 i m/s2 b) a = 2 t i m/s2 a = 2 t m/s2

c) at = ( )

( ) 222

2

45

52

+−

−

t

tt m/s2 an =

16)5(

822 +−tt

14 - ¿Que tipo de movimiento es aquel al que corresponde una ecuación de movimiento que solo tenga términos en t? ¿Y si la ecuación de movimiento solo tiene términos en t2?

15 - Un objeto se desplaza a lo largo del eje X según la ecuación x = t2 - 2t + 5 donde x se expresa en metros, t en segundos. Determina:a) El vector posición en cualquier instanteb) La posición inicialc) La aceleración en cualquier instanted) La aceleración tangencialSol: a) r = (t2 – 2 t + 5) i m b) r (0) = 5 i m c) a = 2 i m/s2 d) at = 2 i m/s2

16 - La ecuación de un objeto viene dada por r = 5t i + (6 - 4t2) jCalcular:a) La ecuación de su trayectoriab) El modulo de la velocidad en el instante t = 2sc) La aceleración en cualquier instante, así como los módulos de las aceleraciones tangencial y normal

Sol: a ) y = 6 – 4 25

2x b) v = 16,76 m/s c) a = - 8 j m/s2 at = 26425

64

tt

+ an = 26425

40

t+

17 - En un plano referido a los ejes cartesianos X e Y, un móvil M se desplaza siguiendo una trayectoria cuyas coordenadas son función del tiempo y valen: x = 3t y = - t2 + 4t. Hallar:a) La trayectoria descrita, la velocidad y la aceleración del movimiento.b) El modulo de la velocidad media desde el instante inicial hasta los 3s de iniciado el movimientoc) El radio de curvatura de la trayectoria en el punto alcanzado por el móvil a los 2s

Sol: a) y = -3

49

2 xx + b) v = 3,16 m/s c) 4,5 m

18 - La posición de una partícula móvil está dada por las tres componentes cartesianas que se indican, que a su vez son función del tiempo:x = 4t2 - 1 y = 2t3 - 3t2 + 2 z = 4t + 3Hallar:a) El vector velocidad, así como su modulo para t = 1sb) El vector aceleración y su modulo para el mismo tiempoc) El valor de la aceleración tangencial para t = 1sSol: a) v = 8,94 m/s b) a = 10 m/s2 c) at = 7,16 m/s2

19 - Un móvil recorre una trayectoria circular de 20 m de radio, con un movimiento dado por la ecuación e = 4t2 - 5t + 1 en unidades del sistema internacional. Hallar el modulo de la velocidad y las componentes tangencial y normal de la aceleración, así como la aceleración del movimiento, para el instante t = 4sSol: v = 27 m/s; at = 8 m/s2 ; an = 36,45 m/s2 ; a = 37,32 m/s2

20 - Un móvil recorre una circunferencia de 8 m de radio con un movimiento que viene dado por la ecuación e = 4t2 - 5t + 2 expresado el espacio en m. Hallar la aceleración y sus componentes intrínsecas para t = 1sSol: at = 8 m/s2 ; an = 1,125 m/s2 ; a = 8,08 m/s2

21 - Las posiciones que ocupa un móvil en su movimiento vienen dadas por las siguientes ecuaciones ( x e y en m) (t en s)x = t2 + 2t - 5 y = t + 1 z = t3 + 2t. Hallar para t = 2sa) Posición del móvilb) Modulo de la velocidadc) Aceleraciónd) Aceleración tangencial y normale) El radio de curvaturaSol: a) r (2) = 12,72 m b) v = 15,26 m/s c) a = 12,16 m/s2 d) at = 11,8 m/s2 ; an = 3 m/s2 ; R = 77,6 m

22 - El vector posición de una partícula es r = t3 i + 2t j + k Calcular:a) Velocidad media entre los 2 y 5 sb) Velocidad en cualquier instantec) Velocidad para t = 0d) Aceleración en cualquier instantee) Aceleración tangencial en cualquier instantef) Aceleración normal en cualquier instanteg) v, a, at, an y R para t = 1 s

Sol: a) vm = 39 i + 2 j m/s b) v = 3 t2 i + 2j m/s c) v (0) = 2 j m/s d) a = 6 t i m/s2 e) at = 49

