LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS. 9.1 – … – ESTUDIO DE LA CIRCUNFERENCIA DEFINICIÓN...

LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS.

9.1 – LUGARES GEOMÉTRICOS Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad. Llamando X(x,y) a las coordenadas del punto genérico y aplicando analíticamente la propiedad que debe cumplir, se obtiene la ecuación de la figura geométrica.

9.2 – ESTUDIO DE LA CIRCUNFERENCIA DEFINICIÓN Circunferencia de centro C y radio r es el lugar geométrico de los puntos del plano X, cuya distancia al centro C es el radio r. d (X,C) = r Si X(x,y) y C(a,b) 22222 r)by()ax(r)by()ax( Desarrollando : x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2 x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0

x2 + y2 + Ax + By + C = 0 tal que

222 rbaCb2Ba2A

Notas: Hay que tener en cuenta que r2 debe ser mayor cero Para poder aplicar lo anterior los coeficientes de x2 y de y2 deben ser 1. Si son

distintos no es una circunferencia y si iguales pero distintos de 1 debemos dividir toda la ecuación entre dicho coeficiente antes de calcular el centro y el radio con las ecuaciones anteriores.

POSICIÓN RELATIVA DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA

Dibujo Resolviendo el sistema Calculando distancias Exterior

No existe solución

d(recta,centro)>radio

Tangente

Una solución

d(recta,centro)=radio

Secante

Dos soluciones

d(recta,centro)<radio

9.3 – POTENCIA DE UN PUNTO A UNA CIRCUNFERENCIA DEFINICIÓN: Se llama potencia de un punto P(,) a una circunferencia C a d2 – r2 , siendo d la distancia del punto al centro: Pot = d2 – r2 = ( - a)2 + ( - b)2 – r2

Si el punto es exterior a la circunferencia (d > r) Pot > 0 Si el punto es de la circunferencia (d = r) Pot = 0 Si el punto es interior a la circunferencia (d < r) Pot < 0 EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS: Se llama eje radical de dos circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto a ambas. El eje radical de dos circunferencias es una recta perpendicular a la línea de los centros.

9.5 – ESTUDIO DE LA ELIPSE DEFINICIÓN Lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante k d(X,F) + d(X,F’) = k

CÓMO SE DIBUJA Se clavan dos estacas y con una cuerda tensa con extremos en dichas estacas se va dibujando la elipse. ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS

Focos : F y F’ Centro : O Semieje mayor : a = OA = OA’ Eje mayor : 2a = AA’ Semieje menor : b = OB = OB’ Eje menor : 2b = BB’ Semidistancia focal : c = OF = OF’ Distancia focal : 2c = FF’ La constante k = AF + AF’ = AF + FA’ = AA’ = 2a Además como B es un punto de la elipse: BF + BF’ = 2a y como BF = BF’ BF = a Por tanto aplicando Pitágoras se cumple que a2 = b2 + c2 y a > b, c EXCENTRICIDAD Se llama excentricidad de una elipse al cociente entre la distancia focal y el eje mayor e = c/a 0 < e < 1 A mayor excentricidad más alargada es la elipse. ECUACIÓN REDUCIDA Ecuación de la elipse centrada en el origen y de eje mayor OX Aplicando la definición de elipse d(X,F) + d(X,F’) = 2a y la relación entre sus elementos a2 = b2 + c2: d((x,y),(c,0)) + d((x,y),(-c,0)) = 2a a2y)cx(y)cx( 2222 Despejando una raíz y elevando al cuadrado

2222

22 y)cx(a2y)cx( x2 – 2cx + c2 + y2 = 4a2 + x2 + 2xc + c2 +

y2 – 4a 22 y)cx( Simplicando -4cx – 4a2 = -4a 22 y)cx(

cx + a2 = a 22 y)cx( Elevando al cuadrado c2x2 + 2cxa2 + a4 = a2(x2 + 2cx + c2 + y2) Agrupando c2x2 – a2x2 –a2y2 = a2c2 – a4 (c2 – a2)x2 – a2y2 = a2(c2 - a2)

-b2x2 – a2y2 = -a2b2 b2x2 + a2y2 = a2b2 Dividiendo por a2b2 1by

ax

2

2

2

2

Ecuación de la elipse de centro el origen y de eje mayor OY

1ay

bx

2

2

2

2

Ecuación de la elipse de centro C(,) y el eje mayor paralelo a OX

1b

ya

x2

2

2

2

Ecuación de la elipse de centro C(,) y el eje mayor paralelo a OY

1a

yb

x2

2

2

2

9.6 – ESTUDIO DE LA HIPÉRBOLA DEFINICIÓN Lugar geométrico de los puntos del plano cuya resta de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante k d(X,F) - d(X,F’) = k

ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS

Focos : F y F’ Centro : O Semieje: a = OA = OA’ Eje mayor : 2a = AA’ Semidistancia focal : c = OF = OF’ Distancia focal : 2c = FF’ Asíntotas : Las rectas r y r’ La constante k = AF - AF’ = AF - FA’ = AA’ = 2a Además como B es un punto de la elipse: BF + BF’ = 2a y como BF = BF’ BF = a Por tanto aplicando Pitágoras se cumple que c2 = a2 + b2 y c > a, b EXCENTRICIDAD Se llama excentricidad de una hipérbola al cociente entre la distancia focal y el eje mayor e = c/a e > 1 A mayor excentricidad más plana es la hipérbola.

ECUACIÓN REDUCIDA Ecuación de la hipérbola centrada en el origen y de eje mayor OX Aplicando la definición de hipérbola d(X,F) - d(X,F’) = 2a y la relación entre sus elementos c2 = a2 + b2: d((x,y),(c,0)) - d((x,y),(-c,0)) = 2a a2y)cx(y)cx( 2222 Despejando una raíz y elevando al cuadrado

2222

22 y)cx(a2y)cx( x2 – 2cx + c2 + y2 = 4a2 + x2 + 2xc + c2 +

y2 + 4a 22 y)cx( Simplicando -4cx – 4a2 = +4a 22 y)cx(

cx + a2 = -a 22 y)cx( Elevando al cuadrado c2x2 + 2cxa2 + a4 = a2(x2 + 2cx + c2 + y2) Agrupando c2x2 – a2x2 –a2y2 = a2c2 – a4 (c2 – a2)x2 – a2y2 = a2(c2 - a2)

b2x2 – a2y2 = a2b2 Dividiendo por a2b2 1by

ax

2

2

2

2

Ecuación de la hipérbola de centro el origen y de eje mayor OY

1ay

bx

2

2

2

2

Ecuación de la hipérbola de centro C(,) y el eje mayor paralelo a OX

1b

ya

x2

2

2

2

Ecuación de la hipérbola de centro C(,) y el eje mayor paralelo a OY

1a

yb

x2

2

2

2

9.7 – ESTUDIO DE LA PARÁBOLA DEFINICIÓN Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fijo llamada directriz d(X,F) = d(X,d) ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS

F : Foco d : Directriz V : Vértice de la parábola p : Distancia del foco a la directriz EXCENTRICIDAD La excentricidad de una parábola es siempre 1 ECUACIÓN REDUCIDA Ecuación reducida de la parábola de vértice el origen y directriz paralela al eje OX F (0,p/2) y d: y = - p/2 Aplicando la definición : d (X,F) = d(X,d)

2/py)2/py(x 22 Elevando al cuadrado x2 + y2 – py + p2/ 4 = y2 + py + p2/4 x2 = 2py Nota: Si la parábola se abre hacia abajo : x2 = -2py Ecuación reducida de la parábola de vértice el origen y directriz paralela al eje OY Si la parábola se abre hacia la derecha: y2 = 2px Si la parábola se abre hacia la izquierda : y2 = -2px Si está centrada en (,) Si la parábola se abre hacia la arriba: (x - )2 = 2p(y-) Si la parábola se abre hacia la abajo: (x - )2 = -2p(y - ) Si la parábola se abre hacia la derecha: (y - )2 = 2p(x - ) Si la parábola se abre hacia la izquierda: (y - )2 = -2p(x - )

LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS CIRCUNFERENCIA EJERCICIO 1 : Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto P (1, 3), y que es tangente a la recta r : 4x 3y 1 0. Solución:

El radio, R, de la circunferencia es igual a la distancia del centro, P (1, 3), a la recta tangente,

r : 4x 3y 1 0: 5

1225

|194|916

|13·31·4|r,PdistR

La ecuación de la circunferencia será: :decir es ;5

123y1x2

22

025

106y6x2yx25

1443y1x 2222 25x2 25 y2 50x 150y 106 0

EJERCICIO 2 : a) Calcula el centro y el radio de la circunferencia de ecuación:2x2 2y2 8x 12y 24 0 b) Escribe la ecuación de la circunferencia de radio 3, que es concéntrica con la anterior. Solución: a) Dividimos entre 2 la ecuación: x2 y2 4x 6y 12 0

