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Universidad Politcnica de MadridEscuela Tcnica Superior de Ingenieros Industriales

Matemticas de la EspecialidadIngeniera Elctrica

Solucin deEcuaciones en Derivadas Parciales

EDP

Jos Luis de la Fuente OConnorjldelafuente@etsii.upm.esjoseluis.delafuente@upm.es

Clase_solucin_ecuaciones_derivadas_parciales_2013.pdf

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ndice

Introduccin a las EDPMtodos de solucin. Ecuaciones parablicasMtodo de las diferencias adelantadasMtodo de las diferencias atrasadas El mtodo de Crank-Nicolson

Mtodos de solucin. Ecuaciones hiperblicasMtodos de solucin. Ecuaciones elpticasMtodo de las diferencias finitasMtodo de los Elementos Finitos

Mtodos para EDP no lineales

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Introduccin Una ecuacin en derivadas parciales EDP de orden n es una ecua-cin matemtica en la que aparece una funcin desconocida quedepende de al menos dos variables independientes, junto a algunasde las derivadas parciales hasta orden n de esa funcin respecto adichas variables.

Cuando la funcin incgnita slo depende de una variable real, setrata de una ecuacin diferencial ordinaria de orden n.

Una EDP es lineal si lo es respecto de la funcin desconocida y detodas sus derivadas parciales.

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Una solucin de una EDP es una funcin que resuelve la ecuacin,o que la convierte en una identidad cuando se sustituye en laecuacin.

Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulacinmatemtica de procesos de la fsica y otras ciencias que suelen estardistribuidos en el espacio y el tiempo.

Problemas tpicos son la propagacin del sonido o del calor, laelectrosttica, la electrodinmica, la dinmica de fluidos, laelasticidad, la mecnica cuntica, las emisiones de contaminantes,la valoracin de opciones y derivados financieros y muchos otros.

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Una ecuacin en derivadas parciales para la funcin u.x1; :::xn/tiene la siguiente forma:

F.x1; : : : ; xn; u;@u

@x1; : : : ;

@u

@xn;@2u

@x1@x1;@2u

@x1@x2; : : :/ D 0:

F es una funcin lineal de u y sus derivadas siF.uC w/ D F.u/C F.w/ y F.ku/ D k F.u/:

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Dada una funcin u.x; y/, en las EDP es muy comn denotar lasderivadas parciales empleando subndices (notacin tensorial). Estoes:

ux D @u@x.x; y/

uxy D @2u

@y @x.x; y/ D @

@y

@u

@x.x; y/

uxx D @

2u

@x2.x; y/:

Si la funcin u es continua en un cierto dominio y tiene derivadasparciales hasta orden 2 y son continuas, por el teorema de Schwarzse sabe que

uxy D uyx:

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En la fsica matemtica se suele preferir el operador nabla, que encoordenadas cartesianas se escribe como r D .@x; @y; @z/ para lasderivadas espaciales, y un punto Pu para las derivadas que involucranel tiempo.

Las ecuaciones en derivadas parciales son muy difciles de resolveranalticamente, excepto en casos de geometra muy sencilla.

Los mtodos numricos permiten resolver problemas de geometramuy complicada, muy cercana a la de los problemas reales.

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Ejemplos de EDP

Una EDP lineal de primer orden:ux.x; y/ uy.x; y/C 2u.x; y/ D ux uy C 2u D 6.

Una EDP no lineal de primer orden: ux2C uy2 D 0. Una EDP no lineal de segundo orden: u uxy C ux D y. Algunas EDP lineales de segundo orden:

Ec. de Laplace uxx.x; y/C uyy.x; y/ D 0:Ec. del calor ut.t; x/ uxx.t; x/ D 0:Ec. de ondas ut t.t; x/ uxx.t; x/ D 0:

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En este tema nos limitaremos a estudiar EDP de segundo ordencon dos variables independientes de la forma

a.x; y/@2u

@x2Cb.x; y/ @

2u

@x @yCc.x; y/@

2u

@y2CF

@u

@x;@u

@y; u; x; y

D0;

o, abreviadamente,

Auxx C Buxy C Cuyy C Fux; uy; u; x; y

D 0: Esta ecuacin puede ser en un punto dado .x; y/:

Parablica si B2 4AC D 0:Hiperblica si B2 4AC > 0:Elptica si B2 4AC < 0:

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La diferencia prctica es que las ecuaciones parablicas ehiperblicas estn definidas en un intervalo o regin abierto. Seimponen entonces condiciones de contorno a una variable engeneral al tiempo en la frontera de uno de sus extremos y se partede l.

Las ecuaciones elpticas suelen tener condiciones de contorno entoda la frontera de esa regin

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Mtodos de solucin. Ecuacionesparablicas

La ecuacin del calor generalut D Duxx

representa la temperatura, x, mediada a lo largo de una barrahomognea unidimensional. La constante D > 0 se denominacoeficiente de difusin y representa la difusividad del material de labarra. Sus variables independientes son x y t .

Esta ecuacin modeliza cmo se difunde el calor de una zona dealta temperatura a las dems.

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La ecuacin tiene infinitas soluciones por lo que se necesitancondiciones adicionales para definir una determinada.

En un intervalo finito, el problema bien formulado es este:8

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Mtodo de las diferencias adelantadas

Se basan en la idea de discretizar la PDE generando una malla delas variables independientes y considerando slo los nudos de lamisma.

El problema continuo se convierte as en uno discreto con unnmero finito de ecuaciones que, si la ecuacin es lineal, se resuelvemediante los mtodos lineales que conocemos.

