Cinematica
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CINEMATICA
Capítulo 3
Introducción
• La cinemática corresponde al estudio de la geometría del movimiento.
• Se utiliza para relacionar el desplazamiento, la velocidad, la aceleración y el tiempo.
• No hace referencia a la causa del movimiento.
Movimiento rectilíneo
• Se determina la posición, la velocidad y aceleración de la partícula (no considera la rotación alrededor de su propio centro de masa) en todo instante conforme ésta se mueve a lo largo de una línea recta.
• Método gráfico.• Dos casos de estudio:
– Movimiento uniforme– Movimiento uniformemente acelerado
• Cuando se conoce la coordenada de la posición x de una partícula para cualquier valor de tiempo t, se afirma que se conoce el movimiento de la partícula.
• velocidad promedio =
• velocidad instantánea =
• rapidez =
• aceleración promedio =
• aceleración instantánea =
dx
dvv
dt
xd
dt
dva
2
2
Ejercicio 1• La posición de una partícula que se mueve a lo
largo de una línea recta está definida por la relación: x(t)= t3-6t2-15t+40
• Donde x se expresa en pies y t en segundos. Determine:– A) el tiempo al cual la velocidad será cero.– B) la posición y la distancia recorrida por la partícula
en ese tiempo.– C) la aceleración en ese tiempo.– D) la distancia recorrida desde los 4 seg hasta los 6
seg.
Determinación del movimiento de una partícula:
• El movimiento de una partícula es conocido si se sabe la posición de la partícula para todo valor del tiempo t.
• En la práctica se determinará por el tipo de aceleración que tenga la partícula, considerando tres clases comunes de movimiento:
1. Función del tiempo:
• La aceleración es una función dada de t
t
dttfvv
dttfdv
dttfdv
adtdv
00
)(
)(
)(
2. Función de la distancia:
• La aceleración se da en función de x
)(xfa
x
x
dxxfvv
dxxfvdv
dxxfvdv
adxvdv
0
)(2
1
2
1
)(
)(
2
0
2
3. Función de la velocidad:
• La aceleración es una función dada de v
( )a f v
( ) ( )
( ) ( )
dv dvf v f v v
dt dxdv vdv
dt dxf v f v
Ejercicio 2• Una pelota se lanza con una velocidad de 10 m/s dirigida
verticalmente hacia arriba desde una ventana ubicada a 20 m sobre el suelo. Si se sabe que la aceleración de la pelota es constante e igual a 9,81 m/s2 hacia abajo, determinar:
• A) la velocidad v y la elevación y de la pelota sobre el suelo en cualquier tiempo.
• B) la elevación más alta que alcanza la pelota y el valor correspondiente de t
• C) el tiempo en el que la pelota golpea al suelo y la velocidad correspondiente
• D) dibuje las curvas v-t y y-t
Ejercicio 3• El mecanismo de freno que se usa para reducir el retroceso
en ciertos tipos de cañones consiste esencialmente en un émbolo unido a un cañón que se mueve en un cilindro fijo lleno de aceite. Cuando el cañón retrocede con una velocidad inicial v0 , el émbolo se mueve y el aceite es forzado a través de los orificios en el émbolo, provocando que este último y el cañón se desaceleren a una razón proporcional a su velocidad; esto es a=-kv.