3,226,

24Centro

1112941232Radio 22

b) Si tiene centro (2, 3) y radio 3, su ecuación será: (x 2)2 (y 3)2 9, es decir: x2 y2 4x 6y 4 0

EJERCICIO 3 : Estudia la posición relativa de la recta r : 2x 3y 5 0 y la circunferencia: x2 y2 6x 2y 6 0 Solución: Hallamos en centro y el radio de la circunferencia:

1,322,

26CCentro

24619RRadio

Hallamos la distancia del centro a la recta dada: 222,2138

13|536|

94|51·33·2|

r,Cdist

Por tanto, la recta es exterior a la circunferencia.

EJERCICIO 4 : a) Halla el centro y el radio de la circunferencia: x2 y2 2x 3 0 b) Estudia la posición relativa de la recta 2x y 0 respecto a la circunferencia anterior. Solución:

0,120,

22Centroa)

2431301Radio 22

b) Hallamos la distancia del centro a la recta dada: secantes.Son radio5

214

01·2distancia

EJERCICIO 5 : Halla la ecuación de la circunferencia tangente a la recta 3x 4y 5 0 y cuyo centro es el punto C (2, 1). Solución:

El radio de la circunferencia es la distancia del centro a la recta dada:

57

25

546

169

51·42·3Radio

La ecuación de la circunferencia es: :decir es,25491y2x 22 25x2 25y2 100x 50y 76 0

EJERCICIO 6 : Escribe la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P (2, 1), Q (3, 0) y R (0, 2). Solución: La ecuación de la circunferencia es x2 y2 Ax By C 0. Hallamos A, B y C teniendo en cuenta que P, Q y R satisfacen la ecuación, por ser puntos de la circunferencia:

18C7B

3A

4CB29CA35CBA2

0CB20400C0A3090CBA214

Por tanto, la ecuación es: x2 y2 3x 7y 18 0

EJERCICIO 7 : Halla el valor de k para que la recta 3x 4y k 0 sea tangente a la circunferencia x2 y2 4y 5 0. Solución: Hallamos el centro y el radio de la circunferencia:

2,024,

20Centro

39540Radio

Calculamos la distancia del centro a la recta dada:

58k

169

k2·40·3d

La recta es tangente a la circunferencia cuando:

7k158k

23k158k158k3

58k

EJERCICIO 8 : Obtén el centro y el radio de la circunferencia cuyo centro está en la recta y 3x y que pasa por los puntos (3, 2) y (1, 4). Solución: Si tiene su centro en la recta y 3x, las coordenadas de este son C (x, 3x). La distancia de cada uno de los puntos dados al centro ha de ser igual (esta distancia es el radio de la circunferencia):

2222 4x31x2x33x

x2 6x 9 9x2 12x 4 x2 2x 1 9x2 24x 16 23y

21

84x4x8

.23,

21C es nciacircunfere la de centro El

226

426

41

4252,3,Cdistr :es radio El

EJERCICIO 9 : Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(1,2) y B(1,4) y tiene su centro en la recta y 2x. Solución: Si tiene su centro en la recta y 2x, las coordenadas de este son C(x, 2x).

La distancia de A al centro ha de ser igual que la distancia de B al centro (esta distancia es el radio de la

circunferencia): dist (A, C) dist (B, C) 2222 4x21x2x21x

x2 2x 1 4x2 8x 4 x2 2x 1 4x2 16x 16 12x 12 x 1 y 2

El centro de la circunferencia es C(1, 2). 24, :es radio El CAdistr

La ecuación será: (x 1) 2 (y 2) 2 4 x2 y2 2x 4y 1 0

EJERCICIO 10 : Escribe la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (2, 3) y que es tangente a la recta 3x 4y 5 0. Solución:

El radio, R, de la circunferencia es igual a la distancia del centro a la recta dada:

523

25

5126r,CdistR

La ecuación será: 025

204y6x4yx25

5293y2x 2222

25x2 25 y2 100x 150y 204 0

EJERCICIO 11 : Obtén la ecuación de la circunferencia de radio 2 que pasa por los puntos (1, 0) y (3, 2). Solución: El centro de la circunferencia pertenece a la mediatriz del segmento de extremos A(1, 0) y B(3, 2):

1,22

20,2

31MBy A de medio Punto

122

1302mBy Apor pasa que recta la de Pendiente

111

m1ular)(perpendic mediatriz la de Pendiente

Ecuación de la mediatriz: y 1 1(x 2) y 1 x 2 y 3 x Las coordenadas del centro de la circunferencia son C(x, 3 x).

