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CIRCUITOS ELECTRICOS 12011-0

8. Circuitos de 1er. Orden

Profesor: Ing. Salomon Luque Gamero

Fuente: FUNDAMENTALS OF ELECTRIC CIRCUITSThird Edition Charles K. Alexander-Matthew N.O. Sadiku McGraw-Hill 2007

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8. Circuitos de Primer Orden

8.1 Circuito RC sin fuente

8.2 Circuito RL sin fuente

8.3 Función paso-unidad

8.4 Respuesta escalón de un circuito RC

8.5 Respuesta escalón de un circuito RL

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Objetivos del Proceso de AprendizajeAl termino de este capitulo debe tener habilidad y destreza para que:

Determine que circuitos de primer orden existen

Compare los circuitos RC y RL sin fuente

Encuentre la constante-tiempo de un circuito de primer orden

Aprende acerca de funciones singulares como la función impulso unidad y la función paso unidad

Determine de la respuesta de un circuito RC o RL a la función pasoCompare la respuesta natural, transitoria, y permanente

Aplique el PSpice para el análisis transitorio

Aplique lo aprendido a circuitos temporizadores, unidades de photoflash, y circuitos de encendido de automóviles.

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8.1 Circuito RC sin fuente (1)

Un circuito de Primer Orden es caracterizado por una ecuación diferencial de primer orden.

Aplicar las leyes de Kirchhoff a un circuito puramente resistivo da como resultado una ecuación algebraica.

Aplicar las leyes a circuitos RC y RL produce ecuaciones diferenciales.

Ley de Ohms

Ley del capacitor

0 =+dt

dvC

R

v0 =+ CR iiPor KCL

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8.1 Circuito RC sin fuente (2)

La respuesta natural de un circuito refiere al comportamiento (en términos de voltajes) del circuito en si mismo, sin fuentes externas de excitación.

La constante tiempo de un circuito es el tiempo requerido para que la respuesta decaiga por un factor de 1/e o 36.8% de su valor inicial.

v decae rápido para un menor τ y más lento para un mayor τ .

CR=τTiempo constante

Decae más lento

Decae más rapido

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8.1 Circuito RC sin fuente (3)La clave para trabajar con circuitos RC sin fuente es encontrar:

1. El voltaje inicial v(0) = V0 a través del capacitor.

2. La constante de tiempo τ = RC.

τ−= /0)( teVtv CR=τdonde

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8.1 Circuito RC sin fuente (4)

Ejemplo 1

Determinar vC, vx, y io para t ≥ 0.

Asumir que vC(0) = 30 V.

Respuesta: vC = 30e–0.25t V ; vx = 10e–0.25t ; io = –2.5e–0.25t A

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8.1 Circuito RC sin fuente (5)

Ejemplo 2

El interruptor del circuito es abierto en t = 0, hallar v(t)

para t ≥ 0.

Respuesta: V(t) = 8e–2t V

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8.2 Circuito RL sin fuente (1)

Un circuito RL de primer orden consiste en un inductor L (o su equivalente) y un resistor (o su equivalente).

0 =+ RL vvPor KVL

0 =+ iRdt

diL

Ley de Lenz Ley de Ohms

dtL

R

i

di−= LtReIti /

0 )( −=

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8.2 Circuito RL sin fuente (2)

La constante tiempo de un circuito es el tiempo requerido para que la respuesta decaiga por un factor de 1/e o 36.8% de su valor inicial.

i(t) decae más rápido para un menor τ y más lento para un mayor τ.

La forma general es muy similar a la de un circuito RC.

τ−= /0)( teIti

R

L=τ

La forma general de representación RL

donde

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8.2 Circuito RL sin fuente (3)

τ−= /0)( teIti

R

L=τ

Circuito RL de fuente libre

dondeτ/

0)( teVtv −= RC=τ

Circuito RC de fuente libre

donde

Comparación entre un circuito RL y RC

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8.2 Circuito RL sin fuente (4)La clave para trabajar con un circuito RL de fuente libre es encontrar:

1. El voltaje inicial i(0) = I0 a través del inductor.

2. Tiempo constante τ = L/R.

τ/0)( teIti −=

R

L=τdonde

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8.2 Circuito RL sin fuente (5)

Ejemplo 3

Encontrar i y vx en el circuito.

Asumir que i(0) = 5 A.

Respuesta: i(t) = 5e–53t A

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8.2 Circuito RL sin fuente (6)

Ejemplo 4

Para el circuito, hallar i(t) para t > 0.

Respuesta: i(t) = 2e–2t A

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8.3 Función paso-unidad (1)

La función paso-unidad u(t) es 0 para valores negativos de t y 1 para valores positivos de t.

⎩⎨⎧

><

=0,10,0

)(t

ttu

⎩⎨⎧

><

=−o

oo tt

ttttu

,1,0

)(

⎩⎨⎧

−>−<

=+o

oo tt

ttttu

,1,0

)(

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8.3 Función paso-unidad (2)

1. voltage source.

2. for current source:

Representa un cambio abrupto para:

Fuente de voltaje

Para fuente de corriente

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• Condición inicial: v(0-) = v(0+) = V0

• Aplicando KCL,

o

• donde u(t) es la función escalon-unidad.

8.4 Circuito RC de respuesta escalón(1)La respuesta escalonada de un circuito es su comportamiento cuando la excitación es una función escalonada, que puede ser un voltaje o una fuente de corriente.

