GEOMETRÍA DINÁMICA Y LUGARES GEOMÉTRICOS

LUIS FERNANDO CORREDOR GUTIERREZ

FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ

FACULTAD DE MATEMÁTICAS E INGENIERÍAS

BOGOTA D. C.

2011

GEOMETRÍA DINÁMICA Y LUGARES GEOMÉTRICOS

LUIS FERNANDO CORREDOR GUTIERREZ

Trabajo de grado

Docente:

Mat. MsC. Oscar Eduardo Gómez Rojas

Director Proyecto

FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ

FACULTAD DE MATEMÁTICAS E INGENIERÍAS

MATEMÁTICAS

BOGOTA D. C

[1]

Nota de Aceptación

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Jurado

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SANTA FE DE BOGOTA 25 DE NOVIEMBRE DEL 2010

[2]

AGRADECIMIENTOS

Primeramente doy infinitamente gracias a Dios, ya que sin la voluntad de

Él, no se podría hacer nada.

También deseo expresar mi agradecimiento al director de este trabajo de

título, profesor Oscar Gomez, por la dedicación y apoyo que ha brindado

para realizar este documento, quien me dio los lineamientos para

realizarlo, por el respeto a mis sugerencias e ideas, por la dirección y el

rigor que ha facilitado a las mismas.

Igualmente, agradezco el aporte de mis profesores y compañeros, su

apoyo personal y humano, necesarios en los momentos difíciles de este

trabajo.

A la empresa Districalc, que me facilitó la tecnología y los medios para el

desarrollo de este documento.

Finalmente, agradezco a mi familia, amigos y profesores que me

acompañaron en estos años y me apoyaron moralmente para la

culminación de mis estudios.

[3]

CONTENIDO

1. INTRODUCCION

2. RESUMEN

3. OBJETIVOS

3.1 Objetivo General

3.2 Objetivos Específicos

4. Marco Conceptual

4.1 Geometría Dinámica

4.2 Procesadores Geométricos

4.3 La Prueba del Arrastre

4.4 Lugares Geométricos

4.5 Método De Los Lugares Geométricos

4.6 Definición de Mediatriz

5. Cónicas

5.1 La parábola

5.2 La Elipse

5.3 La Hipérbola

5.4 Caso Especial

6. Triángulos Inscritos En Un Círculo

6.1 El Baricentro

6.2 El Incentro

[4]

6.3 El Ortocentro

7. CONCLUSIONES

8. BIBLIOGRAFIA

[5]

1. INTRODUCCION

Los paquetes de cómputo de Geometría Dinámica y la construcción en

computadora de figuras geométricas tienen una nueva dimensión con respecto a

las construcciones clásicas que utilizan lápiz, papel, regla y compás.

La Geometría Dinámica facilita procesos que en el papel son imposibles o que

requieran de muchos dibujos para llegar a una generalización, además enriquece

las tareas de construcción, incorporando una gran variedad de funcionalidades,

asociadas a la simplificación de construcciones fundamentales.

En presencia de nuevas tecnologías hay geometrías emergentes. En nuestro caso

las construcciones incorporadas constituyen un gran enriquecimiento, que

permiten invertir la relación entre el saber geométrico y las construcciones. En el

contexto de la geometría clásica, la construcción con regla y compás es

consecuencia y aplicación de un saber geométrico, mientras que en las

situaciones que se abordan, las construcciones son un método para generar

conocimiento geométrico.

Es importante resaltar que la compresión cabal de la Geometría Dinámica solo es

posible al interactuar con el software. Esto tiene como consecuencia que, a pesar

del esfuerzo comunicativo realizado en el presente texto, éste no pueda reflejar la

totalidad del concepto.

[6]

2. RESUMEN

Este trabajo utiliza el software de Geometría Dinámica para la solución de

problemas geométricos de construcción, el análisis de las secciones cónicas y el

estudio de triángulos inscritos en un círculo.

La idea es partir de ciertas definiciones o teoremas, con la ayuda de Geometría

Dinámica, llegaremos a nuevas conclusiones o generalidades de una forma

dinámica y práctica.

