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CAPITULO III TEXTO GUIA HIDRAULICA I

CINEMATICA DE FLUIDOS

105


La cinemática de los fluidos es aquella que estudia las formas del movimiento de las

partículas fluidas sin considerar la masa y las fuerzas que actúan durante el movimiento. Para

el estudio de este comportamiento de las partículas fluidas durante su movimiento lo

haremos sobre la base del conocimiento de las magnitudes físicas ya vistas en la física básica

y con los campos respectivos relacionados al movimiento; éstas magnitudes pueden ser

escalares, vectoriales o tensoriales, que forman a su vez campos independientes o

dependientes dentro del flujo. Un campo de flujo viene a ser cualquier región en el espacio

donde hay un fluido en movimiento, con la condición de que el fluido ocupe la región.

Esta parte de la mecánica de los fluidos analiza el movimiento sin tomar en cuenta los

motivos por los que se produjo esté, los términos de las magnitudes físicas para el análisis

son de velocidad, aceleración y desplazamiento.

III.1 OBJETIVOS DEL CAPITULO

En el siguiente capitulo se desarrollara los fundamentos del flujo de fluidos y las

diferentes aplicaciones y restricciones en su estudio, el alumno será capaz de:

i. Definir las relaciones entre los tipos de flujo y el flujo de los

mismos.

ii. Diferenciar las distintas velocidades que pueden alcanzar los

diferentes fluidos.

iii. Definir que es una línea de corriente, el campo de flujo y su

trayectoria.

iv. Poder hallar las diferentes incógnitas a presentarse en problemas

como ser hallar caudales, aceleraciones y deformaciones que se

observan en el flujo de los fluidos.

v. Aplicar y desarrollar las diferentes ecuaciones vistas en el

capitulo.

vi. Deberá también ser capaz de resolver los distintos problemas

propuestos en la sección presentada.



106

III.2 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE FLUJO DE FLUIDOS

Para entender mejor este movimiento de las partículas (cinemática), se deben tomar en

cuenta varios conceptos, así como los diferentes tipos de flujo como el Flujo Newtoniano y

No-Newtoniano, que son llamados flujos reales e ideales respectivamente. Además de estos

es necesario definir algunos otros que son de importancia para nuestro estudio, de manera de

no extenderse en otro tema que no sea la cinemática de los fluidos presentaremos distintos

conceptos de manera concisa, mucho de estos tipos de flujo se dan en condiciones especiales

como ser en laboratorios de experimentación.

III.2.1 TIPOS DE FLUJO

o Flujo real. Es aquel en que para un pequeño esfuerzo cortante, la partícula

fluida ofrece una resistencia al movimiento, o sea que hay manifestación de la

viscosidad.

o Fuljo ideal. Es el flujo cuya viscosidad es nula; o sea que el fluido carece de

rozamiento.

o Flujo adiabático. Es aquel flujo en el que dentro de los límites de su contorno

no entra, ni sale calor.

o Flujo laminar. Es aquel flujo donde las partículas del fluido se mueven a lo

largo de trayectorias lisas en capas o láminas paralelas (Fig3-1), deslizándose

una capa sobre otra adyacente.

o Flujo turbulento. Es aquel en que las partículas del fluido se mueven siguiendo

trayectorias muy irregulares, originando un intercambio de cantidad de

movimiento de una porción de el fluido a otra (Fig3-1). Es el caso de flujo mas

frecuente en aplicaciones prácticas.

o Flujo transicional de laminar a turbulento. Es el flujo comprendido entre el

flujo laminar y turbulento, realmente es el paso de flujo laminar a flujo

turbulento. (Fig3-1).



107

o Flujo permanente o estacionario. Es aquel flujo en que las propiedades del

fluido y las condiciones de movimiento en cualquier punto no cambian con el

tiempo. (Fig3-2). Un flujo es permanente si el campo de velocidades, de

presión, la masa volumétrica y la temperatura en cada punto, no dependen del

tiempo. Las componentes u, v, w son entonces únicamente función de x, y, y

z.

0000

t

T ,

t

P ,

t

ρ,

t

V

o Flujo no permanente. Son flujos en el campo de velocidades, presión, masa

volumétrica, y temperatura varían con el tiempo (Fig3-3).