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Para discretizar la ecuacin en 0; T se considera una malla comola de la figura.

Los puntos slidos son los que definen las condiciones de contornode u.x; t/; los vacos los que calcular el mtodo.

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Si la solucin exacta en .xi ; tj / es u.xi ; tj /, y la aproximada wij , yM y N son el nmero total de pasos en x y en t , seanh D .b a/=M y k D T=N las amplitudes de los pasos en lasdirecciones x y t .

Utilizando las frmulas que introdujimos en su momento paraaproximar las derivadas en las direcciones x y t , la derivadacentrada de la segunda derivada respecto de x es

uxx.x; t/ 1h2

u.x C h; t/ 2u.x; t/C u.x h; t/;

con un error Oh2uxxxx.c1; t /=12.

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La derivada adelantada de la primera respecto de t es

ut.x; t/ 1k

u.x; t C k/ u.x; t/;

con un error O.kut t.x; c2/=2/, donde x h < c1 < x C h yt < c2 < t C h. Sustituyendo estas expresiones en la ecuacin de calor en el punto.xi ; tj /, queda

D

h2

wiC1;j 2wij C wi1;j

1k

wi;jC1 wij

;

con un error de truncamiento O.k/CO.h2/.

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Despejando wi;jC1 tenemos la frmula de recurrencia en el tiempo:wi;jC1 D wij C Dkh2

wiC1:j 2wij C wi1;j

D wiC1;j C .1 2/wij C wi1:j ;

donde Dk=h2.

En la figura se ven los puntos involucrados en esta expresin, amenudo denominada plantilla en el mtodo.

i-l i i+ 1

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Las condiciones de contorno y las iniciales dan valores awi0; i D 0; : : : ;M y w0j y wMj ; j D 0; : : : ; N . El procedimiento expuesto es implcito, dado que se determinannuevos valores a partir de los previos inmediatos.

En forma matricial, los valores de wi;jC1 en el tiempo tjC1 sedeterminan mediante la frmula wjC1 D Awj C sj , o

"w1;jC1:::

wm;jC1

#D

266641 2 0 0 1 2 : : : :::0 1 2 : : : 0::: : : : : : : : : :

0 0 1 2

37775"w1j:::

wmj

#C

"w0;j:::

wmC1;j

#:

El vector sj indica las condiciones en la frontera (contorno) que seimponen al problema: las temperaturas en los extremos de la barra.

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Si programamos en un fichero .m de Matlab este algoritmo paraD D 1, la funcin f .x/ D sen2.2x/ y las condiciones inicialesu.0; t/ D u.1; t/ D 0 para todo t :

function w=heatfd(xl,xr,yb,yt,M,N)% Ecuacin del calor por diferencias avanzadas% Entrada: [xl,xr], tiempo[yb,yt], pasos M, tiempos N

f=@(x) sin(2*pi*x).^2;l=@(t) 0*t;r=@(t) 0*t;D=1;h=(xr-xl)/M; k=(yt-yb)/N; m=M-1; n=N;sigma=D*k/h/h;a=diag(1-2*sigma*ones(m,1))+diag(sigma*ones(m-1,1),1);a=a+diag(sigma*ones(m-1,1),-1);lside=l(yb+(0:n)*k); rside=r(yb+(0:n)*k);w(:,1)=f(xl+(1:m)*h);for j=1:n

w(:,j+1)=a*w(:,j)+sigma*[lside(j); zeros(m-2,1); rside(j)];endw=[lside; w; rside];x=(0:m+1)*h; t=(0:n)*k;mesh(x,t,w)view(60,30);axis([xl xr yb yt -1 1])

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Los dos grficos ilustran la aproximacin por diferenciasadelantadas de la ecuacin del calor para h D 0;1 y k D 0;004 yk > 0;005. En este ltimo caso el mtodo es inestable

Se puede probar que el mtodo es estable si, para D > 1, Dkh2< 1

2.

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Mtodo de las diferencias atrasadas

El mtodo se puede mejorar usando la alternativa implcita:aproximacin de las derivadas mediante diferencias atrasadas:

ut D 1k

u.x; t/ u.x; t k/C k

2ut t.x; c0/;

donde t k < c0 < t . Recordemos el mtodo de Euler hacia atrs. La ecuacin del calor en el punto .xi ; ti/ resulta

1

k

wij wi;j1

D Dh2

wiC1;j 2wij C wi1;j

;

con un error de truncamiento local O.k/CO.h2/.

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El sistema de ecuaciones similar al anterior quedara"w1;j1:::

wm;j1

#D

266641C 2 0 0 1C 2 : : : :::0 1C 2 : : : 0::: : : : : : : : : : 0 0 1C 2

37775"w1j:::

wmj

#

"w0;j:::

wmC1;j

#:

El programa anterior:

function w=heatbd(xl,xr,yb,yt,M,N)% Ecuacin del calor por diferencias atrasadas% Entrada: [xl,xr], tiempo[yb,yt], pasos M, tiempos N

f=@(x) sin(2*pi*x).^2;l=@(t) 0*t;r=@(t) 0*t;D=1;h=(xr-xl)/M; k=(yt-yb)/N; m=M-1; n=N;sigma=D*k/h/h;a=diag(1+2*sigma*ones(m,1))+diag(-sigma*ones(m-1,1),1);a=a+diag(-sigma*ones(m-1,1),-1);lside=l(yb+(0:n)*k); rside=r(yb+(0:n)*k);w(:,1)=f(xl+(1:m)*h);for j=1:n

w(:,j+1)=a\(w(:,j)+sigma*[lside(j); zeros(m-2,1); rside(j)]);endw=[lside; w; rside];x=(0:m+1)*h; t=(0:n)*k;mesh(x,t,w)view(60,30);axis([xl xr yb yt -1 1])

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Resolviendo con este programa el problema anterior con>>w=heatbd(0,1,0,1,10,10) se llega a la solucin de la grficaque sigue. Obsrvese que el k que se utiliza ahora es 0;1 en vez delanterior 0;004.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 00.2

0.40.6

0.81

-1

-0.5

0

0.5

1

El mtodo es estable para cualesquiera h y k, con D > 0.