Aunque hay una gran cantidad de procesadores geométricos, trabajaremos con el

paquete de cómputo de Geometría Dinámica ¨Cabri-Géomètre II plus¨, por la

facilidad para trabajar con los comandos asociados a los lugares geométricos.

Mostraremos la principal ventaja de trabajar con geometría dinámica, la cual

consiste en que las figuras dejen de ser estáticas, presentándose en forma de

animaciones y diseños interactivos, lo que permite observarlas desde distintos

puntos de vista, e incluso interactuar con ellas al modificar ciertas condiciones en

el diseño y analizar lo ocurrido.

[7]

ABSTRACT

This work use a Dynamic Geometry Software for building geometry

problems solutions, conic sections analysis and the study of triangles

inscribed in a circle.

The idea is to get new conclusions on a dynamic and practical way,

starting from some definitions or theorems, helped by Dynamic Geometry.

Although there are a lot of geometries processors, we will work with

“Cabri-Géomètre II Plus” as well as it is easy to find associated

commands inside those softwares.

We will show the main advantage for work with dynamic geometry: to

manipulate non-static shapes but animated and interactive designs, which

allow us to see it from difference views. We also explain how to change

set up and analyze what happen when you do it.

[8]

3. OBJETIVOS

3.1 OBJETIVO GENERAL

Con las herramientas que nos ofrecen los ordenadores, podemos mostrar

la geometría de una forma dinámica y práctica, promoviendo la

comprensión del contenido matemático implicado tanto en los enunciados

de los teoremas como en sus justificaciones.

3.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS

1. Definir y presentar el concepto de Geometría Dinámica.

2. Proporcionar los conceptos más importantes y las herramientas para el

estudio de la Geometría Dinámica.

3. Propiciar la creatividad, a través de construcciones auxiliares, para

elaborar argumentos que llevan a la demostración de definiciones y

teoremas.

4. Mostrar la posibilidad de arrastre de las figuras construidas,

favoreciendo la búsqueda de rasgos que permanecen invariantes

[9]

durante la deformación a que sometemos las construcciones

originales.

5. Presentar el llamado ¨método de los lugares geométricos¨ para la

solución de problemas geométricos de construcción.

[10]

4. MARCO CONCEPTUAL

El presente trabajo tiene como objetivo mostrar la utilidad y las aplicaciones

de la Geometría Dinámica, para ello es importante conocer previamente

aquellos conceptos, definiciones y teoremas que con llevan al desarrollo del

mismo.

1. Geometría Dinámica

En si es un espacio virtual en el cual se construyen libremente figuras

siguiendo una serie de pasos y donde cada elemento depende uno del otro en

relación de lo que se quiera hacer.

El mencionado concepto de geometría dinámica fue introducido por Nick

Jackiw y Steve Rasmussen (Goldenberg y Cuoco, 1988) y se aplica a los

programas informáticos que permiten a los usuarios, después de haber hecho

una construcción, mover ciertos elementos arrastrándolos libremente y

observar cómo otros elementos responden dinámicamente al alterar las

condiciones.

[11]

Una figura está compuesta de objetos geométricos (puntos, rectas,

semirrectas, vectores, triángulos, polígonos, círculos, etc.) e igualmente de

otros objetos (números, textos, fórmulas, ejes coordenados, rejillas, etc).

2. Procesadores Geométricos

Se refiere al software utilizado para el trabajo con Geometría Dinámica. Si

bien existe una gran cantidad de procesadores geométricos, la gran mayoría

suele contar con prácticamente los mismos tipos de objetos, como puntos,

rectas, segmentos, semirrectas, circunferencias, etc. Elementos más

específicos y menos frecuentes son los arcos de circunferencia, cónicas,

sectores circulares, y uno particularmente útil (sumamente infrecuente,

también) es el polígono regular.

