REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA DE LAS FUERZA ARMADA BOLIVARIANA

SECCIÓN: ING-C-5S-D01 NÚCLEO GUÁRICO - EXTENSIÓN EL SOCORRO

Profesor: Integrantes:

Juan Jerez Farfán Elías

Talavera Mariangela

Índice:

Introducción.------------------------------------------------------------- 3

Desarrollo.---------------------------------------------------------------- 4

Ejercicios.------------------------------------------------------------------ 17

Conclusión.---------------------------------------------------------------- 22

Bibliografia.---------------------------------------------------------------- 23

Introducción:

El presente trabajo tiene como objetivo reconocer y Utilizar los aspectos de la cinética de sistemas de partículas en la solución de problemas, así como, analizar su comportamiento aplicando los conceptos de conservación del momento lineal y angular. Y esto sirve como evidencia y/o trabajo final de la unidad 4 para cubrir el requisito de evaluación de la carrera de ingeniería electromecánica. El trabajo cuenta con la introducción al tema principal para entender conceptos básicos de la cinemática de partículas, así como el desarrollo de los temas de la unidad en los que se incluyen: Impulso y cantidad de movimiento para una partícula y un sistema de partículas, Principio de impulso y la cantidad de movimiento, Impacto y Cantidad de Movimiento lineal y angular. Este trabajo también cuenta con ejemplos para la comprensión de los temas.

Cinemática: es la ciencia que estudia las partículas en movimiento, en lugar y tiempo determinado, teniendo en cuenta su dirección y sentido.

Movimiento en línea recta

Este tipo simple de movimiento para obtener experiencia antes de pasar al paso general del movimiento de un punto. Sin embargo, en muchos casos prácticos los ingenieros deben analizar movimientos en línea recta, como el movimiento de un vehículo sobre un camino recto o el movimiento del pistón de un motor de combustión interna.

Descripción del movimiento.

Puede especificar la posición de un punto P sobre una línea recta respecto a un punto de referencia 0 por medio de la coordenada s medida a lo largo de la línea que va de 0 a P (fig. 2.3 a). En este caso definimos s como positiva hacia la derecha, por lo que s es positiva cuando P está a la derecha de 0 y negativa cuando P está a la izquierda de 0. El desplazamiento s respecto a 0 durante un intervalo de tiempo de t0 a t es el cambio de posición, s= s (t)-s (t0).

Incluyendo un vector unitario e paralelo a la línea y que apunta en la dirección positiva s (fig. 2.3 b), podemos escribir el vector de posición de P respecto a 0 como.

r=se

Si la línea no gira, el vector unitario e es constante y la velocidad de P respecto a 0 es:

v= dr = ds e

Dt dt

Podemos escribir el vector velocidad como v=ve y obtener la ecuación escalar

v= ds

dt

La velocidad v de un punto P a lo largo de la línea recta es la razón de cambio de su posición s. Observe que v es igual a la pendiente en un tiempo t de la tangente a la gráfica de s en función de tiempo.

La aceleración de P respecto a 0 es

a=dv=d(ve)=dv e

dt dt dt

Escribir el vector de aceleración como a= ae da la ecuación escalar

a=dv=d2s

dt dt2

La aceleración a es igual a la pendiente en el tiempo t de la recta tangente a la gráfica de v en función del tiempo.

Con el vector unitario e obtuvimos ecuaciones escalares que describen el movimiento de P. La posición queda especificada por la coordenada s, y la velocidad y la aceleración están regidas por las ecuaciones

v= ds

dt

a= dv

dt

Análisis del movimiento.

En algunos casos se conoce la posición s de algún punto de un cuerpo como función del tiempo. Los ingenieros usan métodos como el radar y la interferometria de láser para medir posiciones en función del tiempo.

En este caso, con las ecuaciones anteriores se pueden obtener por diferenciación la velocidad y la aceleración como funciones del tiempo.

S=6 +1/3 t3 m

Su velocidad y aceleración durante ese intervalo de tiempo son

v= ds =t2

dt

a= dv =2t m/s2

dt

Sin embargo, es más común conocer la aceleración de un cuerpo que su posición, porque la aceleración de un cuerpo se puede determinar con la segunda ley de Newton cuando se conocen las fuerzas que actúan sobre él. Una vez conocida la aceleración, con las ecuaciones (2.3) y (2.4) se pueden

determinar por integración la velocidad y la posición. En las siguientes secciones analizaremos tres casos importantes.

