Capitulo III Cinematica de Los Fluidos 2015

CURSO: MECANICA DE FLUIDOS I CAPITULO III: CINEMATICA DE LOS FLUIDOS

Msc Ing. Abel A. Muiz Paucarmayta Pgina 1

CAPITULO III

CINEMATICA DE LOS FLUIDOS

3.1 INTRODUCCION.

La cinemtica de los fluidos es aquella que estudia las formas del movimiento de

las partculas fluidas sin considerar la masa y las fuerzas que actan durante el

movimiento. Para el estudio de este comportamiento de las partculas fluidas

durante su movimiento lo haremos sobre la base del conocimiento de las

magnitudes fsicas ya vistas en la fsica bsica y con los campos respectivos

relacionados al movimiento; stas magnitudes pueden ser escalares, vectoriales

o tensoriales, que forman a su vez campos independientes o dependientes dentro

del flujo. Un campo de flujo viene a ser cualquier regin en el espacio donde hay

un fluido en movimiento, con la condicin de que el fluido ocupe la regin.

Esta parte de la mecnica de los fluidos analiza el movimiento sin tomar en cuenta

los motivos por los que se produjo est, los trminos de las magnitudes fsicas para

el anlisis son de velocidad, aceleracin y desplazamiento.

3.2 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE FLUJOS DE FLUIDOS.

Para entender mejor este movimiento de las partculas (cinemtica), se deben

tomar en cuenta varios conceptos, as como los diferentes tipos de flujo como el

Flujo Newtoniano y No-Newtoniano, que son llamados flujos reales e ideales

respectivamente. Adems de estos es necesario definir algunos otros que son de

importancia para nuestro estudio, de manera de no extenderse en otro tema que

no sea la cinemtica de los fluidos presentaremos distintos conceptos de manera

concisa, mucho de estos tipos de flujo se dan en condiciones especiales como ser

en laboratorios de experimentacin.

TIPOS DE FLUJOS:



Flujo real. Es aquel en que para un pequeo esfuerzo cortante, la partcula

fluida ofrece una resistencia al movimiento, o sea que hay manifestacin de la

viscosidad.

Fuljo ideal. Es el flujo cuya viscosidad es nula; o sea que el fluido carece de

rozamiento.

Flujo adiabtico. Es aquel flujo en el que dentro de los lmites de su contorno

no entra, ni sale calor.

Flujo laminar. Es aquel flujo donde las partculas del fluido se mueven a lo

largo de trayectorias lisas en capas o lminas paralelas (Fig3-1), deslizndose

una capa sobre otra adyacente.

Flujo turbulento. Es aquel en que las partculas del fluido se mueven siguiendo

trayectorias muy irregulares, originando un intercambio de cantidad de

movimiento de una porcin del fluido a otra (Fig. 3.1). Es el caso de flujo ms

frecuente en aplicaciones prcticas.

Flujo transicional de laminar a turbulento. Es el flujo comprendido entre el

flujo laminar y turbulento, realmente es el paso de flujo laminar a flujo turbulento.

(Fig. 3.1).

Fig. 3.1 Tipos de Flujos

Flujo permanente o estacionario. Es aquel flujo en que las propiedades del

fluido y las condiciones de movimiento en cualquier punto no cambian con el

tiempo. (Fig3.2a). Un flujo es permanente si el campo de velocidades, de

presin, la masa volumtrica y la temperatura en cada punto, no dependen del

tiempo. Las componentes u, v, w son entonces nicamente funcin de x, y, y z.

0000

t

T ,

t

P ,

t

,

t

V



(a) (b)

Fig. 3.2 Flujo permanente (a) y no permanente (b)

Flujo no permanente. Son flujos en el campo de velocidades, presin, masa

volumtrica, y temperatura varan con el tiempo (Fig. 3.2b).