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El mtodo CrankNicolson

Este mtodo es una combinacin de los dos anteriores, explcito eimplcito, con un error O.h2/CO.k2/. Usa la diferencia atrasada para la derivada respecto del tiempo yuna combinacin de derivada atrasada y avanzada para el resto dela ecuacin. En concreto, reemplaza ut por

1

k

wij wi;j1

y uxx por

1

2

wiC1;j 2wij C wi1;j

h2

C12

wiC1;j1 2wi;j1C wi1;j1

h2

:

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Haciendo otra vez D Dk=h2, la ecuacin del calor se puedereordenar as

2wij 2wi;j1 D wiC1;j 2wij C wi1;j C wiC1;j1 2wi;j1 C wi1;j1

,

o

wi1;j C .2C 2/wij wiC1;k D wi1;j1 C .2 2/wi;j1 C wiC1;j1,

lo que lleva a la plantilla de esta figura.

i - 1 i i + 1

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En forma matricial, el mtodo de Crank-Nicolson esAwj D Bwj1C

sj1C sj

;

donde

A D

26666642C 2 0 0 2C 2 : : : :::0 2C 2 : : : 0::: : : : : : : : : : 0 0 2C 2

3777775 ;y

B D

26666642 2 0 0 2 2 : : : :::0 2 2 : : : 0::: : : : : : : : : :

0 0 2 2

3777775 :El vector sj D w0j ; 0; : : : ; wmC1;j T .

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El programa de Matlab que implementa el mtodo es ste:

function w=Crank_Nicolson(xl,xr,yb,yt,M,N)% Ecuacin del calor por Crank-Nicolson% Entrada: [xl,xr], tiempo[yb,yt], pasos M, tiempos N

f=@(x) sin(2*pi*x).^2;l=@(t) 0*t;r=@(t) 0*t;D=1;h=(xr-xl)/M; k=(yt-yb)/N; m=M-1; n=N; close allsigma=D*k/h/h;a=diag(2+2*sigma*ones(m,1))+diag(-sigma*ones(m-1,1),1);a=a+diag(-sigma*ones(m-1,1),-1);b=diag(2-2*sigma*ones(m,1))+diag(sigma*ones(m-1,1),1);b=b+diag(sigma*ones(m-1,1),-1);lside=l(yb+(0:n)*k); rside=r(yb+(0:n)*k);w(:,1)=f(xl+(1:m)*h);for j=1:n

sides=[lside(j)+lside(j+1); zeros(m-2,1); rside(j)+rside(j+1)];w(:,j+1)=a\(b*w(:,j)+sigma*sides);

endw=[lside; w; rside];x=(0:m+1)*h; t=(0:n)*k;mesh(x,t,w)view(60,30);axis([xl xr yb yt -1 1])

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Si lo utilizamos con >>w=Crank_Nicolson(0,1,0,1,10,10) parael mismo problema se llega a la solucin de la grfica.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 00.2

0.40.6

0.81

-1

-0.5

0

0.5

1

El mtodo es estable para cualesquiera h > 0 y k > 0, con D > 0.

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Mtodos de solucin. Ecuacioneshiperblicas

La ecuacin de ondaut t D c2uxx

para a x b y t 0 representa la evolucin en el tiempo deuna onda propagndose en la direccin x en un medio dado.

Modeliza una amplia variedad de fenmenos, desde las ondasmagnticas en la atmsfera del sol hasta cmo oscila la cuerda deun violn.

La funcin u.x; y/ representa, por ejemplo, la amplitud de lavibracin de la cuerda del violin o, para una onda viajando en elaire, la presin local del aire.

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Formulado en su totalidad para especificar una solucin concretasera: 8

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Podemos aplicar el mtodo de las diferencias adelantadas a partirde una malla como la que consideramos anteriormente, esto es

Los puntos son .xi ; tj /, donde xi D aC ih y tj D jk, con pasosh y k. La aproximacin de u.xi ; tj / son wij .

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Para discretizar la ecuacin de onda, las segundas derivadas sereemplazan por sus aproximaciones por diferencias centradas en lasdirecciones t y x, es decir

wi;jC1 2wij C wi;j1k2

c2wi1;j 2wij C wiC1;jh2

D 0:

Haciendo D ck=h, la explicitacin de la solucin para elsiguiente paso en el tiempo es

wi;jC1 D2 22wij C 2wi1;j C 2wiC1;j wi;j1:

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Como se necesita la aproximacin en dos pasos anteriores, j 1,para el primer paso en el tiempo se utiliza la frmula

ut.xi ; tj / wi;jC1 wi;j12k

en la que sustituyendo el primer paso en el tiempo .xi ; t1/

g.xi/Dut.xi ; t0/wi1 wi;12k

; por lo que wi;1wi12kg.xi/:

Sustituyendo esta ltima expresin en la frmula del siguiente pasoen el tiempo j D 0 de inicio se llega a que

wi1 D1 2wi0C kg.xi/C 2

2

wi1;0C wiC1;0

;

que es donde entra la informacin de la velocidad inicial g.x/.