Análogamente, incorporan una gran cantidad de construcciones y es en éste

punto donde se empiezan a diferenciar unos de otros. Las construcciones de

rectas perpendiculares y paralelas, bisectrices y puntos medios,

circunferencias con radios dados, etc, son las más comunes, sin embargo,

existen otros tipos de construcciones menos usuales, como las asociadas a las

cónicas y cúbicas, rectas tangentes y las transformaciones geométricas (no

sólo las isométricas).

[12]

Una de las características más avanzadas de los procesadores geométricos son

las denominadas ¨macro-construcciones¨ que permiten memorizar

construcciones intermedias, y así extender las funcionalidades del software.

Puede definirse como una macro al conjunto de instrucciones agrupadas,

que pueden repetirse seleccionando los correctos objetos iníciales.

3. La Prueba del Arrastre

Antes de construir cualquier figura se debe entender el concepto de la prueba

de arrastre, que consiste en que no se pierdan ciertas propiedades al manipular

dicha figura.

En principio podemos identificar dos elementos fundamentales que

distinguen a los procesadores geométricos y los diferencian de otros

programas con funcionalidades de dibujo:

Permiten realizar construcciones geométricas, es decir, dibujos

definidos por relaciones geométricas.

Las construcciones geométricas son dinámicas, es decir, es posible

interactuar con los distintos objetos que las componen (puntos,

[13]

segmentos, etc.) de manera que se respetan las relaciones geométricas

que subyacen a los dibujos.

Las actividades que se suelen realizar con los procesadores geométricos

consisten en realizar construcciones y mediciones asociadas, de

manera que al arrastrar puntos móviles (vértice de un triángulo, pie de una

perpendicular, centro de una circunferencia, etc.), se observen las

relaciones que se mantienen invariantes.

Un ejemplo seria la construcción de un simple cuadrado:

Aunque este documento no es un manual de un software de Geometría

Dinámica mostraremos los pasos a seguir en los siguientes 2 ejemplos

para que el lector se familiarice con la elaboración de construcciones con

procesadores geométricos.

Se podría comenzar con la construcción con un segmento de recta

simplemente seleccionando el comando o la herramienta Segmento, que

permite construir un segmento a partir de dos puntos.

[14]

Figura 1

Después construir una recta perpendicular seleccionando el comando

Recta perpendicular, el segmento y un punto.

Figura 2

Construir una circunferencia utilizando el comando Circunferencia

seleccionando los dos puntos.

[15]

Figura 3

Ahora construimos otra perpendicular con el comando Recta

perpendicular, seleccionando la recta y la intersección entre la recta y la

circunferencia.

Figura 4

[16]

Repetimos el procedimiento construyendo otra recta perpendicular

seleccionando el segmento de recta y el punto de intersección entre el

segmento de recta y circunferencia.

Figura 5

El siguiente paso sería activar el comando polígono, seleccionando los

cuatro puntos de intersección entre las tres rectas y el segmento de recta.

[17]

Figura 6

Ocultamos lo que no queremos ver con el comando Ocultar/Mostrar.

Figura 7

[18]

Esta figura va a conservar ciertas propiedades, así la manipulemos,

dilatemos, rotemos y deformemos siempre va ser un cuadrado.

Figura 8

Figura 9

Como podemos observar esta figura pasa la prueba de arrastre porque no

importa cómo se manipule, siempre será un cuadrado.

[19]

Técnicamente los objetos geométricos son estáticos, de hecho el concepto

de movimiento no es esencialmente relevante en la geometría euclidiana.

Al trasladar el cuadrado no se trata de una figura que cambia de posición

en un intervalo de tiempo, sino de dos cuadrados congruentes que se

relacionan por ésta transformación isométrica.

4. Lugares Geométricos

Otro tipo de construcciones interesantes son los lugares geométricos, tema

que en la geometría dinámica es sumamente relevante, pues se trata de un

contexto en donde los objetos son móviles, dependiendo de condiciones

geométricas. Un punto sobre una circunferencia, puede moverse sólo

alrededor de ésta, es decir se trata de un punto cualquiera de la

circunferencia, concepto que responde justamente al de lugar geométrico.

Muchos procesadores geométricos permiten la visualización de lugares

geométricos de varias maneras. La más básica consiste en que un punto

deje un rastro a medida que se mueve, en algunos casos denominada traza.