0000

t

T ,

t

P ,

t

ρ,

t

V

o Flujo uniforme. Es aquel en que todas las secciones rectas paralelas del

conducto son idénticas y la velocidad media en cada sección recta es la misma

en un instante dado (Fig3-4). Por esto deberá cumplirse que:

0

s

V

o Flujo variable. Es aquel flujo en que las secciones rectas del contorno son

diferentes y la velocidad media varia en cada sección recta (Fig3-4). Por esto

deberá cumplirse que:

0

s

V



108

o Flujo Unidimensional. Es aquel que desprecia las variaciones o cambios de

velocidad, presión, etc., transversales a la dirección principal del flujo.

o Flujo Bidimensional. Este flujo supone que todas las partículas siguen

trayectorias idénticas en planos paralelos; por consiguiente, no hay cambios en

el flujo normal a dichos planos.

o Flujos de revolución. Son enteramente definidos por el estudio de un semi-

plano meridiano limitado en un eje “o”.

III.3 VELOCIDAD

La velocidad “v” se define como un vector zyx VVV ,, . El movimiento de un fluido

puede ser descrito por el vector posición ds, de una partícula, como una función vectorial del

tiempo “t”:

dZkdYjdXitdd ss )( 3.3.1

Donde i, j, k son los vectores unitarios direccionales de los tres ejes ortogonales x, y, z.

A estas variables de la partícula fluida en el instante “t”, con respecto al sistema de ejes

coordenados se les conoce como las variables de Lagrange.

El movimiento del fluido también lo podemos definir por el conocimiento de la curva

que recorre la partícula fluida. En este caso la posición de la partícula se determina por la

longitud del camino recorrido, siguiendo la curva como una función escalar del tiempo. El

vector velocidad será la rapidez temporal del cambio de su posición:

dt

dsV 3.3.2

[m/s]



109

Donde ds, representa el vector diferencial de la porción de curva que recorre la

partícula fluida en el dt. La velocidad es entonces como ya se menciono anteriormente un

campo vectorial dentro de un flujo y, al desplazarse en la curva, es un vector tangente en

cada punto a la misma, que generalmente depende de la posición de la partícula fluida y del

tiempo. V= f(x, y, z )

Podemos escribir la velocidad en función de los tres ejes coordenados esto será:

t)z, y, f(x, wque laen w,

t)z, y, f(x, vque laen v,

t)z, y, f(x, u que laen u, :

dt

dZ

dt

dY

dt

dXDonde

kdt

dZj

dt

dYi

dt

dX

dt

dsV

Por lo que reemplazando en la ecuación tendremos:

wkvjuidt

dsV 3.3.3

Esta ecuación nos representa al vector velocidad en función del campo de velocidades

que lo representan u, v, y w que son las componentes de la velocidad en los respectivos ejes

x, y, z respectivamente. Es necesario mostrar también la velocidad en coordenadas

cilíndricas y polares ya que estas se verán mas adelante.

mente.respectiva ,i,i,ison lesdirecciona ejes cuyos,,,

scomponente tres tiene, scilindrica scoordenadaen velocidadLa

zr zθr VVV

;z"" eje el considera se no estasen que diferencia lacon s,cilindrica

coordenas de la asimilar es polares, scoordenadaen velocidadLa

iiiV zr zr VVV

)i()i (V r VVr 3.3.4

[m/s]

[m/s]



110

III.4 CAMPOS DE FLUJO

Un campo de flujo es cualquier región en el espacio donde hay un fluido en

movimiento, a condición de que la región o sub-región del flujo este ocupada por el fluido.

Es importante mencionar que en cada punto del campo de fluido es posible determinar o

especificar una serie de magnitudes físicas, ya sean escalares, vectoriales o tensoriales, que

forman a s vez campos independientes o dependientes dentro del flujo.

III.4.1 CAMPO DE ACELERACION

El campo vectorial de las aceleraciones es una consecuencia derivada de las

velocidades, dado que el vector aceleración de una partícula fluida en un punto se define

como la variación temporal de la velocidad en ese punto. Empleando las variables de

Lagrange, tendríamos que la velocidad de una partícula fluida estaría en función de X, Y, Z, t

; es decir (x, y, z, t ) no permanece constante sino que varia en forma continua y dan en cada

instante la posición de la partícula que estudiamos. Dado esto la aceleración de la partícula

será:

:forma siguiente la deexpresar podemos la

n aceleracio la que tenemos t),z, y, f(x,s como pero

)//(2

2

dt

sd

dt

dtdsd

dt

dVa

wdt

dzv

dt

dyu

dt

dx

dt

dz

z

V

dt

dy

y

V

dt

dx

x

V

t

Va

:pero

Estas son las componentes de la velocidad en los tres ejes ortogonales x, y, z

respectivamente; por lo que la ecuación anterior podemos escribirla como:

z

Vw

y

Vv

x

Vu

t

Va 3.4.1

Esta ecuación (3.4.5) es la derivada tomada con respecto al tiempo siguiendo el

movimiento del punto, y como podemos apreciar no tiene dirección como en el caso de la

velocidad.

