MECNICA DE FLUIDOS I

CINEMTICA DE FLUIDOS

Es una parte de la mecnica de los fluidos que

estudia los movimientos de los fluidos sin tomar en

cuenta las fuerzas que lo provocan .

El Campo de Velocidades Descripcin de

Movimientos.

Para identificar las partculas de un flujo en cada

instante, se utilizan coordenadas espaciales, es decir

que la velocidad de todas las partculas pueden

expresarse de la siguiente manera :

V = V (x,y,z,t)

CINEMTICA DE FLUIDOS

O desarrollada en sus tres proyecciones es :

V = u (x,y,z,t)i + v(x,y,z,t)j + w(x,y,z,t)k

Fsicamente , estas ecuaciones indican que en el

instante t, la partcula de fluido cuya posicin es

P(x,y,z), , tiene una velocidad V.

Cuando la velocidad es independiente del tiempo; el

movimiento se llama estacionario o permanente, y

V = V(x,y,z)

SISTEMAS DE ESTUDIO: Basado en que para los

fluidos la velocidad depende de la posicin y del

tiempo. Existen 2 sistemas de anlisis.

GOMERResaltado

GOMERResaltado

GOMERResaltado

GOMERResaltado

GOMERResaltado

a) Sistema de Lagrange.- Donde el anlisis se

realiza en diferentes puntos de la trayectoria.

GOMERResaltado

b) Sistema de Euler.- Consiste en elegir un punto y

determinar las variables cinemticas en ese punto y

en cada instante, sin considerar la trayectoria que

siga despus cada partcula individual.

Se utiliza el vector de posicin como una

funcin vectorial del tiempo.

t1, t2

(x,y,z, t)

X

Z

Y

GOMERResaltado

Tipos de Flujos.-

a) Flujo Uniforme.

b) Flujo no Uniforme.

c) Flujo Permanente.

d) Flujo no Permanente.

e) Flujo Rotacional.

f) Flujo no Rotacional o Irrotacional.

g) Flujo Turbulento

h) Flujo Laminar.

i) Flujo Gradualmente variado.

J) Flujo Rpidamente variado.

a) Flujo Uniforme.- Es aquel movimiento de fluido

en donde la magnitud, direccin y sentido de la

velocidad no cambia de un lugar a otro.

v1 v2 v3 vnv1 = v2 = v3 = vn

ds

GOMERResaltado

GOMERResaltado

GOMERResaltado

b) Flujo no Uniforme.- Cuando la velocidad vara

de un punto a otro en una regin del flujo.

v1 v2 v3 vnv1 v2 v3 vn

ds

GOMERResaltado

GOMERResaltado

GOMERResaltado

GOMERResaltado

b) Flujo Permanente.- Cuando la velocidad

permanece constante para diferentes tiempos en un

punto del flujo..

GOMERResaltado

c) Flujo no Permanente.- Cuando la velocidad

vara en un punto o regin para los instantes

sucesivos.

GOMERResaltado

e) Flujo Rotacional.- Es cuando en el interior del

fluido el campo de vectores

Rot v 0.

f) Flujo no Rotacional o Irrotacional.- Es cuando

la velocidad angular media de la totalidad de

segmentos rectilneos de cada partcula es nula.

p = 0

g) Flujo Turbulento.- Es aquel movimiento de

fluidos en la cual las partculas se mueven en forma

desordenada en todas las direcciones, no se puede

conocer la trayectoria de una partcula individual.

Esto se da en las tuberas, en los ros.

GOMERResaltado

GOMERResaltado

GOMERResaltado

e) Flujo Laminar.- Es cuando las partculas fluidas

se mueven segn trayectorias paralelas, formando el

conjunto de ellas capas o lminas. Los mdulos de

las velocidades de capas adyacentes no tienen el

mismo valor.

La viscosidad del fluido es la magnitud fsica

predominante y su accin amortigua cualquier

tendencia a la turbulencia.