184

3

+tt

f) a n = 49

124 +t

g) R = 3,9 m

Movimientos rectilíneos

1 -Un móvil necesita 40 s para alcanzar una velocidad de 90 Km/h partiendo del reposo. Calcular: a) La aceleración b) El espacio que recorre en un minuto en las condiciones dadas si una vez alcanzada esa velocidad la mantiene después invariable. (a = 0,625 m/s2; Stotal = 1000 m)

2- Un auto marcha a una velocidad de 100 Km/h y el conductor ve a un niño en la carretera a 20 m delante de su coche. Sus frenos producen una deceleración de 24 m / s2 ¿Parará a tiempo? Sol: s = 16,06 m

3 - Un cuerpo tiene la aceleración de - 2 cm/s2 y queda en reposo al cabo de 30 s ¿cual es su velocidad inicial y el camino recorrido? (60 cm/s; 900 cm) 4 - Un tren eléctrico se pone en marcha y realiza el siguiente movimiento:a) Acelera a 1,5 m/s2 durante 10 s.b) Acelera a 2,5 m/s2 durante 20 s.c) Mantiene Cte. durante 90 s la velocidad que ha alcanzado.d) Frena hasta detenerse en 30 s.e) Dibuja el gráfico ( v - t ) de dicho movimiento.f) Calcula la distancia total recorrida por el tren eléctrico. Sol: f) 7730 m

5- Un móvil con movimiento uniformemente acelerado tarda 5 s en recorrer 50 m que separan 2 puntos A y B . Si al pasar por el punto B lleva de velocidad 15 m/s . Calcular:a) La aceleración del movimiento.b) La distancia que hay de A al punto de partida.c) La velocidad que tiene el móvil en el punto medio de AB .Sol: a) 2 m/s2; b) 6,25 m

6 - Un avión recorre 1200 m a lo largo de la pista antes de detenerse al aterrizar. Suponiendo que la deceleración es Cte. Calcular:a) La deceleración en la pista si aterriza a 100 Km/hb) El tiempo que tarda en pararse desde que aterrizó c) El espacio que recorre en los 10 primeros segundos. Sol: a) - 0,31 m/s2 b) 86,64 s c) 263,47 m

7 - La ecuación de un movimiento rectilíneo es s = t3 - 27 t ¿en que momento es nula su velocidad? Sol: 3 s

8 - Un tren, cuya velocidad en el momento de frenar es de 75 Km/h, logra pararse en 10 s ¿Que aceleración negativa media ha tenido durante ese tiempo? ¿Que distancia ha recorrido? Sol: - 2,083 m/s2; 104 m

9 - Un coche que marcha a 36 Km/h se para en 3 s por la acción de los frenos.a) ¿Cuanto vale la aceleración negativa?b) ¿Cual es el espacio recorrido por el coche en ese tiempo? Sol: a) - 3,33 m/s2 b) 15 m

10 - Sabiendo que el espacio recorrido por un móvil viene dado por la ecuación s = 3t2 + 2t - 5, calcular el espacio recorrido, velocidad y aceleración que posee al cabo de 5 s Sol : 80 m ; 32 m/s; 6 m/s2

11 - Un aeroplano realiza un recorrido de 600 m para despegar de un campo de aterrizaje. Si parte del reposo y se mueve con aceleración constante de 30 m/s2 ¿cual será su velocidad en el momento del despegue? Sol: 189,73 m/s

12 - Un observador en reposo ve acercarse un coche A por su derecha a 50 km/h. Un segundo coche B intenta adelantar al primero circulando a 60 km/h. Por la izquierda circula un tercer automóvil C que se acerca a 40 km/h ¿ Con que velocidad dirá A que le adelanta B?¿ Con que velocidad dirá A que se acerca C? ¿Con que velocidad dirá B que se acerca C? ¿Con que velocidad se acerca el observador para el conductor del vehículo C?