En otros casos el software estima cuál sería dicho rastro y lo dibuja

automáticamente. El manejo de lugares geométricos también es un

elemento diferenciador, dado que sólo en pocos casos se pueden marcar

intersecciones con éstos o modificarlos dinámicamente.

[20]

De forma general, un lugar representa el conjunto de las posiciones

tomadas por un objeto X cuando un punto M libre varia sobre un objeto.

Normalmente en la construcción de X se hace intervenir el punto M.

El objeto X puede ser de uno de los tipos siguientes: punto, recta,

semirrecta, segmento, vector, círculo, arco, cónica. El punto M puede ser

un punto libre sobre cualquier tipo de objeto rectilíneo o de curva, incluso

un lugar, puede ser también un punto libre sobre una rejilla. El objeto X

puede igualmente ser un lugar, y se construye en consecuencia un

conjunto de lugares.

La construcción de la cicloide es un ejemplo interesante,

recordemos la definición: Imagine que un círculo, de radio arbitrario, se

hace rodar, sin que se resbale, sobre una línea recta y que en el borde del

círculo hay un punto que se destaca. Pues bien, la cicloide es la curva que

traza tal punto en el plano del movimiento del círculo. Esta definición

puede parecer muy complicada, pero resulta fácil de entender mediante

nuestra construcción.

Vamos a construimos una recta seleccionando el comando Recta, que

permite crear una recta libre que pasa por un punto; se selecciona en

primer lugar un punto, luego haciendo clic, se fija la posición de la recta

que gira alrededor del punto.

[21]

Figura 10

Después se construye una recta perpendicular a la recta ya construida,

seleccionando el comando Recta perpendicular, la recta y un punto que

pertenezca a la recta.

Figura 11

[22]

El siguiente paso sería construir una circunferencia con el comando

Circunferencia, centro en el punto O y dando un clic en el punto M.

Figura 12

Ahora encontramos la distancia entre los puntos A y M, seleccionando el

comando Distancia o longitud y dando clic en los puntos A y M.

Figura 13

[23]

Con la herramienta Transferencia de Medidas transferimos la magnitud

sobre la circunferencia, seleccionando la medida, la circunferencia y el

punto M.

Ocultemos lo que no queremos ver, simplemente activando el comando

Ocultar/Mostrar y seleccionando lo que queremos ocultar.

Figura 14

[24]

Figura 15

Observemos que la transferencia se hizo en sentido contrario a las

manecillas del reloj, pero en este caso se necesita que sea al contrario.

Para ello nos valemos del comando Simetría axial, seleccionando el punto

que se creó en la transferencia de medidas y la recta perpendicular.

Figura 16

[25]

Tenemos dos formas de representar el lugar geométrico, la primera es

activando el comando Traza que permite al punto X dejar una huella a

medida que manipulamos al punto M, simplemente activamos el comando

y después damos un clic en el punto X.

Figura 17

La segunda forma seria activar el comando Lugar, dando un clic en el

punto X y en el punto M respectivamente.

Figura 18

[26]

5. Método De Los Lugares Geométricos

En resumen, el método de los lugares geométricos, se aplica en momentos

en los cuales se deben satisfacer varias condiciones, de manera que se

omite una de estas (normalmente una condición de posición o

pertenencia). Esto genera un lugar geométrico, que intersectado con algún

objeto permite generar la solución [1].

La esencia del método consiste en lo siguiente: supongamos que al

resolver un problema matemático debemos construir un punto P tal que

satisfaga una serie de condiciones generalmente dos o mas, las cuales son

enumeradas; el lugar geométrico que cumple la condición 1 es una figura

F1, el lugar geométrico que cumple la condición 2 es otra figura

F2,….Entonces el punto buscado P debe permanecer simultáneamente a

las figuras F1, F2, esto es, si se encuentra en la intersección de las figuras

[2].

6. Definición de Mediatriz.

La definición de mediatriz es muy importante ya que gracias a ella es

posible realizar un sinnúmero de construcciones, además interviene en

muchos de los casos donde se trabaja con lugares geométricos.