[m/s2]



111

A esta derivada se la conoce como la dedicada total y corresponde a la aceleración de

las partículas fluidas, que puede asumirse como la superposición de dos efectos.

a. En el instante “t”, supuesto el campo permanente. La partícula, bajo estás

circunstancias, cambiará de posición en éste campo permanente. Así su velocidad

sufrirá variaciones en los diversos puntos del campo que, en general, serán

diferentes de un instante a otro. Esta aceleración debida al cambio de posición es

llamada aceleración convectiva o de transporte.

b. Si consideramos, que la aceleración no proviene del cambio de posición ocupada

por la partícula fluida, sino de la variación de la velocidad, en la posición ocupada

por la partícula, por el tiempo, tenemos que la aceleración es la aceleración local y

corresponde al porcentaje local de variación de velocidad debido a la no-

permanencia del flujo.

te.pectivamenx, y,z res

n los ejeseleraciones de la accomponente son las ,a,aDonde a

z

ww

y

wv

x

wu

t

wa

z

vw

y

vv

x

vu

t

va

z

uw

y

uv

x

uu

t

ua

rán:aciones se de acelers al campospondienteares correones escalLas ecuaci

)V(Vt

Va

mo:resarla coa y mplificarlPodemos si

dt

dV

zyx

z

y

x

exp

En ciertos análisis es muy útil emplear el sistema de coordenadas en el que un conjunto

de líneas de corriente formen parte del mismo. Para tal caso podemos partir de la velocidad

V=V (s,t) ; de donde podemos deducir que la aceleración de la partícula fluida vendrá dada

por :

t

V

dt

ds

s

Va

t

V

s

VVa



112

Consideremos el caso de flujo permanente, en el que, la configuración de las líneas de

corriente es fija en el tiempo y además, son coincidentes las trayectorias en dos componentes

escalares no nulas, una de ellas tangente a la trayectoria que llamamos aceleración normal.

Por lo tanto la aceleración será:

tn aaa 3.4.2

Donde na es la aceleración normal y ta es la aceleración tangencial; estas pueden

representarse de acuerdo a lo estudiado en la física del cuerpo solidó por:

r

Van

2

3.4.3

s

VVat

3.4.4

III.4.2 CAMPO ROTACIONAL

Esté es otro campo derivado de el de las velocidades, y evalúa la rotación local de una

partícula fluida y se define matemáticamente por el producto vectorial del operador nabla

nabla , por el vector velocidad (V). O sea que : Vrot , que en forma matemática

es el determinante siguiente:

ndodesarrolla

wvu

zyx

kji

Vrot

ky

u

x

vj

x

w

z

ui

z

v

y

wVrot

3.4.5

Que también es función, tanto de posición como de tiempo y es una medida de la

rotación o vorticidad de la partícula dentro del flujo; por ésta razón se le conoce también

como campo vorticoso.

[m/s2]

[m/s2]

[m/s2]



113

III.5 TRAYECTORIA

Una trayectoria es aquélla que sigue una partícula de fluido con identidad fija. Esta

puede obtenerse experimentalmente tomando una fotografía con un tiempo de exposición

bastante grande, suficiente para cada partícula pueda recorrer toda la porción de trayectoria

que está en el campo de la cámara fotográfica, y para obtener mejores resultado se emplea

solo una pequeña cantidad de partículas. Es decir entonces que la trayectoria será el

desplazamiento que lleva una partícula del fluido.

Para un flujo permanente, o cuando siendo inestable únicamente la magnitud del vector

velocidad varia con el tiempo, la línea de corriente coincide con la trayectoria.

III.5.1 LINEA DE CORRIENTE

Es una curva que es tangente en cada uno de sus puntos al vector de velocidad en el

interior de un campo de flujo, por lo cual no hay la posibilidad de que dos líneas de corriente

se intercepten, pues ello significaría que en el punto de intersección existieran dos vectores

distintos.