13 - Representa gráficamente el movimiento de un coche que partiendo del reposo, acelera constantemente hasta alcanzar la velocidad e 60 km/h en 10 s; mantiene esta velocidad durante 0,2 km, se detiene en 5 s, permanece parado en un semáforo durante 20 s, y vuelve a arrancar hasta alcanzar la velocidad de 60 km/h en otros 10 s, velocidad que mantiene Cte en el resto del recorrido. Representar (a – t) (v – t) (s – t)

14- a) Un móvil lleva una velocidad de 25 m/s durante 5 sb) A partir de ese instante aumenta su velocidad hasta alcanzar una velocidad de 60 m/s, recorriendo 300 mc) Mantiene esa velocidad durante 20 sd) A continuación frena hasta detenerse en 10 se) A continuación se pone en marcha hasta alcanzar una velocidad de 100 m/s en 30 s

Caída

1- Se lanza verticalmente hacia arriba un cuerpo con velocidad inicial de 50 m/s. Calcular:a) Altura máxima alcanzadab) Tiempo que tarda en alcanzar esa alturac) Velocidad que tiene al caer al suelo y tiempo que tarda en caer. (No se considera la resistencia del aire) Sol: a) h = 127,55 m; b) t = 5,1 s; c) v = 49,98 m/s

2- ¿Con que velocidad llegará un cuerpo a la tierra, si cae libremente desde una altura h? Sol: (v = gh2 )

3- Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 100 m/s.¿ Que altura alcanzará? Sol: 510,20 m

4- Desde un punto situado a 10 m sobre el suelo , se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad de 19,6 m/s ¿Que altura alcanzará y que tiempo total pasará hasta volver al suelo ? (g = 9,8 m/s2) Sol: 29,6 m; 4,45 s

5 - Prescindiendo del roce con el aire , deducir:a) Que el cuerpo lanzado verticalmente tarda el mismo tiempo en subir a la altura h , que en caer libremente desde esa misma altura.b) Que al llegar al suelo posee la misma velocidad que con la que se ha lanzado.

6- Se deja caer una pelota desde la cornisa de un tejado y tarda 0,3 s en pasar por delante de un ventanal de 3 m de alto. Calcular: a) La distancia que hay de la cornisa al marco superior del ventanalb) La velocidad que tiene en ese momentoc) La velocidad que lleva cuando pasa por el marco inferior del ventanal. ( g = 9,8 ). Sol: a) h = 3,71 m); b) v0 = 8,53 m/s; c) v =11,47 m/s

7- Se deja caer una piedra desde 20 m de alto. Calcular la distancia que hay hasta el suelo desde el punto en el cual la velocidad de la piedra es la mitad de la que tiene al llegar al suelo. (g = 9,8) Sol: 14,98 m 8- Desde un ascensor que sube con velocidad Cte. de 2 m/s, a 15 m de distancia del suelo se suelta una piedra. Calcular:a) El tiempo que tarda la piedra en llegar al suelob) La velocidad que tiene en ese momento Sol: a) 1,96 s; b) 17,26 m/s

9- Desde la azotea de un rascacielos de 120 m de altura se lanza hacia arriba una piedra con velocidad de 5 m/s. Calcular a) tiempo que tarda en llegar al suelo b) la velocidad que tiene en ese momento. Sol: a) 4,92 s; b) 49,2 m/s

10- Desde la azotea de un rascacielos de 120 m de altura se lanza hacia abajo una piedra con velocidad de 5 m/s Calcular:a) Tiempo que tarda en llegar al suelob) La velocidad que tiene en ese momento Sol: a) 4 s; b) 49 m/s

11- Se dispara un proyectil hacia arriba y vuelve al punto de partida al cabo de 10 s. Hallar la velocidad inicial y la altura alcanzada. Sol: 125 m; 50 m/s

12 - Desde lo alto de un edificio se deja caer una piedra y se observa que tarda 4 s en llegar al suelo. Determinar: a) la altura del edificio b) velocidad con que llega al suelo Sol: a) 78,4 m; b) 39,2 m/s

13 – Se deja caer un objeto desde un puente de 50 m de altura sobre el agua de un río. Calcular: a) ¿Con que velocidad llega al agua? b) ¿Qué tiempo emplea en caer? Sol: a) 31,3 m/s b) 3,2 s

14– Hallar el tiempo que tarda en llegar al suelo un objeto que se dejó caer desde 20 m de altura y la velocidad con que llega al suelo Sol: 2 s; 19,6 m/s