0000

t

T ,

t

P ,

t

,

t

V

Flujo uniforme. Es aquel en que todas las secciones rectas paralelas del

conducto son idnticas y la velocidad media en cada seccin recta es la misma

en un instante dado (Fig. 3.4a). Por esto deber cumplirse que:

0

s

V

Flujo variable. Es aquel flujo en que las secciones rectas del contorno son

diferentes y la velocidad media vara en cada seccin recta (Fig. 3.4b). Por esto

deber cumplirse que:

0

s

V

(b) (b)

Fig. 3.3 Flujo uniforme (a) y variable (a)



Flujo Unidimensional. Es aquel que desprecia las variaciones o cambios de

velocidad, presin, etc., transversales a la direccin principal del flujo.

Flujo Bidimensional. Este flujo supone que todas las partculas siguen

trayectorias idnticas en planos paralelos; por consiguiente, no hay cambios en

el flujo normal a dichos planos.

Flujo compresible y flujo incompresible.-

En el rgimen de flujo incompresible se supone que la densidad del

fluido es constante, independiente de las coordenadas espaciales y del

tiempo, simplificndose as extraordinariamente el anlisis del movimiento. En

caso contrario, el flujo es compresible. Ordinariamente, podemos considerar

que los lquidos presentan regmenes de flujo incompresibles; slo en

situaciones tales como la propagacin del sonido en lquidos es necesario

tener en cuenta la compresibilidad de stos. Pero hasta los gases, que son

altamente compresibles, pueden experimentar cambios tan poco importantes

en su densidad que su flujo pueda considerarse como incompresible; este es

el caso de la aerodinmica subsnica, donde el aire se considera incompresible.

Flujo irrotacional y flujo rotacional.-

Decimos que el flujo es irrotacional cuando cualquier partcula fluida no posee

velocidad angular neta respecto al punto en que se encuentra. En caso

contrario, el flujo es rotacional. Podemos tener una aproximacin intuitiva a

estos dos tipos de flujo imaginando una ruedecilla con paletas inmersa en el

fluido en movimiento. Si la ruedecilla tan slo se traslada, el flujo es

irrotacional (Fig. 3.4 a); si gira y se traslada (o slo gira), el flujo es

rotacional. El flujo rotacional incluye el movimiento de vrtice (remolinos)

(Fig. 3.4 b) y los flujos con gradiente transversal de velocidad (Fig. 5.4 izq.).



Fig. 3.4 Flujo irrotacional (a) Flujo rotacional (b)

3.3 LOS CAMPOS DE UN FLUJO.

Un campo de flujo es cualquier regin en el espacio donde hay un fluido en

movimiento, a condicin de que la regin o sub regin del flujo quede ocupada por

el fluido.

En cada punto del campo de flujo es posible determinar o especificar una serie de

magnitudes fsicas, ya sean escalares, vectoriales o tensoriales, que forman a su

vez campos independientes o dependientes dentro del flujo.

Un campo escalar se define exclusivamente por la magnitud que adquiere la

cantidad fsica a la cual corresponde; ejemplos: presin, densidad y temperatura.

En un campo vectorial, adems de la magnitud, se necesita definir una

direccin y un sentido para la cantidad fsica a la que corresponde; esto es

tres valores escalares. La velocidad, la aceleracin y la rotacin son ejemplos

de campos vectoriales. Finalmente, para definir un campo tensorial se

requieren nueve o ms componentes escalares; ejemplos: esfuerzo,

deformacin unitaria y momento de inercia.

Las magnitudes fsicas de los campos escalares y vectoriales de un campo de flujo

son en general funciones de punto y del tiempo, ya que su magnitud puede variar

no solo de un punto a otro sino (en un punto fijo) de un instante a otro.

3.4 LOS CAMPOS VECTORIALES DE VELOCIDAD, ACELERACION Y

ROTACIONAL.



CAMPO DE VELOCIDADES.

