Clase 15

CLASE 15: RESPUESTA DINÁMICA DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

Profesor:LUIS AUGUSTO LARA VALENCIA

Medellín: Octubre – 2014

Universidad Nacional de Colombia sede Medellín Departamento de Ingeniería CivilPostgrado en EstructurasDINAMICA DE ESTRUCTURAS

RESPUESTA DINÁMICA DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

Cuando se desea conocer elcomportamiento de un sistema elásticolineal excitado por una carga dinámicaexterna.

Se debe efectuar, como primer paso, elllamadoAnálisis Modal.

Determinación de modos y frecuenciasnaturales.

La clave de la determinación de la respuesta dinámica está basada en la hipótesis de lasuperposición modal (Ver Figura 1).

Figura 1. Superposición modal

*Modificado de Alves Filho, 2005


De acuerdo con la hipótesis de lasuperposición modal.

El objetivo principal es conocer laconfiguración deformada de la estructuraen un instantet cualquiera. La configuración deformada de la

estructura en un instante cualquiera detiempo puede ser obtenida sumando las“configuraciones” de cada modo devibrar.

La suma de estas “configuraciones” no es otra cosa que la combinación lineal de los modosnaturales de vibración de la estructura.

Cada modo de vibrar viene en esa suma multiplicado por un coeficiente querepresenta la importancia del respectivo modo en el cálculo de la respuesta.

Denominado “peso” o “ factor de participación”Son variables a lo largo del

tiempo.


Como los factores de participación son variables en función del tiempo, al efectuarse lacombinación lineal, se tendrá en cada instante una respuesta diferente.

Se construye el “Time History”, es decir, el registro de respuesta en función del tiempo de la estructura.

En resumen:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))1 2Respuesta Dinámica 1 modo 2 modo ........ modo modos*ny y n y y= ° ⋅ + ° ⋅ + ° ⋅ == ° ⋅ + ° ⋅ + ° ⋅ == ° ⋅ + ° ⋅ + ° ⋅ == ° ⋅ + ° ⋅ + ° ⋅ =∑∑∑∑

La obtención de la respuestadinámica de un sistemaestructural pasa por laejecución de las siguientesetapas.

* Cálculo de los modos y frecuencias naturalesde vibración de la estructura – Análisis Modal.

* Determinación del factor de participación decada modo de vibrar en la respuesta (y1, y2,…..yn)


Los modos de vibrar de la estructura son definidos matemáticamente por medio de losautovectores determinados para cada frecuencia natural, y estos pueden ser representadospor la matriz modal:

[[[[ ]]]] 1 2 i nnxnφ φ φ φΦ ==== L

Autovector correspondiente al i-esimo modo de vibrar

Estableciendo la hipotesis de la superposición modal, se tendrá:

(((( ))))

(((( ))))(((( ))))(((( )))) (((( ))))

11 12 13 11

21 22 23 221 2 3

131 32 33 33

n

nn

n i iin

U U U UU t

U U U UU tU t y y y y y t

U U U UU tφ

====

= = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅= = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅= = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅= = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅

∑∑∑∑LL

M M M MM


(((( )))) {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}} (((( )))) {{{{ }}}}1 1 2 2 3 31

n

n n i ii

U t y y y y y tφ φ φ φ φ====

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅∑∑∑∑LL

O, lo que es lo mismo:

Como ya se estudio el cálculo de los autovectores, el análisis en adelante se centrará endeterminar los valoresyi(t), esto es, los factores de participación de cada modo en larespuesta.

Por medio de la superposición modal

Se puede transformar un conjunto denecuaciones simultaneas de movimiento enun conjunto den ecuaciones desacopladas.

De esta manera, el método de la superposición modal convierte el problema matricial en unproblema escalar a partir de la solución de los modos, haciendo el desacoplamiento de lasecuaciones de equilibrio.

