Clase 2

Conceptos de matemáticas financieras aplicadas a la evaluación de proyectosevaluación de proyectos

I N G . D O N N Y C A M P O S

El dinero y su costo

Dinero: principal recurso en decisiones de inversión p po financiamiento.

Es un recurso escaso.

Esa escases implica un costo.

Tasa de interés: forma de medir ese costo.

Administración financiera: asignación del recurso dinero.

Presupuestación de capital: implica activos productivos o capital de trabajo.

Concepto de interés

Desde la perspectiva del que necesita el dinero:p p qSuma a pagar por usar dinero de otro.

Desde la perspectiva del prestamista:Suma solicitada para compensar la desvalorización de la moneda, el riesgo y el valor del alquiler del dinero

De que depende:De que depende:Oferta y demanda

Riesgo (país, inflación, actividad, finanzas)g (p , , , )

Tasa de interés

Porcentaje que se paga o cobra sobre el principal.j q p g p p

Ejemplo: Una empresa deposita al inicio del año j p p p100,000 en una cuenta de ahorros al 6% anual. ¿Cuánto recibirá después de un año?

Monto del interés = monto depositado x número de periodos x tasa de interés tasa de interés

Monto interés = 100,000 x 1 x 6% = 6000

Tasa de interés

Interés simplepÚnicamente la inversión inicial (principal) gana intereses por toda su vida financiera.

Forma de calcularlo:

Tasa de interés

Ejemplo: Una empresa pide prestado 3,000,000 a j p p p p 3, ,una tasa de interés anual del 30%. Suponiendo que tarda dos años en pagar el préstamo, ¿cuánto dinero t d á ?tendrá que pagar?

Fin de año Cantidad Monto de Cantidad Cantidad Fin de año Cantidad prestada

Monto de intereses

Cantidadadeudada

Cantidad pagada

0 3,000,000

1 900 000 3 900 000 01 900,000 3,900,000 0

2 900,000 4,800,000 4,800,000

Tasa de interés

Interés compuestopSupone que tanto la inversión inicial como los intereses ganados generan nuevos flujos en el futuro. El interés es capitalizablecapitalizable.

El interés se acredita al final de cada periodo y se deja acumular de un periodo al siguiente.

Forma de calcularlo:

Tasa de interés

Ejemplo: Una entidad financiera presta 10,000,000 j p p , ,al 48% anual de interés compuesto. Calcular la cantidad adeudada al final de los tres años.

Fin de año Cantidad prestada

Monto de intereses

Cantidadadeudada

Cantidad pagada

0 10,000,0000 10,000,000

1 4,800,000 14,800,000 0

2 7,104,000 21,904,000 0

3 10,513,920 32,417,920 32,417,920

Tasa de interés

Tasa de interés nominalRefleja, desde el punto de vista del inversionista, el costo de oportunidad que éste le asigna al flujo de fondos que recibirá.

En términos financieros es la tasa de referencia del mercado En términos financieros, es la tasa de referencia del mercado. Puede ser activa o pasiva.

Tasa de interés efectivaEs la tasa que corresponde al periodo real de interés, la que se paga o se gana en realidad.

F d l l lForma de calcularla:

Tasa de interés

Ejemplo: Fred Moreno desea determinar la tasa de j pinterés efectiva relacionada con una tasa de interés nominal del 8%, cuando la composición del interés ti f i ) l ( ) ) t l tiene una frecuencia 1) anual (m=1), 2) semestral (m=2) y 3) trimestral (m=4).

Para la composición anual:

Tasa de interés

Para la composición semestral:

Para una composición trimestral.

Tasa de interés

Aplicación de la tasa de interés efectiva para p pinversiones.

La tasa efectiva es una buena herramienta cuando el mercado financiero ofrece a los inversionistas diferentes tasas de interés financiero ofrece a los inversionistas diferentes tasas de interés a diferentes plazos.

Ejemplo: Si un banco ofrece las siguientes opciones de inversión, determinar la opción que ofrece el mayor rendimiento en términos anuales.