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Escribiendo el mtodo en forma matricial,

A D

26666642 22 2 0 02 2 22 2 : : : :::0 2 2 22 : : : 0::: : : : : : : : : : 2

0 0 2 2 22

3777775 :

La ecuacin de inicio es24w11:::wm1

35 D 12A

24w10:::wmo

35C k24g.x1/:::g.xm/

35C 122

266664w000:::

0

wmC1;0

377775 :

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Las subsiguientes, contando con las condiciones de partida,264w1;jC1:::wm;jC1

375 D A264w1j:::wmj

375 k264w1;j1:::wm;j1

375C 22666664l.tj /

0:::

0

r.tj /

3777775 :

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En Matlab, la solucin de la ecuacin de onda paraf .x/ D sen.x/, con c D 2 y g.x/ D l.x/ D r.x/ D 0 es sta:

function w=wavefd(xl,xr,yb,yt,M,N)% Ecuacin de onda por diferencias avanzadas% Entrada: [xl,xr], tiempo[yb,yt], pasos M, tiempos N

f=@(x) sin(pi*x); g=@(x) 0*x; l=@(t) 0*t; r=@(t) 0*t;c=2; close allh=(xr-xl)/M; k=(yt-yb)/N; m=M-1; n=N;sigma=c*k/h;a=diag(2-2*sigma^2*ones(m,1))+diag(sigma^2*ones(m-1,1),1);a=a+diag(sigma^2*ones(m-1,1),-1); % Matriz Alside=l(yb+(0:n)*k); rside=r(yb+(0:n)*k);w(:,1)=0.5*a*f(xl+(1:m)*h)+k*g(xl+(1:m)*h); % Cond. inicialesw(:,2)=a*w(:,1)-w(:,1)+sigma^2*[lside(1); zeros(m-2,1); rside(1)];for j=2:n

w(:,j+1)=a*w(:,j)-w(:,j-1)+sigma^2*[lside(j); zeros(m-2,1); rside(j)];endw=[lside; w; rside]; % + cond. contornox=(0:m+1)*h; t=(0:n)*k;mesh(x,t,w); % Plot 3-Dview(60,30); axis([xl xr yb yt -1 1])

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Si lo utilizamos con >> w=wavefd(0,1,0,1,20,40); para elproblema propuesto, se llega a la solucin de la grfica.

El mtodo es inestable cuando el paso en el tiempo k es grande conrespecto al del espacio h. es estable si c > 0 y D ck=h 1.

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Por ejemplo, con >> w=wavefd(0,1,0,1,20,35);, ocurre esto.

A la cantidad ck=h se le conoce com el nmero CFL, por Courant,Friedrichs y Lewy (1928):

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Mtodos de solucin. Ecuacioneselpticas

Las ecuaciones elpticas modelizan estados estacionarios: ladistribucin de temperaturas en una regin delimitada por fuentesde calor a determinadas temperaturas, potenciales electrostticos,gravitatorios, etc.

Si se tiene una funcin u.x; y/ que admite derivadas de segundoorden continuas, se define el operador Laplaciana de u como

u D uxx C uyy:

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Para una funcin continua f .x; y/, la EDPu.x; y/ D f .x; y/

se denomina ecuacin de Poisson.

La ecuacin de Poisson con f .x; y/ D 0 se denomina Ecuacin deLaplace. Una solucin de sta es una funcin armnica.

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10 8 7

9 4 6 5

1 2 3

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La ecuaciones de Laplace y Poisson son omnipresentes en la fsicaclsica pues sus soluciones representan energa potencial.

Un campo elctrico E es el gradiente de un potencial electrostticou, es decir

E D ru:El gradiente del campo est relacionado con la densidad de carga,, por la ecuacin de Maxwell

rE D ";

donde " es la permitividad elctrica. En conjunto,

u D rru D ";

ecuacin de Poisson del potencial u. En el caso de que la carga seacero, el potencial satisface la ecuacin de Laplace u D 0.

h i j

d e f g

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Mtodo de las diferencias finitas

Para estudiar el mtodo resolveremos la ecuacin de Poissonu D f en el rectngulo xl ; xr yb; yt de un plano, con las

condiciones de Dirichlet:

8

h i j

d e f g

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En diferencias finitas, la ecuacin de Poisson tiene la formau.x h; y/ 2u.x; y/C u.x C h; y/

h2CO.h2/C

Cu.x; y h/ 2u.x; y/C u.x; y C h/k2

CO.k2/ D f .x; y/:

Si wij u.xi ; yj / la ecuacin se escribewi1;j 2wij C wiC1;j

h2C wi;j1 2wi;j C wi;jC1

k2D f .xi ; yi/

donde xi D xl C .i 1/h y yj C .j 1/k, para 1 i m y1 j n.

h i j

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Las ecuaciones en los wij son lineales por lo que hay que componerun sistema de mn incgnitas con una matriz Amnmn.

Cada nudo de la malla tendr su correspondiente ecuacin lineal,incluidas los que representan las condiciones de contorno.

