Circunferencia

Índice La Circunferencia. La Circunferencia como lugar geométrico. Elementos de la circunferencia. Ecuación analítica de la circunferencia. Ejemplo.

Circunferencia

La circunferencia, se obtiene como un caso particular de elipse, se origina al cortar el cono con un plano perpendicular al eje del cono.

Corte

Eje

Plano

Circunferencia

Circunferencia como lugar geométricoEs el lugar

geométrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo, llamado centro, es constante.

Elementos de la circunferencia En toda circunferencia

conviene considerar:

C: es el centro de la circunferencia.

P: un punto cualquiera de la circunferencia.

r: se le conoce como radio y es la distancia del centro de la circunferencia al punto P.

P (x, y)

r

C (a, b)

Ecuación analítica de la circunferencia Si hacemos coincidir el

centro con el origen de coordenadas, las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia (x, y) determina un triángulo rectángulo, y por supuesto que responde al teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2.

Ecuación analítica de la circunferencia

Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que:

r2 = (x – a)2 + (y – b)2 Podemos desarrollar

resolviendo los cuadrados y obtenemos:

x2 + y2 + a2 + b2–2ax –2by – r2 = 0

Ecuación analítica de la circunferencia

x2 + y2 + a2 + b2–2ax –2by – r2 = 0

Si reemplazamos D=–2a E=–2b F = a2 + b2 – r2 Tendremos que:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

EJEMPLO: Si tenemos la ecuación x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = 0 Entonces tenemos que: D = 6 6 = – 2a a = – 3 E = – 8 – 8 = – 2b b = 4 El centro de la circunferencia es (–3,4). Hallemos el radio F = (– 3)2 + 42 – r2 – 11 = (– 3)2 + 42 – r2 r = 6 La ecuación de la circunferencia queda:

(x + 3)2 + (y – 4)2 = 36

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gráfica

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