Plazo de capitalización Tasa anualPlazo de capitalización Tasa anual

1 mes 14.25%

3 meses 14.75%

6 %6 meses 15.50%

12 meses 16.15%

Tasa de interés

Tasa anual Periodo de capitalización

Tasa efectiva Valorcapitalización

14.25% 12 veces 15.218%

14.75% 4 veces 15.586%

15.50% 2 veces 16.100%

16.00% 1 vez 16,00%

Valor futuro y presente

Valor futuro de una cantidad individual (VF)( )Es el valor de una cantidad presente a una fecha futura calculado al aplicar el interés compuesto durante un periodo de tiempo específicode tiempo específico.

Ejemplo: Si Fred Moreno deposita $100 en una Ejemplo: Si Fred Moreno deposita $100 en una cuenta de ahorro que paga 8% de interés compuesto anualmente, ¿cuánto tendrá el primer año? ¿cuánto el segundo?


Si Fred dejara este dinero en la cuenta otro año, se le pagaría un interés del 8% sobre el nuevo principal.


Ejemplo: Ana Barrantes depositó $800 en una j p pcuenta de ahorros que paga 6% de interés compuesto anualmente y desea determinar la cantidad que t d á d é d ñtendrá después de 5 años.

A t d á $1070 40 l fi l d l q i t ñAna tendrá $1070.40 al final del quinto año


¿Qué pasa cuando la composición del interés tiene Q p puna frecuencia mayor a la anual?

En lugar de la tasa de interés establecida pagadera anualmente (i) se paga “m” cantidad de veces a una tasa igual a i/m(i), se paga m cantidad de veces a una tasa igual a i/m.

Ejemplo: Fred Moreno decidió invertir $100 a una Ejemplo: Fred Moreno decidió invertir $100 a una cuenta de ahorros que paga 8% de interés anual compuesto semestralmente. ¿Cuánto ahorra al final de dos años?


Periodo Cantidad ahorrada

TasaDe interés

Intereses del periodo

Valor al final del pperiodo

0 $100

6 meses 4% $4.00 $104.006 meses 4% $4.00 $104.00

12 meses 4% $4.16 $108.16

18 meses 4% $4.33 $112.49

% $ $ 624 meses 4% $4.50 $116.99


Si se asume ahora que Fred Moreno encontró una qinstitución que le pagará el 8% de interés anual, compuesto trimestralmente, ¿cuánto recibirá al final d d ñ i d id i ti di di h de dos años si decide invertir su dinero en dicha institución?


Periodo Cantidad ahorrada

Tasa de interés

Intereses del periodo

Valor al final del periodo

0 $100

3 meses 2% $2.00 $102.00

6 meses 2% $2.04 $104.04

9 meses 2% $2.08 $106.12

1 año 2% $2.12 $108.24

15 meses 2% $2 16 $110 4015 meses 2% $2.16 $110.40

18 meses 2% $2,21 $112.61

21 meses 2% $2.25 $114.86

2 años 2% $2.3o $117.16


Conclusión:Cuanto mayor sea la frecuencia de composición del interés, mayor será la cantidad de dinero acumulado.

Una ecuación general:

Para la composición semestral:

Para la composición trimestral:


Valor presente de una cantidad individual (VF)p ( )Es el valor actual en dólares de una cantidad futura. La cantidad de dinero que sería necesario invertir el día de hoy a una tasa de interés determinada durante un periodo específico una tasa de interés determinada durante un periodo específico para obtener una cantidad futura.

Cuanto mayor sea la tasa de interés (descuento), menor será el l tvalor presente.

Cuanto mayor sea el periodo de tiempo, menor será el valor presente.


Ejemplo: El señor Vargas tiene la oportunidad de j p g precibir $300 dentro de un año. Si tiene la posibilidad de obtener el 6% sobre sus inversiones, ¿cuánto es lo

á i d b h t id d?máximo que debe pagar ahora por esa oportunidad?

Fó l l Fórmula general:


Ejemplo: Eugenia Gutiérrez desea calcular el valor j p gpresente de $1,700 que recibirá dentro de 8 años. El costo de oportunidad de Eugenia es del 8%.

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