Circunferencia de los nueve puntosSaltar a: navegacin, bsqueda

En geometra, se conoce como circunferencia de los nueve puntos a una circunferencia que se puede construir sobre cualquier tringulo dado. Su nombre deriva del hecho que la circunferencia pasa por nueve puntos notables, seis de ellos sobre el mismo tringulo (salvo que el tringulo sea obtusngulo). Estos son:

el punto medio de cada lado del tringulo, los pies de las alturas, y los puntos medios de los segmentos determinados por el ortocentro y los vrtices del tringulo.

Al crculo de los nueve puntos se le conoce tambin entre otros como crculo de Feuerbach, crculo de Euler, crculo de los seis puntos o crculo medioinscrito.

Contenido[ocultar]

1 Historia 2 Demostracin 3 Circunferencia circunscrita y de Feuerbach 4 Otras propiedades 5 Notas 6 Enlaces externos

[editar] HistoriaGeneralmente,1 se adjudica a Karl Wilhelm Feuerbach el descubrimiento de la circunferencia de los nueve puntos; sin embargo, lo que Feuerbach descubri fue la circunferencia de los seis puntos, reconociendo que sobre ella se encuentran los puntos medios de los lados de un tringulo y los pies de las alturas del tringulo (en la figura, los puntos: M N P y E G J). Anteriormente, Charles Brianchon y Jean-Victor Poncelet haban demostrado su existencia. Poco tiempo despus de Feuerbach, Olry Terquem tambin demostr la existencia del crculo y reconoci adems que los puntos medios de los segmentos determinados por los vrtices del tringulo y el ortocentro, tambin estn contenidos en la circunferencia (en la figura, los puntos: D F H).

[editar] Demostracin

Consideremos las alturas del tringulo ABC: AE, BG y CJ (vase la figura). El tringulo GEJ es el tringulo rtico del tringulo ABC, y el punto I es el ortocentro del tringulo ABC. Las alturas de este, son las bisectrices de los ngulos internos de aquel. Los lados del tringulo ABC son las bisectrices exteriores del tringulo GEJ. Las bisectrices del ngulo JGE cortan a la mediatriz del lado opuesto, EJ en los puntos F y N que se hallan sobre la circunferencia circunscrita c (descrito en el artculo de la bisectriz de un angulo). Observemos que los tringulos ACJ y ACE son rectngulos teniendo ambos al lado AC como hipotenusa. Se sigue que los cuatro puntos A, C, E y J son concclicos y el centro de la circunferencia que los contiene se halla sobre la interseccin de la hipotenusa AC con la

mediatriz del segmento EJ, esto es, el punto N. Se sigue que N es punto medio del segmento AC. De modo semejante, los tringulos EIB y JIB son rectngulos compartiendo la hipotenusa IB. Por lo tanto, los puntos E, I, J y B son concclicos y el centro de la circunferencia que los contiene se halla sobre la interseccin de la hipotenusa IB con la mediatriz del segmento EJ, esto es el punto F. De igual modo, se demuestra que los puntos M y P son los puntos medios de los lados AB y BC respectivamente. De forma anloga, se demuestra que los puntos D y H son puntos medios de los segmentos AI y CI respectivamente.

[editar] Circunferencia circunscrita y de Feuerbach

Por la observacin de que los puntos D, F y H satisfacen

se deduce que:

la circunferencia de Feuerbach de un tringulo es homottica a la circunferencia circunscrita, el centro de la homotecia es el ortocentro del tringulo, la razn de la homotecia es 2.

El tringulo formado por los puntos D, F y H2 es semejante al tringulo ABC. Tambin se observa que el centro de la circunferencia de Feuerbach N, es punto medio del segmento IO, donde O es el circuncentro del tringulo ABC. Finalmente, el centro de la circunferencia de Feuerbach se halla sobre la recta de Euler del tringulo.

[editar] Otras propiedades

En 1822, Karl Feuerbach descubri una de las propiedades ms profundas sobre la circunferencia que lleva su nombre: la circunferencia de los nueve puntos es tangente exterior a los crculos exinscritos al tringulo. La circunferencia inscrita al tringulo es tangente interior a la circunferencia de Feuerbach. La demostracin de este hecho3 puede hacerse, observando que los puntos de tangencia de dos de las circunferencias exinscritas a uno de los lads del tringulo equidistan del punto medio de dicho lado. Usando la inversin respecto de este punto medio se le puede dar el toque final a la demostracin.

1. LA CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOSPara todo tringulo ABC existe una circunferencia que contiene los puntos medios de los lados, los pies de las alturas y los puntos medios de los segmentos determinados por el ortocentro y los tres vrtices. Esta circunferencia se conoce con el nombre de circunferencia de los "nueve puntos" o de Feuerbach. El siguiente applet permite observar un tringulo y su circunferencia de los "nueve puntos". Los puntos medios de los lados estn marcados en color azul, los pies de las alturas en rojo y los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro con los vrtices en turquesa. Se pueden modificar las coordenadas de los vrtices del tringulo ABC (utilizando los controles que existen en la parte inferior del applet) y comprobar que los nueve puntos se encuentran sobre la misma circunferencia. CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS

DEMOSTRACIN:

Los puntos P9,P4,P5 y P8 estn sobre una misma circunferencia de dimetro P9P5ya que los ngulos