El anlisis del movimiento de una partcula del fluido que recorre una curva se

puede hacer de dos maneras distintas:

a. Por el conocimiento del vector de posicin r, de la partcula como una funcin

vectorial del tiempo t (Fig. 3.5)

zkyjxitrr )( (Ec. 3.1)

Dnde: i, j, k representan los vectores unitarios segn tres ejes de coordenadas

ortogonales cualesquiera y (x, y, z) las proyecciones de r segn dichos ejes.

Estas proyecciones son cantidades escalares y funciones del tiempo:

)();();( tzztyytxx (Ec. 3.2)

b. Por el conocimiento de la curva que recorre la partcula y la funcin camino

recorrido-tiempo. En este caso la posicin de la partcula se determina por la

longitud del camino recorrido, siguiendo la curva (a partir de un punto origen A).

Fuente: Hidrulica General. Sotelo vila G.

Fig. 3.5 Representacin del movimiento de una partcula segn la curva r = r(t)

Como una funcin escalar del tiempo (fig. 3.6); esto es:

)(tss (Ec. 3.3)

El vector velocidad de una partcula fluida se define como la rapidez temporal

del cambio en su posicin. Si la partcula Po de la Fig. 3.7 se desplaza

siguiendo la trayectoria C, descrita en cada instante por el vector de posicin de

la partcula r = xi + yj + zk, la velocidad queda definida por la expresin:



dt

drv (Ec. 3.4)

Donde dr representa el vector diferencial de arco, sobre la curva, que recorre la

partcula en el tiempo dt.

La velocidad es entonces un campo vectorial dentro de un flujo y al desplazarse

la partcula segn la curva C, es un vector tangente en cada punto a la misma

que, en general, depende de la posicin de la partcula y el tiempo:

trvv , (Ec. 3.5)


Fig. 3.6 Representacin del movimiento de una partcula segn la curva s =s (t)


Fig. 3.7 Posicin y velocidad de una partcula referidas a un sistema cartesiano

de coordenadas rectangulares.



La velocidad, en trminos de sus componentes segn los tres ejes coordenados

elegidos, se puede escribir:

kvjvivvzyx

(Ec. 3.6)

Entonces, dichas componentes son funciones de la posicin de la partcula y

del tiempo a saber:

dt

dxtzyxvv xx ),,,( (Ec. 3.6a)

dt

dytzyxvv yy ),,,( (Ec. 3.6b)

dt

dztzyxvv zz ),,,( (Ec. 3.6c)

Puesto que la magnitud del vector dr es:

dsdtdt

rdrd

(Ec. 3.7)

Donde ds es el elemento diferencial de arco sobre la trayectoria, resulta que la

magnitud de la velocidad es:

222

dt

dz

dt

dy

dt

dx

dt

dsv (Ec. 3.8)

Si s representa un vector unitario, tangente en cada punto a la trayectoria de la

partcula y adems es funcin de s, la velocidad tambin se puede expresar as:

dt

sds

dt

dssvv

(Ec. 3.9)

Donde ds se conoce como vector diferencial de arco y vale d

s =ds.

s

CAMPO DE LAS ACELERACIONES:



El campo de aceleraciones es derivado del de velocidades pues el vector

aceleracin de una partcula en un punto se define como la variacin temporal

de la velocidad en ese punto; esto es:

2

2

dt

sd

dt

vda

(Ec. 3.10)

La aceleracin no tiene una orientacin coincidente con la trayectoria de la

partcula, como resulta con la velocidad; de acuerdo con la definicin de

derivada total y en base a las Ec. 3.6 (a,b.c), sus componentes, segn los tres

ejes de coordenadas cartesianas, son:

)()(t

v

z

vv

y

vv

x

vv

dt

dva xxz

xy

xx

xx

(Ec.3.11a)

)()(t

v

z

vv

y

vv

x

vv

dt

dva

yy

z

y

y

y

x

y

y

(Ec.3.11b)

)()(t

v

z

vv

y

vv

x

vv

dt

dva zzz

zy

zx

zz

(Ec.3.11c)

Las cuales son funcin de punto y tiempo.