(1)


Para calcular los factoresyi(t), se partirá de la ecuación de equilibrio dinámico, esto es:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))t t t t⋅ + ⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ + ⋅ =M U C U K U F&& &

Si se sustituye la ecuación (1) en la ecuación de equilibrio dinámico, se obtendrá:

(2)

{{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}}{{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}}{{{{ }}}} {{{{ }}}} (((( ))))

1 1 2 2 3 3 1 1

2 2 3 3 1 1 2 2

3 3

n n

n n

n n

y y y y y

y y y y y

y y t

φ φ φ φ φ

φ φ φ φ φ

φ φ

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ =+ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ =+ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ =+ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ =

M M M M C

C C C K K

K K F

&& && && && &LL

& & &LL

LL

La ecuación (3) puede ser simplificada si se utiliza la propiedad de ortogonalidad aplicada alas matrices de masa, amortiguamiento y rigidez:

(3)


{{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}

{{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}

{{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}

0

0

0

T

j i

T

j i

T

j i

i j

φ φ

φ φ

φ φ

⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ = ≠⋅ ⋅ = ≠⋅ ⋅ = ≠⋅ ⋅ = ≠

⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =

K

M

C

(4)

Para observar mejor esta simplificación, se comenzará con un caso particular para despuésgeneralizar. Para tal fin, se multiplicará la ecuación (3) a ambos lados por ,así:{{{{ }}}}3

Tφ

{{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}}{{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}}{{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}}{{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}} (((( ))))

3 1 1 3 2 2 3 3 3

3 3 1 1 3 2 2

3 3 3 3 3 1 1

3 2 2 3 3 3 3 3.

T T T

T T T

n n

T T T

n n

T T T T

n n

y y y

y y y

y y y

y y y t

φ φ φ φ φ φ

φ φ φ φ φ φ

φ φ φ φ φ φ

φ φ φ φ φ φ φ

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ =+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ =+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ =+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ =

M M M

M C C

C C K

K K K F

&& && && LL

&& & &

& &LL

(5)


Utilizando las propiedades de ortogonalidad (ecuaciones (4)), es posible obtener:

{{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}} (((( ))))3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

T T T Ty y y tφ φ φ φ φ φ φ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅M C K F&& & (6)

Recordando el concepto de masa y rigidez generalizada para un dado modo de vibrar:

{{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}

{{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}

3 3 3

3 3 3

T

T

k

m

φ φ

φ φ

= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

K

M

Rigidez generalizada para el modo 3

Masa generalizada para el modo 3

Así, expandiendo esta idea, se pueden introducir los conceptos a amortiguamiento y fuerza.


{{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}

(((( )))) {{{{ }}}} (((( )))){{{{ }}}}

3 3 3

3 3

T

T

c

f t t

φ φ

φ

= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅

C

F

Amortiguamiento generalizado parael modo 3

Fuerza generalizada para el modo 3

Y de esta manera la ecuación (6) podrá escribirse como:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))3 3 3 3 3 3 3m y t c y t k y t f t⋅ + ⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ + ⋅ =&& & (7)

CONCLUSIÓN : El factor de participación del tercer modo en el cálculo de la respuestadinámica puede ser calculado a partir de la solución de un SDUGL tipo masa-resorte-amortiguador sometido a una excitación externa.


La solución de este problema ya fueestudiada en la primera parte del curso

Basta utilizar la solución ya desarrollada

Las coordenadasy del sistema auxiliar (SDUGL) no son las coordenadas físicas de laestructura. Esas coordenadas son conocidas como coordenadas normales o coordenadasgeneralizadas, ya que representan de modo general aquel modo de vibrar.

Generalizando esta idea en todos los modos

Se construiránn SDUGL de manera quese puedan calcular los factores departicipación de cada modo en larespuesta dinámica

Que hacer?Transformar el problema de coordenadas físicas acoordenadas generalizadas, modificando un conjunto den ecuaciones simultaneas en un conjunto denecuaciones desacopladas.


Así, para un modo genérico i, se tendrá:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))i i i i i i im y t c y t k y t f t⋅ + ⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ + ⋅ =&& & (8)

El factor de participación de cada modopuede ser determinado resolviendo unaecuación escalar para cada modo.

Resolviendo un SDUGL encoordenadas generalizadas.

A continuación se presentan los principales pasos en la determinación de la respuesta dinámica. Así mismo, la Figura 2 resume la idea de la determinación de los factores de partición de cada modo.


Determinar los modos y frecuencias naturales (λi ,Фi)

Calcular la masa, rigidez, amortiguamiento y fuerza generalizada para cada modo de vibrar

Resolver el sistema generalizado masa-resorte-amortiguador sometido a la excitación externa generalizada para cada modo de vibrar

determinando los factores yi

Efectuar la superposición de los modos:

(((( )))) {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}}1 1 2 2 3 3 n nU t y y y yφ φ φ φ= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅LL


Figura 2. Superposición modal

*Modificado de Alves Filho, 2005

EJERCICIO DE APLICACIÓN: RESPUESTA DINÁMICA A CARGA SENOIDAL

Ejercicio

El sistema discretizado mostrado en la Figura 3 representa un sistema estructural de dosgrados de libertad (los grados de libertad 1 y 4 están bloqueados), excitado por una fuerzaexterna senoidal F(t)=Fsenωt. Se buscará determinar la respuesta dinámica(desplazamientos nodales) en el dominio del tiempo.