La distancia del centro a los puntos A y B debe ser igual a 2: 2x31xC,Adist 22

x2 2x 1 9 6x x2 4 2x2 8x 6 0 x2 4x 3 0

2y1x

0y3x

224

244

212164x

Hay dos soluciones: Centro (3, 0) y radio 2: (x 3)2 y2 4 x2 y2 6x 5 0 Centro (1, 2) y radio 2: (x 1)2 (y 2)2 4 x2 y2 2x 4y 1 0

EJERCICIO 12 : a) Halla el centro y el radio de la circunferencia de ecuación:2x2 2y2 8x 12y 8 0 b) Escribe la ecuación de la circunferencia de radio 5, que es concéntrica a la del apartado anterior. Solución: a) 2x2 2y2 8x 12y 8 0 x2 y2 4x 6y 4 0

3,226,

24Centro

39494Radio b) La circunferencia tiene radio 5 y centro (2, 3). Su ecuación será:

(x 2) 2 (y 3) 2 25 x2 y2 4x 6y 12 0

EJERCICIO 13 : Halla la ecuación de la circunferencia tangente a la recta 4x 3y 25 0 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 3x y 7 0 y 2x 3y 1 0. Solución:

Hallamos su centro: 017x33x27x3y

01y3x207yx3

2x 9x 21 1 0 11x 22 x 2 y 1 El centro es C(2, 1).

El radio, R, es igual a la distancia del centro a la recta tangente:

45

2025

2538r,CdistR

La ecuación será: (x 2)2 (y 1) 2 16 x2 y2 4x 2y 11 0 EJERCICIO 14 : Estudia la posición relativa de la recta r: 2x y 1 y la circunferencia x2 y2 4x 2y 4 0. Solución: Hallamos el centro y el radio de la circunferencia:

1,222,

24C Centro

39414R Radio

Hallamos la distancia del centro a la recta dada: radio 379,15

414

1122r,Cdist

Por tanto, la circunferencia y la recta son secantes. Se cortan en dos puntos. EJERCICIO 15 : Halla la posción relativa de la recta 3x 4y 25 0 con respecto a la circunferencia x2 y2 25 0. Si se cortan en algún punto, halla sus coordenadas. Solución: Como tenemos que hallar los posibles puntos de corte, resolvemos el sistema:

0254

x325x

4x325y

025y4x3

025yx2

2

22

0400x9x150625x1602516

x9x150625x 222

2

4y3x03x09x6x0225x150x25 222 Se cortan en el punto (3, 4). Por tanto, son tangentes.

EJERCICIO 16 : Obtén el valor de k para que la recta s: x y k 0 sea tangente a la circunferencia x2 y2 6x 2y 6 0. Solución: Hallamos el centro y el radio de la circunferencia: x2 y2 6x 2y 6 0

1,322,

26CCentro

24619rRadio

Hallamos la distancia del centro a la recta dada: 2

4k

2

k13s,Cdist

Para que la recta sea tangente a la circunferencia, esta distancia ha de ser igual al radio:

224k224k

224k224k224k2

2

4k

224k;224k :soluciones dosHay 21

EJERCICIO 17 : Estudia la posición relativa de la recta y = 3

x48 y la circunferencia x2 y2 12x 6y 200.

Solución: Hallamos el centro y el radio de la circunferencia:

3,626,

212CCentro

52520936rRadio Hallamos la distancia del centro a la recta dada:

08y3x4x48y33

x48y:s

radio5525

25

8924s,Cdist

Como la distancia del centro a la recta es igual al radio, la recta es tangente a la circunferencia. EJERCICIO 18 : Halla la posición relativa de la recta r: x y 2 con respecto a la circunferencia x2y22x4y 10 Solución: Hallamos el centro y el radio de la circunferencia:

2,124,

22C Centro

24141R Radio

Hallamos la distancia del centro a la recta dada: radio 253,32

511

221r,Cdist

Por tanto, la recta es exterior a la circunferencia. ELIPSE EJERCICIO 19 : Escribe la ecuación de la siguiente elipse y halla sus semiejes, sus focos y su excentricidad:

Solución:

142y

93x :Ecuación

22

Semieje mayor: 3; semieje menor: 2 2,53'Fy 2,53F :Focos

75,035 :dadExcentrici

EJERCICIO 20 : Halla los semiejes, los focos y la excentricidad de la siguiente elipse. Escribe su ecuación:

Solución: Semieje mayor: 4; semieje menor: 2

12,0'Fy 12,0F :Focos


116y

4x :Ecuación

22

HIPÉRBOLA EJERCICIO 21 : Pon la ecuación de la siguiente hipérbola, su semieje, sus focos, su excentricidad y sus asíntotas:

Solución:

19

x4

y :Ecuación22

Semieje: 2 13,0'Fy 13,0F :Focos


x32y;x

32y :Asíntotas

EJERCICIO 22 : Escribe la ecuación de la siguiente hipérbola y halla sus semieje, sus focos, su excentricidad y sus asíntotas:

Solución:

14

y9

x :Ecuación22

Semieje: 3 0,13'Fy 0,13F :Focos


x32y;x

32y :Asíntotas

PARÁBOLA EJERCICIO 23 : Halla el foco, la directriz y la ecuación de la siguiente parábola:

Solución: Directriz: x 1. Foco (1, 0). Ecuación: y2 4x LUGARES GEOMÉTRICOS EJERCICIO 24 : Halla la ecuación de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas r1: x 3y 1 0 y r2: 3x y 4 0. Solución: Los puntos P(x, y) de las bisectrices cumplen que:

dist (P, r1) dist (P, r2), es decir: 10

4yx3

10

1y3x

Son dos rectas perpendiculares entre sí, que se cortan en el mismo punto que r1 y r2. EJERCICIO 25 : Obtén la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(2, 3) y B(4, 1). Solución: Los puntos P(x,y) de la mediatriz cumplen que:

dist (P, A) dist (P, B), es decir: 2222 1y4x3y2x Elevamos al cuadrado en los dos miembros y operamos:

010444121689644 2222

yxyxyyxxyyxx

Es una recta perpendicular al segmento AB, que pasa por su punto medio.

RECOPILACIÓN EJERCICIO 26 : ¿Cuál es el lugar geométrico cuya suma de distancias a los puntos A(0, 1) y B(0, 1) es 8?. Halla su ecuación. Solución: Es una elipse de focos A y B y constante k 8. Hallamos su ecuación: Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, tenemos que:

dist (P, A) dist (P, B) 4, es decir: 41yx1yx 2222 Elevamos al cuadrado y operamos para simplificar:

222222

222222

2222

1yx81y2yx161y2yx

1yx81yx161yx

1yx41yx

16y8y4y8y4x4

4y1y2yx4

4y1yx2

16y41yx8

222

222

22

22

:12 entre Dividimos .12y3x4 22 elipse. una Es .14

y3

x1212

12y3

12x4 2222

EJERCICIO 27 : Halla el lugar goemétrico de los puntos, P, del plano tales que su distancia a Q(2, 4) sea igual a 3. ¿De qué figura se trata? Solución: Es una circunferencia de centro (2, 4) y radio 3. Hallamos su ecuación: Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, tenemos que:

dist (P, Q) 3, es decir: :operamosy cuadrado al Elevamos .34y2x 22

01184942 2222 yxyxyx EJERCICIO 28 : Identifica y halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que su distancia a la recta r1: x y 1 0 sea igual que su distancia a la recta r2: 2x 2y 4 0. Solución: Las dos rectas dadas, r1: x y 1 0 y r2: x y 2 0, son rectas paralelas. Por tanto, el lugar geométrico pedido será otra recta, paralela a las dos, a igual distancia de ellas:

Hallamos su ecuación: Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, tenemos que:

dist (P, r1) dist (P, r2), es decir: 2

2yx

2

1yx

Observamos que la recta obtenida es paralela a r1 y r2.

EJERCICIO 29 : Halla el lugar geométrico de los puntos del plano, P(x, y), tales que el triángulo ABP sea rectángulo en P, siendo A(2, 1) y B(6, 1). Interpreta la figura que obtienes. Solución: Para que el triángulo sea rectángulo en P, se ha de cumplir que:

0y1,x6y1,x20PBPAPBPA

:decir es ; 011y2x4yx

0y2y1xx6x212

0y1x6x2

22

22

2

161y2x 22 Obtenemos una circunferencia de centro (2, 1) (que es el punto medio del segmento AB) y de radio 4. EJERCICIO 30 : Halla el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de cuadrados de distancias a los puntos A(4, 0) y B(4, 0) es 40. Identifica la figura resultante. Solucion: Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, ha de tenerse que:

:decir es ; 40B,PdistA,Pdist 22

4yx

8y2x2

40y16x8xy16x8x

40y4xy4x

22

22

2222

2222

Obtenemos una circunferencia de centro (0, 0) y radio 2. EJERCICIO 31 : Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que su distancia al punto A(1, 0), es el triple de su distancia a la recta x 2. Identifica la figura que obtienes. Solución: Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, tenemos que:

:decir es , 2x,Pdist3A,Pdist :operamosy cuadrado al Elevamos . 2x3y1x 22

hipérbola. una Es . 035x34yx8

36x36x9y1x2x

¡4x4x9y1x2x

22

222

222

EJERCICIO 32 : Obtén el lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que:

4: y01, siendo 2,

,,

yr ArPdistAPdist

¿Qué figura obtienes? Solución: Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, tenemos que:

r,Pdist2A,Pdist :decir es,2

rP,distAP,dist

:operamosy cuadrado al Elevamos . 4y2y1x 22

hipérbola. una Es . 063y32x2y3x

64y32y4y1x2x

16y8y4y1x2x

22

222

222

EJERCICIO 33 : Halla el lugar geométrico de los puntos, P, del plano cuya distancia a A(2, 0) sea el doble de la distancia a B(1, 0). Identifica la figura resultante. Solución: Si P(x, y) es un punto del lugar geométrico, tenemos que:

:decir es , B,Pdist2A,Pdist :operamosy cuadrado al Elevamos . y1x2y2x 2222

2. radioy 0,2 centro de nciacircunfere una Es . 4y2x

0x4yx

0x12y3x3

y44x8x4y4x4x

y1x2x4y4x4x

22

22

22

2222

2222

EJERCICIO 34 a) Describe la siguiente cónica y represéntala gráficamente: 16x2 y2 16 b) ¿Cuáles son sus focos? Solución:

1161

1616a)22

22 yxyx

Es una elipse de semiejes 1 y 4. Su gráfica es:

151 y 16, que Puestob) 22222 cbacba .15,0' y 15,0 son focos Los FF

EJERCICIO 35 a) Identifica la siguiente cónica y represéntala: 4y2 x2 4 b) ¿Cuáles son sus focos? Solución:

141

44a)22

22 xyxy

Es una hipérbola, cuya gráfica es:

552 y 1 y , Comob) 2222 ccbabac .5,0' y 5,0 son focos Los FF

EJERCICIO 36 : Identifica la siguiente cónica y represéntala: 9x2 25y2 225 Solución:

1925

22525922

22 yxyx

Es una elipse de semiejes 5 y 3. Su gráfica es:

EJERCICIO 37 : Obtén la ecuación de la cónica cuya gráfica es:

Solución:

Observamos que la ecuación es de la forma: .3a quey ;1b

y

a

x2

2

2

2

2b3ay x32yson asíntotas las Como

Así, la ecuación será: 14

y9

x 22

EJERCICIO 38 : Describe la siguiente cónica y represéntala: 36x2 4y2 144 Solución:

136y

4x144y4x36

2222

Es una elipse se semiejes 2 y 6. Su gráfica es:

EJERCICIO 39 : Escribe la ecuación de la siguiente cónica:

Solución:

Es una elipse de centro (3, 4) y semiejes 3 y 1. Su ecuación será: 114y

93x 22

EJERCICIO 40 : Identifica la siguiente cónica y represéntala gráficamente: 4y2 9x2 36 Solución:

:es gráfica cuya hipérbola, una Es .14

x9

y36x9y422

22

EJERCICIO 41 : Describe las siguientes cónicas, obtén sus elementos y represéntalas: a) 4x2 25 y2 100 b) 4y2 x2 4

Solución:

14

y25x100y25x4a)

2222

92,0521dadExcentrici


2 :menor Semieje

5 :mayor Semieje

:elipse una Es

14

xy4x4yb)2

222

x21y;x

21y :Asíntotas

24,215dadExcentrici

5,0'Fy 5,0F :Focos

1 :Semieje

:hipérbola una Es

EJERCICIO 42 : Identifica las siguientes cónicas, dibújalas y halla sus focos y su excentricidad: 1

4925b)1

4162a)

2222

yxyx

Solución: a) Es una hipérbola de centro P(2, 0).

0,522'Fy 0,522F :son focos Los

12,125

452e :es dadexcentrici La

2x21y;2x

21y :son asíntotas Las

b) Es una elipse de centro C(0,0)

7,0724dadExcentrici


5 :menor Semieje

7 :mayor Semieje

:elipse una Es

EJERCICIO 43 : Identifica las siguientes cónicas, dibújalas y halla sus focos y su excentricidad:

14925

b)1416

2a)2222

yxyx

Solución:

a) Es una hipérbola de centro P(2, 0).