15 – Se lanza verticalmente hacia abajo desde cierta altura, una piedra con la velocidad inicial de 6 m/s y tarda 2 s en llegar al suelo. Calcular: a) la altura desde la cual fue lanzada b) la velocidad con que llega al suelo c) espacio que recorre en cada segundo de caída. Sol: a) 31,6 m b) 25,6 m/s c) 10,9 m y 20,7 m

16– Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba y se eleva a una altura de 20 m ¿Con que velocidad se lanzó? Sol: 19,8 m/s

17 – Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba con velocidad inicial de 45 m/s. Después de 3 s: a) ¿A que altura se encuentra? b) ¿A que velocidad se está moviendo? Sol: a) 90,9 m b) 15,6 m/s

18 – Un cañón dispara verticalmente hacia arriba un proyectil con velocidad inicial de 500 m/s. Determinar: a) altura máxima que alcanzará b) tiempo que emplea en ello c) velocidad que tiene a los 10 s d) la posición en que se encontrará cuando su velocidad sea de 300 m/s. Sol: a) 12755 m b) 51 s c) 402 m/s d) 8163,3 m

19 – A los 5 s de lanzado verticalmente hacia arriba un cuerpo está a 200 m de altura. Hallar: a) con que velocidad fue lanzado b) que altura máxima alcanzará c) que tiempo tardará en llegar al suelo. Sol: a) 64,5 m b) 212,3 m c) 6,6 s

20 - Se deja caer una piedra desde 50 m de altura ¿cuál será su posición y la distancia recorrida a los 3 s de haberla soltado? ¿Qué velocidad posee en ese instante? ¿Cuánto tarda en llegar al suelo? ¿Con que velocidad llega? Sol: Posición respecto del suelo 5 m; v = 30 m/s; tiempo en llegar al suelo 3,16 s; velocidad de llegada 31,6 m/s

21 - Se lanza verticalmente hacia arriba un cuerpo con una velocidad de 30 m/s. Determinar:a) Posición que ocupa y velocidad al cabo de 1 s b) Altura máxima que alcanza y el tiempo empleado c) Velocidad cuando llega al suelo y tiempo total empleado Sol: a) 25 m, 20 s ; b) 45 m, 3 s; c) 30 m/s. 6 s

22 - Hallar la profundidad de un pozo en el que al dejar caer una piedra, el ruido que produce al chocar contra el fondo tarda en oírse 3 s. La velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s Sol: 64 m

23 -Demuestra que si se deja caer un objeto desde cierta altura con velocidad inicial, la velocidad en cualquier punto viene dada por la expresión v2 = 2

0v +2 g h .Siendo h la distancia recorrida en la caída.

24 -Desde lo alto de una torre se dejan caer dos piedras, la segunda 0,1 s después de la primera. ¿Al cabo de cuanto tiempo la separación de las piedras ser de 1 m.? ¿Que espacio habrán recorrido entonces cada una de las piedras y que velocidad llevaran? Sol: t = 1,07 s; s1 = 5,61 m; v1 = 10,486 m/s; s2 = 4,61 m ; v2 = 9,506 m/s

25 -Una piedra que cae libremente pasa a las 10h frente a un observador situado a 300 m sobre el suelo, a las 10h 2s pasa frente a otro observador que esta 200 m sobre el suelo.Calcular: a) La altura de la que cae la piedra. b) El momento en que llega al suelo contando desde que empezó a caer. c) Velocidad con que llega al suelo. (g =9,8 m/s²) Sol: a) 382,22 m; b) 8,83 s; c) 86,55 m/s

26 -Desde lo alto de una torre se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con velocidad inicial de 15 m/s. La piedra llega a una determinada altura y cae por la parte exterior de la torre. Tomando como origen de coordenadas el punto de lanzamiento. Calcular:a) La posición y velocidad de la piedra al cabo de 1 y 4 s después de ser lanzada. b) La velocidad cuando se encuentra a 8m por encima del punto de partida y cuando pasa, al caer, por el punto de partida. c) El tiempo que transcurre desde que se lanzó la piedra hasta que vuelve a pasar por el punto de lanzamiento Sol: a) 10 m; 5 m/s b) – 8 m/s y 8 m/s c) 3s

27 -Lanzamos una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s desde lo alto de un edificio de 10 m de altura. Al mismo tiempo, desde el suelo se lanza otra piedra, también hacia arriba, con una velocidad de 30 m/s. Determina el punto y el momento en que se cruzan. Sol: t = 1 s; 25 m del suelo

