CLASE II Estática de las construcciones II -...

Introducción a las construcciones

CLASE IIEstática de las construcciones II

Ilustración sobre la variación de los esfuerzos de estructuras simples.Galileo Galilei, en Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, intorno a due nuove scienze attenenti

alla meccanica & i movimenti locali (Diálogos sobre dos nuevas ciencias), 1638.

31 MARZO 2009 1ESTATICA DE LAS CONSTRUCCIONES II

31 MARZO 2009 ESTATICA DE LAS CONSTRUCCIONES II 2

Composición de dos fuerzas paralelas del mismo sentido

F1 F2 F1

F2

O

I

II

III

I II

III

R

R

Polígono de fuerzas y funicular

M

S

Q

N

A

B

C

QSN P BOC

d1 d2

dh

QS = F1d1 h

QS . h = F1 . d1

QSM P ABO

QS = F2d2 h

QS . h = F2 . d2

Triángulos semejantes

31 MARZO 2009 3ESTATICA DE LAS CONSTRUCCIONES II


QS = F1d1 h

QS . h = F1 . d1

QS = F2d2 h

QS . h = F2 . d2

F1 . d1 = F2 . d2

d2 F1d1 = F2

En la composición de dos fuerzas paralelas del mismo sentido, se cumplen las siguientes condiciones:

1º) La resultante tiene la misma dirección y el mismo sentido que las componentes dadas

2º) El módulo o intensidad de la resultante es igual a la suma de los módulos o intensidades de las componentes dadas

3º) La recta de acción de la resultante, queda definida por la siguiente expresión: Las distancias de la resultante a cada una de las fuerzas componentes, paralelas del mismo sentido, son inversamente proporcionales a las intensidades de dichas fuerzas. La resultante es interior a las componentes.


Regla del paralelogramo


F1 F2

d1 d2

d

R

V1-V1

Q1 Q2Q1

Q2

R

F2

F1

-V1

V1


F1 . d1 = F2 . d2

d2 F1d1 = F2


d2 F1d1+d2 = F1+F2

d2 F1d = R

Rd2 = d . F1

Rd1 = d . F2


F1 F2

d1 d2

d

R


F1F2

R

F1

F2


Composición de dos fuerzas paralelas del sentido contrario

F1 F2

I II

III

R

Polígono de fuerzas y funicular

M

S

Q

N

QSN P BOC

QSM P ABO

d1

d2

d

F1

R

II

I

III

A

B

O

h

F2

C

Triángulos semejantes



QS = F1d1 h

QS . h = F1 . d1

QS = F2d2 h

QS . h = F2 . d2

F1 . d1 = F2 . d2

d2 F1d1 = F2

En la composición de dos fuerzas paralelas y de sentido contrario, se cumplen las siguientes condiciones:

1º) La resultante tiene la misma dirección que las componentes dadas

2º) La resultante tiene el sentido de la mayor de las fuerzas dadas.

3º) El módulo o intensidad de la resultante es igual a la diferencia de los módulos o intensidades de las componentes dadas

4º) La recta de acción de la resultante, queda definida por la expresión: su distancia a cada una de las fuerzas dadas es inversamente proporcional a la intensidad de las mismas. Es exterior a ellas y se encuentra del lado de la fuerza de mayor intensidad.


F1 F2R


F1F2

F1F2

R

II


Descomposición de una fuerza dada en dos direcciones paralelas, siendo interior a las mismas.

R

Polígono funicular

a b

R O

I

IIII

III

II

F1

F2

F2F1

d1 d2

d


Descomposición de una fuerza dada en dos direcciones paralelas, siendo interior a las mismas.Método analítico

Se aplican las expresiones:

Rd2 = d . F1

Rd1 = d . F2

donde se despejan F1 y F2

dF1 = R . d2

dF2 = R . d1


Descomposición de una fuerza dada en dos direcciones paralelas, siendo exterior a las mismas.

R

Polígono funicular

a b

RI

III

II

F1

F2

d

d2d1

O

I

III

F1

F2

II


Descomposición de una fuerza dada en dos direcciones paralelas, siendo exterior a las mismas.Método analítico

Se aplican las expresiones:

Rd2 = d . F1

Rd1 = d . F2

donde se despejan F1 y F2

dF1 = R . d2

dF2 = R . d1


Composición de varias fuerzas paralelas.Polígono funicular

F1 F2 F3 F4 F5

F5

F1

F2

F3

F4

R

O

I

II

III

IV

V

VI

I

II

III IVV

VI

R


Momento de primer orden / Brazo de palanca.

Dada una fuerza F y un punto O, se denomina momento estático o de primer orden de la fuerza con respecto al punto que se designa como centro de momentos, al producto de la intensidad de la fuerza por la distancia d del centro a la misma: brazo de palanca

O

F

d

SignoPositivo

(+)

SignoNegativo

(-)

M = F . d

tm kgm kgcm

90º


Teorema de Varignon.

