Calculo Diferencial e Integral II

por Mara Luisa Perez Segu

Introduccion

Se presenta aqu el material correspondiente a un segundo curso en Calculo Diferencial eIntegral. Se intercalan numerosos ejemplos inmediatamente despues de que se ha introducidoun concepto nuevo, de manera que sea mas completa la comprension del concepto. Se pro-ponen tambien diversos ejercicios; algunos de ellos son rutinarios, mientras que la solucionde otros requiere de un mayor esfuerzo, imaginacion y dedicacion.

Se sugiere que el lector consulte las notas de Algebra Superior I y de Calculo Diferenciale Integral I si tiene alguna duda subre notacion.

i

Indice

Introduccion I

1. Mas sobre el conjunto de los numeros reales 1

1.1. Axioma del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Sucesiones 6

ii

1. Mas sobre el conjunto de los numeros reales

1.1. Axioma del supremo

Recordemos que una propiedad importante del conjunto de los numeros reales es que esun campo ordenado, es decir, existen en R dos operaciones que cumplen ciertas propiedades(que lo hacen un campo) y, ademas, tambien en R hay una relacion de orden compatible conlas operaciones. Enunciamos a cntinuacion estas propiedades sin entrar en detalles (puedenverse en la primera seccion de las notas de Calculo I).

1.1. Propiedad (R1). R es un campo, es decir, en R estan definidas dos operaciones:+ (suma) y (producto) que satisfacen:

(1) Hay neutro para + llamado neutro aditivo, es decir, un elemento 0 tal que a+ 0 =0 + a = a para todo real a.

(2) Hay inversos aditivos, es decir, dado a real existe otro real que denotamos por aque satisface a+ (a) = (a) + a = 0.

(3) La suma es asociativa, es decir, para a, b, c R se tiene que (a+ b)+ c = a+(b+ c).(4) La suma es conmutativa, es decir, para a, b R se tiene que a+ b = b+ a.(5) Hay neutro para llamado neutro multiplicativo, es decir, un elemento 1 tal que

a 1 = 1 a = a para todo real a.(6) Hay inversos multiplicativos para todos los elementos distintos de 0, es decir, dado

a real no cero existe otro real que denotamos por 1a

que satisface a 1a

= 1a a = 1.

(7) El producto es asociativo, es decir, para a, b, c R se tiene que (a b) c = a (b c).(8) El producto es conmutativo, es decir, para a, b R se tiene que a b = b a.(9) Se satisface la propiedad distributiva del producto sobre la suma es decir,

para a, b, c R se tiene que a (b+ c) = a b+ a c.

1.2. Propiedad (R2). En R hay una relacion de orden compatible con la estructurade campo; es decir, se satisfacen las siguientes propiedades:

(a) Reflexividad : x x para todo x R.(b) Transitividad : si x, y, z R son tales que x y y y z entonces tambien x z.(c) Antisimetra : si x, y R cumplen x y y y x entonces x = y.(d) Totalidad o tricotoma : Dados x, y R forzosamente se tiene (al menos) una de

las dos siguientes: x y o y x.

La compatibilidad de la relacion de orden con las operaciones de campo se enuncia comosigue (entendiendo los smbolos , como acostumbrado):

1

(e) Si x N entonces x > 0.(f) Para todo x R se tiene x2 0.(g) Si x y y w z entonces x+ w y + z y, si una de las dos primeras desigualdades

es estricta, tambien lo es la tercera.

(h) Si x y, z 0 y w 0, entonces xz yz y xw yw.

(i) x > 0 si y solo si1

x> 0.

(j) xy > 0 si, y solo si, ambos x y y son positivos o ambos son negativos.

Una cota superior para un subconjunto A de R es un elemento x0 R tal que a x0para todo a A. La existencia de una cota superior nos dice que A esta acotado su-periormente. . Analogamente se define cota inferior y conjunto acotado inferiormen-te. Cuando un conjunto A esta acotado superior e inferiormente decimos simplemente queesta acotado.

