Diagramas Mason:

UTN - FRA * Anlisis de Seales y Sistemas.

Prof. R. Abascal

13. La Serie de Fourier.

13.1 - Periodicidad de las seales de variable continua:

Se dice que una seal es peridica si para todo valor de la variable independiente t se cumple que

y ( t ) = y ( t + NTo )

N = 1, 2, 3, 4, . . .

NTo se denomina perodo de la funcin.

Perodo fundamental To es el menor valor positivo para el cual se cumple la ecuacin anterior.

Se denomina frecuencia fundamental fo al valor inverso de To.

Ejemplo 1: Funciones sinusoidales.

y ( t ) = sen t

En efecto,

sen ( t + To ) = sen t

si

To 2 El perodo fundamental de esta funcin es, por lo tanto, 2 .

Ejemplo 2:Tambin es peridica, de perodo To en general distinto de 2 , una funcin como la representada en el grfico siguiente:

Ejemplo 3:

Aunque en la mayora de las aplicaciones fsicas de las funciones peridicas la variable independiente es el tiempo, el concepto de periodicidad es independiente del significado fsico de la variable.

Sea la funcin

g ( x ) = g ( x + N Xo)N = 1, 2, 3, . . .

Esta funcin es peridica de perodo fundamental Xo y su frecuencia fundamental ser por consiguiente

fo = 1 / Xo13.2 - Familia de funciones peridicas.

Si multiplicamos la variable independiente por una constante cualquiera A, la funcin sigue siendo peridica, pero su perodo fundamental se modifica. En efecto: Sea

sen A t = sen A ( t + T o ) = sen ( A t + A T o )

Esta funcin es peridica si

A T o = 2 Pero en este caso, el perodo es distinto de 2 . En efecto, despejando, el perodo fundamental resulta:

T o = 2

A

Si A > 1, To es una fraccin de 2 .

Si multiplicamos el valor de A por una sucesin de nmeros N enteros: N = 1, 2, 3, 4, . . . estaremos en presencia de una familia de funciones de perodo fundamental To.

Ejemplo 1:

Sea una funcin sinusoidal f ( t ) cualquiera, y

A = o,

donde o es la frecuencia angular fundamental que caracteriza a la familia. Entonces

f ( o t ) = f [ o ( t + N To )] = f ( o t + N o To )

Esta funcin es peridica si

o To 2 A partir de aqu se pueden establecer las siguientes relaciones:

fo = 1 / To, yo = 2 f o = 2 / To

El perodo fundamental es en este caso:

T o = 2

oEjemplo 2: La funcin

x ( t ) = cos o t

es peridica. En efecto,

x ( t + N To ) = cos o ( t + N To ) = cos o ( t + 2 )

Lo mismo,

x ( t ) = sen o t

etc.

Ejemplo 3: Es igualmente peridica la familia de funciones

f ( t ) = e i k o t siendo k = 0, 1, 2, . . .

En particular, cada una de las funciones de esta familia tiene una frecuencia fundamental mltiplo de fo y por tanto un perodo fundamental que es una fraccin de To.

Cualquier combinacin lineal de funciones pertenecientes a esta familia ser tambin peridica, con frecuencia fundamental mltiplo de fo. Por ejemplo:

+

x ( t ) = k e ikot = . . . + -3 e -i3ot + -2 e -i2ot + -1 e -iot + o +

+ 1 e iot + 2 e i2ot + 3 e i3ot + . . .

Desarrollando las exponenciales anteriores como sumatoria de senos y cosenos, resulta

x ( t ) = . . . + -3 (cos 3ot - i sen 3ot ) + -2 (cos 2ot - i sen 2ot ) +

+ -1 (cos ot - i sen ot ) + o + 1 (cos ot + i sen ot ) +

+ 2 (cos 2ot + i sen 2ot ) + 3 (cos 3ot + i sen 3ot ) +. . .

Factoreando ahora la igualdad anterior, se tiene

x ( t ) = . . . + ( -3 + 3 ) cos 3ot + ( -2 + 2 ) cos 2ot + ( -1 + 1 ) cos ot +

+ o + i ( 1 - -1 ) sen ot + i ( 2 - -2 ) sen 2ot + i ( 3 - -3 ) sen 3ot + . . .