ACELERACION ESPECIFICADA COMO FUNCION DEL TIEMPO

Si la aceleración es una función conocida del tiempo a (t), podemos integrar la relación

dv=a(t)

dt

Con respecto al tiempo para determinar la velocidad en función del tiempo,

v = a(t)dt+A

Donde A es una constante de integración. Luego podemos integrar la relación

ds =v

dt

Para determinar la posición en función del tiempo,

s = v dt+B

Donde B es otra constante de integración. Para determinar las constantes A y B se necesita información adicional acerca del movimiento, por ejemplo los valores de v y s en un tiempo dado.

En vez de usar integrales indefinidas, la ecuación (2.5) se puede escribir como

dv=a(t)dt

E integrar desde el punto de vista de integrales definidas:

dv= a(t)dt

Él límite inferior v0 es la velocidad en el tiempo t0 y él límite superior es la velocidad en un tiempo t cualquiera. Evaluando la integral izquierda obtenemos una expresión para la velocidad en función del tiempo:

v=v0 + a(t)dt

Podemos escribir la ecuación (2.7) como

ds= v dt

E integrar desde el punto de vista de integrales definidas,

ds= v dt

Donde él límite inferior s0es la posición en el tiempo t0 y él límite superior s es la posición en un tiempo t arbitrario. Evaluando la integral izquierda, obtenemos la posición en función del tiempo:

s=s0 + v dt

Aunque hemos mostrado como determinar la velocidad y la posición cuando se conoce la aceleración en función del tiempo, no deberían memorizarse resultados como las ecuaciones (2.9) y (2.10). Como demostraremos en el ejemplo, recomendamos que los problemas en movimiento en línea recta se resuelvan empezando con las ecuaciones (2.3) y (2.4).

Algunas observaciones útiles sobre las ecuaciones (2.9) y (2.10) son las siguientes:

El área definida por la gráfica de la aceleración de P en función del tiempo de t0 a t es igual al cambio de la velocidad de t0 a t).

El área definida por la gráfica de la velocidad de P en función del tiempo de t0 a t es igual al desplazamiento, o cambio de posición, de t0 a t.

A menudo se pueden usar esas relaciones para obtener una apreciación cualitativa del movimiento de un cuerpo, y en algunos casos incluso se pueden usar para determinar su movimiento.

En algunas situaciones, la aceleración de un cuerpo es constante, o casi constante. Por ejemplo, si se lanza un cuerpo denso, como una pelota de golf o una roca, y este no cae muy lejos, se puede ignorar la resistencia del aire y suponer que su aceleración es igual a la aceleración de la gravedad a nivel del mar.

Sea la aceleración una constante conocida a0. De las ecuaciones (2.9) y (2.10), la velocidad y la posición como funciones del tiempo son

v =v +a (t-t0 )

s =s +v (t-t0 )+1/2 a0 (t- t0 )2

Donde s0 y v0 son la posición y la velocidad, respectivamente, en el tiempo t0. Observe que si la aceleración es constante, la velocidad es una función lineal del tiempo.

Podemos usar la regla de la cadena para expresar la aceleración desde el punto de vista de una derivada respecto a s:

a0 =dv=dv ds = dv v

dt ds dt ds

Escribiendo esta expresión como vdv=a0ds e integrando;

V dv= a0 ds

Obtenemos una ecuación para la velocidad en función de la posición:

v2 =v02 +2 a0 (s-s0)

Probablemente el lector se encuentra familiarizado con las ecuaciones (2.11) y (2.13). Aunque esos resultados pueden ser de utilidad cuando se sabía que la aceleración es constante, hay que tener cuidado de no usarlas cuando esto no sea así.

ACELERACION ESPECIFICADA COMO FUNCION DE LA VELOCIDAD

Las fuerzas aerodinámicas e hidrodinámicas ocasionan que la aceleración de un cuerpo dependa de su velocidad. Suponga que la aceleración es una función conocida de la velocidad a (v):

dv = a(v)

dt

No podemos integrar esta ecuación con respecto al tiempo para determinar la velocidad, porque a(v) no se conoce como función del tiempo. Sin embargo, podemos separar variables poniendo los términos que contengan V en un lado de la ecuación y los términos que contengan t en el otro lado:

dv = dt

a(v)

Ahora podemos integrar,

dv= dt

a(v)

Ahora podemos integrar,

dv = dt

a(v)

Donde v0 es la velocidad en el tiempo t0. En principio, podemos resolver esta ecuación para la velocidad en función del tiempo, y luego integrar la relación

ds= v

dt

Para determinar la posición en función del tiempo.