Capas o lminas

GOMERResaltado

i) Gradualmente Variado y Rpidamente Variado

VOLUMEN DE CONTROL.- Es el volumen

definido en el espacio, cuyos lmites estn

determinados por una superficie de control (S.C) La

superficie de control puede ser variable o invariable

con el tiempo y el volumen de control puede ser fijo

y/o desplazable. Adems, la cantidad de materia o

masa puede variar con el tiempo dentro del volumen

GOMERResaltado

De control.

ACELERACIN DE UNA PARTCULA

FLUIDA

En el mtodo de Lagrnge se observa que x,y,z, son

funciones del tiempo, luego podemos establecer el

campo de aceleraciones derivando el campo de

velocidades con respecto al tiempo.

GOMERResaltado

GOMERResaltado

GOMERResaltado

Por derivada de funcin compuesta:

Las tres componentes son:

Aceleracin convectiva Aceleracin

Local

Tambin podemos escribir :

O lo que es lo mismo :

Aceleracin Local ( ).- Provienen de la variacin

de la velocidad en un punto de la masa fluida, con el

paso del tiempo. Indica la traslacin del campo.

Aceleracin Covectiva ( ) .- Proviene de un

campo permanente (en un instante t), en el que la

velocidad de una partcula sufrir variaciones en los

diversos puntos del campo. Est relacionado con el

gradiente de las componentes de la velocidad.

LINEAS DE CORRIENTE DE FLUJO :

Las lneas de corriente de flujo son definidas como

aquellas lneas que son tangentes a los vectores

velocidad en cada punto y en un instante dado.

GOMERResaltado

GOMERResaltado

GOMERResaltado

GOMERResaltado

GOMERResaltado

GOMERResaltado

Significa que para hallar las lneas de flujo hay que

congelar las trayectorias en un instante dado (hacer t

= constante).

Las lneas de flujo coinciden con las trayectorias,

solamente cuando la velocidad no depende del

tiempo.

GOMERResaltado

GOMERResaltado

En el espacio :

Tambin:

Derivada de una funcin ligada al movimiento.

Sea la funcin = (x,y,z,t)

Por derivadas de funcin compuesta.

GOMERResaltado

Si :

Para cualquier funcin F, el campo vectorial

En el sistema cilndrico:

Divergencia de Velocidad :

En el sistema cilndrico:

ROTACIONAL O VORTICIDAD:

Desarrollando:

Tambin:

En el sistema cilndrico:

GOMERResaltado

LAPLACIANO DE

Indica posibilidad de giro, adems indica si la funcin

es armnica.

De estas 4 operaciones vectoriales se resume:

GOMERResaltado

GOMERResaltado

GOMERResaltado

Tambin se comprueba

TUBO DE FLUJO : Es la superficie formada por todas las

lneas de corriente trazadas por todos los puntos de una

curva cerrada. Si el flujo depende del tiempo, se tendr el

tubo de flujo en un instante.

Circulacin ( )

Se define como la integral de lnea en torno a una

curva cerrada, en el instante t, de la componente

tangencial de la velocidad a lo largo de dicha curva.

GOMERResaltado

GOMERResaltado

Relacin entre y g

Del teorema de Stokes:

VARIABLES DE CAUCHY-REIMANN

Ecuacin de Continuidad.

Se demuestra que :

Cuando en el sistema no existe variacin de N

(Propiedad extensiva) entonces:

de donde establecemos que el flujo en la S.C. ser:

Indica el principio de la conservacin de la masa. Es

decir el flujo o caudal que entra a travs de la

superficie de control es igual a la variacin por

unidad de tiempo de la masa dentro del volumen de

control. De esta ecuacin

Como el flujo es permanente :

GOMERResaltado

ENTRA :

SALIDA :

Luego :

FORMAS DE MOVIMIENTO : El anlisis se

realiza para el sistema bidimensional, para cada una

de las formas de movimiento representada por las

redes de flujo que contienen a su vez las lneas de

corriente y las lneas equipotenciales.

Definidas ambas por una familia de curvas

mutuamente perpendiculares.