Una tercera propiedad esencial del conjunto de los numeros reales es la siguiente:

1.3. Propiedad (R3). Axioma del supremo. Si A es un conjunto de reales no vacoy acotado superiormente entonces existe una cota superior, s = sup(A), menor que todas lasdemas (llamada supremo de A).

Analogamente se llama nfimo a la mayor cota inferior.

1.4 Ejemplo. (a) N no tiene cota superior; , 0, 37, 1 son cotas inferiores y 1 es

nfimo.

(b) El conjunto de cotas inferiores de A = { 1n

: n N} es R \ (0,); 0 es nfimo y 1 essupremo.

(c) Si A = (,17), entonces A no tiene nfimo y supA = 1

7. Todo numero mayor o

igual que 17

es cota superior para A.

(d) Si A = {x R : x2 2} entonces supA =

2 e inf A =

2. (Para ver esto,observemos que la desigualdad es equivalente a |x|

2, as que A = (

2,

2).)

(e) Si A = {x R : |x(x 1)| 2} entonces supA = 2 e inf A = 1. (Para veresto observemos que la desigualdad es equivalente a 2 x2 x 2; sumando 1

4para

completar cuadrados obtenemos (74

)(x 1

2

)2 (94

); la primera desigualdad no nos

dice nada pues todo cuadrado es no negativo; la segunda nos dice quex 1

2

32

de donde(32

) x 1

2(32

)y as A = [1, 2].)

(f) Si A = {x R : |x 2| 2} entonces A no esta acotado ni inferior ni superiormente(pues A = (, 0] (4,)).

(g) Si A = {1 1n

: n N} entonces A = {0, 12, 23, 34, 45, . . .}, as que inf(A) = 0 y

2

sup(A) = 1.

(h) Si A = {x2 x + 1 : 0 x < 2} entonces inf A = 34

y supA = 3. (Para ver esto,hay que considerar la grafica de la funcion f donde f(x) = x2 x+ 1 para 0 x < 2 y verque 1

2es un mnimo, que f

(12

)= 3

4, que f(0) = 1 y que limx2f(x) = 3, de manera que

A = {x : 34 x < 3}.)

(i) Si B = {x R : 0 x2 x + 1 < 2} entonces inf B = 15

2y supB = 1+

5

2. (Para

ver esto, resolvemos la doble desigualdad completando cuadrados:

0 x2 x+ 1 < 21 x2 x < 1,3

4 x2 x+ 1

4< 5

4,

34

(x 1

2

)2< 5

4.

Observamos entonces que la primera desigualdad siempre se da y que la segunda es equiva-lente a

x 12

< 52

, de donde 52 x 1

2 0, a ya no es cota superior, es decir, existe a A tal que s < a.Analogamente i es nfimo si, y solo si, dado > 0 existe a A tal que a < i+ .

3

Conociendo solo Q, a partir de el se puede construir un conjunto que satisfaga laspropiedades (R1), (R2) y (R3). Ademas se prueba que cualquier conjunto que satisfaga esaspropiedades resulta ser isomorfo como campo ordenado a R (es decir, hay una funcionbiyectiva entre R y ese conjunto que respeta el orden y las operaciones). De esta manera,pueden considerarse estas propiedades como axiomas de definicion de R.

1.8 Proposicion. (a) Si un conjunto de numeros reales A esta acotado superiomente,entonces el conjunto A, definido por A = {a : a A}, esta acotado inferiormente einf(A) = sup(A).

(b) Si B esta acotado superiormente y A B, entonces A tambien esta acotado supe-riormente y sup(A) supB.

(c) Si A y B estan acotados superiormente entonces el conjunto A + B definido porA+B = {a+ b : a A, b B} tambien lo esta y sup(A+B) = sup(A) + supB.