La aceleracin de las partculas del fluido se puede considerar como la

superposicin de dos efectos:

1. En el instante t se supone que el campo es independiente del tiempo; en

estas circunstancias la partcula cambiara de posicin en ese campo y su

velocidad sufrir variaciones en los diferentes puntos del mismo. Esta

aceleracin, debida a cambio de posicin en ese campo y su velocidad

sufrir variaciones en los diferentes puntos del mismo. Esta aceleracin,

debida a cambio de posicin, se llama convectiva y est dada por las

expresiones contenidas en los primeros parntesis de las Ec.3.11a, Ec.

3.11b y Ec. 3.11c.



2. El trmino de los segundos parntesis no proviene del cambio de posicin

de la partcula, sino de la variacin de la velocidad en la posicin ocupada

por la partcula al transcurrir el tiempo. Se llama aceleracin local.

3. Es interesante conocer tambin la magnitud de las componentes de la

aceleracin en cualquier punto de una trayectoria. La distancia s, medida

desde un origen arbitrario, siguiendo la trayectoria, corresponde a una

coordenada curvilnea local, a lo largo de la cual se pueden determinar las

propiedades del flujo. En cada punto de la trayectoria hay una direccin

local, que define la direccin de una coordenada independiente

llamada coordenada normal principal. Esta es colineal con el radio

instantneo de curvatura local de la trayectoria, cuya direccin positiva es

del centro de curvatura hacia el punto en consideracin. Una tercera

direccin de otra coordenada se define como la direccin binormal local (o

conormal) b, que es normal, tanto a s como a n. En relacin al sistema

cartesiano, estas tres coordenadas tambin se pueden representar por el

sistema de vectores unitarios ortogonales s, n, b; el primero tangencial a la

curva en cada punto; el segundo en la direccin de la normal principal local

de la trayectoria; y el tercero, segn la binormal de la misma (Fig. 3.8a).




Fig. 3.8 a) Correspondencia entre el sistema cartesiano de coordenadas y el

sistema de vectores unitarios; distribucin y gradiente de velocidades sobre la

normal principal. b) Cambio en el s al producirse el recorrido s.

De este modo, los vectores unitarios s, n y b definen un diedro regular en cada

punto de la trayectoria; y cualquier vector asociado a un punto de la curva

puede referirse a este sistema local de coordenadas curvilneas, escribindolo

como una combinacin lineal de los tres vectores unitarios. Los tres planos

fundamentales (definidos por el diedro) se conocen como: plano osculador

(aquel cuyo normal es b), plano normal (cuya normal es s) y plano

rectificador (cuya normal es n).



Los vectores s y n se encuentran en el plano osculador, el cual contiene

tambin al radio de curvatura. Esto significa que el movimiento en el punto

considerado esta en dicho plano y, adems, el radio de curvatura en la

direccin de b es infinito.

La velocidad expresada en trminos de s a travs de la Ec. 3.9 es funcin de la

distancia recorrida s y del tiempo t; la aceleracin entonces es:

)()(dt

ds

ds

sdvs

dt

dvsv

dt

d

dt

vda

(Ec. 3.12)

ds

sdvs

dt

dva

2 (Ec 3.13)

Al pasar de un punto P a otro P (Fig. 3.8 b), el vector unitario s ser s+s;

conserva su magnitud, pero modifica su direccin.

En el intervalo t la partcula habr recorrido la distancia s sobre la curva. La

variacin de s a lo largo de S es:

S

s

dS

ds

s

0lim (Ec 3.14)

De donde resulta que, en el lmite, s (y tambin s/S) queda dirigido segn

la normal principal de la curva y hacia el interior de la misma. Por tanto, los

vectores ds/dS y v2ds/dS tendrn idntica direccin, pero sentido contrario al

considerado positivo para n. Resulta entonces:

ndS

dsv

dS

dsv 22 (Ec 3.15)

Por lo que respecta a dS

dv (Fig. 3.8 b) con 1s , resulta tambin:



s

sen

s

sens

S

s

dS

dv

ssss

0000lim.