Si consideramos una línea de corriente en la que indicamos el vector velocidad y

tomando en la línea de corriente un vector desplazamiento, tal como ds; Entonces la línea de

corriente matemáticamente la podemos expresar por el producto vectorial entre el vector

velocidad y el vector desplazamiento, ya que V esta en la misma dirección de ds.



114

sendsVVxds

Si es muy pequeño: 0sen . Entonces se tiene que: 0Vxds

i j k

Resolviendo este producto vectorial se tendrá que: u v w = 0

dx dy dz

Desarrollando el determinante se tendrá:

0 vdxudykwdxudzjwdyvdzi 3.5.1

Para que se cumpla la ecuación (3.5.1) es necesario, que cada uno de sus sumandos sea

igual a cero, entonces:

dz

w

dy

vwdyvdx 0

dz

w

dx

uwdxudz 0

dy

v

dx

uvdxudy 0

Las ecuaciones tienen un factor común por lo que podemos escribir la siguiente

relación final:

dz

w

dy

v

dx

u 3.5.2

la ecuación (3.5.2) representa la ecuación de las líneas de corriente.

Las líneas de corriente, representan la repartición de velocidad de las diferentes

partículas del fluido en el mismo instante.

III.5.2 TUBOS DE CORRIENTE

Un tubo de corriente esta constituido por una región parcial del flujo fluido delimitada

por una familia de líneas de corriente que lo confinan, es suficientemente pequeña, la

velocidad en el punto medio de una sección cualquiera puede considerarse como la velocidad

media en dicha sección.



115

El concepto de tubo de corriente se utilizara para deducir la ecuación de continuidad en

el caso de un flujo incompresible, en régimen permanente y unidimensional (Fig3-5).

Esto implica que la cantidad de masa que pasa por la sección 1debe ser igual a la que

pasa por la sección 2 en un tiempo dt

dVdM 3.5.3

III.6 VOLUMENES DE CONTROL

Este volumen de control, es un volumen fijo en el espacio y de forma y tamaño

invariable con el tiempo, a través del cual fluye materia, este concepto se relaciona con el

sistema en términos de una propiedad general del sistema.

El volumen de control, conocido también como sistema, se refiere a una región de

interés en el espacio a través de cuyas fronteras un fluido entra y sale continuamente, estas

fronteras del volumen de control se llaman superficies de control. La forma y el tamaño de

un volumen de control son arbitrarias, todo se deja en función de la comodidad del

investigador, o la facilidad que está dé a la solución del problema.

III.6.1 ECUACION GENERAL DEL VOLUMEN DE CONTROL

Sin importar su naturaleza, todas las situaciones de flujo están sujetas a las siguientes

relaciones, pueden expresarse en forma analítica:

1.- Las leyes de movimiento de Newton, deben cumplirse para cualquier partícula.

2.- La relación de continuidad, es decir, la ley de conservación de la masa.

3.- La conservación de la masa aplicada a mezclas de componentes dentro del fluido.

4.- La primera y segunda leyes de la termodinámica.

5.- Las condiciones de frontera: declaraciones analíticas como por ejemplo que un fluido real

tiene velocidad cero con respecto a una frontera en la frontera que los fluidos sin fricción no

pueden penetrar una frontera.



116

ttiempo tttiempo

tIIdttIIIII

tsistdttsist dddNN

)()(

También pueden entrar otras relaciones y ecuaciones, tales como una ecuación de

estado o la ley de viscosidad de Newton.

En la deducción que sigue el concepto de Volumen de control se relaciona con el

sistema en términos de una propiedad general del sistema. En las secciones subsiguientes se

aplica específicamente para obtener las relaciones de continuidad, energía y momentum

lineal.

Para establecer la relación entre las ecuaciones que se aplican en un sistema y aquellas

que se aplican a un volumen de control, considere algunas situaciones generales de flujo en

las cuales la velocidad de un flujo (Fig3-6), en las cuales la velocidad de un fluido esta dada

con respecto a un sistema coordenado xyz. En el tiempo “t” considérese una cierta masa de

fluido contenida dentro de un sistema, en el cual tiene las fronteras de líneas puntuadas

indicadas. También considérese un volumen de control, fijo con relación a los ejes xyz, que

coincide exactamente con el sistema en el tiempo t. En tt el sistema se ha movido un

poco, debido a que cada partícula de masa se mueve a una velocidad asociada con su

posición.