Demostracion. (a) Sea s = sup(A); entonces para todo a A se tiene que a s; almultiplicar esta desigualdad por 1 tenemos que a s para todo a A, as que s escota inferior para A. Ademas, si > 0, entonces existe a A tal que s < a de donde, almultiplicar esta desigualdad por 1 obtenemos que s+ > a, con lo cual queda probadoque s es nfimo.

(b) Esto es claro porque sup(B) es cota superior para A.

(c) Primero observamos que sup(A) + supB es cota superior para A + B. Para probarque es la mnima, sea > 0. queremos ver que sup(A) + supB no es cota superior,pero sabemos que sup(A)

2no es cota superior para A, as que tomemos a A tal que

a > sup(A) 2. De igual manera, tomemos b B tal que b > sup(B)

2. Al sumar tenemos

que

a+ b > sup(A) 2

+ sup(B) 2

= sup(A) + sup(B) ,

como queramos.

1.9 Ejercicio. Encontrar el supremo y el nfimo de los conjuntos A = {4x3 3x 1 :x (0, 1)} y B = {x Q : 4x3 3x 1 < 1} (en caso de que existan).

1.10 Ejercicio. Sean A y B dos conjuntos acotados y no vacos de R tales que a < bpara todo a A y b B. Probar que sup(A) inf(B) y dar un ejemplo en el que se de laigualdad (sup(A) = inf(B)).

Utilizando el Principio del Supremo podemos probar la siguiente propiedad, tambien muyimportante de R.

1.11. Principio Arquimedeano. Dado a numero real positivo existe n N tal que

4

na > 1.

Demostracion. Supongamos falso el resultado. Entonces 1 es cota superior del conjuntoC = {na R : n N}. Sea s = supC. Entonces s a no es cota superior de C, as queexiste n N tal que s a < na. Pero entonces s < na + a = (n + 1)a C, lo cual es unacontradiccion.

Hay muchas otras formas de enunciar el principio arquimedeano. Esto es el contenido dela siguiente proposicion.

1.12 Proposicion. Son equivalentes las siguientes propiedades:

(a) El principio arquimedeano.

(b) Dados a y b reales con a > 0 existe n N tal que na > b.(c) N es no acotado.(d) Dado > 0 existe n N tal que 1

n< .

Demostracion. (a) (b): Si b 0 entonces es claro. Supongamos entonces que b > 0.Entonces, aplicando el principio arquimedeano a a

b> 0, tomemos n N tal que n

(ab

)> 1.

Despejando tenemos el resultado.

(b) (c): Supongamos que existe una cota superior b > 0 para N. Tomando a = 1 yaplicando (b) a a y a b tenemos que existe n N tal que n1 > b, lo cual es una contradicciona que b sea cota.

(c) (d): Sea > 0. Como N no esta acotado, 1

no es cota, as que existe n N tal quen > 1

; ahora tomamos los recprocos de esta ultima desigualdad y tenemos el resultado.

(d) (a): Sea a > 0. Apliquemos (d) a = a > 0 para encontrar n N tal que 1n< a;

al tomar recprocos obtenemos n > 1a

lo cual equivale a na > 1 como queramos.

1.13 Ejercicio. Usar el principio arquimediano para probar que dado a > 0 existen N tal que n 1 a < n.

1.14 Corolario. Dados a y b numeros reales con a < b existe q racional tal quea < q < b. Esta propiedad nos dice que Q es denso en R.

Demostracion. Sin perdida de generalidad supongamos que a > 0 (esto puede hacerseporque, en caso contrario, si b > 0 podemos probar el resultado para b

2en lugar de a, y si

b 0 entonces podemos trabajar con b < a, los cuales son ambos positivos). Tenemosque b a > 0 as que, por el inciso (b) de 1.12 existe n N tal que 1

n< b a; ademas,

usando 1.13 consideremos m el menor natural tal que m (1n

)> a. Entonces m1

n a < m

n.