0,522'Fy 0,522F :son focos Los

12,125

452e :es dadexcentrici La

2x21y;2x

21y :son asíntotas Las

b) Es una elipse de centro C(0,0)

7,0724dadExcentrici


5 :menor Semieje

7 :mayor Semieje

:elipse una Es

EJERCICIO 44 : Identifica estas cónicas, halla sus elementos y dibújalas: 04b)1

251

36a) 2

22

xyyx

Solución:

a) Es una elipse de centro P(0, 1).

Semieje mayor: 6; semieje menor: 5

1,11'Fy 11,11F :Focos


b) y2 4x 0 y2 4x

1x :Directriz

0,1 :Foco

0,0 :Vértice

:parábola una Es

EJERCICIO 45 : Halla los elementos característicos de las siguientes cónicas, descríbelas y represéntalas gráficamente:

500210025b)194

a) 2222

yxxy

Solución:

a) Es una hipérbola.

Semieje: 2



x32y;x

32y :Asíntotas

125y

100x5002y100x25b)

2222

87,010

35 :dadExcentrici


5 :menor semieje ;10 :mayor Semieje

:elipse una Es

EJERCICIO 46 : Dadas las siguientes cónicas, identifícalas, obtén sus elementos característicos y represéntalas gráficamente:

99b)19

216

1a) 2222

xyyx

Solución:

a) Es una elipse de centro P(1, 2).

Semieje mayor: 4; semieje menor: 3



11

x9

y9x9yb)22

22

x3y;x3y :Asíntotas

05,1310dadExcentrici


3 :Semieje

:hipérbola una Es

CLASIFICACIÓN DE CÓNICAS EJERCICIO 1 : Clasificar las siguientes cónicas: (Circunferencia, elipse, hipérbola, parábola, no es una cónica)

1) 2x2 + 3y2 = 1 2) (x-2)2 + (y-3 )2 = -1 3) Uno de sus focos es F(4,5) y su excentricidad es e = 2/3 4) Uno de sus focos es F(4,5) y su excentricidad es e = -2/3 5) y2 - 4y - x + 3= 0

EJERCICIO 2 :

a) Ecuación de la cónica concéntrica con la hipérbola de ecuación 143y

92x 22

cuyo eje mayor mide 10 unidades de

longitud y cuya excentricidad es 4/10. b) Calcular sus vértices y sus focos. c) Dibujarla. CIRCUNFERENCIA EJERCICIO 3 : Hallar la ecuación de la circunferencia: a) Cuyo centro es C(0,0) y pasa por el punto P(-3,4) b) Cuyo centro es C(2,-3) y pasa por el punto P(1,4) e) Que tiene por diámetro el segmento MN siendo M(-3,-3) y N(3,3) d) Tiene por diámetro el segmento PQ siendo P(-6,6) y Q(2,0) e) Cuyo centro es (-1,4) y es tangente al eje de abscisas f) Cuyo centro es (2,0) y es tangente a la recta x - y + 4 = 0 g) Que tiene su centro en el punto de intersección de las rectas x + y + 1 =0, x+3y+3 = 0 y su radio es 5. EJERCICIO 4 : Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en la recta x+2y=0 y pasa por los puntos P(4,3) y Q(O, 1) EJERCICIO 5 : Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(5,5) y B(4,6) y cuyo centro está situado en la recta 2x + 3y - 8 = 0 EJERCICIO 6 : Halla la ecuación de la circunferencia de radio 4 y concéntrica con x2 + y2 + 2x + 10 y + 17 = 0 EJERCICIO 7 : Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos M(-3,-2), N(4,5), P(-2,5) EJERCICIO 8 : Halla las posiciones relativas de las recta y circunferencias siguientes: a) x2 + y2 - 4x - 1 = 0 2x - y – 4 = 0 b) x2 + y2 - 2x + 3y + 2 = 0 2x + y - 3 = 0 EJERCICIO 9 : a) Calcular la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(3,0) y B(0,3) y cuyo centro se encuentra en la recta 5x - 3y -