[27]

Dados dos puntos A y B, podemos construir el segmento AB que los une.

Se llama mediatriz del segmento AB a la recta que es perpendicular a este

segmento y que pasa por su punto medio. La mediatriz divide al segmento

AB en otros dos segmentos de igual longitud.

La recta mediatriz tiene una importante propiedad: la distancia de

cualquier punto de esa recta a cada uno de los dos extremos del segmento

AB es la misma.

Teorema 1: La mediatriz de un segmento es el conjunto de puntos del

plano que están a la misma distancia de los puntos extremos del segmento.

Demostración:

Caso 1

Si C es el punto medio de AB se tiene, de manera inmediata, que la

longitud del segmento AC es igual a la longitud del segmento BC (Figura

19).

Figura 19

.

[28]

Caso 2

Sea D cualquier otro punto de la mediatriz del segmento AB diferente del

punto medio C

Figura 20

Entonces AC es congruente con CB por definición de punto medio.

Además el segmento CD es común en los triángulos ADC y CDB.

Como los dos triángulos ADC y CDB tienen dos lados y el ángulo

comprendido entre estos dos lados respectivamente iguales (90 grados),

entonces los dos triángulos son iguales (criterio L.A.L).

Luego, el segmento AD es congruente con el segmento BD por semejanza

de triángulos.

En realidad el teorema es una equivalencia. Esto es, también se tiene la

contra recíproca: si un punto P no pertenece a la mediatriz del segmento

AB entonces no equidista de los extremos del segmento.

[29]

Demostración: Sea P un punto que no pertenece a la mediatriz. En este

caso P pertenece al semiplano que contiene a B. Demostraremos que P

está más cerca de B que de A. Unimos P con A, la intersección de este

segmento con la mediatriz determina el punto D. Sabemos que AD es

congruente con BD.

Figura 21

La longitud del segmento PB es menor que la suma de las longitudes de

los segmentos DP y DB por desigualdad triangular ( ).

Como el segmento AD es congruente con el segmento BD entonces la

longitud del segmento PB es menor que la suma de las longitudes de los

segmentos DP y AD ( ).

Tenemos que la longitud del segmento PB es menor que el segmento AP

( ). Se concluye que .

Lo cual demuestra que P no equidista del punto A y el punto B, de modo

que AP ≠ BP, lo que termina la demostración.

[30]

Teorema 2: La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la

circunferencia y por los puntos medios de los arcos que subtiende.

Figura 22

[31]

5. CÓNICAS

En esta sección mostraremos a las cónicas generadas bajo su definición o

condiciones especiales que las determinan, recordando que una cónica es

la curva de intersección de un plano con un cono circular recto.

Figura 23

1. La parábola

Recordemos la definición geométrica de la parábola: Es el conjunto de los

puntos del plano que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo F

(que se llama foco) y de una recta también fija d (que se llama directriz).

[32]

La construcción que vamos a realizar sigue la filosofía propia de la

Geometría Dinámica, representa por lo tanto una alternativa al enfoque de

la Geometría Analítica.

Primero construimos un punto arbitrario (Foco) y una recta (directriz) la

cual no pasa por el punto.

Figura 24

Como el dominio de la parábola son todos los reales, sabemos que sobre

cada punto de la directriz hay un punto que pertenece al lugar geométrico,

por lo tanto construimos una perpendicular en cualquier punto de la

directriz. Esta perpendicular contiene un punto de la parábola, por

definición ese punto debe equidistar del foco y de la directriz, lo cual

[33]

equivale a que equidista del foco y del pie de la perpendicular. Por el

teorema 1 debe estar contenido en la mediatriz del segmento que une el

foco con el pie de la perpendicular, en consecuencia el punto que

pertenece a la parábola queda determinado por la intersección de la

mediatriz y la perpendicular a la directriz.

Figura 25

En la figura 25 se muestra un punto M que pertenece a la directriz, un

punto X que pertenece al lugar geométrico que es la intersección entre la

perpendicular y la mediatriz. Además se indica la distancia entre el foco y

el punto X, y entre el punto X y el punto M.