5

Entonces es claro que mn< b puesto que m

n m1

n= 1

n< b a < b m1

n.

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................| | | | 1n

a b

b a

0 1n

De la siguiente propiedad tenemos que tambien el conjunto de los numeros irracionaleses denso en R. La demostracion se deja como ejercicio.

1.15 Ejercicio. Probar que dados a y b numeros reales con a < b y > 0 numeroirracional, existe q racional tal que a < q < b.

2. Sucesiones

Intuitivamente, una sucesion en R es una lista de reales (no necesariamente distintos)en la que importa como estan ordenados estos elementos. Consideraremos solo sucesionesinfinitas, o sea, listas infinitas. Damos a continuacion la definicion formal.

Una sucesion en R es una funcion s : N R. A la imagen del natural n bajo esta funcionlo denotamos por an y le llamamos termino n-esimo de la sucesion, y a la misma sucesion ladenotamos escribiendo sus imagenes, es decir, (a1, a2, a3, . . .) o, en forma sintetica, (an)nNo, simplemente, (an)n. El rango de la sucesion es el conjunto {an : n N} de sus terminos.

2.1 Ejemplo. (a) La sucesion an = n es la sucesion (1, 2, 3, . . .). El rango de estasucesion es N.

(b) La sucesion definida por an = (1)n es la sucesion (1, 1,1, 1, . . .) y es distinta dela sucesion definida por bn = (1)n+1 que es (1,1, 1,1, . . .) aun cuando sus rangos son elmismo conjunto de dos elementos {1, 1}.

(c) Una sucesion constante es una en la que todos los terminos son iguales, por ejemplo,la sucesion constante 1 es (1, 1, 1, . . .).

La sucesion (an)n en R converge a a R si para todo real > 0 existe un numeronatural N tal que si n N entonces |an a| < . En otras palabras, a partir de cierto lugarN todos los terminos de la sucesion estan en el intervalo con centro en a y radio . En estecaso escribimos an a. Una sucesion no convergente se llama divergente.

2.2 Observacion. an a si y solo si |an a| 0.

6

2.3 Proposicion. En caso de existir, el punto de convergencia es unico.

Demostracion. Supongamos que an a y an b y que a < b. Entonces = ba2es positivo. Por definicion de convergencia a a, sabemos que existe N1 tal que si n N1entonces an (a , a+ ); por otro lado, la convergencia a b nos dice que existe N2 tal quesi n N2 entonces an (b , b + ). Pero entonces si tomamos un natural n mayor queel maximo entre N1 y N2 tendremos que an (a , a + ) (b , b + ), lo cual es unabsurdo porque los dos intervalos no se intersectan por la definicion de .

2.4 Nota. Gracias a la proposicion anterior podemos escribir limn

an = a cuando lasucesion (an)n converge a a; decimos ademas que a es el lmite de la sucesion.

Decimos que una sucesion es acotada si su rango es un conjunto acotado.

2.5 Proposicion. Toda sucesion convergente es acotada.

Demostracion. Supongamos que (an)n es una sucesion convergente a a. Entonces, para =1, tenemos que existe un natural N tal que si n N , entonces |ana| < 1. En consecuencia,para toda n N , se tiene que |an| |a|+1. Sea R = max{|a1|, . . . , |aN1|, |a|+1}. Entoncestodo elemento de la sucesion tiene norma menor o igual que R.

Dadas sucesiones A = (an)n y B = (bn)n en Rs y c real definimos nuevas sucesiones comosigue:

(a) La sucesion suma A+B tiene termino n-esimo an + bn.

(b) El producto por el escalar c se obtiene multiplicando cada termino de la sucesionpor c: cA = (can)n.

(c) El producto de las sucesiones A y B por AB = (anbn)n.

(d) Si bn 6= 0, el cociente de A entre B es la sucesion cuyo termino n-esimo es anbn.