2

2lim22

limlim (Ec 3.16)

En el lmite, sen (/2)/ (/2)=1; entonces:

ds

d

sdS

ds

s

0lim (Ec 3.17)

Adems, siendo ds = r d, donde r es el radio de curvatura en el punto P, se

tiene que:

rdS

ds 1 (Ec 3.18)

La Ec. 3.13 se convierte entonces en:

nr

vs

dt

dvaaa ns

2

(Ec 3.19)

Esto muestra que el vector aceleracin se encuentra en el plano osculador y

solo tiene componentes en las direcciones tangencial y normal.

La magnitud de la componente de la aceleracin tangencial es entonces:

t

vv

s

v

t

v

dt

ds

s

v

dt

dvas

(Ec 3.20a)

O bien, con

t

vv

v

s

)

2(

2

La componente tangencial resulta:

st

vv

sas

)

2(

2

(Ec 3.20b)

y la componente normal:

nr

van

2

(Ec 3.20c)

El signo menos para la componente normal de la Ec. 3.20c significa que dicha

componente tiene sentido contrario al considerado como positivo para n. El

planteamiento de muchos problemas en la prctica se hace suponiendo el flujo



como unidimensional, para el cual es muy conveniente el empleo del sistema

de coordenadas y de componentes de la aceleracin aqu planteada.

Finalmente, la componente en la direccin de la binormal es:

0na (Ec. 3.20d)

CAMPO ROTACIONAL.

Est es otro campo derivado de el de las velocidades, y evala la rotacin local

de una partcula fluida y se define matemticamente por el producto vectorial

del operador nabla nabla , por el vector velocidad (V). O sea que:

Vrot , que en forma matemtica es el determinante siguiente:

zyx vvv

zyx

kji

Vrot (Ec. 3.21)

Desarrollando se tiene:

ky

v

x

vj

x

v

z

vi

z

v

y

vrotV x

yzxyz

(Ec. 3.22)

Que tambin es funcin, tanto de punto como de tiempo y es una medida

de rotacin o vorticidad de la partcula dentro del flujo; por esta razn se

le conoce tambin como campo vorticoso.

La rotacin pura se puede estudiar localmente prescindiendo de la traslacin a

travs del movimiento de giro alrededor de un eje instantneo que pasa por el

centro de gravedad de la partcula y con base en el movimiento de dos lneas

ortogonales en forma de cruz, definidas por los puntos PQRS que giran como

un cuerpo rgido. El punto Po se localiza mediante el vector de posicin ro

referido a un sistema de coordenadas con cualquier orientacin, pero cuyo

origen por comodidad se encuentra en el eje instantneo de rotacin. El punto

P se halla en el extremo de uno de los brazos de la cruz y en la infinita vecindad



de Po y se localiza mediante el vector de posicin r, de tal manera que el vector

que los une es (r-ro)=dr.

La velocidad v, tangencial a la trayectoria circular que siguen los extremos de

esas lneas ortogonales (y, por consiguiente, en el punto P), corresponde a la

traslacin propia de ese punto; y en general, es distinta de la corresponde a Po.


Fig. 3.9 Rotacin de una partcula

Al producirse la rotacin el vector v se puede calcular en trminos de la

velocidad angular =d/dt (variacin del ngulo de rotacin con el tiempo) y

de un vector unitario w paralelo al eje instantneo de rotacin con el sentido

indicado en la fig. 3.9 (de acuerdo a la convencin normal para la variacin de

), como el producto vectorial; a saber:

xdrwxdrv (Ec. 3.23)

Donde w se conoce como vector torbellino.

