UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERUFACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS

HUANCAYO 2015 IPROBABILIDADIng. Eli Teobaldo Caro MezaCURSO: ESTADISTICA

PROBABILIDADLa probabilidad es una ciencia exacta que se desarrollo en forma axiomtica.Tener en cuenta que mientras la teora de la probabilidad es una ciencia exacta, la estadstica es una ciencia de aproximaciones, que para proyectar hacia la poblacin los resultados obtenidos en una muestra de esta, aplica la probabilidad como una medida de la fiabilidad.

EXPERIMENTO ALEATORIOEs todo proceso que consiste de la ejecucin de un acto (o prueba) una o mas veces, cuyo resultado en cada prueba depende del azar y en consecuencia no se puede predecir con certeza.Es decir un experimento es aleatorio, si cumple:- Se puede repetir indefinidamente.- Los resultados en cada repeticin no son predecibles.EJEMPLO: Lanzar un dado, contar objetos defectuosos producidos diariamente en cierto proceso, aplicar una encuesta para obtener opiniones, etc.

ESPACIO MUESTRAL ()Se denomina as al conjunto que consiste de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.Cada resultado posible de un experimento aleatorio es un elemento (punto muestral) del especio muestral. = {/ es un punto muestral}Si el espacio muestral tiene un numero finito de elementos es posible enlistar a todos, y si el numero de elementos es infinito se describen mediante un enunciado o regla

EJEMPLOS:El experimento de lanzar un dado y observar el resultado, el espacio muestral se puede escribir como el conjunto de puntos mustrales:1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}El experimento de lanzar una moneda 3 veces (o lanzar tres monedas a la vez) y observar el resultado global, el espacio muestral se puede escribir como el conjunto de ternas ordenadas:2 = {CCC, CCS, CSC, SCC, SSC, SCS, CSS, SSS}Si el experimento aleatorio es lanzar una moneda y un dado a la vez, y observar ambos resultados, el espacio muestral es:3 = {1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 1S, 2S, 3S, 4S, 5S, 6S}

NOTA: Los espacios mustrales de experimentos aleatorios que consisten de dos o mas pruebas sucesivas se obtienen tambin de un diagrama de rbol.

Si el experimento aleatorio es lanzar una moneda tantas veces como sea necesario hasta que aparezca la primera cara, su espacio muestral es el conjunto:4 = {C, SC, SSC, SSSC, etc.}Si el experimento aleatorio es medir la vida til (en aos) de un componente electrnico, su espacio muestral es el conjunto:5 {t R/ t 0}Si el experimento aleatorio consiste en determinar la posicin de cada de un dardo que es lanzado hacia un blanco circular de radio 5 cm., su espacio muestral es el conjunto:6 = {(x, y) R/ x2 + y2 25}

CLSIFICACION DE LOS ESPACIOS MUESTRALES: Por el numero de elementos o puntos mustrales se clasifican en:DISCRETOS FINITOS: consisten de un numero finito de elementos. Ejemplo los espacios: 1, 2, 3DISCRETOS INFINITOS: consisten de un numero infinito numerables de elementos. Ejemplo el espacio: 4CONTINUOS: consisten de un numero infinito no numerables de elementos. Ejemplo los espacios: 5 y 6.

EVENTOSSe denomina evento a cualquier subconjunto de un espacio muestral.Por ejemplo en el espacio muestral finito = {w1, w2, , w3} de n elementos se puede definir 2n eventos diferentes, tambin tenemos,El evento imposible que no tiene puntos mustrales, en consecuencia no ocurre nunca.Los eventos unitarios o elementales, {wi} que contienen un solo punto muestral.Los eventos compuestos que consisten de dos o mas eventos elementales.El evento seguro o cierto que contiene a todos los elementos posibles.

VARIACIONESVARIACIONES SIMPLESEs cada uno de los arreglos u ordenes que se hagan con los k objetos, de manera que, estos arreglos difieran en algn elemento o en el orden de colocacin.Ejemplo: las variaciones de 2 elementos del conjunto A = {a, b, c, d} son los siguientes arreglos: ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc.El numero de variaciones esta dado por:

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VARIACIONES CON REPETICIONCada uno de los arreglos de los k objetos, puede ser uno mismo de los n objetos.Ejemplo: las variaciones con repeticin de dos elementos tomados de los elementos a, b, c, son: aa, ab,ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc.El numero de variaciones con repeticin esta dado por:

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EJERCICIO 1:Cual es el numero de maneras diferentes en que se pueden formar nmeros de 5 cifras con los dgitos 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 de manera que empiecen con 6 o terminen en 8, si los dgitos:a) no se repitenb) se repiten

PERMUTACIONESPERMUTACIONES SIMPLESSe denominan permutaciones de n objetos a cada una de las variaciones de los n objetos distintos.Ejemplo: son permutaciones de las letras a, b , c las siguientes variaciones sin repeticin de todas: abc, acb, bac, bca, cab, cbaEl numero de permutaciones esta dado por:.

PERMUTACIONES CIRCULARESSon las diferentes permutaciones que pueden formarse con n objetos distintos, donde no hay ni primero ni ultimo objeto, ya que todos forman un circulo (o cualquier otra figura plana cerrada)El numero de permutaciones circulares esta dado por:

PERMUTACIONES CON OBJETOS REPETIDOSEl numero de permutaciones de n objetos de los cuales n1 son iguales entre si, n2 son iguales entre si, , y nk son iguales entre si, esta dado por:

Ejemplo:Las permutaciones de las 4 letras a, a, b, b son:aabb, abab, abba, baba, baab, bbaaEl numero total es:

Ejercicio 2:De cuantas formas diferentes se pueden ordenar todos los elementos del conjunto:A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}de manera que los elementos 1 y 9 no aparezcan juntos?Ejercicio 3:De cuantas maneras diferentes pueden sentarse 9 personas alrededor de una mesa elipsoidal si dos personas determinadas deben estar uno al lado del otro?Ejercicio 4:El numero de formas diferentes de permutar 12 objetos iguales en todo (salvo el color), de los cuales 3 son negro, 4 son blanco y 5 son rojo es:

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