circunferencia
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Circunferencia
La ecuacion general de la parabola es: Si la parabola es vertical: (x− h)2 = 4p (y − k)Si la parabola es horizontal: (y − k)2 = 4p (x− h)
para este ejercicio nos piden encontrar la ecuacion de la circunferencia teniendo comodatos que la ecuacion de la circunferencia pasa por el vertice y los puntos extremos dellado recto de la parabola x2?4y = 0
De La parabola:x2 = 4y
Podemos obtener los siguientes datos:Por su forma es una parabola vertical Su vertice queda en el origen de coordenadas:
V (h, k) = (0, 0) =⇒ h = 0 k = 0 El valor del foco es 1 dado que: 4p = 4⇒ p = 1Para hallar los extremos del lado recto debemos saber que el lado recto es el segmento
de recta comprendido por la parabola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz.Como el foco es p = 1 =⇒ y = 1. Reemplazando en la parabola:
(x− 0)2 = 4p (y − 0)
(x)2 = 4(1) (1− 0)
x2 = 4 =⇒ x = ±2
Entonces los lados extremos del lado recto son:
L1 = (−2, 1) L1 = (2, 1)
Se puede observar en la siguiente figura:
Luego encontramos el centro de la circunferencia, para ello encontramos primero elradio, que como vemos en la figura el centro estara a lo largo del eje y, entonces su centroestara en el punto C(h, k) = (0, R) .
1
Como L1 ∈ C y C es la ecuacion de la circunferencia, reemplazamos el punto L1 =(−2, 1) en la ecuacion de a circunferencia:
(x− h)2 + (y − k)2 = R2
(−2− 0)2 + (1−R)2 = R2
4 + 1− 2R + R2 = R2
2R = 5 =⇒ R = 2,5
La ecuacion de la circunferencia sera:
(x)2 +
(y − 5
2
)2
=25
4
Utilizaremos:
L{y′} = sy(s)− y(0)
L{y′′} = s2y(s)− sy(0)− y′(0)
L{y′′′} = s3y(s)− s2y(0)− sy′(0)− y′′(0)
L{y′′′} = s4y(s)− s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)
Utilizaremos la Transformada de Laplace con valores iniciales:
y(0) = y′(0) = 0 y′′(0) = y′′′(0) = 1
de la ecuacion diferencia
d4y
dx4− 3
d3y
dx3+ 3
d2y
dx2− dy
dx= 0
2
y′′′′ − 3y′′′ + 3y′′ − y′ = 0
L{y′′′′ − 3y′′′ + 3y′′ − y′} = 0
L{y′′′′} − 3L{y′′′}+ 3L{y′′} − L{y′} = 0
Aplicando la transformada de Laplace:
[s4y(s)− s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)
]−3
[s3y(s)− s2y(0)− sy′(0)− y′′(0)
]+3
[s2y(s)− sy(0)− y′(0)
]−[sy(s)− y(0)] = 0
[s4y(s)− s− 1
]− 3
[s3y(s)− 1
]+ 3
[s2y(s)
]− [sy(s)] = 0
s4y(s)− s− 1− 3s3y(s) + 3 + 3s2y(s)− sy(s) = 0
s4y(s)− 3s3y(s) + 3s2y(s)− sy(s)− s− 1 + 3 = 0
[s4 − 3s3 + 3s2 − s
]y(s) = s− 2
y(s) =s− 2
s4 − 3s3 + 3s2 − s
Aplicamos fracciones parciales,
s− 2
s4 − 3s3 + 3s2 − s=
s− 2
s(s− 1)3=
A
s+
B
s− 1+
C
(s− 1)2+
D
(s− 1)3
De donde obtenemos:
A = 2 B = −2 C = 2 D = −1
y(s) =2
s− 2
s− 1+
2
(s− 1)2− 1
(s− 1)3
Aplicando la transformada inversa:Recordar que:
tneat =n!
(s− a)n
y = L−1{2
s} − 2L−1{ 1!
s− 1}+ L−1{ 2!
(s− 1)2} − 1
6L−1{ 3!
(s− 1)3}
y = 2− 2tet + t2et − 1
6t3et
En conclusion:
y =1
6et[12− 12t + 6t2 − t3
]
3