[34]

Se traza entonces el lugar geométrico de dichos puntos cuando M recorre

toda la directriz (Figura 26).

Figura 26

Al observar en la figura la mediatriz mencionada (recta r) que se muestra

en la Figura 26 pareciera que fuera la recta tangente en cada uno de los

puntos del lugar geométrico. ¿La recta r será la recta tangente?

Supongamos que la parábola hace referencia a la función

entonces la recta tangente r y la recta w cumplen lo siguiente: Dadas dos

rectas que sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser

igual a -1, . Encontremos la pendiente de la recta w,

, ,

.

[35]

Si la derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la recta

tangente, entonces la derivada de la función

es

.

Si sabemos que la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados es:

, y nos damos cuenta que la pendiente en ambos

casos es la misma y sabiendo que pasa por el punto (x,y) comprobamos

que r es la recta tangente del lugar geométrico.

2. La Elipse

La elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus

distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una

constante positiva, e igual a la distancia entre los vértices. Definimos la

distancia entre los vértices como 2a (la longitud del eje mayor), un punto

que pertenezca al lugar geométrico E y los puntos fijos como F y F’.

Para garantizar que la distancia sea constante trazamos una circunferencia

con un radio 2a y centro en F. Construimos un punto F’ de tal manera que

el radio debe ser mayor que la distancia entre F y F’.

Activamos punto sobre objeto para definir un punto C de la circunferencia

y trazamos los segmentos que unen este punto con F y F’.

[36]

Con la herramienta mediatriz dibujamos la mediatriz del segmento CF’ y

definimos como E el punto de intersección de esta recta con el segmento

CF.

Figura 27

¿Pero para que dibujar la mediatriz?

Recordemos que la longitud del segmento FC es igual a 2a ( + =2a).

Si el punto E pertenece al lugar geométrico entonces la suma de las

longitudes FE y F’E es igual a 2a.

[37]

Por el teorema 1 la longitud del segmento EC es igual a la longitud del

segmento F’E. Cumpliendo así con la definición de elipse.

Activamos traza para el punto E y animación para el punto C, así cuando

el punto C recorre la circunferencia, el punto E describe la elipse de la

figura, también se puede dibujar la elipse sin activar animación,

desplazando el punto C con el puntero por la circunferencia.

Figura 28

Otro aspecto interesante similar a la parábola es que la recta r pareciera ser

la recta tangente al lugar geométrico.

[38]

Para ello nos valemos de la propiedad de reflexión de la elipse,

recordemos el siguiente teorema:

Teorema 3: Sean E un punto de elipse, r la recta tangente a la elipse en

el punto E, y EF y EF’ las rectas que unen a E y a los focos F y F’ de la

elipse. Entonces, el ángulo de incidencia α y el ángulo de reflexión β,

formados por r y este par de rectas, son iguales.

Figura 29

Demostración: Como r es la recta bisectriz del triangulo CEF’ entonces el

ángulo α’ es igual ángulo β. Por ángulos opuestos por el vértice, el ángulo

α es igual al ángulo β.

[39]

3. La Hipérbola

Si en la figura 29 trasladamos el punto F’ fuera de la circunferencia

entonces el lugar geométrico se convierte en una hipérbola.

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor

absoluto de la diferencia (resta) de sus distancias a dos puntos fijos

llamados focos es siempre igual a una constante positiva, e igual a la

distancia entre los vértices. Definimos la distancia entre los vértices como

2a, un punto que pertenezca al lugar geométrico E y los puntos fijos como

F y F’.

Para garantizar que la distancia sea constante trazamos una circunferencia

con un radio 2a y centro en F. Construimos un punto F’ de tal manera que

el radio debe ser menor que la distancia entre F y F’.

Activamos punto sobre objeto para definir un punto C de la circunferencia

y trazamos la recta que unen este punto con F y el segmento que unen

este punto con F’.