Por tanto resulta que:

xdrrotvrot .. (Ec. 3.24)

Cuyo desarrollo conduce a:

dzdydx

kji

Vrot zyx (Ec. 3.25)



kdxdyjdxdzidydzVrot yxzxzy (Ec. 3.26)

De ah que, de acuerdo con su definicin rot v es igual al determinante:

)()()(

dxdydxdzdydz

zyx

kji

Vrot

yxzxzy

(Ec. 3.27)

Desarrollando el determinante en la misma forma y, tomando en cuenta que

es independiente de dr, al desarrollar las derivadas parciales indicadas se

obtiene que:

2)222(. iiivrot zyx (Ec. 3.28)

Esto es, el vector rot v es paralelo a y perpendicular en cada punto a v.

Con referencia al sistema de coordenadas ortogonales s, n, b, el movimiento se

produce sobre el plano que contiene a s y n; y la velocidad v se distribuye a lo

largo de n de acuerdo con un movimiento instantneo de rotacin, segn la ley:

rv . (Ec. 3.29)

El vector rotacional se obtendra a partir del determinante:

brn

rbns

bns

vrot )(

00

(Ec. 3.30)

Donde 0

b

v, puesto que no hay variacin de v a lo largo de b. Desarrollando

la derivada y tomando en cuenta que: r

v y 1

n

r

Resulta:

bn

v

r

vb

nr

n

rrotv

(Ec. 3.31)

Esto significa que el vector rot v tiene una sola componente en la direccin de la

binormal; adems, el producto vectorial rot v x v es:



)

00

(00 n

v

vr

vbns

vvrot (Ec. 3.32)

nn

v

r

vvvvrot

(Ec. 3.33)

Por tanto la aceleracin tambin podemos determinar en la forma:

t

vvrotv

vgrada

)

2(

2

(Ec. 3.34)

La aceleracin en un punto est formada por la componente grad (v2/2) que

corresponde al movimiento de traslacin pura; la componente rot v x v que

equivale al movimiento de rotacin (llamada aceleracin de Coriolis); y la

componente v/t que corresponde a la aceleracin local.

3.5 METODOS PARA DESCRIBIR UN FLUJO.

Con el fin de obtener la representacin completa de un flujo, es necesario

determinar la posicin de cada partcula en cada instante y despus encontrar la

velocidad en cada posicin, a medida que el tiempo transcurre.

Es posible estudiar el movimiento de las partculas mediante dos mtodos: el

Euleriano o local y el Lagrangiano o molecular.

METODO EULERIANO.

Consiste en determinar las caractersticas cinemticas en cada punto de un flujo y

en cada instante, sin considerar el destino que tenga cada partcula individual.

Elegida la posicin de una partcula en el espacio, sus caractersticas cinemticas

son funciones del tiempo, a saber:

),( trvv (Ec. 3.35)

METODO LAGRANGIANO.



Consiste en determinar las caractersticas cinemticas del movimiento de cada

partcula, en cada instante, siguiendo su recorrido. Identificada una partcula por su

posicin inicial ro (xo, yo, zo), en el instante t=to, en otro instante cualquiera t, la

misma partcula se encuentra en la posicin r (x, y, z). Entonces la posicin de la

partcula se tiene conocida en cualquier instante si el vector de posicin r se

determina como funcin del tiempo t y la posicin inicial ro; o sea:

),( 0 trrr (Ec. 3.36)

Aparentemente el mtodo Lagrangiano, tiene aspectos muy convenientes; sin

embargo, las ecuaciones generales del movimiento, deducidas con este mtodo,

son difciles, es pues ms sencillo utilizar el mtodo Euleriano.

3.6 LINEA DE CORRIENTE, TRAYECTORIA Y TUBO DE FLUJO.

Se supone que en un instante to se conoce el campo de velocidades v, de un flujo.

Se define como lnea de flujo o corriente toda lnea trazada idealmente en el

interior de un campo de flujo, de manera que la tangente en cada uno de sus

puntos proporcione la direccin del vector velocidad correspondiente al punto

mismo (Fig. 3.10). Con la excepcin de eventuales puntos singulares, no existe

posibilidad de que dos lneas de corriente se intersequen, pues ello significara que

en el punto de interseccin existieran dos vectores y distintos.