Sea N la cantidad total de alguna propiedad (por ejemplo, masa, energía o momentum)

dentro del sistema en el tiempo t y sea la cantidad de esta propiedad, por unidad de masa,

a través del fluido. La tasa temporal de incremento de N para el sistema se formula ahora en

términos del volumen de control.

En tt (Fig3-6b) el sistema comprende los volúmenes II y III mientras que en el

tiempo t este ocupa el volumen II (Fig3-6a).

El incremento en la propiedad N en el sistema en el tiempo t esta dado por:



117

En donde d es el momento del volumen. Reordenado, después de sumar y restar

dttI

d

En la derecha y luego dividiendo todo por t se llega a:

t

d

t

d

t

ddd

t

NN

dttIdttIII

tIIdttIIIIItsistdttsist

)()(

3.6.1

El término a la izquierda es la tasa temporal promedio de incremento de N dentro del

sistema durante el tiempo t . En el límite, a medida que t se aproxima a cero, éste se

convierte en dN/dt.

Si se toma el limite a medida que t se aproxima a cero en el primer termino del lado

derecho de la ecuación, las primeras dos integrales son la cantidad de N dentro del volumen

de control en tt y la tercera integral es la cantidad de N en el volumen de control en el

tiempo t. El límite es:

vc

dt

Donde se han utilizado derivadas parciales debido a que el tamaño del volumen de

control se mantiene constante a medida que 0t .

El siguiente termino es la tasa temporal del flujo de N hacia fuera del volumen de

control, en el limite y puede escribirse como

coslim0

dAvdAvt

d

idaujo de salarea de fl

ttm

t

3.6.2

Donde dA (Fig3-7) es el vector que representa un elemento de área del área de salida

de flujo.



118

Éste tiene una dirección perpendicular al elemento de área superficial del volumen de

control, siendo positivo hacia fuera, y α es el ángulo entre el vector velocidad y el vector de

área elemental.

Similarmente, el último término de la ecuación, el cual es la tasa de flujo de N hacia

adentro del volumen de control, es, en el límite, igual a:

coslim0

dA ηρv dAηρvδt

ηρd

radaujo de entarea de fl

δttm

δt

3.6.3

El signo negativo es necesario debido a que v*dA( ó cos α) es negativo para el flujo de

entrada (Fig3-8). Los dos últimos términos de la ecuación 3.6.1 , dados por las ecuaciones

3.6.2 y 3.6.3, pueden combinarse en un termino único que es una integral sobre toda la

superficie del volumen de control (sc).

scsc

IttIII

t

dAvdAvt

d

t

dtt

coslim0

En donde no exista flujo de entrada o de salida v*dA=0; por consiguiente la ecuación

puede evaluarse sobre toda la superficie de control. Reuniendo y reorganizando los términos

tenemos:

scscdAvd

tdt

dN 3.6.4



119

Esta ecuación (3.6.4) establece que la tasa temporal de incremento de N dentro de un

sistema es exactamente igual a la tasa temporal de incremento de la propiedad N dentro del

volumen de control más la tasa neta de flujo de N a través de la frontera del volumen de

control.

Esta ecuación (3.6.4) se usa para convertir de la forma de sistema a la forma de

volumen de control. La forma de sistema, la cual en efecto sigue el movimiento de los

paquetes, se conoce como el método Lagrangiano de análisis; la aproximación de volumen

de control de conoce como el método Euleriano de análisis, ya que se observa desde un

sistema de referencia fijo relativo al volumen de control. Esta ecuación es valida si el

volumen de control, fijo en tamaño y forma, tiene una velocidad de traslación uniforme.

III.7 LA CONSERVACION DE LA MASA-ECUACION DE

CONTINUIDAD

La forma de sistema de la conservación de la masa es:

0dt

dm 3.7.1

La cual establece que la masa (m), dentro del sistema permanece constante en el

tiempo. En la ecuación (3.6.4) sea N=m, entonces η es la masa por unidad de masa de η=1,

por lo tanto

scvcdAvd

t0 3.7.2

La ecuación de conservación de la masa establece que la tasa temporal de cambio de la

masa en el volumen de control, más la tasa neta a la cual la masa sale del volumen de control

a través de su superficie es igual a cero.

