Clase ndeg 2._desarrollo_de_modelos_2012.ii

15/04/23ING. JORGE CACERES TRIGOSO 1

INVESTIGACION INVESTIGACION OPERATIVA 1OPERATIVA 1

DESARROLLO DE MODELOS

CLASE N° 2CLASE N° 2

UNIVERSIDAD NORBERT WIENERFacultad de Ingeniería

Escuela Académico Profesional de Ingeniería de Sistemas

El problema


Cada vez es más difícil asignar los recursos o actividades de la forma más eficaz

Los recursos son escasos

Los sistemas son cada vez más complejos

Métodos Cuantitativos

Es la aplicación del método científico para asignar los recursos o actividades de forma eficaz, en la gestión y organización de sistemas complejos

Su objetivo es ayudar a la toma de decisiones

Requiere un enfoque interdisciplinario


Historia de la I.O.

Se aplica por primera vez en 1780 Antecedentes:

Matemáticas: modelos lineales (Farkas, Minkowski) (s.XIX)

Estadística: fenómenos de espera (Erlang, Markov) (años 20)

Economía: Quesnay (x.XVIII), Walras (s.XIX), Von Neumann (años 20)

El origen de la I.O. moderna se sitúa en la 2ª Guerra Mundial


Historia de la I.O.

Al terminar la guerra, sigue el desarrollo en la industria, debido a: competitividad industrial progreso teórico

RAND (Dantzig) Princeton (Gomory, Kuhn, Tucker) Carnegie Institute of Technology (Charnes,

Cooper) gran desarrollo de los ordenadores


Actualidad de la I.O.

Sigue habiendo un gran desarrollo, en muchos sectores, con grandes avances sobre todo en el campo de la Inteligencia Artificial

Más información: Sociedad Española de Estadística e Inv. Op. (SEIO)

www.cica.es/aliens/seio Association of European O.R. Societies (EURO)

www.ulb.ac.be/euro/euro_welcome.html Institute for O.R. and the Management Sci. (INFORMS)

www.informs.org International Federation of O.R. Societies (IFORS)

www.ifors.org


El método de la I.O.

Definición del problema Formulación del problema y construcción

del modelo Resolución Verificación, validación, refinamiento Interpretación y análisis de resultados Implantación y uso extensivo


A lo largo de todo el proceso debe haber una interacciónconstante entre el analista y el cliente

El modelado

Es una ciencia análisis de relaciones aplicación de algoritmos de solución

Y a la vez un arte visión de la realidad estilo, elegancia, simplicidad uso creativo de las herramientas experiencia


Definición del problema

Consiste en identificar los elementos de decisión objetivos (uno o varios, optimizar o satisfacer) alternativas limitaciones del sistema

Hay que recoger información relevante (los datos pueden ser un grave problema)

Es la etapa fundamental para que las decisiones sean útiles


SistemaReal

SistemaReal MODELOMODELO

ImplementaciónImplementaciónResultadosResultadosDecisión

finalDecisión

final

Decisiónóptima

Decisiónóptima

Comparación (+) o ( -)

Ajustes


MODELO


•Simbólico•Icónico•Analítico /Matemático•Simulación

Representación de la realidad

•Variables de decisión•Parámetros y constantes•Función de optimización: Max/Min•Ecuaciones de restricción

¿Cuál es la estructura del modelo matemático?


Definiciones


Variables de decisión: Decisiones cuantificables relacionadas unas con otras. Ejemplo: Cuánto comprar, venderFunción objetivo: La medida de efectividad compuesta expresada como una función de las variables de decisión. Puede ser Maximizar o MinimizarParámetros: Valores constantes que actúan como coeficientes al lado derecho de las variables tanto en la función objetivo como en las restricciones y que se basan en datos tecnológicos de los problemas. Ejemplo fijar tasa inflaciónRestricciones: Limitaciones impuestas sobre los valores de las variables de decisión, casi siempre en forma de ecuaciones o desigualdades. Pueden = / /

Max Z = 3X1 + 2X2

Sujeto a:4X1 + 11X2 = 23

X1 - 2X2 200 X1, X2 0

Modelos de Simulación


Técnica en la cual se capturan las relaciones de causa y efecto de un sistema en un modelo realizado con

un software, con el cual se puede generar un comportamiento muy

cercano al del sistema real.

