CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

1. ¿Qué valores puede tomar “x” para que se cumpla:

x 2 x 1Sen

3 2 siendo

un arco del tercer cuadrante?

A) 5

3;

5

1 B)

5

2;

5

1 C)

11;

5

D) 5

2;0 E)

5

3;0

RESOLUCIÓN

6

15

2

1

3

2 xxxSen

Como: 01 SenCIII

5x 1

1 06

6 <5x 1 > 0

5 <5x < 1

1 < x < 1

5

5

1;1x

RPTA.: C

2. Si:1-2x

sen " " IIIC3

;

Halle la variación de “x”

A) 2;2

1 B)

2

1;2

C) 2;2

1 D) 2;2

E) 1;1

RESOLUCIÓN Si: CIII"" 01 sen

Como: 03

211

3

21 xxsen

0213 x

1

"x" ;22

RPTA.: C

3. Indique el producto de los

valores mínimo y máximo de la

expresión:

;2cos34 32 senQ

A) 18 B) 36 C) 9 D) 40 E) 20

RESOLUCIÓN Sabemos:

3cos301cos0 22 ….(i)

.(ii)

(i) + (ii):

MínimoQ “Q” Màximo

Q

mínimo máximo

Q 18

RPTA.: A

124 x

2

12 x

22211 33 sensen

52cos32 32 sen

92cos342 32 sen

4. Determine la veracidad (V) o falsedad (F) de c/u de las

siguientes proposiciones

(I) sen2 > sen1 > sen3 ( )

(II) sen 6 > sen4 > sen5 ( )

(III)cos 6 cos1 cos5 ( )

(IV)cos 2 cos4 cos3 ( )

A) FFVV B) VVFF

C) VVFV D) FVFV

E) VFVF

RESOLUCIÓN 1,57

2

Según la C.T. las proposiciones

serán: (I) (V)

(II) (V)

(III) (F)

(IV) (F)

RPTA.: C

5. Si:2 1x x

2; analizar la

verdad (v) ó falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

I. 1 2senx senx

II. 1 2cos( x ) cos( x )

III. 1 2tgx tgx

IV. 1 2ctg( x ) ctg( x )

A) VVFV B) VFVF C) VVVF D) VFFV

E) VFFF

RESOLUCIÓN

I. 2, xsenxsen (V)

II. )cos()(cos 21 xx (F)

III. 21 xtgxtg (F)

IV. )()1( 2xctgctg (F)

RPTA.: E 6. Halle el mínimo valor de:

2E 5 cos a 3sen b siendo “a” y

“b” ángulos diferentes.

A) -4 B) -5 C) -6

D) -7 E) -8

RESOLUCIÓN

Como:

MinE 5 1 3(1)

MinE 8

RPTA.: E

7. Calcule el valor máximo que toma la expresión:

4senx 3

E4 senx

1

6

4

2

O

5

2 6,28

cos 2

cos 1

cos 3

cos 4

cos 5

cos 6

se

n 1se

n 2

se

n 4

se

n 5

sen 3314

3

se

n 6

34,71

2

2x

1x

2

2E 5 cos a 3sen b

Mín Mín Máx

A) 3

7 B)

5

1 C)

5

2

D) 4

7 E)

5

3

RESOLUCIÓN Como:

444

34

xsen

xsenE

44

19

xsenE

Pero: 11 xsen

543 xsen

3

1

4

1

5

1

xsen

5

1

5

1

3

7máxEE

RPTA.: B

8. Si: x IVC y 3a 1

cosx4

Entre que límites está “a”

A) 1;3

1 B) 1;1

C) 1;2

1 D)

E) 2;1

RESOLUCIÓN Como: 1cos0 x

13

1a

1;3

1a

RPTA.: A

9. Calcule el intervalo de y (2senx 1)(2senx 1)

A) 3;2 B) 3;0

C) 3;1 D) 4;1

E) 2;1

RESOLUCIÓN Como: 14 2 xseny

Pero: 10 2 xsen

440 2 xsen

31 y

3;1y

RPTA.: C 10. Halle los valores de

cos x 30 , si x 0;30

A) 1;2

1 B) 1;

2

3

C) 2

3;

2

1 D)

2

1;

2

3

E)

RESOLUCIÓN

Como:

2

3;

2

130cos x

RPTA.: C

1;4

1

14

130

a

1;1

300 x

603030 x

30º

60ºcos 60º

cos 30º

C.T.

O

O

11. Si II C y

determine la variación de “2csc ”

A) B)

C) 4

3;

4

3 D)

5

7;

5

3

E) 4;4

9

RESOLUCIÓN

1

11csc

sen

Como CII

21110 sensen

21

11

2

31

1

1

2

1

sensen

csc

Luego: 4csc4

9 2

4;4

9csc2

RPTA.: E

12. Determine la extensión de “ ”

que cumple con:

2

2sen 1 3 1

12 2

A) 6

5;

3

2 B)

6

5;

3

2

C) 6

5;

3 D)

6

5;

3

2

E) 6

5;

3

2

RESOLUCIÓN

2

13

2

121

sen

2

3

2

1sen

2 5

;3 6

RPTA.: C

13. En la figura mostrada halle las coordenadas del punto “P”

A) P sen ; cos

B) P sen ; cos

C) P sen ; cos

D) P cos ; sen

E) P sen ; cos

1

2csc

sen

sen

10;2

9

5

2;

5

3

O

P(x,y)

x

y

C.T.