Para componer adecuadamente el sistema es mejor utilizar unsistema para numerar los nudos de forma lineal y evitar doblessubndices como la primera parte de a figura anterior. A este efectose adopta el de la parte de la derecha en el que

viC.j1/m D wij :

h i j

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En la tabla que sigue se recogen, para un nudo .i; j / cuya ecuacines la p, los coeficientes Apq para varios q

x y Ecuacin nmero pi j i C .j 1/m

x y Coeficiente nmero qi j i C .j 1/m

i C 1 j i C 1C .j 1/mi 1 j i 1C .j 1/mi j C 1 i C jmi j 1 i C .j 2/m

h i j

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De acuerdo con esta tabla, en la ecuacin p, lo coeficientes q en lafila Apq son

AiC.j1/m;iC.j1/m D 2h2 2k2AiC.j1/m;iC1.j1/m D 1h2AiC.j1/m;i1C.j1/m D 1h2

AiC.j1/m;iCjm D 1k2AiC.j1/m;iC.j2/m D 1k2 :

El trmino de la derecha correspondiente al nudo .i; j / esbiC.j1/m D f .xi ; yj /. Slo quedaran las condiciones de contorno.

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En Matlab, estructurar todo esto para resolver la ecuacin dePoisson con m D n D 5 en el rectngulo 0; 1 1; 2 y con lascondiciones Dirichlet

u.x; 1/ D ln.x2 C 1/u.x; 2/ D ln.x2 C 4/u.0; y/ D 2 lnyu.1; y/ D ln.y2 C 1//

lleva a esto:

function w=Poisson(xl,xr,yb,yt,M,N)% Ecuacin de Poisson por diferencias finitas% Entrada: [xl,xr], tiempo[yb,yt], pasos M, tiempos N

f=@(x,y) 0; g1=@(x) log(x.^2+1); g2=@(x) log(x.^2+4);g3=@(y) 2*log(y); g4=@(y) log(y.^2+1);m=M+1; n=N+1; mn=m*n; close allh=(xr-xl)/M; h2=h^2; k=(yt-yb)/N; k2=k^2;x=xl+(0:M)*h; y=yb+(0:N)*k;A=zeros(mn,mn); b=zeros(mn,1);for i=2:m-1

for j=2:n-1A(i+(j-1)*m,i-1+(j-1)*m)=1/h2; A(i+(j-1)*m,i+1+(j-1)*m)=1/h2;A(i+(j-1)*m,i+(j-1)*m)=-2/h2-2/k2;A(i+(j-1)*m,i+(j-2)*m)=1/k2; A(i+(j-1)*m,i+j*m)=1/k2;b(i+(j-1)*m)=f(x(i),y(j));

endendfor i=1:m

j=1; A(i+(j-1)*m,i+(j-1)*m)=1; b(i+(j-1)*m)=g1(x(i));j=n; A(i+(j-1)*m,i+(j-1)*m)=1; b(i+(j-1)*m)=g2(x(i));

endfor j=2:n-1

i=1; A(i+(j-1)*m,i+(j-1)*m)=1; b(i+(j-1)*m)=g3(y(j));i=m; A(i+(j-1)*m,i+(j-1)*m)=1; b(i+(j-1)*m)=g4(y(j));

endv=A\b;w=reshape(v(1:mn),m,n);mesh(x,y,w)

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Si lo utilizamos con >> w=Poisson(0,1,1,2,4,4); para elproblema propuesto, se llega a la solucin de la grfica.

00.2

0.40.6

0.81

1

1.2

1.4

1.6

1.8

20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

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Para encontrar el potencial electrosttico en el rectngulo0; 1 0; 1, suponiendo que no hay carga en el interior y lassiguientes condiciones de contorno

u.x; 0/ D sen.x/u.x; 1/ D sen.x/u.0; y/ D 0u.1; y/ D 0

;

cambiando en el programa anterior las funciones de partida,haciendo >> w=Poisson_1(0,1,0,1,10,10); queda

00.2

0.40.6

0.81

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1-0.2

0

0.2

0.4

0.6

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1

1.2

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Mtodo de los elementos finitos, MEF o FEMETSII-UPM

Ejemplo de aplicacin del MEF

El desarrollo de un algoritmo de elementos finitos para resolver unproblema definido mediante ecuaciones diferenciales y condicionesde contorno, convirtindolo en un problema de lgebra lineal,requiere en general cuatro etapas:I. Reformulacin del problema en forma dbil o variacional.

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II. Divisin del dominio de variables independientes (usualmenteun dominio espacial para problemas dependientes del tiempo)en subdominios, llamados elementos finitos. Asociada a esadivisin se construye un espacio vectorial de dimensin finita,llamado espacio de elementos finitos. La solucin numricaque se obtendr ser una aproximada obtenida porcombinacin lineal en dicho espacio vectorial.

III. Obtencin de la proyeccin del problema variacional originalsobre el espacio de elementos finitos obtenido. Esto da lugar aun sistema lineal de ecuaciones finito, pero de grandesdimensiones en general. El nmero de incgnitas ser el de ladimensin del espacio vectorial de elementos finitos obtenido.Cuanto mayor sea dicha dimensin tanto mejor ser laaproximacin numrica obtenida.

IV. Resolucin del sistema de ecuaciones.

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Los pasos anteriores permiten construir un problema de clculodiferencial en un problema de lgebra lineal. Dicho problema engeneral se plantea sobre un espacio vectorial de dimensin no-finita,pero que puede resolverse aproximadamente encontrando unaproyeccin sobre un subespacio de dimensin finita, y por tanto conun nmero finito de ecuaciones (aunque en general el nmero deecuaciones ser elevado tpicamente de miles o incluso centenaresde miles).

La discretizacin en elementos finitos ayuda a construir unalgoritmo de proyeccin sencillo, logrando adems que la solucinpor este mtodo sea generalmente exacta en un conjunto finito depuntos. Estos puntos coinciden usualmente con los vrtices de loselementos finitos o puntos destacados de los mismos.