Simblicamente:

+

+

x ( t ) = k cos kot + i k sen kot

(13.1)

k = o

k = 1Donde:

o = oY tambin, para todo k 0

k = k + - k

y

k = k - - k

13.3 - Serie de Fourier:Una funcin peridica de perodo fundamental To, puede ser representada mediante una serie trigonomtrica como la (13.1), siempre y cuando sea posible determinar los valores de los coeficientes ak y bk. En tal supuesto, se puede establecer la igualdad:

f ( t ) = ao + a1 cos o t + a2 cos 2o t + . . . + b1 sen o t + b2 sen 2o t + . . .

2

o, en forma simblica:

+ f ( t ) = ao + ak cos ko t + bk sen ko t )

(13.2)

2 k = 1

Esta expresin, conocida como desarrollo de la funcin f ( t ) en Serie de Fourier, resulta idntica a la (13.1), con slo hacer:

ao = 2o , ak = k

ybk = i k

La razn de elegir ao = 2o tendr sentido al determinar las expresiones de los coeficientes de la serie en el pargrafo siguiente.

13.4 - Determinacin de los coeficientes de la Serie de Fourier: Clculo de a o.

Si la funcin original f ( t ) converge uniformemente en el intervalo entre 0 y 2 integrndola en dicho intervalo, se tiene:

2

f ( t ) d t = ao d t + ak cos ko t d t + bk sen ko t d t

o

o 2 k = 1 o

k = 1 o

Pero todas las integrales del segundo trmino, con excepcin de la primera, son nulas por tratarse de integrales de senos o cosenos entre 0 y 2Por tanto, resulta que

2

f ( t ) d t = ao d t = ao t = ao

o

2 o 2 o

De aqu, despejando ao obtenemos el valor de este coeficiente

2

ao = 1 f ( t ) d t

o

13.5 - Clculo de los coeficientes ak y bk :

Multipliquemos ahora ambos miembros de la (13.2) por cos mot, y luego integremos como antes entre 0 y 2. Resulta:

cos mot . f ( t ) = ao cos mot + ak cos kot .cos mot + bk sen kot .cos mot

2 k = 1

k = 1E integrando en ambos miembros:

2

cos m ot . f (t ) dt =

o

2

2

2

ao cos m ot dt + ak cos ko t .cos m ot dt + bk sen ko t .cos m ot dt

o 2

o k =1

o k =1

(13.3)

La primera integral del segundo miembro es nula pues es la integral de una funcin coseno en un perodo o en un nmero entero de perodos. Y la tercera integral es tambin nula, por ser asimismo la integral de una funcin seno en un nmero entero de perodos. En efecto:

sen k o t . cos m o t = 1 sen [ (k + m ) o t ] + sen [ ( k - m )o t ]

2

Recordemos que k y m son nmeros enteros.

El valor de la segunda integral en la expresin (13.3) depende de k y m. En primer lugar, notemos que si k m, dicha integral es nula, pues:

cos ko t . cos mot = 1 cos [ (k + m ) o t ]+ cos [ (k - m ) o t ]

2

Y si ahora descomponemos la integral en una suma de otras dos integrales, cuyos integrandos son respectivamente los dos sumandos encerrados entre llaves en la ecuacin anterior, cada una de las integrales mencionadas ser nula por idntica razn (Integrales de la funcin coseno en un nmero entero de perodos).

Pero si k = m, tendremos:

2

2

2

ak cos ko t . cos mot dt = ak cos2 mot dt = akcos 2mot ) dt =

o

o

2 o 2 2

ak dt + cos 2mot dt ) = ak dt = ak = am (pues k = m )

2 o o

2 o

Ntese que tambin aqu la segunda integral es nula. Queda en definitiva:

2

f (t ) cos mot dt = .amo

Despejando am de esta igualdad, resulta:

2

am = 1 f (t ) cos mot dt

o

De forma completamente similar, pero multiplicando la (13.2) por sen mot en lugar de cos mot se determinan los coeficientes bm

2

bm = 1 f (t ) sen mot dt

o

Estas expresiones se conocen como frmulas de Euler - Fourier.