• A) exprese v en términos de t• B) exprese x en términos de t• C) exprese v en términos de x• D) realice los diagramas
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME
• Es un tipo de movimiento en línea recta• La aceleración = 0 para todo valor de t• La velocidad es constante
vtxx
dtvdx
vdt
dx
x
x
t
0
00
vtxx 0
constante
MOVTO. RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO
• La aceleración a de la partícula es constante
0 0
0
v t
v
dva
dt
dv a dt
v v at
0v v at constante
0
dxv at
dt
0
0
0
20 0
( )
1
2
x t
x
dx v at dt
x x v t at
dvv adxvdv adx
0
2 20 02 ( )
o
v x
v x
vdv a dx
v v a x x
MOVIMIENTO DE VARIAS PARTICULAS
• Se mueven en la misma línea recta• Describen ecuaciones de movimiento
independientes• El tiempo inicial debe ser común para todas
las partículas• Los desplazamientos se miden desde el origen
común y en la misma dirección
MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTICULAS
OA B
XA
XB
XB/A
x
XB/A : define la coordenada de posición relativa de B con respecto a A
XB/A = XB – XA XB = XA + XB/A
VB/A = VB – VA VB = VA + VB/A
AB/A = AB – AA AB = AA + AB/A
MOVIMIENTO DEPENDIENTES
• La posición de una partícula dependerá de la posición de una o varias partículas
A
B
XA
XB XA + 2XB = Cte
• Sistema es de 1 GDL• Para ecuaciones lineales, se obtiene:
02
02
02
2
BA
BA
BA
BA
AA
VVdt
X
dt
dX
CteXX
Problema 4
• Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura de 12 m en el pozo de un elevador con una velocidad inicial de 18 m/s. en el mismo instante un elevador de plataforma abierta pasa por el nivel 5 m, moviéndose hacia arriba con una velocidad constante de 2 m/s. determinar:
a) Cuándo y dónde golpea al elevador.b) La velocidad relativa de la pelota con respecto al
elevador cuando ésta lo golpea.
MOVIMIENTO CURVILINEO DE PARTICULAS
• Vector de Posición, Velocidad y Aceleración• El vector r se llama vector de posición• r es el cambio de dirección
• La velocidad promedio es :
• La velocidad instantánea es : dt
drv
r
vt
dt
dsv
• La magnitud del vector v es la rapidez
P
P’
r
r’
r s
v
Para la aceleración
dv
adt
• La aceleración instantánea es
P
P’
V
V’
v
Componentes rectangulares de la velocidad y aceleración
• Expresando r en componentes rectangulares
kzjyixdt
dva
kzjyixdt
drv
zkyjxir
r
v
i
j
k
Reemplazando en las ecuaciones del movimiento:
tvzzgttvyytvxx
vzvgtvyvvxv
zyx
ozzoyyoxx
00
2
0000)(
2
1)()(
)()()(
00 zagyaxazyx
0)(xv
0)(yv
0v
y
Caso del movimiento del proyectil
Movimiento relativo a un sistema de referencia en traslación
• Cuando el sistema usado no es fijo (no está vinculado a la tierra)
• Si existe movimiento relativo, se habla de sistemas de referencia en movimiento.
rA
A
B
rBrB/A
ABAB
ABAB
ABAB
ABAB
aaa
vvv
rrr
rrr
/
/
/
/
Ejercicio
• En la cubierta de un barco (considerado como sistema fijo), se dispara una bala de un cañón a 250 m/s, con un ángulo de inclinación de 47° con respecto a la horizontal. Despreciar la resistencia del viento, calcular:– A) altura máxima c/r a la cubierta– B) tiempo que se demora la bala para dicha altura– C) distancia máxima que recorre la bala en forma
horizontal cuando ésta toca el agua, y la altura de la punta del barco es de 5m c/r al nivel del agua.
Componentes TANGENCIAL Y NORMAL
• La velocidad es tangente a la trayectoria d la partícula.
• En general, la aceleración no es tangente a la trayectoria
• Por lo tanto, es conveniente transformar el vector aceleración en componentes dirigidas; esto es, la tangencial y normal a la partícula.
Para el caso plano
P
P’
et
et’
et
en
Vectores unitarios tangencial y normal:
et y en
d
dee t
n
v = vet
eva e
ee
a e e
tt
tn
2
t n
dd dv= = +vdt dt dt
d v=
dt
dv v= +dt
Aceleración normal
Aceleración tangencial
an
at
tvev
Componentes radial y transversal
• Movimiento plano• La posición P de la partícula se define por sus
coordenadas polares r y • Para este caso, es conveniente descomponer la
velocidad y aceleración en componentes paralela y perpendicular a la línea OP
e
er
r=rerθ
• Al utilizar la regla de la cadena (para la función implícita del ángulo) y derivar en función del tiempo t, se tiene:
θr
rrr
rθθr
θrr
rrrdt
d
θθ
eev
eeev
eeee
Partícula en el espacio:• Se define por coordenadas cilíndricas R, , z• Se utilizan los vectores unitarios
keev
a
keer
v
ker
zRRRRdt
d
zRRdt
d
zR
R
R
R
22
r
ReR
zk
eR
ek