Considerar que los datos proporcionados están en un sistema coherente de unidades donde:K=1, M=1, F=1 yω= 0,8 rad/s.

Figura 3. Estructura idealizada

K

(a) (b) (c)

K K

m m

1 2 3 4

U2 U3

F1(t)


Solución

Determinación de las propiedades de rigidez y masa del modelo estructural:

Es posible identificar en el modelo 4 grados de libertad, adicionalmente las masas son admitidas concentradas en los nodos.

Matriz de rigidez de los elementos y de la estructura

[[[[ ]]]]a k kK

k k

−−−− ==== −−−−

1

2

21

[[[[ ]]]]b k kK

k k

−−−− ==== −−−−

2

3

32

[[[[ ]]]]c k kK

k k

−−−− ==== −−−−

3

4

43

La matriz de rigidez de la estructura será obtenida a partir de la matriz de rigidez de los elementos que la componen, esto se facilita utilizando los vectores de localización.


[[[[ ]]]]

0 0

0

0

0 0

k k

k k k kK

k k k k

k k

−−−− − + −− + −− + −− + − ==== − + −− + −− + −− + − −−−−

1

2

3

4

21 3 4

Matriz de masa de la estructura

La matriz de masa se representa por una matriz diagonal cuando las masas se concentran en los nodos, de esta manera:

[[[[ ]]]]

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

mM

m

====

21 3 4

1

2

3

4


Como se desea conocer el desplazamiento nodal, los nodos cuyo desplazamiento esta restringido permitirán reducir el problema. Así, se tiene:

[[[[ ]]]]

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

mM

m

====

21 3 4

1

2

3

4

[[[[ ]]]]

0 0

0

0

0 0

k k

k k k kK

k k k k

k k

−−−− − + −− + −− + −− + − ==== − + −− + −− + −− + − −−−−

1

2

3

4

21 3 4

[[[[ ]]]] 2

2

k kK

k k

−−−− ==== −−−−

[[[[ ]]]] 2 1

1 2K k

−−−− = ⋅= ⋅= ⋅= ⋅ −−−−

[[[[ ]]]] 0

0

mM

m

====

[[[[ ]]]] 1 0

0 1K m

= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅


Frecuencias del sistema

A través de la ecuación de frecuencia del sistema se determinarán los autovalores, de esta manera se tiene:

(((( ))))det 0K Mλ− ⋅ =− ⋅ =− ⋅ =− ⋅ =2 1 1 0

det 01 2 0 1

λ −−−−

− ⋅ =− ⋅ =− ⋅ =− ⋅ = −−−−

2 1det 0

1 2

λλ

− −− −− −− − ==== − −− −− −− −

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))2 2 1 1 0det λ λ λ − = − ⋅ − − − ⋅ − =− = − ⋅ − − − ⋅ − =− = − ⋅ − − − ⋅ − =− = − ⋅ − − − ⋅ − = K M

2 4 3 0λ λ− + =− + =− + =− + = 1 1λ ==== 2 3λ ==== 1 1 /rad sω ==== 2 1,73 /rad sω ≈≈≈≈


Modos de vibrar de la estructura

Por medio de la ecuación de equilibrio dinámico es posible obtener los autovectores, así:

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]](((( )))) {{{{ }}}} {{{{ }}}}0iλ φ− ⋅ =− ⋅ =− ⋅ =− ⋅ =iK M 2

3

2 1 0

1 2 0i i

i i

λ φλ φ

− −− −− −− − ⋅ =⋅ =⋅ =⋅ = − −− −− −− −

(((( )))) 2 32 0i i iλ φ φ− ⋅ − =− ⋅ − =− ⋅ − =− ⋅ − =

(((( ))))2 32 0i i iφ λ φ− + − ⋅ =− + − ⋅ =− + − ⋅ =− + − ⋅ =

Cálculo del primer autovectorcorrespondiente al primer autovalor 21 11, 1φ λ= == == == = 31 1φ ====