Simulación

Sistemas complejos No interrumpe lo

real Estimula creatividad Ahorra dinero Reduce Riesgos Reduce tiempo

prueba Facilita otras salidas Análisis sensibilidad

Requiere recursos Grado

entendimiento Requiere mucho

dato Simula al hombre

en parte Dependencia de

datos Más descriptivos

que prescriptivos


Ventajas Desventajas

Formulación del problema

Modelo: representación simplificada de la realidad, que facilita su comprensión y el estudio de su comportamiento

Debe mantener un equilibrio entre sencillez y capacidad de representación

Modelo matemático: modelo expresado en términos matemáticos hace más claras la estructura y relaciones facilita el uso de técnicas matemáticas y

ordenadores a veces no es aplicable


Construcción del modelo

Traducción del problema a términos matemáticos objetivos: función objetivo alternativas: variables de decisión limitaciones del sistema: restricciones

Pero a veces las relaciones matemáticas son demasiado complejas heurísticos simulación


Tipos de modelos

Determinísticos Programación

matemática Programación lineal Programación entera Programación dinámica Programación no lineal Programación

multiobjetivo Modelos de

transporte Modelos de redes


Probabilísticos Programación

estocástica Gestión de

inventarios Fenómenos de

espera (colas) Teoría de juegos Simulación

Resolución

Determinar los valores de las variables de decisión de modo que la solución sea óptima (o satisfactoria) sujeta a las restricciones

Puede haber distintos algoritmos y formas de aplicarlos


Verificación y validación Eliminación de errores Comprobación de que el modelo se

adapta a la realidad


Interpretación y análisis Robustez de la solución óptima

obtenida: Análisis de sensibilidad Detección de soluciones cuasi-

óptimas atractivas


Implantación

Sistema de ayuda y mantenimiento Documentación Formación de usuarios


Ejemplo nº1


En una fábrica de cerveza se producen dos tipos: rubia y negra. Su precio de venta es de 50 ptas/l y 30 ptas/l, respectivamente. Sus necesidades de mano de obra son de 3 y 5 empleados, y de 5.000 y 2.000 ptas de materias primaspor cada 1000 l.La empresa dispone semanalmente de 15 empleados y10.000 ptas para materias primas, y desea maximizar subeneficio. ¿Cuántos litros debe producir?

Formulación


21 0003000050 x.x.z axM

0

0001000020005

1553

21

21

21

x,x

.x.x.

xx

.a.s

El modelo de P.L.


nn xcxcxcz Opt 2211

021

2211

11212111

n

mnmnmm

nn

x,,x,x

bxaxaxa

bxaxaxa

.a.s

El modelo de P.L.


z: función objetivoCT (c1,...,cn): vector de coeficientes de la f.o.XT (x1,...,xn): vector de variables de decisiónA (...,aij,...): matriz de coeficientes técnicosb (b1,...,bm): vector de demandasMatricialmente,

Opt CTXs.a.

AX bx 0

Forma canónica

Propiedades del modelo lineal Proporcionalidad

La contribución al coste y a las restricciones es directamente proporcional al valor de cada variable

Aditividad El coste y las restricciones son la suma

directa de las variables

Divisibilidad Las variables pueden dividirse en cualquier

tipo de fracción


Modelos de prog. entera El modelo matemático es el modelo de

P.L., pero con algunas variables enteras Programación entera mixta (MIP)

x R+, y Z+

Programación entera pura (IP) x Z+

Programación binaria ó 0-1 (0-1 MIP, 0-1 IP, BIP) x {0,1}: variables de asignación, lógicas

Son problemas más complicados de resolver que los de P.L.

El primer algoritmo de resolución se planteó en el año 1958 (Gomory)


Problemas típicos

Problema del transporte Problema de flujo con coste mínimo en red Problema de asignación Problema de la mochila (knapsack) Problema del emparejamiento (matching) Problema del recubrimiento (set-covering) Problema del empaquetado (set-packing) Problema de partición (set-partitioning) Problema del coste fijo (fixed-charge) Problema del viajero (TSP) Problema de rutas óptimas


Problema del transporte

Minimizar el coste total de transporte entre los centros de origen y los de destino, satisfaciendo la demanda, y sin superar la oferta


Zx,x

m..i,ax

n..j,bx

.a.s

xc Min

ijij

i

n

1jij

j

m

1iij

m

1i

n

1jijij

0

1

1

xij: unidades a enviar de origen i a destino jcij: coste unitario de transporte de i a j

ai: unidades de oferta en el punto origen ibj: unidades de demanda en el punto destino j

Se supone oferta total igual a demanda total

Flujo con coste mínimo en red


Embarcar los recursos disponibles a través de la redpara satisfacer la demanda a coste mínimo

Zx,x

m..j,bxx

.a.s

xc Min

ijij

i

m

kki

m

1jij

m

1i

n

1jijij

0

11

xij: unidades enviadas de i a j (flujo)cij: coste unitario de transporte de i a j

bi:recursos disponibles en un nodo ioferta: bi>0demanda: bi<0transbordo: bi=0

Se supone oferta total igual a demanda total

Problema de asignación


10

11

11

,x

m..i,x

n..j,x

.a.s

xc Min

ij

n

1jij

m

1iij

m

1i

n

1jijij

xij: 1 si la tarea i se hace con la máquina jcij: coste de realizar la tarea i con máquina j

n tareasm máquinas

Si hay más máquinas que tareas se formulacon desigualdades, y se resuelve con tareasficticias

Minimizar el coste total de operación de modo que:- cada tarea se asigne a una y sólo una máquina- cada máquina realice una y sólo una tarea