[40]

Figura 30

Igual que en la situación anterior ¨La Elipse¨ la construcción de la recta

mediatriz nos garantiza la definición.

Con la herramienta mediatriz dibujamos la mediatriz del segmento CF’ y

definimos como E el punto de intersección de esta recta con la recta CF.

[41]

Figura 31

Recordemos que la longitud del segmento FC es igual a 2a ( - =2a).

Si el punto E pertenece al lugar geométrico entonces la resta de las

longitudes FE y F’E es igual a 2a.

Por el teorema 1 la longitud del segmento EC es igual a la longitud del

segmento F’E cumpliendo así con la definición. Para visualizar el lugar

geométrico podríamos activar Lugar para el punto E y la ruta para el punto

C.

[42]

Figura 32

Otro aspecto interesante es que en todas las cónicas, la recta r pareciera ser

la recta tangente al lugar geométrico.

La Hipérbola tiene propiedades de reflexión análogas a las de la elipse:

Teorema 4: Sean E un punto de la hipérbola, r la recta tangente a la

hipérbola en el punto E, y EF y EF’ las rectas que unen a E y a los focos F

y F’ de la elipse. Entonces, el ángulo de incidencia α y el ángulo de

reflexión β, formados por r y este par de rectas, son iguales.

Demostración: En la figura 33 se ve que r es la recta bisectriz del

triangulo CEF’ entonces el ángulo α’ es igual al ángulo β.

[43]

Por ángulos opuestos por el vértice, el ángulo α es igual al ángulo β.

Figura 33

4. Caso Especial

Una de las ventajas que tiene la geometría dinámica, es el poder manipular

ciertos elementos y así poder sacar nuevas conjeturas, este es el caso de la

elipse y la hipérbola.

En la figura 34 se puede observar, cuando el punto F’ está dentro de la

circunferencia, el lugar geométrica es una elipse y cuando está afuera es

una hipérbola. ¿Pero qué pasa cuando F’ hace parte de la circunferencia?

[44]

Figura 34

Si se acerca el punto F’ a la circunferencia el lugar geométrico parece

convertirse en un segmento de recta. ¿Será un segmento de recta?

Figura 35

[45]

La solución es muy sencilla, como vimos en los ejemplos anteriores, los

lugares geométricos dependían de la intersección de la recta que pasaba

por el centro de la circunferencia (punto F) y un punto que pertenecía a la

circunferencia (punto C) con la mediatriz.

Si F’ pertenece a la circunferencia igual que el punto C, la mediatriz

necesariamente pasa por el centro de la circunferencia por el teorema 2.

La intersección entre dos rectas es un punto, que en este caso es el centro

de la circunferencia, de esta manera queda resuelta nuestra pregunta.

Figura 36

[46]

6. TRIÁNGULOS INSCRITOS EN UN CÍRCULO

1. El Baricentro

Tenemos un triángulo inscrito en una circunferencia con su baricentro la

idea es mover uno de sus vértices sobre la circunferencia y analizar su

comportamiento.

Con la herramienta "lugar geométrico" seleccionar primero el punto que

describe el lugar geométrico (el baricentro) y, después, el punto del que

depende la construcción (el vértice). Inmediatamente podemos ver el lugar

geométrico correspondiente.

Caso 1

El caso más fácil, es cuando un lado del triangulo pasa por el centro de la

circunferencia, como se ve en la figura 37. El lugar geométrico parece ser

una circunferencia. ¿El lugar es una circunferencia?

[47]

Figura 37

Si trazamos la recta mediatriz del segmento EF y sabemos que el

baricentro es el centro de gravedad de un triángulo por lo tanto el

segmento OC mide la tercera parte de la longitud OB, como el segmento

OB es el radio de la circunferencia y el segmento OA también lo es,

entonces el segmento OD tiene la misma longitud del segmento OC.

Caso 2

Para cualquier triangulo inscrito en la circunferencia encontremos el radio

del lugar geométrico y la razón de éste con la circunferencia.

[48]

Dividimos los segmentos PA’ en tres partes iguales ¨x¨ y el segmento DP

¨y¨. Encontremos el radio del lugar geométrico, tenemos que:

.