Usando la regla de la cadena podemos determinar también la velocidad en función de la posición. Escribiendo la aceleración como:

dv= dv ds =dv v

dt ds dt ds

Y sustituyéndola en la ecuación (2.14) obtenemos:

dv v =a(v)

ds

Separando variables

v dv = ds

A(v)

E integrando,

v dv= ds

a (v)

Podemos obtener una relación entre la velocidad y la posición.

Aceleración especificada como función de la posición:

Las fuerzas gravitatorias y las fuerzas ejercidas por resortes pueden hacer que la aceleración de un cuerpo dependa de su posición. Si la aceleración es una función conocida de la posición,

Dv =a(s)

dt

No podemos integrar con respecto al tiempo para determinar la velocidad porque s no se conoce como función del tiempo. Además, no podemos separar variables porque la ecuación tiene tres variables, v, t y s., sin embargo, usando la regla de la cadena,

dv =dv ds =dv v

dt ds dt ds

Podemos escribir la ecuación (2.17) como

dv v= a(s)

ds

Ahora podemos separar variables,

v dv= a(s) ds

E integrar:

vdv = a(s) ds

En principio podemos resolver esta ecuación para la velocidad en función de la posición

v= ds =v(s)

dt

Luego podemos separar variables en esta ecuación e integrar para determinar la posición en función del tiempo:

ds = dt

v(s)

Los siguientes dos ejemplos muestran cómo se puede analizar el movimiento de un cuerpo cuando su aceleración es una función de la velocidad o de la posición. Los pasos iniciales se resumen en la tabla 2.1

TABLA 2.1. - Determinación de la velocidad cuando se conoce la aceleración en función de la velocidad o de la posición.

Movimiento curvilíneo.

Si el movimiento de un punto se limita a una línea recta, su vector de posición r, su vector de velocidad v y su vector de aceleración a están completamente descritos por los escalares s, v y a respectivamente. Conocemos las direcciones de esos vectores porque son paralelos a la línea recta, pero si un punto describe una trayectoria curvilínea, debemos especificar tanto las magnitudes como las direcciones de esos vectores, y requerimos un sistema coordenado que se emplea para expresarlos desde el punto de vista de componentes escalares. Aunque las direcciones y

magnitudes de los vectores de posición, de velocidad y de aceleración no depende del sistema coordenado que se emplea para expresarlos, mostraremos que las representaciones de esos vectores son diferentes en distintos sistemas coordenados. Muchos problemas se pueden expresar en coordenadas cartesianas, pero algunas situaciones, incluyendo los movimientos de satélites y maquinas alternativas se pueden expresar más fácilmente usando otros sistemas coordenados que ilustran los movimientos curvilíneos de puntos.

Vector posición en un instante t.

Como la posición del móvil cambia con el tiempo. En el instante t el móvil se encuentra en el punto P, o en otras palabras, su vector posición es ṝ y en el instante t' se encuentra en el punto P', su posición viene dada por el vector ṝ'.

Diremos que el móvil se ha desplazado Δṝ = ṝ'-ṝ en el intervalo de tiempo Dt=t'-t. Dicho vector tiene la dirección de la secante que une los puntos P y P'.

Velocidad

La velocidad del cuerpo en cualquier punto de una trayectoria curvilínea está dirigida tangencialmente a la trayectoria en este punto y su sentido coincide con el del movimiento del cuerpo en este punto.

La velocidad en un punto de un movimiento curvilíneo es realmente tangencial, si observamos el trabajo sobre una piedra de amolar, al apretar

sobre ella el extremo de un cuchillo de acero, saltarán de la misma pequeñas partículas en forma de chispa.

Estas partículas volarán con una velocidad tangencial en el momento de saltar de la piedra, se ve muy bien que la dirección del vuelo de las chispas concuerda siempre con la tangente a la circunferencia en este punto, y que el sentido de su movimiento coincide con el de la periferia de la piedra. Igualmente las gomas de una bicicleta al rodar salpican el fango en una dirección tangente a la circunferencia (ruedas), los guardafrenos evitan que el ciclista se salpique.

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea del cuerpo en diferentes puntos de la trayectoria curvilínea tiene direcciones diferentes. El módulo de esta velocidad puede ser el mismo en todos los puntos de la trayectoria o variar de punto a punto, de un instante a otro.

Vector velocidad

El vector velocidad media, se define como el cociente entre el vector desplazamiento Δṝ entre el tiempo que ha empleado en desplazarse Dt.

El vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, la secante que une los puntos P y P' de la figura.