Problema de la mochila


10,x

bxa

.a.s

xc Max

j

n

1jjj

n

1jjj

n objetos

aj: espacio que ocupa el objeto jcj: valor del objeto j

b: volumen de la mochila

xj: 1 si se escoge el objeto j

Escoger un grupo de productos que maximice el valortotal sin exceder el espacio disponible

Problema de emparejamiento


1,0

2..1,1

..

c

2

1

1-i

1k

1-2n

1i

2n

11jij

ij

n

ijijki

ij

x

nixx

as

xMaxxij=1 si los elementos i y j son parejacij: valor de la pareja i-j

i<j

Distribuir un conjunto por parejas de tal forma que el valor sea máximo. Si hay elementos sin pareja: emparejamiento imperfecto. Si están en dos conjuntos, emparejamiento bipartito.

Problema de recubrimiento


m característicasn actividades

xj=1 si la actividad j se realiza

cj: coste unitario de la actividad j

aij=1 si la característica i está en la actividad j

A: matriz de incidencia

Minimizar el coste de las actividades que en su conjunto cubren todas las características al menos una vez

1,0

..1,1

..

c

n

1j

n

1jj

j

jij

j

x

mixa

as

xMin

Problema de empaquetado


m actividadesn conjuntos de actividades

xj=1 si se elige el subconjunto j

cj: beneficio por realizar el conjunto j

aij=1 si el conjunto j incluye la actividad i


Maximizar el beneficio total de forma que hay que elegir conjuntos completos de actividades, y que no se realice una actividad dos veces

1,0

..1,1

..

c

n

1j

n

1jj

j

jij

j

x

mixa

as

xMin

Problema de partición


m actividadesn conjuntos de actividades

xj=1 si se elige el subconjunto j

cj: beneficio por realizar el conjunto j

aij=1 si el conjunto j incluye la actividad i


Si en el problema de recubrimiento o en el de empaquetado las desigualdades se cambian por igualdades

1,0

..1,1

..

c

n

1j

n

1jj

j

jij

j

x

mixa

as

xMin

Problema del coste fijo


1,0,0

..1,

..

n

1j

n

1j

1

n

1j

kij

kkjkj

jij

m

kkkjj

yx

mkyMxa

bx

as

yfxcMinxij: unidades del producto jcj: coste unitario de producción de j

yk=1 si se usa la instalación kfk: coste de arranque de la instalación kakj=1 si el producto j usa la instalación k

bj: demanda del producto jM: número lo suficientemente grande

Decidir la cantidad de cada producto de modo que se minimicen los costes de producción y se satisfaga la demanda

Problema del viajante


10

1

1

,x

Vi,x

Vj,x

.a.s

xc Min

ij

Aj)j/(i,ij

Aj)i/(i,ij

Aj)(i,ijij

xij=1 si de i va directamente a jcij: distancia entre i y j

A: conjunto de arcosV: conjunto de nodos

Encontrar un circuito que visite exactamente una vez cada ciudad empezando en la primera y que tenga longitud mínima

Uj,Ui/A)j,i(ij

UVj,Ui/A)j,i(ij

VU/VU,Ux

VU/VU,x

221

221

10

1

1

1

1

1

,x

k,Vj,xx

x

Vi,x

Vj,x

.a.s

xc Min

ijk

Ar)r/(j,1jrk

Aj)i/(i,ijk

Aj)(i,ijk

Aj)j/(i,

n

kijk

Aj)i/(i,

n

kijk

n

1k Aj)(i,ijkij


Problema de rutas


221

11

0

11

1

001 00 0

1 0

0 0

0

1 1 1

NS,Sx

m..k,x

k,rdxsxt

k,Qxq

k,j,xx

n..j,x

.a.s

xcxc Min

Si Sj

m

kijk

n

1jojk

kkn

i

n

jijki

n

i

n

jijkij

n

i

n

jkijki

n

i

n

ijikijk

n

i

m

1kijk

n

0i

n

0j

m

k

m

k

n

jojkkijkij

N: clientesM: vehículos

xijk=1 si el vehículo k visita j después de icij: coste unitario de transporte de i a jdij: distancia de i a jtij: tiempo de i a j

qi: demandasi: tiempo de descargai: prioridadQk: capacidadro

k, dok: período tiempo disponible

ck: coste fijo por uso

Minimizar el coste total, visitando todos los clientes

Formulación con variables binarias


Restricciones disyuntivas

K de N alternativas deben darse

Restricciones condicionales

Decisiones contingentes

0)(

0)(

xg

ó

xf

gxg

fxf

)1()(

)(

nnn fxf

fxf

fxf

2

222

111

)(

)(

)(

1,0,1

N

jj KN

0)(0)( xgxf 0)( 0)( xgóxfequiv. a

x y y x

MUCHAS GRACIASMUCHAS GRACIASE-Mail: E-Mail:

[email protected][email protected]


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