2 = 0 b) Posición de la recta 2x + y = 1 respecto a dicha circunferencia. EJERCICIO 10 : Calcular la ecuación de una circunferencia cuyo diámetro mide 6 cm. y es concéntrica con: x2 + y2 - 2x - 6y - 15 = 0 EJERCICIO 11 : a) Hallar las ecuaciones de las circunferencias que pasa por el origen de coordenadas y tiene su centro en la bisectriz del primer

cuadrante y su radio mide 2. 2 b) Calcular la posición de la recta y = -x -8 respecto de dichas circunferencias. EJERCICIO 12 : Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con x2 + y2 - 4x + 2y + 1 = 0 y que es tangente a la recta 3x + 4y - 17 = 0 EJERCICIO 13 : Dada la ecuación de la circunferencia C : x2 + y2 - 4x - 4y - 1 = 0 y de la recta s: x + y = 1. Se pide: a) Posición relativa de la recta s respecto de la circunferencia C. b) Calcular las ecuaciones de la recta tangentes a la circunferencia C que sean paralelas a la recta s. c) Hallar la ecuación de la circunferencia que sea concéntrica con la circunferencia C y sea tangente a la recta s.

ELIPSE EJERCICIO 14 : Hallar la ecuación de las elipses centradas en el origen: a) Cuyo eje mayor es 10 y un vértice del eje menor es B(0,4) b) Cuya excentricidad es e = 12/13 y el eje menor es 10 c) Cuya distancia focal es 4 v la suma de distancias de un punto cualquiera a los focos es 8 d) Sabiendo que A(0,5) y F(0,4) e) Sabiendo que pasa por el punto (0,4) y el semieje mayor es 5

f) Sabiendo que pasa por los puntos (2+ 3 ,4) y (3,3+ 2 ) EJERCICIO 15 : Determinar las coordenadas de los focos y de los vértices, la excentricidad y representarlas y su centro.

a) 136y

100x 22

b) 116y

25x 22

c) x2 + 4y2 = 1

d) 2x2 + y2 = 4 e) 125

1y9

x 22

f) 1

93y

41x 22

EJERCICIO 16 : Hallar la ecuación de una cónica, centrada en el origen, de eje mayor OX, que pasa por el punto P(1,2) y su excentricidad vale 1/2. EJERCICIO 17 : Si los focos de una elipse son los puntos F'(-5,0) y F(5,0) y su eje menor mide 2 cm. Calcular su ecuación. EJERCICIO 18 : Sea una elipse centrada en el origen de eje mayor el eje de abscisas, cuya excentricidad 1/2 y la suma de distancias a dos puntos fijos 8. Calcular: a) Su ecuación b) Dibújala y calcula las coordenadas de sus vértices y focos. EJERCICIO 19 : Si los focos de una elipse son los puntos F'(5,-I) y F(5,5) y su eje menor mide 2 cm. a) Calcular su ecuación. b) Hallar las coordenadas de sus vértices, la ecuación de sus ejes, su excentricidad y dibujarla. HIPÉRBOLA EJERCICIO 20 : Calcular la ecuación de una cónica centrada en el origen, si la diferencia de distancias a un punto fijo es 10 y su foco es F(6,0). EJERCICIO 21 : Hallar la ecuación de la hipérbola, centrada en el origen, cuya distancia focal es 10 cm y uno de sus vértices es B(0,4). Calcular su excentricidad y las coordenadas de los focos y de los restantes vértices. Dibujarla. EJERCICIO 22 : Escribir las ecuaciones de las hipérbolas siguientes: a) Su centro Q-3,0), F(2,0) e = 5/4 b) Sus vértices son A(6,2), A’(-2,2) y su distancia focal es 10 c) a = 8, C(2,-3), B'(-4,-3) EJERCICIO 23 : Determinar las coordenadas M centro, de los focos, de los vértices y la excentricidad de las hipérbolas:

a) 14

)3y(9

)1x( 22

b) 9(y-1)2 – 25x2 = 144

EJERCICIO 24 : a) Calcular la ecuación de la hipérbola cuyo centro está en el punto (3, 1) y dos de sus vértices son A(3,4) B(5, 1) b) Calcular la excentricidad c) Calcular el resto de los vértices y los focos. PARÁBOLA EJERCICIO 25 : Escribir las ecuaciones de las siguientes parábolas y representarlas.. a) Vértice (2,-2) y directriz y = -5 b) Foco (6, 1) y vértice V(2, 1) c) Directriz x = 0, vértice V(3,2) d) Vértice V(-1,3) y foco (-1,8) EJERCICIO 26 : Dada la parábola cuyo foco es F(2,-I) y cuyo vértice es (2,-3) a) Calcular su ecuación b) La ecuación de la directriz c) La ecuación del eje.

LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS. 9.1 – … – ESTUDIO DE LA CIRCUNFERENCIA DEFINICIÓN...

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