2.6 Proposicion. Si an a y bn b, entonces(a) an + bn a+ b.(b) can ca.(c) anbn ab(d) Si b 6= 0, entonces anbn ab.

Demostracion. Haremos solo (a) y (c); dejaremos (b) y (d) como ejercicio.

(a) Sea > 0. Entonces |(an + bn) (a + b)| |an a| + |bn b|. Como an a, existeN1 N tal que si n N1, entonces |an a| < 2. Analogamente, existe N2 N tal que sin N2, entonces |bn b| < 2. Sea N = max{N1, N2}. Entonces para n N tenemos que

7

|an a|+ |bn b| < 2 +2, lo cual implica que as que |(an + bn) (a+ b)| < .

(c) Sea > 0. Entonces |anbnab| = |anbnanb+anbab| |anbnanb|+ |anbab| =|an||bn b|+ |an a||b|. Aqu podemos proceder como en (a), buscando ver que cada uno delos sumandos es tan chico como queramos para n suficientemente grande. Consideremos elprimer sumando: El que la sucesion (an)n sea convergente implica que es acotada, digamos,por M > 0. Entonces, sea N1 tal que para n N1 se tenga que |bn b| < 2M . El segundosumando puede acotarse de la misma manera por

2(pues |b| es constante y, si fuera 0, no

sera problema) y la demostracion termina como en (a).

2.7 Ejercicio. Probar los incisos (b) y (d) de 2.6.

2.8 Proposicion. La sucesion definida por an =1n

converge a 0.

Demostracion. Sea > 0; por el Principio Arquimedeano existe N N tal que N > ;entonces, para n N , se tiene 1

n 1

N< , como queramos probar.

Sea (an)n una sucesion de reales. Decimos que an tiende a infinito (en smbolos,an ) si para todo numero real R existe N N tal que si n N entonces an > R.Analogamente, decimos que an si para todo numero real R existe N N tal que sin N entonces an < R.

2.9 Ejercicio. Probar que una sucesion (an)n de elementos positivos tiende a infinito

si y solo si la sucesion de recprocos(

1an

)n

tiende a 0.

2.10 Proposicion. Sean f(n) y g(n) dos polinomios: f(n) = bknk + + b1n + b0 y

g(n) = clnl + + c1n+ c0, con las bi y las cj reales y bk y cl distintos de 0. Entonces

limn

f(n)

g(n)=

bkck, si k = l,

0, si k < l,, si k > l.

En el ultimo caso el signo es el mismo que el de bk.

Demostracion. Es facil darse cuenta de la validez de este resultado si en cualquiera delos casos dividimos numerador y denominador por la potencia maxima de n que aparezca yutilizamos las propiedades de lmite vistas en 2.6.

2.11 Proposicion. Criterio de Comparacion. Si an a, bn b y an bn paratoda n, entonces a b.

Demostracion. Supongamos que es falso el resultado, es decir, que a > b; sea = ab2

.Sea N N tal que, para n N , an (a , a + ) y bn (b , b + ). Entonces

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aN < a+ b < bN , lo cual es una contradiccion.

2.12 Corolario. Lema del Sandwich. Si an bn cn para toda n N y limn

an =L = lim

ncn, entonces (bn)n es convergente y lim

nbn = L.

Demostracion. Sea > 0. Queremos encontrar N N tal que si n N , entonces|bn L| < . Sea N1 tal que si n N1 entonces |an L| < y sea N2 tal que si n N2entonces |cn L| < . Entonces, para n max{N1, N2}, tenemos que bn an > L ybn cn < L+ , as que bn (L , L+ ), como queramos demostrar.

2.13 Proposicion. Sea a un numero real. Si |a| < 1 entonces an 0.

Demostracion. Como |a| < 1 podemos escribir |a| = 11+r

con r > 0. Entonces, por elTeorema del Binomio de Newton tenemos que

0 |a|n = 1(1 + r)n

=1

1 + nr + . . . 1 entonces an .