Nota: Si f ( t ) es peridica de perodo To = 2 , es indiferente calcular la integral entre 0 y 2 o entrey +Por ejemplo, en el caso de am

2

am = 1 f (t ) cos mot dt = 1 f (t ) cos mot dt

o

Ntese tambin que el denominador, , es el semiperodo de la funcin.

13.6 - Funciones peridicas de perodo distinto de 2

Si el perodo de la funcin f ( t ) es distinto de 2, se obtienen expresiones similares:

To/2

ao = 2 f ( t ) d t To - To/2

To/2

am = 2 f ( t ) cos mot dt

To - To/2

To/2

bm = 2 f ( t ) sen mot dt

To - To/2

Verificaremos a continuacin la validez de estas expresiones. En primer lugar, como el perodo de f ( t ) es distinto de es decir To , llamando

To= .,

2

tenemos que

To = .

Si hacemos el cambio de variable, x = t / , en el dominio de la nueva variable el perodo, que llamaremos Xo, vuelve a ser 2 .

Xo = To / = 2

Visualizaremos esto en forma grfica:

t

0

2

To

x

0

2

De acuerdo con la ecuacin (13.4), ser:

f ( x ) = f ( x + X o ) = f (x + 2)

El desarrollo Fourier de f ( x ) es

f ( x ) = f ( t ) = ao + am cos ( mo t) + bm sen ( mo t ) 2 m = 1

Teniendo en cuenta que cuando t = es x = podemos definir, para los coeficientes, la ecuacin genrica siguiente:

am = 1 f ( x ) cos (m o x ) . d x

Y como = To / 2, reemplazando se tiene

To/2

am = 2 f ( x ) cos mo x . dx

To - To/2

O tambin, cambiando el nombre de la variable muda de integracin:

To/2

am = 2 f ( t ) cos mo t . dt

To - To/2

De modo similar se obtienen las expresiones correspondientes a los coeficientes ao y bm.

13.7 - Expresin compleja de la Serie de Fourier:

El desarrollo en serie de Fourier de una funcin peridica es, como se ha visto:

f ( t ) = ao + ak cos ko t + bk sen ko t )

2 k = 1

Si expresamos las funciones seno y coseno en forma exponencial:

f ( t ) = ao + ak eikot + e-ikot + bk eikot - e-ikot )

2 k = 1 2 2 iAgrupando los coeficientes de igual ndice, se llega a

f ( t ) = ao + ak - ibk ) eikot + ( ak + ibk ) e-ikot ]

2 k = 1 2

2 Con un cambio adecuado del nombre de los coeficientes, se puede poner:

f ( t ) = co + ckeikot + ck e-ikot )

k = 1

En esta expresin, los coeficientes responden a las frmulas siguientes:

To/2

co = ao = 1 f ( t ) d t

2 To - To/2

Y

ck = 1 ( ak - i bk )

2

To/2

To/2

ck = 1 f ( t ) cos kot d t - i f ( t ) sen kot d t

To - To/2

To - To/2

To/2

ck = 1 f ( t ) ( cos kot - i sen kot ) d t

To - To/2

O, si lo expresamos en forma exponencial:

To/2

ck = 1 f ( t ) e-ikot d t

To - To/2

ck es un complejo, cuyo conjugado es:

To/2

ck = 1 f ( t ) eikot d t

To - To/2

Y siendo f ( t ) una funcin real, se verifica que ck = ck

Por tanto, unificando ambos resultados, se obtiene la expresin compleja de la serie de Fourier:

+

f ( t ) = ck e ikot

(13.5)

-

13.8 - Condiciones de convergencia de Dirichlet:

Definen la convergencia de las series de Fourier: Una serie es convergente cuando cumple las tres condiciones de Dirichlet, que se enuncian a continuacin:

a ) f ( t ) es continua, o presenta un nmero finito de discontinuidades en un perodo.

b ) f ( t ) tiene un nmero finito de mximos y mnimos en un perodo.

c ) La integral del mdulo de f ( t ) en un perodo es finita:

To/2

f ( t ) d t = M

M - To/2

y ( t )

0 To To+ 2To 2To+

t

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