28 -Un globo asciende con velocidad constante de 5m/s. Cuando se encuentra a 200 m de altura, se deja caer lastre. Despreciando rozamientos, determina:a) El tiempo que emplea el lastre en llegar al suelo.b) La velocidad con que llega al suelo. Sol: a) 6,34 s b) 63,4 m/s

29 - Un paracaidista, después de saltar de un avión desciende 50 m sin rozamiento del aire. Cuando se abre el paracaídas se retarda su caída 2 m/s2, alcanzando el suelo con una rapidez de 3 m/sa) ¿Cuanto tiempo esta el paracaidista en el aire?b) ¿Desde que altura salto del avión? Sol: a) 14,15 s b) 292,68 m

30 - Una pelota se lanza desde el suelo hacia arriba. En 1s llega hasta una altura de 25 m ¿Cuál será la máxima altura alcanzada? Sol: 45,6 m

31 -Un malabarista actúa en una habitación cuyo techo se encuentra a 2,70 m encima de la altura de las manos. Lanza verticalmente hacia arriba una pelota de modo que alcance justamente el techo.a) ¿Con que velocidad inicial lanzó la pelota?b) ¿Cuanto tiempo tardó la pelota en alcanzar el techo?En el instante en que la primera pelota alcanzaba el techo lanzó hacia arriba una segunda pelota con la misma velocidad inicial.c) ¿Al cabo de cuanto tiempo después de lanzar la segunda pelota se cruzan ambas pelotas?d) Cuando las pelotas se cruzan ¿A que distancia se encuentran por encima de las manos del malabarista?Sol: a) 7,27 m/s b) 0,74 s c) 0,37 s d) 2,02 m

Tiro oblicuo

1 - Se dispara un proyectil con velocidad de 200 m/s formando un ángulo de 30º con la horizontal. Se pide:a) Componentes rectangulares de la velocidad en el instante de salidab) Tiempo que tarda en alcanzar la altura máximac) Altura máximad) Alcance Sol: a) v0x = 100 3 m/s v0y = 100 m/s b) 10 s c) 500 m d) 3464,1 m

2 - Se dispara un proyectil con una inclinación de 30º y una velocidad de 1000 m/s: Hallar:a) Velocidad horizontal y vertical a los 5 s de iniciado el movimientob) Altura máximac) Alcance máximod) Tiempo en alcanzar el máximo alcance y la máxima alturaSol: vx = 500 3 m/s vy = 450 m/s b) 12755 m c) 88200 m d) 100 s y 50 s

3 - Se dispara un cañón con un ángulo de 30º y una velocidad de 500 m/s. Calcular:a) Modulo de la velocidad a los 3 sb) Coordenadas de posición del móvil a los 3 sc) Altura máximad) AlcanceSol: a) 485 m/s b) (750 3 , 705) c) 3125 m d) 21650,6 m

4 - Al sacar de puerta, el portero de un equipo de fútbol le imprime al balón una velocidad de 20 m/s, siendo la inclinación con que sale la pelota de 39º. Despreciando rozamientos:a) Tiempo durante el cual el balón esta en el aireb) El alcance del lanzamientoc) Altura máxima que alcanza el balón en la trayectoriad) El modulo de la velocidad con que el balón llega al sueloSol: a) 2 s b) 34,6 m c) 5 m d) 20 m/s

5 - Se lanza un proyectil con una velocidad de 50 m/s formando un ángulo de 30º con la horizontala) Tiempo de vuelob) Altura máximac) Alcanced) Ecuación de la trayectoria

Sol: a) 5 s b) 31,25 m c) 43,3 m d) y = 3750

.3

2xgx −

6 – Un portero de futbol, impulsa el balón con una velocidad de 25 m/s y un ángulo de 30 º. Calcula:a) Distancia a la que bota desde el punto de lanzamientob) Altura máxima que alcanza sobre el céspedc) Ecuación de la trayectoriad) Velocidad con la que bota en el sueloe) Angulo con el que debe lanzar el portero para que el alcance sea máximo