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Los elementos finitos tienen formas geomtricas sencillas(tringulos, cuadrilteros, tetraedros, prismas, etc.) que se unenentre s en unos puntos llamados nudos. Dentro de cada elementolas variables dependientes se interpolan a partir de sus valores enlos nudos, los cuales se determinan mediante un mtodo residual (oforma dbil) o un principio variacional equivalente comoanunciamos.

En lo que sigue utilizaremos el principio de actuacin del mtodo deGalerkin, aplicado al problema de Dirichlet de la ecuacin elptica

uC r.x; y/u D f .x; y/ dentro de Ru D g.x; y/ sobre S

donde la solucin de u.x; y/ est definida en la regin R la cualtiene como frontera o contorno una curva continua por trozos S .

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La idea u objetivo es, a partir de un espacio vectorial de lasfunciones integrables al cuadrado que volvemos a definir como

L2.R/Dfunciones .x; y/ enR

ZR

.x; y/2dx dy existe y es finita;

minimizar el cuadrado del error de la ecuacin elptica forzando aque el residuo u.x; y/C r.x; y/u.x; y/ f .x; y/ sea ortogonala un gran subespacio de L2.R/.

Designaremos mediante L20.R/ el subespacio de L2.R/ de lasfunciones que son cero en la frontera S de la regin R.

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Si 1.x; y/; 2.x; y/; : : : ; P .x; y/ son elementos de L2.R/, lacondicin de ortogonalidad tiene esta forma

R

uC ru f p dx dy D 0

o R

uC rup dx dy D

R

f p dx dy;

para cada 1 p P . A esta forma se le denomina forma dbil dela ecuacin elptica.

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La primera identidad de Green dice que si R es una regin confrontera S , continua a trozos, u y v funciones continuas y n elvector unitario normal hacia afuera a lo largo de la frontera, secumple que

R

vu DZS

v@u

@ndS

ru rv:

La derivada direccional se puede calcular como@u

@nD u nx; ny;

donde .nx; ny/ designa el vector unitario normal hacia afuera en lafrontera S de R.

La identidad de Green aplicada a la forma dbil resultaZS

P@u

@ndS

R

ru rP dx dy CR

ruP dx dyD

R

f P dx dy:

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La esencia del mtodo de los elementos finitos consiste enaproximar u en la forma dbil por

w.x; y/ DPXqD1

vqq.x; y/

y despus determinar las constantes vq.

Supongamos para ello, de momento, que P pertenece a L20.R/, esdecir, P .S/ D 0. Sustituyendo la aproximacin en el resultado deaplicar la identidad de Green, se tiene que

R

0@ PXqD1

vqrq1A rP dx dy C

R

r

0@ PXqD1

vqq

1AP dx dy D

R

f P dx dy

para cada P en L20.R/.

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Reestructurando la ecuacin anterior en torno a las constantes vp,PiqD1

vq

24R

rq rP dx dy

R

rqP dx dy

35 D R

f P dx dy;

que es una ecuacin lineal de las incgnitas v1; : : : ; vP .

En forma matricial es Av D b, donde los coeficientes de la fila pde A son

Apq DR

rq rP dx dy R

rqP dx dy

y

bp D R

f R dx dy:

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Qu funciones explcitamente representarn a los elementos p? Como ya hemos hecho, utilizaremos B-splines lineales por tramosbasados en tringulos en un plano.En esta figura se ve una triangularizacin de la regin rectangularpreviamente usada.

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La triangularizacin presentada da lugar a P D mn funcioneslineales P , .m DM C 1 y n D N C 1/, cada una de las cualestoma el valor 1 en un punto de la malla y 0 en los mn1 restantes. Usando la numeracin introducida al presentar aquella malla,iC.j1/m.xi ; yj / D 1 y iC.j1/m.x0i ; y 0j / D 0. Cada P .x; y/ esderivable, excepto en las aristas de los tringulos, por lo que sonfunciones integrables de Riemann en L2.R/.

Se cumple adems que

w.xi ; yi/ DmXiD1

nXjD1

viC.j1/miC.j1/n.xi ; yi/ D viC.j1/m;

para i D 1; : : : ; m, j D 1; : : : ; ; n. Es decir, en cada punto.xi ; yj /, la aproximacin w de la solucin correcta u ser la que seobtenga de resolver Av D b.

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Para completar el cuadro del lienzo de los elementos finitos quedapor dibujar el clculo de los coeficientes de la matriz A y deltrmino independiente b. Para ello, si definimos el baricentro deuna regin del plano como el punto . Nx; Ny/ donde

Nx DRx dx dy

R1 dx dy

; Ny DRy dx dy

R1 dx dy

:

Si R es un tringulo de vrtices .x1; y1/, .x2; y2/ y .x3; y3/ subaricentro es

Nx D x1C x2C x33

; Ny D y1C y2C y33

:

El valor medio de una funcin lineal L.x; y/ en una regin R delplano es L. Nx; Ny/, el valor en el baricentro. En otras palabras,RL.x; y/ dx dy D L. Nx; Ny/ rea.R/.

h i j

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El desarrollo en serie de Taylor de una funcin de dos variables diceque

f .x; y/ D f . Nx; Ny/C @f@x. Nx; Ny/.x Nx/C @f

@y. Nx; Ny/.y Ny/

O.x Nx/2; .x Nx/.y Ny/.y Ny/2D L.x; y/CO.x Nx/2; .x Nx/.y Ny/; .y Ny/2:

En consecuencia,R

f .x; y/ dx dyD

R

L.x; y/ dx dy C

R

O.x Nx/2; .x Nx/.y Ny/; .y Ny/2 dx dyDrea.R/ L. Nx; Ny/CO.h4/ D rea.R/ f . Nx; Ny/CO.h4/;

donde h es el dimetro de R, la distancia ms grande entre dospuntos de R.