Cálculo del segundo autovectorcorrespondiente al segundo autovalor 22 21, 3φ λ= == == == = 32 1φ = −= −= −= −

De esta manera {{{{ }}}}1 1

1 1 1

1Tφ φ

==== ⇒⇒⇒⇒ ====

{{{{ }}}}2 2

1 1 1

1Tφ φ

==== ⇒⇒⇒⇒ = −= −= −= − −−−−

Rigidez, masa y fuerza generalizada asociada a cada modo de vibrar

Para el primer modo de vibrar:

Rigidez generalizada {{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}} [[[[ ]]]]1 1 1

2 1 11 1 2

1 2 1T

k φ φ−−−−

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ == ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ == ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ == ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = −−−− K


Masa generalizada {{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}} [[[[ ]]]]1 1 1

1 0 11 1 2

0 1 1T

m φ φ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ == ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ == ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ == ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

M

Fuerza generalizada (((( )))) {{{{ }}}} (((( )))) [[[[ ]]]]1 1 1 10

T Fsen tf t F t Fsen t

ωφ ω

= ⋅ = ⋅ == ⋅ = ⋅ == ⋅ = ⋅ == ⋅ = ⋅ =

Para el segundo modo de vibrar:

Rigidez generalizada {{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}} [[[[ ]]]]2 2 2

2 1 11 1 6

1 2 1T

k φ φ−−−−

= ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ == ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ == ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ == ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = − −− −− −− − K

Masa generalizada {{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}} [[[[ ]]]]2 2 2

1 0 11 1 2

0 1 1T

m φ φ = ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ == ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ == ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ == ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −−−−

M


Fuerza generalizada (((( )))) {{{{ }}}} (((( )))) [[[[ ]]]]2 2 1 10

T Fsen tf t F t Fsen t

ωφ ω

= ⋅ = − ⋅ == ⋅ = − ⋅ == ⋅ = − ⋅ == ⋅ = − ⋅ =

Cálculo de los factores de participación de cada uno de los modos en la respuestadinámica

El cálculo de los factores de participación de cada modo en el cálculo de larespuestadinámica son obtenidos a partir de la solución de un SDUGL para cada modo, considerandola masa, rigidez, amortiguamiento y fuerza generalizada para cada modo.

Factor de participación del 1° modo en la respuesta dinámica:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))1 1 1 1 1 1 1m y t c y t k y t f t⋅ + ⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ + ⋅ =&& &

(((( )))) (((( )))) (((( ))))1 12 2 0,8y t y t sen t⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ =&&


La solución del SDUGL planteado en la ultima ecuación dinámica de movimiento ya fueestudiado, y está dada por:

Utilizando condiciones iniciales


(((( )))) (((( ))))1 2

1 10,8 0,8

2 0,81

1

y t sen t sent

= −= −= −= − −−−−

Factor de participación del 2° modo en la respuesta dinámica:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))2 2 2 2 2 2 2m y t c y t k y t f t⋅ + ⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ + ⋅ =&& &

(((( )))) (((( )))) (((( ))))2 22 6 0,8y t y t sen t⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ =&&

(((( )))) (((( ))))2 2

1 10,8 0,46 1,73

6 0,81

1,73

y t sen t sen t

= −= −= −= − −−−−


Cálculo de la respuesta dinámica en el dominio del tiempo por la hipótesis de lasuperposición modal

(((( )))) {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}} (((( )))) {{{{ }}}}1 1 2 2 3 31

n

n n i ii

U t y y y y y tφ φ φ φ φ====

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅∑∑∑∑LL

La superposición modal puede escribirse de la siguiente manera:

De esta forma:

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))2

3

1 11,39 0,8 0,8 0,21 0,8 0,46 1,73

1 1

U tU t sen t sent sen t sen t

U t

= = − ⋅ + − ⋅= = − ⋅ + − ⋅= = − ⋅ + − ⋅= = − ⋅ + − ⋅ −−−−

Y de esta manera se tiene entonces:


(((( )))) (((( )))) (((( ))))2 1,39 0,8 0,8 0,21 0,8 0,46 1,73U t sen t sent sen t sen t= − + −= − + −= − + −= − + −

(((( )))) (((( )))) (((( ))))3 1,39 0,8 0,8 0,21 0,8 0,46 1,73U t sen t sent sen t sen t= − − −= − − −= − − −= − − −

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 2 4 6 8 10

De

spla

zam

ien

to

Tiempo

Desplazamientos Nodales

U2

U3

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