FUENTE: HIDRULICA GENERAL. SOTELO VILA G.

Fig. 3.10 Concepto de lnea de corriente y trayectoria.

De la definicin de lnea de corriente, el vector diferencial del arco ds y el vector

velocidad son paralelos, de manera que de la Ec. 3.10 se puede escribir:

vdtds (Ec. 3.37)

Que representa la ecuacin diferencial de la lnea de corriente. Esta ecuacin en

trminos de sus componentes, es:

dtvdz

dtvdy

dtvdx

z

y

x

(Ec. 3.38)

O bien, para el instante to considerado, se pueden escribir de la manera siguiente:

),,,(),,,(),,,( ozoyox tzyxv

dz

tzyxv

dy

tzyxv

dx (Ec. 3.39)

Que forman un sistema de ecuaciones diferenciales.

Se considera ahora, dentro del flujo, la curva C cualquiera de la Fig. 3.11 (que no

sea lnea de corriente) y las lneas de corriente que pasan por cada punto de esa



curva. La totalidad de estas lneas estn contenidas en una superficie que se

denomina superficie de flujo o de corriente.

Si la curva C es cerrada, la superficie de corriente formada adquiere el nombre de

tubo y, el volumen encerrado por esta superficie, el de vena fluida.


Fig. 3.11 Concepto de tubo de flujo.

La trayectoria de una partcula es la lnea que une los puntos de posicin

sucesivamente ocupados por dicha partcula en el transcurrir del tiempo (Fig. 3.10).

Las ecuaciones diferenciales de la trayectoria son:

),,,(),,,(),,,( tzyxv

dz

tzyxv

dy

tzyxv

dx

zyx

(Ec. 3.40)

Este concepto corresponde al tratamiento bajo el punto de vista Lagrangiano; si el

flujo es permanente, las lneas de corriente coinciden con las trayectorias.

3.7 CONCEPTO DE GASTO O CAUDAL.

En la Fig. 3.12 un elemento dA, de la superficie S (limitada por una curva C) y que

contiene al punto cualquiera P, se puede representar por el vector diferencias de

superficie:

ndAdA . (Ec. 3.41)

Donde n se define como un vector unitario normal a la superficie en el punto P,

cuyo sentido positivo se establece por convencin.




Fig. 3.12 Concepto de gasto

La velocidad v que corresponde al punto P tiene en general una direccin

distinta a la de dA.

En el intervalo dt, el volumen de fluido que atraviesa el elemento de superficie

dA queda determinado por el producto escalar de los vectores; el diferencial del

arco ds sobre la lnea de corriente que pasa por P y el vector diferencial de

superficie dA.

Entonces, considerando que ds= vdt, el volumen del fluido que pasa a travs

del elemento dA vale:

dAdtvdAdsdv .. (Ec. 3.41)

El flujo de volumen a travs de toda la superficie S queda definido por la

ecuacin:

A dAvdtdv

Q . (Ec. 3.42)

Cuyas dimensiones son [L3T-1]. Este flujo de volumen se conoce como gasto o

caudal.



Si en un flujo la superficie S se escoge de modo que las lneas de corriente

sean normales a ella en cada punto, de la Ec. 3.42 el gasto se puede calcular

de la manera siguiente:

AvdAQ (Ec. 3.43)

Se llama velocidad media, a travs de la superficie S de rea A, al promedio

calculado as:

A

Q

A

dAvV A

. (Ec. 3.44)

y equivale a suponer que la velocidad se distribuye uniformemente sobre toda

la superficie, con un valor constante V y en direccin perpendicular a la misma.

3.8 FUNCION DE CORRIENTE.

Se considera, en un instante determinado, un flujo no permanente, tridimensional

incomprensible, viscoso o no viscoso, rotacional o irrotacional; asimismo, un tubo

de flujo formado por dos sistemas diferentes de superficies de flujo cuyas

intersecciones coinciden obviamente con lneas de corriente, como se muestra en

la Fig. 3.13. Evidentemente esta misma consideracin es vlida para un flujo

permanente en cualquier instante.