Sol: a) 54,51 m b) 7,97 m c) y = 1875

..23

2xgx − d) 25 m/s

Tiro horizontal

1- Desde un avión que vuela horizontalmente a 2 km de altura, con una velocidad de 360 Km/h se deja caer un objeto.Despreciando los rozamientos con el aire, determinar:a) La velocidad del objeto a los 10 sb) La posición del objeto en ese instantec) Tiempo que tarda en llegar al suelod) El punto del impactoe) La ecuación de la trayectoria

Sol: a) 141,42 m/s b) r = 1000 i + 1500 j c) 20 s d) (2000, 0) e) y = 1000

x.21 2

2- Sobre una mesa de un metro de altura rueda con velocidad Cte. de 2m/s una bola, hasta que cae por uno de sus extremos a) ¿A que distancia de la base de la mesa golpeará el suelo?b) Calcula el módulo de la velocidad en el momento de chocar con el sueloc) Escribe la ecuación de la trayectoria. Sol: a) 0,89 m b) 4,83 m/s c) y =1,25 x2

3- Desde lo alto de un acantilado de 80 m sobre el nivel del mar se dispara horizontalmente hacia el mar un proyectil con una velocidad inicial de 50 m/s. Determina:a) La posición del proyectil a los 2s de ser disparado.b) Ecuación de la trayectoria que describec) Velocidad y posición del proyectil al incidir en el agua.

Sol: a) (100, 60) b) y = 2x5001

c) v = 64,03 m/s; (200, 0)

4 - Desde 20 m de altura se dispara horizontalmente un proyectil con velocidad de 600 m/s, calcula:a) Tiempo que tarda en caerb) Alcancec) Velocidad en el instante de llegar al suelo Sol: a) 2 s b) 1200 m c) 606,33 m/s

5 - Desde un avión que vuela a 500 m de altura, y cuya velocidad horizontal es de 90 m/s, se desea lanzar una bolsa de víveres sobre unos náufragos. Sin tener en cuenta el rozamiento ni los efectos del viento, determina:a) La distancia horizontal desde la que ha de soltarse la bolsa.b) El módulo de la velocidad de la bolsa cuando esta llega al suelo.Sol: a) 900 m b) 134,5 m/s

6 - Desde un acantilado de 60 m de altura se lanza un cuerpo horizontalmente con una velocidad de 20 m/sa) ¿Dónde se encuentra el cuerpo a los 2 s?b) Velocidad en ese instantec) Tiempo que tarda en llegar a la superficie del aguad) Velocidad en ese instantee) Alcance máximof) ¿En que punto de la trayectoria vx = vy? Sol: a) (40,40) b) 2,83 m/s c) 3,46 s d) 40 m/s e) 69,2 m f) (40,40)

7 - Un avión vuela horizontalmente a la altura de 1200 m con una velocidad de 500 km/h y deja caer un objeto ¿Cuál es la duración de la caída? Determina la velocidad de llegada al suelo. ¿Qué distancia antes del punto A del suelo debe lanzarlo para que caiga en él? ¿Cuál es la posición del avión en el momento en que el objeto llega al suelo? (g = 10 m/s2)Sol: 15,49 s; 208 m/s; 2150 m

8 - Un avión lanza una bomba al entrar en picado formando un ángulo de 53 º con la vertical desde 845 m de altura. Si el proyectil tarda 5 s en llegar al suelo, calcula:a) La velocidad del avión en m/s b) La distancia horizontal del impacto de la bomba a la vertical del punto de lanzamientoc) Las componentes de la velocidad de la bomba al llegar al sueloSol: a) 240,8 m/s b) 963 m c) (192,6, - 193,3)

9- Un avión de bombardeo baja en picado a una velocidad de 700 km/h formando un ángulo de 45 º con la horizontal. Cuando esta a una altura de 400 m sobre el suelo, suelta una bomba. Calcular:a) Tiempo que tarda en llegar al suelob) Velocidad con que llegac) Punto en el que cae (distancia a la vertical del avión en el instante de lanzamiento)Sol: a) 2,7 s b) 210,6 m/s c) 364,5 m

Movimiento circular

1- La velocidad angular de un motor que gira a 1800 rpm desciende uniformemente hasta 1200 rpm en 2s. Hallar: a) La aceleración angular del motor. b) El numero de vueltas que realiza. Sol: a) - 31,4 rad/s; b) 50 vueltas