El vector velocidad en un instante, es el límite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

Como podemos ver en la figura, a medida que hacemos tender el intervalo de tiempo a cero, la dirección del vector velocidad media, la recta secante que une sucesivamente los puntos P, con los puntos P1, P2....., tiende hacia la tangente a la trayectoria en el punto P.

En el instante t, el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.

Aceleración

Durante el movimiento curvilíneo del cuerpo puntual, la dirección de la velocidad varía constantemente, aunque su módulo puede variar o no. Pero aunque esta no cambie modularmente nunca se podrá considerar constante, pues la velocidad es una magnitud vectorial y para las magnitudes vectoriales el módulo, la dirección y el sentido son igualmente importantes. Por esto el movimiento curvilíneo es un movimiento acelerado.

Durante el movimiento rectilíneo con aceleración constante es justamente el módulo de la velocidad que varía. Además se conoce, que en este caso el vector aceleración está dirigido en el sentido del vector velocidad o contrario a este y que el módulo de la aceleración se determina

por la variación del módulo de la velocidad en la unidad de tiempo. Así también se puede observar el movimiento curvilíneo, en el cual el módulo de la velocidad se mantiene constante, pero: ¿Cómo relacionar solamente la aceleración con la variación de la dirección del vector velocidad? ¿Cómo estará dirigida y a que será igual la aceleración? Está claro que el módulo, la dirección y el sentido de la aceleración están relacionados con la forma de la trayectoria curvilínea, pero no se puede observar cada una de las innumerables formas de las trayectorias curvas.

El movimiento por cualquier trayectoria curvilínea se puede considerar como un movimiento por arcos de circunferencias de diferentes radios.

Por esto, el problema de encontrar la aceleración de un movimiento curvilíneo radica en hallar la aceleración durante el movimiento uniforme del cuerpo por una circunferencia.

Vector aceleración

En el instante t el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad →v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.

En el instante t' el móvil se encuentra en el punto P' y tiene una velocidad →v'.

El móvil ha cambiado, en general, su velocidad tanto en módulo como en dirección, en la cantidad dada por el vector diferencia Δ→v = →v' - →v.

Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad y el intervalo de tiempo Dt=t'-t, en el que tiene lugar dicho cambio.

Y la aceleración en un instante

Movimiento según el Sistema de referencial

El movimiento de una partícula puede ser observado desde distintos sistemas de referencia. Un sistema de referencia está constituido por un origen y tres ejes perpendiculares entre sí y que pasan por aquél. Los sistemas de referencia pueden estar en reposo o en movimiento. Existen dos tipos de sistemas de referencia:

Sistema de referencia inercial: es aquél que está en reposo o se mueve con velocidad constante (es decir, no tiene aceleración).

Sistema de referencia no inercial: es aquél que tiene aceleración.

Los vectores posición, velocidad y aceleración de una partícula tendrán en general distinto valor dependiendo del sistema de referencia desde el que estén calculados.

Es interesante disponer de ecuaciones que relacionen los valores de dichos vectores calculados desde distintos sistemas de referencia, porque de este modo, una vez calculados con respecto a uno de ellos y conociendo el movimiento relativo de ambos sistemas de referencia, podremos obtener los vectores medidos por el segundo.

En esta sección vamos a obtener dichas ecuaciones para varias situaciones concretas: cuando los dos sistemas de referencia se encuentran en movimiento relativo de traslación (uniforme y uniformemente acelerado) y cuando se encuentran en movimiento relativo de rotación uniforme.

Movimiento relativo de traslación uniforme

Las transformaciones de Galileo son las ecuaciones que relacionan los vectores de posición, velocidad y aceleración medidos desde dos sistemas de referencia diferentes, cuando uno de ellos está en reposo y el otro se mueve con velocidad constante con respecto al primero. Es importante resaltar que en esta situación ambos sistemas de referencia son inerciales.

Movimiento relativo de traslación uniforme:

O y O' son dos sistemas de referencia inerciales, yO' se mueve con velocidad V constante con respecto a O.

Movimiento relativo de traslación uniformemente acelerado.

Considere ahora una situación semejante a la anterior, pero en la que el sistema que se traslada lo hace con una aceleración constante A con respecto al que permanece en reposo.

Según las relaciones del movimiento uniformemente acelerado la distancia recorrida por O´ en un tiempo t es ahora:

De forma análoga al caso anterior obtenemos las siguientes relaciones:

Vector de posición

Donde A es la aceleración de O' con respecto a O.

Derivando,

Vector velocidad

Ejercicios:

El movimiento de una aeronave viene dado por las siguientes ecuaciones.