La solucin de las ecuaciones diferenciales (Ec. 3.39) de las lneas de corriente,

permite determinar la geometra de estas y se puede expresar a travs de dos

relaciones independientes de la forma:

Fzyx ),,( (Ec. 3.45)

Gzyx ),,( (Ec. 3.46)

En que F y G representan dos funciones diferentes que adquieren un valor

constante cuando se desea definir la geometra de una lnea de corriente en

particular. Estas dos ecuaciones definen una doble familia de superficies de flujo a

travs de la funciones y , llamadas de corriente, escogidas de tal manera que

sean mutuamente ortogonales. En el punto P de la Fig. 3.13, sobre una lnea de

corriente, los vectores grad y grad son normales a las superficies =constante,



= constante, respectivamente. Puesto que v es tangente a ambas superficies en P

y, por lo mismo perpendicular a ambos vectores, se debe satisfacer que

gradxgradv .. (Ec. 3.46)


Fig. 3.13 Superficies de corriente

O bien por definicin de gradiente y de producto vectorial.

yzzyvx

(Ec. 3.47a)

zxxzv y

(Ec. 3.47b)

xyyxvz

(Ec. 3.47c)

La substitucin de estas componentes en las ecuaciones diferenciales de la lnea

de corriente (3.39) y las superficies de frontera, permiten determinar las funciones

y para cada flujo.

En el caso de un flujo bidimensional, la familia de los planos paralelos (sobre los

cuales la configuracin del flujo es idntica) se hace coincidir con el sistema de

superficies = constante, donde el eje z es perpendicular a dicha familia. Con esta

disposicin, el vector grad es el mismo vector unitario k y la Ec. 3.46 seria:

kgradv . (Ec. 3.48)

Cuyas componentes son:



yvx

(Ec. 3.49a)

xv y

(Ec. 3.49a)

Y en coordenadas polares (Fig. 3.14)

rvr

1 (Ec. 3.50a)

rv

(Ec. 3.50b)


Fig. 3.14 Componentes de la velocidad para un flujo plano en coordenadas

cartesianas y polares.

Para el flujo bidimensional la ecuacin diferencial de la lnea de corriente, segn el

sistema de las ecuaciones 3.39, es:

0 dxvdyv yx (Ec. 3.51)

Substituyendo las ecuaciones 3.49 en esta ecuacin se obtiene:

0

dy

ydx

xd

(Ec. 3.52)

0. dsgradd (Ec. 3.51)

As, obviamente, el vector diferencial de arco sobre una lnea de corriente es

perpendicular a grad y la ecuacin de la lnea ser (x,y)= constante, cuya



representacin es una familia de lneas de corriente como se muestra en la figura

3.15.

Cada lnea de corriente no es ms que la interseccin de la superficie que

corresponde con el plano coordenado x-y.

Por otra parte, si n es un vector unitario en la direccin normal a las lneas de

corriente, por definicin de derivada direccional se tiene que:

nngrad

. (Ec. 3.52)

Pero, toda vez que en grad y n son paralelos, grad .n es igual al mdulo de

grad ; el cual, de acuerdo con las ecuaciones 3.49 vale:

vvvyx

grad yx

22

22

(Ec. 3.53)

Entonces:

vn

(Ec. 3.54)

Sin embargo, de esta ecuacin, vdn es el gasto que pasa entre dos lneas de

corriente y + d (fig.3.15) por unidad de ancho normal al plano del flujo; esto

es:

vdnddQ (Ec. 3.55)

Por lo cual el gasto entre dos lneas de corriente 1 y 2 es:

122

1 q (Ec. 3.56)

La Ec. 3.56 indica que el gasto entre dos lneas de corriente es igual a la diferencia

de los valores que adquiere la funcin de corriente en esas lneas.




Fig. 3.15 Familia de lneas de corriente.

Capitulo III Cinematica de Los Fluidos 2015

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