A1

1

1

2

35

6O

C.T.

RESOLUCIÓN

RPTA.: E 14. En la circunferencia

trigonométrica mostrada halle

el área de la región sombreada.

A) 21,5.sen .cos

B) 21,5.sen .cos

C) 23.sen .cos

D) 23.sen .cos

E) 2sen .cos

RESOLUCIÓN

Del gráfico:

2 cos cosS sen

2

3 cosS sen

2

3 cosS sen

2

2S 1,5 sen cos

RPTA.: A

15. En la figura halle PR , si:

5sen

7

A) 11

7 B)

10

7 C)

7

11

D) 7

10 E) 2

RESOLUCIÓN

Ox

y

C.T.

1

1

1

x

y

R

C.T.

P

A

1

1

Ox

y

C.T.cos ;sen

sen ;cos P sen ;cos

Ox

y

S

2 cos

sen

cos

C.T.

xR

C.T.

1

y

cos

5sen

7

MO

P

1

49

24cos2

222

cos2senPR

222cos4senPR

49

244

49

252PR

49

1212PR

11

PR7

RPTA.: C

16. En la circunferencia

trigonométrica determine el

área de la región en término de

“ “ siendo OP PB .

A) sen

2cos 1 B)

sen cos

2

C) 22cos

2sen 1 D)

sen cos

2sen 1

E) 1 2cos .sen

sen

RESOLUCIÓN

( ) (+)

cos sen 1S 2

2 2

2.2

cos.u

senS

RPTA.: B 17. Del gráfico mostrado calcule el

área del cuadrilátero

sombreado.

A) 0,5 sen cos

B) 0,5 sen cos

C) 0,5 cos sen

D) 0,5 sen cos

2

2

2cos

7

51:PMO

222: MRPMPRPMR

y

A

P

M Q

B’

o

C.T.

x

y

´

y

B’

cos

2

cos

sen

E) 0,5sen cos

RESOLUCIÓN 21 SSS

Calculamos

1

1S (cos )

2

2

1S (sen )

2

S 0,5(sen cos )

RPTA.: A

18. Si se sabe que: “ ” 210;135

, dar la variación de:

1cos.2P

A) 2

2;1 B) 0;21

C) 1;2 D) 0;21

E) 0;21

RESOLUCIÓN

Se observa:

Si: 210135

2

2cos1

1cos22

01cos221

0;21P

RPTA.: D

19. Si:2 sen 1 8 5cos ,

halle: “csc sec “

A) 2 B) 4

9 C)

4

1

D) 4

9 E)

4

1

RESOLUCIÓN

Condición:

cos5812 sen

Se observa que: 101 sensen

1sen 1sen 1csc

¡Incompatible! Reemplazando en la condición:

cos5802

2S

1S

sen

cos

x

y

C.T.

210º

180º

135º

cos

cos180º 1

2cos 135º

2

3cos210º

2

5

4cos 1csc

4

1

4

51seccsc

RPTA.: C

20. Si 3

;4

, de la

circunferencia trigonometrica determina la variación de la

región sombreada.

A) 2

2;

2

1 B)

2

2;0

C) 2

1;0 D)

2

2;

2

1

E) 2

3;

2

1

RESOLUCIÓN

cos12

1senS

)cos(2

1senS

42.

2

1senS

Como: 4

3

4

3

42

142

2sen

2

2

4.

2

2

2

1sen

2

2;

2

1S

RPTA.: A

21. Halle el área de la región sombreada en términos de “

”.

A) 1 cos B) 1 sen

C) 1 sen D) 1 cos

E) 2sen

2 2x y 1

y

x

cos

sen ; cos

sencos ;sen

RESOLUCIÓN

A = (1 + sen ) x 1

A = 1 + sen

RPTA.: C

22. Calcule “ tg ” en el siguiente

circulo trigonométrico.

A) 2

2

B) 2

C) 2

1

D) 2

3

E) 1

RESOLUCIÓN

a + b = 1 …

( OBT) = BPR

b

a1

2

1

1

2b = 1 + a

2b - a = 1...

3b = 2

3

2b

3

1a

b

atg ,CIII )(tg

2

1

3

23

1

tgtg

RPTA.: C

23. El siguiente gráfico es una

circunferencia trigonométrica. Calcule el área del triángulo

EBF.

A) cos B) 2cos

C) sen D) 2sen

E) 1

sen2

==

x

y

1

A

C.T.

x

y

A

C.T.

B

F

E

y

xcos

sen

1 +

Sen

1

RESOLUCIÓN

Área cos)2(2

1EBF

Área cosEBF

RPTA.: A

24. Si: 132 xtg , entonces

todos los valores de “x” en

;0 que verifique la

desigualdad, se encuentran

comprendido en:

A) ;3 2

B) ;4 3

C) 2 3

;3 2

D) ;6 3

E) 6;0

RESOLUCIÓN

3

3

3

1xtg

3;

6x

3

3 3

RPTA.: D

1331tan321 xtgx

B

F

E

cos

1