h i j

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63/77

Por otro lado, si .x; y/ es una funcin lineal en el tringulo T devrtices .x1; y1/, .x2; y2/ y .x3; y3/, que cumple que.x1; y1/ D 1, .x2; y2/ D 0 y .x3; y3/ D 0, entonces. Nx; Ny/ D 1=3. Si 1.x; y/ y 2.x; y/ son dos funciones lineales en ese mismotringulo, que cumplen que 1.x1; y1/ D 1, 1.x2; y2/ D 0,1.x3; y3/ D 0, 2.x1; y1/ D 0, 2.x2; y2/ D 1 y 2.x3; y3/ D 0y f .x; y/ es una funcin continua y derivable dos veces, con

d D det24 1 1 1x1 x2 x3y1 y2 y3

35 :entonces

h i j

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a/ el tringulo T tiene un rea igual a jd j=2b/ r1.x; y/ D

y2y3d; x3x2

d

c/

T

r1 1 dx dy D .x2 x3/2 C .y2 y3/22jd j

d/

T

r1 2 dx dy D .x1 x3/.x2 x3/ .y1 y3/.y2 y3/2jd j

e/

T

f 12 dx dy D f . Nx; Ny/jd j=18CO.h4/ D

T

f 21 dx dy

f /

T

f 1 dx dy D f . Nx; Ny/jd j=6CO.h4/;

donde . Nx; Ny/ es el baricentro de T y h D dime.T /.

h i j

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1 2 3

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Consideremos el punto .xi ; yj / interior en la figura.

No est en la frontera S del rectngulo. Est rodeado de seistringulos. La funcin B-spline iC.j1/m es lineal y toma el valor 1en el centro y 0 fuera de esos tringulos.

Como p D q D i C .j 1/m el coeficiente AiC.j1/m;iC.j1/mest compuesto de dos integrales, que son cero fuera de esostringulos.

h i j

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Los 6 tringulos tienen lados horizontales h y lados verticales k. Laprimera integral, sumando desde el tringulo 1 al 6, es

k2

2hkC h2

2hkC h2Ck2

2hkC k2

2hkC h2

2hkC h2Ck2

2hkD 2

h2Ck2

hk

:

Los baricentros de los seis tringulos sonB1 D

xi 23h; yj 13h

B2 D

xi 13h; yj 23h

B3 D

xi C 13h; yj 13h

B4 D

xi C 23h; yj C 13h

B5 D

xi C 13h; yj C 23h

B6 D

xi 13h; yj C 13h

:

h i j

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La segunda integral es.hk=18/ r.B1/C r.B2/C r.B3/C r.B4/C r.B5/C r.B6/

por lo que sumando las dos se tiene que

AiC.j1/m;iC.j1/m D 2h2Ck2

hk

hk18r.B1/C r.B2/C r.B3/C r.B4/C r.B5/C r.B6/:

De la misma forma,AiC.j1/m;i1C.j1/m D kh hk18

r.B6/C r.B1/

AiC.j1/m;i1C.j2/m D hk18

r.B1/C r.B1/

AiC.j1/m;iC.j2/m D hk hk18

r.B2/C r.B3/

AiC.j1/m;iC1C.j1/m D kh hk18

r.B3/C r.B4/

AiC.j1/m;iC1Cjm D hk18

r.B4/C r.B5/

AiC.j1/m;iCjm D kh hk18

r.B5/C r.B6/

h i j

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1 2 3

68/77

Para calcular los coeficientes de b se procede de forma similarresultando que, para p D i C .j 1/mbiC.j1/m D hk6

f .B1/C f .B2/C f .B3/C f .B4/C f .B5/C f .B6/

:

Para los elementos finitos en la frontera, iC.j1/m no pertenece aL20.R/ por lo que se usan AiC.j1/m;iC.j1/m D 1 ybiC.j1/m D g.xi ; yj / para garantizar las condicin de DirichletviC.j1/m D g.xi ; yj /, en el que .xi ; yj / es un punto frontera.

h i j

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1 2 3

69/77

Si llevamos todos estos resultados del mtodo de los elementosfinitos a Matlab para resolver la ecuacin de Poisson conm D n D 5, en el rectngulo 0; 1 1; 2 y con las condicionesDirichlet anteriores, se consigue esto:

function w=Poisson_FEM_1(xl,xr,yb,yt,M,N)% Ecuacin de Poisson por Elementos Finitos% Entrada: [xl,xr], tiempo[yb,yt], pasos M, tiempos N

f=@(x,y) 0; r=@(x,y) 0; g1=@(x) log(x.^2+1); g2=@(x) log(x.^2+4);g3=@(y) 2*log(y); g4=@(y) log(y.^2+1);m=M+1; n=N+1; mn=m*n; close allh=(xr-xl)/M; h2=h^2; k=(yt-yb)/N; k2=k^2; hk=h*k;x=xl+(0:M)*h; y=yb+(0:N)*k; % valores para la meshA=zeros(mn,mn); b=zeros(mn,1);for i=2:m-1 % puntos del interior