2.15 Proposicion. Sea (an)n una sucesion de reales positivos convergente a a. Enton-cesan

a.

Demostracion. Sea > 0. Queremos probar que |an a| < . Si a = 0, entonces

|an a| = |an| =

an, y este ultimo es menor que si |an| < 2, lo cual es posible

lograr para n suficientemente grande pues an 0. Si a 6= 0, entonces

|an

a| =

|(an a)(an +

a|

|an +a|

=|an a||an +

a| |an a|

a.

Este ultimo es menor que si |ana| 0.

A continuacion calcularemos algunos lmites utilizando los resultados vistos arriba.

2.16 Ejemplo. (a) limn

2n

n!= 0 ya que, para n grande,

0

1

4+

1

4=

1

2,

1

5+ + 1

8>

1

8+ + 1

8=

4

8=

1

2,

1

9+ + 1

16>

1

16+ + 1

16=

8

16=

1

2,

...

Entonces, es claro que la sucesion tiende a infinito pues sus terminos van creciendo y losterminos en posicion potencia de 2 no estan acotados pues a2k > 1 +

k2.

Una sucesion (an)n es monotona creciente (respectivamente, monotona decreciente)si an an+1 (resp. an an+1) para toda n.

2.17 Proposicion. Teorema de la convergencia monotona. Sea (an)n una suce-sion acotada y monotona creciente (resp. decreciente); entonces (an)n es convergente y

limn

an = sup{an : n N} (resp. inf{an : n N}).

Demostracion. Haremos el caso de la sucesion creciente. Sea a0 = sup{an : n N} ysea > 0. Por definicion de supremo, a0 no es cota superior, as que existe N N talque aN > a0 . Ahora, la sucesion es creciente as que, para n N , an aN , de dondean > a0 ; por otro lado, como a0 es cota superior, tenemos que an a0, as que, paran N , an (a0 , ] (a0 , a0 + ), como queramos demostrar.

En el siguiente ejemplo veremos como puede aplicarse el Teorema de la ConvergenciaMonotona. Una vez que sepamos que la sucesion es convergente, haremos un truco algebraicopara calcular el lmite.

2.18 Ejemplo. Sea (an)n la sucesion definida en forma recursiva como sigue: a1 = 1y, para n 2, an = 2an1+34 . Determinar si la sucesion es convergente y, en ese caso, calcularsu lmite.

Solucion. Probemos por induccion que la sucesion es creciente y que esta acotada por 2.Tenemos que a2 =

54< 2, as que a1 < a2 < 2. Ademas, suponiendo que an1 an < 2,

10

tenemos que 2an1+34

2an+34

< 22+34

< 2, es decir, an an+1 < 2. El Teorema de laConvergencia Monotona nos dice entonces que la sucesion es convergente, sin embargo, nonos dice cual es el lmite. Por otro lado, podemos usar la misma formula recursiva que nosdefine la sucesion para calcular el lmite pues si an a, entonces 2an1+34

2a+34, as que

a = 2a+34

y, despejando a de esta ecuacion, tenemos a = 32.

2.19 Nota. El truco que aplicamos en el ejemplo anterior solo debe aplicarse una vezque sabemos que la sucesion es convergente; por ejemplo, si trataramos de aplicarlo a lasucesion definida por a1 = 1 y para n 2, an = 2an1 + 1, concluiramos que la sucesionconverge al numero a que satisface 2a + 1 = a, es decir, a = 1, lo cual es claramenteincorrecto pues la sucesion es no acotada.

2.20 Proposicion. La sucesion (an)n definida por an =(1 + 1

n

)nconverge a un numero

entre 2 y 3.

Demostracion. Veremos que la sucesion es creciente y que esta acotada por 3. Usando eldesarrollo dado por el Teorema del Binomio de Newton tenemos que

an = 1 + n1

n+n(n 1)

2!

1

n2+n(n 1)(n 2)

3!

1

n3+ + n(n 1) 1

n!