Dado un sistema de fuerzas cualesquiera y determinada su resultante R, el momento estático del conjunto de fuerzas con respecto a un centro de momentos O es igual al momento de la resultante.

F1

F2

F3

F4

F5

R

O

d1

d2

d3

d4

d5

dR

MO = F1 . d1 + F2 . d2 + … + Fn . dn = R . dR


Teorema de Varignon.Cálculo analítico de ubicación de la resultante.

F2 F3F1 F4

O

F1

F2

F3

F4

R

R

d2

d1

d3

d4

dR

dR = F1 . d1 + F2 . d2 + F3 . d3 + F4 . d4

R


Pares de fuerzas (cupla, par motor o fuerzas antiparalelas).

Un conjunto de dos fuerzas de igual intensidad y sentido contrario constituyen un par de fuerzas.

R = 0

MB = F1 . d

MA = F2 . d

El punto que se asigna como centro de momentos define el signo de la distancia d.

El signo del par de fuerzas es el mismo que el del momento estático (horario / anti horario)

F1 -F1

Cd b

a

MC = F1 . a – F1 . b = F1 . (a - b) = F1 . D****\____ constante____/****

Cualquiera sea el centro con respecto al cual tomamos momentos estáticos, en un par de fuerzas, el valor del momento estático del conjunto es constante.


Propiedades en el plano de los pares de fuerzas

Dos pares de fuerzas son equivalentes cuando el momento estático que los mide tiene el mismo valor y signo para ambos

-F1

F1

d1F2 -F2

d2F1 . d1 = F2 . d2

Propiedades:

1º) Pueden girar en el plano.

2º) Pueden trasladarse en el plano.

3º) Un par de fuerzas puede trasladarse y girar en el plano simultáneamente, sin alterar las condiciones de equilibrio del cuerpo en el que se supone actuando.

F1 -F1d1

F1

d1

-F1


Composición con pares de fuerzas.

F1 F2d1

F3

d2

F4 d

F’1

F’3

F’2

F’4

F’1 = F1 . d1

d

F’2 = F2 . d1

d

F’3 = F3 . d2

d

F’4 = F4 . d2

d

FR

-FR

FR

-FR

Composición de dos pares de fuerzas

Composición de una fuerza y un par

F1 -F1d1

F2d = F1 . d1

F’1

F’1 = -F2

F2

F’1

-F’1

d

-F’1 = F2

F2 sufre un desplazamiento

F’2


Centro de fuerzas.

Dado un sistema de fuerzas aplicadas en determinados puntos del plano, se denomina centro de fuerzas al punto sobre el cual gira la resultante del sistema cuando todas las fuerzas dadas giran el mismo ángulo. La resultante girará también el mismo ángulo.

F3

F2

F1F’3

R

F’1

R’

A1A3

A2

C


Centro de gravedad.

F1

F2

F3

El centro de gravedad (G), es el punto de aplicación de fuerzas constituido por los pesos de todas las partículas que componen un cuerpo. Dicha resultante es el vector del peso total de dicho cuerpo.

F’1

F’2

F’3

R

F1

F3

F2

I

II

III

IV

R’

F’1 F’3F’2

III III

IV

I

II III

IV

I

II

III

IV

R’

R

A

B

C

G


Momento de primer orden / Baricentro.

En el caso del estudio de la estática plana, no estaremos estudiando cuerpos tridimensionales, sino secciones planas, es decir superficies.Una aplicación de las expresiones que corresponden al momento de primer orden, permite la ubicación del baricentro de una superficie plana.

Definimos como baricentro de un sistema de puntos materiales, el punto tal en el cual puede considerarse concentrada toda la superficie del sistema, a los efectos de calcular los momentos estáticos. En el caso de superficies planas las magnitudes se miden en cm².cm ó cm².m

G


Baricentro de figuras regulares.

Siempre que haya un eje de simetría sobre la figura en cuestión, existirá sobre ella un eje baricéntrico.

F1 F2R F1 = F2

R = F1 . 2d1 = d2

d1 d2

G G

GG

h

h/3

2.h/3

G

En el triángulo el baricentro se encuentra en la intersección de las tres medianas.


Baricentro de figuras compuestas.

En el caso de las figuras compuestas el baricentro se calcula tal como lo hacemos con cualquier momento de primer orden: mediante el uso de ecuaciones de sumatoria de momento.

ΣMox = F1 . dy1 + F2 . dy2 + F3 . dy3 – F4 . dy4

ΣMoy = F1 . dx1 + F2 . dx2 + F3 . dx3 – F4 . Dx4

ΣMox = R . dyR dyR = ΣMox / R

ΣMoy = R . dxR dxR = ΣMoy / R

O

F1

F2 F3

F4

R

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