FUNCIN CORRIENTE ( ).- Es aquella funcin

escalar que contiene a las lneas de corriente, est

definida por el escalar , que es relaciona con las

velocidades de la siguiente manera :

Para lneas de corriente

GOMERResaltado

GOMERResaltado

GOMERResaltado

GOMERResaltado

Para que ( ) exprese funcin de tiene que ser su

ecuacin diferencial exacta.

Igualando :

FUNCIN EQUIPOTENCIAL ( )

Es una funcin exacta que contiene a las lneas

equipotenciales

GOMERResaltado

GOMERResaltado

Se demuestra que y son perpendiculares.

Para L.C

GOMERResaltado

Para lnea Equipotencial :

REDES DE FLUJO

Estn formadas por la lnea de corriente y las lneas

equipotenciales excepto en los puntos singulares.

Puntos Singulares: Es aquel punto donde no se

cumple la condicin de perpendicularidad.

GOMERResaltado

GOMERResaltado

GOMERResaltado

Vs = Vs As = An Ac = Es el cambio en la

Buscar redes con cua- constante entre 2 lneas

drados perfectos. Equipotenciales adyacen

tes y entre 2 lneas de co-

rriente adyacentes.

Una red de flujo estar constituida por una malla de

cuadrados perfectos, esto cuando la red se aproxima

a cero (al lmite). El proceso de obtencin es grfico

necesitamos muchos trazos y estar borrando

continuamente.

REDES DE FLUJOS SIMPLES.- Se establecen las

curvas bsicas considerando que el escurrimiento es

simple, con la condicin de continuidad,

incompresibilidad e irrotacionalidad.

Establecindose los siguientes casos de movimiento

simple.

GOMERResaltado

1.- Flujo Rectilneo con Velocidad Constante

GOMERResaltado

1.- Flujo Rectilneo con Velocidad Constante

Notas :

- Los valores de y dependen de la intensidad de

Uo y la red se presenta entre 4 lneas de frontera.

2. FLUJO FUENTE.- Se produce el movimiento

desde un punto considerado fuente, con una

direccin radial, como se muestra.

GOMERResaltado

GOMERResaltado

Por consiguiente :

3. FLUJO SUMIDERO.- Se produce cuando el

movimiento de la partcula se produce de afuera

hacia adentro. Presentando una familia de curvas

semejante a la fuente.

GOMERResaltado

4. FLUJO VORTICE.- El vrtice simple o

irrotacional es un flujo muy til que puede

establecerse fcilmente escogiendo la funcin de

corriente del manantial como potencial de velocidad

del vrtice , as:

La funcin de corriente :

GOMERResaltado

La red de corriente tendr la misma forma que la del

manantial y el sumidero, excepto que las

circunferencias concntricas sern ahora lneas de

corriente y el haz de rayos, lneas equipotenciales,

como se muestra.

La familia de lneas de corriente pone de manifiesto

que el fluido se mueve siguiendo trayectorias

circulares, con centro en el origen.

FUNCIN POTENCIAL COMPLEJA PARA

EXPRESAR LAS REDES DE FLUJO.

Conociendo :

GOMERResaltado

FLUJO RECTILINEO :

Toda red de flujo tendr parte real constituido por y

otra parte imaginaria formada por .

FLUJO FUENTE :

GOMERResaltado

GOMERResaltado

FLUJO SUMIDERO :

FLUJO VORTICE :

GOMERResaltado

GOMERResaltado

REDES DE FLUJOS COMPUESTOS

Se utiliza el principio de superposicin de afectos

Si :

Ejemplo : Flujo rectilneo con un sumidero

GOMERResaltado

Flujo Compuesto :

El proceso grfico se realiza para intensidades uo y Q conocidos, siendo por lo tanto datos.

Ejm :

uo = 1m3/seg , Q = 1m3/seg.Se obtiene valores de las lneas de corriente

(mayormente) para cada flujo simple, posteriormente

se hace para el flujo compuesto.