2- Un punto material describe una circunferencia de 27 cm de radio, acelerándose el valor numérico de la velocidad de forma Cte. En el punto A la velocidad es de 9 cm/s y en el B, transcurridos 0,25s, es de 10 cm/s .Determina el módulo, dirección y sentido de la aceleración del móvil en A. Sol: 0,05 m/s2, α = 53º

3 -Dos móviles parten simultáneamente del mismo punto y en el mismo sentido recorriendo una trayectoria circular. El primero esta animado de movimiento uniforme de velocidad angular 2rad/s, y el segundo hace su recorrido con aceleración angular Cte de 1rad/s.a) ¿Cuanto tiempo tardaran en reunirse de nuevo y que ángulo han descrito en tal instante? b) La circunferencia sobre la que se mueven los puntos es de 2 m de radio. ¿Que velocidad tienen cada uno de los móviles en el instante de la reunión? ¿Que aceleración, aceleración tangencial, normal y dirección tendrán?Sol: a) 4 s b) Para el primero: v = 4 m/s at = 0 an = 8 m/s2 Para el segundo v = 8 m/s at = 2 m/s2 an = 32 m/s2

4 -El cigüeñal de un automóvil gira a 4000 rpm. Calcular su velocidad angular, periodo y frecuencia.Sol: 418,66 rad/s; 0,015 s; 66,6 Hz

5 - Hallar en rad/s la velocidad angular de un disco que gira a 33 rpm. Si el disco mide 20 cm de diámetro, hallar la velocidad lineal de un punto de la periferia. Sol: 3,45 rad/s; 0,34 m/s

6 - Un tocadiscos gira a 33 r.p.m. Se desconecta la corriente y como consecuencia del rozamiento actúa sobre el una aceleración de 3rad/s² .Hallar: a) Tiempo que tarda en pararseb) Número de revoluciones que da hasta pararse Sol: a) 1,15 s; b) 0,31 revoluciones

7 -La velocidad angular de un motor que gira a 900 rpm desciende uniformemente hasta 300 rpm efectuando 50 revoluciones. Hallar a) La aceleración angular b) El tiempo necesario para realizar las 50 revoluciones. Sol: a) 5 s; b) - 12,56 rad/s2

8 -Un disco gira con una aceleración Cte. de 5 rad/s2. Calcular el número de vueltas que da. a) En 8 s partiendo del reposo.b) Durante el tercer segundo. Sol: a) 25,47 vueltas; b) 1,99 vueltas

9 -Un arco pertenece a una circunferencia de 20 cm de radio y tiene una longitud de 60 cm. Calcular el valor del ángulo correspondiente en radianes y grados Sol: 3 rad; 171,9º

10 -Si un móvil recorre una circunferencia de 5 m de radio con la velocidad Cte. de 10 vueltas por minuto. ¿Cual es el valor del: periodo, frecuencia, velocidad lineal, velocidad angular y aceleración?Sol: ω = 1,046 rad/s; T = 6 s; f = 0,166 Hz; v = 5,25 m/s: an = 5,47 m/s2

11- Conociendo la velocidad lineal de un móvil que recorre una circunferencia con MU ¿qué otros datos se precisan para hallar la velocidad angular? Con estos datos ¿se podría hallar la aceleración?

12 - Si la aceleración angular de un móvil que lleva MC es Cte ¿Será Cte también la aceleración tangencial? ¿Y la normal? Razona la respuesta

13 - Si una rueda gira con velocidad angular Cte ¿tienen los puntos de la superficie exterior aceleración tangencial? ¿Y aceleración normal?

14 - ¿Qué velocidad angular tiene el segundero de un reloj? Expresa el resultado en grados/s y rad/sSol: 6 grados /s; 0,104 rad/s

15 - Expresa la velocidad angular de 1 punto de la tierra en grados/h y rad/s. Sol: 15 grados /h; 0,0000726 rad/s

16 - Calcula la longitud del arco correspondiente a un ángulo de 60º en una circunferencia de 0,5 m de radio Sol: 0,52 m

17 - Calcula la velocidad angular en rad/s de un punto del ecuador terrestre. Si el radio de la tierra vale 6370 km ¿Cuál es la velocidad lineal de un punto del ecuador? Periodo de la Tierra 1 día = 86400 s. Sol: 7,26 . 10 -5 rad/s; 462,46 m/s

