UNI DAD 5

ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES

Objetivos

Geometría analítica

221

Introducción

coordenadas polares

5.1. Ecuaciones cartesianas de curvas planas

Ecuaciones cartesianas de las cónicas fundamentales

Ecuación cartesiana de una circunferencia. La ecuación x2 + y2 = r2 representa una circunferencia con centro en el origen y radio r. Asimismo, si el centro C(h, k) es un punto cualquiera del plano, la ecuación es:

Ecuación cartesiana de una elipse. Las ecuaciones y

representan una elipse con centro en el origen. Asimismo, si el centro C(h, k) es un punto cualquiera y sus ejes son paralelos a los coordenados, siendo el eje mayor paralelo al eje Y o al eje X, la ecuación es:

Ecuación cartesiana de una parábola. La ecuación y2 = 4px representa una parábola con vértice en el origen y concavidad hacia la derecha si p > 0 y de

222

concavidad hacia la izquierda si p < 0. Análogamente, x2 = 4py representa una parábola de concavidad hacia arriba si p > 0 y de concavidad hacia abajo si p < 0. Por tanto, si el vértice es V(h, k), la ecuación es:

Ecuación cartesiana de una hipérbola. La ecuación representa

una hipérbola con centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje de las X.

Asimismo, representa una hipérbola cuyo eje focal coincide con el eje

de las Y. Por lo tanto, si el centro C(h, k) es un punto cualquiera, la ecuación de la hiperbola con eje focal paralelo al eje X es:

La ecuación de la hiperbola con eje paralelo al eje Y es:

5.2. Ecuaciones paramétricas de curvas planasx y

parámetro, ecuación paramétrica

.

Definición de ecuación paramétrica. Para trazar una curva dada su ecuación, se comienza por expresar una de las variables en función de la otra y se obtienen los puntos P(x, y) que la satisfacen en coordenadas cartesianas. Asimismo, las coordenadas de los puntos P(x, y) de una curva se pueden expresar en función de una tercera variable que usualmente se denota con una letra. Esa tercera variable se llama parámetro y las ecuaciones que conectan las coordenadas con el parámetro se denominan ecuaciones paramétricas.

Geometría analítica

223

Ecuaciones paramétricas de la circunferencia. O a. M(x, y) NOM

x = a y = a

M

Nx

Y

XO

y

C(h,k)a ON = x – h = a NM = y – k = a

x = h+ a , y = k + a

x

Y

X

O

ya

k

h

M

N

224

Ecuaciones paramétricas de la elipse.

ecuación paramétrica de la elipse

a > b

Ecuaciones paramétricas de la hipérbola.

a > 0 b >

Ejemplo 1

Solución

Geometría analítica

225

Ecuaciones paramétricas de la cicloide. cicloide

OX C r,M T

OX

M T . M T A,

r,OT TM = r , .

.

226

acortada alargada trocoides.

x y

Ejemplo 2

Solución x, yr y,

x = r (

Geometría analítica

227

Ecuaciones paramétricas de la hipocicloide. hipocicloide

O X

a b

228

Ecuaciones paramétricas de la astroide. a b

A, astroide

Ejemplo 3

4

Solución

b4

Geometría analítica

229

O

Y

A

Ecuaciones paramétricas de la epicicloide. epicicloide

.

a b

O

Y

X

230

Ejercicio 1

xy

xy

5.3. Ecuaciones de curvas planas en coordenadas polares

Geometría analítica

231

De la relación que existe entre las coordenadas cartesianas y polares se tiene que:

x y

Ecuación polar de la circunferencia. 2 2 2

x yr

r 2 2rr

r

simetría x,y

x,yx,–y

Ecuación polar de la parábola. x y

p

p

Ecuación polar de la elipse. 2 2 2 2 2 2

x y,

232

a2 2

2 2 2 2

22

Ecuación polar de la hipérbola. 2 2 2 2 2 2

Ejemplo 4

Solución

Geometría analítica

233

‘ ‘ ‘ ‘

= C C’

caracol de Pascal OX r

O, OPa < 2r M M’caracol de Pascal

OXO

234

a < 2r, a = 2r

cardioide , a > 2r

rosa de las cuatro ramas. OX, OY

POX Q OY O PQ

M rosa de las cuatro ramas.

OX O

a

a

Geometría analítica

235

Ejemplo 5

a

Solución

2 22 2

2 x2 + y2

Y

X

236

bruja a, AN

OS AN N SM NMM

bruja

x, yM OQS OAN,

a =QS = OQ = QA 2

y

Geometría analítica

237

, x –x

x

y = 0, y = 2a.

ON

M M(ON

2 2

a

cisoide a C(a, OA, AT

238

OS, OM = NSM cisoide

OPM y NBS OPM y OQN.

y2

Geometría analítica

239

y –yx x = 2a

x = 2a

M( OS

T

240

= OM = NS = OS –ON = OS –ONOS = OA OA = 2a OS = 2a

ON =OA ON = 2a

= OS –ON = 2a a = 2a = 2a

a

Ejercicio 2

x2 = 4y

x2 y2

r

r

r

Ejercicios resueltos

Solución t t = yt

Geometría analítica

241

Solución

t t t t

Solución r r

r r r

r , x y

242

Solución y = rx

x

x 0x r,

y = rx

5. r

Solución

r

r a =

Geometría analítica

243

OX

Solución

a P(r, ) M P

r 2

Solución

r2

r2

r

2

=

244

lemniscata

Solución

= c c

Solución:

c

0 2

0 0.26 0.52 0.79 1.04 1.3 1.57 1.8 2.1 2.37 2.6 2.86 3.14

Puntos

23

26

76

43 2

53

1136 3 2

espiral de Arquímedes

Geometría analítica

245

Observaciones. . ,

2, 2 2 = + 2 ,

2 = c( + 2 ; 2 =c + 2c .

c 2

c c

Solución

c a,p = a a

– ... –3 –2 –1 0 1 2 3 ...

0 ... 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 ...

Puntos ... ...

246

espiral logarítmica,

Geometría analítica

247

Autoevaluación

xy

2 2 2

2 2 22

2 2 y

248

?

y = x x

r

r

r

r

r

r

Geometría analítica

249

10.

r

r

r

r

Ejercicios opcionales

r

x y

x y

r

r r

Geometría analítica

251

Respuestas a los ejercicios

2 2 2

r r

Respuestas a la autoevaluación

1

2

252

Respuestas a los ejercicios opcionales

y

yx =