0)(=

−+

R

tuVv

dt

dvc s

)(tuRC

Vv

dt

dv s−−=

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8.4 Circuito RC de respuesta escalón (2)

Integrar ambos lados y considerando la condición inicial, la ecuación de la solución es:

⎩⎨⎧

>−+

<=

− 0)(

0)(

/0

0

teVVV

tVtv

tss

τ

Valor final en t -> ∞

Valor inicialen t = 0

Respuesta de fuente libre

Respuesta completa = Respuesta natural + Respuesta Forzada(Energía acumulada) (Fuente independiente)

= V0e–t/τ + Vs(1–e–t/τ)

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8.4 Circuito RC de respuesta escalón (3)

Tres pasos para encontrar la respuesta escalón de un circuito RC:

1. El voltaje inicial del capacitor v(0).

2. El voltaje final del capacitor v(∞) DC voltaje a través de C.

3. El tiempo constante τ.

τ/ )]( )0( [ )( )( tevvvtv −∞−++∞=

Nota: El método mostrado es un método simplificado. También se puede determinar la solución poniendo la formula del circuito directamente usando KCL, KVL, ley de ohms, y las leyes de capacitores e inductores.

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Ejemplo 5

Hallar v(t) para t > 0 en el circuito. Asumir que el interruptor abierto por un buen tiempo fue cerrado en t = 0.

Calcular v(t) en t = 0.5.

8.4 La Respuesta al escalón de unCircuito RC (4)

Respuesta: v(0.5) = 0.5182V515)( 2 −= − tetv

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8.5 Respuesta al escalon en un CircuitoRL (1)

La respuesta escalonada de un circuito es su comportamiento cuando la excitación es una función escalonada, que puede ser un voltaje o una fuente de corriente.

• Corriente iniciali(0-) = i(0+) = Io

• Corriente final del inductori(∞) = Vs/R

• Tiempo constante τ = L/R

)()()( tueR

VI

R

Vti

ts

os τ

−−+=

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8.5 Respuesta al escalon de un CircuitoRL(2)

Tres pasos para encontrar la respuesta escalón de uncircuito RL:

1. La corriente incial del inductor i(0) at t = 0+.

2. La la corriente final del inductor i(∞).

3. El tiempo constante τ.

Nota: El método mostrado es un método simplificado. También se puede determinar la solución poniendo la formula del circuito directamente usando KCL, KVL, ley de ohms, y las leyes de capacitores e inductores.

τ/ )]( )0( [ )( )( teiiiti −∞−++∞=

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Ejemplo 6

El interruptor mostrado ha estado cerrado por un largo

tiempo. Se abre en t = 0.

Hallar i(t) para t > 0.

8.5 Respuesta escalon de un CircuitoRL (4)

Respuesta:teti 102)( −+=

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RESUMEN:Circuitos de primer orden

1. El análisis contenido en este capítulo es aplicable a cualquier circuito que pueda reducirse en un circuito equivalente que comprenda un resistor y un solo elemento de almacenamiento de energía (inductor o capacitor).Tal circuito es de primer orden a causa de que su comportamiento lo describe por una ecuación diferencial de primer orden. Al analizar circuitos RC y RL siempre debe tenerse en cuenta que el capacitor es un circuito abierto en condiciones de cd de estado estable, mientras que el inductor es un cortocircuito en condiciones de cd de estado estable.

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2. La respuesta natural se obtiene cuando no está presente ninguna fuente independiente. Tiene la forma general

x(t) = x(0) e – t / τ

donde x representa la corriente a través (o tensión) de un resistor, un capacitor o un inductor y x(0) es el valor inicial de x. A causa de que la mayoría de los circuitos prácticos siempre tienen pérdidas, la respuesta natural es un respuesta transitoria, lo que quiere decir que se extingue con el tiempo.

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3. La constante de tiempo τ es el tiempo requerido para que una respuesta decaiga a 1/e de su valor inicial.

4. En circuitos RC, τ = RC y en circuitos RL, τ = L/R.Las funciones singulares incluyen las funciones de: escalón unitario, rampa unitaria e impulso unitario. La función escalón unitario u(t) es:

u (t) = 0, t < 01, t > 0

La función impulso unitario es :

δ (t) =0, t < 0Indefinido, t = 01, t > 0

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5. La respuesta en estado estable es el comportamiento del circuito después de la aplicación durante mucho tiempo de una fuente independiente. La respuesta transitoria es el componente de la respuesta completa que se extingue con el tiempo.

6. La respuesta total o completa consta de la respuesta en estado estable y la respuesta transitoria.

7. La respuesta escalón es la respuesta del circuito a una súbita aplicación de una corriente o tensión de cd. Parahallar la respuesta de escalón de un circuito de primer orden se requieren el valor inicial x(0+), el valor final x(∞)y la constante de tiempo τ .

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Con estos tres elementos se obtiene la respuesta de escalón como:

x(t) = x (∞) +〔x(0+) - x (∞)〕e – t/τ

Una forma más general de esta ecuación es :x(t) = x (∞) +〔x(to+) - x (∞)〕e – (t-to)/τ

O bien se puede escribir como:Valor instantáneo = Valor final +〔Inicial - Final〕e – (t - to)/τ

8. PSpice es muy útil para obtener la respuesta transitoria de un circuito.

9. Cuatro aplicaciones prácticas de circuitos RC y RL son el circuito de retraso, la unidad de flash fotográfico, el circuitorelevador y el circuito de encendido de un automóvil.

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8.1

8.2

8.3

Preguntas de repaso

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Figura 7.79 para las preguntas de repaso 7.5 y 7.6

8.4

8.5

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8.6

8.7

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8.8

8.9

8.10

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Respuestas: 8.1 d, 8.2 b, 8.3 c, 8.4 b, 8.5 d,

8.6 a, 8.7 c, 8.8 e, 8.9 c, 8.10 b.

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