for j=2:n-1rsum=r(x(i)-2*h/3,y(j)-k/3)+r(x(i)-h/3,y(j)-2*k/3)+r(x(i)+h/3,y(j)-k/3);rsum=rsum+r(x(i)+2*h/3,y(j)+k/3)+r(x(i)+h/3,y(j)+2*k/3)+r(x(i)-h/3,y(j)+k/3);A(i+(j-1)*m,i+(j-1)*m)=2*(h2+k2)/(hk)-hk*rsum/18;A(i+(j-1)*m,i-1+(j-1)*m)=-k/h-hk*(r(x(i)-h/3,y(j)+k/3)+r(x(i)-2*h/3,y(j)-k/3))/18;A(i+(j-1)*m,i-1+(j-2)*m)=-hk*(r(x(i)-2*h/3,y(j)-k/3)+r(x(i)-h/3,y(j)-2*k/3))/18;A(i+(j-1)*m,i+(j-2)*m)=-k/h-hk*(r(x(i)-h/3,y(j)-2*k/3)+r(x(i)+h/3,y(j)-k/3))/18;A(i+(j-1)*m,i+1+(j-1)*m)=-k/h-hk*(r(x(i)+h/3,y(j)-k/3)+r(x(i)+2*h/3,y(j)+k/3))/18;A(i+(j-1)*m,i+1+j*m)=-hk*(r(x(i)+2*h/3,y(j)+k/3)+r(x(i)+h/3,y(j)+2*k/3))/18;A(i+(j-1)*m,i+j*m)=-k/h-hk*(r(x(i)+h/3,y(j)+2*k/3)+r(x(i)-h/3,y(j)+k/3))/18;fsum=f(x(i)-2*h/3,y(j)-k/3)+f(x(i)-h/3,y(j)-2*k/3)+f(x(i)+h/3,y(j)-k/3);fsum=fsum+f(x(i)+2*h/3,y(j)+k/3)+f(x(i)+h/3,y(j)+2*k/3)+f(x(i)-h/3,y(j)+k/3);b(i+(j-1)*m)=-h*k*fsum/6;

endendfor i=1:m

j=1; A(i+(j-1)*m,i+(j-1)*m)=1; b(i+(j-1)*m)=g1(x(i));j=n; A(i+(j-1)*m,i+(j-1)*m)=1; b(i+(j-1)*m)=g2(x(i));

endfor j=2:n-1

i=1; A(i+(j-1)*m,i+(j-1)*m)=1; b(i+(j-1)*m)=g3(y(j));i=m; A(i+(j-1)*m,i+(j-1)*m)=1; b(i+(j-1)*m)=g4(y(j));

endv=A\b;w=reshape(v(1:mn),m,n);mesh(x,y,w)

h i j

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Si lo utilizamos con >> w=Poisson_FEM_1(0,1,1,2,4,4); parael problema propuesto, se llega a la solucin de la grfica.

00.2

0.40.6

0.81

1

1.2

1.4

1.6

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0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

h i j

d e f g

a b c

10 8 7

9 4 6 5

1 2 3

71/77

Mtodos para EDP no lineales

Utilizaremos para su anlisis la estrategia del mtodo de lasdiferencias atrasadas.

La aplicaremos a una ecuacin en derivadas parciales no linealtpica:

ut C uux D Duxxconocida como la ecuacin de Burgers, sobre flujo de fluidos. SiD > 0, modeliza fluidos viscosos; si D D 0, fluidos invscidos o sinviscosidad.

h i j

d e f g

a b c

10 8 7

9 4 6 5

1 2 3

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Utilizaremos una discretizacin como la de la ecuacin del calor.

Si wij es la aproximacin de la solucin en .xi ; tj /, aplicandodiferencias atrasadas a ui y centradas en los otros trminos, setiene que

wijwi;j1k

C wijwiC1;jwi1;j

2h

D Dh2

wiC1;j 2wij C wi1;j

:

h i j

d e f g

a b c

10 8 7

9 4 6 5

1 2 3

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Reordenando,wij C h2hwij

wiC1;j wi1;j

wiC1;j 2wij C wi1;j wi;j1 D 0;donde D Dk=h2. Como es una ecuacin no lineal en w, utilizaremos el mtodo deNewton-Raphson. Si se hace zi D wij , en la etapa de tiempo j setrata de resolver la ecuaciones en las variables z1; : : : ; zm

Fi.z1; : : : ; zm/ D zi C k2hziziC1 zi1

ziC1 2zi C zi1 wi;j1 D 0;para i D 1; : : : ; m. El trmino wi;j1 se conoce de la etapaanterior.

h i j

d e f g

a b c

10 8 7

9 4 6 5

1 2 3

74/77

La primera y la ltima de estas ecuaciones se reemplazan por lascondiciones de contorno apropiadas. Por ejemplo, para el caso de laecuacin de Burgers con las condiciones de Dirichlet8

h i j

d e f g

a b c

10 8 7

9 4 6 5

1 2 3

75/77

Para usar el mtodo de Newton-Raphson tenemos que calcular lamatriz Jacobiana del sistema no lineal de ecuaciones, J .z/ D @F

@z, que

es

J .z/D

26666666664

1 0

kz22h

1C2C k.z3z1/2h

C kz22h

kz32h

1C2C k.z4z2/2h

C kz32h

: : : : : : : : :

kzm12h

1C2C k.zmzm2/2h

C kzm12h

0 1

37777777775 La frmula de recurrencia que emplearemos para Newton-Raphsonser

zkC1 D zk J .zk/1F .zk/

h i j

d e f g

a b c

10 8 7

9 4 6 5

1 2 3

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Ejemplo Resolvamos mediante diferencias atrasadas y Newton-Raphson lasiguiente ecuacin de Burgers.8

h i j

d e f g

a b c

10 8 7

9 4 6 5

1 2 3

77/77

Si lo utilizamos con >> w=Burgers(0,1,0,2,250,250); para elproblema propuesto, se llega a la solucin de la grfica.