Para el desarrollo del subtitulo considérese un tubo cilíndrico (Fig3-9). El flujo entra al

tubo en la sección 1 y sale en la sección 2.

No se permite flujo a través de la superficie sólida que describe el tubo. La aplicación

de la conservación de la masa prosigue de la siguiente manera:



120

o El volumen de control se define de tal manera que incluya todo el fluido

en el tubo dentro de la pared sólida y desde la sección 1 a la 2. Si es

posible, todas las secciones de entrada y salida deben definirse o

localizarse en regiones donde las líneas de corriente (o tubos) sean

paralelas a la frontera, de tal manera que las velocidades de entrada y

salida sean perpendiculares a las respectivas áreas.

o Si el enunciado del problema lo permite, es mejor suponer flujo

permanente, en cuyo caso la ecuación se reducirá.

sc

dAv0

o Esta ecuación debe aplicarse a cada superficie de control(sc) donde la

masa de fluido, esta entrando o saliendo; entonces tenemos:

2

2221

111 0scsc

dAvdAv

o Si los vectores de velocidad a la entra y a la salida son, en cada entrada

y salida, perpendiculares a sus respectivas áreas, entonces en las salidas

las integrales se evalúan como 222222 dAvdAv y las entradas se

evalúan como 111111 dAvdAv . Tenemos:

2

2221

111scsc

dAvdAv

Nótese que ρ y v todavía son funciones de A1 y A2 y pueden variar

dentro de sus respectivas áreas, esto mas que todo en las velocidades.



121

o Si ρ1 y ρ2 no varían en las secciones transversales de entrada y salida,

además conviene evitar velocidades que varíen. Por tanto tomamos la

velocidad promedio espacial para reducir el problema a una

representación unidimensional.

2

2221

111scsc

dAvdAv

2

22221

1111scsc

dAvAVdAvAV

mAVAV 222111 3.7.3

Donde m es la tasa de flujo de masa en Kg/seg. Para el problema de flujo permanente

planteado aquí, la ecuación de continuidad dice que la tasa de flujo de masa es constante.

Si el caudal Q (también conocido como tasa de flujo volumétrico o descarga) se define

como Q=AV, la ecuación puede tomar la forma de:

mQQ 2211 3.7.4

Para flujo incompresible permanente, se presenta como forma útil la ecuación siguiente

2211 VAVAQ 3.7.5

Para flujo con densidad constante, permanente o no permanente, podemos obtener las

ecuaciones para determinar la velocidad, la cual establece que el flujo de volumen neto es

cero. Esto implica que el volumen de control está lleno de líquido en todo momento.

A

QV

dAvsc

0

A

vdAA

V1

3.7.6

Ecuación de

Continuidad

[m3/s]

[m/s]



122

231

222333111 0

mmm

AVAVAV

EJEMPLO DE APLICACIÓN Por una tubería de 30 cm de diámetro circulan 1800

lt/min, reduciéndose después el diámetro de la tubería a 15 cm. Calcular las

velocidades medias en ambas tuberías.

segmV

m/seg.).π(

.

A en m

/segQ en mV

segmQ

entonces

/seg me Qtenemos qu

/70.1)15.0(

030.0

430300

0300

/030.010*60

1800

:

1800

2

4115

2

412

3

30

33

3

Si existen múltiples entradas y salidas, la ecuación de volumen de control puede

extenderse. Supóngase una intersección T (Fig3-10); se denotan las condiciones en las

entradas (secciones 1 y 3) y en la salida (sección 2). Adicionalmente, suponga que la

densidad en cada sección es constante (aunque no necesariamente igual); que los vectores de

velocidad son perpendiculares a sus respectivas áreas; y que las velocidades promedios en

las secciones transversales, en cada sección, están definidas.

Entonces la ecuación sc

dAv0 se reduce a:



123

III.8 MOVIEMIENTO Y DEFORMACION

A medida que un paquete de fluido se mueve de un instante a otro, existen varios tipos

de movimientos y/o deformación de la forma del paquete. Aquí se hará una pequeña

introducción geométrica a estos procesos, relacionando los campos de velocidad con el

movimiento y la deformación resultantes. Se debe notar que todas las formas de estos

movimientos pueden ocurrir simultáneamente, pero para una mejor comprensión se

analizaran en forma separada y en dos dimensiones.

III.8.1 TRASLACION

(Fig3-12) simplemente significa tomar el paquete y moverlo una distancia durante un

periodo de tiempo corto dt. No se permite ni rotación del paquete ni ninguna deformación.