Figura 38

Este hecho nos garantiza que el radio del lugar geométrico equivale a la

tercera parte del radio de la circunferencia.

[49]

2. El Incentro

Ahora con el mismo triángulo ABC inscrito en la circunferencia,

probemos con las bisectrices encontrando el lugar en el punto I (El

incentro) y ruta en el punto A.

Figura 39

Aparentemente el lugar geométrico son 2 arcos de circunferencia, como lo

apreciamos en la figura 39.

[50]

Figura 40

Como se muestra en la figura 40 Intentemos sobreponer una

circunferencia al lugar geométrico. Encontremos la recta mediatriz del

segmento BC e indiquemos las intersecciones entre la recta y la

circunferencia, y entre la recta y el lugar geométrico. Después construimos

una circunferencia con centro en la intersección O y seleccionamos el

punto P para el radio.

Para demostrar que es un arco de circunferencia, tenemos que probar que

el segmento OI y el segmento OC tienen la misma longitud o que el

triangulo OIC es isósceles.

Como r es una bisectriz los ángulos α y α’ miden igual.

[51]

Figura 41

Para el triangulo IAC llamemos β a uno de los ángulos y el otro como la

suma de los ángulos internos 180 grados, entonces será 180-(α+ β).

Figura 42

El ángulo será 180 – 180 – (α+β) = α+β, también sabemos por la

bisectriz que β y β’ miden lo mismo.

[52]

Recordemos que todos los ángulos inscritos en una circunferencia, que

abarcan el mismo arco son iguales.

Figura 43

En consecuencia mide lo mismo que α.

[53]

Figura 44

Si el triangulo OIC tiene dos ángulos iguales (α+β) entonces es isósceles,

y si es isósceles los segmentos OI y OC tienen igual longitud.

La demostración para la otra parte del lugar geométrico es análoga.

3. El Ortocentro

Sean A, B y C puntos sobre una circunferencia. Llamemos H al ortocentro

del triángulo ABC, analicemos el lugar geométrico de H al mover A sobre

la circunferencia.

[54]

Aplicando Lugar en el punto H y la ruta en el punto A nos damos cuenta

que el lugar geométrico parece ser una circunferencia, con el mismo radio

que la circunferencia ya construida. ¿El lugar geométrico es una

circunferencia?

Figura 45

Figura 46

[55]

En la figura 46 analicemos el triangulo ADC, un cateto c y el otro (a-b),

por proporcionalidad de triángulos tenemos un nuevo triangulo RTC un

cateto c/2 y el otro (a-b)/2.

Trazamos la mediatriz a la cuerda AC, esta mediatriz necesariamente pasa

por el centro, entonces T es punto medio de AC.

Figura 47

Revisando los ángulos, nos damos cuenta que hay 3 triángulos semejantes,

BDF con catetos (a+b) y h, GIH con catetos (a-n) y m, GTR con catetos a-

n+b+(a-b)/2 y c/2.

[56]

Tenemos que demostrar que los segmentos O’F y O’C tienen la misma

longitud.

Por semejanza de triángulos tenemos:

(1)

(2)

(3)

[57]

Por (1)

(4)

Por (3) y (4)

(5)

Por (2) y (5) encontremos (

(6)

Tenemos que demostrar que es igual a

Por (6)

[58]

(7)

Por (5)

+

(8)

Como (7) y (8) son iguales queda demostrado.

[59]

7. CONCLUSIONES

Con la geometría dinámica y mediante la observación se puede

llegar a conclusiones, generalidades y demostraciones de manera

más inmediata que con la geometría clásica.

Con la geometría dinámica es posible presentar la información

matemática de varias formas y sobre todo de forma dinámica e

interactiva.

[60]

En general la herramienta de lugares geométricos es

suficientemente útil para explorar trayectorias en situaciones

geométricas.

El desarrollo y el trabajo con procesadores geométricos, constituye

una fuerte herramienta de visualización. La interpretación

geométrica de manera dinámica, permite ver más claramente

varios conceptos.