18 - Una rueda da 100 rpm. Calcula su frecuencia en Hertz Sol: 1,66 Hz

19 - Se coloca una pequeña moneda sobre una plataforma giratoria lisa y horizontal. Se observa que la plataforma da tres vueltas en 3,14 sa) ¿Cuál es la rapidez de la moneda cuando se mueve sin resbalar a una distancia de 5,0 cm del centro de la

plataforma?b) ¿Cuál es la aceleración normal de la moneda en magnitud y dirección? Sol: a) 0,3 m/s; b) 1,8 m/s2

20 - Una rueda gira a razón de 300 rpm. Calcular la velocidad angular de un punto cualquiera de la rueda y la velocidad lineal de un punto situado a 2 m del centro. Calcula su aceleración. Sol: 10 π rad/s ; 20 π m/s ; 200 π2 m/s2

21 - Hallar la velocidad angular de una rueda de 3 m de radio sabiendo que la velocidad lineal de un punto de la periferia es 15 m/s. Hallar la aceleración de un punto de la periferia, el periodo y la frecuencia del movimiento. Sol: 5 rad/s ; 75 m/s2 ; 1,256 s ; 1/1,256 Hz

22 - La velocidad angular de una rueda aumenta uniformemente a partir del reposo, y al cabo de 15 s es de 900 rpm. Calcular la aceleración angular, la aceleración lineal (aceleración tangencial, normal y total) de un punto situado a la distancia de 1 m del centro. Sol: α = 2 π rad/s2 ;at = 2 π m/s2 an = 900 π2 m/s2

23 - Un disco de gramófono esta girando a 30 rpm . Se desconecta el motor y se para 9 s después. Supuesta Cte la aceleración de frenado debida al rozamiento. Calcula:a) Dicha aceleración b) Vueltas que da el disco hasta que se para. b) Sol: a) α = - 0,348 rad/s2 ; b) 2,24 revoluciones

26 - El radio de la órbita terrestre supuesta circular es 150. 10 6 km y la tierra recorre esta órbita en 365 días. a) ¿Cuál es la velocidad de le tierra sobre su órbita en km/h? b) ¿Cuál es la aceleración normal de la tierra hacia el sol en m/s2? Sol: a) 10,75 . 104 km/h; b) 0,0059 m/s2

27 - ¿Qué velocidad angular expresada en revoluciones por minuto ha de tener una centrifugadora, para que un punto situado a 10 cm del eje de giro produzca una aceleración normal de 100 veces mayor que la de la gravedad? (g = 10 m/s2) Sol: 955,4 vueltas por minuto

28 - Un móvil recorre una circunferencia de 8 m de radio con un movimiento que viene dado por la ecuación e = 4 t2 - 5 t + 2 (m). Hallar la aceleración y sus componentes intrínsecas para t = 1 s. Sol: at = 8 m/s2 ; an = 9/8 m/s2 ; a = 73,62 m/s2

29 - Una rueda puesta en movimiento por un motor, ha girado 0,5 rad durante el primer segundo ¿Cuántas vueltas dará la rueda en los 10 primeros segundos suponiendo que la aceleración angular es Cte durante ese tiempo? ¿Cuál será la velocidad lineal en un punto de la llanta si el radio de la rueda es de 50 cm? ¿Qué valor tendrá la aceleración, si el motor dejase de funcionar cuando la rueda gira a razón de 120 vueltas por segundo? ¿Y si esta tardase 6 minutos en pararse?Sol: 7,96 vueltas; 5 m/s; - 2,09 rad/s2

31 – Una partícula describe una circunferencia de 5 m de radio con una velocidad constante de 2 m/s. En un instante dado frena con una aceleración constante de 0,5 m/s2 hasta frenarse. Calcular:a) La velocidad angular en r.p.m de la partícula antes de empezar a frenarb) La aceleración de la partícula antes de empezar a frenarc) La aceleración 2 s después de empezar a frenard) La aceleración angular mientras frenae) Tiempo en frenarf) Numero de vueltas desde que empieza a frenar hasta que se paraSol: a) 4 r.p.m b) 0,8 m/s2 c) at = - 0,5 m/s2 an = 0,2 m/s2 d) - 0,1 rad/s2 e) 4 s f) 0,13 vueltas