1

nn

= 1 + 1 +1

2!

(1 1

n

)+

1

3!

(1 1

n

)(1 2

n

)+ + 1

n!

(1 1

n

) (

1 n 1n

).

Analogamente,

an+1 = 1 + 1 +1

2!

(1 1

n+ 1

)+ + 1

3!

(1 1

n+ 1

)(1 2

n+ 1

)+ +

1

(n+ 1)!

(1 1

n+ 1

) (

1 nn+ 1

).

Al comparar termino a termino vemos que an < an+1. Para ver que 3 es una cota superior,observemos que, para k = 2, . . . , n, tenemos que 1

k!= 1

k(k1)1 1

221 =1

2k1; ademas, para

i = 1, . . . , n 1, tenemos que 0 < 1 in< 1. Entonces

an 1 + 1 +1

2+

1

4+ + 1

2n1< 3.

Entonces (an)n converge a un numero entre 2 y 3.

El numero al que converge la sucesion de la proposicion anterior se llama e.

11

2.21 Proposicion. Si k es un numero entero, la sucesion (an)n definida por an =(1 + k

n

)nconverge a ek.

Demostracion. Para k = 0, el resultado es obvio. Supongamos entonces que k N.Tenemos (

1 +k

n

)n=

(1 +

1nk

)nkk

.

Entonces basta observar que cuando n tambien nk . Ahora veamos el resultadopara k = 1:(

1 1n

)n=

(n 1n

)n=

(1nn1

)n=

(1

1 + 1n1

)n1(1

1 + 1n1

) 1

e.

Sea (an)n una sucesion. Una subsucesion de (an) es una sucesion (a(k))kN donde :N N es una funcion creciente. En otras palabras, si llamamos (k) = nk, la subsucesiones (an1 , an2 , an3 , . . .), y se obtiene eliminando algunos terminos (posiblemente una cantidadinfinita) de la sucesion original (a1, a2, a3, . . .).

2.22 Ejemplo. (a) La subsucesion de terminos pares de una sucesion se obtienemediante la funcion : N N dada por (n) = 2n. Analogamente definimos la sucesion determinos impares. Por ejemplo, la sucesion de terminos pares de la sucesion (1,1, 1,1, . . .)es la sucesion constante 1 y la sucesion de terminos impares es la sucesion constante 1.

(b) Una subsucesion cola es la que se obtiene mediante una funcion : N N de la forma(n) = n + c, donce c es una constante; en otras palabras, una subsucesion cola se obtieneeliminando los primeros c terminos de la sucesion; por ejemplo, la sucesion (1

5, 16, 17, . . .) es

cola de la sucesion (an)n donde an =1n

(aqu c = 4).

(c) La sucesion definida por bn = 2n es subsucesion de la sucesion definida por an = n

(aqu (n) = 2n).

La siguiente observacion es clara a partir de la definicion de convergencia.

2.23 Observacion. (a) Si (an)n es una sucesion convergente a a entonces cualquiersubsucesion de (an)n tambien converge a a.

(b) Si una cola de una sucesion converge entonces tambien la sucesion converge.

2.24 Teorema. Teorema de Bolzano Weierstrass (para sucesiones). Toda su-cesion acotada tiene subsucesion convergente.

Demostracion. Daremos solo una idea de la demostracion. Sea (an)n una sucesion acotada;digamos que |an| M para toda n N. Tenemos dos casos: que el rango R = {an : n N}sea finito o que sea infinito. Si R es finito, entonces hay un valor que se repite una infinidad

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de veces; sea a este valor. Entonces la subsucesion constante con valor a es subsucesionde (an)n y es obvio que converge a a. Si R es infinito, partimos el intervalo [M,M ] a lamitad. Alguno de los dos intervalos contiene una infinidad de elementos de R, es decir, unasubsucesion de (an)n esta contenida en el; ahora partimos ese intervalo a la mitad y repetimosel procedimiento. As sucesivamente, vamos logrando que los intervalos se apachurren en unpunto. Ese punto es lmite de alguna subsucesion de (an).