P (t)= (n.t3-ttn; 5/n.t3+8n); m

X ; y

Donde n= 12, grafique la ecuación de posición, velocidad y aceleración, determine la aceleración tangencial y normal en T= 6 seg.

P (t)= (n.t3-ttn; 5/n.t3+8n)

T= 0 a T= 12 T= 8 seg n= 12

P (t)= (12.t3- (8)12; 5/12t3 + 8. (12))

V (t)= (24.t2 – 1; 15/12. t2)

a (t) = ( 48 t ; 2,5t)

V (8) = ( 24. (8)2 – 1 ; 2,5 . (8)2)

V (8) = (1535; 80)

a (8) = ( 48. (8) ; 2,5 (8)) m/seg

a (8) = ( 384 ; 20) m/seg

β= 36,869

at v

β α

v

a

36,869°

Magnitud de aceleración:

|a|= ax2 + ay2

Aceleración tangencial:

at= |a| cos (β- α)

at= |a| sen (β- α)

0

at= 10 cos (36,869 -36,869) = 10

0

at= 10 sen (36,869 -36,869) = 0

|a|= ax2 + ay2

|a|= 3842 + 202

|a|= 739, 90

at= |a| cos (β- α) 0

at= 739,90. cos (0,031- 0,031)

at= 739,90

at= |a| sen (β- α) 0

at= 739,90. sen (0,031-0,031)

at= 0,998

T X(t) Y(t) V(x) V(y) a(x) a(y)0 12 96 0 0 0 0

1 2396,416

6667 1535 80 48 2,5

2 10699,333

3333 3070 160 192 103 333 107,25 4605 240 432 22,5

4 776122,66

6667 6140 320 768 40

5 1507148,08

3333 7675 400 1200 62,56 2598 186 9210 480 1728 90

7 4121238,91

66671074

5 560 2352 122,5

8 6148309,33

33331228

0 640 3072 160

9 8751 399,751381

5 720 3888 202,5

101200

2512,66

66671535

0 800 4800 250

12 23 106 333 776 1507 2598 4121 6148 8751120020

100

200

300

400

500

600

96 96.4166666666667

99.3333333333333

107.25122.6666666666

67

148.083333333333

186

238.916666666667

309.333333333333

399.75

512.666666666667

Posicion

Y(t)

01535

3070

4605

6140

7675

9210

10745122801381515350

0100200300400500600700800900

080

160240

320400

480560

640720

800

Velocidad

V(y)

0 48 192 432 768 1200 1728 2352 3072 3888 48000

50

100

150

200

250

300

0 2.5 1022.5

4062.5

90

122.5

160

202.5

250

Aceleracion

a(y)

Conclusión:

La cinemática de los cuerpos en movimiento es una forma de estudiar el comportamiento, de los cuerpos o partículas en momento determinado de su desplazamiento. Tomando en cuenta sus variantes de aceleración, dirección, sentido, aceleración y velocidad.

Los vectores posición, velocidad y aceleración de una partícula tendrán en general distinto valor dependiendo del sistema de referencia desde el que estén calculados, se puede estimar según el valor que se le asigne las magnitudes.

Bibliografía:

Física I. Facultad Obrera Campecina.] I.K. Kikoin. A.K. Kikoin. Editorial Pueblo y educación. 1977. –p 81 – 85.

http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/teoria/A_Franco/cinematica/curvilineo/curvilineo.htm

Marcelo Alonso, Edward J. Finn (1976). Física. Fondo Educativo

Interamericano. ISBN 84-03-20234-2.

Richard Feynman (1974) (en inglés). Feynman lectures on Physics

Volume 2. Addison Wesley Longman. ISBN 0-201-02115-3.

Robert Resnick, David Halliday (2004) (en Español). Física 4ta. Edición

Vol. 1. CECSA, México. ISBN 970-24-0257-3.

SERWAY, Raymond A. – BEICHNER, Robert J. Física para Ciencias e Ingeniería, Tomo 1. Ed. McGRAW-HILL, México, 5ta edición, 2002. 700p.

SERWAY, Raymond A. Física, Tomo 1. Ed. McGRAW-HILL, México, 4ta edición, 1999. 645p.

HALLIDAY, David – RESNICK, Robert. Física I. Ed. San Marcos, Perú, 1999.

MERIAN, J.L. Dinámica. Ed. San Marcos, Perú

GUTIERREZ MARTINEZ, Abraham,.Lecciones de Investigación. Ed. Del Instituto Nacional Mejia. Quito . 1992, 280p

IZQUIERDO ARELLANO, Enrique. Investigación Cientifica. Imprenta Cosmos. Loja. 5ta edición. 1999. 160p