La deformación será medida por el grado a que el ángulo entre cualquier par de líneas, que

originalmente eran ortogonales entre sí, se deforme durante un tiempo dt. Para el caso de la

traslación, el ángulo de 90º entre cualquier par de líneas ortogonales que definen cualquier

plano en el paquete debe permanecer constante.

La traslación pura, sin ninguna deformación o rotación, puede ocurrir en un campo de

velocidad muy especial; esto quiere decir que el flujo debe ser uniforme espacialmente y no

puede contener gradientes espaciales.



124

III.8.2 DILATACION

(Fig3-13) se refiere al estiramiento o encogimiento del paquete, inducido por un

gradiente espacial en el campo de velocidad. No se permite deformación; en lugar de esto,

únicamente se permite una extensión o compresión lineal de los ejes ortogonales que definen

el plano. El campo de velocidad que acompaña este cambio, nuevamente es restringido. Por

ejemplo en la figura el cambio de forma en la configuración de líneas punteadas conserva el

ángulo de 90º entre todos los ejes ortogonales, pero el campo de velocidad se restringe a

cambios únicamente en la dirección de los ejes. Por lo tanto para la figura en la dirección x,

únicamente u puede variar, no v; mientras que en la dirección y únicamente v puede variar y

no u. Si el cambio de forma da como resultado un cambio de volumen es una cuestión

extremadamente importante.

De la figura 3-13, el volumen original es de dxdy. En la forma reordenada, los

cambios incrementales en longitud durante el periodo de tiempo dt se encuentran mediante

una expansión de series de Taylor, esta es correcta hasta el primer orden; por consiguiente, el

volumen en un tiempo dt posterior es:

dydt

y

vdydxdt

x

udxdtt 3.8.1

Después de multiplicar los términos, y dejando de lado los términos de segundo orden

y órdenes superiores, la tasa temporal de cambio relativo del volumen R , se puede

encontrar en términos de la velocidad como:

y

v

x

u

dt

d

dt

dRt

tdtt

en tres dimensiones tendremos:

vz

w

y

v

x

u

dt

d R

3.8.2

Por consiguiente, la dilatación de volumen puede relacionarse directamente con la

estructura espacial de los gradientes de velocidad.



125

y

u

dt

d

os:to tendremPor lo

dydtx

vdd

22

22

tan

tan

III.8.3ROTACION

(fig3-14) se define como la velocidad angular promedio de dos elementos que

originalmente se encontraban haciendo ángulos rectos entre sí. Tal como se puede ver en la

figura, debe haber gradientes en el campo de velocidad o esfuerzos cortantes, para sostener

la rotación sobre el periodo dt. Teniendo en cuenta el elemento dx, y para ángulos pequeños,

x

v

dt

d

os:to tendremPor lo

dxdxdtx

vdd

11

11

tan

/tan

Para el elemento vertical dy:

El promedio de estos dos es la velocidad angular del paquete alrededor del eje z

)(2

1

2

121

y

u

x

vz

la rotación alrededor de los otros dos ejes se define como:

z

v

y

w

x

w

x

u

x

y

2

1

2

1

la velocidad angular es una cantidad vectorial denotada:

kji zyx 3.8.3

Rotacion en funcion de los

tres ejes



126

El flujo irrotacional ocurre cuando los gradientes cruzados de la velocidad (o esfuerzo

cortante) son cero o en el caso poco probable de que se cancelen entre sí. En la Fig3-15, se

puede apreciar el esquema de un paquete de fluidos viajando a lo largo de una línea de

corriente en un vertedero gradual. Los paquetes en la Fig3-15a se están moviendo en un

flujo irrotacional y no existe rotación de ningún par de ejes ortogonales incluidos en el

paquete. En la Fig3-15b se muestra una analogía con el flujo rotacional.

III.8.4 DEFORMACION LINEAL

(Fig3-16) este caso se da cuando x

Vx

y

y

Vy

no son nulos, además 0

x

Vy

y

Vx,

por lo que el rectángulo sufrirá una deformación lineal δ y su forma se ampliara o reducirá,

pero este seguirá siendo un rectángulo.

III.8.5 DEFORMACION ANGULAR

O tasa de deformación, se define como el promedio de la diferencia en las velocidades

angulares de dos elementos originalmente perpendiculares.