Una sucesion (an)n es de Cauchy si dado > 0 existe N N tal que para n,m N ,d(an, am) < .

2.25 Nota. . La sucesion (an)n es de Cauchy si, y solo si, para todo k N se tiene que|an+k an| 0.

2.26 Proposicion. Toda sucesion convergente es de Cauchy.

Demostracion. Sea (an)n una sucesion convergente a a y sea > 0. Sea N N tal que paran N , |an a| < 2 . Entonces, para n,m N se tiene que |an am| < |an a|+ |a am| 0. Sea N1 N tal que para n,m N1, |an am| < 2 . Ademas, seaak0 un temino de la sucesion cuya distancia a a sea menor que

2

y tal que k0 > N1 (dichak0 existe pues hay una subsucesion que converge a a). Entonces, para n k0 se tiene que|an a| |an ak0 |+ |ak0 a < 2 +

2

= .

2.28 Nota. . El conjunto de los racionales no es completo pues, por ejemplo, unasucesion de racionales que converja en R a

2 (como (1, 1.4, 1.41, . . .)) es de Cauchy pero su

lmite no es racional.

Al igual que hicimos antes con la proposicion 2.17, podemos usar 2.27 para determinarque cierta sucesion es convergente, y despues usar que s lo es para encontrar el lmite, comoveremos en el siguiente ejemplo.

2.29 Ejemplo. Probar que la sucesion de promedios (an)n definida recursivamente por

13

a1 = 0, a2 = 1 y, para n 2, an+1 = an+an12 , es convergente y encontrar su lmite.

Solucion. Como esta sucesion no es monotona, no podemos usar 2.17; sin embargo, noes difcil probar que es de Cauchy, como veremos a continuacion. Observemos primero que|an+1 an| = 12n ; entonces, para k 0,

|an+k an| |an+k an+k1|+ + |an+1 an|

=1

2n+k1+ + 1

2n=

1

2n(1 + + 1

2k1) 1

2n1 0.

El truco que usamos para encontrar el lmite a en 2.18 no sirve aqu puesto que solonos dira a = a+a

2, de lo cual no podemos extraer ninguna nueva informacion. Sin embargo

consideremos la sucesion de terminos impares: (0, 12, 12

+ 18, . . . , 1

2(1 + 1

4+ + 1

4n), . . .) cuyo

lmite ya sabemos calcular y es 12

11 1

4

= 23. El lmite de la sucesion debe ser tambien 2

3(por

2.23).

2.30 Ejercicio. Encontrar limn

(1 1

n+1

)3n.

2.31 Ejercicio. Dar un ejemplo de una sucesion (an)n que no sea de Cauchy pero enla que se cumpla que |an an+1| 0.

2.32 Ejercicio. Probar que la sucesion definida por an = 1 +11!

+ 12!

+ + 1n!

es deCauchy.

2.33 Ejercicio. Probar que la sucesion definida recursivamente por a1 = 1 y, paran 1, an+1 = an + (1)

n

(n+1)!, es convergente.

2.34 Ejercicio. Probar que la sucesion definida recursivamente por a1 = 1 y, paran 1, an+1 =

2 + an, es convergente y encontrar su lmite.

2.35 Ejercicio. Determinar la convergencia o divergencia de la sucesion cuyo terminon-esimo es

an =1

n+ 1+ + 1

2n.

2.36 Ejercicio. Encontrar el lmite de la sucesion cuyo termino n-esimo es

an =n sen(n!)n2 + 1

.

2.37 Ejercicio. Encontrar el lmite de la sucesion cuyo termino n-esimo es

an =

(1 1

2

)(1 1

3

)(1 1

4

) (

1 1n

).

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IntroduccinMs sobre el conjunto de los nmeros realesAxioma del supremo

Sucesiones