127

Nuevamente gradientes de velocidad o esfuerzos cortantes, deben estar presentes

(Fig3-17). Para la figura, la deformación previa se mantiene, y para el campo de velocidad

indicado en el esquema,

y

u

dt

d

dty

udydydt

y

udd

22

22

/tan

el signo negativo, ocurre como resultado de la rotación en el sentido de las agujas del reloj,

la cual es negativa. Una deducción similar para Ө1 arroja:

x

v

dt

d

1

1

3.8.4

III.9 VORTICIDAD

El termino de vorticidad esta ligado a otro termino denominado circulación Г, esta se

define como: Si en un campo de flujo bidimensional cualquiera se traza una superficie de

control, también cualquiera y cerrada, la circulación será la integral de la componente de la

velocidad tangente a la superficie, realizada sobre toda la superficie:

dlvd )cos( dlvdlv

)cos(

Donde α es el ángulo que forma el vector velocidad con la superficie de control, dl es

el vector elemental de longitud, tangente a la curva.

Aplicando el concepto de superficie de control tenemos:

dxdyx

v

y

vd

yx

3.9.1

de la ecuación (3.9.1) concluimos que la vorticidad es la circulación diferencial por unidad

de área encerrada por la superficie de control.



128

III.10 FUNCION DE CORRIENTE

La figura 3-18 muestra un campo de flujo bidimensional y permanente. La primera

línea de corriente por el origen o, también incluimos las líneas de corriente MM’ y NN’

separadas entre si una distancia dn.

Denominamos ψ al gasto entre líneas de corriente desde “o” a MM’, el gasto entre

MM’ y NN’ se denominan dψ. Por lo tanto el gasto entre o y NN’ es ψ+ dψ.

Para analizar este hecho se utiliza un volumen de control triangular de catetos dx y dy e

hipotenusa dn, donde el gasto que ingresa debe ser igual al que sale:

dxVyVxdyd )(

El diferencial total de gasto dψ es:

dyy

dxx

d

Por comparación podemos determinar:

Vyy

Vxx

cdxVyVxdy )( 3.10.1

donde, esta ultima expresión es denominada Función de Corriente.

La función de corriente es la expresión matemática de una línea de corriente. Si el flujo

es permanente una función de corriente expresara matemáticamente a una familia de líneas

de corriente.



129

Por otro lado Vx y Vy, reemplazamos en la ecuación de la continuidad bidimensional

vista anteriormente,

xyyx

tieneSe

y

Vy

x

Vx

22

:

0

De la misma manera reemplazamos Vx y Vy en la ecuación de Verticidad también vista

anteriormente,

y

Vx

x

Vy

2

2

2

2

yx

Para flujo irrotacional debe cumplirse:

02

2

2

2

yx

3.10.2

Esta ecuación es denominada Ecuación de La Place.

III.11 FLUJO POTENCIAL PLANO

El caso mas sencillo de flujo potencial es el bidimensional, esto es, cuando el

movimiento de un fluido se produce paralelamente a un plano, de manera que la tercera

dimensión no entra en ninguna ecuación. Por una parte, al ser plano el movimiento se puede

definir una función de corriente que describe las líneas de corriente, y por otra parte, al ser

flujo potencial, la velocidad está determinada por el potencial Ф(x,y,z,t).

El flujo puede entonces ser descrito por dos familias de curvas, las líneas de corriente y

las líneas equipotenciales. Estas curvas se cortan ortogonalmente en todo punto, ya que la

velocidad es tangente a las líneas de corriente y perpendicular a las líneas equipotenciales.



130

La Fig3-19, representa gráficamente las líneas de corriente y las equipotenciales, en las

que el elemento arco ds de las líneas equipotenciales podemos definirlo como:

0)()(

dy

ydx

x

Donde obtenemos:

dx

dy

y

x

3.11.1

El elemento arco s de las líneas de corriente podemos definirlas como:

y

y

x

x 3.11.2

Igualando estas dos ecuaciones tendremos:

dx

y

dy

x

3.11.3

Para ψ constante, d ψ=0 tendremos:

0 VxdyVydx

Vx

Vy

dx

dy 3.11.4

Para Ф constante, dФ=0 será:

0VxdxVydy

Vy

Vx

dx

dy 3.11.5

Lo que nos da el significado de la ortogonalidad de las dos curvas, que cuando las

graficamos nos da una malla por lo que se le conoce como malla de corriente.

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